Categoría: Matemática

Matrices

Las matrices son arreglos de números que entre otras cosas se emplean para resolver sistemas de ecuaciones lineales y programas informáticos. Son fundamentales en matemática y en otras disciplinas como el álgebra.

¿Qué es una matriz?

Una matriz es una tabla bidimensional en la que se disponen valores numéricos o variables. Los datos que conforman a una matriz se denominan elementos y están dispuestos de acuerdo a un patrón de filas y columnas que le confieren una forma cuadrada o rectangular a la matriz según sea el caso.

Las filas o renglones de una matriz son todos los elementos que se encuentran dispuestos linealmente de forma horizontal, las columnas se encuentran compuestas por los elementos localizados linealmente de forma vertical. Si una matriz tiene m filas y n columnas, su dimensión será de m x n, esto se debe a que primero se coloca el número de filas y luego el de columnas.

Forma general de una matriz A de dimensiones m x n:

Generalmente se emplean letras mayúsculas del alfabeto para expresar el nombre de las matrices.

Elementos de la matriz

Para ubicar un elemento de una matriz se usa el sistema de doble subíndice en el que se indica primero el número de la fila donde encuentra seguido de su respectiva columna. De manera que el elemento a12 es aquel ubicado en la primera fila y en la segunda columna. Como notación general se emplea una fórmula denominada entrada aij , donde i es el número de fila del elemento y j es el número de columna.

Matrices cuadradas y rectangulares

De acuerdo a la dimensión de una matriz, se puede clasificar en matriz cuadrada y en matriz rectangular. Una matriz m x n es cuadra si m = n, es decir, si el número de filas es igual al número de columnas. Por otra parte, las matrices en donde se cumple que m ≠ n, su forma es rectangular, debido a que el número de filas es diferente al número de columnas.

Para ilustrar mejor se muestran los siguientes ejemplos:

La matriz A es una matriz cuadrada porque posee tres filas y tres columnas, es decir, su dimensión es de 3 x 3. Por otra parte, la matriz B tiene tres filas y dos columnas, es decir, su dimensión es de 3 x 2, por lo tanto, B es una matriz rectangular.

James Joseph Sylvester fue el primero en emplear el término “matriz” en el ámbito matemático a mediados del siglo XIX.

La diagonal principal

En las matrices cuadradas se observa una diagonal principal formada por todos los elementos cuyas entradas cumplen la condición . Por ejemplo:

Los elementos 2, 9 y 5 constituyen la diagonal principal de la matriz M, debido a que en sus entradas cumplen con la condición de :

a11 = 2

a22 = 9

a33 = 5

De manera directa se puede observar que la diagonal principal de una matriz cuadrada está formada por los elementos que describen una diagonal desde el elemento hasta el último elemento de la última fila.

Otros tipos de matrices

  • Matriz fila

Es aquella conformada por una fila.

  • Matriz columna

Es aquella que posee una sola columna.

  • Matriz nula

Es aquella en la que todos los elementos que la componen son ceros.

  • Matriz triangular superior

Es la matriz en la que todos los elementos ubicados por debajo de la diagonal principal son iguales a cero.

  • Matriz triangular inferior

Es la matriz cuyos elementos situados por encima de su diagonal principal son iguales a cero.

  • Matriz diagonal

Es aquella matriz en la que todos los elementos situados por encima y por debajo de su diagonal principal son iguales a cero.

  • Matriz escalar

Es una matriz diagonal en la que los elementos que forman su diagonal principal son iguales.

  • Matriz identidad o matriz unidad

Es aquella matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a uno.

  • Matriz transpuesta

Matriz que se obtiene al cambiar de forma ordenada las filas por las columnas. Se denota con la letra t como subíndice del nombre de la matriz original.

 

Las matrices pueden incluir números, fracciones, radicales y otros números del conjunto de los reales.
Propiedades de la matriz transpuesta

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α.A)t = α.At

(A.B)t = Bt.At

Las matrices transpuestas se emplean para realizar otros cálculos con matrices como por ejemplo, los determinantes.

Matrices en la computación

Sorprendentemente las operaciones matriciales no se limitan al álgebra lineal, sino que es usado en muchas otras áreas como la computación. Esto se debe a que las matrices proporcionan una forma sencilla de representar datos y realizar cálculos numéricos que de otra forma sería complicado resolverlos.

Existen programas informáticos como Matlab que permiten crear sistemas de matrices complejos para ser usados en el campos tan diversos como el de la robótica o el de la computación gráfica.

 

La teoría de matrices se dedica a estudiar las matrices y a los sistemas matriciales.

Ecuaciones y despejes

Saber despejar una ecuación es de suma importancia no sólo para resolver problemas matemáticos, sino también para realizar cálculos en otras asignaturas como Química o Física. Existe una serie de reglas que permiten despejar ecuaciones de forma fácil.

¿Qué es una ecuación?

Es la igualdad establecida que permite determinar alguno de sus elementos respecto a los valores de los demás. En este sentido, una ecuación es una igualdad matemática entre dos miembros o expresiones que se encuentran separados por el signo igual.

La igualdad matemática o equivalencia es la relación entre dos expresiones diferentes que representan una misma cantidad.

Elementos de una ecuación

Existen varios tipos de ecuaciones, desde una simple ecuación lineal de una incógnita hasta ecuaciones con identidades trigonométricas, o incluso con números complejos. Sin embargo, en las ecuaciones se pueden identificar varios elementos básicos. Observa el siguiente ejemplo:

  • Miembro: es la expresión algebraica que se encuentra separada por el signo igual. En el caso del ejemplo, representa el miembro izquierdo y 5 el derecho.

  • Término: cada uno de los sumandos que se encuentran en cada miembro de la igualdad, por ende, están precedidos por los signos más o menos. En el caso del ejemplo podemos observar tres términos.

  • Incógnita: letra o variable que figura en la ecuación y representa los valores desconocidos. Generalmente se usan las últimas letras del alfabeto para denotarlas. En el ejemplo la incógnita es “x”.

  • Grado: en el caso de ecuaciones con una incógnita, el grado de éstas se define como el número de su mayor exponente siempre y cuando no se encuentre ni dentro de un signo radical ni en el denominador. El ejemplo se trata de una ecuación de grado 1, porque el mayor exponente de la incógnita “x” es 1, este tipo de ecuación también se denomina ecuación de primer grado.

Tipos de ecuaciones

Las ecuaciones pueden ser de dos tipos: literales y numéricas. Se denomina ecuación literal aquella en la que por lo menos un elemento conocido se encuentra representado por una letra. Una ecuación numérica en cambio es aquella en la cual sus elementos conocidos son números.

En el caso del ejemplo anterior de ecuación literal, los literales a y b son tratados como constantes para resolver la ecuación.

Solución de una ecuación

El valor o valores de la incógnita de una ecuación que hacen que la igualdad de la misma sea cierta se denominan solución de la ecuación o raíces de la ecuación

Resolver una ecuación es hallar el o los valores que verifican la igualdad de la misma.

Cuando una ecuación tiene solución se denomina compatible, en caso contrario se denomina incompatible.

Las ecuaciones que presentan la misma solución son llamadas ecuaciones equivalentes.

Reglas para resolver ecuaciones

Para resolver ecuaciones se emplean una serie de reglas y operaciones que permiten confinar la incógnita en un lado de la igualdad, es decir, despejarla de otros términos que la acompañan. De esta manera, el valor obtenido al otro lado de la igualdad corresponde a la solución o soluciones de la misma.

  • Regla de la suma

Esta regla explica que al sumar la misma expresión algebraica a ambos lados de la igualdad se obtiene una ecuación equivalente y por ende el mismo resultado. Por ejemplo:

Se puede sumar 3 en ambos miembros de la ecuación:

Al resolver se obtiene:

A partir de ese principio, la regla de la suma también se denomina regla de transposición de términos debido a que, para cambiar un término a otro miembro, se tiene que cambiar su signo.

Por ejemplo:

Para despejar la “x” lo único que se debe hacer es pasar los números 3 y -4 con signo contrario al otro lado de la igualdad.

Al resolver se obtiene:

  • Regla del producto

Establece que al multiplicar o dividir por un mismo número en ambos miembros de la ecuación el resultado es una ecuación equivalente de la primera. Por ejemplo:

Si se dividen ambos miembros por 4, se obtiene:

Al resolver:

Por medio de esta regla se deduce que los elementos que multiplican pasan al otro lado a dividir y los elementos que dividen pasan al otro lado a multiplicar.

Por ejemplo:

Para despejar la “x”, el 3 que la multiplica pasa al otro lado a dividir:

Al resolver se obtiene:

A través de las dos reglas anteriormente estudiadas se puede resolver la primera ecuación de este artículo:

Por medio de la regla de transposición se puede pasar el 3 al otro lado de la igualdad.

El 2 que multiplica a la “x” pasa al otro lado a dividir.

Al resolver se obtiene:


Pasos para resolver ecuaciones de primer grado

  1. Quitar los paréntesis en caso de que existieran (a través de la propiedad distributiva u otras operaciones).
  2. Quitar los denominadores en caso de que existieran.
  3. Ubicar los términos que tienen incógnitas en un miembro y los que no tienen incógnita en otro.
  4. Sumar los términos semejantes.
  5. Despejar la incógnita a través de la regla del producto.
  6. Simplificar el resultado obtenido en caso de que sea una fracción.

Ejemplo:

  1. Se eliminan los paréntesis, para lograrlo se aplica la propiedad distributiva. Es decir, se multiplica el 5 por cada uno de los elementos que están en paréntesis.

  1. Se quita el denominador de la fracción, para lograrlo el 2 pasa a multiplicar a todos los términos que se encuentran al otro lado de la igualdad. Se colocan paréntesis para indicar que el 2 pasó a multiplicar a todos los términos del miembro derecho.

Se eliminan los paréntesis a través de la propiedad distributiva:

  1. Se ubican los miembros que tienen incógnitas en un mismo miembro y los que no tienen incógnitas en otro. Para lograrlo se aplica la regla de la suma o de transposición.

  1. Se suman los términos semejantes.

Recuerda que no se pueden sumar términos con incógnitas diferentes o con constantes (números sin incógnitas).

  1. Se despeja la incógnita, para lograrlo se aplica la regla del producto por medio de la cual el 3 que multiplica pasa a dividir al otro miembro de la ecuación.

  1. Se simplifica el resultado, en este caso se trata de una fracción que se puede resolver, si fuera una fracción irreducible, el resultado sería dicha fracción.

Otros casos

De la misma forma como se explicó al inicio de este artículo, es importante tener presente que hay diferentes tipos de ecuaciones, que involucran términos particulares con radicales, funciones trigonométricas, logaritmos, etc. En este artículo solamente se abordó la resolución de ecuaciones de primer grado debido a lo extenso del contenido. Es importante que el estudiante tenga presente que cada ecuación tiene sus características propias y diversas formas de llegar a la solución.

Las reglas mostradas también son usadas para despejar fórmulas, que son expresiones de una ley o principio general que se expresa por símbolos y letras.

 Ejercicios de potenciación

La potenciación es muy útil para resolver diversos tipos de problemas, como en la descomposición de números en sus factores primos o en el empleo de la notación científica. Sin embargo, en estos y muchos otros casos en donde es aplicada la potenciación, se cumplen algunas propiedades que es indispensable conocerlas.

Elementos de una potencia

Una potencia es una expresión con la forma an, donde a es la base y n es su índice o exponente. La definición de una potencia varía en función al conjunto numérico al cual pertenece el exponente. Sus elementos principales son:

Base: es el número que se debe multiplicar por sí mismo.

Exponente: número que indica las veces que se debe multiplicar la base por sí misma, también se denomina índice.

Potencia: es el resultado de la potenciación.

 

Las potencias pueden aplicarse tanto en números reales como en números complejos.
¿Cómo leer una potencia?

Para leer una potencia, primero se lee el valor de su base y luego su exponente. Por ejemplo, 42 se lee como “cuatro elevado al cuadrado”, se usa la expresión cuadrado para expresar que el exponente es el número 2. En el caso de que el exponente sea el número 3 se usa la expresión cubo, de esta forma, 73 se leería “siete elevado al cubo”. Para los demás exponentes se emplean los números ordinales: “siete elevado a la quinta”, “nueve elevado a la sexta”, etc.

 

Cuando el exponente de la potencia es 1, simplemente se coloca la base sin exponente porque cualquier número multiplicado por uno da el mismo número.

Repaso de las propiedades

Las propiedades de la potenciación o de las potencias permiten resolver ejercicios que involucran potencias.

Propiedades de la potencia
1 Potencia de exponente 0 a^{0}=1
2 Potencia de exponente 1 a^{1}=a
3 Potencia con exponente negativo a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}
4 Multiplicación de potencias de igual base a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}
5 División de potencias de igual base \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}
6 Potencia de una potencia \left ( a^{m} \right )^{n}=a^{m\times n}
7 Potencia de un producto \left ( a\times b \right )^{n}= a^{n}\times b^{n}
8 Potencia de una división \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}
Las potencias de base 10 son usadas para expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas en un sistema denominado notación científica.

Propiedades que no se cumplen en la potenciación

  • Propiedad distributiva

Aunque se cumple para la multiplicación y la división, como se pueden observar en las propiedades 7 y 8 de la tabla anterior, la propiedad distributiva no se cumple con respecto a la adición y a la sustracción.

{\color{Red} \left ( a+b \right )^{n}\neq a^{n}+b^{n}}

{\color{Red} \left ( a-b \right )^{n}\neq a^{n}-b^{n}}

  • Propiedad asociativa

No se cumple en la potenciación.

{\color{Red} \left ( a^{m} \right )^{n}\neq a^{(m^{n})}}

  • Propiedad conmutativa

Solo se cumple cuando la base y el exponente tienen el mismo valor numérico (como 55, 77, 44, etc.). Generalmente se cumple que:

{\color{Red} a^{n}\neq n^{a}}

 

No existe una solución para la expresión 00, en este caso se trata de una indeterminación.

Aplicación de las propiedades

  • Aplica las propiedades de la potenciación para resolver los siguientes ejercicios:

a) \mathbf{\frac{5^{7}}{5^{3}}-\left ( 3^{2} \right )^{2}}

 

Primero empleamos la propiedad 5 para la división:

{\color{Blue} \frac{5^{7}}{5^{3}}}-\left ( 3^{2} \right )^{2}={\color{Blue} 5^{7-3}}-\left ( 3^{2} \right )^{2}={\color{Blue} 5^{4}}-\left ( 3^{2} \right )^{2}

Luego aplicamos la propiedad 6 para la segunda parte del ejercicio:

5^{4}-\left ( {\color{DarkGreen} 3^{2}} \right )^{{\color{DarkGreen} 2}}=5^{4}-{\color{DarkGreen} 3^{2\times 2}}=5^{4}-{\color{DarkGreen} 3^{4}}

Resolvemos ambas potencias:

5^{4}=5\times 5\times 5\times 5=\mathbf{625}

3^{4}=3\times 3\times 3\times 3=\mathbf{81}

Finalmente sustituimos los valores:

5^{4}-3^{4}=625-81=\mathbf{544}

Solución:

\frac{5^{7}}{5^{3}}-\left ( 3^{2} \right )^{2}= \mathbf{544}

 

b) \mathbf{\frac{5^{2}\times 2^{3}\times 6^{0}}{2^{2}\times 5}}

Por la propiedad 1 sabemos que 60 = 1, así que, al ser multiplicaciones, su valor no afectará el resultado. La expresión queda de la siguiente forma:

\frac{5^{2}\times 2^{3}\times 6^{0}}{2^{2}\times 5}=\frac{5^{2}\times 2^{3}}{2^{2}\times5}

Luego calculamos las potencias:

5^{2}=5\times 5=\mathbf{25}

2^{3}=2\times 2\times 2=\mathbf{8}

2^{2}=2\times 2=\mathbf{4}

Sustituimos los resultados de las potencias:

\frac{5^{2}\times 2^{3}}{2^{2}\times5}=\frac{25\times 8}{4\times 5}=\frac{200}{20}=\mathbf{10}

Solución:

\frac{5^{2}\times 2^{3}\times 6^{0}}{2^{2}\times 5}=\mathbf{10}

 

c) \mathbf{2^{3}-7^{2}+\frac{3^{6}}{3^{4}}}

Aplicamos la propiedad 5 en la división:

2^{3}-7^{2}+{\color{Blue} \frac{3^{6}}{3^{4}}}=2^{3}-7^{2}+{\color{Blue} 3^{6-4}}=2^{3}-7^{2}+{\color{Blue} 3^{2}}

Resolvemos las potencias:

2^{3}=2\times 2\times 2=\mathbf{8}

7^{2}=7\times 7=\mathbf{49}

3^{2}=3\times 3=\mathbf{9}

 

Sustituimos los resultados en las potencias y resolvemos:

2^{3}-7^{2}+3^{2}=8-49+9=\mathbf{-32}

Solución:

2^{3}-7^{2}+\frac{3^{6}}{3^{4}}=\mathbf{-32}

d) \mathbf{\frac{2^{7}\times 3^{7}}{6^{4}}}

En este problema se pueden resolver las potencias por separado y luego sustituir, pero existe una manera más sencilla de llegar al resultado a través de las propiedades de la potenciación. Lo primero que se debe hacer es aplicar la propiedad 7 en el numerador. De este modo, la expresión queda de la siguiente forma:

\frac{2^{7}\times 3^{7}}{6^{4}}=\frac{\left ( 2\times 3 \right )^{7}}{6^{4}}

Resolvemos el producto para originar una fracción con potencias de igual base:

\frac{\left ( 2\times 3 \right )^{7}}{6^{4}}=\frac{6^{7}}{6^{4}}

Aplicamos la propiedad 5:

\frac{6^{7}}{6^{4}}=6^{7-4}=6^{3}

Resolvemos:

6^{3}=6\times 6\times6=\mathbf{216}

Solución:

\frac{2^{7}\times 3^{7}}{6^{4}}=\mathbf{216}

 

e) \mathbf{(2)^{2}\times \left ( -2 \right )^{3}}

 

Para empezar, calculamos las potencias:

\left ( 2 \right )^{2}=2\times 2=\mathbf{4}

\left ( -2 \right )^{3}=\left ( -2 \right )\times \left ( -2 \right )\times \left ( -2 \right )=\mathbf{-8}

 

Después sustituimos las potencias en la expresión inicial y resolvemos:

(2)^{2}\times \left ( -2 \right )^{3}=4\times \left ( -8 \right )=\mathbf{-32}

Solución:

(2)^{2}\times \left ( -2 \right )^{3}=\mathbf{-32}
En las potencias con base negativa se debe aplicar la regla de los signos.

Aplicación en expresiones algebraicas

Además de lo útiles que son las propiedades de la potenciación para resolver problemas numéricos, también pueden emplearse en expresiones algebraicas complejas con la finalidad de hacerlas más sencillas. A continuación se muestran algunos ejemplos.

  • Reduce a la única potencia:

a) \mathbf{\frac{\left ( a^{2} \right )^{3}}{a}}

Aplicamos la propiedad 6 en el numerador:

\frac{\left ( a^{2} \right )^{3}}{a}=\frac{a^{6}}{a}

Como se obtuvo una división de potencias de igual base, empleamos la propiedad 5:

\frac{a^{6}}{a}=a^{6-1}=a^{5}

Solución:

\frac{\left ( a^{2} \right )^{3}}{a}=\mathbf{a^{5}}

 

b) \mathbf{\left ( \frac{m^{5}}{m^{3}} \right )^{2}}

Al aplicar la propiedad 5 en la fracción se obtiene que:

\left ( \frac{m^{5}}{m^{3}} \right )^{2}=\left ( m^{5-3} \right )^{2}=\left ( m^{2} \right )^{2}

Por medio de la propiedad 6 se obtiene la siguiente expresión:

\left ( m^{2} \right )^{2}=m^{2\times 2}=\mathbf{m^{4}}

Solución:

\left ( \frac{m^{5}}{m^{3}} \right )^{2}=\mathbf{m^{4}}
Existe la potenciación con exponentes racionales que se denotan en forma de fracción.

Aplicaciones de la función lineal

Las funciones matemáticas pueden tener variadas aplicaciones: en economía, ciencias, problemas cotidianos, entre otros. La función lineal en particular se utiliza cuando intervienen dos magnitudes cuya proporcionalidad es directa.

Las funciones lineales se representan mediante una recta.

Las funciones lineales también son denominadas funciones de proporcionalidad directa, se representan gráficamente mediante rectas que permiten observar la relación entre una variable y la otra.

Proporcionalidad directa

Para identificar si dos magnitudes son directamente proporcionales se deben tener en cuenta dos condiciones:

  • Si una magnitud aumenta, la otra también lo hace. Asimismo si una magnitud disminuye de igual modo la otra.
  • El cociente entre las dos magnitudes es siempre el mismo y se denomina constante de proporcionalidad (m).

Ejemplo:

En una fotocopiadora el precio por cada fotocopia es de 0,50 centavos. ¿Cuál es el precio de 16 fotocopias?

Veamos que se cumplan las dos condiciones antedichas:

  • A más fotocopias, más dinero se deberá abonar.

Para calcular el dinero a abonar por 16 fotocopias, se puede utilizar la siguiente proporción:

De donde se obtiene:

Por lo tanto, 16 fotocopias costarán $8.

Cumpliéndose que a más fotocopias, más dinero a pagar.

  • El cociente de ambas razones es el mismo.

La constante de proporcionalidad es igual a 2, m=2.[NG1]

Función lineal

Una función lineal, es una expresión matemática definida por una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes x e y. Se puede expresar mediante la expresión:

El valor de y dependerá del que le demos a x, m es la constante. Ejemplo:

Por ello a x se la denomina variable independiente y a y variable dependiente.

Con los resultados se obtienen puntos que pueden ser representados en un eje cartesiano:

Gráfica:

Con dos puntos pertenecientes a la función lineal puede obtenerse la gráfica de la recta.

Ecuación explícita de la recta

En el ejemplo anterior, la recta pasa por el punto (0; 0) que es la intersección de los dos ejes: el eje horizontal x (eje de las abscisas) y el eje vertical y (eje de las ordenadas).

Para expresar cualquier tipo de recta, que pase o no por el origen, se utiliza la ecuación explícita de la recta:

y: variable dependiente.

x: variable independiente.

m: pendiente.

b: ordenada al origen.

En dicha ecuación, b, indica por donde corta al eje y la función:

La recta corta al eje y en 1, porque b=1.

EJERCICIO DE APLICACIÓN

Si la bajada de bandera de un taxi es de $10 y cada kilómetro (km) recorrido cuesta $3. ¿Cuánto se abonará por viajar una distancia de 5 km en taxi?

Datos:

b= 10 b es el valor fijo.

m=3 el valor que acompaña a la variable independiente x es la pendiente.

El taxímetro es un dispositivo que calcula automáticamente el resultado de una función lineal que permite conocer el costo de un viaje en taxi.

Por lo tanto, y =3x + 10 es la función lineal que se aplica al problema planteado. x: kilómetros recorridos.

x = kilómetros recorridos.

y = precio a pagar.

Como se desea viajar 5 km:

x = 5 km

Reemplazando en la fórmula obtenemos:

Rta.: Se abonarán $25 por un viaje de 5 km de distancia.

Del mismo modo se podrán realizar cálculos para distintas distancias, abonando más dinero a mayor distancia recorrida y menos si el viaje ser realiza en menor cantidad de kilómetros.

¿Sabías qué...?
La función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, el mayor exponente de las x es 1.

La función puede graficarse, teniendo en cuenta en este caso que no podemos tener valores negativos de x, porque desde que nos subimos al taxi se debe abonar un mínimo, denominado comúnmente bajada de bandera.

Esta es una de las tantas aplicaciones posibles para una función lineal. Es importante aprender esta función para comprender todas las demás.

Sistema de numeración decimal

Un sistema de numeración consiste, esencialmente, en un procedimiento para nombrar o representar la serie ordenada de los números naturales mediante el empleo de un repertorio limitado de palabras o signos.

El sistema de numeración decimal es el sistema adoptado universalmente y consta de diez símbolos que son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

El sistema de numeración decimal es el más utilizado universalmente.

Con ellos se representan todos los números. Al llegar al número diez, como no se dispone de ninguna cifra para representarlo, construimos su signo combinando dos cifras correspondientes a otros dos números y escribimos 10 (1 y 0). La cifra 1 colocada en esta posición significa decena (1 decena). La cifra 8 en esta posición y seguida de cero (80), significaría 8 decenas.

Utilizando dos cifras podemos representar hasta el número 99 (9 decenas y 9 unidades). Para el siguiente a 99 utilizamos ya tres cifras: 100. El 1 colocado en esta posición significa una centena.

Este sistema de numeración, en que cada diez unidades de un orden forman una del orden superior, es el comúnmente llamado sistema decimal.

El sistema de numeración decimal se llama así porque tiene al número diez como base. Ello significa que, en este sistema, toda cantidad se expresa como suma de múltiplos de las potencias sucesivas de diez (o sea, los productos de la forma 10 · 10 · … · 10).

El diez es la base del sistema de numeración decimal.

Origen

La actual representación decimal de los números encuentra su origen en la India, aunque se introdujo en Europa a través de textos árabes. El primer texto europeo que las contiene (aunque no en el estado actual y, además, sin el 0) es el Codex Vigilanus, en honor a su autor el monje Vigila, que lo redactó en el año 976, en Albelda (Logroño, España).

Numeración romana

Al utilizar los números naturales para contar los elementos de un conjunto finito, se procede a enumerar dichos elementos; ello significa considerarlos de una manera ordenada, seleccionándolos uno tras otro a la vez que se les atribuye a cada uno un número (que mide la cantidad de los que se han contado hasta ese momento). Los números naturales sirven, fundamentalmente, para contar y ordenar; y un sistema de numeración consiste, esencialmente, en un procedimiento para nombrar o representar la serie ordenada de los números naturales mediante el empleo de un repertorio limitado de palabras o signos. Uno de los sistemas de numeración más conocidos es la numeración romana.

Numeración romana

Tiene siete símbolos representados por siete letras del abecedario latino:

La utilización de la numeración romana está dotada de algunas reglas que es necesario recordar para poder formar números:

  • Los símbolos V, L, D no se anteponen ni se repiten.
  • Los símbolos I, X, C, M se pueden escribir hasta tres veces seguidas y sus valores se suman.
  • El símbolo:
  • I se antepone únicamente a V y X.
  • X se antepone únicamente a L y C.
  • C se antepone únicamente a D y M.

4) Cualquier símbolo, escrito a la izquierda de otro de mayor valor, resta valor al de éste: IV, cuatro; XC, noventa.

5) Cualquier símbolo escrito a la derecha de otro mayor o igual, suma su valor al de éste: VI, seis; XX, veinte.

6) Un trazo horizontal sobre los símbolos multiplica por 1.000 el valor de todos ellos.

 

Los números romanos se siguen utilizando en la actualidad en algunos casos, como es el de los relojes de aguja o para referirnos a algún siglo.

Algunos ejemplos

Algunos datos:

Los romanos a menudo escribían IIII (4) y no IV. Esto se observa también hoy en algunos relojes.

La numeración romana se utilizó en la teneduría de libros de los países europeos hasta el siglo XVIII.

Sumar con tres sumandos

En tercer grado aprendemos a sumar con tres sumandos, es muy fácil, hay que seguir los pasos. No te olvides de ninguno y te convertirás en un experto.

Para resolver sumas con más de dos cifras debemos escribir las unidades, las decenas y las centenas, una debajo de la otra. Esto es porque las unidades se suman con las unidades, las decenas con las decenas y así sucesivamente. Entonces:

En este caso, el 3, el 4 y el 8 son las unidades; los números 5, 2 y 6 de la columna del medio pertenecen a las decenas y por último, el 2, el 1 y el 3 corresponden a las centenas. Comenzamos sumando las unidades:

El 1 que está arriba del 5 es el número que me llevo de sumar

Luego las decenas:

Aquí nuevamente tenemos que llevarnos 1, dada la suma

Por último, sumamos las centenas:

Por lo tanto, la suma de 1+2+1+3=7

En conclusión, cada vez que hay que sumar tres o más sumandos, se deben tener en cuenta los pasos que se hiceron anteriormente.

Sistemas de numeración

El ser humano ha tenido la necesidad de contar aún antes del comienzo de la Antigüedad. En el transcurso de la historia pueden observarse diversos sistemas de numeración, que se adaptan a la cultura en la cual están inmersos y que sientan las bases de lo que hoy conocemos como aritmética.

Los pueblos primitivos tenían la noción del significado de uno, dos y muchos, clasificando en estas tres categorías diversas cantidades, como podían ser animales, personas, frutos, etc.

Luego, utilizando los dedos de las manos o realizando marcas sobre superficies pudieron representar cantidades. El hecho de contar se fue especializando cada vez más, sobre todo cuando el hombre comenzó a llevar una vida sedentaria, teniendo la necesidad de intercambiar productos.

La historia comienza con la escritura, que permite apreciar los distintos sistemas de numeración utilizados a través del tiempo.

Los babilonios y sus códigos numéricos

Símbolos numéricos babilónicos, del uno al diez.

Hacía el año 2000 a. C., los babilonios grababan inscripciones en tablillas de arcilla. Dichas tablillas fueron utilizadas no solamente por ellos, sino también por sumerios, caldeos, hititas, asirios y algunos otros pueblos contemporáneos.

Los números en Egipto (3000 a. C.)

Su sistema de numeración era decimal, utilizaban jeroglíficos y no representaban el cero. Realizaban un procedimiento de adición para escribir los números “más grandes”.

Cada símbolo tenía un solo valor, por lo que no importaba el orden de escritura.

Sistema de numeración chino

La cultura china, legó su sistema de numeración a los japoneses. Estos símbolos se utilizan desde el año 1500 a. C. y es fundamental respetar el orden de escritura para evitar confusiones. Puede escribirse de izquierda a derecha o de arriba abajo.

El sistema de numeración chino es posicional, decimal y cuenta con un principio multiplicativo.

El ábaco chino permite realizar algunos cálculos aritméticos fundamentales.

El sistema de numeración griego

En el 600 a. C. los griegos escribían de diversas formas los números. Inicialmente su sistema derivó de los símbolos romanos, y se denominó acrofónico.

También utilizó otros métodos, uno de ellos consistía en escribir la letra inicial del nombre de cada número. Otra forma de expresar cantidades era representando los números con las letras del alfabeto griego.

En el sistema griego se conjuga el principio aditivo con el multiplicativo.

Sistema de numeración romana

Consta de siete símbolos, que se representan por las siete letras del abecedario latino:

I: uno

V: cinco

X: diez

L: cincuenta

C: cien

D: quinientos

M: mil

Este sistema de numeración aún se emplea, por ejemplo, para numerar tomos de libros, en algunos relojes, entre otros usos.

REGLAS PARA FORMAR NÚMEROS ROMANOS:

  • Los símbolos V. L, D no se pueden anteponer ni repetir.
  • Los símbolos I, X, C, M se pueden escribir como máximo tres veces seguidas y sus valores se suman.
  • I se antepone solamente a V y a X.
  • X se antepone únicamente a L y a C.
  • C se antepone únicamente a D y M.
  • Cualquier símbolo que esté escrito a izquierda de otro, se debe restar al valor de ese. Ej.: IV 5-1=4
  • Cualquier símbolo a la derecha de otro se suma a ese. Ej.: VII 5+2=7
  • Un trazo horizontal sobre los símbolos significa multiplicación por 1.000. Ej.: \fn_jvn \small \overline{XX} es 20.000
Actualmente algunos relojes siguen utilizando numeración romana.

Numeración arábiga

También denominado sistema decimal, es atribuido a los árabes, consta de diez símbolos con los que se pueden representar todos los números. Los números arábigos son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Cada diez unidades se obtiene otra de un orden superior, es un sistema posicional, en el cual importa la ubicación de cada dígito.

Cuadro comparativo entre algunos sistemas de numeración

SISTEMAS
BABILÓNICO EGIPCIO ROMANO ARÁBIGO
Tipo de sistema Posicional. No posicional. No posicional. Posicional.
Cantidad de símbolos 2 7 7 10
Lectura de números De izquierda a derecha. De acuerdo al valor. De izquierda a derecha. De izquierda a derecha.
Uso del cero No No No Sí
Sus símbolos se multiplican Sí Sí No Sí

Actualmente también se conocen otros sistemas como el binario, ternario, cuaternario, quinario, etc.

Números negativos

Los números negativos surgen por la necesidad de poder representar simbólicamente deudas, pérdidas, entre otras cantidades que no podían ser expresadas por los números positivos. Conozcamos más acerca de ellos.

Los números positivos, en particular los naturales, sirven fundamentalmente para contar, ordenar y medir. Los negativos se utilizan para designar posiciones, indicar temperaturas, saldos negativos, etc.

En la recta numérica puede ubicarse cualquier número real.

¿Cuándo surgen?

Los símbolos matemáticos y formas de resolver cálculos fueron modificándose en el tiempo para responder a los requerimientos de las distintas sociedades.

En la antigüedad, el hombre sólo necesitaba contar. Por ejemplo, al cazar en grupo debía poder indicarle a sus compañeros cuántos animales veían, si observaba uno o varios.

Con el transcurso de los años, el hombre comenzó a comerciar y así tuvo la necesidad de llevar un registro de las mercancías involucradas en los intercambios o de las reservas que poseía.

El desarrollo de las actividades comerciales produjo la necesidad de incorporar un registro de cantidades, para el cual se utilizaron distintos símbolos de acuerdo a la época y región.

Hasta ese momento no eran necesarias las cantidades negativas, lo que se puede apreciar en los primeros sistemas de numeración como el egipcio, romano y griego.

Cuando los hindúes y los mayas (en dos lugares del mundo muy alejados y por lo tanto sin comunicación entre ellos) comenzaron a utilizar al cero, se abrió el camino para la aparición de los números negativos.

Los números que son menores al cero son negativos.

Los chinos y los hindúes tenían nociones acerca de números negativos, pero fueron los últimos quienes comenzaron a representarlos en forma de símbolos para un uso corriente: el comercio.

Los números negativos no fueron aceptados definitivamente hasta el siglo XVIII, hasta entontes los denominaban “deudos”, “absurdos” o “falsos”.

Identificando números

El número cero indica el origen de un sistema de referencia, es decir, es el valor central entre todos los números. Si nos ubicamos en el cero, podemos saber qué números son mayores o menores a él. Lo que nos permite, por ejemplo, darnos relacionar distintas cantidades.

Temperaturas

Seguramente alguna vez habrás oído la expresión “La temperatura es de 4 grados bajo cero”.

Dicha frase indica que existen cuatro unidades por debajo del cero, lo que se representa numéricamente como -4 ºC.

Así como tenemos temperaturas positivas, existen las negativas.

Existen distintas escalas de temperatura, entre ellas la Celsius (ºC) y la Fahrenheit (ºF).

Posición

La posición de un objeto puede expresarse mediante números positivos, negativos o el cero. Si tomamos al suelo como el punto cero, todos los puntos debajo del piso tendrán valores negativos. Por ejemplo, si realizamos un pozo de 4 metros de profundidad y descendemos al fondo, estaremos parados en -4 metros.

Tomando un punto como cero, los números ubicados hacia un lado son negativos y hacia el otro, positivos.

Saldos negativos

Describir saldos negativos es posible gracias a los números negativos. Cuando queremos comprar un objeto solemos calcular mentalmente la diferencia entre el dinero que tenemos y el valor del objeto. Veamos un problema:

Tengo ahorrados $150 y deseo comprar un libro que cuesta $210. ¿Me alcanza el dinero? ¿Cuánto me falta?

Realizamos el siguiente análisis.

Ahorros ( + ) Precio del libro ( – )
150 210

El número 210 es mayor que el 150, por ello no alcanzará el dinero ahorrado para comprarlo.

Para averiguar cuánto me falta hay varias formas de resolver:

Pienso, ¿qué número sumado a 150 da como resultado 210? Ese número es 60.

150 +60 =210

Por lo tanto, me faltarían $60.

Otra forma es trabajando con los números negativos:

+150 -210= -60

No es necesario colocar el signo + delante de un número positivo, por lo tanto podría escribirse como:

150-210 = – 60

¿Por qué se coloca un menos delante del número 60?

Porque el valor absoluto del número -210 es mayor al valor absoluto de 150.

Valores absolutos:

|-210|=210 mayor valor absoluto

|150|=150 menor valor absoluto

El signo que debe colocarse en el resultado final es el que corresponde al número con mayor valor absoluto.

Un caso contrario:

-110+320= 210

Aquí el resultado es positivo, porque el valor absoluto de |+320| es mayor al de |-110|.

|+320|=320 mayor valor absoluto

|-110|=110 menor valor absoluto

Simetrías

Podemos ver figuras simétricas en cualquier sitio, simplemente prestando atención, una mariposa, un rostro humano o ciertos objetos pueden presentar esta cualidad. Para que la matemática considere a una figura simétrica, la misma tiene que cumplir ciertas condiciones, a continuación conocerás cuáles son.

Para comprender el concepto de simetría, veamos unas imágenes:

IMAGEN ASIMÉTRICA                                                  IMAGEN SIMÉTRICA

 

 

 

 

 

 

 

En la imagen de la izquierda, podemos observar que al trazar una línea por el punto medio de la fotografía, no se observan los mismos elementos de un lado y del otro. En la imagen ubicada en la parte derecha, se visualiza que al trazar una línea que corta a la imagen en dos tamaños iguales, existe una semejanza entre ambas partes.

Una forma sencilla de identificar simetrías es imaginar que se dobla la figura sobre una línea y se superponen las mitades, si todos sus puntos y trazos quedan ubicados en la misma posición, a modo de espejo, estamos en presencia de una simetría.

De esta manera se comienza a comprender el concepto de simetría. Pero como ya hemos anticipado, las matemáticas requieren un poco más de rigurosidad para determinar que una figura cumple con dicha condición.

Definición de simetría

Es la ubicación de dos o más elementos o figuras geométricas que se relacionan con un punto recta o plano, de acuerdo a reglas establecidas.

Hay dos tipos fundamentales de simetría en geometría: axial y central.

Axial: Se produce con respecto a un eje. El eje de simetría es la línea que trazamos para comparar ambas partes de una figura.

Cada punto tiene la misma distancia con respecto al eje de simetría. A’ es el reflejo de A, al igual que B’ el de B y C’ con C también conservan una relación. Si tomamos la medida, perpendicularmente, entre cada punto y su reflejo, veremos que coinciden.

Central: Corresponde a la simetría con respecto a un punto. En este caso, todos los puntos de la figura mantienen la misma distancia con respecto a uno dado.

Eje de simetría:

Es la línea que colocamos sobre la figura y que la divide en dos partes, cumpliendo la condición de que todos los puntos opuestos tienen la misma distancia entre ellos, es decir, son equidistantes.

Tanto la simetría axial como la central poseen eje de simetría y puede haber más de uno en la misma figura, veamos el siguiente ejemplo:

El cuadrado, al igual que otras figuras geométricas puede presentar varios ejes de simetría que dividen a la figura en dos partes semejantes.

Las simetrías no existen únicamente en el campo de la matemática, como ya vimos, hay muchas de ellas en la naturaleza, pero también en otras áreas como:

  • Física.
  • Química.
  • Música.
  • Biología.

En la física, se evidencian en varias leyes, producto del análisis matemático, siendo desarrollos de elevada complejidad.

En cuanto a la química, muchas moléculas presentan simetría, que puede ser establecida empíricamente (experimentalmente) o utilizando el álgebra abstracta por ejemplo.

Con respecto al dibujo, las simetrías pueden incluir a las de traslación, rotación, abatimiento, ampliación o bilateral, entre otras.

La música y la matemática tienen un fuerte vínculo desde sus orígenes, siendo la simetría una de las características destacadas en la estructura musical. Los giros de media vuelta, la traslación y la simetría bilateral pueden apreciarse en obras de varios compositores, como el destacado Johann Sebastian Bach.

Por último, en la ciencia que nos explica todo acerca de los seres vivos, la biología, se hallan asombrosas simetrías, pudiéndose clasificar en dos grandes grupos: bilaterales y radiales.

Los mamíferos poseen simetría bilateral.

El ser humano, como muchos animales, tiene un eje determinado que permite la formación de un sistema nervioso central. En cambio otros seres vivos, como las estrellas de mar o los girasoles, poseen una simetría radial, con un eje denominado heteropolar.