CAPÍTULO 1 / TEMA 5

Potencias

La potencia es una expresión matemática en la que un número denominado base está elevado a un exponente, el cual indica las veces que la base debe multiplicarse por si misma. Este tipo de operación tiene múltiples aplicaciones en los cálculos combinados y en una forma especial de escribir números: la notación científica.

¿Qué es una potencia?

La potenciación es una operación matemática compuesta por dos partes principales: la base y el exponente.

Como podemos observar, el exponente se escribe en la parte superior derecha de la base y su tamaño es mucho menor.

El exponente de una potencia indica cuántas veces se debe multiplicar a la base por si misma. La potencia es el producto de esa multiplicación.

Por ejemplo:

Una potencia es una multiplicación sucesiva de la base por si misma. Por ejemplo si el exponente fuera 6 y la base 5, esta última se repetiría exactamente 6 veces dentro de la multiplicación, es decir:

5⁶ = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5.

Resolver potencias

Al calcular una potencia debemos saber que el número correspondiente a la base se va a repetir sin alterarse en todas las multiplicaciones según indique el exponente. Por lo tanto, cuando el número del exponente sea grande, se deben resolver las multiplicaciones de forma separada. Esto quiere decir que se comienza a resolver el primer producto y luego el resultado se multiplica nuevamente por la base y así sucesivamente hasta obtener el resultado. Por ejemplo:

En este caso la base de esta potencia es 5 y se multiplica por si misma las veces que indica el exponente. Como el exponente es 3, se debe multiplicar el 5 tres veces por si mismo. Se recomienda resolver el primer producto 5 × 5 y luego volver a multiplicar por 5 al resultado.

Algunas propiedades de la potencia

Existen algunos casos en las potencias que cumplen con ciertas propiedades. Algunas de ellas son:

Exponente cero

Cuando el exponente es 0 (cero), la potencia siempre va a ser igual a 1 (uno). Esto sucede con cualquier número como base diferente de cero. Por ejemplo: 7⁰ = 1.

Exponente igual a uno

Cuando el exponente es 1 (uno), la potencia siempre va a ser igual al número perteneciente a la base. Por ejemplo: 8¹ = 8.

Base igual a 10

Cuando la base de una potencia es 10 (diez), la potencia va a ser igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente. Por ejemplo: 10⁶= 1.000.000.

¿Sabías qué?

Cuando el exponente de una potencia es igual a uno, a menudo se escribe solo el valor de la base y se omite al exponente.

Elementos de la potencia

Los elementos de la potencia son los siguientes:

Base: es el número que se multiplica por si mismo las veces que indique el exponente.
Exponente: es el número que indica las veces en las se tiene que multiplicar la base por si misma. También se lo denomina índice.
Potencia: es el resultado.

¿Cómo leer una potencia?

La manera correcta es leer primero el número de la base, luego se dice la expresión “elevado a la” y por último se lee el valor del exponente en números ordinales (cuarta, quinta, sexta, etc.). De manera resumida se debe seguir la siguiente estructura:

Base + “elevado a la” + exponente

La expresión 3⁴ se lee como “tres elevado a la cuarta“.

Otros ejemplos:

8⁵= ocho elevado a la quinta.

4⁹= cuatro elevado a la novena.

1⁷ = uno elevado a la séptima.

Exponentes particulares

Existen dos exponentes que particularmente se leen de forma distinta al restos. Estos son el dos y el tres.

Cuando el exponente es 2, se dice que el número de la base está elevado al cuadrado. Por ejemplo: 4² se lee “cuatro elevado al cuadrado”.
Cuando el exponente es 3, se dice que el número de la base está elevado al cubo. Por ejemplo: 3³ se lee “tres elevado al cubo”.

¿Sabías qué?

Si la base es 1, sin importar el exponente, la potencia siempre va a ser igual a 1.

Cálculo de potencias

Como vimos anteriormente, el cálculo de una potencia se realiza al multiplicar la base según indique el exponente. Sin embargo, hay ejercicios que contienen otras operaciones además de la potencia.

Suma o resta de un número y una potencia

En estos casos se resuelve primero la potencia y luego se resuelve la suma o resta.

Observemos el siguiente caso:

8²− 4

Lo primero que debemos resolver es la potencia; es decir, resolver 8²:

8² = 8 × 8 = 64

Luego se sustituye el valor de la potencia en la expresión inicial y se resuelve:

64 − 4 = 60

De esta forma se obtiene que:

8²− 4 = 60

Paréntesis con suma o resta

Cuando la base de una potencia se encuentra entre paréntesis, lo primero que debemos resolver es la operación que se encuentra dentro del paréntesis, posteriormente se resuelve la potencia del resultado obtenido.

Observemos el siguiente caso:

(6 + 2)³

Lo primero es resolver la operación dentro del paréntesis:

6 + 2 = 8

Luego se reemplaza el resultado obtenido en la operación ubicada dentro del paréntesis:

(8)³

Al resolver dicha potencia obtenemos el resultado del problema:

(8)³= 8 × 8 × 8 = 512

De esta forma tenemos que:

(6 + 2)³= 512

Conocer las propiedades de las potencias permite resolver problemas de este tipo de forma rápida. Por ejemplo, si tenemos (100 + 93)⁰ podemos responder rápidamente que el resultado es 1 sin realizar ningún cálculo. Esto se debe a que una de las propiedades indica que la potencia de todo número diferente de cero que tenga exponente cero va a ser igual a uno.

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes potencias.

a. $5^{3}$

b. $7^{4}$

c. $2^{6}$

d. $4^{5}$

e. $5^{0}$

f. $9^{2}$

g. $2^{1}$

RESPUESTAS

a. $5^{3}= 125$

b. $7^{4}= 2.401$

c. $2^{6} = 64$

d. $4^{5}= 1.024$

e. $5^{0}= 1$

f. $9^{2}= 81$

g. $2^{1} = 2$

2. Escribe cómo deberían leerse las siguientes potencias.

a. $8^{7}$

b. $3^{4}$

c. $4^{3}$

d. $9^{5}$

e. $6^{6}$

f. $1^{2}$

RESPUESTAS

a. $8^{7}$ = ocho elevado a la séptima.

b. $3^{4}$ = tres elevado a la cuarta.

c. $4^{3}$ = cuatro elevado al cubo.

d. $9^{5}$ = nueve elevado a la quinta.

e. $6^{6}$ = seis elevado a la sexta.

f. $1^{2}$ = uno elevado al cuadrado.

3. Resuelve los siguientes cálculos.

a. $5^{2}+9$

c. $\left ( 2\times 5 \right )^{3}$

RESPUESTAS

a. $5^{2}+9= 25 + 9 = 34$

b. $\left ( 15-3 \right )^{1}= (12)^{1} = 12$

c. $\left ( 2\times 5 \right )^{3}= (10)^{3} = 1.000$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo destacado “Potenciación: operaciones de exponentes”

El siguiente artículo ayuda a conocer cómo leer y resolver las operaciones básicas de las potencias. De igual forma, explica sus propiedades.

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Artículo destacado “Ejercicios de potenciación”

Este artículo está enfocado en la forma de resolver problemas relacionados con las potencias a través del empleo de sus propiedades.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 5

APLICACIÓN DE LA POTENCIA Y DE LA RADICACIÓN

La potenciación y la radicación son operaciones estrechamente relacionadas. Mientras que la primera es una multiplicación condensada de un número por sí mismo n cantidad de veces, la segunda busca ese número que multiplicado por sí mismo resulte en el radicando. Si bien sus propiedades ya se trataron en temas anteriores, aquí aprenderás otras aplicaciones de estos cálculos.

operaciones que simplifican

Tanto la potenciación como la radicación son operaciones útiles para mostrar números de manera más simple. Por ejemplo, dentro del conjunto de los números reales encontramos otros tipos de números que no son sencillos de representar, como los números irracionales, cuyas expresiones decimales son ilimitadas y no periódicas, por lo que es más fácil mostrarlo como una raíz:

$\boldsymbol{\sqrt{2}=1,414213562...}$

$\boldsymbol{\sqrt{3}=1,732050807...}$

$\boldsymbol{\sqrt{5}=2,236067977...}$

Por su parte, la potencia nos ayuda a expresar números muy grandes o muy pequeños de manera resumida, pues la potencia no es más que una multiplicación abreviada.

La descomposición en factores primos y la notación científica son solo dos de los procesos que pueden verse involucrados con la potenciación y la radicación. Ambas operaciones son empleadas en múltiples cálculos cotidianos y en diversas áreas como la astronomía, la ingeniería o la biología.

Las bacterias son microorganismos que crecen con un ritmo acelerado. Este crecimiento suele expresarse en forma de potencia con exponente positivo y se grafica en forma de línea curva ascendente. Saber que tan rápida puede ser la reproducción de una bacteria puede prevenir focos de infección en un paciente y evitar que este sea una víctima mortal.

descomposición en factores primos

También conocida como descomposición factorial o factorización, consiste en escribir un número como producto de sus números primos. Cada vez que un factor se repita en la descomposición, este se convertirá en la base de una potencia y la cantidad de veces que se repita será el exponente.

– Ejemplo:

¿Qué es un número primo?

Un número primo es un número natural que tiene dos divisores positivos: al uno y a sí mismo. Esta tabla muestra los primero números primos en color azul.

¿Sabías qué?

Las factorización es un paso indispensable para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de un número.

Las raíces también se pueden obtener por medio de la descomposición del radicando en sus números primos.

– Ejemplo:

Halla la raíz cuadrada de 625 por descomposición de sus factores primos.

1. Descomponemos al número 625 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cuadrada con producto de la descomposición.

$\boldsymbol{\sqrt{625}=\sqrt{5^{4}}}$

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un potencia”.

$\boldsymbol{\sqrt{5^{4}}=5^{\frac{4}{2}}=5^{2}=25}$

4. Escribimos el resultado.

$\boldsymbol{\sqrt{625}=25}$

– Otro ejemplo:

Halla la raíz cuadrada de 196 por descomposición de sus factores primos.

1. Descomponemos al número 196 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cuadrada con su radicando igual al producto de su descomposición.

$\boldsymbol{\sqrt{196}=\sqrt{2^{2}\times 7^{2}}}$

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un producto”.

$\boldsymbol{\sqrt{2^{2}\times 7^{2}}=\sqrt{2^{2}}\times \sqrt{7^{2}}}$

4. Aplicamos la propiedad “raíz de una potencia”.

$\boldsymbol{\sqrt{2^{2}}\times \sqrt{7^{2}}=2^{\frac{2}{2}}\times 7^{\frac{2}{2}}=2\times 7=14}$

5. Escribimos el resultado.

$\boldsymbol{\sqrt{196}=14}$

– Otro ejemplo:

Halla la raíz cúbica de 1.728 por descomposición de sus factores primos.

Descomponemos el número 1.728 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cúbica con su radicando igual al producto de su descomposición.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{1.728}=\sqrt[3]{2^{6}\times 3^{3}}}$

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un producto”.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{2^{6}\times 3^{3}}=\sqrt[3]{2^{6}}\times \sqrt[3]{3^{3}}}$

4. Aplicamos la propiedad “raíz de una potencia”.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{2^{6}}\times \sqrt[3]{3^{3}}=2^{\frac{6}{3}}\times 3^{\frac{3}{3}}=2^{2}\times 3=4\times 3=12}$

5. Escribimos el resultado.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{1.728}=12}$

Velocidad de un auto en un accidente

Cuando ocurre una accidente de tránsito, por lo general las llantas de los autos dejan una marca sobre el pavimento al frenar. Esta marca es de gran utilidad para los fiscales de tránsito, pues la raíz cuadrada del producto entre la aceleración y la longitud de la marca de frenado es igual a la velocidad del vehículo al momento del choque.

$\boldsymbol{\sqrt{-2ax}}$

Donde:

a = aceleración

x = longitud de las marcas de frenado

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica es la expresión de números a partir de potencias de base 10. De forma general se representan así:

a × 10ⁿ

Donde:

a: es el número entero o decimal que multiplica a la potencia de base 10. Su módulo debe tener un valor igual o mayor que 1 pero menor que 10.

n: es un número entero distinto de cero que corresponde al exponente de la potencia de base 10. Es conocido también como “orden de magnitud”.

Se escriben de la siguientes manera:

10⁻⁵= 0,00001
10⁻⁴ = 0,0001
10⁻³ = 0,001
10⁻² = 0,01
10⁻¹ = 0,1
10⁰ = 1
10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1.000
10⁴ = 10.000
10⁵ = 100.000

Signos del exponente

Cuando los números son muy pequeños o menores a 1 el exponente es negativo, mientras que si el número es muy grande o mayores a 1 el exponente es positivo.

Los exponentes positivos indican la cantidad de ceros que se encuentran a la derecha del número que multiplica la potencia. Por ejemplo, el número 2.000.000 representado en notación científica es 2 × 10⁶ en donde el exponente 6 indica la cantidad de ceros que están después del dos.
Los exponentes negativos indican la cantidad de ceros a la izquierda del número que multiplica la potencia. Por ejemplo, el número 0,00000004 representado en notación científica es 4 × 10⁻⁸. En este caso el signo menos indica que hay 8 ceros delante del 4.

Nuestro planeta Tierra se encuentra en la galaxia espiral llamada Vía Láctea, la cual tiene unos 100.000 años luz de diámetro. Los científicos estiman que hay alrededor de 400.000.000.000 estrellas en esta galaxia. Estos número tan grandes podemos expresarlos por medio de notación científica como 1 × 10⁵ años luz de diámetro y 4 × 10¹¹ estrellas.

– Otros ejemplos:

3,2 × 10⁻³ = 0,0032
4 × 10⁻⁴ = 0,0004
1,05 × 10⁶ = 1.050.000
6,78 × 10⁻¹ = 0,678
9,43 × 10² = 943

¿Sabías qué?

En el caso de números muy grandes, lo primero que se debe hacer es mover la coma decimal a un número que esté comprendido entre 1 y 10. El número de espacios recorridos hasta dicho número corresponderá al exponente de la potencia de base 10.

8.956.000.000.000 = 8,956 × 10¹²
243.000 = 2,43 × 10⁵
90.000 = 9 × 10⁴
0,00000045 = 4,5 × 10⁻⁷
0,007 = 7 × 10⁻³

¡A practicar!

1. Expresa los siguientes números como producto de sus factores primos.

Solución

520 = 2³ × 5 × 13

Solución

156 = 2² × 3 × 13

Solución

200 = 2³ × 5²

Solución

86 = 2 × 43

Solución

22 = 2 × 11

2. Calcula las siguientes raíces por descomposición de sus factores primos.

$\sqrt[3]{729}$

Solución

$\sqrt[3]{729}=9$

$\sqrt[3]{64}$

Solución

$\sqrt[3]{64}=4$

$\sqrt[3]{343}$

Solución

$\sqrt[3]{343}=7$

$\sqrt{324}$

Solución

$\sqrt{324}=18$

$\sqrt{400}$

Solución

$\sqrt{400}=20$

3. Calcula:

6 × 10⁸

Solución

6 × 10⁸ = 600.000.000

3 × 10⁻⁵

Solución

3 × 10⁻⁵ = 0,00003

1,26 × 10⁻⁶

Solución

1,26 × 10⁻⁶ = 0,00000126

1,78 × 10⁵

Solución

1,78 × 10⁵ = 178.000

2 × 10⁴

Solución

2 × 10⁴ = 20.000

RECURSOS PARA DOCENTES

Video “Notación científica”

Este recurso audiovisual le permitirá poner en práctica lo aprendido sobre la notación científica.

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Artículo “Factorización de números”

Este artículo detalla cómo descomponer números en sus factores primos y su relación con el cálculo del mínimo común múltiplo y máximo común divisor.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 6 (REVISIÓN)

potenciación y radicación | ¿qué aprendimos?

potencia

La potencia es una operación matemática de multiplicación condensada formada por una base y un exponente. El resultado se obtiene al multiplicar por sí misma la base la cantidad de veces que lo señale el exponente, el cual es un número entero positivo o negativo. Cuando una potencia está elevada a la 2 o a la 3 se lee “elevado al cuadrado” y “elevado al cubo” respectivamente.

radicales

La operación opuesta a la potenciación es la radicación, en esta se hallan las raíces de orden n de un determinado número. Cuando el radicando es un cuadrado perfecto decimos que la raíz es exacta, en cambio, si el radicando no es un cuadrado perfecto, la raíz es inexacta. Cuando el índice es 2 y 3 las raíces son llamadas “raíz cuadrada” y “raíz cúbica” respectivamente.

Los elementos de la radicación son el índice, el radicando y la raíz. Cuando el radicando es negativo, el índice debe ser impar para que el resultado (raíz) pertenezca a los números reales.

propiedades de la potencia

Las propiedades de la potencia pueden aplicarse siempre y cuando esta operación esté combinada con la multiplicación o la división, nunca con la suma o la resta. Cuando hay sumas y restas cada propiedad se aplica a cada término por separado. Algunas de estas propiedades son: producto de potencia de igual base, cociente de potencia de igual base, potencia de potencia, producto de potencias con bases diferentes y exponentes iguales, cociente de potencias con bases diferentes y exponentes iguales, y exponente negativo.

El exponente negativo en una potencia de base 10 nos indica que el número es muy pequeño y que debemos colocar tantos ceros a la izquierda del número como indique este exponente. Por ejemplo, una mitocondria tiene una longitud aproximada de 8 × 10⁻⁶ metros.

propiedades de las raíces

Las propiedades de la radicación tienen gran similitud con las de la potenciación. Algunas de ellas son producto y cociente de radicales de igual índice, potencia de un radical y raíz de raíces. Estas son parte fundamental de la representación de números irracionales. Los radicales se suman o restan siempre y cuando estos sean semejantes, es decir, que tengan el mismo índice y el mismo radicando.

Las propiedades de la radicación también pueden expresarse de forma combinada para la resolución de ejercicios matemáticos más complejos.

aplicación de la potencia y la radicación

La potenciación y la radicación nos ayudan a ver números irracionales o muy grandes de manera sencilla. Algunos procedimientos útiles para esta tarea son la descomposición en factores primos y la notación científica. Cuando factorizamos un número lo expresamos como producto de sus números primos; y cuando usamos la notación científica resumimos un número que puede ser muy grande o muy pequeño por medio de la potencia de base 10.

Los números primos son aquellos que solo tienen dos divisores: el 1 y él mismo. Al descomponer un número hacemos uso de ellos, por ejemplo, 12 = 2² × 3.

CAPÍTULO 4 / TEMA 2

rADICALES

Seguramente ya conoces qué es la potenciación, pero ¿sabías que hay otro tipo de operación muy relacionada con ella? Esta es la radicación y consiste en encontrar un número que al multiplicarse por sí mismo tenga como producto otro número determinado. La radicación es la operación inversa a la potenciación. Hoy aprenderás qué es y cómo calcularla.

¿Qué es la radicación?

Es una operación en la que hallamos raíces de orden n de un determinado número. La raíz n-ésima de un número a es igual a un número b que elevado a la n resulta en a.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{a} = b\; \; \Leftrightarrow \; \; b^{n}=a}$

Ejemplo:

$\boldsymbol{\sqrt[3]{8} = 2}\; \; porque\; \; \boldsymbol{ 2^{3}= 2\times 2\times 2 = 8}$

$\boldsymbol{\sqrt[3]{27} = 3}\; \; porque\; \; \boldsymbol{ 3^{3} = 3\times 3\times 3 =27}$

Como ves, la radicación y la potenciación tienen mucho en común, incluso en sus elementos. De modo que también podemos expresar a un radical como una potencia de exponente fraccionario.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}}$

Ejemplo:

$\boldsymbol{\sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}}}$

$\boldsymbol{\sqrt[3]{27} = 27^{\frac{1}{3}}}$

Relación entre potenciación y radicación

Existe una gran relación complementaria entre la potenciación y la radicación, y la podemos observar con la semejanza que existe entre los elementos que la componen.

Al exponente de la potencia se lo llama índice de radical.
Al resultado denominado potencia se lo llama raíz.
A la base de la potencia se la llama radicando.

Elementos de los radicales

Al igual que en la potenciación, aquí existen 3 elementos a definir que son los que componen la radicación:

Índice (n): orden de la raíz que se aplica al radicando. Indica cuántas veces multiplicamos un número por sí mismo para obtener el radicando.
Radicando (a): número sometido a la raíz del orden determinado por el índice.
Raíz (b): resultado de la radicación, el cual elevado al orden de la raíz da como resultado el radicando.

¿Sabías qué?

Si el radicando es un número negativo, y el índice es par, no podrá aplicarse la operación de radicación porque el resultado no pertenecerá a los reales.

Raíces cuadradas y cúbicas

De la misma manera que en la potenciación, cuando el índice de la raíz es n = 2 y n = 3 merece una distinción. Por lo tanto, a estos los vamos a denominar como raíz cuadrada y cúbica, respectivamente.

La raíz cuadrada es aquella cuyo índice es 2. No es necesario escribir el índice de la raíces cuadradas. Por ejemplo:

$\boldsymbol{\sqrt[2]{9}=\sqrt{9}}$ Se lee “raíz cuadrada de nueve”.

La raíz cúbica es aquella cuyo índice es 3. Por ejemplo:

$\boldsymbol{\sqrt[3]{8}}$ Se lee “raíz cúbica de 8”.

Para encontrar la solución de un radical se debe pensar: ¿qué número habrá que elevar al índice n para que el resultado sea el valor del radicando? Ese número será el resultado denominado como raíz. Por ejemplo, para resolver √9 se debe pensar: ¿qué número debo elevar al cuadrado (n = 2) para que el resultado sea 9?. La respuesta es 3.

Solución de raíces

La solución de una raíz depende principalmente del radicando y del índice de la raíz. En algunas ocasiones puede tener una o dos soluciones y, en otros casos, puede que no tenga solución.

Radicando mayor que cero con n par.

Hay dos soluciones: una positiva y una negativa.

$\boldsymbol{\sqrt{4}=\pm 2}\; \; porque \; \; \boldsymbol{(-2)^{2}=4\; \; y\; \; 2^{2}=4}$

Radicando mayor que cero con n impar.

Hay una solución positiva.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{125}=5}\; \; porque \; \; \boldsymbol{5^{3}=5\times 5\times 5=125}$

Radicando menor que cero con n par.

No tiene solución dentro de los números reales.

$\boldsymbol{\sqrt{-9}=}no \; existe \; en\; \mathbb{R}$

Radicando menor que cero con n impar.

Hay una sola negativa.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{-64} = -4} \; \; porque\; \; \boldsymbol{(-4)^{3}= -4\times -4\times -4 = -64}$

[/su_note]

– Ejemplos de raíces:

$\boldsymbol{\sqrt{4} = 2}$

$\boldsymbol{\sqrt{9} = 3}$

$\boldsymbol{\sqrt[3]{1}=1}$

$\boldsymbol{\sqrt[3]{27}=3}$

$\boldsymbol{\sqrt[4]{16}=2}$

¿Sabías qué?

Cuando el índice de potencia es una fracción se puede expresar como un radical. Por ejemplo: 9^1/3= ³√9

¡A practicar!

¿Cuál es el resultado de los siguientes ejercicios?

$\boldsymbol{\sqrt{25}}$

Solución

$\boldsymbol{\sqrt{25}=5}\; \; porque \; \; \boldsymbol{5^{2}= 5\times 5 = 25}$

$\boldsymbol{\sqrt[3]{64}}$

Solución

$\boldsymbol{\sqrt[3]{64}= 4}\; \; porque \; \; \boldsymbol{4^{3}=4\times 4\times 4=64}$

$\boldsymbol{\sqrt[5]{-32}}$

Solución

$\boldsymbol{\sqrt[5]{-32}=-2} \; \; porque\; \; \boldsymbol{(-2)^{5}=-2\times -2\times -2\times -2\times -2=-32}$

La radicación es la operación opuesta a la potenciación y consiste en hallar raíces de orden n de un determinado número. Consta de tres elementos llamados índice, radicando y raíz. El símbolo usado para mostrar esta operación se lo conoce como raíz o radical y el primero en utilizarlo fue el matemático Christoph Rudolff en 1525.

Raíces exactas e inexactas

La raíz cuadrada exacta es aquella que tiene como radicando un cuadrado perfecto, mientras que la raíz cuadrada inexacta es la que no tiene como radicando un cuadrado perfecto.

Cuadrados perfectos

Un cuadrado perfecto resulta de multiplicar un número por sí mismo dos veces. Estos números los podemos ordenar en un cuadrado, por ejemplo, 9 es un cuadrado perfecto porque lo podemos escribir como 3 x 3 y lo ordenamos como:

En esta tabla verás la relación de los diez primeros cuadrados perfectos con sus raíces:

Cuadrado perfecto	Raíz cuadrada exacta
$1^{2}=1$	$\sqrt{1}=1$
$2^{2}=4$	$\sqrt{4}=2$
$3^{2}=9$	$\sqrt{9}=3$
$4^{2}=16$	$\sqrt{16}=4$
$5^{2}=25$	$\sqrt{25}=5$
$6^{2}=36$	$\sqrt{36}=6$
$7^{2}=49$	$\sqrt{49}=7$
$8^{2}=64$	$\sqrt{64}=8$
$9^{2}=81$	$\sqrt{81}=9$
$10^{2}=100$	$\sqrt{100}=10$

Pero no todos los números tienen raíces cuadradas exactas. En esos casos, calculamos la raíz cuadrada entera y luego contamos el resto. Por ejemplo, 55 no tiene raíz cuadrada exacta porque 7² = 49 y 8² = 64.

Por aproximación o tanteo, decimos que la raíz cuadrada entera de 55 es 7 y el resto lo obtenemos por la resta 55 − 49 = 6.

Entonces, $\sqrt{55} = 5\; \; y\; resto \; 6$ .

¡A practicar!

1. ¿Qué tipo de raíz dará como resultado cada uno de los siguientes ejercicios?

$\sqrt{121}$

Solución

Raíz exacta.

$\sqrt{13}$

Solución

Raíz inexacta.

$\sqrt{125}$

Solución

Raíz inexacta.

$\sqrt{70}$

Solución

Raíz inexacta

2. Completa.

$5^{2}=\underline{\: \: \: \: \: \: }\Leftrightarrow \sqrt{25}=\underline{\: \: \: \: \: \: }$

Solución

$5^{2}=\boldsymbol{25}\Leftrightarrow \sqrt{25}=\boldsymbol{5}$

$10^{2}=\underline{\: \: \: \: \: \: }\Leftrightarrow \sqrt{100}=\underline{\: \: \: \: \: \: }$

Solución

$10^{2}=\boldsymbol{100}\Leftrightarrow \sqrt{100}=\boldsymbol{10}$

$12^{2}=\underline{\: \: \: \: \: \: }\Leftrightarrow \sqrt{144}=\underline{\: \: \: \: \: \: }$

Solución

$12^{2}=\boldsymbol{144}\Leftrightarrow \sqrt{144}=\boldsymbol{12}$

$13^{2}=\underline{\: \: \: \: \: \: }\Leftrightarrow \sqrt{169}=\underline{\: \: \: \: \: \: }$

Solución

$13^{2}=\boldsymbol{169}\Leftrightarrow \sqrt{169}=\boldsymbol{13}$

3. Resuelve las siguientes raíces cuadradas.

$\sqrt{400}$

Solución

$\sqrt{400}=\boldsymbol{20}$

$\sqrt{70}$

Solución

$\sqrt{70}= \boldsymbol{8} \; y \; resto\; \boldsymbol{6}$

$\sqrt{625}$

Solución

$\sqrt{625}=\boldsymbol{25}$

$\sqrt{17}$

Solución

$\sqrt{17}= \boldsymbol{4}\; y\; resto \; \boldsymbol{1}$

$\sqrt{81}$

Solución

$\sqrt{81}=\boldsymbol{9}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “La radicación”

En es artículo encontrará los aspectos inherentes a la radicación y encontrará una introducción a las propiedades de radicación y potenciación.

VER

Artículo “Cálculo de una raíz cuadrada”

Este recurso le permitirá profundizar sobre las raíces cuadradas y cómo calcularla paso a paso sin calculadora.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 1

Potencia

La potencia, también llamada potenciación, es una operación matemática que implica multiplicar varias veces un mismo número. Como todo cálculo matemático, tiene sus partes y propiedades. A continuación, aprenderás cuáles son sus características y cómo resolver problemas de este tipo.

¿Qué es la potencia?

La potencia es una multiplicación abreviada. Esta operación consiste en multiplicar un número llamado base la cantidad de veces que indique otro número llamado exponente. Los exponentes los colocamos como superíndice de un número.

Donde:

a: base

n: exponente

¿Sabías qué?

La radicación es la operación inversa a la potenciación.

Elementos de la potencia

Toda potencia está formada por dos elementos:

La base: es el factor que será multiplicado n cantidad de veces.
El exponente: es el número de veces que se multiplica la base por sí misma.

Cálculo de la potencia de un número

Para calcular la potencia de un número debemos tener conocimientos sobre la multiplicación, ya que el proceso consiste en aplicar esta operación de forma repetitiva.

– Ejemplo:

5³ = 5 · 5 · 5 = 125

Como el exponente es 3, multiplicamos la base tres veces por sí misma.

– Otros ejemplos:

2³ = 2 · 2 · 2 = 8
3² = 3 · 3 = 9
6⁴ = 6 · 6 · 6 · 6 = 1.296

Casos especiales

Cuando el exponente es 1, el resultado será igual a la base.

8¹ = 8
12¹ = 12

Cuando el exponente es 0, el resultado siempre será 1.

3⁰ = 1
25⁰ = 1

Cuando la base es 0, el resultado siempre sera 0.

0⁵ = 0
0⁸ = 0

Cuando el exponente es igual a dos (2), decimos que un número está elevado al cuadrado. Esto lo vemos en ecuaciones matemáticas como la del teorema de Pitágoras. Este teorema explica la relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Así, si la hipotenusa mide “c”, y la medida de los catetos es “a” y “b”, se verifica que c2 = a2 + b2.

Potencia base 10

Cuando la base es igual a 10 solo se deben añadir tantos ceros como indique el exponente. Por ejemplo:

10⁴ = 10.000
10² = 100
10¹ = 10

Lectura de potencias

Existen dos formas válidas de leer potencias:

1. Nombrar el número de la base seguido de la expresión “elevado a“. Luego nombrar el número del exponente.

6⁵ se lee “seis elevado a cinco”.
2⁸ se lee “dos elevado a ocho”.

2. Nombrar el número de la base seguido de de la expresión “a la“. Luego nombrar el número de exponente como un número ordinal femenino.

6⁵ se lee “seis a la quinta”.
2⁸ se lee “dos a la octava”.

Cuadrados y cubos

Las potencias tienen una estrecha relación con el cálculo del área y el volumen de figuras geométricas. Gracias a esto, cuando el exponente es 2, la potencia se llama cuadrado; y cuando el exponente es 3, la potencia se llama cubo.

Por ejemplo, si un cuadrado está formado por tres cuadros más pequeños por cada lado, basta con hacer este cálculo de 3² que se lee “tres al cuadrado”:

3² = 3 · 3 = 9

En cambio, si tenemos un cubo compuesto por tres cubos más pequeños en sus tres dimensiones: alto, ancho y profundidad, calcularemos 3³ que se lee “tres al cubo”:

3³ = 3 · 3 · 3 = 27

Entonces, un cubo de Rubik está formado por 27 cubos más pequeños.

Bases negativas

Cuando la base es negativa, el resultado puede variar de estas formas:

Si el exponente es un número impar, el resultado será negativo.
Si el exponente es un número par, el resultado será positivo.

– Ejemplo:

(−2)³ =(−2) · (−2) · (−2) = −8
(−2)² = (−2) · (−2) = 4

¡A practicar!

¿Qué signo tendrá el resultado de las siguientes operaciones?

(−15)¹³
Solución
Negativo porque 13 es impar.

(14)²⁰
Solución
Positivo porque 20 es par.

(−5)⁴
Solución
Positivo porque 4 es par.

Usos de la potencia

Las aplicaciones de la potenciación son de amplio rango en diversas profesiones. Los astrónomos emplean la potencia de base 10 para representar medidas muy grandes, como la distancia de la Tierra al Sol. También las usan los oceanógrafos y geólogos para escribir el valor de grandes extensiones de tierra o agua, por ejemplo, el volumen del océano Atlántico es 3,54 · 10⁸ km³.

Además de expresar cantidades muy grandes, las potencias funcionan para representar números muy pequeños. La diferencia en esto casos es que la potencia tiene un exponente negativo, por ejemplo, un virus puede llegar a medir 2 · 10⁻⁸ cm, y la masa de un electrón es de 9,1 · 10⁻³¹ kg.

Uno de los tipos de potencias más usadas son las potencias de base 10 porque sirven para expresar cantidades muy grandes de manera sencilla. Estas potencias son iguales a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente. Por ejemplo, la masa del planeta Tierra es de aproximadamente 6 x 10²⁴ kg, es decir, 6 seguido de 24 ceros.

¡A practicar!

1. Expresa en forma de potencia los siguientes productos:

8 · 8 · 8 · 8 =
Solución
8 · 8 · 8 · 8 = 8⁴

3 · 3 =
Solución
3 · 3 = 3²

10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 =
Solución
10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10⁶

5 · 5 · 5 · 5 =
Solución
5 · 5 · 5 · 5 = 5⁴

7 · 7 · 7 =
Solución
7 · 7 · 7 = 7³

15 · 15 · 15 · 15 · 15 · 15 =
Solución
15 · 15 · 15 · 15 · 15 · 15 = 15⁶

2. ¿Cuál es el resultado de las siguientes operaciones?

9²
Solución
9² = 9 · 9 = 81

(−5)³
Solución
(−5)³ = (−5) · (−5) · (−5) = −125

10⁵
Solución
10⁵ = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100.000

(−18)⁴
Solución
(−18)⁴ = (−18) · (−18) · (−18) · (−18) = 104.976

(−6)⁸
Solución
(−6)⁸ = (−6) · (−6) · (−6) · (−6) · (−6) · (−6) · (−6) · (−6) = 1.679.616

10⁹
Solución
10⁹ = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1.000.000.000

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Potenciación y radicación”

Este artículo te permitirá tener más contenido sobre las potencias y la radicación, operación inversa a la potenciación.

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Artículo “Ejercicios de potenciación

Con este recurso podrás profundizar sobre qué es la potenciación y encontrarás una lista de ejercicios para reforzar lo aprendido.

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