CAPÍTULO 2 / TEMA 7 (REVISIÓN)

OPERACIONES | ¿Qué aprendimos?

operaciones básicas

Todos los días utilizamos operaciones básicas como la adición, la sustracción, la multiplicación y la división. Las adiciones con reagrupación de dos o más números se caracterizan por tener “llevadas” cuando sumamos sus unidades, decenas, centenas, etc. Las sustracciones con reagrupación son restas en las que existen cifras del minuendo que son menores a las del sustraendo. Por esta razón, hay que “pedirle” una unidad al dígito de al lado para así poder resolver el ejercicio. En el caso de la multiplicación, al igual que en la adición y en la sustracción, se observan dos tipos de operaciones: sin reagrupación y con reagrupación. Las multiplicaciones sin reagrupación son aquellas que no contienen llevadas cuando multiplicamos un dígito con otro. En cambio, las multiplicaciones con reagrupación sí poseen llevadas. En el caso de las divisiones, encontramos las exactas cuando el resto es igual a cero y las no exactas cuando el resto es diferente de cero.

Leibniz impuso el uso del punto como símbolo de la multiplicación e introdujo los dos puntos como símbolo de la división.

múltiplos y divisores

El múltiplo de un número es el resultado de multiplicar ese número por otro. Por otra parte, el divisor de un número es aquel que lo divide de manera exacta. Hay números cuyos únicos divisores son ellos mismos y el uno, a estos números se los conoce como números primos. Por otro lado, los números que poseen más de dos divisores se denominan números compuestos y pueden descomponerse en factores primos.

El número 1 no es ni primo ni compuesto porque solo tiene un divisor que es él mismo.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Todo número natural se puede descomponer como una multiplicación de sus factores primos. Este tipo de expresión permite calcular el mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) entre dos o más números. El mínimo común múltiplo (también llamado múltiplo común menor) de dos o más números es el menor múltiplo común de dos o más números distintos de cero. Para calcularlo, hay que descomponer los números en sus factores primos y luego elegir los números que tienen y no tienen en común a mayor potencia. El número que resulta del producto es el menor múltiplo en común. El máximo común divisor (también conocido como divisor común mayor) es el mayor divisor entre dos o más números distintos de cero. Para calcularlo también se descomponen los números en sus factores primos y luego se eligen solo los números que tienen en común a menor potencia. El producto de estos es el mayor divisor en común.

Si calculamos el mcd entre dos números de la secuencia de Fibonacci obtenemos otro número de Fibonacci. Por ejemplo, el mcd de (2, 8) = 2.

problemas con los números enteros

Una de las características de los números enteros es que permiten representar cantidades positivas y negativas, por esta razón se emplea la regla de los signos para saber qué signo tendrá un número al realizar una operación con enteros. En una adición, cuando todos los números son negativos, se suman y el resultado que se obtiene es un número negativo. Si se suman números positivos y negativos, los números de igual signo se suman y al final los dos números obtenidos se restan y se coloca el signo del número mayor. Para sustraer números enteros, hay que tener en cuenta que el símbolo de la resta cambia el signo al número que sigue según la regla. Para multiplicar y dividir números enteros primero se operan los signos mediante la regla de los signos y luego se multiplican o dividen los números según corresponda.

En Oriente se operaba con números positivos y negativos a través de ábacos, tablillas o bolas de colores. A los números negativos se los conocía como “números deudos” o “números absurdos”.

problemas con números decimales

Cuando vamos al supermercado la mayoría de los precios de los productos están marcados con números decimales. Con estos números también se pueden desarrollar las operaciones básicas de la aritmética. Para sumar números decimales tienen que coincidir la parte entera, la coma y la parte decimal de los números de acuerdo a sus valores posicionales. También podemos sumar números decimales con enteros siempre y cuando coincidan sus valores posicionales. Para sustraer también deben coincidir los valores posicionales y se pueden restar dos decimales o un decimal y un número entero. Para multiplicar dos números decimales se multiplican los números como si fuesen números naturales y el producto final será un número decimal que tendrá la cantidad de decimales igual a la suma de todos los decimales de ambos números. Si se multiplica un decimal con un natural el producto final tendrá tantos decimales como tenga el número decimal que se multiplicó inicialmente. Para dividir a estos números, ya sea por otro decimal o por un entero, hay que convertir a los números decimales en enteros. Para esto, se debe multiplicar al dividendo y al divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el número con la parte decimal de más cifras. Luego se realiza la división de manera habitual.

A comienzos del siglo XV, un matemático árabe desarrolló el conjunto de los números decimales y sus usos.

operaciones combinadas

Las operaciones combinadas son aquellas que involucran dos o más operaciones aritméticas agrupadas por diferentes símbolos. Los símbolos de agrupamiento son: los paréntesis (), los corchetes [] y las llaves {}. En una operación con estos símbolos primero se eliminan los paréntesis, luego los corchetes y, por último, las llaves. En los ejercicios combinados se pueden encontrar agrupados números enteros, fracciones, números decimales, potencias y raíces. A la hora de resolverlos, se tiene que tener en cuenta el orden de eliminación de los símbolos de agrupamiento como también el de las operaciones: primero se resuelven las potencias y las raíces, luego las multiplicaciones y las divisiones, y por último, las sumas y las restas.

El símbolo de igual “=” fue creado por el matemático inglés Robert Recorde en 1557 para evitar la expresión textual “es igual a”.

CAPÍTULO 2 / TEMA 2

MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Un múltiplo de un número es el resultado de multiplicar ese número por otro. Debido a esto, los múltiplos de un número son infinitos. Por otra parte, los divisores son los valores que dividen a un números en partes iguales y permiten saber si se trata de un número primo o compuesto.

nÚMEROS PRIMOS

Los números primos son aquellos números naturales que son divisibles por uno y por sí mismos, es decir, sus únicos divisores son ellos mismos y la unidad. Por ejemplo: 2, 3, 5, 7 y 11 son números primos.

Número	Divisores
2	2 y 1
3	3 y 1
5	5 y 1
7	7 y 1
11	11 y 1

¿Sabías qué?

El matemático griego Euclides demostró que los números primos son infinitos.

La maravilla de los números primos

Los números primos son como los arquitectos de otros números, ya que la multiplicación de varios números primos da lugar a un número compuesto. Los números primos son equivalentes en las matemáticas a lo que los átomos son en la materia. Esta naturaleza los hace tan peculiares que muchos matemáticos los han estudiado a través de los años.

¿Sabías qué?

El número 2 es el único número primo que es par.

nÚMEROS COMPUESTOS

Los números compuestos son aquellos números naturales que tienen más de dos divisores, además del uno y de sí mismo. Estos números pueden ser expresados como un producto de números primos que es único para cada número.

Algunos números compuestos

Número	Divisores
4	4, 2 y 1
6	6, 3, 2 y 1
8	8, 4, 2 y 1
9	9, 3 y 1
10	10, 5, 2 y 1

DIVISORES

Un divisor es el número que divide a otro en una cantidad entera. Un número es divisible por otro si su división es exacta, es decir, el resto de la división es cero. Si un número “a” se divide por otro “b” y el resto de la división es cero quiere decir que “b” es divisor de “a” o que “a es divisible por b”. Por ejemplo, 4 es divisor de 8 porque 8 : 4 = 2 y el resto es cero. Por lo tanto, 8 es divisible por 4.

Para encontrar los divisores de un número se pueden usar las tablas de multiplicar o los criterios de divisibilidad. Por ejemplo, para buscar los divisores de 16 sabemos que se trata de un número par. Por lo tanto, va a ser divisible por 2. Por otra parte, el 16 se encuentra dentro de las tablas de multiplicar del 4 y del 8. Entonces, esos números forman parte de sus divisores. También sabemos que todos los números (primos o compuestos) son divisibles entre ellos mismos y entre 1, por lo tanto, los divisores de 16 son: 1, 2, 4, 8 y 16.

Números perfectos

El matemático griego Euclides estudiaba los números naturales y denominaba números perfectos a un tipo de números compuestos. Él describía a un número perfecto como aquel número natural que es igual a la suma de sus divisores excepto él mismo. Un ejemplo de número perfecto es el 6 ya que sus divisores son: 1, 2, 3 y 6. Si los sumamos a todos, menos al seis tenemos, el resultado es igual al mismo número: 1 + 2 + 3 = 6. El siguiente número con estas características es el 28. Sus divisores son 1, 2, 4, 7, 14 y 28. La cuenta sería: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS EN SUS FACTORES PRIMOS

Todos los números compuestos pueden descomponerse en un producto de sus factores primos. Para descomponer un número en sus factores primos, se divide por el menor de sus divisores primos. El cociente de esa división se vuelve a dividir por el menor divisor primo de este y así sucesivamente hasta conseguir como cociente el 1. La manera de representar la descomposición es a través de una raya vertical que separa la división del número y sus factores primos.

Por ejemplo, procedimiento para descomponer el número 84 en sus factores primos es el siguiente:

El menor divisor primo de 84 es 2, por lo tanto, se divide 84 : 2 = 42. El cociente se escribe en la parte inferior y se vuelve a repetir el procedimiento. El menor divisor primo de 42 es 2, se escribe el divisor y el resultado que es 21 se escribe debajo de 42. Luego, el menor divisor primo de 21 es 3, se escribe dicho divisor y el resultado, que es 7, se escribe en la parte inferior. Como 7 es un número primo, el mínimo divisor primo es sí mismo, por lo tanto, se escribe el divisor 7 y el resultado de la división es 1. Como el número 1 no es un número primo se da por concluida la descomposición.

De esta manera, el 84 se puede escribir como la multiplicación de todos sus factores primos:

84 = 2 · 2 · 3 · 7

En estos casos, las descomposiciones de factores primos suelen representarte en forma de potencia en aquellos factores que se repiten. Para este ejemplo, observamos que el número 2 se repite dos veces por lo tanto se puede expresar como 2². De esta forma, la descomposición quedaría expresada de la siguiente forma:

84 = 2² · 3 · 7

Códigos secretos

Los números se pueden descomponer en sus factores primos, pero cuando hablamos de números realmente grandes resulta casi imposible a menos que utilicemos herramientas informáticas o programas de computadora. Es por esto que los números primos son perfectos para crear códigos secretos indescifrables. Por ejemplo, cuando se hacen compras por internet, los datos de las personas que compran quedan ocultos por un código creado por números enormes que funcionan como una cerradura cuya llave son los factores primos de este número.

¡A ejercitar!

Encierra en color azul los números primos y en rojo los números compuestos.

RESPUESTAS

2. Encuentra los divisores de los siguientes números.

a) 24

RESPUESTAS

Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

b) 60

RESPUESTAS

Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60.

c) 73

RESPUESTAS

Divisores de 73: 1 y 73

d) 48

RESPUESTAS

Divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48.

3. Señala cuál de los siguientes números es un número compuesto.

a) 53

b) 63

c) 73

d) 83

RESPUESTAS

b) 63

4. Descompone en factores primos los siguientes números:

a) 54

RESPUESTAS

b) 150

RESPUESTAS

c) 72

RESPUESTAS

d) 100

RESPUESTAS

e) 63

RESPUESTAS

f) 132

RESPUESTAS

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Criterios de divisibilidad”

El artículo propone una serie de reglas que permiten identificar los divisores de un número.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 6

MÍnimo común múltiplo y máximo común divisor

La multiplicación y la división son operaciones básicas relacionadas directamente con dos conceptos: múltiplos y divisores. Ambos términos señalan la cantidad de veces que un número está contenido dentro de otro y la cantidad de veces que un número puede dividir a otro. Gracias a ellos podemos calcular múltiplos y divisores comunes en dos o más números y así poder simplificar operaciones más complejas.

múltiplos y divisores

El múltiplo de un número natural se obtiene al multiplicar ese número por otro número natural, por ejemplo:

4 × 1 = 4
4 × 2 = 8
4 × 3 = 12
4 × 4 = 16
4 × 5 = 20
4 × 6 = 24
4 × 7 = 28
4 × 8 = 32
4 × 9 = 36

Los números marcados en rojo son múltiplos de 4. Estos números resultan de la multiplicación del número 4 por números naturales. Como los números naturales son infinitos, los múltiplos de un número también lo son, así que los múltiplos de 4 y de cualquier número continúan hasta el infinito.

Por otro lado, un divisor es todo número que al dividir a otro resulta en una división exacta, por ejemplo:

12 ÷ 1 = 12
12 ÷ 2 = 6
12 ÷ 3 = 4
12 ÷ 4 = 3
12 ÷ 5 = 2 y resto = 2
12 ÷ 6 = 2
12 ÷ 7 = 1 y resto = 5
12 ÷ 8 = 1 y resto = 4
12 ÷ 9 = 1 y resto = 3

Los números marcados en rojo son divisores de 12 porque su división tiene un cociente entero con resto igual a cero, es decir, son divisiones exactas.

¡Es tu turno!

Escribe los múltiplos y divisores de 25.

Solución

Múltiplos: 25, 50, 75, 100,…

25 × 1 = 25
25 × 2 = 50
25 × 3 = 75
25 × 4 = 100

Divisores: 1, 5, 25

25 ÷ 1 = 25
25 ÷ 5 = 5
25 ÷ 25 = 1

Los múltiplos y los divisores no son conceptos aislados, de hecho, están muy relacionados entre sí. Si un número a es múltiplo de otro número b, este último es divisor del primero. Por ejemplo, el número 6 es múltiplo de 2 porque 2 × 3 = 6, pero al mismo tiempo, 2 es divisor de 6, porque 6 ÷ 2 = 3. ¿Puedes buscar esta relación en otros números? ¡Inténtalo!

Mínimo común múltiplo

Entre dos o más números, el mínimo común múltiplo o mcm es el menor múltiplo que tienen dichos números en común. Por ejemplo, observa los múltiplos de 4 y 5:

Múltiplos de 4 → 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 28, 32, 36, 40, …

Múltiplos de 5 → 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, …

Tanto el número 4 como el número 5 tienen al 20 y el 40 como múltiplos. Como 20 es el menor de ellos, decimos que el mínimo común múltiplo entre 4 y 5 es 20 y lo representamos de la siguiente forma:

mcm (4, 5) = 20

– Otro ejemplo:

¿Cuál es el mcm entre 12 y 18?

Múltiplos de 12 → 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, …

Múltiplos de 18 → 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, …

Así que:

mcm (12, 18) = 36

¿Sabías qué?

Al mínimo común múltiplo también se lo conoce como múltiplo común menor.

El mcm se utiliza en operaciones con fracciones, especialmente en la simplificación de resultados. Por ejemplo, al sumar y restar fracciones es más sencillo calcular el mcm de los denominadores, el cual será el denominador final. Luego calcula las fracciones equivalentes de cada elemento del problema para hacer un cálculo con fracciones homogéneas.

Mcm por descomposición

Hay una forma en la que no es necesario calcular varios múltiplos, consiste en descomponer cada número en sus factores primos, para luego multiplicar a los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplo:

– Calcula el mcm entre 15 y 36.

1. Descomponemos cada números en sus factores primos:

2. Identificamos el factor común en los dos números y seleccionamos el de mayor exponente. En este caso el factor común de mayor exponente es el 3².

3. Luego multiplicamos por el factor no común. En este caso los factores no comunes son el 2² y el 5. Así que el mínimo común múltiplo entre 15 y 36 se escribe así:

mcm (15, 36) = 3² × 2² × 5 = 180

Los mínimos divisores y los números primos

Los mínimos divisores que calculamos reciben el nombre de “números primos”. Estos números se caracterizan por ser divisibles entre sí mismos y entre 1. Por ejemplo, el 5 solo se divide entre 5 y entre 1. Lo mismo ocurre con el 2, con el 3, con el 7… De hecho los números primos son infinitos y hay ocasiones en las que los matemáticos anuncian el descubrimiento de nuevos números primos.

Máximo común divisor

Entre dos o más números, el máximo común divisor o mcd es el divisor común mayor entre todos los divisores. Por ejemplo, observa los divisores de 32 y 40:

Divisores de 32 → 1, 2, 4, 8, 16, 32

Divisores de 40 → 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

Los números 32 y 40 tienen varios divisores en común: 1, 2, 4 y 8. Como el 8 es el mayor de todos, decimos que el máximo común divisor entre 32 y 40 es 8. Lo escribimos de la siguiente manera:

mcd (32, 40) = 8

– Otro ejemplo:

¿Cuál es el mcd entre 35 y 49?

Divisores de 35 → 1, 5, 7, 35

Divisores de 49 → 1, 7, 49

Así que:

mcd (35, 49) = 7

¿Sabías qué?

El máximo común divisor también es conocido como “divisor común mayor”.

Mcd por descomposición

Otra forma para calcular el mcd es por medio de la factorización o descomposición en factores primos. Luego de esto, multiplicamos solo los factores comunes con su menor exponente. Por ejemplo:

– Calcular el mcd entre 30 y 20.

1. Factorizamos cada número.

2. Multiplicamos los factores comunes con su menor exponente. Los factores no comunes no se consideran para este cálculo. Entonces, el mcd entre 30 y 20 se escribe así:

mcd (30, 20) = 2 × 5 = 10

El mcd en la historia

El estudio del mcd se remonta a la antigua Grecia con Euclides, quien fue un líder de un grupo de matemáticos que vivió en los siglos IV y III a. C. En su obra Elementos, él describió un método para calcular el máximo común divisor de un número por medio del algoritmo de Euclides.

¡A practicar!

1. ¿Cuáles son los divisores de los siguientes números?

Solución

1, 2, 4, 8, 7, 14, 28 y 56.

Solución

1, 2, 4, 7, 14 y 28.

Solución

1, 2, 37 y 74.

2. ¿Cuáles son los primeros seis múltiplos de estos números?

Solución

34, 68, 102, 136 y 170.

Solución

23, 46, 69, 92, 115 y 138.

Solución

50, 100, 150, 200, 250 y 300.

3. ¿Cuál es el mcm de los siguientes números?

60 y 38.

Solución

mcm (60, 38) = 420

10 y 25.

Solución

mcm (10, 25) = 50

8 y 12.

Solución

mcm (8, 12) = 24

4. ¿Cuál es el mcd de los siguientes números?

50 y 80.

Solución

mcd (50, 80) = 10

16 y 72.

Solución

mcd (16, 72) = 8

60 y 75

Solución

mcd (60, 75) = 15

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Mínimo común múltiplo y máximo común divisor”

Con este recurso podrás poner en práctica los aprendido en este artículo, ya que cuenta con problemas que puedes resolver por medio de mcm y mcd.

VER

Artículo “Mínimo común múltiplo (mcm)”

En esta animación podrás trabajar con tus alumnos una aplicación directa del mcm.

VER

Tabla comparativa “Múltiplos y divisores”

Con este recurso podrás profundizar la información sobre las propiedades de los múltiplos y los divisores.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 8 (REVISIÓN)

OPERACIONES | ¿qué aprendimos?

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

La adición consiste en combinar, agrupar o sumar números; la sustracción, en cambio, consiste en quitar o restar números a un grupo. Siempre que queramos resolver cualquiera de estas operaciones, debemos considerar el valor posicional de cada una de las cifras de los números. Por otro lado, la adición cumple con ciertas propiedades como la asociativa y la conmutativa que no se pueden aplicar a la sustracción.

Un ejemplo de la adición por reagrupación es la suma de dinero. Si tienes $ 1.324 y luego te dan $ 3.984, tienes en total $ 1.324 + $ 3.984 = $ 5.318.

Multiplicación

La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar varias veces un mismo número. Los factores son los números que se multiplican o suman reiteradas veces y el producto es el resultado de la multiplicación. La multiplicación sin reagrupación es un método que consiste en multiplicar las unidades, las decenas y las centenas de 2 factores entre sí cuando ninguno de los productos formados supera la decena, mientras que la multiplicación con reagrupación es un procedimiento que podemos utilizar cuando algún producto entre dos cifras es igual o mayor a 10.

División

La división es la operación opuesta a la multiplicación. Sus elementos son el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. El dividendo es la cantidad que se quiere repartir; el divisor indica entre cuántas partes se reparte; el cociente es la cantidad que le corresponde a cada parte y también es el resultado de la división; y el resto representa lo que no se puede repartir. Cuando el resto es igual a cero (0) decimos que la división es exacta.

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

Para la adición y sustracción de números decimales procedemos igual que en el caso de los números naturales, pues debemos colocar cada elemento uno sobre otro según su valor posicional, al final nos aseguramos de que la coma esté en la misma columna. En el caso de las multiplicaciones, realizamos la operación tal y como si fuera una de números naturales, luego le colocamos al producto final la coma de acuerdo a los decimales de los factores.

Si sube la temperatura corporal un grado más allá de los 36,6° de la imagen, la persona tiene fiebre. ¿Cuál es la temperatura a la que puede tener fiebre? El cálculo es 36,6° + 1° = 37,6°. Este es un ejemplo de adición de decimales.

OPERACIONES COMBINADAS

Las operaciones combinadas son aquellas que agrupan diversos cálculos en una sola expresión. Cuando no hay paréntesis debemos seguir un orden de resolución: primero las multiplicaciones y divisiones, luego las sumas y restas. Si la operación combinada tiene paréntesis tenemos que realizar primero los cálculos que están dentro de ellos, es decir, estos tienen prioridad sobre otros.

Los paréntesis son de gran importancia si deseamos realizar operaciones en una calculadora, pues indican que son prioritarias sobre las demás.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) son operaciones que nos ayudan a simplificar cálculos más complejos. El mcm es el mínimo múltiplo que tienen en común dos o más números y el mcd es el divisor mayor que tienen en común dos o más números. Ambos pueden ser calculados por comparación de múltiplos y divisores o por descomposición de su números en factores primos.

La descomposición en factores primos consiste en dividir cada número entre su divisor mínimo para representar un número como producto de sus números primos. Algunos números primos están en esta imagen.

CONVERSIONES DE MEDIDAS

Algunas magnitudes que podemos medir son la longitud, la masa, el volumen y el tiempo. Cada una de ellas tiene una unidad básica de medida pero no son las únicas. Para medir longitudes podemos usar unidades como el metro, el kilómetro o el centímetro; para medir masas usamos unidades como el gramo, el kilogramo o el miligramo; para medir el volumen usamos unidades como el centímetro cúbico o el metro cúbico; y para medir el tiempo usamos unidades como los segundos, los minutos, las horas, los días o los años.

Hay mariposas que solo viven 1 día. Si convertimos esta unidad, también podemos decir que hay mariposas que viven 24 horas.

CAPÍTULO 4 / TEMA 5

APLICACIÓN DE LA POTENCIA Y DE LA RADICACIÓN

La potenciación y la radicación son operaciones estrechamente relacionadas. Mientras que la primera es una multiplicación condensada de un número por sí mismo n cantidad de veces, la segunda busca ese número que multiplicado por sí mismo resulte en el radicando. Si bien sus propiedades ya se trataron en temas anteriores, aquí aprenderás otras aplicaciones de estos cálculos.

operaciones que simplifican

Tanto la potenciación como la radicación son operaciones útiles para mostrar números de manera más simple. Por ejemplo, dentro del conjunto de los números reales encontramos otros tipos de números que no son sencillos de representar, como los números irracionales, cuyas expresiones decimales son ilimitadas y no periódicas, por lo que es más fácil mostrarlo como una raíz:

$\boldsymbol{\sqrt{2}=1,414213562...}$

$\boldsymbol{\sqrt{3}=1,732050807...}$

$\boldsymbol{\sqrt{5}=2,236067977...}$

Por su parte, la potencia nos ayuda a expresar números muy grandes o muy pequeños de manera resumida, pues la potencia no es más que una multiplicación abreviada.

La descomposición en factores primos y la notación científica son solo dos de los procesos que pueden verse involucrados con la potenciación y la radicación. Ambas operaciones son empleadas en múltiples cálculos cotidianos y en diversas áreas como la astronomía, la ingeniería o la biología.

Las bacterias son microorganismos que crecen con un ritmo acelerado. Este crecimiento suele expresarse en forma de potencia con exponente positivo y se grafica en forma de línea curva ascendente. Saber que tan rápida puede ser la reproducción de una bacteria puede prevenir focos de infección en un paciente y evitar que este sea una víctima mortal.

descomposición en factores primos

También conocida como descomposición factorial o factorización, consiste en escribir un número como producto de sus números primos. Cada vez que un factor se repita en la descomposición, este se convertirá en la base de una potencia y la cantidad de veces que se repita será el exponente.

– Ejemplo:

¿Qué es un número primo?

Un número primo es un número natural que tiene dos divisores positivos: al uno y a sí mismo. Esta tabla muestra los primero números primos en color azul.

¿Sabías qué?

Las factorización es un paso indispensable para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de un número.

Las raíces también se pueden obtener por medio de la descomposición del radicando en sus números primos.

– Ejemplo:

Halla la raíz cuadrada de 625 por descomposición de sus factores primos.

1. Descomponemos al número 625 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cuadrada con producto de la descomposición.

$\boldsymbol{\sqrt{625}=\sqrt{5^{4}}}$

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un potencia”.

$\boldsymbol{\sqrt{5^{4}}=5^{\frac{4}{2}}=5^{2}=25}$

4. Escribimos el resultado.

$\boldsymbol{\sqrt{625}=25}$

– Otro ejemplo:

Halla la raíz cuadrada de 196 por descomposición de sus factores primos.

1. Descomponemos al número 196 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cuadrada con su radicando igual al producto de su descomposición.

$\boldsymbol{\sqrt{196}=\sqrt{2^{2}\times 7^{2}}}$

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un producto”.

$\boldsymbol{\sqrt{2^{2}\times 7^{2}}=\sqrt{2^{2}}\times \sqrt{7^{2}}}$

4. Aplicamos la propiedad “raíz de una potencia”.

$\boldsymbol{\sqrt{2^{2}}\times \sqrt{7^{2}}=2^{\frac{2}{2}}\times 7^{\frac{2}{2}}=2\times 7=14}$

5. Escribimos el resultado.

$\boldsymbol{\sqrt{196}=14}$

– Otro ejemplo:

Halla la raíz cúbica de 1.728 por descomposición de sus factores primos.

Descomponemos el número 1.728 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cúbica con su radicando igual al producto de su descomposición.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{1.728}=\sqrt[3]{2^{6}\times 3^{3}}}$

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un producto”.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{2^{6}\times 3^{3}}=\sqrt[3]{2^{6}}\times \sqrt[3]{3^{3}}}$

4. Aplicamos la propiedad “raíz de una potencia”.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{2^{6}}\times \sqrt[3]{3^{3}}=2^{\frac{6}{3}}\times 3^{\frac{3}{3}}=2^{2}\times 3=4\times 3=12}$

5. Escribimos el resultado.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{1.728}=12}$

Velocidad de un auto en un accidente

Cuando ocurre una accidente de tránsito, por lo general las llantas de los autos dejan una marca sobre el pavimento al frenar. Esta marca es de gran utilidad para los fiscales de tránsito, pues la raíz cuadrada del producto entre la aceleración y la longitud de la marca de frenado es igual a la velocidad del vehículo al momento del choque.

$\boldsymbol{\sqrt{-2ax}}$

Donde:

a = aceleración

x = longitud de las marcas de frenado

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica es la expresión de números a partir de potencias de base 10. De forma general se representan así:

a × 10ⁿ

Donde:

a: es el número entero o decimal que multiplica a la potencia de base 10. Su módulo debe tener un valor igual o mayor que 1 pero menor que 10.

n: es un número entero distinto de cero que corresponde al exponente de la potencia de base 10. Es conocido también como “orden de magnitud”.

Se escriben de la siguientes manera:

10⁻⁵= 0,00001
10⁻⁴ = 0,0001
10⁻³ = 0,001
10⁻² = 0,01
10⁻¹ = 0,1
10⁰ = 1
10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1.000
10⁴ = 10.000
10⁵ = 100.000

Signos del exponente

Cuando los números son muy pequeños o menores a 1 el exponente es negativo, mientras que si el número es muy grande o mayores a 1 el exponente es positivo.

Los exponentes positivos indican la cantidad de ceros que se encuentran a la derecha del número que multiplica la potencia. Por ejemplo, el número 2.000.000 representado en notación científica es 2 × 10⁶ en donde el exponente 6 indica la cantidad de ceros que están después del dos.
Los exponentes negativos indican la cantidad de ceros a la izquierda del número que multiplica la potencia. Por ejemplo, el número 0,00000004 representado en notación científica es 4 × 10⁻⁸. En este caso el signo menos indica que hay 8 ceros delante del 4.

Nuestro planeta Tierra se encuentra en la galaxia espiral llamada Vía Láctea, la cual tiene unos 100.000 años luz de diámetro. Los científicos estiman que hay alrededor de 400.000.000.000 estrellas en esta galaxia. Estos número tan grandes podemos expresarlos por medio de notación científica como 1 × 10⁵ años luz de diámetro y 4 × 10¹¹ estrellas.

– Otros ejemplos:

3,2 × 10⁻³ = 0,0032
4 × 10⁻⁴ = 0,0004
1,05 × 10⁶ = 1.050.000
6,78 × 10⁻¹ = 0,678
9,43 × 10² = 943

¿Sabías qué?

En el caso de números muy grandes, lo primero que se debe hacer es mover la coma decimal a un número que esté comprendido entre 1 y 10. El número de espacios recorridos hasta dicho número corresponderá al exponente de la potencia de base 10.

8.956.000.000.000 = 8,956 × 10¹²
243.000 = 2,43 × 10⁵
90.000 = 9 × 10⁴
0,00000045 = 4,5 × 10⁻⁷
0,007 = 7 × 10⁻³

¡A practicar!

1. Expresa los siguientes números como producto de sus factores primos.

Solución

520 = 2³ × 5 × 13

Solución

156 = 2² × 3 × 13

Solución

200 = 2³ × 5²

Solución

86 = 2 × 43

Solución

22 = 2 × 11

2. Calcula las siguientes raíces por descomposición de sus factores primos.

$\sqrt[3]{729}$

Solución

$\sqrt[3]{729}=9$

$\sqrt[3]{64}$

Solución

$\sqrt[3]{64}=4$

$\sqrt[3]{343}$

Solución

$\sqrt[3]{343}=7$

$\sqrt{324}$

Solución

$\sqrt{324}=18$

$\sqrt{400}$

Solución

$\sqrt{400}=20$

3. Calcula:

6 × 10⁸

Solución

6 × 10⁸ = 600.000.000

3 × 10⁻⁵

Solución

3 × 10⁻⁵ = 0,00003

1,26 × 10⁻⁶

Solución

1,26 × 10⁻⁶ = 0,00000126

1,78 × 10⁵

Solución

1,78 × 10⁵ = 178.000

2 × 10⁴

Solución

2 × 10⁴ = 20.000

RECURSOS PARA DOCENTES

Video “Notación científica”

Este recurso audiovisual le permitirá poner en práctica lo aprendido sobre la notación científica.

VER

Artículo “Factorización de números”

Este artículo detalla cómo descomponer números en sus factores primos y su relación con el cálculo del mínimo común múltiplo y máximo común divisor.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 5

SeCUENCIAS

Al contar los números naturales, ya sea de 1 en 1, 2 en 2, o de 5 en 5, se aplican secuencias de números ordenados que se rigen por ciertas reglas, de manera que cumplen con un orden establecido. Una de las más conocidas es la sucesión de Fibonacci, pero las secuencias pueden ser de varios tipos: finitas o infinas, ascendentes o descendentes.

SeCUENCIAS con figuras

Una secuencia es un conjunto de elementos que están relacionadas entre sí y que se encuentran ordenadas según un criterio.

En las secuencias ordenadas en función de un patrón de figuras, se observa que los objetos están organizados de acuerdo a uno o más atributos. Algunos ejemplos son:

Por tamaño:

Por color:

Por forma:

También pueden contener imágenes y patrones más complejos:

El orden de una secuencia numérica no siempre es el mismo, por ejemplo, los elementos pueden estar ordenados de forma ascendente, de manera alternada o de manera decreciente.

Partes de una secuencia numérica

Una de las primeras secuencias que la mayoría de las personas aprende es la secuencia de los números naturales y se expresa de la siguiente forma: $\mathbb{N}$ = {1, 2, 3, 4 ,…} en donde cada uno de los números denominados elementos, se encuentran ordenados de 1 en 1. Los tres puntos suspensivos al final de la secuencia indican que los números continúan.

Las secuencias pueden ser infinitas, como pasa con los números naturales, que siguen la secuencia de manera ilimitada, y también pueden ser finitas como sucede con la secuencia de las vocales: {a, e, i, o, u}.

¿Sabías qué?

Las secuencias numéricas permiten desarrollar el razonamiento matemático.

Secuencias ascendentes y descendentes

– Secuencias ascendentes

Las secuencias numéricas tienen una regla que permite determinar el valor de cada término o elemento de la misma. Por ejemplo, cuando se cuentan los números de 2 en 2, en realidad se incrementan 2 números por cada elemento, es decir, la regla en este caso sería sumar 2 a cada elemento:

En la imagen se puede observar como cada elemento de la secuencia se incrementa por 2, esto significa que es una secuencia ascendente porque todos sus elementos van en aumento, por lo tanto, cada número es mayor que el anterior. Si a 2 se le suma 2, el resultado es 4 y si a este número se le suma 2 el resultado es 6, y así sucesivamente. En este caso, la secuencia numérica se representa como: {2, 4, 6, 8, …}.

– Secuencia descendente

Las secuencias descendentes, en cambio, se desarrollan en forma regresiva y cada número es menor que el anterior. En la siguiente imagen se puede observar un ejemplo de secuencia descendente:

La regla en esta secuencia descendente es restar 3 a cada número, de manera que es fácil calcular el número a continuación del 9, para ello realizamos la regla: 9 – 3 = 6, así, el número siguiente a 9 en esta secuencia es 6.

¿Sabías qué?

Hay secuencias ascendentes cuya regla consiste en multiplicar un número a cada elemento y secuencias descendentes donde se divide un número a cada elemento.

Números de Fibonacci

Son conocidos también como secuencia de Fibonacci. Su nombre proviene de quien la describió por primera vez en Europa: el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Es una secuencia en la cual el número siguiente se obtiene al sumar los dos números anteriores a este y se detalla a continuación {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ,…}. En la secuencia se puede observar que, por ejemplo, los dos números anteriores al 13 son el 5 y el 8, que al sumarlos dan como resultado al número siguiente: 5 + 8 = 13. Esto se cumple para todos los números de la secuencia.

VER INFOGRAFÍA

Divisiones y restas sucesivas

Antes de comenzar con este tema es importante recordar que multiplicar es lo mismo que sumar muchas veces el mismo número, por ejemplo:

4 x 3 = 12 es igual a 4 + 4 + 4= 12

Esto se debe a que la multiplicación está muy relacionada con la adición. Algo similar sucede con la división, la cual guarda relación con la resta. Por ejemplo, si se tiene la división 12 ÷ 3, hay que restarle 3 a 12 tantas veces como sea posible:

Al observar la imagen se razona que 12 fue restado 4 veces por el número 3. De esta manera se tiene que 12 ÷ 3 = 4.

Pasos para dividir a través de restas sucesivas

Las divisiones pueden realizarse a través de restas sucesivas de la siguiente manera:

Resta el divisor al dividendo tantas veces como sea posible. Hazlo hasta que el resultado sea 0 o un número menor al divisor.
Se cuenta el número de veces que se restó el divisor.
El cociente de la división será igual al número de veces que se restó el divisor y el resto será igual al último número que dio como resultado la resta.

Otro ejemplo:

– Resuelve la división 30 ÷ 5

Se resuelve a través de los pasos anteriores, para simplificar se sugiere utilizar una tabla similar a esta:

El resultado es 30 ÷ 5 = 6, y se trata de una división exacta porque el resto es igual a 0.

A continuación se muestra otro ejemplo de división pero en este caso es inexacta:

En el ejercicio anterior 27 ÷ 4 = 6 pero existe un resto igual a 3, como 3 es menor que el divisor no se puede continuar las restas en este método.

Ejercicios

Completa las siguientes oraciones:
a. En las secuencias ________ todos sus elementos van en aumento.

Solución
ascendentes
b. La secuencia {25, 20, 15, 10 , …} es una secuencia ______.

Solución
descendente
c. Las divisiones pueden calcularse con el método de ______.

Solución
restas sucesivas
Completa las siguientes secuencias numéricas:
a. {50, 40, ___, 20, …}

Solución
30
b. {12, ___, 8, 6, …}

Solución
10
c) {15, 30, ___, 60, 75, …}

Solución
45
d) { ___, 5.000, 4.000, 3.000, 2.000, …}

Solución
6.000
Resuelve las siguientes divisiones a través de restas sucesivas
a. 20 ÷ 5
b. 24 ÷ 6
c. 16 ÷ 5
d. 20 ÷ 3

Solución

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sucesiones y series”

El siguiente artículo explica la diferencia entre una serie y una sucesión:

VER

Video “Aprendiendo restas por descomposición”

El video muestra cómo realizar restas por descomposición que el docente puede emplear para relacionar la secuencias de sistema decimal con las secuencias numéricas estudiadas.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 2

Números primos y compuestos

Los números naturales son usados comúnmente para contar y se clasifican según sus divisores. Aquellos que solo pueden dividirse de forma exacta entre ellos mismos y entre el 1, es decir, tienen solo dos divisores, se denominan números primos; mientras que los que tienen más de dos divisores se denominan números compuestos.

Divisores de un número

Antes de abordar el tema de los números primos y números compuestos, es indispensable comprender el concepto de divisor. Este es un número natural que al dividir a otro natural da como resultado una división con cociente entero y resto igual a cero.

¿Sabías qué?

El divisor de un número siempre lo divide en partes exactas, por eso el resto siempre es igual a cero.

En este sentido, si deseas saber si un número es o no divisor de otro, debes realizar una división entre el número en cuestión y el posible divisor. Si el resultado es un cociente entero (no decimal) y si el resto es igual a cero (división exacta) entonces decimos que efectivamente es divisor de dicho número.

Por ejemplo:

– Para determinar si el número 2 es divisor del número 6:

Lo primero es dividir 6 entre 2.

En este caso, el número 2 es divisor del número 6 porque el cociente de la división es un número entero (no es decimal) y la división es exacta con el resto igual a cero.

Otro ejemplo:

– Para determinar si el número 3 es divisor del número 14:

Aunque la división es exacta, el número 4 no es divisor del número 14, porque el cociente de la división es un número decimal, en este caso se dice que el número 14 no es divisible entre 4.

Criterios de divisibilidad

Son simples reglas que permiten determinar de manera rápida si un número es divisor o no de otro sin necesidad de realizar la división. Algunos de estos criterios son:

– Un número es divisible entre 2 si es un número par o termina en 0.
Por ejemplo: 20, 54, 12, 1.050, 76 y 80.

– Un número es divisible entre 5 si termina en 5 o en 0.
Por ejemplo: 15, 225, 3.110 y 400.

– Un número es divisible entre 10 si termina en 0.
Por ejemplo: 10, 500, 3.410 y 780.

¡A practicar!

¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 12?
a) 5
b) 2
c)10

RESPUESTAS
2
¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 25?
a) 3
b) 7
c) 5

RESPUESTAS
5
¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 200?
a) 10
b) 3
c) 6

RESPUESTAS
10
¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 16?
a) 5
b) 4
c) 9

RESPUESTAS
4

Números primos

Son números que poseen únicamente dos divisores: ellos mismos y el 1.

Por ejemplo, el número 2 es un número primo porque solamente es divisible entre 2 y entre 1.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?

El número uno es divisor de todos los números enteros pero solo es divisible por sí mismo.

Números compuestos

Los números compuestos son números divisibles por ellos mismos, por el uno (1) y por otros números, es decir, tienen más de dos divisores y son más frecuentes que los números primos.

Por ejemplo, el número 24 es un número compuesto, ya que es divisible entre 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. En total tiene 8 números divisores.

Números especiales

Los números 1 y 0 son números muy particulares. En el caso del 1, su único divisor es él mismo y en el caso del número 0, aunque puede ser dividido entre infinitos números, no puede dividirse entre sí mismo porque la división entre cero no esta determinada. Por estas razones, los números 1 y 0 no se consideran números primos ni compuestos.

Tabla de los números primos y compuestos

Existe un simple procedimiento que permite determinar con facilidad los conjuntos de números primos y compuestos; se conoce como Criba de Eratóstenes y aunque su nombre parezca complicado, su procedimiento no lo es.

1. Lo primero que hay que hacer es realizar una tabla con los números del 1 al 100 y se deberán tachar los números que no son primos. El primer número que se tacha es el 1 al no ser considerado número primo.
2. Luego, el siguiente número es el 2, al ser un número primo no se tacha pero a partir de él se empieza a contar de dos en dos al mismo tiempo que se tachan los números que resulten de dicho conteo.

3. Luego del 2, el siguiente número que no se ha tachado es el 3, a partir de él se empieza a contar de 3 en 3 y se tachan los números al mismo tiempo.

4. El siguiente número sin tachar es el 5, se deja sin tachar y se empieza a contar de 5 en 5 mientras se tachan los números.

5. El siguiente número sin marcar el el 7, se mantiene en la tabla sin tachar y se empieza a contar de 7 en 7 mientras se tachan los números.

Los números que no fueron tachados corresponden a números primos, y los números tachados son los compuestos, es una manera gráfica de identificar estos tipos de números del 1 al 100.

La Criba de Eratóstenes es una herramienta muy práctica para tener una visión general de los números primos y compuestos, sin embargo; en la vida cotidiana no es necesario ni aconsejable memorizarlos para resolver los ejercicios, por el contrario; al entender los elementos de cada número se podrá determinar con mayor rapidez si es primo o no.

¡A practicar!

1. ¿Qué número tiene infinitos divisores?

RESPUESTAS

El número cero.

2. ¿Cómo se llaman los números que solo tienen dos divisores?

RESPUESTAS

Números primos.

3. ¿Qué números no son considerados ni primos ni compuestos?

RESPUESTAS

El cero y el uno.

4. Un número es divisible entre dos si es par o termina en __________.

RESPUESTAS

cero

5. ¿Cuáles de estos números no es primo?
a) 7
b) 19
c) 25
d) 2

RESPUESTAS

6. El número 32 es un número _________.

a) impar
b) primo
c) compuesto

RESPUESTAS

compuesto

7. Clasifica cada uno de los siguientes números como “primo” o “compuesto”:

a) 21
b) 59
c) 18
d) 13

RESPUESTAS

a) Compuesto.
b) Primo.
c) Compuesto.
d) Primo.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Números primos y compuestos”

En el siguiente artículo se desarrolla el tema de números primos y compuestos. Además se explica qué son los coprimos, y se señalan algunos números especiales.

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Artículo “Criterios de divisibilidad”

Este recurso ayuda a conocer los criterios de divisibilidad, ampliados para más números de los que se mencionaron en este artículo.

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