Los números desde su invención han servido para contar cosas y por eso existen diferentes sistemas y tipos de números que permiten un mejor conocimiento de las cantidades. Para comprender el sentido numérico, dentro del universo de los números se utilizan diversas clasificaciones. Un tipo de números son los ordinales que sirven para establecer un orden. Por otro lado, existen los cardinales que indican cantidades numéricas de elementos que pertenecen a un grupo o conjunto. Actualmente, el sistema más usado es el sistema numérico decimal pero no es el único que existe. Otras culturas crearon sistemas de numeración distintos al decimal, como por ejemplo, los mayas y los romanos.
El sistema de numeración binario se utiliza principalmente en la informática. Está conformado solo por dos cifras: el 0 y el 1.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
De acuerdo a la cantidad de divisores que poseen los número, los podemos clasificar en primos y compuestos. Los números primos son aquellos que solo son divisibles por el número uno y por sí mismos. En cambio, los números compuestos son aquellos que además de ser divisibles por el uno y por sí mismos, también son divisibles por otro u otros números, es decir, tienen más de dos divisores. Todos los números compuestos pueden expresarse como un producto de factores primos.
Para determinar los factores primos de un número compuesto se emplean los criterios de divisibilidad.
VALOR POSICIONAL
Una de las principales características de nuestro sistema de numeración decimal es que el valor de los dígitos varía de acuerdo a su ubicación dentro del número. Esta característica se denomina valor posicional y aplica tanto en los números enteros como en los fraccionarios. Una herramienta que nos permite observar directamente el valor de cada dígito de acuerdo al lugar que ocupa es la tabla posicional.
Según la posición de cada dígito, los números pueden descomponerse en forma de suma (descomposición aditiva) o de multiplicación (descomposición multiplicativa).
NÚMEROS DECIMALES
Hay números que se ubican entre dos números enteros consecutivos, estos números se denominan números decimales y se caracterizan porque presentan una parte entera y una decimal, que se encuentran separadas por una coma o punto de acuerdo a la convención del país. Los números decimales se clasifican en racionales y en irracionales. Los racionales se pueden representar en forma de fracción, y los irracionales son números infinitos cuya parte decimal no sigue ningún patrón, como sucede en el caso del número pi.
A menudo se pueden aplicar redondeos en las cifras decimales de un número para simplificar los cálculos.
POTENCIAS
La potenciación es una operación compuesta de tres partes fundamentales: el exponente, la base y la potencia. El exponente indica cuántas veces se debe multiplicar la base por si misma. La base es el número que se multiplica por sí mismo las veces que indique el exponente. La potencia es el resultado de la operación de potenciación. Como toda operación matemática, las potencias cumplen con algunas propiedades. Por ejemplo, todo número elevado a 0 es igual a 1. Para resolver potencias se aplican sus propiedades y se realizan multiplicaciones sucesivas de la base.
Cuando el exponente es 1, la potencia es siempre igual a la base.
RAÍZ DE UN NÚMERO
La radicación es la operación inversa a la potenciación y por ello se encuentran estrechamente relacionadas. Esta operación emplea el símbolo (√) denominado radical. Sus elementos principales son el radicando, el índice y la raíz. El radicando es el número al cual se le va a calcular la raíz y se encuentra en la parte inferior del radical. El índice es el número que índica la cantidad de veces en las que debe multiplicarse un número por sí mismo para que el resultado sea igual al radicando, y se ubica en la parte izquierda del radical. La raíz es el resultado de la operación. Para calcular una raíz se debe buscar un número que multiplicado por sí mismo las veces que indique el índice dé como resultado el mismo valor del radicando.
En las raíces cuadradas, el índice 2 no se coloca en el radical: simplemente se denotan como (√).
Estrechamente relacionada con la potenciación, existe otra operación matemática denominada “radicación”. Ambas operaciones matemáticas son inversas. La raíz cuadrada y la raíz cúbica son unas de las formas de radicación más conocidas. Este tipo de operaciones se emplea en varios ámbitos, especialmente en la geometría y en otras ciencias.
¿Qué es una raíz?
La raíz es el número que se obtiene como resultado de la operación matemática denominada “radicación”. La potenciación calcula el número o potencia que resulta de multiplicar la base por si misma las veces que indica el exponente. La radicación por su parte, calcula la base a partir del exponente y de la potencia. Por eso se dice que son operaciones inversas.
Elementos de las raíces
Para saber cómo encontrar la raíz de un número, primero debemos conocer todos los elementos de la radicación:
Radical: es el símbolo que se emplea en la radicación y se denota como (√).
Radicando: es el número al que se le va a hallar la raíz. Se ubica en la parte inferior del radical, por lo cual es denominado también cantidad subradical.
Índice: es el número que indica las veces que hay que multiplicar un número por sí mismo para obtener el radicando. Se ubica en la abertura izquierda del radical.
Raíz: es el número que al multiplicarse por si mismo las veces que indica el índice es igual al radicando.
¿Sabías qué?
Cuando el índice de una raíz es 2, se denomina raíz cuadrada. En este caso basta con escribir el símbolo de radical sin el índice.
Lectura de raíces
Para leer expresiones de este tipo se debe tener en cuenta que todo depende del número índice de la raíz.
Cuando el número índice es mayor a tres, se utilizan números ordinales para leer el valor de la raíz seguido del radicando. Por ejemplo:
= raíz sexta de sesenta y cuatro.
= raíz cuarta de seiscientos veintiocho.
Si el índice es 2 se lee “raíz cuadrada” y luego se menciona el número del radicando:
= raíz cuadrada de cinco.
Cuando el índice es 3 se lee “raíz cúbica” y luego se menciona el número del radicando:
= raíz cúbica de veintisiete.
¿Cómo se encuentra la raíz?
La raíz de un número se debe calcular al buscar un número que multiplicado por sí mismo la cantidad de veces que exprese el índice dé como resultado el radicando.
Por ejemplo: si el índice es 3 y el radicando es 8, se debe buscar un número que multiplicado 3 veces por si mismo dé como resultado 8. En este caso, sería 2 porque 2 × 2 × 2 = 8. Por lo tanto, la raíz cúbica de 8 es igual a 2.
En el siguiente ejemplo, la raíz cúbica de 64, se obtuvo al buscar un número que multiplicado tres veces por sí mismo dé como resultado 64. En este caso, el resultado es 4 porque 4 × 4 × 4 = 64.
Relación entre potenciación y radicación
Existe una estrecha relación entre la potenciación y la radicación, esto se debe a que ambas operaciones son inversas entre sí.
Si consideramos el ejemplo anterior se podría afirmar que como cuatro elevado al cubo es igual a sesenta y cuatro, a su vez, la raíz cúbica de sesenta y cuatro es cuatro. En el siguiente diagrama podemos observar de forma más clara a esta relación:
Al utilizar la relación que existen entre la potenciación y la radicación podemos definir a esta última como la búsqueda de la base de una potencia cuyo exponente es el índice de la raíz; o, en otras palabras, la búsqueda de un número que elevado al índice dé como resultado el radicando. Esto se aplica de forma habitual en cálculos y fórmulas avanzadas.
¿Sabías qué?
No todos los números tienen una raíz exacta. Por ejemplo,
Cálculo de raíces
Como vimos anteriormente, para encontrar una raíz debemos hacer multiplicaciones de un número por sí mismo según indique el índice. Sin embargo, en la radicación podemos encontrar uno o más cálculos dentro del radicando. Cuando esto sucede, debemos seguir los siguientes pasos.
Resolver las operaciones que están dentro del radicando.
Resolver la raíz
En los siguientes ejemplos veremos el cálculo cuando dentro del radicando existen sumas y restas:
→
→
Cuando se encuentren otras operaciones además de la suma o resta, se resuelven aquellas primero y luego se resuelven las sumas y restas:
→ →
→ →
Los elementos de la radicación son: el índice, el radicando y la raíz. Esta última se obtiene al buscar un número que multiplicado por sí mismo la cantidad de veces que exprese el índice dé como resultado el radicando. En la radicación podemos encontrar uno o más cálculos dentro del símbolo radical. Cuando esto sucede primero se realizan las operaciones y luego se busca la raíz.
¡A practicar!
1. ¿Cómo se leen las siguientes raíces?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
RESPUESTAS
a) = raíz cúbica de mil.
b) = raíz cuadrada de cuarenta y nueve.
c) = raíz cúbica de ciento veinticinco.
d) = raíz cuadrada de ciento cuarenta y cuatro.
e) = raíz cuarta de doscientos cincuenta y seis.
f) = raíz cúbica de trescientos cuarenta y tres.
g) = raíz cuadrada de ciento veintiuno.
2. Calcula las siguientes raíces.
a)
b)
c)
RESPUESTAS
a) = 3 → porque 3 x 3 x 3 (o 33) es 27.
b) = 6 → porque 6 x 6 (o 62) es 36.
c) = 4 → porque 4 x 4 (o 42) es 16.
d) = 9 → porque 9 x 9 (o 92) es 81.
e) = 2→ porque 2 x 2 x 2 (o 23) es 8.
f) = 4 → porque 4 x 4 x 4 (o 43) es 64.
g) = 3 → porque 3 x 3 (o 32) es 9.
Resuelve los cálculos y luego encuentra las raíces:
a)
b)
c)
RESPUESTAS
a)
b)
c)
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo destacado “La radicación”
El siguiente artículo explica qué es la radicación, cuáles son sus principales elementos y cómo resolver problemas de este tipo.
El siguiente artículo te ayudará a conocer en mayor profundidad cuáles son las propiedades de la radicación. Además, contiene algunos ejemplos en donde son aplicadas.
Si tienes que elegir entre 1/2 de pizza o 3/4 de pizza, ¿cuál elegirías? Para responder esta pregunta es importante que sepas comparar distintos tipos de fracciones. Estas expresiones matemáticas constan de un numerador y un denominador, y según la relación entre ellos pueden ser mayores o menores que otras. ¡Aprende cómo ordenar fracciones!
Una fracción es una división entre dos números: un numerador y un denominador. El denominador indica en cuantas partes se divide la unidad y el numerador señala cuántas de esas partes se han de tomar. Si el numerador es menor que el denominador, la fracción es propia; pero si es mayor al denominador, la fracción es impropia.
Ubicación de fracciones en la recta numérica
Fracciones propias
Las fracciones propias son aquellas que tienen el numerador menor al denominador, por lo que siempre son menores a 1. Para ubicar estas fracciones en la recta numérica dividimos a la unidad en tantos segmentos como indique el denominador de la fracción que queremos representar. Luego, contamos tantos espacios como indique el numerador a partir del cero.
– Ejemplo:
La fracción es propia porque su numerador es menor al denominador (4 < 5).
Para representarla en la recta dividimos el segmento entre el 0 y el 1 en 5 espacios (denominador). Después contamos 4 espacios (numerador) y ubicamos la fracción.
Fracciones impropias
Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor al denominador, por lo que siempre son mayores a 1. Para representar este tipo de fracciones en la recta numérica tenemos que transformarlas a números mixtos.
¿Qué es un número mixto?
Es aquel que tiene una parte entera y una parte fraccionaria. Por ejemplo:
Este número mixto se lee “dos enteros y un medio”.
¿Cómo transformar una fracción impropia a un número mixto?
Realiza la división entre el numerador y el denominador. Al terminar con la cuenta, el cociente de la división indica el entero del número mixto; el resto junto al divisor van a conformar la parte fraccionaria: el resto será el numerador y el divisor será el denominador.
– Ejemplo:
¿Cuál es el número mixto equivalente a la fracción ?
Por lo tanto:
De este modo, para poder representar el número mixto en la recta numérica consideramos el número entero, en este caso el 2, y a partir de este seguimos los mismos pasos que en las fracciones propias: dividimos el segmento entre el 2 y el 3 en 2 segmentos iguales (denominador), después contamos un espacio (numerador) y ubicamos la fracción.
Representa las siguientes fracciones en una recta numérica.
Solución
Como la fracción es impropia, la transformamos a número mixto.
Solución
Solución
Solución
Como la fracción es impropia, la transformamos a número mixto.
Las fracciones representan una parte del todo. No solo son importantes en el ámbito escolar, sino que son muy utilizadas en la vida diaria. Usamos fracciones cada vez que partimos un pastel, cuando pedimos media docena de empanadas o cuando cortamos la mitad de un pan. También vemos fracciones en las etiquetas de los productos, por ejemplo, 1/2 litro de jugo.
comparación de fracciones
Cuando comparamos fracciones, determinamos cuál es mayor o menor que otra. Para esto, debemos tomar en cuenta sus elementos y ver si los denominadores son iguales o si sus numeradores son iguales.
Comparar fracciones con igual denominador
Entre dos fracciones con igual denominador será mayor la fracción que tenga mayor numerador.
– Ejemplo:
Observa que los denominadores son iguales (3 = 3) pero los numeradores no; y como 8 > 6, la fracción 8/6 es mayor que 6/3.
Comparar fracciones con igual numerador
Entre dos fracciones con igual numerador será mayor la fracción que tenga menor denominador.
– Ejemplo:
Observa que los numeradores son iguales (12 = 12) pero los denominadores no; y como 5 > 4, la fracción 12/4 es mayor que 12/5.
Fracciones con distintos numeradores y denominadores
Cuando las dos fracciones tienen numeradores y denominadores diferentes, buscamos homogeneizar, es decir, encontrar fracciones equivalentes con igual denominador.
¿Cómo homogeneizar dos fracciones?
Para encontrar las fracciones equivalentes con igual denominador de unas fracciones seguimos estos pasos:
Determinamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ese será el denominador de las fracciones equivalentes.
Encontramos el número por el que hay que multiplicar el numerador y el denominador de las fracciones.
– Ejemplo:
Homogeneiza las fracciones y . Luego compara.
1. Calculamos el m. c. m. de los denominadores 3 y 4.
2. Encontramos el número por el que hay que multiplicar el numerador y el denominador de las fracciones.
Como 3 × 4 = 12, entonces también multiplicamos el numerador por 4.
Como 4 × 3 = 12, entonces también multiplicamos el numerador por 3.
Ahora es más sencillo comparar las fracciones, pues tenemos fracciones homogéneas por lo que seguimos los pasos anteriores: entre dos fracciones con igual denominador será mayor la fracción que tenga mayor numerador. Así que:
Como es la fracción equivalente de ; y es la fracción equivalente de , podemos decir que:
¿Sabías qué?
En el año 1800 a. C. el pueblo babilonio introdujo las fracciones.
Comparación de números mixtos
Entre dos números mixtos, será mayor aquel que tenga mayor parte entera. Por ejemplo:
Pero si las partes enteras son iguales, comparamos la parte fraccionaria por medio de cualquier de los métodos aplicados anteriormente. Por ejemplo:
Las dos partes entera son iguales (1 = 1), pero las partes fraccionarias no. Como ves, ambas son fracciones homogéneas porque los denominadores son iguales (6 = 6), así que comparamos los numeradores, y como 4 > 1, el número mixto es mayor que .
Un uso muy popular de las fracciones es cuando damos la hora. Por ejemplo, cuando decimos que son “las dos y media”, hacemos referencia a un número mixto en la que la parte entera es 2, y la parte fraccionaria es 1/2. También ocurre cuando decimos que “son las cinco y cuarto”, allí la parte entera es 5 y la parte fraccionaria es 1/4.
¡A practicar!
1. Representa las siguientes fracciones en la recta numérica.
Solución
Solución
Solución
Solución
2. Compara los siguientes números mixtos.
y
Solución
y
Solución
y
Solución
porque
y
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Partes y porciones”
En este artículo podrás ampliar la información sobre la comparación de fracciones por medio del método del común denominador (sin utilizar recta numérica).
Enciclopedia “Enciclopedia de Matemáticas Primaria”
Con el Tomo 2 de esta enciclopedia podrás profundizar en el concepto de fracciones y su clasificación, así como en la comparación de fracciones y números mixtos.
El círculo es la superficie contenida dentro de una circunferencia. En algunas ocasiones suelen confundirse estos términos por error, pero lo cierto es que gozan de características únicas que desde tiempos antiguos han cautivado a los matemáticos. Su conocimiento es importante para entender conceptos como el número pi.
Diferencia entre la circunferencia y el círculo
Aunque son conceptos que están estrechamente relacionados, circunferencia y círculo son dos cosas geométricamente diferentes. La circunferencia es la línea o perímetro que bordea y delimita la superficie de un círculo. Todos los puntos de la circunferencia se encuentran a una misma distancia del centro. El círculo, por otra parte, es una figura geométrica que está delimitada por una circunferencia.
¿Sabías qué?
El matemático griego Eratóstenes de Cirene fue la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra en el 230 a. C.
En este sentido, cuando hablamos de circunferencia nos referimos a una curva cerrada y cuando hablamos de círculo nos referimos a una superficie o área que está contenida dentro de una circunferencia.
Instrumento muy útil
Desde su invención en el año 200 a. C. por parte de los chinos, el compás ha sido uno de los inventos más usados en la geometría y en otras áreas. Su utilidad ha ido más allá del trazado de arcos y circunferencias, también permite transportar medidas y puede emplearse en la construcción de polígonos y en el cálculo de distancias empleado por la navegación.
Elementos de la circunferencia
Los elementos principales de una circunferencia se detallan a continuación:
Centro: es el punto que se ubica a la misma distancia de todos los puntos que conforman la circunferencia.
Radio: es el segmento de recta que une al centro con cualquiera de los puntos de la circunferencia.
Cuerda: es la recta que une dos puntos de la circunferencia.
Diámetro: es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. Su longitud es igual al doble del radio.
Semicircunferencia: es la mitad de la circunferencia. El diámetro divide a la circunferencia en dos semicircunferencias.
Arco: es una porción de la circunferencia que se encuentra delimitada por una cuerda. Generalmente, a cada cuerda se le asocia el menor arco que delimita.
Relaciones entre rectas y circunferencias
Entre una circunferencia y una recta pueden darse tres tipos diferentes de relación:
Recta exterior: es aquella recta que nunca corta a la circunferencia.
Recta tangente: es aquella recta que corta a la circunferencia en uno de sus puntos.
Recta secante: es aquella recta que corta a la circunferencia en dos de sus puntos.
Desde la Antigüedad, los geómetras se enfocaron en calcular la longitud de la circunferencia. Esta línea curva cerrada sin importar su tamaño siempre mide algo más que el triple de su diámetro. En este contexto, se emplea el número pi (π), un número con infinitos decimales que se obtiene al dividir la longitud de la circunferencia por su diámetro.
Trazado de circunferencias
Para trazar circunferencias empleamos el compás y debemos seguir los siguientes pasos:
Conocer la distancia que hay desde el centro de la circunferencia hasta alguno de sus puntos (el radio). Para esto puedes usar una regla y abrir el compás a dicha distancia. Otra forma de hacerlo es trazar el segmento de recta igual a la longitud del radio deseado, colocar la aguja de acero sobre uno de los extremos y abrir el compás hasta que la mina de grafito toque el otro extremo.
Apretar con suavidad la aguja de acero contra el papel para que no se mueva y girar el otro brazo de forma firme para trazar la circunferencia.
Marcar el centro de la circunferencia que será el mismo punto donde se apoyó la aguja de acero durante el trazado de la circunferencia.
Área del círculo
Para calcular el área de un círculo simplemente necesitamos conocer la longitud de su radio. La fórmula es la siguiente:
Donde:
A = área del círculo π = número pi r = longitud del radio
Como el número pi (π) es un número irracional, sus decimales son infinitos (3,141592653589793238…), por lo tanto, para efectos de cálculo de área se suele aproximar a 3,14.
¿Sabías qué?
Existe otra fórmula para calcular el área del círculo en función de su diámetro: .
– Calcula el área del siguiente círculo.
De acuerdo a la figura, la longitud del radio es 5 cm, por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de área.
El sistema sexagesimal es uno de los sistemas usados para medir ángulos y tiempo. En el caso de los ángulos, el sistema emplea una circunferencia para establecer sus unidades de medición. Un grado (°) equivale a la 360 parte de una circunferencia, un minuto (′) equivale a la 60 parte de un grado y un segundo (″) equivale a la 60 parte de un minuto.
¡A practicar!
1. Calcula el área de los siguientes círculos.
a)
Solución
A = 50,24 cm2
b)
Solución
A = 254,34 cm2
c)
Solución
A = 12,56 m2
d)
Solución
A = 314 mm2
e)
Solución
A =153,86 cm2
2. ¿Cuánto debe medir el radio de una circunferencia para que su área sea igual a 113,04 cm2? a) 5 cm
b) 3 cm
c) 6 cm
d) 11 cm
Solución
c) 6 cm
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Circunferencia”
El artículo explica los elementos principales de la circunferencia y la relación que tiene esta con el número pi. En el artículo también se explica como calcular la longitud de una circunferencia y determinar el área de un círculo.
El artículo plantea de forma resumida cada uno de los elementos de un círculo como el semicírculo y el segmento circular. También presenta ilustraciones de cada uno para explicar el concepto de manera más clara.
Los números naturales () son los que utilizamos para contar. Cada número tiene un valor relativo según la posición que ocupe dentro de una cifra y esto permite una correcta lectura de los mismos. Además de los números naturales, existen los números decimales que están formados por una parte entera y otra decimal. También hay sistemas de numeración no posicionales como los números romanos, los cuales constan de siete letras del abecedario latino.
Para leer un número de manera correcta es necesario conocer el valor que ocupa cada una de sus cifras. Para esto podemos usar una tabla posicional.
descomposición de números
Existen distintas formas de descomponer números grandes: la aditiva con combinaciones básicas, la aditiva por medio de valor posicional, la polinómica o la multiplicativa. En la aditiva con combinaciones básicas usamos una o más sumas que expresen el mismo resultado; en la aditiva con valor posicional empleamos los valores posicionales de cada cifra; en la polinómica utilizamos las potencias de base 10; y en la multiplicativa descomponemos la cantidad en sus factores primos.
Estas diferentes maneras de expresar los números permiten resolver situaciones de forma más rápida y sencilla.
números enteros
Los números enteros () están compuestos por todos los números naturales (), sus opuestos negativos y el cero. Los enteros negativos requieren el uso obligatorio del signo (−) a diferencia de los positivos que pueden o no estar acompañados con el signo (+). Estos pueden ser representados en una recta numérica, la cual contiene todos los números reales (). Los números enteros se aplican en diversas situaciones de la vida, como para indicar altitudes sobre el nivel del mar, registrar entradas y salidas de dinero de un banco, dibujar el eje de coordenadas, o para indicar temperaturas.
Otra de las tantas aplicaciones que se les da a los números enteros es para señalar los niveles de un edificios, en donde planta baja representa el 0, los niveles superiores los positivos y los niveles inferiores los negativos.
NÚMEROS decimales
Los números decimales están formados por una parte entera y una parte decimal, ambas divididas por una coma. Estos se clasifican en tres tipos según su parte decimal: exactos, periódicos y no periódicos. Los exactos tienen un número limitado de cifras; los periódicos poseen cifras decimales infinitas y, a su vez, estos se dividen en dos tipos: los puros y los mixtos; y los decimales no periódicos no tienen un patrón que se repita infinitamente. Estos números se pueden redondear para reducir la cantidad de cifras decimales y así obtener un valor muy parecido.
Los números decimales pueden ser utilizados en diversas situaciones de la vida, como para indicar la estatura de las personas o los precios de los productos.
sucesiones
Las sucesiones son un grupo de elementos que se ordenan uno detrás de otro. Estos elementos son llamados términos, siguen una regla dentro del conjunto y pueden ser números, letras, figuras o imágenes. En una sucesión, los términos son representados como subíndices (a1, a2, a3, …). Usamos sucesiones cada vez que contamos los días de la semana o las horas del día. También las usamos para ordenar de mayor a menor o de menor a mayor, o para aprender a leer el abecedario. Podemos encontrar sucesiones con operaciones matemáticas como la suma, la resta, la multiplicación, la división o la potencia.
Cuando se ordenan los ganadores de una carrera de automóviles, estos siguen un patrón de acuerdo al tiempo de llegada. Este es un ejemplo de sucesión.
potencias
La potenciación consiste en expresar de manera reducida una multiplicación de factores iguales. Tiene tres elementos: una base, un exponente y la potencia. La base es el número que se multiplicará tantas veces como indica el exponente y la potencia es el resultado de la multiplicación de los factores. Algunas de las propiedades de las potencias son: potencia de exponente 0, potencia de exponente 1, potencia de exponente negativo, multiplicación y división de potencias con igual base y la potencia de una potencia.
Las potencias sirven para aplicar teoremas, expresar notación científica, realizar sucesiones matemáticas y para demostrar problemas de crecimiento exponencial como la multiplicación de virus y bacterias.
raíz de un número
La raíz de un número es la operación inversa a la potencia de un número. Consiste en buscar el número que se ha multiplicado tantas como indica n bajo un operador radical. Los elementos de una raíz son el radicando, el índice, el radical y la raíz. El radicando es el resultado de la multiplicación de la raíz de un número tantas veces como indica el índice de la raíz. El índice indica el grado de una raíz, lo que se traduce en cuántas veces se multiplicó por sí mismo el resultado de la radicación. El radical representa el símbolo de la operación de radicación y la raíz es resultado de la operación matemática.
Todas las operaciones matemáticas poseen una operación inversa que revierte los cálculos realizados.
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Su cálculo consiste en hallar un número que multiplicado por sí mismo cierta cantidad de veces resulte en otro número determinado. Para poder emplear de manera correcta esta operación es necesario saber sus elementos y propiedades.
Todos los cálculos matemáticos tienen una operación inversa. La suma es la operación inversa de la resta, la división lo es de la multiplicación y la radicación lo es de la potenciación. Posiblemente creas que la radicación es la operación más compleja, pero no es así. Si conoces sus elementos y propiedades podrás resolver cualquier raíz de un número.
¿qué es una raíz?
Es una operación matemática en la que se obtiene un número que se ha multiplicado por sí mismo n veces bajo el operador radical. Esta se encuentra formada por los siguientes elementos:
Donde:
Radical : representa el símbolo de la operación de radicación.
Índice de la raíz : indica el grado de una raíz, lo que se traduce en cuántas veces se multiplicó por sí mismo el resultado de la radicación. El índice de una raíz debe ser diferente de cero.
Radicando : es el producto de la multiplicación de la raíz según lo indique el índice. El radicando pertenece al conjunto de los números reales.
Raíz : es el resultado de la radicación.
Condiciones a cumplir
Si es par, debe ser , para que el resultado sea un número real .
¿Cómo se relacionan la potencia y la raíz de un número?
La relación de las operaciones matemáticas potenciación y radicación se refleja así:
La base de la potenciación es el resultado o raíz de la radicación.
La potencia de la potenciación es el radicando de la radicación.
El exponente de la potenciación coincide con el índice de la radicación.
Por lo tanto, podemos expresar a una raíz como un exponente fraccionario, en el cual el denominador de la fracción corresponde al índice de la raíz y el numerador al exponente del radicando.
– Ejemplo:
Origen del término
Antiguos papiros egipcios demuestran que en esta cultura se calculaban raíces. Muchos especialistas asocian el origen del símbolo de la raíz con la letra r de la palabra latina radix, que significa “raíz”. No obstante, este término fue introducido en siglo XVI por Christoph Rudolff, quien lo usó en su libro Coss.
propiedades de las raíces
Raíz de cero
La raíz con radicando 0 es igual a 0, siempre que su índice sea diferente de dicho número.
– Ejemplo:
Raíz de la unidad
La raíz de 1 siempre será igual a 1.
– Ejemplo:
Raíz de un producto
La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.
– Ejemplo:
Raíz de un cociente
La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces del dividendo y del divisor.
– Ejemplo
Raíz de una raíz
La raíz de una raíz es igual a una nueva raíz con el mismo radicando e índices multiplicados.
– Ejemplo:
Potencia de una raíz
La potencia de una raíz es igual a la misma raíz con el radicando elevado a dicha potencia.
– Ejemplo:
Los problemas con radicales pueden tener una, dos o ninguna solución, y esto depende principalmente del radicando y del índice de la raíz. Sin embargo, para poder resolverlos de manera correcta se requiere tener conocimiento tanto de sus propiedades como también de la regla de los signos.
Suma y resta de radicales
Los radicales pueden sumarse o restarse siempre y cuando sean semejantes, es decir, que tengan el mismo índice y radicando. En este caso, sumamos o restamos los coeficientes (los números que están fuera de la raíz) y dejamos el mismo índice y radicando.
– Ejemplo:
cálculo de raíces
En la actualidad existen herramientas que te ayudan a realizar las operaciones matemáticas de manera fácil y rápida, como por ejemplo la calculadora. Con una calculadora, podemos determinar la raíz de un número sin problemas, pero, ¿qué hacer si no tenemos una calculadora? Para ello, es bueno saber los pasos para calcular la raíz cuadrada de cualquier número.
Para calcular la raíz cuadrada de un número como 682.273 seguimos estos pasos:
1. Agrupamos el número en cifras de dos en dos desde la derecha a la izquierda.
2. Buscamos un número que elevado al cuadrado se aproxime a las dos primeras cifras de la izquierda. De este modo, colocamos el 8, pues 82 = 8 × 8 = 64 que se aproxima a 68.
3. Realizamos la resta entre las dos primeras cifras y el resultado de 82 = 64. Luego bajamos las dos cifras siguientes (22).
4. Tomamos el primer resultado de la raíz que es 8 y lo multiplicamos por 2: 8 × 2 = 16. Lo colocamos debajo.
5. El número multiplicado por dos lo usamos para dividir a los dos primeros números del resto anterior (422). Como 42/16 = 2,625, colocamos el número entero (2) después de 16 para formar una nueva cifra: 162. Ahora multiplicamos este nuevo resultado por 2: 162× 2.
6. Utilizamos el resultado de la multiplicación para restarlo a 422. Añadimos el 2 a la raíz.
7. Repetimos el procedimiento. Bajamos las dos cifras siguientes (76) junto al último resto (98) para formar 9.876. Multiplicamos por 2 la raíz hasta ahora obtenida (82 × 2) y la colocamos como nuevo cociente (164).
8. Del mismo modo, el número multiplicado por dos lo utilizamos para dividir a los tres primeros números del resto anterior (9.876), lo que nos da 987/164 = 6,018. De esta división, solo tomamos el número entero (6), que usaremos para colocarlo detrás del (164) para formar una nueva cifra (1.646) y, al mismo tiempo, para multiplicar esta nueva cifra (1646 × 6).
9. El resultado de la multiplicación se utiliza para restarlo al resto anterior (9.876) y el número entero utilizado para hacer esta multiplicación se coloca en la raíz (82) y queda así:
Entonces,
¡A practicar!
1. Aplica las propiedades de las raíces para resolver los siguientes ejercicios:
Solución
Solución
Solución
Solución
2. Resuelve las siguientes raíces sin utilizar la calculadora:
Solución
Solución
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “La radicación”
Con este artículo, podrá ampliar los conocimiento respecto a la radicación y sus propiedades.
Hacemos uso de las sucesiones al contar los días de la semana, del mes o del año. También al contar las horas del día o simplemente al contar los pasos para llegar a casa. Las sucesiones no son más que un conjunto de números organizados de un forma determinada. No solo las podemos encontrar con números, sino también con figuras.
Las primeras nociones sobre las sucesiones fueron propuestas por Fibonacci. A él se le ocurrió estudiar este concepto por medio de la relación que tenía con la reproducción de los conejos. ¡Sí! Los conejos se reproducen de forma sucesiva. Cada mes una hembra puede dar a luz, y por lo tanto, puede tener cientos de hijos al año.
¿QUÉ SON SUCESIONES?
Una sucesión es un conjunto de elementos ordenados de forma ascendente o descendente. Los elementos de este conjunto se denominan términos y estos siguen una regla, la cual permite calcular cada uno de ellos.
Las sucesiones pueden ser finitas o infinitas. Las sucesiones finitas tienen un número determinado de términos y las infinitas no tienen término final. Por ejemplo:
Sucesión finita =
Sucesión infinita =
¿Sabías qué?
Los puntos suspensivos (…) indican que la sucesión continua hasta el infinito.
Términos de una sucesión
Los términos de una sucesión se expresan con subíndices: a1, a2, a3, a4, a5 …, los cuales indican la posición de cada uno dentro de la secuencia, por ejemplo, el término a1 ocupa la primera posición de la secuencia, el término a2 corresponde al segundo lugar y así sucesivamente con cada uno.
Podemos calcular cada término de una sucesión de acuerdo a esta relación:
an = a0 + nr
Donde:
a0: término anterior al primero.
r: regla de la sucesión.
n: número de término.
– Ejemplo:
Podemos representar una sucesión por un término general o enésimo. En este caso su fórmula es:
an = −1 + n · (+3)
an = −1 + 3n
Observa que la regla de sucesión (r) es +3, por lo tanto, el término anterior al primero (t0) es igual a −1. Si queremos hallar el término a8 solo aplicamos la fórmula anterior:
a8 = −1 + 3 · 8 ⇒ a8 = −1 + 24 ⇒ a8 = 23
¿Cuáles son los términos?
Emplea la fórmula y determina cuáles son los términos a10, a12 y a15 de la secuencia anterior.
Solución
a10 = −1 + 3 · 10 ⇒ a10 = −1 + 30 ⇒a10 = 29
a12 = −1 + 3 · 12 ⇒ a12 = −1 + 36 ⇒ a12 = 35
a15 = −1 + 3 · 15 ⇒ a15 = −1 + 45 ⇒ a15 = 44
Sucesión de Fibonacci
Una de las sucesiones conocidas más importantes es la de Fibonacci. Este tipo de secuencia lleva su nombre en honor al matemático italiano Leonardo Fibonacci y se caracteriza por el hecho de que cada número resulta de sumar los dos números anteriores a este. El término general de la misma es y la forma más básica de este tipo de sucesión es:
No solo podemos encontrar sucesiones de números, también es posible encontrar sucesiones con diferentes figuras. Por ejemplo:
En ella se puede ver que las figuras están en orden ascendente con respecto a sus lados. Cada figura tiene un lado más que la anterior.
– Ejemplo 2:
También es posible conseguir sucesiones con figuras en distintas posiciones, como este ejemplo:
Como puedes ver en la imagen, todas las flechas tienen una dirección y sentido diferente, pero si te fijas con atención, el movimiento es igual al de las agujas del reloj, es decir, van en sentido horario. Este patrón nos permite saber cuál será la próxima figura en la sucesión:
Uno de los campeonatos más vistos es el Mundial de fútbol de la FIFA. En este, se clasifican 32 selecciones y, a medida que transcurre el torneo, se eliminan la mitad de los equipos en encuentros entre ellos. Así, comienzan 32, luego 16, 8, 4, 2, hasta que solo queda 1, el equipo campeón. Como ves, esta es una sucesión descendente en la que cada término es igual a la mitad del anterior.
SUCESIONES CON SUMAS Y RESTAS
Podemos construir sucesiones por medio de sumas, restas o la combinación de ambas operaciones. Por ejemplo:
– Otro ejemplo:
En la sucesión anterior, a medida que disminuye el número en cada término, la resta entre el término siguiente y el anterior aumenta.
Algunas aplicaciones
Debido a lo práctico que resulta expresar en forma general una secuencia ordenada de números, las sucesiones matemáticas han sido aplicadas en muchas disciplinas además de la matemática. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se ha aplicado en la arquitectura, el arte y la informática.
Las progresiones son un tipo de sucesiones que se utilizan para realizar diversos cálculos como la determinación del interés compuesto. Las progresiones aritméticas también se usan en las interpolaciones, que consisten en calcular valores que se encuentran entre dos dados.
¡A practicar!
1. Consigue la regla de la sucesión en cada caso.
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
Solución
{45, 44, 42, 39, 35, 30, 24, 17, 9}
Solución
2. ¿Cuál es la imagen que falta?
Solución
3. ¿Cuáles son las figuras que deben ir en los espacios en gris?
Solución
4. Selecciona cuál de las imágenes del segundo bloque es la que corresponde al cuadrado que falta en el primer bloque.
Solución
5. Calcula el término a25 de la siguiente sucesión:
{23, 27, 31, 35, 39}
Solución
Datos:
a0 = 19
r = +4
Término enésimo:
an = 19 + n · (+4)
an = 19 + 4n
Resultado:
a25 = 19 + 4 · 25
a25 = 19 + 100
a25 = 119
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Sucesiones”
Este artículo lo ayudará a complementar la información sobre las sucesiones.
Podemos clasificar los números según distintos criterios, y uno de esos es la cantidad de divisores que tengan. Si un número tiene solo dos divisores, el uno y él mismo, decimos que ese número es primo; en cambio, si el número tiene más de dos divisores, a ese número lo llamamos compuesto.
CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Números primos
Los números primos son aquellos que solo son divisibles por el número uno y por sí mismos. Por ejemplo, el número 13 es un número primo porque solo es divisible por el número 1 y por el número 13.
Además, los números primos no pueden formarse como producto de la multiplicación de otros dos factores que no sean el 1 y el mismo número. Por ejemplo, el número 7 solo puede formarse al multiplicar 7 × 1 = 7.
Divisibilidad
Un número es divisible por otro cuando al efectuar la operación de división entre ellos el resto es cero.
El 12 es divisible por 2 porque el resto de la división en 0.
El 13 no es divisible por 2 porque el resto de la división no es 0.
El número 12 es divisible por 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
Números compuestos
Los números compuestos son aquellos que aparte de ser divisibles por el uno y por sí mismos, también son divisibles por otro u otros números. Por ejemplo, el número 4 es un número compuesto porque tiene tres divisores: 1, 2 y 4.
A su vez, los números compuestos pueden ser formados como productos de la multiplicación de otros dos factores. Por ejemplo, el número 10 puede ser formado por la multiplicación de 5 x 2 = 10.
¿Sabías qué?
El número 1 no es primo ni compuesto ya que solo puede dividirse por sí mismo.
Los números primos solo son divisibles por el uno y por sí mismos, mientras que los números compuestos, además de ser divisibles por uno y por sí mismos, también pueden ser divididos por otro u otros números. No obstante, hay un número que no cumple con estas características: el uno. El número 1 no es primo ni compuesto.
CRIBA DE ERATÓSTENES
Es un procedimiento para identificar los números primos. La podemos elaborar de la siguiente manera:
Comenzamos desde el número 2, que es el primer número primo, por lo tanto no lo vamos a tachar. Pero sí eliminamos todos los siguientes múltiplos de 2: 4, 6, 8, 10, 12,…
El siguiente primo es el 3, así que debemos tachar todos los múltiplos de este número: 6, 9, 12, 15…
En esta instancia, ya tenemos gran parte de los números eliminados. Podemos observar que el siguiente número que aparece sin tachar es el 5, que sería el siguiente primo. Entonces, tachamos los múltiplos de 5 que aparecen a continuación: 5, 10, 15, 20…
Del mismo modo procedemos con el 7.
El siguiente número que aparece sin eliminar es el 11, pero… ¡Todos sus múltiplos están tachados! Por ello, aquellos números que han quedado sin descartar en esta instancia son los primos.
Observa que los números resaltados son los primos y los tachados son los compuestos.
¿Sabías qué?
El 2 es el único número primo que es par.
¡A practicar!
Marca con una circunferencia los números que sean primos:
Solución
EXPRESIÓN DE NÚMEROS EN FACTORES PRIMOS
Todos los números compuestos pueden representarse como producto de una multiplicación de 2 o más factores primos. Esto se conoce comúnmente como factorización en números primos, o factorización de números compuestos.
Así como podemos representar cualquier número como una suma (por ejemplo: 5 = 2 + 3) o como una resta (por ejemplo 5 = 7 − 2), también podemos descomponer un número compuesto por medio de una multiplicación de sus números primos.
Recuerda que:
Factor: es el número que multiplica.
Producto: es el resultado de una multiplicación.
Pasos para factorizar en números primos
Escribe el número compuesto que se quiere expresar en factores primos y a su derecha traza una semirrecta vertical.
Pon a la derecha de la semirrecta el número primo más pequeño que sea divisor, es decir, que pueda dividir de forma exacta el número compuesto elegido.
Escribe el cociente de la división anterior debajo del número compuesto elegido y a su derecha, del otro lado de la semirrecta, escribe el número primo más pequeño que sea divisor de este último.
Repite el procedimiento la cantidad de veces que sean necesarias hasta obtener el número 1 como cociente.
– Ejemplo:
Expresa el número 36 como producto de sus factores primos.
El número compuesto 36 se expresa como producto de factores primos así: 2 x 2 x 3 x 3.
Observa que también podemos expresar los factores primos como una potencia, de este modo, 2 × 2 = 22 y 3 × 3 = 32.
¡A practicar!
Expresa los siguientes números como productos de factores primos:
12
40
64
Solución
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten reconocer si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la división. Es decir, por medio de la observación de las características de un número podemos darnos cuenta si se puede dividir o no por otro número determinado.
Todo número tiene sus múltiplos, de la misma manera, también tiene sus divisores; estos son números que lo dividen de forma exacta, es decir, que al hacer la operación el cociente es un número exacto y el resto es cero. Por ejemplo, 2 es divisor de 8 y 3 es divisor de 6 porque al calcular 2 : 8 = 4 y 6 : 3 = 2, el resto es cero en ambos casos.
Cada número tiene un criterio de divisibilidad distinto. En la siguiente tabla están desde el 2 hasta el 10:
Número
Criterio
Ejemplos
2
Un número es divisible por 2 si es un número par.
6
8
125.972
Son números pares.
3
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras da como resultado un número múltiplo de 3.
93 porque 9 + 3 = 12 y 12 es múltiplo de 3.
123 porque 1 + 2 + 3 = 6 y 6 es múltiplo de 3.
4
Un número es divisible por 4 si las 2 últimas cifras del número forman un múltiplo de 4 o si son dos ceros.
140 porque 40 es múltiplo de 4.
33.624 porque 24 es múltiplo de 4.
700 porque termina con dos ceros.
5
Un número es divisible por 5 si su última cifra es un 0 o un 5.
495 porque termina en 5.
874.280 porque termina en 0.
6
Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3 a la vez.
12 porque es divisible por 2 y por 3 a la vez.
150 porque es divisible por 2 y por 3 a la vez.
7
Un número es divisible por 7 si al restar el doble de la unidad a el resto de la cantidad sin la última cifra el resultado es 0 o un múltiplo de 7.
91 porque 9 −2 = 7 y 7 es múltiplo de 7.
105 porque 10 − 10 = 0.
182 porque 18 − 4 = 14 y 14 es múltiplo de 7.
8
Un número es divisible por 8 si sus 3 últimas cifras forman un múltiplo de 8 o son tres ceros.
25.200 porque 200 es múltiplo de 8.
9.000 porque sus últimas 3 cifras son tres ceros.
9
Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras da como resultado un número múltiplo de 9.
99 porque 9 + 9 = 18 y 18 es múltiplo de 9.
207 porque 2 + 0 + 7 = 9 y 9 es múltiplo de 9.
10
Un número es divisible por 10 si su última cifra es un 0.
1.235.250 porque termina en 0.
2.000 porque termina en 0.
¡A practicar!
1. Expresa los siguientes números como productos de factores primos:
98
60
18
36
Solución
2. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
161 es divisible por 7.
Solución
Verdadero.
222 es divisible por 3.
Solución
Verdadero.
523 es divisible por 5.
Solución
Falso.
234 es divisible por 9.
Solución
Verdadero.
10.001 es divisible por 10.
Solución
Falso.
32 es divisible por 6.
Solución
Falso.
500 es divisible por 4.
Solución
Verdadero.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo destacado “Números primos y compuestos”
El siguiente artículo te permitirá ampliar la noción de números primos y compuestos.
En nuestro sistema de numeración utilizamos solo 10 cifras para escribir todos los números, pero cada una de estas cifras puede tener valores distintos según su posición, por ejemplo, en el número 222, el primer 2 de izquierda a derecha vale 200, el segundo 20 y el tercero 2. Esto es lo que llamamos valor posicional y puedes aplicarlo a cualquier número.
¿qué es el Valor posicional?
Estos son los diez dígitos de nuestro sistema de numeración decimal. Con ellos podemos formar cualquier cantidad de números. El valor posicional de cada uno importa porque nos indica el valor total, pues no es lo mismo tener $ 321 que $ 123. A pesar de que tienen las mismas cifras (1, 2 y 3), con $ 321 puedes comprar más cosas que con $ 123.
El valor posicional es el valor que tiene una cifra en un número y depende de su posición o lugar. Estas posiciones se conocen como unidad, decena y centena; y según la clase pueden ser “de miles” o “de millones. Observa estas equivalencias:
1 unidad = 1 U
1 decena = 10 U
1 centena = 100 U
1 unidad de mil = 1.000 U
1 decena de mil = 10.000 U
– Ejemplo 1:
El número 473 tiene tres cifras y cada una ocupa estas posiciones:
– Ejemplo 2:
El número 2.984 tiene 4 cifras y cada una ocupa estas posiciones:
¿Sabías qué?
Los valores posicionales tienen estas abreviaturas: U (unidades), D (decenas), C (centenas), UM (unidades de mil) y DM (decenas de mil).
Tabla posicional
Podemos ubicar todas las cifras de un número en una tabla posicional. Esta nos ayuda a ver con facilidad el valor de cada una de las cifras por medio de columnas identificadas.
Esta es una tabla posicional para números de 6 cifras. Observa que en las columnas de color en azul están las unidades, las decenas y las centenas; mientras que en las columnas de color naranja están las unidades de mil, las decenas de mil y las centenas de mil.
¿cómo representar números en la tabla posicional?
Si queremo ubicar las cifras de un número en la tabla posicional tenemos que empezar por la primera cifra de derecha a izquierda, esa será la unidad. La segunda cifra de derecha a izquierda será la decena, la siguiente la centena y así sucesivamente.
– Ejemplo:
Ubica las cifras del número 7.946 en la tabla posicional.
Como la primera cifra de derecha a izquierda es el 6, colocamos el 6 en la casilla de las unidades. Luego el 4 en la de las decenas, el 9 en las centena y el 7 en las unidades de mil.
¡A practicar!
Ubica estos números en la tabla posicional:
8.104
Solución
582
Solución
1.789
Solución
Conocer el valor posicional de las cifras de cada número resulta de gran utilidad cuando manejamos dinero. Por lo general, los billetes y monedas vienen con valores de 1, 10 y 100 unidades. De este modo, si necesitamos pagar una cuenta de $ 483, solo debemos tomar 4 billetes de $ 100, 8 de $ 10 y 3 de $ 1.
– Problema 1
En una pastelería se hacen entregas de donas todas las semanas. El transporte de las donas se hace en cajas de 100, cajas de 10 y otras sueltas. Esta semana se pidieron las siguientes cantidades: 318, 173, 486 y 300. Si el encargado prepara los pedidos, ¿cuántas cajas de 100 y de 10 necesita para cada orden? ¿cuántas donas irán sueltas en cada caso?
Primer pedido
El primer pedido es de 318 donas. Lo primero que hacemos es ubicar este número en una tabla posicional.
En la tabla posicional vemos que hay:
3 centenas = 3 veces 100
1 decena = 1 vez 10
8 unidades = 8 veces 1
Hagamos la representación con las cajas y donas:
Por lo tanto, el encargado necesita 3 cajas de 100, 1 caja de 10 y 8 donas sueltas.
Segundo pedido
El segundo pedido es de 163 donas. Ubicamos este número en una tabla posicional.
En la tabla posicional vemos que hay:
1 centenas = 1 vez 100
6 decenas = 6 veces 10
3 unidades = 3 veces 1
Hagamos la representación con las cajas y donas:
Para este pedido el encargado necesita 1 caja de 100, 6 cajas de 10 y 3 donas sueltas.
¡Responde!
¿Cómo preparó el encargado los demás pedidos?
Tercer pedido
Solución
Este pedido es de 245 donas. Ubicamos este número en una tabla posicional.
En la tabla posicional vemos que hay:
2 centenas = 2 veces 100
4 decenas = 4 veces 10
5 unidades = 5 veces 1
Hagamos la representación con las cajas y donas:
Para este pedido el encargado necesita 2 cajas de 100, 4 cajas de 10 y 5 donas sueltas.
Cuarto pedido
Solución
Este pedido es de 300 donas. Ubicamos este número en una tabla posicional.
En la tabla posicional vemos que hay:
3 centenas = 3 veces 100
Hagamos la representación con las cajas y donas:
Para este pedido el encargado necesita 3 cajas de 100.
– Problema 2
En un juego de fichas, cada una de estas figuras indica una cantidad de puntos.
Observa que:
1 cubo azul = 1 unidad
1 barra roja = 1 decena
1 placa verde = 1 centena
1 caja amarilla = 1 unidad de mil
Carla sacó estas fichas, ¿cuántos puntos obtuvo?
Hay 2 cajas amarillas → 2 unidades de mil
Hay 1 placa verde → 1 centena
Hay 3 barras rojas → 3 decenas
Hay 8 cubos azules → 8 unidades
En una tabla posicional colocamos cada cifra según el valor que tenga.
Carla obtuvo 2.138 puntos.
Pedro sacó estas fichas, ¿cuántos puntos obtuvo?
Hay 5 cajas amarillas → 5 unidades de mil
Hay 0 placa verde → 0 centena
Hay 2 barras rojas → 2 decenas
Hay 3 cubos azules → 3 unidades
En una tabla posicional colocamos cada cifra según el valor que tenga.
Pedro obtuvo 5.023 puntos.
¿Sabías qué?
Hubo dos civilizaciones antiguas que usaron el principio de posición y representaron la ausencia de unidades mediante el cero: los babilonios y los mayas.
Descomposición aditiva de un número
La descomposición aditiva consiste en expresar un número como una suma de dos o más números. Para esta descomposición consideramos los valores posicionales.
Por ejemplo, el número 3.456 se coloca de esta manera en una tabla posicional:
En la tabla vemos que hay:
3 unidades de mil = 3 veces 1.000 = 3.000
4 centenas = 4 veces 100 = 400
5 decenas = 5 veces 10 = 50
6 unidades = 6 veces 1 = 6
Por lo tanto, podemos decir que el número 3.456 es igual a la suma de todos sus valores posicionales. Observa:
3.456 = 3.000 + 400 + 50 + 6
El ábaco es uno de los objetos más antiguos utilizados por el hombre para realizar sus operaciones matemáticas y quizás el de mayor distribución a nivel mundial. Esta herramienta o instrumento se utiliza para hacer cálculos manuales por medio de piezas de colores que representan los valores posicionales de una cifra.
¡A practicar!
Escribe la descomposición aditiva de los siguientes números:
7.342
Solución
Valores posicionales
7 unidades de mil = 7 veces 1.000 = 7.000
3 centenas = 3 veces 100 = 300
4 decenas = 4 veces 10 = 40
2 unidades = 2 veces 1 = 2
Descomposición aditiva
7.342 = 7.000 + 300 + 40 + 2
9.716
Solución
Valores posicionales
9 unidades de mil = 9 veces 1.000 = 9.000
7 centenas = 7 veces 100 = 700
1 decena = 1 vez 10 = 10
6 unidades = 6 veces 1 = 6
Descomposición aditiva
9.716 = 9.000 = 700 + 10 + 6
8.053
Solución
Valores posicionales
8 unidades de mil = 8 veces 1.000 = 8.000
5 decenas = 5 veces 10 = 50
3 unidades = 3 veces 1 = 3
Descomposición aditiva
8.053 = 8.000 + 50 + 3
¿Sabías qué?
Cuando el valor de una cifra es cero (0) no se escribe en la descomposición.
¡Hora de practicar!
1. Escribe el valor posicional de los dígitos en color rojo.
216
Solución
Unidad.
1.971
Solución
Centena.
7.031
Solución
Centena.
532
Solución
Decena.
828
Solución
Unidad.
6.220
Solución
Decena.
9.483
Solución
Unidad de mil.
2. Une la descomposición con el numero correspondiente.
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Composición y descomposición de números”
Este artículo explica cómo realizar composiciones y descomposiciones aditivas que ayudarán al alumno a realizar cálculos mentales con números naturales.
El universo de los números es muy amplio y diverso. Si nos sumergimos en él, encontraremos una gran variedad de situaciones en las que aplicamos distintos números. Por ejemplo, usamos los números ordinales para indicar las posiciones de los ganadores de una carrera, pero usamos los números binarios para procesar datos informáticos. En definitiva, los distintos tipos de números nos ayudan a representar diferentes aspectos de la vida cotidiana.
El sentido numérico nos permite comprender los números y sus operaciones, de manera tal que podamos aplicarlos de forma eficiente para resolver problemas día a día. En la vida cotidiana disponemos de los números para distintos usos, por este motivo existen varias clasificaciones, como los números romanos, los números cardinales o los números ordinales.
Secuencia de números naturales
Las secuencias son sucesiones de números que van hacia una dirección establecida. Pueden avanzar o retroceder una cantidad determinada de espacios dentro de la recta numérica.
Dichas secuencias pueden ser de 1 en 1, de 5 en 5, de 10 en 10, de 100 en 100, o de cualquier cantidad de espacios que haya sido establecida.
Estos son los ejemplos de distintas secuencias de números naturales:
1 en 1
10 en 10
100 en 100
Algunas rectas pueden estar incompletas. En ese caso debemos tener en cuenta cuál es la regularidad de la recta para poder completarla.
Por ejemplo:
Esta recta va de 10 en 10, por lo tanto debemos completarla por medio de sumas o restas de a 10 unidades según corresponda.
¡A practicar!
Completa la siguiente recta numérica:
Solución
Las secuencias son sucesiones de números que van hacia una dirección establecida. Las mismas pueden avanzar o retroceder una cantidad determinada de espacios dentro de la recta numérica. Dichas secuencias pueden ser de 1 en 1, de 5 en 5, de 10 en 10, de 100 en 100, o de cualquier cantidad de espacios que hayan sido establecidos.
¿Sabías qué?
Aunque para nosotros sea normal tenerlo, algunas civilizaciones no utilizaban el concepto del número cero (0) porque creían que no les hacía falta un número para referirse a la nada.
Números ordinales
Los números ordinales nos sirven para establecer un orden. Con ellos podemos ordenar de una manera determinada distintas cosas. Por ejemplo, podemos ordenar un grupo de personas en una fila, las posiciones de los autos en las carreras o también o las cosas que queremos hacer este fin de semana.
Si queremos nombrar los resultados de las carreras de autos debemos utilizar números ordinales. Así, decimos que los ganadores obtuvieron el “primer” y el “segundo” lugar en la competencia. A su vez, si queremos expresar que una cosa va antes que otra, también debemos utilizar los números ordinales de la siguiente manera: “esta muñeca va primera y esta otra va segunda”.
A este tipo de números los nombramos y escribimos de la siguiente manera:
1°/1ª = primero/primera
11°/11ª = décimo primero/primera
2°/2ª = segundo/segunda
12°/12ª = décimo segundo/segunda
3°/3ª = tercero/tercera
13°/13ª = décimo tercero/tercera
4°/4ª = cuarto/cuarta
14°/14ª = décimo cuarto/cuarta
5°/5ª = quinto/quinta
15°/15ª = décimo quinto/quinta
6°/6ª = sexto/sexta
16°/16ª = décimo sexto/sexta
7°/7ª = séptimo/séptima
17°/17ª = décimo séptimo/séptima
8°/8ª = octavo/octava
18°/18ª = décimo octavo/octava
9°/9ª = noveno/novena
19°/19ª = décimo noveno/novena
10°/10ª = décimo/décima
20°/20ª = vigésimo/vigésima
Por ejemplo, en este grupo alineado de figuras podemos decir que, de izquierda a derecha, la primera tiene forma de sol y la segunda es un cuadrado.
¡A practicar!
¿En qué orden están todas las figuras del grupo anterior?
Solución
Posición
Figura
Primero
Sol
Segundo
Cuadrado
Tercero
Corazón
Cuarto
Círculo
Quinto
Estrella
Sexto
Triángulo
Séptimo
Luna
Octavo
Nube
¿Qué son los números cardinales?
Son aquello que nos indican cantidades numéricas de elementos que pertenecen a un grupo o conjunto. Aparecen en nuestra vida cotidiana en diversas situaciones: al contar los goles que le hizo un equipo a otro o para saber si alcanzan las galletas que compartiremos con nuestros amigos.
Números romanos
El sistema de numeración romano se utilizó durante muchos años a lo largo de todo el Imperio romano. Los números romanos, a pesar de ser muy antiguos, aparecen todavía en nuestra vida cotidiana, por ejemplo en capítulos de libros, en los nombres de los reyes, en relojes o en las numeraciones de los siglos.
En este sistema se utilizan siete letras mayúsculas de nuestro alfabeto para representar a los números.
Muchos relojes utilizan un sistema de numeración para señalar la hora. El reloj solar de la imagen utiliza la sombra que da un estilete para medir el paso del tiempo. Los más antiguos tenían las inscripciones en números romanos para leer la hora, los minutos y los segundos. Este sistema de numeración se mantiene vigente en la actualidad en diferentes sitios.
Algunas reglas de este sistema son las siguientes
Un número romano ubicado a la derecha de otro de mayor valor se suma.
XI = 10 + 1 = 11
Las símbolos I, X, C y M son los únicos que pueden repetirse, pero solo hasta 3 veces.
XXX = 10 + 10 + 10 = 30
Algunas letras se pueden ubicar a la izquierda de otras para restarlas.
IV = 5 − 1 = 4
A partir del 4.000 se coloca una pequeña raya arriba del símbolo para indicar que debe multiplicarse por 1.000.
= 5 x 1.000 = 5.000
¡Para ejercitar!
Marca cuáles de las siguientes escrituras son incorrectas:
VV = 10
XV = 15
LXXXX = 90
CCCIII = 303
Solución
VV = 10X = 10
XV = 15
LXXXX = 90 XC = 90
CCCIII = 303
Números binarios
Los números binarios son utilizados en un sistema que contiene solo dos símbolos: el cero (0) y el uno (1). Este sistema es usado en el ámbito de la informática.
El sistema binario es el lenguaje de la informática. Si queremos leer un número binario, lo que debemos hacer es nombrar dígito por dígito, los cuales serán siempre cero (0) y uno (1). Por ejemplo, el número natural catorce (14) en el sistema binario se escribe de la siguiente manera: 1110, y se lee “uno, uno, uno, cero”.
Transformar a número binario
Para convertir un número del sistema decimal al sistema binario, solo debemos dividir por 2 el número natural. El cociente de esa división se vuelve a dividir por 2 en sucesivas divisiones hasta que el cociente sea igual a uno (1). Luego leemos el número binario de derecha a izquierda, de abajo hacia arriba.
En el caso del 30, su número binario equivalente es 11110.
¿Sabías qué?
Un dígito binario por sí solo se llama “bit”.
Ejercicios
1. Completa la secuencia numérica con los números correspondientes del sistema numérico romano.
De 1 en 1
X – XI – ____ – XIII – ____ – XV – ____ – XVII
CL – ____ – ____ – CLIII – CLIV – ____ – CLVI
De 10 en 10
I – ____ – XXI – ____ – XLI – LI – ____ – LXXI – ____ –
V – XV – ____ – XXXV – ____ – ____ – LXV – ____ – LXXXV
– Ejemplo 1:
