CAPÍTULO 6 / TEMA 1

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS

Habrás observado que muchas veces la información en los medios de comunicación está acompañada por una variedad de gráficos. Los gráficos son representaciones visuales de un conjunto de datos; por ejemplo, la cantidad de habitantes de cada ciudad del país o el porcentaje del crecimiento interanual de una economía. Son muy efectivos para mostrar relaciones entre diferentes valores y permiten comprender fácilmente distintas situaciones de la realidad.

Es frecuente encontrar gráficos en los análisis estadísticos que refuercen de forma visual la información necesaria. Estas representaciones se adaptan en cada caso a aquello que se busca transmitir y al objetivo de la investigación. Dichos resultados se presentan de forma rápida, directa, atractiva y comprensible para un conjunto amplio de personas.

LOS DATOS Y LAS GRÁFICAS

Un dato no es más que una información que permite describir alguna característica de una situación de estudio. Este puede ser un número, una palabra o cualquier símbolo. Si un dato describe una cualidad se dice que es cualitativo, pero si señala una cantidad se llama cuantitativo. Por ejemplo:

Datos cualitativos

Datos cuantitativos

– Profesión: {médico, policía, ingeniero}

– Color de ojos: {negro, azul, verde, marrón}

– Estado civil: {soltero, casado, viudo}

– Edad: {10 años, 11 años, 13 años}

– Peso: {40 kg, 37 kg, 41 kg}

– Cantidad de hermanos: {1, 3, 4}

Cuando tenemos una cantidad numerosa de datos recurrimos a las tablas. Allí, organizamos en filas y columnas los valores obtenidos y luego los clasificamos de acuerdo a los objetivos de la investigación. Posteriormente graficamos la información, pues estas gráficas brindan una mayor rapidez en la comprensión de los datos porque los presentan de forma clara, organizada y llamativa.

– Ejemplo:

30 personas fueron encuestadas acerca de cuál era su fruta favorita. Las respuestas obtenidas fueron las siguientes:

Manzana	Pera	Ananá	Ananá	Naranja	Naranja
Banana	Fresa	Naranja	Manzana	Naranja	Manzana
Naranja	Durazno	Manzana	Ananá	Naranja	Pera
Banana	Fresa	Banana	Fresa	Manzana	Fresa
Ananá	Naranja	Manzana	Ananá	Naranja	Banana

Con estos datos podemos realizar una tabla que muestre la frecuencia o al cantidad de veces que cada fruta se repite.

Fruta	Frecuencia
Manzana	6
Banana	4
Naranja	8
Pera	2
Ananá	5
Fresa	4
Durazno	1
Total	30

Si bien los datos se ven claramente en esta tabla, podemos graficarlos para que sea aún más sencillo visualizar cuáles son las frutas más o menos preferidas por este grupo de personas.

Elementos de los gráficos

Existen diferentes tipos de gráficos y la selección dependerá de la información que se quiera mostrar, sin embargo todos los gráficos tienen algunos elementos en común:

Título: todo gráfico debe tener un título para saber rápidamente de qué se trata. El mismo se ubica en la parte superior de la gráfica, debe ser claro, breve e informar sobre el contenido del cuadro.
Cuerpo: el cuerpo varía en función al estilo de gráfico que se seleccione, entre los más usados se encuentran el lineal, el de barras y el circular.

VER INFOGRAFÍA

TIPOS DE GRÁFICOS

Gráficos de barras

En este tipo de gráficos se construyen barras cuyas longitudes permiten comparar las categorías, observar los diferentes valores y obtener información con respecto a lapsos de tiempo. Las variables estudiadas se colocan en el eje horizontal y las frecuencias se colocan en el eje vertical, luego ubicamos los puntos y trazamos barras verticales para cada variable.

– Ejemplo:

Esta gráfica muestra la cantidad de hombres y mujeres en cada grado de un colegio.

Con esta gráfica vemos de forma muy clara la cantidad de hombres y mujeres que hay en cada grado. Nota que las barras de colores azul corresponden a los hombres y las barras de color naranja corresponden a las mujeres.

De acuerdo a la tabla, el grado con mayor cantidad de hombres es 6º (20), y el grado con menor cantidad de hombres es 1º (9).

¡Es tu turno!

Realiza la tabla de datos de acuerdo a la gráfica anterior.

Solución

Grado	Hombres	Mujeres	Total
1º	9	11	20
2º	10	15	25
3º	14	14	28
4º	15	17	32
5º	14	10	24
6º	20	11	31
7º	18	15	33
Total	100	93	193

¿Sabías qué?

Los gráficos de barras pueden ser verticales, horizontales, agrupados o apilados.

Gráficos lineales

Los gráficos lineales, también llamados gráficos poligonales, se representan en un plano (dos dimensiones) mediante el uso de un sistema de coordenadas. Para construirlos basta con ubicar los puntos en el plano y luego unirlos por medio de líneas.

– Ejemplo:

Con los mismos datos del ejemplo anterior en el que realizamos un gráfico de barras podemos dibujar un gráfico lineal.

Gráficos circulares

También son conocidos como gráficos de torta o pastel. Se usan para comparar porcentajes con respecto a un total de datos. Son útiles cuando deseas mostrar una sola serie de datos, por ejemplo, el sexo de la población. Para hallar los porcentajes parciales se dividen los 360° del círculo de acuerdo a los valores dados.

– Ejemplo:

La siguiente tabla muestra la cantidad de huéspedes en un hotel según su nacionalidad:

Nacionalidad	Cantidad de turistas
Colombiana	12
Argentina	23
Chilena	5
Venezolana	15
Italiana	18
Total	73

Es normal colocar los valores de porcentajes en los gráficos de este tipo, para calcularlos solo dividimos la cantidad de cada nacionalidad entre el total de turista. Luego multiplicamos por 100. La suma de todos los porcentajes debe ser igual a 100 %.

Nacionalidad	Cantidad de turistas	Porcentaje
Colombiana	12	(12/73) × 100 = 16,44 %
Argentina	23	(23/73) × 100 = 31,50 %
Chilena	5	(5/73) × 100 = 6,85 %
Venezolana	15	(15/73) × 100 = 20,55 %
Italiana	18	(18/73) × 100 = 24,66 %
Total	73	100 %

Ahora, para ilustrar los datos en un círculo multiplicamos la fracción de cada nacionalidad por 360°. La suma de todos los grados debe ser igual a 360°. Por conveniencia redondeamos a la unidad cada producto.

Nacionalidad	Cantidad de turistas	Grados
Colombiana	12	(12/73) × 360° = 59,18° ≈ 59°
Argentina	23	(23/73) × 360° = 113,42° ≈ 113°
Chilena	5	(5/73) × 360° = 24,66° ≈ 25°
Venezolana	15	(15/73) × 360° = 73,97° ≈ 74°
Italiana	18	(18/73) × 360° = 88,77° ≈ 89°
Total	73	360°

De ese modo, tras dibujar la circunferencia, medimos con el transportador los grados correspondientes a cada porción y anotamos el porcentaje redondeado que lo representa.

¿Qué es una muestra?

Se denomina población al conjunto de elementos estudiados, es decir, al total. Una muestra es una parte de esa población, es decir, es una porción seleccionada que resulta representativa del conjunto. Se toman muestras cuando la población que se quiere estudiar es muy amplia e inabarcable, entonces se decide realizar una selección estratégica que recorte la cantidad de individuos a estudiar y que mantengan los rasgos representativos de toda la población analizada.

IMPORTANCIA DE REPRESENTAR DATOS EN GRÁFICOS

La estadística, entre otras cosas, se encarga de recopilar, analizar y sistematizar datos. Luego, debe comunicar la información generada en este proceso. La presentación de datos es uno de los aspectos mayormente utilizados en la estadística descriptiva. Los gráficos son muy importantes ya que posibilitan un abordaje dinámico, claro y entretenido.

En este sentido, los gráficos son una gran herramienta ya que permiten:

Registrar datos de manera clara y concreta.
Comunicar la información en forma sencilla.
Comprender la estructura del conjunto de datos.

La cartografía tiene como objetivo la concepción, redacción y realización de los mapas, es decir, la representación plana y simplificada de toda o de una parte de la superficie terrestre. Los mapas estadísticos o cartogramas son aquellos que presentan datos por regiones o zonas. Al igual que en un mapa topográfico, los colores y las tramas indican áreas que están en el mismo rango de valores.

¡A practicar!

Observa los gráficos y responde:

1. Marta vendió magdalenas durante toda la semana. La cantidad de magdalenas vendidas se muestra en el siguiente gráfico:

¿Cuántas magdalenas vendió Marta el lunes?
Solución
Vendió 10 magdalenas.

¿Cuál día vendió más magdalenas?
Solución
El martes.

¿Cuál día vendió menos magdalenas?
Solución
El domingo.

¿Cuántas magdalenas vendió durante la semana?
Solución
Vendió 68 magdalenas durante la semana.

¿Cuál día vendió solo 8 magdalenas?
Solución
El viernes.

2. Se hizo una encuesta sobre el deporte favorito de un grupo de estudiantes. Los resultados se muestran en este gráfico.

¿Cuál es el deporte favorito de la mayoría de encuestados?
Solución
El fútbol.

¿Qué porcentaje de encuestados prefiere el béisbol?
Solución
El 14 %.

¿Qué porcentaje de encuestados prefiere el baloncesto?
Solución
El 23 %.

¿Cuál es el deporte menos preferido por los encuestados?
Solución
El béisbol.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Gráficos estadísticos”

Con el siguiente artículo podrás ampliar tu conocimiento sobre tipos de gráficos estadísticos y sus funciones.

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Artículo “Lectura de gráficos”

En el siguiente artículo encontrarás ejemplos claros y explicados para abordar la interpretación y lectura de gráficos.

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CAPÍTULO 7 / TEMA 7 (REVISIÓN)

ORDEN Y RELACIONES │ ¿QUÉ APRENDIMOS?

SUCESIONES

Las sucesiones son secuencias ordenadas de términos que siguen una determinada regla de recurrencia o patrón. Estas pueden ser aritméticas o geométricas. Las aritméticas tienen una diferencia con el término anterior en una cantidad constante, por ejemplo, 2, 4, 6, 8,… En cambio, en las geométricas cada término (excepto el primero) es múltiplo del término anterior de la sucesión, por ejemplo, 2, 4, 8, 16, 32,… Las sucesiones se utilizan en las matemáticas, en entidades financieras, en ciencias naturales, en informática y hasta en el arte.

La espiral de Fibonacci se trata de una espiral áurea que podemos construir a partir de los números contenidos en la sucesión de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13,…

LA RECTA NUMÉRICA

La recta numérica es una representación gráfica unidimensional que nos permite ubicar los números reales ( $\mathbb{R}$ ), lo cual resulta de gran utilidad para comparar valores o indicar soluciones de intervalos en las inecuaciones. Se caracteriza por poseer el cero centrado y se considera el origen de la recta; hacia la izquierda se ubican los números negativos y a la derecha los positivos. Entre dos números, será mayor el que esté más a la derecha. Existen métodos para representar con precisión algunos números radicales sobre la recta.

Las reglas graduadas son un ejemplo de rectas numéricas. En estas vemos las divisiones de las unidades enteras que equivalen a las décimas.

PLANO CARTESIANO

Es un sistema de representación bidimensional muy utilizado en matemática y otras áreas para la ubicación de puntos en el plano. Su nombre se debe al filósofo y matemático René Descartes, quien propuso su aplicación en el siglo XVII como una base del sistema de coordenadas rectangulares. Está formado por un eje horizontal denominado eje de las abscisas, que tradicionalmente denotamos con la letra x; y un eje vertical llamado eje de las ordenadas, que por lo general representamos con la letra y. Cada eje se comporta como una recta numérica que se prolonga hasta el infinito.

FUNCIONES

Son expresiones matemáticas que indican una relación de correspondencia entre un conjunto de partida y un conjunto de llegada. Para que una relación sea considerada función, debe cumplirse que cada elemento del dominio tenga una sola imagen en el conjunto de llegada. Las funciones pueden ser inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.

FUNCIÓN LINEAL

La función lineal es un tipo de función polinómica cuyo mayor grado de exponente es 1. Su representación gráfica es una línea recta que puede ser descrita a partir de la ecuación explícita: y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es su ordenada al origen. Si conocemos la función de la recta podemos graficarla por medio una tabla de valores que cumpla con las soluciones de la función.

Estas gráficas representan dos funciones lineales. Las que no pasan por el origen se llaman funciones afines. Con dos puntos como mínimo se puede construir la recta.

PROPORCIONES

Las proporciones son una medida que relaciona a dos razones mediante una constante. El cociente que resulta de dividir una razón de proporción se conoce como constante de proporcionalidad. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una cantidad, la otra también aumenta; o si al disminuir una cantidad, la otra también disminuye. En cambio, dos magnitudes son inversamente proporcionales si al incrementar el valor de una, el valor de la otra disminuye; o si al disminuir el valor de una, la otra aumenta.

La cantidad de productos que compramos son directamente proporcionales con el precio, ya que a medida que más compramos más dinero pagamos.

CAPÍTULO 7 / TEMA 5

FUNCIÓN LINEAL

Cuando dos magnitudes se relacionan de manera directamente proporcional pueden representarse como una función de expresión algebraica y = mx + b. Estas funciones pueden identificarse rápidamente por medio de su gráfica, pues en el plano cartesiano siempre estarán representadas con una línea recta ascendente o descendente.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Si conocemos la función matemática que relaciona a dos variables, podemos construir su gráfica, o al menos una aproximación de ella. Para esta tarea solo calculamos, a partir de la función, una serie de puntos que cumplan con la solución. Debemos tener en cuenta que cuantos más puntos utilicemos para graficar una función, mayor precisión obtendremos.

Algunas funciones matemáticas tienen gráficas características en el plano cartesiano, por ejemplo:

Funciones lineales

f(x) = mx + b

Funciones potenciales

f(x) = x²

Funciones exponenciales

f(x) = 2^x

Funciones irracionales

f(x) = √x

Funciones racionales

f(x) = 1/x

Funciones trigonométricas

f(x) = sen x

Las funciones lineales se denominan de esta manera ya que su gráfica característica en el plano cartesiano se representa como una recta. Para trazar de forma correcta esta línea, basta con que conozcamos dos puntos en el plano. Por lo general se determinan si calculamos los cortes con los ejes o por medio de la ecuación de la recta.

¿Qué es una función lineal?

Una función lineal es una función cuya gráfica es igual a una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. Su expresión algebraica es la siguiente:

f(x) = mx

Donde:

m = constante de proporcionalidad o pendiente de la recta

¿Sabías qué?

Las funciones lineales también son llamadas “funciones de proporcionalidad directa”.

– Ejemplo:

Un tren tiene una velocidad media de 160 km/h. La relación entre la distancia y el tiempo se puede observa en la siguiente tabla:

Tiempo (h) = x	0	1	2	3	4
Distancia (km) = y	0	160	320	480	640

Por medio de esta tabla vemos que las dos magnitudes (tiempo y distancia) son directamente proporcionales porque a medida que una aumenta, la otra también lo hace. Si realizamos una gráfica entre estas dos magnitudes nos resulta una línea recta como esta:

Nota que la recta pasa por el origen (0, 0) y va en aumento, por lo tanto, la recta es continua y creciente. La constante de proporcionalidad es 160, así que la expresión algebraica de esta función es:

f(x) = 160x

Función afín

Una función afín es un tipo de función lineal que no pasa por el origen de coordenadas. Su expresión algebraica es:

f(x) = mx + b

Donde:

m = pendiente de la recta

b = ordenada en el origen: la recta corta al eje de ordenada en el punto (0, n)

– Ejemplo:

Se ha determinado el pago de agua en una casa. Cada recibo indica que por cada metro cúbico de agua consumida se pagan $ 5, mientras que por la distribución y depuración se pagan $ 10. Con estos datos elaboramos la siguiente tabla:

Agua consumida (m³) = x	0	1	2	3	4
Pago ($) = y	10	15	20	25	30

La expresión algebraica de esta función es f(x) = 5x + 10, cuya gráfica se muestra a continuación:

Observa que la línea recta no pasa por el origen, sino que corta en el punto (0, 10).

La función de costo lineal se usa frecuentemente en las operaciones de las pequeñas empresas. El costo es el total de dinero necesario para producir q unidades de un producto. La función se representa con la expresión C(q) que incluye tanto a los costos fijos (independientes) como a los costos variables (dependientes).

ecuación de la recta

La ecuación de la recta es una expresión algebraica que describe una línea recta y relaciona la variación de y con respecto a x, la cual se puede graficar en el plano cartesiano según los componentes en cada uno de los ejes. De manera general la ecuación de una recta se representa así:

y = mx + b

Donde:

y = eje de las ordenadas

x = eje de las abscisas

m = pendiente de la recta

b = punto de intersección de la recta con el eje y

Para determinar la pendiente de la recta usamos la fórmula:

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

– Ejemplo:

Hallemos la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (−1, 1) y B (1, 7).

Primero identificamos los valores de los ejes. Como ya sabemos, los pares ordenados siempre tienen primero la coordenada del eje x y luego de la coma va la coordenada del eje y; entonces:

En el punto A (−1, 1), x₁ = −1 y y₁ = 1

En el punto B (1, 7), x₂ = 1 y y₂ = 7

Ahora solo sustituimos en la fórmula general:

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{7-1}{1-(-1)}=\frac{6}{2}=\boldsymbol{3}$

Sabemos que la ecuación de esta recta es y = mx + b porque no pasa por el origen, es decir, representa una función afín. También sabemos que la pendiente (m) es 3, por lo tanto, y = 3x + b; así que faltaría hallar el valor de b.

Para calcula b podemos tomar cualquiera de los puntos A o B. Planteamos la ecuación y luego despejamos.

$A(-1, \: 1): y=3x+b\rightarrow 1=3(-1)+b\rightarrow \boldsymbol{b=4}$

$B(1,\: 7):y=3x+b\rightarrow 7=3(1)+b\rightarrow \boldsymbol{b=4}$

De este modo sabemos que la recta que pasa por los puntos A y B tiene por ecuación:

y = 3x + 4

Pendiente de la recta y = mx

Para un función lineal f(x) = mx, el coeficiente m se llama pendiente y representa el aumento o disminución de la variable dependiente en relación a la variable independiente.

– Ejemplo:

En la función f(x) = −3x, la pendiente es −3.
En la función f(x) = 5x, la pendiente es 5.

En una gráfica, la pendiente de una recta representa la inclinación de la misma respecto del eje x. La podemos hallar al dividir el valor de la variable dependiente entre el valor de la variable independiente.

$m =\frac{y}{x}$

– Ejemplo:

Esta gráfica muestra tres líneas rectas que pasan por el origen, así que cada una representa a un función lineal de forma f(x) = mx.

Para saber la pendiente de la recta solo debemos fijarnos en cualquiera de sus puntos y hallar su cociente.

Recta a	Recta b	Recta c
$m=\frac{6}{-6}=\boldsymbol{-1}$	$m=\frac{-2}{-2}=\boldsymbol{1}$	$m=\frac{4}{6}=\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
$f(x)=-x$	$f(x)=x$	$f(x)=\frac{2}{3}x$

Valor de la pendiente

Si m es positiva, significa que la recta es creciente de izquierda a derecha.
Si m es negativa, significa que la recta es decreciente de izquierda a derecha.
Si m es cero, significa que la recta no posee inclinación respecto al eje horizontal, es decir, se trataría de una recta paralela al eje horizontal.

Una función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, el mayor exponente de x es 1. Para expresar cualquier tipo de recta, pase o no por el origen, se utiliza la ecuación explícita de la recta: *y = mx + b*. Donde y es la variable dependiente, x es la variable independiente, m es la pendiente y b es la ordenada al origen.

¿cómo Graficar una función lineal?

Dada la ecuación de la recta y = 2x + 3. La pendiente es 2 y el punto de intersección de la recta con el eje y es igual a 3. Para determinar el valor de y es necesario darle valores a x y efectuar la operación correspondiente, de la siguiente manera:

Si x = 1 y = 2(1) + 3 y = 2 + 3 y = 5	Si x = 2 y = 2(2) + 3 y = 4 + 3 y = 7	Si x = 3 y = 2(3) + 3 y = 6 + 3 y = 9
Si x = −1 y = 2(−1) + 3 y = −2 + 3 y = 1	Si x = −2 y = 2(−2) + 3 y = −4 + 3 y = −1	Si x = −3 y = 2(−3) + 3 y = −6 + 3 y = −3

Para obtener una recta bien definida es recomendable utilizar al menos tres puntos. Será de gran ayuda realizar una tabla de valores en la que observes las coordenadas de cada punto como esta:

x	y	Punto
−3	−3	(−3, −3)
−2	−1	(−2, −1)
−1	1	(−1, 1)
1	5	(1, 5)
2	7	(2, 7)
3	9	(3, 9)

Si usamos esta tabla como guía es más sencillo realizar la gráfica de la función.

Nota que la recta se corta en el punto (0, 3), pues b = 3.

¡A practicar!

1. Dadas las siguientes funciones, determina:

a. Pendiente (m)

b. Ordenada al origen (b)

f(x) = 2x − 6

Solución

b = −6

m = 2

f(x) = −x + 4

Solución

b = 4

m = −1

f(x) = 13/5x − 2

Solución

b = −2

m = 13/5

2. Construye una tabla con los siguientes valores de x para cada función.

x = −2, −1, 0, 1, 2, 3

f(x) = −x + 2

Solución

x	y
−2	4
−1	3
0	2
1	1
2	0
3	−1

f(x) = 5x − 3

Solución

x	y
−2	−13
−1	−8
0	−3
1	2
2	7
3	12

f(x) = 3x

Solución

x	y
−2	−6
−1	−3
0	0
1	3
2	6
3	9

f(x) = −2x + 1

Solución

x	y
−2	5
−1	3
0	1
1	−1
2	−3
3	−5

3. Realiza la gráfica de las siguientes funciones:

f(x) = −x + 2

f(x) = −2x + 1

Solución

f(x) = −x + 2

f(x) = −2x + 1

4. Dada la siguiente gráfica, determina:

a. Pendiente de la recta.

b. Ecuación de la recta.

Solución

a. m = −1

b. y = −x + 9

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Función Lineal”

En este artículo podrás encontrar ejercicios relacionados con la construcción de gráficas de funciones lineales a partir de su ecuación explícita, además de problemas de enunciados.

VER

Artículo “Aplicaciones de la función lineal”

Este artículo explica los conceptos de proporción, así como detalla el análisis y las aplicaciones de las funciones lineales.

VER

Artículo “Función lineal”

Este contenido ofrece una breve descripción de las características de una función lineal a partir de la ecuación explícita de la recta.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 3

ECUACIÓN

Cuando vemos operaciones matemáticas con valores desconocidos es muy probable que estemos frente a ecuaciones. Estas son relaciones equivalentes con dos miembros separados por un símbolo de igualdad. Para saber cuánto valen estos términos desconocidos debemos despejar, es decir, dejar “sola” a la incógnita, lo que se hace por medio de diversos pasos mostrados a continuación.

La ecuación y sus elementos

Una ecuación es una igualdad que posee uno o más términos desconocidos llamados incógnitas. El valor numérico de dichas incógnitas es el único que cumple la igualdad.

Los elementos de toda ecuación son los siguientes:

Primer miembro: es el conjunto de términos que se encuentra del lado izquierdo de la igualdad.
Segundo miembro: es el conjunto de términos que se encuentra del lado derecho de la igualdad.
Términos: son todos los números y letras que conforman la ecuación.
Incógnita: es el valor desconocido en la igualdad. En una ecuación puede haber más de una incógnita.

¿Sabías qué?

Si una incógnita aparece sola se sobreentiende que el coeficiente es 1, es decir, que está multiplicada por 1.

Una ecuación es una igualdad establecida que permite determinar alguno de sus elementos respecto a los valores de los demás. Pueden ser literales o numéricas. Son literales cuando por lo menos un elemento conocido está representado por una letra; y son numéricas cuando sus elementos conocidos son números.

Ecuaciones según el grado

El grado de una ecuación es la mayor potencia a la que está elevada la incógnita. Según el grado las ecuaciones pueden ser:

Ecuaciones de primer grado

Son aquellas ecuaciones donde la incógnita está elevada a la primera potencia. También se las conoce como ecuaciones lineales. Por ejemplo:

$\boldsymbol{2x+5=3x-1}$

Ecuaciones de segundo grado

Son las igualdades cuya incógnita está elevada a la segunda potencia, es decir, al cuadrado. Por ejemplo:

$\boldsymbol{2x^{{\color{Red} 2}}+3x=-5x}$

Ecuaciones de tercer grado

Son aquellas que contienen la incógnita elevada al cubo en al menos uno de sus términos. Por ejemplo:

$\boldsymbol{4x^{{\color{Red} 3}}+3x=5-x^{2}}$

¡Es tu turno!

Observa esta ecuación y responde:

$\boldsymbol{x^{3}-7x^{2}+4x+12=0}$

¿Cuántos términos tiene en el primer miembro?

Solución

Tiene 4 términos.

¿De qué grado es la ecuación?

Solución

La ecuación es de tercer grado.

¿Cuántas incógnitas tiene?

Solución

Tiene una sola incógnita: x.

¿Sabías qué?

Las incógnitas aparecen en las ecuaciones con una letra, generalmente es la x, pero puede ser cualquiera.

Las ecuaciones pueden estar conformadas por una o más incógnitas y su solución no siempre es un número. De hecho, hay ecuaciones que tienen varias soluciones o incluso, hay otras que no tienen solución. En todos los casos, es imprescindible dominar los procedimientos de despejes para poder analizarlas.

REGLAS DE DESPEJE DE ECUACIONES

Para hallar la solución de una ecuación de primer grado debemos despejar la incógnita, esto significa que es necesario dejar a la incógnita “sola” en un miembro de la igualdad. Para esto seguimos las siguientes reglas:

Regla de la suma

Consiste en sumar la misma expresión algebraica en ambos lados de la igualdad, de este modo obtenemos una ecuación equivalente y por ende el mismo resultado. Por ejemplo:

$x-8=24$

Si sumamos 8 en ambos miembros de la ecuación tenemos:

$x-8+\boldsymbol{8}=24+\boldsymbol{8}$

Al resolverlo:

$x=\boldsymbol{32}$

A partir de ese principio, la regla de la suma también se denomina regla de transposición de términos debido a que, para cambiar un término a otro miembro, se tiene que cambiar su signo. Por lo tanto, todo número que se encuentre en forma de suma en un miembro de la igualdad pasa al otro miembro en forma de resta y viceversa.

Entonces, para despejar la incógnita lo único que debemos hacer es pasar el −8 como +8 al segundo miembro de la ecuación.

$x-8=24$

$x=24+8$

$x=\boldsymbol{32}$

Regla del producto

Establece que al multiplicar o dividir por un mismo número en ambos miembros de la ecuación el resultado es una ecuación equivalente de la primera. Por ejemplo:

$5x=20$

Si dividimos entre 5 ambos miembros de la ecuación tenemos:

$\frac{5x}{\boldsymbol{5}}=\frac{20}{\boldsymbol{5}}$

Al resolverlo:

$x=\boldsymbol{4}$

Por medio de esta regla se deduce que los elementos que multiplican pasan al otro lado a dividir y los elementos que dividen pasan al otro lado a multiplicar. En el ejemplo anterior basta con pasar el 5 que multiplica a la incógnita a dividir el segundo miembro de la ecuación.

$5x=20$

$x=\frac{20}{5}$

$x=\boldsymbol{4}$

¿cómo solucionar una ecuación de primer grado?

Las ecuaciones de primer grado o lineales se caracterizan por tener su incógnita elevada a la primera potencia. Los pasos para solucionar este tipo de ecuación son:

Quita los paréntesis en caso de que existieran (a través de la propiedad distributiva u otras operaciones).
Quita los denominadores en caso de que existieran.
Ubica los términos que tienen incógnitas en un miembro y los que no tienen incógnita en otro.
Suma los términos semejantes.
Despeja la incógnita a través de la regla del producto.
Simplifica el resultado obtenido en caso de que sea una fracción.

El valor o los valores de la incógnita de una ecuación que hacen que la igualdad de la misma sea cierta, se denominan solución de la ecuación o raíces de la ecuación. Cuando una ecuación tiene solución, se denomina compatible, en caso contrario, se denomina incompatible. Las ecuaciones que presentan la misma solución son llamadas ecuaciones equivalentes.

– Ejemplo:

$5(2x+3)-4x=-3+3(x-4)$

Primero eliminamos los paréntesis. Para eso, aplicamos la propiedad distributiva. En el primer caso, multiplicamos 5 por cada término dentro de los paréntesis (2x + 3), en el segundo caso, multiplicamos 3 por cada término dentro de los paréntesis (x − 4).

$10x+15-4x=-3+3x-12$

Después ubicamos los términos que tienen incógnitas en un mismo miembro y los que no tienen incógnitas en otro. Para lograrlo aplicamos la regla de la suma o de transposición.

$10x-4x-3x=-3-12-15$

Luego sumamos o restamos los términos semejantes.

$3x=-30$

Despejamos la incógnita. Para lograrlo, aplicamos la regla del producto por medio de la cual el 3 que multiplica pasa a dividir al otro miembro de la ecuación.

$x=\frac{-30}{3}=\boldsymbol{-10}$

Observa que simplificamos el resultado al resolver la fracción.

– Otro ejemplo:

$5(x+2)=1+\frac{x}{2}$

Eliminamos los paréntesis por medio de la propiedad distributiva.

$5x+10=1+\frac{x}{2}$

Quitamos el denominador al multiplicar todos los términos de la ecuación por ese denominador, en este caso es 2.

$2 (5x+10)=2(1+\frac{x}{2})\: \: \Rightarrow \: \: 10x+20=2+\frac{2x}{2}$

Luego efectuamos las divisiones correspondientes.

$10x+20=2+x$

Ubicamos los términos que tienen incógnitas en un mismo miembro y los que no tienen incógnitas en otro. Para lograrlo, aplicamos la regla de la suma o de transposición.

$10x-x=2-20$

Sumamos o restamos los términos semejantes.

$9x=-18$

Despejamos la incógnita. Para lograrlo, aplicamos la regla del producto por medio de la cual el 9 que multiplica pasa a dividir al otro miembro de la ecuación.

$x=-\frac{18}{9}=\boldsymbol{-2}$

¿Cómo comprobar una ecuación?

¡Muy sencillo! Solo tienes que sustituir en la ecuación el valor de la incógnita y resolver. Si la igualdad se cumple, el ejercicio está resuelto correctamente. En caso contrario, debes revisar dónde estuvo el error.

Despejemos esta ecuación:

$2x+6=10\: \: \Rightarrow \: \: 2x=10-6\: \: \Rightarrow \: \: 2x=4\: \: \Rightarrow \: \: x=\frac{4}{2}\: \: \Rightarrow \: \: \boldsymbol{x=2}$

Como x = 2, sustituimos y comprobamos.

$2(2)+6=10\: \: \Rightarrow \: \: 4+6=10\: \: \Rightarrow \: \: \boldsymbol{10=10}$

Por lo tanto, como las igualdades se cumplen, la ecuación está despejada correctamente.

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES

Las ecuaciones son aplicables en mucho ámbitos de la vida, por ejemplo, para planificar nuestro dinero o para determinar cantidades por medio de igualdades. En otras áreas del saber, como la física, la química o la economía, las ecuaciones son de gran utilidad, pues sirven para expresar fórmulas y leyes que describen muchos fenómenos.

En general, algunas aplicaciones de las ecuaciones pueden ser:

Calcular longitudes, áreas, volúmenes y otras dimensiones de objetos.
Expresar cantidades físicas como densidad, peso específico o concentraciones de sustancias.
Formular algebraicamente un planteamiento teórico
Expresar leyes como la ley de gravitación universal en física o la ley para gases ideales en química.
Calcular ganancias y utilidades en el área de finanzas, entre otras aplicaciones.

¡A practicar!

Despeja la incógnita.

$2(1+2x)=10$

Solución

$2(1+2x)=10$

$2+4x=10$

$4x=10-2$

$4x=8$

$x=\frac{8}{4}$

$x=\boldsymbol{2}$

$1-\frac{x}{3}=\frac{5x}{3}$

Solución

$1-\frac{x}{3}=\frac{5x}{3}$

$3\left ( 1-\frac{x}{3} \right )=3\left ( \frac{5x}{3} \right )$

$3-\frac{3x}{3}=\frac{15x}{3}$

$3-x=5x$

$5x+x=3$

$6x=3$

$x=\frac{3}{6}=\boldsymbol{\frac{1}{2}}$

$15-6\left ( 2x-4 \right )=8+2\left ( 5x-1 \right )$

Solución

$15-6\left ( 2x-4 \right )=8+2\left ( 5x-1 \right )$

$15-12x+24=8+10x-2$

$15+24-12x=8-2+10x$

$39-12x=6+10x$

$12x-10x=6-39$

$-22x=-33$

$x=\frac{-33}{-22}=\boldsymbol{\frac{3}{2}}$

$x+\frac{x}{5}=18$

Solución

$x+\frac{x}{5}=18$

$5\left ( x+\frac{x}{5} \right )=5\left ( 18 \right )$

$5x+\frac{5x}{5}=90$

$5x+x=90$

$6x=90$

$x=\frac{90}{6}=\boldsymbol{15}$

$x+\frac{1}{3}=\frac{x}{3}$

Solución

$x+\frac{1}{3}=\frac{x}{3}$

$3\left ( x+\frac{1}{3} \right )=3\left ( \frac{x}{3} \right )$

$3x+\frac{3}{3}=\frac{3x}{3}$

$3x+1=x$

$3x-x=-1$

$2x=-1$

$x=\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$

$x+7=12x-3-8x+1$

Solución

$x+7=12x-3-8x+1$ $x+7=12x-3+8x+1$

$x-12x+8x=-3+1-7$

$-3x=-9$

$x=\frac{-9}{-3}=\boldsymbol{3}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ecuaciones y despejes”

Este artículo contiene información complementaria referente al manejo de las ecuaciones y los despejes. También presenta una serie de ejercicios resueltos y propuestos de ecuaciones lineales.

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Artículo “Ecuaciones”

Con este recurso podrá complementar la información y los ejemplos sobre ecuaciones de primer grado con una incógnita.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 2

VALOR POSICIONAL

EL HOMBRE SIEMPRE HA TENIDO LA NECESIDAD DE CONTAR Y POR ESO INVENTÓ LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN. NOSOTROS USAMOS EL SISTEMA DECIMAL QUE SOLO TIENE DIEZ CIFRAS CON LAS QUE PODEMOS FORMAR CUALQUIER CANTIDAD DE NÚMEROS. PERO ¿CÓMO HACERLO? DEBEMOS SABER EL VALOR DE CADA CIFRA DENTRO DEL NÚMERO, ES DECIR, SU VALOR POSICIONAL.

ESTOS DIEZ DÍGITOS FORMAN NUESTRO SISTEMA DECIMAL Y CON ELLOS FORMAMOS MUCHOS NÚMEROS. ¿LOS HAS USADO? ¡SEGURO QUE SÍ! USAMOS LA COMBINACIÓN DE ESTAS CIFRAS PARA DAR UN NÚMERO DE TELÉFONO, LA FECHA DE NUESTRO CUMPLEAÑOS, EL NÚMERO DE IDENTIFICACIÓN O PARA CONTAR LA CANTIDAD DE JUGUETES QUE TENEMOS.

¿QUÉ ES EL VALOR POSICIONAL?

ES EL VALOR QUE TIENE UNA CIFRA SEGÚN SU POSICIÓN EN EL NÚMERO. ESTAS POSICIONES TIENEN UN NOMBRE Y PUEDEN SER UNIDADES, DECENAS O CENTENAS. OBSERVA Y RESPONDE:

1. ¿CUÁNTOS CUADRADOS HAY?

HAY 1 CUADRADO.

1 = 1 UNIDAD

2. ¿CUÁNTAS TIRAS HAY?

HAY 10 TIRAS.

10 UNIDADES = 1 DECENA

3. ¿CUÁNTOS CUADRADOS HAY?

HAY 100 CUADRADOS.

100 UNIDADES = 1 CENTENA

¿CUÁNTAS UNIDADES HAY?

OBSERVA LAS IMÁGENES Y CUENTA LAS UNIDADES.

SOLUCIÓN

HAY 2 CENTENAS.

2 VECES 100 = 200 UNIDADES

HAY 200 UNIDADES.

SOLUCIÓN

HAY 3 DECENAS.

3 VECES 10 = 30 UNIDADES

HAY 30 UNIDADES.

SOLUCIÓN

HAY 8 UNIDADES.

SOLUCIÓN

HAY 1 DECENA Y 1 UNIDAD.

10 UNIDADES + 1 UNIDAD = 11 UNIDADES

HAY 11 UNIDADES.

SOLUCIÓN

HAY 1 CENTENA, 1 DECENA Y 1 UNIDAD.

100 UNIDADES + 10 UNIDADES + 1 UNIDAD = 111 UNIDADES

HAY 111 UNIDADES.

EL NÚMERO 123 ESTÁ FORMADO POR TRES CIFRAS: 1, 2 Y 3. ¿PODEMOS CREAR MÁS NÚMERO CON ESTAS TRES CIFRAS? ¡CLARO QUE SÍ! POR EJEMPLO, EL NÚMERO 312 O EL 231. COMO VES, AUNQUE TENGAN LAS MISMAS CIFRAS, CADA NÚMERO TIENE UN VALOR DISTINTO PORQUE LAS POSICIONES SON DIFERENTES. EN 123 EL 1 VALE 100; EN 312 EL 1 VALE 10; Y EN 231 EL 1 VALE 1.

PARA SABER LOS VALORES DE CADA CIFRA EN UN NÚMERO USAMOS UNA TABLA DE VALOR POSICIONAL COMO ESTA:

EL NÚMERO 468 TIENE:

8 UNIDADES.
6 DECENAS.
4 CENTENAS.

¡CAMBIEMOS POSICIONES!

LA POSICIÓN DE UNA CIFRA EN UN NÚMERO INDICAN UN VALOR. SI UNA DE LAS CIFRAS CAMBIA DE POSICIÓN, ENTONCES SE CONVIERTE EN OTRO NÚMERO. OBSERVA ESTOS EJEMPLOS EN LOS QUE CAMBIAMOS LAS POSICIONES DE TRES CIFRAS: 4, 6 Y 8.

NÚMERO	VALOR POSICIONAL	SE LEE
468	4 CENTENAS 6 DECENAS 8 UNIDADES	CUATROCIENTOS SESENTA Y OCHO.
486	4 CENTENAS 8 DECENAS 6 UNIDADES	CUATROCIENTOS OCHENTA Y SEIS.
864	8 CENTENAS 6 DECENAS 4 UNIDADES	OCHOCIENTOS SESENTA Y CUATRO.
846	8 CENTENAS 4 DECENAS 6 UNIDADES	OCHOCIENTOS CUARENTA Y SEIS.
684	6 CENTENAS 8 DECENAS 4 UNIDADES	SEISCIENTOS OCHENTA Y CUATRO.
648	6 CENTENAS 4 DECENAS 8 UNIDADES	SEISCIENTOS CUARENTA Y OCHO.

DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS

CONSISTE EN CONVERTIR UN NÚMERO EN UNA SUMA DE SUS VALORES POSICIONALES.

– EJEMPLO:

EL NÚMERO 183 TIENE:

1 CENTENA = 1 VEZ 100 = 100 UNIDADES

8 DECENAS = 8 VECES 10 = 80 UNIDADES

3 UNIDADES = 3 VECES 1 = 3 UNIDADES

ENTONCES, LA DESCOMPOSICIÓN DEL NÚMERO 183 ES LA SIGUIENTE:

183 = 1 C + 8 D + 3 U

183 = 100 + 80 + 3

¡A PRACTICAR!

REALIZA LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS:

SOLUCIÓN

642 = 6 C + 4 D + 2 U

642 = 600 + 40 + 2

SOLUCIÓN

789 = 7 C + 8 D + 9 U

789 = 700 + 80 + 9

SOLUCIÓN

453 = 4 C + 5 D + 3 U

453 = 400 + 50 + 3

SOLUCIÓN

998 = 9 C + 9 D + 8 U

998 = 900 + 90 + 8

¿SABÍAS QUÉ?

LA DESCOMPOSICIÓN DEL NÚMERO 1.000 TIENE UNA UNIDAD DE MIL Y SE ESCRIBE “1 UM”.

UBICACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

ES UNA LÍNEA RECTA EN LA QUE UBICAMOS LOS NÚMEROS. EL 0 ES EL COMIENZO DE LA RECTA, LUEGO VAN LOS NÚMEROS DE 1 EN 1 DE MENOR A MAYOR.

– EJEMPLO:

LA REGLA ES UN ELEMENTO QUE UTILIZAMOS PARA MEDIR OBJETOS O PARA TRAZAR LAS LÍNEAS DE UN DIBUJO. SU FORMA ES DELGADA Y RECTANGULAR, PUEDE SER RÍGIDA O FLEXIBLE Y HAY DE DISTINTOS MATERIALES: PLÁSTICO, GOMA, METAL, MADERA. EXISTEN OTROS ELEMENTOS QUE CUMPLEN UNA FUNCIÓN SIMILAR, PERO SON MÁS LARGOS, COMO POR EJEMPLO, LA CINTA MÉTRICA O EL METRO.

– EJEMPLO:

LAS EDADES DE CINCO HERMANOS SON LAS SIGUIENTES:

JUAN: 2 AÑOS; INÉS: 5 AÑOS; ALDO: 9 AÑOS; CARLA: 12 AÑOS; y LUCÍA: 18 AÑOS.

SI DESEAMOS UBICAR EN UNA RECTA NUMÉRICA LAS EDADES DE LOS HERMANOS SEGUIMOS ESTOS PASOS:

1) DIBUJAMOS UNA RECTA CON LAS FLECHAS EN LOS EXTREMOS, HACEMOS DIVISIONES DE IGUAL DISTANCIA Y UBICAMOS EL 0.

2) EN ESTE CASO HICIMOS 20 DIVISIONES PARA UBICAR TODAS LAS EDADES.

3) COLOCAMOS UN PUNTO EN EL VALOR DE LAS EDADES.

OBSERVA QUE MIENTRAS MÁS AVANZA HACIA LA DERECHA, MAYORES SON LOS NÚMEROS.

¡A PRACTICAR!

1. REALIZA LA DESCOMPOSICIÓN DE ESTOS NÚMEROS.

SOLUCIÓN

275 = 2 C + 7 D + 5 U = 200 + 70 + 5

SOLUCIÓN

638 = 6 C + 3 D + 8 U = 600 + 30 + 8

SOLUCIÓN

996 = 9 C + 9 D + 6 U = 900 + 90 + 6

SOLUCIÓN

47 = 4 D + 7 U = 40 + 7

SOLUCIÓN

546 = 500 + 40 + 6

SOLUCIÓN

87 = 80 + 7

SOLUCIÓN

788 = 700 + 80 + 8

9 D + 2 U =

SOLUCIÓN

92 = 90 + 2

2. UBICA EN ESTA RECTA NUMÉRICA LOS SIGUIENTES NÚMEROS: 0, 3, 10, 15 Y 20.

SOLUCIÓN

RECURSOS PARA DOCENTES

Composición y descomposición de números

El siguiente artículo destacado te permitirá trabajar con los alumnos la composición y descomposición aditiva de números.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 6 (REVISIÓN)

NÚMEROS | ¿QUÉ APRENDIMOS?

El universo de los números

El ser humano ha creado muchos inventos, pero uno de los más significativos han sido los números. En la actualidad, el sistema de numeración más usado es el decimal, llamado así porque emplea diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Este sistema es posicional porque cada cifra adquiere un valor distinto de acuerdo a la posición en donde se encuentre. A lo largo del tiempo han existido otros sistemas de numeración como el romano, que es usado hoy en día en ciertas situaciones.

La falta del número cero y la imposibilidad de representar fracciones y números decimales hizo que el sistema romano quedara en desuso.

Números primos y compuestos

Los números enteros que solo son divisibles entre ellos mismos y la unidad se denominan números primos. Hay números que además de ser divisibles entre ellos mismos y la unidad pueden ser divisibles por otros números, y se conocen como números compuestos. Por convención, el 1 no es clasificado como número primo ni compuesto; por otro lado, el 0, al no poder ser dividido entre él mismo, tampoco entra en dichas clasificaciones.

La Criba de Eratóstenes es una tabla que permite identificar de manera simple los números primos.

Un vistazo a los números decimales

Los números que se encuentran entre dos números enteros consecutivos se denominan números decimales y se caracterizan por una parte entera y otra parte decimal. La parte entera puede ser igual o diferente de cero y la parte decimal está ubicada después del separador decimal que puede ser un punto o una coma de acuerdo a la convención de cada país. La suma y resta de decimales se hace igual que con los números enteros, pero se debe tener la precaución que cada cifra esté ordenada de acuerdo a su mismo valor posicional.

Los números decimales pueden tener decimales infinitos como sucede en el caso del número pi: 3,141592…

Valor posicional

Cada cifra adquiere un valor dentro de un número y por medio de una tabla posicional se pueden representar dichos valores. Para números de seis dígitos estos son, de mayor a menor: centena de mil, decena de mil, unidad de mil, centena, decena y unidad. Conocer los valores posicionales facilita realizar operaciones como la descomposición aditiva de un número.

La descomposición aditiva permite expresar un número en forma de suma. Este tipo de descomposición relaciona el valor relativo de cada cifra.

Secuencias

Al conjunto de elementos que guardan relación y conservan un orden particular se lo denomina “secuencia”. El orden de una secuencia viene dado por una regla que puede ser, por ejemplo, su forma, tamaño o color. Además, en el caso de las secuencias numéricas, la regla puede implicar que los números incrementen o disminuyan su valor, en estos casos se denominan secuencias ascendentes y descendentes respectivamente. Conocer las secuencias permite realizar operaciones como las divisiones con restas sucesivas.

Los números naturales corresponden a una secuencia numérica infinita del tipo ascendente donde cada número se encuentra ordenado de 1 en 1.

CAPÍTULO 1 / TEMA 4

Valor posicional

El sistema de numeración decimal es el más usado en todo el mundo. Se caracteriza por ser posicional, es decir, cada cifra toma un valor diferente de acuerdo al lugar que ocupe dentro de un número. Esta característica es conocida como valor posicional, y es aplicable a todos los números incluidos los enteros y decimales.

Valor posicional de cifras hasta 100.000

Como se mencionó al comienzo, las cifras de un número adquieren distinto valor según la posición que ocupen. No es lo mismo una cifra ubicada en la columna de las unidades de mil que la misma localizada en la columna de las decenas. Por ejemplo, la posición que ocupa la cifra 1 en los números 1.524 y 4.314 no tiene el misma valor. En el número 1.524 está en la columna de las unidades de mil y en el número 4.314 ocupa el lugar de las decenas. Aunque es la misma cifra, representa magnitudes diferentes: 1.000 y 10 respectivamente. Por eso se dice que el valor de las cifras depende de la posición que ocupen.

Valores de una cifra

Toda cifra tiene dos valores: uno absoluto y otro relativo. El valor absoluto es el valor de la cifra en sí mismo, es decir, el que tiene por su figura. El valor relativo es el que tiene una cifra de acuerdo a la posición que ocupa dentro de un número. Por ejemplo, en el caso del número 5.050 el valor absoluto de los dos 5 es el mismo, es decir 5. Pero el valor relativo no es igual. Para el primer cinco, el valor relativo es 5.000 por estar en el lugar de las unidades de mil y para el segundo cinco el valor relativo es de 50 por estar ubicado en la columna de las decenas.

¿Sabías qué?

Conocer el valor posicional de un número facilita su descomposición, que es de gran ayuda al momento de realizar operaciones y de escribir en letras un número.

Tabla posicional

Permite ver de manera sencilla la ubicación de las cifras de un número. En la tabla se muestra por columna cada valor posicional correspondiente: centena de mil, decena de mil, unidad de mil, centena, decena y unidad.

La tabla posicional para un número de seis cifras se presenta así:

Representación de números en la tabla posicional

Las cifras de un número se ubican en la tabla posicional en la columna a la que corresponda su valor, de derecha a izquierda. De este modo, si quisiéramos representar el número 195.632 en la tabla posicional, quedaría de la siguiente forma:

Se puede observar el valor posicional de cada cifra:

El 1 pertenece a las centenas de mil.
El 9 pertenece a las decenas de mil.
El 5 pertenece a las unidades de mil.
El 6 pertenece a las centenas.
El 3 pertenece a las decenas.
El 2 pertenece a las unidades.

Es por ello que si se deseas conocer el valor relativo de una cifra es aconsejable emplear la tabla posicional.

¿Sabías qué?

Las centenas de mil, decenas de mil y unidades de mil también son conocidas como centenas de millar, decenas de millar y unidades de millar respectivamente.

Descomposición aditiva de un número

Cualquier número puede expresarse a través de la suma, en lo que se conoce como descomposición aditiva. Este tipo de descomposición expresa en forma de suma el valor posicional de cada una de sus cifras.

Por ejemplo, el número 1.458 se descompone de la siguiente manera:

1.458 = 1.000 + 400 + 50 + 8

Toda esta descomposición parte de que el número 1.458 esta formado por:

1 unidad de mil = 1 x 1.000 = 1.000
4 centenas = 4 x 100 = 400
5 decenas = 5 x 10 = 50
8 unidades = 8 x 1 = 8

Otros ejemplos son:

254.331 = 200.000 + 50.000 + 4.000 + 300 + 30 + 1
85.417 = 80.000 + 5.000 + 400 + 10 + 7
30.154 = 30.000 + 100 + 50 + 4
100.540 = 100.000 + 500 + 40

Los números pueden expresarse a través de la suma en una descomposición aditiva. Este tipo de descomposición no es más que una expresión en la que se representa un número en forma de suma y donde cada sumando corresponde al valor posicional que tenga cada dígito dentro de un número. Para realizar este tipo de descomposición es necesario conocer el valor posicional de las cifras.

¿Sabías qué?

Cuando se descomponen números de forma aditiva las cifras iguales a cero se omiten en los sumandos.

Valor posicional de decimales

La tabla posicional de los decimales es similar a la que se usa en los números enteros, la diferencia es que incluyen las cifras de la parte decimal: las décimas, centésimas y milésimas:

El procedimiento para ubicar los números en la tabla posicional es exactamente igual y se debe verificar que la coma o punto decimal se encuentre en su columna correspondiente.

El número 128.457,639 se expresa en la tabla de la siguiente forma:

En la tabla se puede observar el valor de cada cifra:

El 1 pertenece a las centenas de mil.

El 2 pertenece a las decenas de mil.

El 8 pertenece a las unidades de mil.

El 4 pertenece a las centenas.

El 5 pertenece a las decenas.

El 7 pertenece a las unidades.

El 6 pertenece a las décimas.

El 3 pertenece a las centésimas.

El 9 pertenece a las milésimas.

Descomposición aditiva de decimales

Los números decimales contienen dos partes: la parte entera y la parte decimal. La parte entera se descompone de la misma forma como se descomponen los números enteros; en la parte decimal por ser menor que la unidad se debe considerar el valor posicional que es diferente:

1 décima equivale a 0,1 unidades.
1 centésima a 0,01 unidades.
1 milésima equivale a 0,001 unidades.

Al aplicar esto, la descomposición aditiva del número 0,584 sería: 0,584 = 0,5 + 0,08 + 0,004.

Ejercicios

¿Qué valor posicional tiene la cifra 2 en el número 125.534?

Solución
Decena de mil.
¿Qué valor posicional tiene la cifra 5 en el número 24,25?

Solución
Centésima.
¿Qué valor posicional tiene la cifra 1 en el número 102.345?

Solución
Centena de mil.
¿Qué valor posicional tiene la cifra 7 en el número 1.007,468?

Solución
Unidad.
Expresa la descomposición aditiva de los siguientes números:
a) 1.865

Solución
1.865 = 1.000 + 800 + 60 + 5
b) 198.456

Solución
198.056 = 100.000 + 90.000 + 8.000 + 50 + 6
c) 74.600

Solución
74.600 = 70.000 + 4.000 + 600
d) 0,54

Solución
0,54 = 0,5 + 0,04
e) 105.111

Solución
105.111 = 100.000 + 5.000 + 100 + 10 + 1
f) 3.333

Solución
3.333 = 3.000 + 300 + 30 + 3
g) 15.287

Solución
15.287 = 10.000 + 5.000 + 200 + 80 +7
d) 0,025

Solución
0,025 = 0,02 + 0,005

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Valores absolutos y relativos”

El presente artículo permite ampliar el conocimiento del valor absoluto y relativo de una cifra.

VER

Artículo “Sistemas posicionales de numeración”

En el siguiente artículo se explica qué es un sistema de numeración y se mencionan algunos de los tipos más comunes.

VER

Artículo “Composición y descomposición de números”

Este artículo explica qué es una composición aditiva y su diferencia con la descomposición aditiva, así como la aplicación de esta última en problemas cotidianos.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 1

LECTURA DE NÚMEROS

Los números pueden parecer muy difíciles si tienen muchas cifras, pero no son tan complicados cuando conoces la posición de los dígitos y el valor relativo de cada uno. Con unos pasos muy sencillos podrás leerlos, ya sea que pertenezcan a nuestro sistema de numeración decimal o al sistema de numeración romano.

Lectura de números naturales

Brasil es un país ubicado en América del Sur. Tiene una superficie total de 8.515.770 km² y una población estimada de 210.385.000 habitantes. Se trata del segundo país más poblado de todo el continente americano. **¿Puedes leer esos números?,** **¿cuántos habitantes hay en Brasil?,** **¿cuál es su superficie? En este artículo, veremos los pasos para saber cómo leerlos.**

Los números naturales son aquellos que usas para contar. Inician desde el cero (0) y siguen hasta el infinito. Este conjunto de números fue el primero que se utilizó para calcular y por definición matemática se representan así:

$\mathbb{N} = \left \{0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, ... \right \}$

Estos son los que más empleas día a día. Con ellos das la hora, tu fecha de cumpleaños o tu número de identificación. En cualquier caso, la ubicación de cada cifra cumple un valor relativo. Así, en el número 25.651, el 5 se ubica en dos posiciones: en las decenas y en las unidades de mil. El valor relativo de cada cifra es:

Y el número se lee: veinticinco mil seiscientos cincuenta y uno.

Las posiciones de cada cifra permiten la correcta lectura de los números, en especial, cuando los números son grandes. Para leer un número natural, lo primero que debes hacer es escribirlo correctamente. Esto se logra por medio de agrupación de dígitos. Para leer el número 123604785219, los pasos son los siguientes:

Coloca un punto cada tres dígitos. Empieza de derecha a izquierda.
Cada punto rojo, de derecha a izquierda, representará la palabra “mil”.
Cada punto azul, de derecha a izquierda, representará en orden ascendente la secuencia: millones, billones, trillones, cuatrillones, quintillones, etc.

Por último, se lee el número de izquierda a derecha: ciento veintitrés mil seiscientos cuatro millones setecientos cincuenta y ocho mil doscientos diecinueve.

¿Cómo se leen estos números?

121.568.265

Solución

Ciento veintiún millones quinientos sesenta y ocho mil doscientos sesenta y cinco.

923.645.687.156

Solución

Novecientos veintitrés mil seiscientos cuarenta y cinco millones seiscientos ochenta y siete mil ciento cincuenta y seis.

216.035.548.665.021

Solución

Doscientos dieciséis billones treinta y cinco mil quinientos cuarenta y ocho millones seiscientos sesenta y cinco mil veintiuno.

¿Sabías qué?

El número de Graham es el número más grande que se ha representado matemáticamente. Su símbolo es la letra G y requirió el uso de símbolos y la notación flecha de Knuth para su representación.

LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales se componen de una parte entera y una parte decimal que va separada por una coma. Estos números están presentes en nuestro día a día: en nuestro peso, cuando usamos el termómetro o en los precios de los productos.

Las partes de un número decimal están divididas por un separador. Aunque el Sistema Internacional de Unidades (SI) y la ISO aceptan el punto y la coma como separador decimal, la Real Academia Española aclara que la coma es “el signo igual al ortográfico que se emplea para separar la parte entera de la parte decimal en las expresiones numéricas”.

Para el número 325,086 el valor relativo de cada cifra se representa así:

Según el lugar que ocupe el decimal se representará en orden ascendente la secuencia: décima, centésima, milésima, diezmilésima, cienmilésima, milmilésima, etc. Todos estos son valores más pequeños que uno (1). Observa la tabla:

Décimas

Centésimas

Milésimas

La décima parte de la unidad es

$\frac{1}{10}= 0,1$

La centésima parte de la unidad es

$\frac{1}{100}= 0,01$

La milésima parte de la unidad es

$\frac{1}{1000}= 0,001$

1 U = 10 d

1 U = 100 c

1 d = 10 c

1 U = 1.000 m

1 d = 100 m

1 c = 10 m

Donde:

U: unidad

d: décimas

c: centésimas

m: milésimas

De centenas a milésimas

Para leer un número decimal debes seguir estos pasos:

Lee la parte entera de izquierda a derecha seguida de la palabra “enteros”.
Lee toda la parte decimal como se lee la parte entera.
Menciona la posición en la que se encuentra la última cifra decimal.

Entonces, la lectura del número 122,96 es: ciento veintidós enteros noventa y seis centésimas.

Existe otra forma de leer números decimales, los pasos son los siguientes:

Lee la parte entera de izquierda a derecha seguida de la palabra “coma”.
Lee toda la parte decimal como se lee la parte entera.

De este modo, la lectura del número 122,96 también es: ciento veintidós coma noventa y seis.

¿Cómo se leen estos números?

2,364

Solución

Dos enteros trescientos sesenta y cuatro milésimas.

5.879.009,587

Solución

Cinco millones ochocientos setenta y nueve mil nueve enteros quinientos ochenta y siete milésimas.

175.756,2

Solución

Ciento setenta y cinco mil setecientos cincuenta y seis enteros dos décimas.

¿Sabías qué?

El número pi (π) es un número con decimales infinitos y es una de las constantes matemáticas más utilizadas. Relaciona el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro.

LECTURA DE NÚMEROS ROMANOS

La numeración romana tiene siete símbolos representados por siete letras del abecedario latino:

Número romano	I	V	X	L	C	D	M
Número arábigo	1	5	10	50	100	500	1.000

Por ejemplo, el número XVI es igual a 16 porque:

XVI = 10 + 5 + 1 = 16

Si bien los números romanos están en desuso en la actualidad, es posible verlos en relojes, capítulos y tomos de libros, materias en programas académicos, leyes y reformas, sagas de películas, concursos, actos y escenas de obras de teatro, nombres de papas, nombres de reyes, y en lápidas y esculturas conmemorativas.

Para poder realizar la lectura de los números romanos de pocas o muchas cifras necesitas conocer las siguientes reglas:

1. Regla de la suma

Si a la derecha de una número romano tenemos otro de menor valor, entonces las cifras se suman.

CL = 100 + 50 = 150

XXIII = 10 + 10 + 3 = 23

2. Regla de la resta

I solo puede colocarse delante de V y X.

IV = 5 − 1 = 4

IX = 10 − 1 = 9

X solo puede restar a L y C.

XL = 50 − 10 = 40

XC = 100 − 10 = 90

C solo puede restar a D y M.

CD = 500 − 100 = 400

CM = 1.000 − 100 = 900

V, L y D nunca pueden usarse para restar otros números.

3. Regla de la repetición

Podemos repetir I, X, C y M un máximo de tres veces. En cambio, V, L y D no se pueden repetir.

III = 1 + 1 + 1 = 3

MMM = 1.000 + 1.000 + 1.000 = 3.000

4. Regla de la multiplicación

Después de 3.999 el sistema es diferente y se coloca una raya horizontal encima del número romano, esto significa que se ha multiplicado por 1.000. Si se colocan dos rayas, el número será multiplicado por 1.000.000.

$\overline{V} = 5 \times 1.000 = 5.000$

$\overline{XLIV} = [(50 - 10)+(5-1)] \times 1.000 = 44 \times 1.000 = 44.000$

$\overline{MMCXC}= [(1.000+1.000)+(100)+(100-10)]=2.190\times1.000=2.190.000$

VER INFOGRAFÍA

De número natural a número romano

Al descomponer un número natural puedes encontrar el equivalente a su número romano. Para ello, solo debes usar los números 1, 5, 10, 50, 100, 500 o 1.000 en la descomposición. Las sumas y restas están permitidas.

Por ejemplo, el número romano equivalente a 279 se encuentra por medio de esta descomposición:

¿Estos números romanos son correctos?

VIIII

Solución

No. El número romano I solo puede repetirse un máximo de tres veces. Si deseas escribir el número 9 en números romanos lo correcto es:

IX = 10 − 1 = 9

Solución

No. El número romano X solo puede restar a L y C. Si deseas escribir el número 15 en número romano lo correcto es:

XV = 10 + 5 = 15

DDD

Solución

No. El número romano D no puede repetirse. Si deseas escribir el número 1.500 en número romanos, lo correcto es:

MD = 1.000 + 500 = 1.500

VALOR POSICIONAL DE CIFRAS

El sistema de numeración decimal es el más usado en el mundo, se caracteriza por:

Estar conformado por 10 cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Ser posicional, es decir, cada cifra tiene un valor de acuerdo a su posición dentro del número.

Mismos números, distintas posiciones

Con tres dígitos, como 8, 3 y 5, se pueden formar varios números, sin embargo, no todos tendrán el mismo valor posicional.

Según la posición que ocupe un dígito en un número su valor será diferente. Por ejemplo, el dígito 3 ocupa distintos puestos en el número 53.412.130.004.322,18, y por lo tanto, cada uno tiene un valor diferente. Observa la tabla de valores posicionales:

En este número, el dígito 3 ocupa tres posiciones:

Unidad de billón, que equivale a 1.000.000.000.000 unidades, entonces:

3 x 1.000.000.000.000 = 3.000.000.000.000

Decena de millón, equivalente a 10.000.000 unidades, entonces:

3 x 10.000.000 = 30.000.000

Centena, que equivale a 100 unidades, entonces:

3 x 100 = 300

Este número se lee: cincuenta y tres billones cuatrocientos doce mil ciento treinta millones cuatro mil trescientos veintidós enteros dieciocho centésimas.

Tabla de equivalencias

1 unidad = 1 unidad

1 decena = 10 unidades

1 centena = 100 unidades

1 unidad de mil (millar) = 1.000 unidades

1 decena de mil (millar) = 10.000 unidades

1 centena de mil (millar) = 100.000 unidades

1 unidad de millón = 1.000.000 unidades

1 decena de millón = 10.000.000 unidades

1 centena de millón = 100.000.000 unidades

1 unidad de millar de millón = 1.000.000.000 unidades

1 decena de millar de millón = 10.000.000.000 unidades

1 centena de millar de millón = 100.000.000.000 unidades

1 unidad de billón = 1.000.000.000.000 unidades

1 decena de billón = 10.000.000.000.000 unidades

1 centena de billón = 100.000.000.000.000 unidades

¿Qué valor posicional tienen los números marcados en rojo?

587.124.687,7956

Solución

Decena.

8.147.561,115

Solución

Unidad de millón.

64.789,185948

Solución

Milésima.

189.547.963.004.279

Solución

Centena de billón.

Ejercicios

1. Lee y escribe en letras los siguientes números:

3465268

Solución

3.465.268 = tres millones cuatrocientos sesenta y cinco mil doscientos sesenta y ocho.

12563,158

Solución

12.563,158 = doce mil quinientos sesenta y tres enteros ciento cincuenta y ocho milésimas.

684812313

Solución

684.812.313 = seiscientos ochenta y cuatro millones ochocientos doce mil trescientos trece.

$\fn_cm \overline{LXV}$

Solución

Sesenta y cinco mil.

Solución

Dos mil.

165,5346821

Solución

Ciento sesenta y cinco enteros cinco millones trescientos cuarenta y seis mil ochocientos veintiún diezmillonésimas.

$\fn_cm \overline{MMMC}$

Solución

Tres millones cien mil.

$\fn_cm \overline{DXI}$

Solución

Quinientos once mil.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Números grandes: lectura y escritura”

El siguiente artículo le permitirá ampliar información sobre la lectura y escritura de números grandes.

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