CAPÍTULO 1 / TEMA 7 (REVISIÓN)

SENTIDO NUMÉRICO | REVISIÓN

UNIVERSO DE LOS NÚMEROS

Los números desde su invención han servido para contar cosas y por eso existen diferentes sistemas y tipos de números que permiten un mejor conocimiento de las cantidades. Para comprender el sentido numérico, dentro del universo de los números se utilizan diversas clasificaciones. Un tipo de números son los ordinales que sirven para establecer un orden. Por otro lado, existen los cardinales que indican cantidades numéricas de elementos que pertenecen a un grupo o conjunto. Actualmente, el sistema más usado es el sistema numérico decimal pero no es el único que existe. Otras culturas crearon sistemas de numeración distintos al decimal, como por ejemplo, los mayas y los romanos.

El sistema de numeración binario se utiliza principalmente en la informática. Está conformado solo por dos cifras: el 0 y el 1.

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

De acuerdo a la cantidad de divisores que poseen los número, los podemos clasificar en primos y compuestos. Los números primos son aquellos que solo son divisibles por el número uno y por sí mismos. En cambio, los números compuestos son aquellos que además de ser divisibles por el uno y por sí mismos, también son divisibles por otro u otros números, es decir, tienen más de dos divisores. Todos los números compuestos pueden expresarse como un producto de factores primos.

Para determinar los factores primos de un número compuesto se emplean los criterios de divisibilidad.

VALOR POSICIONAL

Una de las principales características de nuestro sistema de numeración decimal es que el valor de los dígitos varía de acuerdo a su ubicación dentro del número. Esta característica se denomina valor posicional y aplica tanto en los números enteros como en los fraccionarios. Una herramienta que nos permite observar directamente el valor de cada dígito de acuerdo al lugar que ocupa es la tabla posicional.

Según la posición de cada dígito, los números pueden descomponerse en forma de suma (descomposición aditiva) o de multiplicación (descomposición multiplicativa).

NÚMEROS DECIMALES

Hay números que se ubican entre dos números enteros consecutivos, estos números se denominan números decimales y se caracterizan porque presentan una parte entera y una decimal, que se encuentran separadas por una coma o punto de acuerdo a la convención del país. Los números decimales se clasifican en racionales y en irracionales. Los racionales se pueden representar en forma de fracción, y los irracionales son números infinitos cuya parte decimal no sigue ningún patrón, como sucede en el caso del número pi.

A menudo se pueden aplicar redondeos en las cifras decimales de un número para simplificar los cálculos.

POTENCIAS

La potenciación es una operación compuesta de tres partes fundamentales: el exponente, la base y la potencia. El exponente indica cuántas veces se debe multiplicar la base por si misma. La base es el número que se multiplica por sí mismo las veces que indique el exponente. La potencia es el resultado de la operación de potenciación. Como toda operación matemática, las potencias cumplen con algunas propiedades. Por ejemplo, todo número elevado a 0 es igual a 1. Para resolver potencias se aplican sus propiedades y se realizan multiplicaciones sucesivas de la base.

Cuando el exponente es 1, la potencia es siempre igual a la base.

RAÍZ DE UN NÚMERO

La radicación es la operación inversa a la potenciación y por ello se encuentran estrechamente relacionadas. Esta operación emplea el símbolo (√) denominado radical. Sus elementos principales son el radicando, el índice y la raíz. El radicando es el número al cual se le va a calcular la raíz y se encuentra en la parte inferior del radical. El índice es el número que índica la cantidad de veces en las que debe multiplicarse un número por sí mismo para que el resultado sea igual al radicando, y se ubica en la parte izquierda del radical. La raíz es el resultado de la operación. Para calcular una raíz se debe buscar un número que multiplicado por sí mismo las veces que indique el índice dé como resultado el mismo valor del radicando.

En las raíces cuadradas, el índice 2 no se coloca en el radical: simplemente se denotan como (√).

CAPÍTULO 1 / TEMA 3

VALOR POSICIONAL

El sistema de numeración decimal se caracteriza por ser de base 10 y por ser posicional. Esto significa que solo usa diez dígitos y que la posición de cada uno de ellos determina el valor que tienen. La tablas posicionales y la descomposición son algunas técnicas que podemos emplear para escribir y leer números con más de cinco cifras de manera sencilla. A continuación verás lo fácil que es.

VALOR POSICIONAL DE CIFRAS HASTA 1.000.000

En el sistema de numeración decimal contamos con los siguientes dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Con ellos podemos formar todos los números del sistema ya que si variamos la posición de las cifras dentro del número, también cambiamos su valor. Esta característica se denomina valor posicional.

Como podemos observar en este ejemplo, todas las cifras que componen el número 999.999 son las mismas: 9, pero cada una tiene un valor diferente debido a su posición dentro del número.

Como ya sabemos, luego de 3 cifras debemos colocar un punto. En este caso, dicho punto separa a los miles de los millones. El número que le sigue al 999.999 es el millón, que se escribe de la siguiente manera:

1.000.000

¿Sabías qué?

Si empiezas a contar de uno en uno no terminarás nunca porque los números no tienen un final, es decir, son infinitos.

Cuando algo no termina decimos que es infinito, y los números son un ejemplo de ello. No hay un límite final para los números, pero tampoco hay un comienzo, ya que antes del 0 hay una infinidad de número negativos. Cuando queramos expresar que una cuenta es infinita podemos utilizar el símbolo que lo representa: ∞.

LA TABLA POSICIONAL

Existe una clasificación según la posición que tengan las cifras dentro del número. Cada posición recibe el nombre de un orden, como las unidades, decenas y centenas. Cada tres órdenes se forma una clase, que va desde las unidades, miles, millones, millares de millón, billones, etc. Podemos observar toda esta información en una tabla posicional.

– Ejemplo:

Según la tabla posicional, los valores de cada cifra de derecha a izquierda son los siguientes:

2 unidades = 2 se lee “dos”.
3 decenas = 30 se lee “treinta”
5 centenas = 500 se lee “quinientos”.
9 unidades de mil = 9.000 se lee “nueve mil”.
4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
8 centenas de mil = 800.000 se lee “ochocientos mil”.
1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”

Por lo tanto, el número 1.849.532 se lee “un millón ochocientos cuarenta y nueve mil quinientos treinta y dos”.

– Otro ejemplo:

Según la tabla posicional, los valores son:

5 unidades = 5 se lee “cinco”.
8 decenas = 80 se lee “ochenta”.
9 centenas = 900 se lee “novecientos”.
2 unidades de mil = 2.000 se lee “dos mil”.
4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
6 centenas de mil = 600.000 se lee “seiscientos mil”.
1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”.

Entonces, el número 1.642.985 se lee “un millón seiscientos cuarenta y dos mil novecientos ochenta y cinco”.

¡Es tu turno!

Coloca los siguientes números en sus tablas posicionales:

1.022.467

Solución

270.628

Solución

896.501

Solución

VALOR POSICIONAL DE DECIMALES

Los números decimales se componen de una parte entera y una parte decimal que van separadas por una coma. Esto quiere decir que de un lado de la coma vamos a tener la parte de los números enteros con unidades, decenas, centenas, etc.; y del otro lado, la parte decimal que también tiene valores posicionales conocidos como décimas, centésimas, milésimas, etc.

La parte decimal de los números decimales también puede ser representada en una tabla posicional. Al igual que la parte entera, el valor cambia de acuerdo a la posición de la cifra.

Unidades decimales

Son las que obtenemos al dividir la unidad en partes iguales. Las primeras unidades decimales son las décimas, las centésimas y las milésimas.

Décimas

Centésimas

Milésimas

$\boldsymbol{\frac{1}{10}=0,1}$

$\boldsymbol{\frac{1}{100}=0,01}$

$\boldsymbol{\frac{1}{1.000}=0,001}$

1 unidad = 10 décimas

1 décima = 0,1 unidades

1 unidad = 100 centésimas

1 centésima = 0,01 unidades

1 unidad = 1.000 milésimas

1 milésima = 0,001 unidades

– Ejemplo:

Podemos leer los números decimales de dos formas:

Leemos la parte entera seguida de la palabra “enteros”. Luego leemos la parte decimal como se lee la parte entera y mencionamos la posición en la que está la última cifra.
Leemos la parte entera seguida de la palabra “coma”. Después leemos la parte decimal de la misma forma en la que lees la parte entera.

De este modo, el número 5.897,234 puede ser leído de dos formas, ambas correctas:

“Cinco mil ochocientos noventa y siete enteros doscientos treinta y cuatro milésimas“.
“Cinco mil ochocientos noventa y siete coma doscientos treinta y cuatro”.

DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE UN NÚMERO

Todos los números pueden descomponerse de diversas maneras. Una de ellas es la descomposición aditiva, la cual consiste en representar números como la suma de otros.

Por ejemplo, podemos descomponer el número 128 de forma aditiva y representarlo así:

128 = 100 + 20 + 8

Observa que sumamos los valores posicionales de cada cifra.

– Otros ejemplos:

419.847 = 400.000 + 10.000 + 9.000 + 800 + 40 + 7
1.589.634 = 1.000.000 + 500.000 + 80.000 + 9.000 + 600 + 30 + 4
25,39 = 20 + 5 + 0,3 + 0,09

Cualquier número puede ser expresado a través de la suma, en lo que se conoce como descomposición aditiva. Este tipo de descomposición considera el valor posicional de cada una de sus cifras, pero también es posible verlo como la suma de diferentes cifras, por ejemplo, 15 = 10 + 5, pero también lo podemos escribir como 15 = 7 + 8.

DESCOMPOSICIÓN MULTIPLICATIVA DE UN NÚMERO

Es otro tipo de descomposición en el que representamos números por medio de multiplicaciones. Aquí tomamos en cuenta el valor del dígito por el valor de su posición.

– Ejemplo:

Este número tiene:

2 unidades = 2 × 1
3 decenas = 3 × 10
9 centenas = 9 × 100
6 unidades de mil = 6 × 1.000

Su descomposición multiplicativa es:

6.932 = 6 × 1.000 + 9 × 100 + 3 × 10 + 2 × 1

– Otros ejemplos:

958.348 = 9 × 100.000 + 5 × 10.000 + 8 × 1.000 + 3 × 100 + 4 × 10 + 8 × 1
22.076 = 2 × 10.000 + 2 × 1.000 + 7 × 10 + 6 × 1
143,896 =1 × 100 + 4 × 10 + 3 × 1 + 8 × 0,1 + 9 × 0,01 + 6 × 0,001

¡A practicar!

1. Coloca los siguientes números en tablas posicionales.

775.426

Solución

2.325,682

Solución

987.110,85

Solución

2. Escribe la descomposición aditiva de los siguientes números:

6.887

Solución

6.887 = 6.000 + 800 + 80 + 7

Solución

359 = 300 + 50 + 9

856.421

Solución

856.421 = 800.00 + 50.00 + 6.000 + 400 + 20 + 1

1.325.644,856

Solución

1.325.644,856 = 1.000.000 + 300.000 + 20.000 + 5.000 + 600 + 40 + 4 + 0,8 + 0,05 + 0,006

3. Escribe la descomposición multiplicativa de los siguientes números:

Solución

427 = 4 × 100 + 2 × 10 + 7 × 1

17.504

Solución

17.504 = 1 × 10.000 + 7 × 1.000 + 5 × 100 + 4 × 1

266.915

Solución

266.915 = 2 × 100.000 + 6 × 10.000 + 6 × 1.000 + 9 × 100 + 1 × 10 + 5 × 1

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo destacado “Sistemas posicionales de numeración”

El siguiente artículo te permitirá conocer más acerca del valor posicional en distintos sistemas de numeración.

VER

Artículo destacado “Composición y descomposición de números”

El siguiente artículo te permitirá profundizar la información sobre la composición y descomposición de los números.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 2

DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS

Usamos los números en muchas situaciones de la vida cotidiana, pero algunas veces necesitamos descomponerlos para que una operación matemática sea más sencilla. Estas separaciones de números se pueden hacer de diversas formas y por medio de sumas, multiplicaciones o combinaciones de estas.

DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE UN NÚMERO

Saber cómo formar números a partir de otros más pequeños puede resultar muy útil en nuestro día a día. Si, por ejemplo, necesitamos pagar una cuenta de $ 150, podemos pagar con un billete de $ 100 y otro billete de $ 50; también podríamos pagar con tres billetes de $ 50. Como verás a continuación, esto es una descomposición aditiva.

Un número se puede descomponer en una suma de varios números más pequeños, para ello existen dos formas de realizarlo:

1. Descomposición aditiva por medio de combinaciones básicas

Consiste en descomponer el número a través de una o más sumas que den como resultado el número original. Por ejemplo, el número 589.478,12 se puede descomponer de muchas maneras. Estas son algunas:

589.478,12 = 156.562,3 + 432.915,82

589.478,12 = 101.102 + 359.349,3 + 129.026,82

589.478,12 = 540.000 + 6.254 + 273,127 + 42.950,993

2. Descomposición aditiva por medio del valor posicional

Consiste en descomponer el número a través de la suma de los valores posicionales de cada cifra. De este modo, si queremos descomponer el número 54.268,2789, lo primero que debemos hacer es ubicar cada uno de sus valores en la tabla posicional. Observa:

Vemos en la tabla que:

5 ocupa la posición de las decenas de mil → 50.000
4 ocupa la posición de las unidades de mil → 4.000
2 ocupa la posición de las centenas → 200
6 ocupa la posición de las decenas → 60
8 ocupa la posición de las unidades → 8
2 ocupa la posición de las décimas → 0,2
7 ocupa la posición de las centésimas → 0,07
6 ocupa la posición de las milésimas → 0,006
9 ocupa la posición de las diezmilésimas → 0,0009

Ahora solo debes sumar todos los valores posicionales:

54.268,2769 = 50.000 + 4.000 + 200 + 60 + 8 + 0,2 + 0,07 + 0,006 + 0,0009

Otro ejemplos:

1.567.423,5916 = 1.000.000 + 500.000 + 60.000 + 7.000 + 400 + 20 + 3 + 0,5 + 0,09 + 0,001 + 0,0006
200.874,95 = 200.000 + 800 + 70 + 4 + 0,9 + 0,05

Observa que no tomamos en cuenta el dígito cero (0) para la descomposición de números.

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO

La descomposición polinómica se hace al combinar la suma y la multiplicación de potencias de base 10. Para descomponer de forma polinómica el número 452.328.465, los pasos son los siguientes:

1. Haz la descomposición aditiva del número. Puedes apoyarte en una tabla posicional como esta:

452.328.465 = 400.000.000 + 50.000.000 + 2.000.000 + 300.000 + 20.000 + 8.000 + 400 + 60 + 5

2. Convierte cada sumando en la multiplicación de la cifra respectiva por la unidad seguida de cero.

452.328.465 = 4 x 100.000.000 + 5 x 10.000.000 + 2 x 1.000.000 + 3 x 100.000 + 2 x 10.000 + 8 x 1.000 + 4 x 100 + 6 x 10 + 5

3. Transforma las unidades seguidas de cero a potencias de base 10.

452.328.465 = 4 x 10⁸ + 5 x 10⁷ + 2 x 10⁶ + 3 x 10⁵ + 2 x 10⁴ + 8 x 10³ + 4 x 10² + 6 x 10 + 5 x 10⁰

Potencia de base 10

Potencia igual a la unidad seguida de tantos ceros como exprese el exponente. Estas potencias son muy usadas para representar números grandes.

10² = 10 x 10 = 100
10³ = 10 x 10 x 10 = 1.000
10⁴ = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000

¿Sabías qué?

Los mayas utilizaban un sistema de numeración posicional de base 20, es decir, las cantidades se agrupaban de 20 en 20. Dichos valores permitían obtener sumas de números grandes.

DESCOMPOSICIÓN MULTIPLICATIVA DE UN NÚMERO

Las matemáticas han permitido que el ser humano resuelva situaciones de una manera más rápida y sencilla. Una de estas facilidades es expresar un número como una multiplicación de sus factores primos.

Un número se puede expresar de otra manera equivalente al utilizar la multiplicación de factores. Esta técnica matemática se realiza con el uso de los números primos.

¿Qué son los números primos?

Un número primo es aquel que solo puede dividirse por sí mismo y por el número uno. Es decir, que posee solo dos divisores. Los primeros 100 números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541.

Ejemplo: el número 60 puede descomponerse en distintas multiplicaciones.

60 = 6 x 10

60 = (2 x 3) x (2 x 5)

60 = 2 x 3 x 2 x 5

Observa que el número 6 se descompone en sus factores primos 2 y 3. Sucede lo mismo con el número 10 que se descompone en dos factores primos: 2 y 5. Otras maneras de descomponer el número 60 son estas:

60 = 4 x 15 = 2 x 2 x 3 x 5
60 = 20 x 3 = 2 x 2 x 5 x 3

Para números más grandes, observa estos ejemplos:

221.269 = 409 x 541
147.413.303 =521 x 523 x 541
1.738.066 = 2 x 11 x 199 x 397

¡A practicar!

1. Escribe la descomposición aditiva por medio del valor posicional de estos números:

4.856.912

Solución

4.856.912 = 4.000.000 + 800.000 + 50.000 + 6.000 + 900 + 10 + 2

73.892.146,965

Solución

73.892.146,965 = 70.000.000 + 3.000.000 + 800.000 + 90.000 + 2.000 + 100 + 40 + 6 + 0,9 + 0,06 + 0,005

5.198.762,4023

Solución

5.198.762,4023= 5.000.000 + 100.000 + 90.000 + 8.000 + 700 + 60 + 2 + 0,4 + 0,002 + 0,0003

2. Escribe la descomposición polinómica de estos números:

20.279.531

Solución

2 x 10⁷ + 2 x 10⁵ + 7 x 10⁴ + 9 x 10³ + 5 x 10² + 3 x 10¹ + 1 x 10⁰

579.348.670

Solución

5 x 10⁸ + 7 x 10⁷ + 9 x 10⁶ + 3 x 10⁵ + 4 x 10⁴ + 8 x 10³ + 6 x 10² + 7 x 10¹

8.671.690

Solución

8.671.690,5364 = 8 x 10⁶ + 6 x 10⁵ + 7 x 10⁴ + 1 x 10³ + 6 x 10 ² + 9 x 10

3. Escribe la descomposición multiplicativa de estos números:

99.301

Solución

99.301 = 199 x 499

Hay más opciones, ¡descúbrelas!

29.884.301

Solución

29.884.301 = 307 x 311 x 313

Hay más opciones, ¡descúbrelas!

2.843.858

Solución

2.843.858 = 2 x 23 x 211 x 293

Hay más opciones, ¡descúbrelas!

1.697.658

Solución

1.697.658 = 2 x 3 x 523 x 541

Hay más opciones, ¡descúbrelas!

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Descomposición de números”

En este artículo encontrarás mayor ayuda para la enseñanza de la descomposición y el valor posicional de los números.

VER

Artículo “Valores absolutos y relativos”

En este artículo encontrará apoyo para la identificación del valor de los números al descomponerlos.

VER

Tarjetas educativas “Números”

En estas tarjetas educativas podrás encontrar los números del 1 al 100 y sus descomposiciones aditivas y polinómicas.

VER