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CAPÍTULO 4 / TEMA 5

APLICACIÓN DE LA POTENCIA Y DE LA RADICACIÓN

La potenciación y la radicación son operaciones estrechamente relacionadas. Mientras que la primera es una multiplicación condensada de un número por sí mismo n cantidad de veces, la segunda busca ese número que multiplicado por sí mismo resulte en el radicando. Si bien sus propiedades ya se trataron en temas anteriores, aquí aprenderás otras aplicaciones de estos cálculos.

operaciones que simplifican

Tanto la potenciación como la radicación son operaciones útiles para mostrar números de manera más simple. Por ejemplo, dentro del conjunto de los números reales encontramos otros tipos de números que no son sencillos de representar, como los números irracionales, cuyas expresiones decimales son ilimitadas y no periódicas, por lo que es más fácil mostrarlo como una raíz:

\boldsymbol{\sqrt{2}=1,414213562...}

\boldsymbol{\sqrt{3}=1,732050807...}

\boldsymbol{\sqrt{5}=2,236067977...}

Por su parte, la potencia nos ayuda a expresar números muy grandes o muy pequeños de manera resumida, pues la potencia no es más que una multiplicación abreviada.

La descomposición en factores primos y la notación científica son solo dos de los procesos que pueden verse involucrados con la potenciación y la radicación. Ambas operaciones son empleadas en múltiples cálculos cotidianos y en diversas áreas como la astronomía, la ingeniería o la biología.

Las bacterias son microorganismos que crecen con un ritmo acelerado. Este crecimiento suele expresarse en forma de potencia con exponente positivo y se grafica en forma de línea curva ascendente. Saber que tan rápida puede ser la reproducción de una bacteria puede prevenir focos de infección en un paciente y evitar que este sea una víctima mortal.

descomposición en factores primos

También conocida como descomposición factorial o factorización, consiste en escribir un número como producto de sus números primos. Cada vez que un factor se repita en la descomposición, este se convertirá  en la base de una potencia y la cantidad de veces que se repita será el exponente.

– Ejemplo:

¿Qué es un número primo?

Un número primo es un número natural que tiene dos divisores positivos: al uno y a sí mismo. Esta tabla muestra los primero números primos en color azul.

¿Sabías qué?
Las factorización es un paso indispensable para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de un número.

Las raíces también se pueden obtener por medio de la descomposición del radicando en sus números primos.

– Ejemplo:

Halla la raíz cuadrada de 625 por descomposición de sus factores primos.

1. Descomponemos al número 625 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cuadrada con producto de la descomposición.

\boldsymbol{\sqrt{625}=\sqrt{5^{4}}}

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un potencia”.

\boldsymbol{\sqrt{5^{4}}=5^{\frac{4}{2}}=5^{2}=25}

4. Escribimos el resultado.

\boldsymbol{\sqrt{625}=25}

– Otro ejemplo:

Halla la raíz cuadrada de 196 por descomposición de sus factores primos.

1. Descomponemos al número 196 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cuadrada con su radicando igual al producto de su descomposición.

\boldsymbol{\sqrt{196}=\sqrt{2^{2}\times 7^{2}}}

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un producto”.

\boldsymbol{\sqrt{2^{2}\times 7^{2}}=\sqrt{2^{2}}\times \sqrt{7^{2}}}

4. Aplicamos la propiedad “raíz de una potencia”.

\boldsymbol{\sqrt{2^{2}}\times \sqrt{7^{2}}=2^{\frac{2}{2}}\times 7^{\frac{2}{2}}=2\times 7=14}

5. Escribimos el resultado.

\boldsymbol{\sqrt{196}=14}

– Otro ejemplo:

Halla la raíz cúbica de 1.728 por descomposición de sus factores primos.

  1. Descomponemos el número 1.728 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cúbica con su radicando igual al producto de su descomposición.

\boldsymbol{\sqrt[3]{1.728}=\sqrt[3]{2^{6}\times 3^{3}}}

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un producto”.

\boldsymbol{\sqrt[3]{2^{6}\times 3^{3}}=\sqrt[3]{2^{6}}\times \sqrt[3]{3^{3}}}

4. Aplicamos la propiedad “raíz de una potencia”.

\boldsymbol{\sqrt[3]{2^{6}}\times \sqrt[3]{3^{3}}=2^{\frac{6}{3}}\times 3^{\frac{3}{3}}=2^{2}\times 3=4\times 3=12}

5. Escribimos el resultado.

\boldsymbol{\sqrt[3]{1.728}=12}

Velocidad de un auto en un accidente

Cuando ocurre una accidente de tránsito, por lo general las llantas de los autos dejan una marca sobre el pavimento al frenar. Esta marca es de gran utilidad para los fiscales de tránsito, pues la raíz cuadrada del producto entre la aceleración y la longitud de la marca de frenado es igual a la velocidad del vehículo al momento del choque.

\boldsymbol{\sqrt{-2ax}}

Donde:

a = aceleración

x = longitud de las marcas de frenado

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica es la expresión de números a partir de potencias de base 10. De forma general se representan así:

a × 10n

Donde:

a: es el número entero o decimal que multiplica a la potencia de base 10. Su módulo debe tener un valor igual o mayor que 1 pero menor que 10.

n: es un número entero distinto de cero que corresponde al exponente de la potencia de base 10. Es conocido también como “orden de magnitud”.

Se escriben de la siguientes manera:

  • 10−5 = 0,00001
  • 10−4 = 0,0001
  • 10−3 = 0,001
  • 10−2 = 0,01
  • 10−1 = 0,1
  • 100 = 1
  • 101 = 10
  • 102 = 100
  • 103 = 1.000
  • 104 = 10.000
  • 105 = 100.000

Signos del exponente

Cuando los números son muy pequeños o menores a 1 el exponente es negativo, mientras que si el número es muy grande o mayores a 1 el exponente es positivo.

  • Los exponentes positivos indican la cantidad de ceros que se encuentran a la derecha del número que multiplica la potencia. Por ejemplo, el número 2.000.000 representado en notación científica es 2 × 106 en donde el exponente 6 indica la cantidad de ceros que están después del dos.
  • Los exponentes negativos indican la cantidad de ceros a la izquierda del número que multiplica la potencia. Por ejemplo, el número 0,00000004 representado en notación científica es 4 × 10−8. En este caso el signo menos indica que hay 8 ceros delante del 4.
Nuestro planeta Tierra se encuentra en la galaxia espiral llamada Vía Láctea, la cual tiene unos 100.000 años luz de diámetro. Los científicos estiman que hay alrededor de 400.000.000.000 estrellas en esta galaxia. Estos número tan grandes podemos expresarlos por medio de notación científica como 1 × 105 años luz de diámetro y 4 × 1011 estrellas.

– Otros ejemplos:

  • 3,2 × 10−3 = 0,0032
  • 4 × 10−4 = 0,0004
  • 1,05 × 106 = 1.050.000
  • 6,78 × 10−1 = 0,678
  • 9,43 × 102 = 943

¿Sabías qué?
En el caso de números muy grandes, lo primero que se debe hacer es mover la coma decimal a un número que esté comprendido entre 1 y 10. El número de espacios recorridos hasta dicho número corresponderá al exponente de la potencia de base 10.
  • 8.956.000.000.000 = 8,956 × 1012
  • 243.000 = 2,43 × 105
  • 90.000 = 9 × 104
  • 0,00000045 = 4,5 × 10−7
  • 0,007 = 7 × 10−3

¡A practicar!

1. Expresa los siguientes números como producto de sus factores primos.

  • 520
Solución
520 = 23 × 5 × 13
  • 156
Solución
156 = 22 × 3 × 13
  • 200
Solución
200 = 23 × 52
  • 86
Solución
86 = 2 × 43
  • 22
Solución
22 = 2 × 11

2. Calcula las siguientes raíces por descomposición de sus factores primos.

  • \sqrt[3]{729}
Solución
\sqrt[3]{729}=9
  • \sqrt[3]{64}
Solución
\sqrt[3]{64}=4
  • \sqrt[3]{343}
Solución
\sqrt[3]{343}=7
  • \sqrt{324}
Solución
\sqrt{324}=18
  • \sqrt{400}
Solución
\sqrt{400}=20

3. Calcula:

  • 6 × 108
Solución
6 × 108 = 600.000.000
  • 3 × 10−5
Solución
3 × 10−5 = 0,00003
  • 1,26 × 10−6 
Solución
1,26 × 10−6 = 0,00000126
  • 1,78 × 105
Solución
1,78 × 105 = 178.000 
  • 2 × 104
Solución
2 × 104 = 20.000

RECURSOS PARA DOCENTES

Video “Notación científica”

Este recurso audiovisual le permitirá poner en práctica lo aprendido sobre la notación científica.

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Artículo “Factorización de números”

Este artículo detalla cómo descomponer números en sus factores primos y su relación con el cálculo del mínimo común múltiplo y máximo común divisor.

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