CAPÍTULO 4 / TEMA 5

APLICACIÓN DE LA POTENCIA Y DE LA RADICACIÓN

La potenciación y la radicación son operaciones estrechamente relacionadas. Mientras que la primera es una multiplicación condensada de un número por sí mismo n cantidad de veces, la segunda busca ese número que multiplicado por sí mismo resulte en el radicando. Si bien sus propiedades ya se trataron en temas anteriores, aquí aprenderás otras aplicaciones de estos cálculos.

operaciones que simplifican

Tanto la potenciación como la radicación son operaciones útiles para mostrar números de manera más simple. Por ejemplo, dentro del conjunto de los números reales encontramos otros tipos de números que no son sencillos de representar, como los números irracionales, cuyas expresiones decimales son ilimitadas y no periódicas, por lo que es más fácil mostrarlo como una raíz:

$\boldsymbol{\sqrt{2}=1,414213562...}$

$\boldsymbol{\sqrt{3}=1,732050807...}$

$\boldsymbol{\sqrt{5}=2,236067977...}$

Por su parte, la potencia nos ayuda a expresar números muy grandes o muy pequeños de manera resumida, pues la potencia no es más que una multiplicación abreviada.

La descomposición en factores primos y la notación científica son solo dos de los procesos que pueden verse involucrados con la potenciación y la radicación. Ambas operaciones son empleadas en múltiples cálculos cotidianos y en diversas áreas como la astronomía, la ingeniería o la biología.

Las bacterias son microorganismos que crecen con un ritmo acelerado. Este crecimiento suele expresarse en forma de potencia con exponente positivo y se grafica en forma de línea curva ascendente. Saber que tan rápida puede ser la reproducción de una bacteria puede prevenir focos de infección en un paciente y evitar que este sea una víctima mortal.

descomposición en factores primos

También conocida como descomposición factorial o factorización, consiste en escribir un número como producto de sus números primos. Cada vez que un factor se repita en la descomposición, este se convertirá en la base de una potencia y la cantidad de veces que se repita será el exponente.

– Ejemplo:

¿Qué es un número primo?

Un número primo es un número natural que tiene dos divisores positivos: al uno y a sí mismo. Esta tabla muestra los primero números primos en color azul.

¿Sabías qué?

Las factorización es un paso indispensable para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de un número.

Las raíces también se pueden obtener por medio de la descomposición del radicando en sus números primos.

– Ejemplo:

Halla la raíz cuadrada de 625 por descomposición de sus factores primos.

1. Descomponemos al número 625 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cuadrada con producto de la descomposición.

$\boldsymbol{\sqrt{625}=\sqrt{5^{4}}}$

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un potencia”.

$\boldsymbol{\sqrt{5^{4}}=5^{\frac{4}{2}}=5^{2}=25}$

4. Escribimos el resultado.

$\boldsymbol{\sqrt{625}=25}$

– Otro ejemplo:

Halla la raíz cuadrada de 196 por descomposición de sus factores primos.

1. Descomponemos al número 196 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cuadrada con su radicando igual al producto de su descomposición.

$\boldsymbol{\sqrt{196}=\sqrt{2^{2}\times 7^{2}}}$

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un producto”.

$\boldsymbol{\sqrt{2^{2}\times 7^{2}}=\sqrt{2^{2}}\times \sqrt{7^{2}}}$

4. Aplicamos la propiedad “raíz de una potencia”.

$\boldsymbol{\sqrt{2^{2}}\times \sqrt{7^{2}}=2^{\frac{2}{2}}\times 7^{\frac{2}{2}}=2\times 7=14}$

5. Escribimos el resultado.

$\boldsymbol{\sqrt{196}=14}$

– Otro ejemplo:

Halla la raíz cúbica de 1.728 por descomposición de sus factores primos.

Descomponemos el número 1.728 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cúbica con su radicando igual al producto de su descomposición.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{1.728}=\sqrt[3]{2^{6}\times 3^{3}}}$

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un producto”.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{2^{6}\times 3^{3}}=\sqrt[3]{2^{6}}\times \sqrt[3]{3^{3}}}$

4. Aplicamos la propiedad “raíz de una potencia”.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{2^{6}}\times \sqrt[3]{3^{3}}=2^{\frac{6}{3}}\times 3^{\frac{3}{3}}=2^{2}\times 3=4\times 3=12}$

5. Escribimos el resultado.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{1.728}=12}$

Velocidad de un auto en un accidente

Cuando ocurre una accidente de tránsito, por lo general las llantas de los autos dejan una marca sobre el pavimento al frenar. Esta marca es de gran utilidad para los fiscales de tránsito, pues la raíz cuadrada del producto entre la aceleración y la longitud de la marca de frenado es igual a la velocidad del vehículo al momento del choque.

$\boldsymbol{\sqrt{-2ax}}$

Donde:

a = aceleración

x = longitud de las marcas de frenado

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica es la expresión de números a partir de potencias de base 10. De forma general se representan así:

a × 10ⁿ

Donde:

a: es el número entero o decimal que multiplica a la potencia de base 10. Su módulo debe tener un valor igual o mayor que 1 pero menor que 10.

n: es un número entero distinto de cero que corresponde al exponente de la potencia de base 10. Es conocido también como “orden de magnitud”.

Se escriben de la siguientes manera:

10⁻⁵= 0,00001
10⁻⁴ = 0,0001
10⁻³ = 0,001
10⁻² = 0,01
10⁻¹ = 0,1
10⁰ = 1
10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1.000
10⁴ = 10.000
10⁵ = 100.000

Signos del exponente

Cuando los números son muy pequeños o menores a 1 el exponente es negativo, mientras que si el número es muy grande o mayores a 1 el exponente es positivo.

Los exponentes positivos indican la cantidad de ceros que se encuentran a la derecha del número que multiplica la potencia. Por ejemplo, el número 2.000.000 representado en notación científica es 2 × 10⁶ en donde el exponente 6 indica la cantidad de ceros que están después del dos.
Los exponentes negativos indican la cantidad de ceros a la izquierda del número que multiplica la potencia. Por ejemplo, el número 0,00000004 representado en notación científica es 4 × 10⁻⁸. En este caso el signo menos indica que hay 8 ceros delante del 4.

Nuestro planeta Tierra se encuentra en la galaxia espiral llamada Vía Láctea, la cual tiene unos 100.000 años luz de diámetro. Los científicos estiman que hay alrededor de 400.000.000.000 estrellas en esta galaxia. Estos número tan grandes podemos expresarlos por medio de notación científica como 1 × 10⁵ años luz de diámetro y 4 × 10¹¹ estrellas.

– Otros ejemplos:

3,2 × 10⁻³ = 0,0032
4 × 10⁻⁴ = 0,0004
1,05 × 10⁶ = 1.050.000
6,78 × 10⁻¹ = 0,678
9,43 × 10² = 943

¿Sabías qué?

En el caso de números muy grandes, lo primero que se debe hacer es mover la coma decimal a un número que esté comprendido entre 1 y 10. El número de espacios recorridos hasta dicho número corresponderá al exponente de la potencia de base 10.

8.956.000.000.000 = 8,956 × 10¹²
243.000 = 2,43 × 10⁵
90.000 = 9 × 10⁴
0,00000045 = 4,5 × 10⁻⁷
0,007 = 7 × 10⁻³

¡A practicar!

1. Expresa los siguientes números como producto de sus factores primos.

Solución

520 = 2³ × 5 × 13

Solución

156 = 2² × 3 × 13

Solución

200 = 2³ × 5²

Solución

86 = 2 × 43

Solución

22 = 2 × 11

2. Calcula las siguientes raíces por descomposición de sus factores primos.

$\sqrt[3]{729}$

Solución

$\sqrt[3]{729}=9$

$\sqrt[3]{64}$

Solución

$\sqrt[3]{64}=4$

$\sqrt[3]{343}$

Solución

$\sqrt[3]{343}=7$

$\sqrt{324}$

Solución

$\sqrt{324}=18$

$\sqrt{400}$

Solución

$\sqrt{400}=20$

3. Calcula:

6 × 10⁸

Solución

6 × 10⁸ = 600.000.000

3 × 10⁻⁵

Solución

3 × 10⁻⁵ = 0,00003

1,26 × 10⁻⁶

Solución

1,26 × 10⁻⁶ = 0,00000126

1,78 × 10⁵

Solución

1,78 × 10⁵ = 178.000

2 × 10⁴

Solución

2 × 10⁴ = 20.000

RECURSOS PARA DOCENTES

Video “Notación científica”

Este recurso audiovisual le permitirá poner en práctica lo aprendido sobre la notación científica.

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Artículo “Factorización de números”

Este artículo detalla cómo descomponer números en sus factores primos y su relación con el cálculo del mínimo común múltiplo y máximo común divisor.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 4

Propiedades de las Raíces

La radicación consiste en la obtención de un número que se ha multiplicado por sí mismo n cantidad de veces bajo el operador de la raíz, por eso también se conoce como “raíz enésima de un número”. De este modo, también podemos decir que la radicación es la operación inversa a la potenciación y, al igual que esta última, presenta propiedades importantes que aprenderás a continuación.

El origen del símbolo radical es incierto. Algunos autores coinciden en que provino de los árabes, mientras que otros afirman que fue introducido en siglo XVI por Christoph Rudolff, cuyo uso es evidenciado en su libro *Coss*. Muchos otros asocian el origen del signo de la raíz con la letra r, de la palabra latina *radix* que significa “raíz”.

¿Qué es la radicación?

Es una operación que consiste en hallar números que multiplicados por sí mismos tantas veces como indica el índice de la raíz den como resultado al radicando. Puede verse como la operación inversa a la potenciación.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{a} = b\; \; \Leftrightarrow \; \; b^{n}=a}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{\sqrt{81}=9}\: \: \: porque\: \: \: \boldsymbol{9^{2}=9\times 9=81}$

$\boldsymbol{\sqrt[3]{27} = 3}\; \; porque\; \; \boldsymbol{ 3^{3} = 3\times 3\times 3 =27}$

Elementos de una raíz

Toda raíz cuenta con tres elementos:

$\huge \boldsymbol{\sqrt[n]{a}=b}$

Índice (n): orden de la raíz que se aplica al radicando. Indica cuántas veces multiplicamos un número por sí mismo para obtener el radicando.
Radicando (a): número sometido a la raíz del orden determinado por el índice.
Raíz (b): resultado de la radicación, el cual elevado al orden de la raíz da como resultado el radicando.

principales propiedades de la radicación

Las propiedades de la radicación tienen una gran cantidad de aplicaciones y, del mismo modo que en la potenciación, no se deben aplicar las propiedades a las operaciones de suma y resta, sino solo a las de multiplicación y división.

Propiedades de la radicación
Raíz de cero	$\boldsymbol{\sqrt[n]{0}=0\; \: \: \: \: \: n\neq 0}$
Raíz de la unidad	$\boldsymbol{\sqrt[n]{1}=1}$
Raíz de un producto	$\boldsymbol{\sqrt[n]{a\times b}=\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}}$
Raíz de un cociente	$\boldsymbol{\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$
Potencia de una raíz	$\boldsymbol{\left ( \sqrt[n]{a} \right )^{x}=\sqrt[n]{a^{x}}}$
Raíz de una raíz	$\boldsymbol{\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\times m]{a}}$

¿Sabías qué?

La mayoría de los números irracionales pueden ser expresados a partir de una raíz, por ejemplo, $\sqrt{2}$ o $\sqrt{3}$ .

raíz cuadrada de números negativos

La raíz cuadrada de números negativos no tiene solución dentro de los números reales ( $\boldsymbol{\mathbb{R}}$ ) porque no existe un número (positivo o negativo) que al ser multiplicado por sí mismo resulte en otro negativo. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 4 es igual a 2 porque 2² es igual a 4.

$\boldsymbol{\sqrt{4}=2}\: \: \: porque \: \: \: \boldsymbol{2^{2}=2\times 2=4}$

Pero esta raíz también tiene otra solución negativa:

$\boldsymbol{\sqrt{4}=-2} \: \: \: porque\: \: \: \boldsymbol{\left ( -2 \right )^{2}=\left ( -2 \right )\times \left ( -2 \right )=4}$

Recuerda que la regla de los signos indica que al multiplicar símbolos iguales el resultado es positivo.

Ahora, ¿cuál será la raíz cuadrada de −4?

$\boldsymbol{\sqrt{-4}=} no \: \: existe$

La raíz cuadrada de −4 no existe en los números reales porque no hay un número que al multiplicarse por sí mismo resulte en −4.

Sin embargo, esto no significa que no tenga solución posible, sino que pertenece a otro grupo numérico: los números complejos. Los números complejos incluyen una parte imaginaria que sirve para obtener resultados que no pertenecen a los reales.

Soluciones de una raíz

Siempre que el radicando sea negativo, la raíz tendrá solución real solo si el índice es impar, en cambio, si el índice es par, el resultado pertenecerá a los números imaginarios. Esto se debe a la regla de los signos, pues si multiplicamos por sí mismo un número negativo una cantidad de veces par (2, 4, 6, 8,…) el resultado será igualmente positivo.

aplicación de las propiedades de la radicación

Raíz de cero

Toda raíz cuyo radicando sea cero es igual a cero, siempre y cuando su índice sea diferente de dicho número.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{0}=0\; \: \: \: \: \: n\neq 0}$

– Ejemplo:

$\sqrt[3]{0}=0$

$\sqrt[5]{0}=0$

Raíz de la unidad

La raíz de la unidad es igual a uno.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{1}=1}$

– Ejemplo:

$\sqrt[3]{1}=1$

$\sqrt{1}=1$

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{a\times b}=\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}}$

– Ejemplo:

$\sqrt[3]{64\times 8}=\sqrt[3]{64}\times \sqrt[3]{8}=4\times 2=8$

$\sqrt{9\times 25}=\sqrt{9}\times \sqrt{25}=3\times 5=15$

Raíz de un cociente

La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces del dividendo y del divisor.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$

– Ejemplo:

$\sqrt{\frac{576}{4}}=\frac{\sqrt{576}}{\sqrt{4}}=\frac{24}{2}=12$

$\sqrt[3]{\frac{64}{8}}=\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{4}{2}=2$

Potencia de una raíz

La potencia de una raíz es igual a la misma raíz con el radicando elevado a dicha potencia.

$\boldsymbol{\left ( \sqrt[n]{a} \right )^{x}=\sqrt[n]{a^{x}}}$

– Ejemplo:

$\left ( \sqrt{4} \right )^{4}=\sqrt{4^{4}}=\sqrt{256}=16$

$\left ( \sqrt[3]{3} \right )^{9}=\sqrt[3]{3^{9}}=\sqrt[3]{19.683}=27$

¡Existe otro método!

La potencia de una raíz es igual al radicando elevado al cociente de las potencias.

$\left ( \sqrt{4} \right )^{4}=4^{\frac{4}{2}}=4^{2}=16$

$\left ( \sqrt[3]{3} \right )^{9}=3^{\frac{9}{3}}=3^{3}=27$

Raíz de una raíz

La raíz de una raíz es igual otra raíz con el mismo radicando y cuyo índice es igual al producto de los índices.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\times m]{a}}$

– Ejemplo:

$\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[2\times 3]{64}=\sqrt[6]{64}=2$

$\sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt[2\times 2]{81}=\sqrt[4]{81}=3$

Números irracionales

Existen números que no se pueden expresar como el cociente de dos enteros. Estos reciben el nombre de número irracionales y las raíces son un ejemplo de ellos. Uno de los números irracionales más famosos es el número pi (π). A lo largo de la historia el valor de pi ha tenido distintas aproximaciones y se lo usa, entre otras cosas, para el cálculo de superficies y volúmenes de circunferencias y esferas.

Suma y resta de radicales

Podemos sumar y restar radicales siempre y cuando estos sean semejantes, es decir, que tengan el mismo índice y el mismo radicando. Cuando esto sucede, solo sumamos o restamos los coeficientes y mantenemos el radical igual.

$\boldsymbol{{\color{Red} b}\sqrt[n]{a}+{\color{Red} c}\sqrt[n]{a}=({\color{Red} b+c})\sqrt[n]{a}}$

– Ejemplo:

$5\sqrt{8}+\sqrt{8}+2\sqrt{8}=(5+1+2)\sqrt{8}=8\sqrt{8}$

$3\sqrt{25}+\sqrt{25}+\sqrt[3]{25}=4\sqrt{25}+\sqrt[3]{25}$

¡A practicar!

Resuelve estas raíces y aplica las propiedades.

$\sqrt{4}\times \sqrt{9}$

Solución

$\sqrt{4}\times \sqrt{9}=\sqrt{4\times 9}=\sqrt{36}=6$

$\frac{\sqrt[4]{64}}{\sqrt[4]{4}}$

Solución

$\frac{\sqrt[4]{64}}{\sqrt[4]{4}}=\sqrt[4]{\frac{64}{4}}=\sqrt[4]{16}=2$

$\sqrt{\sqrt[4]{256}}$

Solución

$\sqrt{\sqrt[4]{256}}=\sqrt[2\times 4]{256}=\sqrt[8]{256}=2$

$\sqrt[4]{3}\times \sqrt[4]{27}$

Solución

$\sqrt[4]{3}\times \sqrt[4]{27}=\sqrt[4]{3\times 27}=\sqrt[4]{81}=3$

$\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}}$

Solución

$\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{\frac{16}{2}}=\sqrt[3]{8}=2$

$\sqrt{3}\times \sqrt{12}$

Solución

$\sqrt{3}\times \sqrt{12}=\sqrt{3\times 12}=\sqrt{36}=6$

$\sqrt{\frac{16}{9}}$

Solución

$\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}=\frac{4}{3}$

$\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}$

Solución

$\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{98}{2}}=\sqrt{49}=7$

$\sqrt{8}\times \sqrt{2}$

Solución

$\sqrt{8}\times \sqrt{2}=\sqrt{8\times 2}=\sqrt{16}=4$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Los números irracionales”

En el artículo podrá encontrar los números irracionales más conocidos y su representación en la recta numérica. Es un buen complemento para afianzar la importancia de la radicación y experimentar sus aplicaciones.

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Artículo “Propiedades de las raíces”

Este recurso contiene ejemplos prácticos muy útiles para profundizar sobre las propiedades de la radicación.

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