CAPÍTULO 1 / TEMA 7 (REVISIÓN)

SENTIDO NUMÉRICO | REVISIÓN

UNIVERSO DE LOS NÚMEROS

Los números desde su invención han servido para contar cosas y por eso existen diferentes sistemas y tipos de números que permiten un mejor conocimiento de las cantidades. Para comprender el sentido numérico, dentro del universo de los números se utilizan diversas clasificaciones. Un tipo de números son los ordinales que sirven para establecer un orden. Por otro lado, existen los cardinales que indican cantidades numéricas de elementos que pertenecen a un grupo o conjunto. Actualmente, el sistema más usado es el sistema numérico decimal pero no es el único que existe. Otras culturas crearon sistemas de numeración distintos al decimal, como por ejemplo, los mayas y los romanos.

El sistema de numeración binario se utiliza principalmente en la informática. Está conformado solo por dos cifras: el 0 y el 1.

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

De acuerdo a la cantidad de divisores que poseen los número, los podemos clasificar en primos y compuestos. Los números primos son aquellos que solo son divisibles por el número uno y por sí mismos. En cambio, los números compuestos son aquellos que además de ser divisibles por el uno y por sí mismos, también son divisibles por otro u otros números, es decir, tienen más de dos divisores. Todos los números compuestos pueden expresarse como un producto de factores primos.

Para determinar los factores primos de un número compuesto se emplean los criterios de divisibilidad.

VALOR POSICIONAL

Una de las principales características de nuestro sistema de numeración decimal es que el valor de los dígitos varía de acuerdo a su ubicación dentro del número. Esta característica se denomina valor posicional y aplica tanto en los números enteros como en los fraccionarios. Una herramienta que nos permite observar directamente el valor de cada dígito de acuerdo al lugar que ocupa es la tabla posicional.

Según la posición de cada dígito, los números pueden descomponerse en forma de suma (descomposición aditiva) o de multiplicación (descomposición multiplicativa).

NÚMEROS DECIMALES

Hay números que se ubican entre dos números enteros consecutivos, estos números se denominan números decimales y se caracterizan porque presentan una parte entera y una decimal, que se encuentran separadas por una coma o punto de acuerdo a la convención del país. Los números decimales se clasifican en racionales y en irracionales. Los racionales se pueden representar en forma de fracción, y los irracionales son números infinitos cuya parte decimal no sigue ningún patrón, como sucede en el caso del número pi.

A menudo se pueden aplicar redondeos en las cifras decimales de un número para simplificar los cálculos.

POTENCIAS

La potenciación es una operación compuesta de tres partes fundamentales: el exponente, la base y la potencia. El exponente indica cuántas veces se debe multiplicar la base por si misma. La base es el número que se multiplica por sí mismo las veces que indique el exponente. La potencia es el resultado de la operación de potenciación. Como toda operación matemática, las potencias cumplen con algunas propiedades. Por ejemplo, todo número elevado a 0 es igual a 1. Para resolver potencias se aplican sus propiedades y se realizan multiplicaciones sucesivas de la base.

Cuando el exponente es 1, la potencia es siempre igual a la base.

RAÍZ DE UN NÚMERO

La radicación es la operación inversa a la potenciación y por ello se encuentran estrechamente relacionadas. Esta operación emplea el símbolo (√) denominado radical. Sus elementos principales son el radicando, el índice y la raíz. El radicando es el número al cual se le va a calcular la raíz y se encuentra en la parte inferior del radical. El índice es el número que índica la cantidad de veces en las que debe multiplicarse un número por sí mismo para que el resultado sea igual al radicando, y se ubica en la parte izquierda del radical. La raíz es el resultado de la operación. Para calcular una raíz se debe buscar un número que multiplicado por sí mismo las veces que indique el índice dé como resultado el mismo valor del radicando.

En las raíces cuadradas, el índice 2 no se coloca en el radical: simplemente se denotan como (√).

CAPÍTULO 1 / TEMA 6

RAÍZ DE UN NÚMERO

Estrechamente relacionada con la potenciación, existe otra operación matemática denominada “radicación”. Ambas operaciones matemáticas son inversas. La raíz cuadrada y la raíz cúbica son unas de las formas de radicación más conocidas. Este tipo de operaciones se emplea en varios ámbitos, especialmente en la geometría y en otras ciencias.

¿Qué es una raíz?

La raíz es el número que se obtiene como resultado de la operación matemática denominada “radicación”. La potenciación calcula el número o potencia que resulta de multiplicar la base por si misma las veces que indica el exponente. La radicación por su parte, calcula la base a partir del exponente y de la potencia. Por eso se dice que son operaciones inversas.

Elementos de las raíces

Para saber cómo encontrar la raíz de un número, primero debemos conocer todos los elementos de la radicación:

Radical: es el símbolo que se emplea en la radicación y se denota como (√).

Radicando: es el número al que se le va a hallar la raíz. Se ubica en la parte inferior del radical, por lo cual es denominado también cantidad subradical.

Índice: es el número que indica las veces que hay que multiplicar un número por sí mismo para obtener el radicando. Se ubica en la abertura izquierda del radical.

Raíz: es el número que al multiplicarse por si mismo las veces que indica el índice es igual al radicando.

¿Sabías qué?

Cuando el índice de una raíz es 2, se denomina raíz cuadrada. En este caso basta con escribir el símbolo de radical sin el índice.

Lectura de raíces

Para leer expresiones de este tipo se debe tener en cuenta que todo depende del número índice de la raíz.

Cuando el número índice es mayor a tres, se utilizan números ordinales para leer el valor de la raíz seguido del radicando. Por ejemplo:

$\sqrt[6]{64}$ = raíz sexta de sesenta y cuatro.

$\sqrt[4]{625}$ = raíz cuarta de seiscientos veintiocho.

Si el índice es 2 se lee “raíz cuadrada” y luego se menciona el número del radicando:

$\sqrt[]{5}$ = raíz cuadrada de cinco.

Cuando el índice es 3 se lee “raíz cúbica” y luego se menciona el número del radicando:

$\sqrt[3]{27}$ = raíz cúbica de veintisiete.

¿Cómo se encuentra la raíz?

La raíz de un número se debe calcular al buscar un número que multiplicado por sí mismo la cantidad de veces que exprese el índice dé como resultado el radicando.

Por ejemplo: si el índice es 3 y el radicando es 8, se debe buscar un número que multiplicado 3 veces por si mismo dé como resultado 8. En este caso, sería 2 porque 2 × 2 × 2 = 8. Por lo tanto, la raíz cúbica de 8 es igual a 2.

$\sqrt[3]{8}= 2$

En el siguiente ejemplo, la raíz cúbica de 64, se obtuvo al buscar un número que multiplicado tres veces por sí mismo dé como resultado 64. En este caso, el resultado es 4 porque 4 × 4 × 4 = 64.

$\sqrt[3]{64}= 4$

Relación entre potenciación y radicación

Existe una estrecha relación entre la potenciación y la radicación, esto se debe a que ambas operaciones son inversas entre sí.

Si consideramos el ejemplo anterior se podría afirmar que como cuatro elevado al cubo es igual a sesenta y cuatro, a su vez, la raíz cúbica de sesenta y cuatro es cuatro. En el siguiente diagrama podemos observar de forma más clara a esta relación:

Al utilizar la relación que existen entre la potenciación y la radicación podemos definir a esta última como la búsqueda de la base de una potencia cuyo exponente es el índice de la raíz; o, en otras palabras, la búsqueda de un número que elevado al índice dé como resultado el radicando. Esto se aplica de forma habitual en cálculos y fórmulas avanzadas.

¿Sabías qué?

No todos los números tienen una raíz exacta. Por ejemplo, $\sqrt{2}=1,41421356...$

Cálculo de raíces

Como vimos anteriormente, para encontrar una raíz debemos hacer multiplicaciones de un número por sí mismo según indique el índice. Sin embargo, en la radicación podemos encontrar uno o más cálculos dentro del radicando. Cuando esto sucede, debemos seguir los siguientes pasos.

Resolver las operaciones que están dentro del radicando.
Resolver la raíz

En los siguientes ejemplos veremos el cálculo cuando dentro del radicando existen sumas y restas:

$\sqrt{100 + 44}$ → $\sqrt{144} = 12$
$\sqrt{250 - 25}$ → $\sqrt{225}= 15$

Cuando se encuentren otras operaciones además de la suma o resta, se resuelven aquellas primero y luego se resuelven las sumas y restas:

$\sqrt[3]{50\times 6 + 43 }$ → $\sqrt[3]{300 + 43}$ → $\sqrt[3]{343}= 7$
$\sqrt{270 : 3 + 10}$ → $\sqrt{90 + 10}$ → $\sqrt{100}= 10$

Los elementos de la radicación son: el índice, el radicando y la raíz. Esta última se obtiene al buscar un número que multiplicado por sí mismo la cantidad de veces que exprese el índice dé como resultado el radicando. En la radicación podemos encontrar uno o más cálculos dentro del símbolo radical. Cuando esto sucede primero se realizan las operaciones y luego se busca la raíz.

¡A practicar!

1. ¿Cómo se leen las siguientes raíces?

a) $\sqrt[3]{1.000}$

b) $\sqrt{49}$

c) $\sqrt[3]{125}$

d) $\sqrt{144}$

e) $\sqrt[4]{256}$

f) $\sqrt[3]{343}$

g) $\sqrt{121}$

RESPUESTAS

a) $\sqrt[3]{1.000}$ = raíz cúbica de mil.

b) $\sqrt{49}$ = raíz cuadrada de cuarenta y nueve.

c) $\sqrt[3]{125}$ = raíz cúbica de ciento veinticinco.

d) $\sqrt{144}$ = raíz cuadrada de ciento cuarenta y cuatro.

e) $\sqrt[4]{256}$ = raíz cuarta de doscientos cincuenta y seis.

f) $\sqrt[3]{343}$ = raíz cúbica de trescientos cuarenta y tres.

g) $\sqrt{121}$ = raíz cuadrada de ciento veintiuno.

2. Calcula las siguientes raíces.

a) $\sqrt[3]{27}$

b) $\sqrt{36}$

c) $\sqrt{16}$

RESPUESTAS

a) $\sqrt[3]{27}$ = 3 → porque 3 x 3 x 3 (o 3³) es 27.

b) $\sqrt{36}$ = 6 → porque 6 x 6 (o 6²) es 36.

c) $\sqrt{16}$ = 4 → porque 4 x 4 (o 4²) es 16.

d) $\sqrt{81}$ = 9 → porque 9 x 9 (o 9²) es 81.

e) $\sqrt[3]{8}$ = 2 → porque 2 x 2 x 2 (o 2³) es 8.

f) $\sqrt[3]{64}$ = 4 → porque 4 x 4 x 4 (o 4³) es 64.

g) $\sqrt{9}$ = 3 → porque 3 x 3 (o 3²) es 9.

Resuelve los cálculos y luego encuentra las raíces:

a) $\sqrt{9 - 7 + 2}$

b) $\sqrt{32\times 2}$

c) $\sqrt{100 : 5 + 5}$

RESPUESTAS

a) $\sqrt{9 - 7 + 2}= \sqrt{2 + 2}=\sqrt{4}=2$

b) $\sqrt{32 \times 2} = \sqrt{64} = 8$

c) $\sqrt{100 : 5 + 5}= \sqrt{20 + 5}=\sqrt{25}=5$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo destacado “La radicación”

El siguiente artículo explica qué es la radicación, cuáles son sus principales elementos y cómo resolver problemas de este tipo.

VER

Artículo destacado “Propiedades de raíces”

El siguiente artículo te ayudará a conocer en mayor profundidad cuáles son las propiedades de la radicación. Además, contiene algunos ejemplos en donde son aplicadas.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 5

APLICACIÓN DE LA POTENCIA Y DE LA RADICACIÓN

La potenciación y la radicación son operaciones estrechamente relacionadas. Mientras que la primera es una multiplicación condensada de un número por sí mismo n cantidad de veces, la segunda busca ese número que multiplicado por sí mismo resulte en el radicando. Si bien sus propiedades ya se trataron en temas anteriores, aquí aprenderás otras aplicaciones de estos cálculos.

operaciones que simplifican

Tanto la potenciación como la radicación son operaciones útiles para mostrar números de manera más simple. Por ejemplo, dentro del conjunto de los números reales encontramos otros tipos de números que no son sencillos de representar, como los números irracionales, cuyas expresiones decimales son ilimitadas y no periódicas, por lo que es más fácil mostrarlo como una raíz:

$\boldsymbol{\sqrt{2}=1,414213562...}$

$\boldsymbol{\sqrt{3}=1,732050807...}$

$\boldsymbol{\sqrt{5}=2,236067977...}$

Por su parte, la potencia nos ayuda a expresar números muy grandes o muy pequeños de manera resumida, pues la potencia no es más que una multiplicación abreviada.

La descomposición en factores primos y la notación científica son solo dos de los procesos que pueden verse involucrados con la potenciación y la radicación. Ambas operaciones son empleadas en múltiples cálculos cotidianos y en diversas áreas como la astronomía, la ingeniería o la biología.

Las bacterias son microorganismos que crecen con un ritmo acelerado. Este crecimiento suele expresarse en forma de potencia con exponente positivo y se grafica en forma de línea curva ascendente. Saber que tan rápida puede ser la reproducción de una bacteria puede prevenir focos de infección en un paciente y evitar que este sea una víctima mortal.

descomposición en factores primos

También conocida como descomposición factorial o factorización, consiste en escribir un número como producto de sus números primos. Cada vez que un factor se repita en la descomposición, este se convertirá en la base de una potencia y la cantidad de veces que se repita será el exponente.

– Ejemplo:

¿Qué es un número primo?

Un número primo es un número natural que tiene dos divisores positivos: al uno y a sí mismo. Esta tabla muestra los primero números primos en color azul.

¿Sabías qué?

Las factorización es un paso indispensable para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de un número.

Las raíces también se pueden obtener por medio de la descomposición del radicando en sus números primos.

– Ejemplo:

Halla la raíz cuadrada de 625 por descomposición de sus factores primos.

1. Descomponemos al número 625 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cuadrada con producto de la descomposición.

$\boldsymbol{\sqrt{625}=\sqrt{5^{4}}}$

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un potencia”.

$\boldsymbol{\sqrt{5^{4}}=5^{\frac{4}{2}}=5^{2}=25}$

4. Escribimos el resultado.

$\boldsymbol{\sqrt{625}=25}$

– Otro ejemplo:

Halla la raíz cuadrada de 196 por descomposición de sus factores primos.

1. Descomponemos al número 196 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cuadrada con su radicando igual al producto de su descomposición.

$\boldsymbol{\sqrt{196}=\sqrt{2^{2}\times 7^{2}}}$

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un producto”.

$\boldsymbol{\sqrt{2^{2}\times 7^{2}}=\sqrt{2^{2}}\times \sqrt{7^{2}}}$

4. Aplicamos la propiedad “raíz de una potencia”.

$\boldsymbol{\sqrt{2^{2}}\times \sqrt{7^{2}}=2^{\frac{2}{2}}\times 7^{\frac{2}{2}}=2\times 7=14}$

5. Escribimos el resultado.

$\boldsymbol{\sqrt{196}=14}$

– Otro ejemplo:

Halla la raíz cúbica de 1.728 por descomposición de sus factores primos.

Descomponemos el número 1.728 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cúbica con su radicando igual al producto de su descomposición.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{1.728}=\sqrt[3]{2^{6}\times 3^{3}}}$

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un producto”.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{2^{6}\times 3^{3}}=\sqrt[3]{2^{6}}\times \sqrt[3]{3^{3}}}$

4. Aplicamos la propiedad “raíz de una potencia”.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{2^{6}}\times \sqrt[3]{3^{3}}=2^{\frac{6}{3}}\times 3^{\frac{3}{3}}=2^{2}\times 3=4\times 3=12}$

5. Escribimos el resultado.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{1.728}=12}$

Velocidad de un auto en un accidente

Cuando ocurre una accidente de tránsito, por lo general las llantas de los autos dejan una marca sobre el pavimento al frenar. Esta marca es de gran utilidad para los fiscales de tránsito, pues la raíz cuadrada del producto entre la aceleración y la longitud de la marca de frenado es igual a la velocidad del vehículo al momento del choque.

$\boldsymbol{\sqrt{-2ax}}$

Donde:

a = aceleración

x = longitud de las marcas de frenado

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica es la expresión de números a partir de potencias de base 10. De forma general se representan así:

a × 10ⁿ

Donde:

a: es el número entero o decimal que multiplica a la potencia de base 10. Su módulo debe tener un valor igual o mayor que 1 pero menor que 10.

n: es un número entero distinto de cero que corresponde al exponente de la potencia de base 10. Es conocido también como “orden de magnitud”.

Se escriben de la siguientes manera:

10⁻⁵= 0,00001
10⁻⁴ = 0,0001
10⁻³ = 0,001
10⁻² = 0,01
10⁻¹ = 0,1
10⁰ = 1
10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1.000
10⁴ = 10.000
10⁵ = 100.000

Signos del exponente

Cuando los números son muy pequeños o menores a 1 el exponente es negativo, mientras que si el número es muy grande o mayores a 1 el exponente es positivo.

Los exponentes positivos indican la cantidad de ceros que se encuentran a la derecha del número que multiplica la potencia. Por ejemplo, el número 2.000.000 representado en notación científica es 2 × 10⁶ en donde el exponente 6 indica la cantidad de ceros que están después del dos.
Los exponentes negativos indican la cantidad de ceros a la izquierda del número que multiplica la potencia. Por ejemplo, el número 0,00000004 representado en notación científica es 4 × 10⁻⁸. En este caso el signo menos indica que hay 8 ceros delante del 4.

Nuestro planeta Tierra se encuentra en la galaxia espiral llamada Vía Láctea, la cual tiene unos 100.000 años luz de diámetro. Los científicos estiman que hay alrededor de 400.000.000.000 estrellas en esta galaxia. Estos número tan grandes podemos expresarlos por medio de notación científica como 1 × 10⁵ años luz de diámetro y 4 × 10¹¹ estrellas.

– Otros ejemplos:

3,2 × 10⁻³ = 0,0032
4 × 10⁻⁴ = 0,0004
1,05 × 10⁶ = 1.050.000
6,78 × 10⁻¹ = 0,678
9,43 × 10² = 943

¿Sabías qué?

En el caso de números muy grandes, lo primero que se debe hacer es mover la coma decimal a un número que esté comprendido entre 1 y 10. El número de espacios recorridos hasta dicho número corresponderá al exponente de la potencia de base 10.

8.956.000.000.000 = 8,956 × 10¹²
243.000 = 2,43 × 10⁵
90.000 = 9 × 10⁴
0,00000045 = 4,5 × 10⁻⁷
0,007 = 7 × 10⁻³

¡A practicar!

1. Expresa los siguientes números como producto de sus factores primos.

Solución

520 = 2³ × 5 × 13

Solución

156 = 2² × 3 × 13

Solución

200 = 2³ × 5²

Solución

86 = 2 × 43

Solución

22 = 2 × 11

2. Calcula las siguientes raíces por descomposición de sus factores primos.

$\sqrt[3]{729}$

Solución

$\sqrt[3]{729}=9$

$\sqrt[3]{64}$

Solución

$\sqrt[3]{64}=4$

$\sqrt[3]{343}$

Solución

$\sqrt[3]{343}=7$

$\sqrt{324}$

Solución

$\sqrt{324}=18$

$\sqrt{400}$

Solución

$\sqrt{400}=20$

3. Calcula:

6 × 10⁸

Solución

6 × 10⁸ = 600.000.000

3 × 10⁻⁵

Solución

3 × 10⁻⁵ = 0,00003

1,26 × 10⁻⁶

Solución

1,26 × 10⁻⁶ = 0,00000126

1,78 × 10⁵

Solución

1,78 × 10⁵ = 178.000

2 × 10⁴

Solución

2 × 10⁴ = 20.000

RECURSOS PARA DOCENTES

Video “Notación científica”

Este recurso audiovisual le permitirá poner en práctica lo aprendido sobre la notación científica.

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Artículo “Factorización de números”

Este artículo detalla cómo descomponer números en sus factores primos y su relación con el cálculo del mínimo común múltiplo y máximo común divisor.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 6 (REVISIÓN)

potenciación y radicación | ¿qué aprendimos?

potencia

La potencia es una operación matemática de multiplicación condensada formada por una base y un exponente. El resultado se obtiene al multiplicar por sí misma la base la cantidad de veces que lo señale el exponente, el cual es un número entero positivo o negativo. Cuando una potencia está elevada a la 2 o a la 3 se lee “elevado al cuadrado” y “elevado al cubo” respectivamente.

radicales

La operación opuesta a la potenciación es la radicación, en esta se hallan las raíces de orden n de un determinado número. Cuando el radicando es un cuadrado perfecto decimos que la raíz es exacta, en cambio, si el radicando no es un cuadrado perfecto, la raíz es inexacta. Cuando el índice es 2 y 3 las raíces son llamadas “raíz cuadrada” y “raíz cúbica” respectivamente.

Los elementos de la radicación son el índice, el radicando y la raíz. Cuando el radicando es negativo, el índice debe ser impar para que el resultado (raíz) pertenezca a los números reales.

propiedades de la potencia

Las propiedades de la potencia pueden aplicarse siempre y cuando esta operación esté combinada con la multiplicación o la división, nunca con la suma o la resta. Cuando hay sumas y restas cada propiedad se aplica a cada término por separado. Algunas de estas propiedades son: producto de potencia de igual base, cociente de potencia de igual base, potencia de potencia, producto de potencias con bases diferentes y exponentes iguales, cociente de potencias con bases diferentes y exponentes iguales, y exponente negativo.

El exponente negativo en una potencia de base 10 nos indica que el número es muy pequeño y que debemos colocar tantos ceros a la izquierda del número como indique este exponente. Por ejemplo, una mitocondria tiene una longitud aproximada de 8 × 10⁻⁶ metros.

propiedades de las raíces

Las propiedades de la radicación tienen gran similitud con las de la potenciación. Algunas de ellas son producto y cociente de radicales de igual índice, potencia de un radical y raíz de raíces. Estas son parte fundamental de la representación de números irracionales. Los radicales se suman o restan siempre y cuando estos sean semejantes, es decir, que tengan el mismo índice y el mismo radicando.

Las propiedades de la radicación también pueden expresarse de forma combinada para la resolución de ejercicios matemáticos más complejos.

aplicación de la potencia y la radicación

La potenciación y la radicación nos ayudan a ver números irracionales o muy grandes de manera sencilla. Algunos procedimientos útiles para esta tarea son la descomposición en factores primos y la notación científica. Cuando factorizamos un número lo expresamos como producto de sus números primos; y cuando usamos la notación científica resumimos un número que puede ser muy grande o muy pequeño por medio de la potencia de base 10.

Los números primos son aquellos que solo tienen dos divisores: el 1 y él mismo. Al descomponer un número hacemos uso de ellos, por ejemplo, 12 = 2² × 3.

CAPÍTULO 4 / TEMA 4

Propiedades de las Raíces

La radicación consiste en la obtención de un número que se ha multiplicado por sí mismo n cantidad de veces bajo el operador de la raíz, por eso también se conoce como “raíz enésima de un número”. De este modo, también podemos decir que la radicación es la operación inversa a la potenciación y, al igual que esta última, presenta propiedades importantes que aprenderás a continuación.

El origen del símbolo radical es incierto. Algunos autores coinciden en que provino de los árabes, mientras que otros afirman que fue introducido en siglo XVI por Christoph Rudolff, cuyo uso es evidenciado en su libro *Coss*. Muchos otros asocian el origen del signo de la raíz con la letra r, de la palabra latina *radix* que significa “raíz”.

¿Qué es la radicación?

Es una operación que consiste en hallar números que multiplicados por sí mismos tantas veces como indica el índice de la raíz den como resultado al radicando. Puede verse como la operación inversa a la potenciación.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{a} = b\; \; \Leftrightarrow \; \; b^{n}=a}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{\sqrt{81}=9}\: \: \: porque\: \: \: \boldsymbol{9^{2}=9\times 9=81}$

$\boldsymbol{\sqrt[3]{27} = 3}\; \; porque\; \; \boldsymbol{ 3^{3} = 3\times 3\times 3 =27}$

Elementos de una raíz

Toda raíz cuenta con tres elementos:

$\huge \boldsymbol{\sqrt[n]{a}=b}$

Índice (n): orden de la raíz que se aplica al radicando. Indica cuántas veces multiplicamos un número por sí mismo para obtener el radicando.
Radicando (a): número sometido a la raíz del orden determinado por el índice.
Raíz (b): resultado de la radicación, el cual elevado al orden de la raíz da como resultado el radicando.

principales propiedades de la radicación

Las propiedades de la radicación tienen una gran cantidad de aplicaciones y, del mismo modo que en la potenciación, no se deben aplicar las propiedades a las operaciones de suma y resta, sino solo a las de multiplicación y división.

Propiedades de la radicación
Raíz de cero	$\boldsymbol{\sqrt[n]{0}=0\; \: \: \: \: \: n\neq 0}$
Raíz de la unidad	$\boldsymbol{\sqrt[n]{1}=1}$
Raíz de un producto	$\boldsymbol{\sqrt[n]{a\times b}=\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}}$
Raíz de un cociente	$\boldsymbol{\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$
Potencia de una raíz	$\boldsymbol{\left ( \sqrt[n]{a} \right )^{x}=\sqrt[n]{a^{x}}}$
Raíz de una raíz	$\boldsymbol{\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\times m]{a}}$

¿Sabías qué?

La mayoría de los números irracionales pueden ser expresados a partir de una raíz, por ejemplo, $\sqrt{2}$ o $\sqrt{3}$ .

raíz cuadrada de números negativos

La raíz cuadrada de números negativos no tiene solución dentro de los números reales ( $\boldsymbol{\mathbb{R}}$ ) porque no existe un número (positivo o negativo) que al ser multiplicado por sí mismo resulte en otro negativo. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 4 es igual a 2 porque 2² es igual a 4.

$\boldsymbol{\sqrt{4}=2}\: \: \: porque \: \: \: \boldsymbol{2^{2}=2\times 2=4}$

Pero esta raíz también tiene otra solución negativa:

$\boldsymbol{\sqrt{4}=-2} \: \: \: porque\: \: \: \boldsymbol{\left ( -2 \right )^{2}=\left ( -2 \right )\times \left ( -2 \right )=4}$

Recuerda que la regla de los signos indica que al multiplicar símbolos iguales el resultado es positivo.

Ahora, ¿cuál será la raíz cuadrada de −4?

$\boldsymbol{\sqrt{-4}=} no \: \: existe$

La raíz cuadrada de −4 no existe en los números reales porque no hay un número que al multiplicarse por sí mismo resulte en −4.

Sin embargo, esto no significa que no tenga solución posible, sino que pertenece a otro grupo numérico: los números complejos. Los números complejos incluyen una parte imaginaria que sirve para obtener resultados que no pertenecen a los reales.

Soluciones de una raíz

Siempre que el radicando sea negativo, la raíz tendrá solución real solo si el índice es impar, en cambio, si el índice es par, el resultado pertenecerá a los números imaginarios. Esto se debe a la regla de los signos, pues si multiplicamos por sí mismo un número negativo una cantidad de veces par (2, 4, 6, 8,…) el resultado será igualmente positivo.

aplicación de las propiedades de la radicación

Raíz de cero

Toda raíz cuyo radicando sea cero es igual a cero, siempre y cuando su índice sea diferente de dicho número.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{0}=0\; \: \: \: \: \: n\neq 0}$

– Ejemplo:

$\sqrt[3]{0}=0$

$\sqrt[5]{0}=0$

Raíz de la unidad

La raíz de la unidad es igual a uno.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{1}=1}$

– Ejemplo:

$\sqrt[3]{1}=1$

$\sqrt{1}=1$

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{a\times b}=\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}}$

– Ejemplo:

$\sqrt[3]{64\times 8}=\sqrt[3]{64}\times \sqrt[3]{8}=4\times 2=8$

$\sqrt{9\times 25}=\sqrt{9}\times \sqrt{25}=3\times 5=15$

Raíz de un cociente

La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces del dividendo y del divisor.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$

– Ejemplo:

$\sqrt{\frac{576}{4}}=\frac{\sqrt{576}}{\sqrt{4}}=\frac{24}{2}=12$

$\sqrt[3]{\frac{64}{8}}=\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{4}{2}=2$

Potencia de una raíz

La potencia de una raíz es igual a la misma raíz con el radicando elevado a dicha potencia.

$\boldsymbol{\left ( \sqrt[n]{a} \right )^{x}=\sqrt[n]{a^{x}}}$

– Ejemplo:

$\left ( \sqrt{4} \right )^{4}=\sqrt{4^{4}}=\sqrt{256}=16$

$\left ( \sqrt[3]{3} \right )^{9}=\sqrt[3]{3^{9}}=\sqrt[3]{19.683}=27$

¡Existe otro método!

La potencia de una raíz es igual al radicando elevado al cociente de las potencias.

$\left ( \sqrt{4} \right )^{4}=4^{\frac{4}{2}}=4^{2}=16$

$\left ( \sqrt[3]{3} \right )^{9}=3^{\frac{9}{3}}=3^{3}=27$

Raíz de una raíz

La raíz de una raíz es igual otra raíz con el mismo radicando y cuyo índice es igual al producto de los índices.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\times m]{a}}$

– Ejemplo:

$\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[2\times 3]{64}=\sqrt[6]{64}=2$

$\sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt[2\times 2]{81}=\sqrt[4]{81}=3$

Números irracionales

Existen números que no se pueden expresar como el cociente de dos enteros. Estos reciben el nombre de número irracionales y las raíces son un ejemplo de ellos. Uno de los números irracionales más famosos es el número pi (π). A lo largo de la historia el valor de pi ha tenido distintas aproximaciones y se lo usa, entre otras cosas, para el cálculo de superficies y volúmenes de circunferencias y esferas.

Suma y resta de radicales

Podemos sumar y restar radicales siempre y cuando estos sean semejantes, es decir, que tengan el mismo índice y el mismo radicando. Cuando esto sucede, solo sumamos o restamos los coeficientes y mantenemos el radical igual.

$\boldsymbol{{\color{Red} b}\sqrt[n]{a}+{\color{Red} c}\sqrt[n]{a}=({\color{Red} b+c})\sqrt[n]{a}}$

– Ejemplo:

$5\sqrt{8}+\sqrt{8}+2\sqrt{8}=(5+1+2)\sqrt{8}=8\sqrt{8}$

$3\sqrt{25}+\sqrt{25}+\sqrt[3]{25}=4\sqrt{25}+\sqrt[3]{25}$

¡A practicar!

Resuelve estas raíces y aplica las propiedades.

$\sqrt{4}\times \sqrt{9}$

Solución

$\sqrt{4}\times \sqrt{9}=\sqrt{4\times 9}=\sqrt{36}=6$

$\frac{\sqrt[4]{64}}{\sqrt[4]{4}}$

Solución

$\frac{\sqrt[4]{64}}{\sqrt[4]{4}}=\sqrt[4]{\frac{64}{4}}=\sqrt[4]{16}=2$

$\sqrt{\sqrt[4]{256}}$

Solución

$\sqrt{\sqrt[4]{256}}=\sqrt[2\times 4]{256}=\sqrt[8]{256}=2$

$\sqrt[4]{3}\times \sqrt[4]{27}$

Solución

$\sqrt[4]{3}\times \sqrt[4]{27}=\sqrt[4]{3\times 27}=\sqrt[4]{81}=3$

$\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}}$

Solución

$\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{\frac{16}{2}}=\sqrt[3]{8}=2$

$\sqrt{3}\times \sqrt{12}$

Solución

$\sqrt{3}\times \sqrt{12}=\sqrt{3\times 12}=\sqrt{36}=6$

$\sqrt{\frac{16}{9}}$

Solución

$\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}=\frac{4}{3}$

$\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}$

Solución

$\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{98}{2}}=\sqrt{49}=7$

$\sqrt{8}\times \sqrt{2}$

Solución

$\sqrt{8}\times \sqrt{2}=\sqrt{8\times 2}=\sqrt{16}=4$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Los números irracionales”

En el artículo podrá encontrar los números irracionales más conocidos y su representación en la recta numérica. Es un buen complemento para afianzar la importancia de la radicación y experimentar sus aplicaciones.

VER

Artículo “Propiedades de las raíces”

Este recurso contiene ejemplos prácticos muy útiles para profundizar sobre las propiedades de la radicación.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 8 (REVISIÓN)

SISTEMA DE NUMERACIÓN | ¿qUÉ APRENDIMOS?

LECTURA DE NÚMEROS

Los números naturales ( $\boldsymbol{\mathbb{N}}$ ) son los que utilizamos para contar. Cada número tiene un valor relativo según la posición que ocupe dentro de una cifra y esto permite una correcta lectura de los mismos. Además de los números naturales, existen los números decimales que están formados por una parte entera y otra decimal. También hay sistemas de numeración no posicionales como los números romanos, los cuales constan de siete letras del abecedario latino.

Para leer un número de manera correcta es necesario conocer el valor que ocupa cada una de sus cifras. Para esto podemos usar una tabla posicional.

descomposición de números

Existen distintas formas de descomponer números grandes: la aditiva con combinaciones básicas, la aditiva por medio de valor posicional, la polinómica o la multiplicativa. En la aditiva con combinaciones básicas usamos una o más sumas que expresen el mismo resultado; en la aditiva con valor posicional empleamos los valores posicionales de cada cifra; en la polinómica utilizamos las potencias de base 10; y en la multiplicativa descomponemos la cantidad en sus factores primos.

Estas diferentes maneras de expresar los números permiten resolver situaciones de forma más rápida y sencilla.

números enteros

Los números enteros ( $\boldsymbol{\mathbb{Z}}$ ) están compuestos por todos los números naturales ( $\boldsymbol{\mathbb{N}}$ ), sus opuestos negativos y el cero. Los enteros negativos requieren el uso obligatorio del signo (−) a diferencia de los positivos que pueden o no estar acompañados con el signo (+). Estos pueden ser representados en una recta numérica, la cual contiene todos los números reales ( $\boldsymbol{\mathbb{R}}$ ). Los números enteros se aplican en diversas situaciones de la vida, como para indicar altitudes sobre el nivel del mar, registrar entradas y salidas de dinero de un banco, dibujar el eje de coordenadas, o para indicar temperaturas.

NÚMEROS decimales

Los números decimales están formados por una parte entera y una parte decimal, ambas divididas por una coma. Estos se clasifican en tres tipos según su parte decimal: exactos, periódicos y no periódicos. Los exactos tienen un número limitado de cifras; los periódicos poseen cifras decimales infinitas y, a su vez, estos se dividen en dos tipos: los puros y los mixtos; y los decimales no periódicos no tienen un patrón que se repita infinitamente. Estos números se pueden redondear para reducir la cantidad de cifras decimales y así obtener un valor muy parecido.

sucesiones

Las sucesiones son un grupo de elementos que se ordenan uno detrás de otro. Estos elementos son llamados términos, siguen una regla dentro del conjunto y pueden ser números, letras, figuras o imágenes. En una sucesión, los términos son representados como subíndices (a₁, a₂, a₃, …). Usamos sucesiones cada vez que contamos los días de la semana o las horas del día. También las usamos para ordenar de mayor a menor o de menor a mayor, o para aprender a leer el abecedario. Podemos encontrar sucesiones con operaciones matemáticas como la suma, la resta, la multiplicación, la división o la potencia.

Cuando se ordenan los ganadores de una carrera de automóviles, estos siguen un patrón de acuerdo al tiempo de llegada. Este es un ejemplo de sucesión.

potencias

La potenciación consiste en expresar de manera reducida una multiplicación de factores iguales. Tiene tres elementos: una base, un exponente y la potencia. La base es el número que se multiplicará tantas veces como indica el exponente y la potencia es el resultado de la multiplicación de los factores. Algunas de las propiedades de las potencias son: potencia de exponente 0, potencia de exponente 1, potencia de exponente negativo, multiplicación y división de potencias con igual base y la potencia de una potencia.

raíz de un número

La raíz de un número es la operación inversa a la potencia de un número. Consiste en buscar el número que se ha multiplicado tantas como indica n bajo un operador radical. Los elementos de una raíz son el radicando, el índice, el radical y la raíz. El radicando es el resultado de la multiplicación de la raíz de un número tantas veces como indica el índice de la raíz. El índice indica el grado de una raíz, lo que se traduce en cuántas veces se multiplicó por sí mismo el resultado de la radicación. El radical representa el símbolo de la operación de radicación y la raíz es resultado de la operación matemática.

Todas las operaciones matemáticas poseen una operación inversa que revierte los cálculos realizados.

CAPÍTULO 4 / TEMA 2

rADICALES

Seguramente ya conoces qué es la potenciación, pero ¿sabías que hay otro tipo de operación muy relacionada con ella? Esta es la radicación y consiste en encontrar un número que al multiplicarse por sí mismo tenga como producto otro número determinado. La radicación es la operación inversa a la potenciación. Hoy aprenderás qué es y cómo calcularla.

¿Qué es la radicación?

Es una operación en la que hallamos raíces de orden n de un determinado número. La raíz n-ésima de un número a es igual a un número b que elevado a la n resulta en a.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{a} = b\; \; \Leftrightarrow \; \; b^{n}=a}$

Ejemplo:

$\boldsymbol{\sqrt[3]{8} = 2}\; \; porque\; \; \boldsymbol{ 2^{3}= 2\times 2\times 2 = 8}$

$\boldsymbol{\sqrt[3]{27} = 3}\; \; porque\; \; \boldsymbol{ 3^{3} = 3\times 3\times 3 =27}$

Como ves, la radicación y la potenciación tienen mucho en común, incluso en sus elementos. De modo que también podemos expresar a un radical como una potencia de exponente fraccionario.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}}$

Ejemplo:

$\boldsymbol{\sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}}}$

$\boldsymbol{\sqrt[3]{27} = 27^{\frac{1}{3}}}$

Relación entre potenciación y radicación

Existe una gran relación complementaria entre la potenciación y la radicación, y la podemos observar con la semejanza que existe entre los elementos que la componen.

Al exponente de la potencia se lo llama índice de radical.
Al resultado denominado potencia se lo llama raíz.
A la base de la potencia se la llama radicando.

Elementos de los radicales

Al igual que en la potenciación, aquí existen 3 elementos a definir que son los que componen la radicación:

Índice (n): orden de la raíz que se aplica al radicando. Indica cuántas veces multiplicamos un número por sí mismo para obtener el radicando.
Radicando (a): número sometido a la raíz del orden determinado por el índice.
Raíz (b): resultado de la radicación, el cual elevado al orden de la raíz da como resultado el radicando.

¿Sabías qué?

Si el radicando es un número negativo, y el índice es par, no podrá aplicarse la operación de radicación porque el resultado no pertenecerá a los reales.

Raíces cuadradas y cúbicas

De la misma manera que en la potenciación, cuando el índice de la raíz es n = 2 y n = 3 merece una distinción. Por lo tanto, a estos los vamos a denominar como raíz cuadrada y cúbica, respectivamente.

La raíz cuadrada es aquella cuyo índice es 2. No es necesario escribir el índice de la raíces cuadradas. Por ejemplo:

$\boldsymbol{\sqrt[2]{9}=\sqrt{9}}$ Se lee “raíz cuadrada de nueve”.

La raíz cúbica es aquella cuyo índice es 3. Por ejemplo:

$\boldsymbol{\sqrt[3]{8}}$ Se lee “raíz cúbica de 8”.

Para encontrar la solución de un radical se debe pensar: ¿qué número habrá que elevar al índice n para que el resultado sea el valor del radicando? Ese número será el resultado denominado como raíz. Por ejemplo, para resolver √9 se debe pensar: ¿qué número debo elevar al cuadrado (n = 2) para que el resultado sea 9?. La respuesta es 3.

Solución de raíces

La solución de una raíz depende principalmente del radicando y del índice de la raíz. En algunas ocasiones puede tener una o dos soluciones y, en otros casos, puede que no tenga solución.

Radicando mayor que cero con n par.

Hay dos soluciones: una positiva y una negativa.

$\boldsymbol{\sqrt{4}=\pm 2}\; \; porque \; \; \boldsymbol{(-2)^{2}=4\; \; y\; \; 2^{2}=4}$

Radicando mayor que cero con n impar.

Hay una solución positiva.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{125}=5}\; \; porque \; \; \boldsymbol{5^{3}=5\times 5\times 5=125}$

Radicando menor que cero con n par.

No tiene solución dentro de los números reales.

$\boldsymbol{\sqrt{-9}=}no \; existe \; en\; \mathbb{R}$

Radicando menor que cero con n impar.

Hay una sola negativa.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{-64} = -4} \; \; porque\; \; \boldsymbol{(-4)^{3}= -4\times -4\times -4 = -64}$

[/su_note]

– Ejemplos de raíces:

$\boldsymbol{\sqrt{4} = 2}$

$\boldsymbol{\sqrt{9} = 3}$

$\boldsymbol{\sqrt[3]{1}=1}$

$\boldsymbol{\sqrt[3]{27}=3}$

$\boldsymbol{\sqrt[4]{16}=2}$

¿Sabías qué?

Cuando el índice de potencia es una fracción se puede expresar como un radical. Por ejemplo: 9^1/3= ³√9

¡A practicar!

¿Cuál es el resultado de los siguientes ejercicios?

$\boldsymbol{\sqrt{25}}$

Solución

$\boldsymbol{\sqrt{25}=5}\; \; porque \; \; \boldsymbol{5^{2}= 5\times 5 = 25}$

$\boldsymbol{\sqrt[3]{64}}$

Solución

$\boldsymbol{\sqrt[3]{64}= 4}\; \; porque \; \; \boldsymbol{4^{3}=4\times 4\times 4=64}$

$\boldsymbol{\sqrt[5]{-32}}$

Solución

$\boldsymbol{\sqrt[5]{-32}=-2} \; \; porque\; \; \boldsymbol{(-2)^{5}=-2\times -2\times -2\times -2\times -2=-32}$

La radicación es la operación opuesta a la potenciación y consiste en hallar raíces de orden n de un determinado número. Consta de tres elementos llamados índice, radicando y raíz. El símbolo usado para mostrar esta operación se lo conoce como raíz o radical y el primero en utilizarlo fue el matemático Christoph Rudolff en 1525.

Raíces exactas e inexactas

La raíz cuadrada exacta es aquella que tiene como radicando un cuadrado perfecto, mientras que la raíz cuadrada inexacta es la que no tiene como radicando un cuadrado perfecto.

Cuadrados perfectos

Un cuadrado perfecto resulta de multiplicar un número por sí mismo dos veces. Estos números los podemos ordenar en un cuadrado, por ejemplo, 9 es un cuadrado perfecto porque lo podemos escribir como 3 x 3 y lo ordenamos como:

En esta tabla verás la relación de los diez primeros cuadrados perfectos con sus raíces:

Cuadrado perfecto	Raíz cuadrada exacta
$1^{2}=1$	$\sqrt{1}=1$
$2^{2}=4$	$\sqrt{4}=2$
$3^{2}=9$	$\sqrt{9}=3$
$4^{2}=16$	$\sqrt{16}=4$
$5^{2}=25$	$\sqrt{25}=5$
$6^{2}=36$	$\sqrt{36}=6$
$7^{2}=49$	$\sqrt{49}=7$
$8^{2}=64$	$\sqrt{64}=8$
$9^{2}=81$	$\sqrt{81}=9$
$10^{2}=100$	$\sqrt{100}=10$

Pero no todos los números tienen raíces cuadradas exactas. En esos casos, calculamos la raíz cuadrada entera y luego contamos el resto. Por ejemplo, 55 no tiene raíz cuadrada exacta porque 7² = 49 y 8² = 64.

Por aproximación o tanteo, decimos que la raíz cuadrada entera de 55 es 7 y el resto lo obtenemos por la resta 55 − 49 = 6.

Entonces, $\sqrt{55} = 5\; \; y\; resto \; 6$ .