¿Te has preguntado qué números utilizarías para representar temperaturas por debajo de 0 ºC? o ¿qué números utilizarías para indicar la altura del monte Everest? Para describir estas situaciones usamos los números enteros, un conjunto numérico que abarca desde los números negativos hasta los positivos.
Muchas situaciones de la vida cotidiana requieren el uso de los números enteros. Un ejemplo de ello es la economía a nivel mundial, la cual necesita de estos para poder registrar las entradas y salidas de dinero (las entradas serán enteros positivos y las salidas enteros negativos). Esto es con el fin de poder contabilizar las ganancias o las pérdidas.
¿QUÉ SON los NÚMEROS ENTEROS?
Los números enteros abarcan todos los números naturales , así como también el cero y los números negativos o menores que cero. Matemáticamente, el conjunto de números enteros es representado con la letra y se expresa de la siguiente manera:
Estos números continúan hasta infinito, tanto del lado de los positivos como del lado de los negativos.
Por lo general, los números enteros positivos no requieren el uso del signo más (+) para resaltarlos, caso contrario ocurre con los enteros negativos , que sí requieren el uso obligatorio del signo menos (−) para diferenciarlos.
Por ejemplo:
Los siguientes números enteros positivos: +3.674 y +5.876.541 se pueden escribir de dos formas:
Con el signo positivo antes del número: +3.674 y +5.876.541.
Sin el signo positivo antes del número: 3.674 y 5.876.541.
Por otra parte, los números enteros negativos−614 y−9.780 requieren el uso obligatorio del signo menos (−) antes de ellos. No colocar el signo negativo antes del número lo convierte en un número positivo.
LA RECTA NUMÉRICA
También es conocida como la recta real y se representa con una línea recta. Esta contiene todos los números reales .
¿Cómo dibujar una recta numérica?
Traza una línea de forma horizontal con flechas en ambos extremos como la siguiente:
Divide la línea en segmentos iguales con la misma distancia entre ellos:
Coloca el número cero (0) en el centro de la recta:Comienza a colocar los números en cada intervalo: del lado derecho del cero van los enteros positivos y del lado izquierdo van los enteros negativos.
Ubicación de los números en la recta numérica
La recta numérica puede contener:
Enteros positivos y negativos como: −17 y +11.
Números decimales o en forma de fracción como: −8/5 que es igual a −1,6 y 4/5 que es igual a 0,8.
¿Sabías qué?
La línea recta fue introducida por John Wallis, un matemático Inglés que alrededor del año 1670 la empleó para representar de modo gráfico los números naturales.
¡A practicar!
Ubica estos número en la recta numérica:
+150
Solución
−180
Solución
+19
Solución
3/2
Solución
−0,5
Solución
APLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros son utilizados en muchas situaciones de nuestra vida, algunos ejemplos son los siguientes:
Para indicar la altitud o altura sobre el nivel del mar.
En todo nuestro planeta existen distintas altitudes, tal son los casos del monte Everest en el Himalaya, el cual posee una altitud de +8.848 msnm y la costa del mar Muerto que se encuentra a unos −417 msnm.
Para indicar los pisos de un edificio.
Al caminar por el centro de la ciudad habrás visto algún edificio, estos están divididos por pisos y cada piso corresponde a un número. El piso que se encuentra en el mismo nivel de la calle es la planta baja, le corresponde el número 0. Los niveles que están arriba de él se indican con enteros positivos y los que se encuentra debajo, llamados subterráneos o sótanos, se señalan con los negativos.
Otras aplicaciones
Para realizar mediciones de temperatura.
¿Has escuchado hablar del Polo Sur y el Polo Norte de nuestro planeta tierra? La temperatura en esos lugares puede variar entre los −89 ºC y los 0ºC. A esos valores, por lo general se les llama temperaturas bajo 0.
Por otra parte, existen lugares como Kuwait con temperaturas que pueden llegar a los +63ºC.
Para contabilizar pérdidas o ganancias.
Las cuentas bancarias realizan registros de entradas de dinero con númerosenteros positivos, y los retiros o pagos con los números enteros negativos.
Por ejemplo:
Una persona recibe 2.000 $ en su cuenta y luego realiza una transferencia de 1.000 $ para pagar una computadora. ¿Cuánto dinero tendrá en la cuenta luego de la transferencia?
Recibe dinero: +2.000 $
Transferencia de dinero: −1.000 $
Total de dinero en la cuenta: +2.000 $ − 1.000 $ = +1.000 $
Entonces, el dinero que la persona tendrá en su cuenta luego de realizar la transferencia será 1.000 $.
Para dibujar ejes de coordenadas o eje cartesiano se emplean los números enteros.
Ejercicios
Juan se encuentra al nivel del mar y quiere escalar una montaña. Decide subir 50 m, luego desciende 25 m para tomar una herramienta que se le cayó. Al agarrar la herramienta decide terminar su escalada y sube 80 m. ¿A qué altura sobre el nivel del mar se encuentra?
Solución
Ubicación de Juan sobre el nivel del mar: 0 m
Juan sube: +50 m
Juan desciende: −25 m
Juan vuelve a subir: +80 m
Altura que escaló juan: 50 m − 25 m + 80 m = 105 m
Juan se encuentra a 105 metros sobre el nivel del mar.
Romina decide comprar un teléfono celular que cuesta 1.850 $, pero en su cuenta bancaria solo tiene 1.100 $. Decide decirle a su papá que le transfiera el dinero que le falta para comprar el teléfono y él le transfiere a su cuenta 1.350 $. ¿Cuánto dinero le quedó a Romina en su cuenta luego de comprar el teléfono?
Solución
Cuenta bancaria de Romina: +1.100 $
Transferencia del papá de Romina: +1.350 $
Compra del teléfono: −1.850 $
Total después de la compra: +1.100 $ + 1.350 $ − 1.850 $ = +600 $
A Romina le quedaron 600 $ en su cuenta luego de comprar el teléfono.
Felipe se encuentra parado en la posición +2 de una recta numérica, decide avanzar +6 posiciones y luego vuelve 11 posiciones atrás. ¿En qué posición quedó Felipe?
Solución
+2 + 6 − 11 = −3
Felipe quedó en la posición −3.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “La recta numérica”
Este artículo ayuda a complementar la información sobre la recta numérica.
Usamos los números en muchas situaciones de la vida cotidiana, pero algunas veces necesitamos descomponerlos para que una operación matemática sea más sencilla. Estas separaciones de números se pueden hacer de diversas formas y por medio de sumas, multiplicaciones o combinaciones de estas.
DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE UN NÚMERO
Saber cómo formar números a partir de otros más pequeños puede resultar muy útil en nuestro día a día. Si, por ejemplo, necesitamos pagar una cuenta de $ 150, podemos pagar con un billete de $ 100 y otro billete de $ 50; también podríamos pagar con tres billetes de $ 50. Como verás a continuación, esto es una descomposición aditiva.
Un número se puede descomponer en una suma de varios números más pequeños, para ello existen dos formas de realizarlo:
1. Descomposición aditiva por medio de combinaciones básicas
Consiste en descomponer el número a través de una o más sumas que den como resultado el número original. Por ejemplo, el número 589.478,12 se puede descomponer de muchas maneras. Estas son algunas:
2. Descomposición aditiva por medio del valor posicional
Consiste en descomponer el número a través de la suma de los valores posicionales de cada cifra. De este modo, si queremos descomponer el número 54.268,2789, lo primero que debemos hacer es ubicar cada uno de sus valores en la tabla posicional. Observa:
Vemos en la tabla que:
5 ocupa la posición de las decenas de mil → 50.000
4 ocupa la posición de las unidades de mil → 4.000
2 ocupa la posición de las centenas → 200
6 ocupa la posición de las decenas → 60
8 ocupa la posición de las unidades → 8
2 ocupa la posición de las décimas → 0,2
7 ocupa la posición de las centésimas → 0,07
6 ocupa la posición de las milésimas → 0,006
9 ocupa la posición de las diezmilésimas → 0,0009
Ahora solo debes sumar todos los valores posicionales:
Observa que no tomamos en cuenta el dígito cero (0) para la descomposición de números.
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO
La descomposición polinómica se hace al combinar la suma y la multiplicación de potencias de base 10. Para descomponer de forma polinómica el número 452.328.465, los pasos son los siguientes:
1. Haz la descomposición aditiva del número. Puedes apoyarte en una tabla posicional como esta:
2. Convierte cada sumando en la multiplicación de la cifra respectiva por la unidad seguida de cero.
452.328.465 = 4 x 100.000.000 + 5 x 10.000.000 + 2 x 1.000.000 + 3 x 100.000 + 2 x 10.000 + 8 x 1.000 + 4 x 100 + 6 x 10 + 5
3. Transforma las unidades seguidas de cero a potencias de base 10.
452.328.465 = 4 x 108 + 5 x 107 + 2 x 106 + 3 x 105 + 2 x 104 + 8 x 103 + 4 x 102 + 6 x 10 + 5 x 100
Potencia de base 10
Potencia igual a la unidad seguida de tantos ceros como exprese el exponente. Estas potencias son muy usadas para representar números grandes.
102 = 10 x 10 = 100
103 = 10 x 10 x 10 = 1.000
104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000
¿Sabías qué?
Los mayas utilizaban un sistema de numeración posicional de base 20, es decir, las cantidades se agrupaban de 20 en 20. Dichos valores permitían obtener sumas de números grandes.
DESCOMPOSICIÓN MULTIPLICATIVA DE UN NÚMERO
Las matemáticas han permitido que el ser humano resuelva situaciones de una manera más rápida y sencilla. Una de estas facilidades es expresar un número como una multiplicación de sus factores primos.
Un número se puede expresar de otra manera equivalente al utilizar la multiplicación de factores. Esta técnica matemática se realiza con el uso de los números primos.
¿Qué son los números primos?
Un número primo es aquel que solo puede dividirse por sí mismo y por el número uno. Es decir, que posee solo dos divisores. Los primeros 100 números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541.
Ejemplo: el número 60 puede descomponerse en distintas multiplicaciones.
60 = 6 x 10
60 = (2 x 3) x (2 x 5)
60 = 2 x 3 x 2 x 5
Observa que el número 6 se descompone en sus factores primos 2 y 3. Sucede lo mismo con el número 10 que se descompone en dos factores primos: 2 y 5. Otras maneras de descomponer el número 60 son estas:
60 = 4 x 15 = 2 x 2 x 3 x 5
60 = 20 x 3 = 2 x 2 x 5 x 3
Para números más grandes, observa estos ejemplos:
221.269 = 409 x 541
147.413.303 =521 x 523 x 541
1.738.066 = 2 x 11 x 199 x 397
¡A practicar!
1. Escribe la descomposición aditiva por medio del valor posicional de estos números:
Los números pueden parecer muy difíciles si tienen muchas cifras, pero no son tan complicados cuando conoces la posición de los dígitos y el valor relativo de cada uno. Con unos pasos muy sencillos podrás leerlos, ya sea que pertenezcan a nuestro sistema de numeración decimal o al sistema de numeración romano.
Lectura de números naturales
Brasil es un país ubicado en América del Sur. Tiene una superficie total de 8.515.770 km2 y una población estimada de 210.385.000 habitantes. Se trata del segundo país más poblado de todo el continente americano. ¿Puedes leer esos números?,¿cuántos habitantes hay en Brasil?,¿cuál es su superficie? En este artículo, veremos los pasos para saber cómo leerlos.
Los números naturales son aquellos que usas para contar. Inician desde el cero (0) y siguen hasta el infinito. Este conjunto de números fue el primero que se utilizó para calcular y por definición matemática se representan así:
Estos son los que más empleas día a día. Con ellos das la hora, tu fecha de cumpleaños o tu número de identificación. En cualquier caso, la ubicación de cada cifra cumple un valor relativo. Así, en el número 25.651, el 5 se ubica en dos posiciones: en las decenas y en las unidades de mil. El valor relativo de cada cifra es:
Y el número se lee: veinticinco milseiscientos cincuenta y uno.
Las posiciones de cada cifra permiten la correcta lectura de los números, en especial, cuando los números son grandes. Para leer un número natural, lo primero que debes hacer es escribirlo correctamente. Esto se logra por medio de agrupación de dígitos. Para leer el número 123604785219, los pasos son los siguientes:
Coloca un punto cada tres dígitos. Empieza de derecha a izquierda.
Cada punto rojo, de derecha a izquierda, representará la palabra “mil”.
Cada punto azul, de derecha a izquierda, representará en orden ascendente la secuencia: millones, billones, trillones, cuatrillones, quintillones, etc.
Por último, se lee el número de izquierda a derecha: ciento veintitrés mil seiscientos cuatro millones setecientos cincuenta y ocho mil doscientos diecinueve.
¿Cómo se leen estos números?
121.568.265
Solución
Ciento veintiún millones quinientos sesenta y ocho mil doscientos sesenta y cinco.
923.645.687.156
Solución
Novecientos veintitrés mil seiscientos cuarenta y cinco millones seiscientos ochenta y siete mil ciento cincuenta y seis.
216.035.548.665.021
Solución
Doscientos dieciséis billones treinta y cinco mil quinientos cuarenta y ocho millones seiscientos sesenta y cinco mil veintiuno.
¿Sabías qué?
El número de Graham es el número más grande que se ha representado matemáticamente. Su símbolo es la letra G y requirió el uso de símbolos y la notación flecha de Knuth para su representación.
LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES
Los números decimales se componen de una parte entera y una parte decimal que va separada por una coma. Estos números están presentes en nuestro día a día: en nuestro peso, cuando usamos el termómetro o en los precios de los productos.
Las partes de un número decimal están divididas por un separador. Aunque el Sistema Internacional de Unidades (SI) y la ISO aceptan el punto y la coma como separador decimal, la Real Academia Española aclara que la coma es “el signo igual al ortográfico que se emplea para separar la parte entera de la parte decimal en las expresiones numéricas”.
Para el número 325,086 el valor relativo de cada cifra se representa así:
Según el lugar que ocupe el decimal se representará en orden ascendente la secuencia: décima, centésima, milésima, diezmilésima, cienmilésima, milmilésima, etc. Todos estos son valores más pequeños que uno (1). Observa la tabla:
Décimas
Centésimas
Milésimas
La décima parte de la unidad es
La centésima parte de la unidad es
La milésima parte de la unidad es
1 U = 10 d
1 U = 100 c
1 d = 10 c
1 U = 1.000 m
1 d = 100 m
1 c = 10 m
Donde:
U: unidad
d: décimas
c: centésimas
m: milésimas
De centenas a milésimas
Para leer un número decimal debes seguir estos pasos:
Lee la parte entera de izquierda a derecha seguida de la palabra “enteros”.
Lee toda la parte decimal como se lee la parte entera.
Menciona la posición en la que se encuentra la última cifra decimal.
Entonces, la lectura del número 122,96 es: ciento veintidós enterosnoventa y seis centésimas.
Existe otra forma de leer números decimales, los pasos son los siguientes:
Lee la parte entera de izquierda a derecha seguida de la palabra “coma”.
Lee toda la parte decimal como se lee la parte entera.
De este modo, la lectura del número 122,96 también es: ciento veintidós coma noventa y seis.
¿Cómo se leen estos números?
2,364
Solución
Dos enteros trescientos sesenta y cuatro milésimas.
5.879.009,587
Solución
Cinco millones ochocientos setenta y nueve mil nueve enteros quinientos ochenta y siete milésimas.
175.756,2
Solución
Ciento setenta y cinco mil setecientos cincuenta y seis enteros dos décimas.
¿Sabías qué?
El número pi (π) es un número con decimales infinitos y es una de las constantes matemáticas más utilizadas. Relaciona el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro.
LECTURA DE NÚMEROS ROMANOS
La numeración romana tiene siete símbolos representados por siete letras del abecedario latino:
Número romano
I
V
X
L
C
D
M
Número arábigo
1
5
10
50
100
500
1.000
Por ejemplo, el número XVI es igual a 16 porque:
XVI = 10 + 5 + 1 = 16
Si bien los números romanos están en desuso en la actualidad, es posible verlos en relojes, capítulos y tomos de libros, materias en programas académicos, leyes y reformas, sagas de películas, concursos, actos y escenas de obras de teatro, nombres de papas, nombres de reyes, y en lápidas y esculturas conmemorativas.
Para poder realizar la lectura de los números romanos de pocas o muchas cifras necesitas conocer las siguientes reglas:
1. Regla de la suma
Si a la derecha de una número romano tenemos otro de menor valor, entonces las cifras se suman.
CL = 100 + 50 = 150
XXIII = 10 + 10 + 3 = 23
2. Regla de la resta
I solo puede colocarse delante de V y X.
IV = 5 − 1 = 4
IX = 10 − 1 = 9
X solo puede restar a L y C.
XL = 50 − 10 = 40
XC = 100 − 10 = 90
C solo puede restar a D y M.
CD = 500 − 100 = 400
CM = 1.000 − 100 = 900
V, L y D nunca pueden usarse para restar otros números.
3. Regla de la repetición
Podemos repetir I, X, C y M un máximo de tres veces. En cambio, V, L y D no se pueden repetir.
III = 1 + 1 + 1 = 3
MMM = 1.000 + 1.000 + 1.000 = 3.000
4. Regla de la multiplicación
Después de 3.999 el sistema es diferente y se coloca una raya horizontal encima del número romano, esto significa que se ha multiplicado por 1.000. Si se colocan dos rayas, el número será multiplicado por 1.000.000.
Al descomponer un número natural puedes encontrar el equivalente a su número romano. Para ello, solo debes usar los números 1, 5, 10, 50, 100, 500 o 1.000 en la descomposición. Las sumas y restas están permitidas.
Por ejemplo, el número romano equivalente a 279 se encuentra por medio de esta descomposición:
¿Estos números romanos son correctos?
VIIII
Solución
No. El número romano I solo puede repetirse un máximo de tres veces. Si deseas escribir el número 9 en números romanos lo correcto es:
IX = 10 − 1 = 9
VX
Solución
No. El número romano X solo puede restar a L y C. Si deseas escribir el número 15 en número romano lo correcto es:
XV = 10 + 5 = 15
DDD
Solución
No. El número romano D no puede repetirse. Si deseas escribir el número 1.500 en número romanos, lo correcto es:
MD = 1.000 + 500 = 1.500
VALOR POSICIONAL DE CIFRAS
El sistema de numeración decimal es el más usado en el mundo, se caracteriza por:
Estar conformado por 10 cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Ser posicional, es decir, cada cifra tiene un valor de acuerdo a su posición dentro del número.
Mismos números, distintas posiciones
Con tres dígitos, como 8, 3 y 5, se pueden formar varios números, sin embargo, no todos tendrán el mismo valor posicional.
Según la posición que ocupe un dígito en un número su valor será diferente. Por ejemplo, el dígito 3 ocupa distintos puestos en el número 53.412.130.004.322,18, y por lo tanto, cada uno tiene un valor diferente. Observa la tabla de valores posicionales:
En este número, el dígito 3 ocupa tres posiciones:
Unidad de billón, que equivale a 1.000.000.000.000 unidades, entonces:
3 x 1.000.000.000.000 = 3.000.000.000.000
Decena de millón, equivalente a 10.000.000 unidades, entonces:
3 x 10.000.000 = 30.000.000
Centena, que equivale a 100 unidades, entonces:
3 x 100 = 300
Este número se lee: cincuenta y tres billones cuatrocientos doce mil ciento treinta millones cuatro mil trescientos veintidós enteros dieciocho centésimas.
Tabla de equivalencias
1 unidad = 1 unidad
1 decena = 10 unidades
1 centena = 100 unidades
1 unidad de mil (millar) = 1.000 unidades
1 decena de mil (millar) = 10.000 unidades
1 centena de mil (millar) = 100.000 unidades
1 unidad de millón = 1.000.000 unidades
1 decena de millón = 10.000.000 unidades
1 centena de millón = 100.000.000 unidades
1 unidad de millar de millón = 1.000.000.000 unidades
1 decena de millar de millón = 10.000.000.000 unidades
1 centena de millar de millón = 100.000.000.000 unidades
1 unidad de billón = 1.000.000.000.000 unidades
1 decena de billón = 10.000.000.000.000 unidades
1 centena de billón = 100.000.000.000.000 unidades
¿Qué valor posicional tienen los números marcados en rojo?
587.124.687,7956
Solución
Decena.
8.147.561,115
Solución
Unidad de millón.
64.789,185948
Solución
Milésima.
189.547.963.004.279
Solución
Centena de billón.
Ejercicios
1. Lee y escribe en letras los siguientes números:
3465268
Solución
3.465.268 = tres millones cuatrocientos sesenta y cinco mil doscientos sesenta y ocho.
12563,158
Solución
12.563,158 = doce mil quinientos sesenta y tres enteros ciento cincuenta y ocho milésimas.
684812313
Solución
684.812.313 = seiscientos ochenta y cuatro millones ochocientos doce mil trescientos trece.
Solución
Sesenta y cinco mil.
MM
Solución
Dos mil.
165,5346821
Solución
Ciento sesenta y cinco enteros cinco millones trescientos cuarenta y seis mil ochocientos veintiún diezmillonésimas.
Solución
Tres millones cien mil.
Solución
Quinientos once mil.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Números grandes: lectura y escritura”
El siguiente artículo le permitirá ampliar información sobre la lectura y escritura de números grandes.
Comienza a colocar los números en cada intervalo: del lado derecho del cero van los enteros positivos y del lado izquierdo van los enteros negativos.
