CAPÍTULO 5 / TEMA 3

Polígonos

Podemos observar polígonos en múltiples objetos de nuestro alrededor. Estos son muy diversos y los hay con lados y ángulos iguales o desiguales entre sí. Son elementos fundamentales de la geometría y su conocimiento es esencial en diversos campos del conocimiento, como la ingeniería o la arquitectura.

¿Qué es un polígono?

En geometría, un polígono es una figura geométrica plana delimitada por un número finito de segmentos rectos.

¿Sabías qué?

La palabra “polígono” proviene del griego antiguo que quiere decir “muchos ángulos”.

Los polígonos presentan los siguientes elementos:

Lados: son los segmentos rectos que conforman al polígono.
Vértices: son los puntos en común entre dos lados consecutivos.
Diagonales: son los segmentos que unen a dos lados no consecutivos de un polígono.
Ángulos interiores: están formados por dos lados consecutivos en el interior del polígono.
Ángulos exteriores: están formados en el exterior del polígono entre un lado y la prolongación de otro lado consecutivo.

Polígonos regulares y sus tipos

Un polígono regular tiene lados con la misma longitud. Se caracterizan también porque sus ángulos internos y externos también son iguales. Otra característica es que poseen la misma cantidad de ejes de simetrías que de lados. Las diagonales en este tipo de polígonos tienen la misma longitud y siempre son interiores.

Polígono	Número de lados	Número de diagonales	Medida de cada ángulo interno	Medida de cada ángulo externo
Triángulo equilátero	3	0	60°	120°
Cuadrado	4	2	90°	90°
Pentágono	5	5	108°	72°
Hexágono	6	9	120°	60°
Heptágono	7	14	128,57°	51,43°
Octágono	8	20	135°	45°
Eneágono	9	27	140°	40°
Decágono	10	35	144°	36°
Endecágono	11	44	147,27°	32,73°
Dodecágono	12	54	150°	30°

VER INFOGRAFÍA

El círculo y los polígonos

Todo polígono regular puede estar circunscrito en una circunferencia, lo que quiere decir que cada uno de sus vértices corresponde a un punto de la circunferencia. Mientras más lados tenga el polígono, más se va a aproximar a la forma de la circunferencia. Por esta razón, se asocia a la circunferencia (de forma informal) a un polígono de infinitos lados.

Área de polígonos regulares

Para medir el área de los polígonos es necesario conocer las definiciones de perímetro y apotema.

Perímetro: es la suma de los lados que forman una figura geométrica. En el caso de los polígonos regulares, se calcula al multiplicar el número de lados por la longitud de uno de sus lados.

$P= n\times L$

Donde:

P: perímetro
n: número de lados del polígono regular.
L: longitud de uno de los lados del polígono.

Apotema: es la distancia perpendicular desde el centro de un polígono hasta uno de sus lados.

El área de un polígono regular se define como el producto de su perímetro por la apotema (a) dividido entre dos.

$A = \frac{P\times a}{2}$

Donde:

A: área

P: perímetro

a: apotema

– Ejemplo:

Calcular el área de un pentágono cuyos lados miden 6 cm y su apotema es de 4,13 cm.

Lo que debemos hacer es calcular primero el perímetro para luego sustituir en la fórmula junto con la apotema para calcular el área.

$P= n\times L$
$P= 5\times 6\, cm$
$P= 30\, cm$

El perímetro del apotema es 30 cm, al sustituir en la fórmula de área nos queda:

$A = \frac{30\, cm\times 4,13\,cm }{2}$

$A = \frac{123,9\,cm^{2} }{2}$

$A = \mathbf{61,95\, cm^{2}}$

El área del pentágono es de 61,95 cm².

¿Sabías qué?

El Departamento de Defensa de los Estados Unidos es un edificio en forma de Pentágono que mide 140.000 metros cuadrados aproximadamente.

Debido a sus características geométricas, todo polígono regular puede estar inscrito o circunscrito a una circunferencia. Un polígono inscrito tiene todos sus vértices contenidos en la circunferencia. Por otro lado, un polígono circunscrito posee todos sus lados tangentes a la circunferencia. En ambos casos, el centro del polígono coincide con el centro de la circunferencia.

Polígonos irregulares y sus tipos

En los polígonos irregulares se pueden cumplir algunas de estas condiciones:

– Tener sus lados con igual longitud pero sus ángulos internos diferentes.
– Tener sus ángulos de igual medida pero sus lados con diferente longitud.
– Tener sus lados con diferente longitud y sus ángulos internos con diferente medida.

Ejemplos de polígonos irregulares

Rombo

El rombo tiene los cuatro lados con igual longitud pero sus cuatro ángulos internos son diferentes: solo los ángulos opuestos de este polígono son iguales. Por eso se trata de un polígono irregular.

Rectángulo (no cuadrado)

Es un cuadrilátero con sus cuatro ángulos iguales (90°), pero sus lados tienen diferente longitud entre sí. Solo los lados paralelos comparten la misma longitud.

Triángulo (no equilátero)

Todo triángulo con un ángulo interior diferente de 60 grados es un polígono irregular.

Triángulos regulares e irregulares

Según sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos. Los equiláteros son los únicos triángulos que cumplen con las características de un polígono regular. Los triángulos escalenos son aquellos en los que las longitudes de sus lados y la medida de sus ángulos internos son diferentes, por lo tanto no son polígonos regulares. Por otra parte, los triángulos isósceles al contar solo con dos lados y dos ángulos iguales tampoco son considerados como polígonos regulares.

Perímetro de polígonos

Calculamos el perímetro de los polígonos regulares a través de la fórmula planteada anteriormente:

$P= n\times L$

En cambio, en los polígonos irregulares, cuyos lados generalmente son diferentes, esta ecuación no siempre aplica. Para lo cual debemos sumar de forma separada las longitudes de cada uno de los lados.

$P= L_{1}+L_{2}+L_{3}+...+L_{n}$

Por ejemplo, para calcular el perímetro del siguiente triángulo isósceles simplemente sumamos cada una de las longitudes de sus lados.

$P= 60\,\, cm+60\,\, cm+40\,\, cm$

$P= \mathbf{160\,\, cm}$

El perímetro de este triángulo irregular es de 160 cm.

¡A practicar!

1. Determina el perímetro y el área de los siguientes polígonos regulares según los datos mostrados.

a) Un eneágono regular cuyos lados miden 7 cm y su apotema 9,62 cm.

Solución

P = 63 cm
A = 303,03 cm²

b) Un pentágono regular cuyos lados miden 6 cm y su apotema 4,13 cm.

Solución

P = 30 cm
A = 61,95 cm²

c) Un heptágono regular cuyos lados miden 8 cm y su apotema 8,31.

Solución

P = 56 cm
A = 232,68 cm²

d) Un triángulo regular (equilátero) cuyos lados miden 5 cm y su apotema 1,44 cm.

Solución

P= 15 cm
A = 10,8 cm²

e) Un decágono regular cuyos lados miden 3 cm y su apotema 4,62 cm.

Solución

P= 30 cm
A = 69,3 cm²

f) Un dodecágono regular cuyos lados miden 4 cm y su apotema 7,46 cm.

Solución

P= 48 cm
A = 179,04 cm²

g) Un hexágono regular cuyos lados miden 7 cm y su apotema 6,06 cm.

Solución

P= 42 cm
A = 127,26 cm²

h) Un octágono regular cuyos lados miden 2 cm y su apotema 2,41 cm.

Solución

P= 16 cm
A = 19,28 cm²

i) Un endecágono regular cuyos lados miden 3 cm y su apotema 5,11 cm.

Solución

P= 33 cm
A = 84,315 cm²

j) Un cuadrado cuyos lados miden 4 cm y su apotema 2 cm.

Solución

P= 16 cm
A = 16 cm²

2. ¿A qué polígono con una apotema de 4,33 cm le corresponde un área de 64,95 cm².

a) Un decágono de 2 cm de lado.
b) Un hexágono de 5 cm de lado.
c) Un pentágono de 7 cm de lado.
d) Un octágono de 4 cm de lado.

Solución

b) Un hexágono de 5 cm de lado.

3. ¿Qué polígono irregular tiene sus lados de igual longitud pero sus ángulos internos son diferentes?

a) Círculo
b) Cuadrado
c) Rectángulo
d) Rombo

Solución

d) Rombo

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Perímetro de los polígonos”

Este artículo define qué es un polígono, cuáles son sus clasificaciones y cómo se calcula su el perímetro. También plantea una serie de ejercicios para resolver.

VER

Artículo “Cuadriláteros”

Este recurso explica los diferentes tipos de cuadriláteros que existen y sus características principales.

VER

Micrositio “Tarjetas Educativas – Geometría y medidas”

En este micrositio se puede encontrar una serie de tarjetas interactivas que resumen los elementos principales de la geometría, como los polígonos y sus principales características.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 3

Área

El área mide la extensión de una superficie, por eso permite saber información importante de las cosas, como el tamaño de un país o la cantidad de baldosas que se necesitan en el piso de una casa. De acuerdo al tipo de figura, el área puede calcularse a través de fórmulas o mediante la descomposición de las figuras en otras más sencillas.

Cálculo de áreas en figuras planas

El área es la superficie o extensión comprendida en una figura. En el caso de las figuras planas, para calcular su área es necesario reconocer cada figura, porque su cálculo es diferente en cada caso.

Triángulos

En los triángulos se cumple que su área es igual a la base por la altura y el resultado se divide entre dos:

$A=\frac{b\times h}{2}$

– Calcula el área del siguiente triángulo:

$A=\frac{3 \, cm \times 4\, cm}{2} = \frac{12 \, cm^{2}}{2}=\mathbf{6\, cm^{2}}$

Es importante tener en cuenta que al multiplicar dos unidades de longitud (en este caso centímetros) escribimos el producto al cuadrado; es decir, colocamos el exponente “2” arriba de la unidad de medida, por eso se escribe cm², y se lee “centímetros cuadrados”.

El área y las unidades al cuadrado

En el Sistema Internacional de Unidades el área siempre se expresa en unidades de longitud elevadas al cuadrado, esto se debe a que el área es la medida de una superficie. Un área de 15 cm² quiere decir que esa superficie está cubierta por 15 cuadrados que miden 1 cm en cada uno de sus lados. Otras unidades de área comunes son: mm² (milímetros cuadrados), m² (metro cuadrado) y km² (kilómetro cuadrado).

VER INFOGRAFÍA

Cuadrados

El área de un cuadrado es igual a la multiplicación de dos de sus lados. Como los lados de un cuadrado son todos iguales, la fórmula también se puede expresar como la medida de un lado al cuadrado.

$A = l\times l =l^{2}$

– Calcula el área del siguiente cuadrado

$A= 3\, m\times 3\,m = \mathbf{9\, m^{2}}$

Es un cuadrado de nueve metros cuadrados de área.

Rectángulos y romboides

El área de los rectángulos y romboides es igual al producto de su base por su altura.

$A=b\times h$

– Calcula el área del siguiente rectángulo:

$A=10\, mm\times 5\, mm =\mathbf{50\, mm^{2}}$

Rombos

El área de un rombo es igual al producto de su diagonal mayor (D) y su diagonal menor (d) dividido entre 2.

$A=\frac{D\times d}{2}$

– Calcula el área del siguiente rombo:

$A = \frac{9\, cm\times 5\, cm}{2}=\frac{45\, cm^{2}}{2}=\mathbf{22,5\, cm^{2}}$

El área del rombo es de 22,5 centímetros cuadrados.

Trapecios

En el caso de los trapecios el área es igual a la suma de su base mayor y su base menor, el resultado se divide entre 2 y luego se multiplica por la altura.

$A = \frac{B+ b}{2}\times h$

– Calcula el área del siguiente trapecio:

$\small A= \frac{9\, mm+ 15\, mm}{2}\times 4\, mm=\frac{24\, mm}{2}\times 4\, mm=12\, mm\times 4\, mm = \mathbf{48\, mm^{2}}$

El trapecio tiene un área de 48 milímetros cuadrados.

Polígonos regulares

Los polígonos regulares son figuras geométricas donde todos sus lados miden lo mismo. En todos los polígonos regulares se cumple que:

$A= \frac{N\times L\times ap}{2}$

Donde:

N = número de lados del polígono regular.

L = longitud de uno de los lados.

ap = longitud de la apotema.

¿Sabías qué?

La apotema es la menor distancia que existe entre el centro de un polígono y cualquiera de sus lados.

– Calcula el área del siguiente polígono regular:

$A=\frac{6\times 4\, cm\times 3,4\, cm}{2}=\frac{24\, cm\times 3,4\, cm}{2}= \frac{81,6\, cm^{2}}{2}=\mathbf{40,8\, \mathbf{cm^{2}}}$

Observa que en este caso como el polígono regular tiene seis lados (hexágono) se coloca el número 6. El área de este hexágono es de 40,8 centímetros cuadrados.

¿Cómo calcular el área de un círculo?

Para determinar el área de un círculo se debe multiplicar el número pi (que aunque es un número infinito se redondea a 3,14) por el radio de la circunferencia elevado al cuadrado, es decir; $\bg_white A = \pi \times r^{2}$ . El área para un círculo con un radio igual a 2 cm, por ejemplo; se calcularía como $A = 3,14\times (2\, cm)^{2}=3,14\times4\, cm^{2} =\mathbf{12,56\, cm^{2}}$ .

Cálculo de áreas en figuras compuestas

Las figuras compuestas se llaman así porque están formadas por dos o más figuras geométricas. Para calcular el área en estas figuras debemos “separar” las figuras geométricas presentes y calcular por separado el área de cada una. El área total de la figura compuesta será igual a la sumatoria de las áreas de las figuras geométricas que la conformen.

– Calcula el área de la siguiente figura compuesta:

Lo primero para resolver es identificar las figuras geométricas presentes, en este caso es un triángulo (figura 1) y un rectángulo (figura 2).

Calculamos las áreas de las figuras por separado.

– Área del triángulo:

La altura es un dato del problema y es 2 cm, la base del triángulo tiene la misma longitud que la base mayor del rectángulo, por lo tanto tiene el mismo valor que es 5 cm. Calculamos el área según la fórmula de área para el triángulo:

$A_{1} = \frac{b\times h}{2}=\frac{5\, cm\times 2\, cm}{2}=\frac{10\, cm^{2}}{2} = \mathbf{5\, cm^{2}}$

– Área del rectángulo:

Calculamos con la fórmula de área para rectángulos.

$A_{2} = b\times h=5\, cm\times 4\, cm = \mathbf{20\, }\mathbf{cm^{2}}$

El área total es igual a la sumatoria de las áreas de las figuras geométricas calculadas:

$A = A_{1}+A_{2}= 5\, cm^{2}+20\, cm^{2} =\mathbf{25\, cm^{2}}$

Quiere decir que el área de la figura compuesta es de 25 centímetros cuadrados.

¿Por qué es útil conocer el área?

Conocer la superficie del área tiene múltiples usos desde los cotidianos hasta lo científico. Por ejemplo, gracias al área podemos saber cuánta tela necesita un vestido, o cuántas baldosas son necesarias en la construcción de un piso. También se usa para realizar comparaciones, por ejemplo, con el área podemos comparar países de acuerdo a su tamaño. O, también, podemos estimar la superficie de un planeta de acuerdo a su forma.

Además, el área es un parámetro usado en otras fórmulas más avanzadas como los cálculos de presiones. Por otra parte, las diferentes medidas permiten cuantificar desde áreas de tamaños microscópicos hasta áreas del tamaño de una estrella.