La recta numérica es un gráfico en el que podemos representar cualquier número que pertenezca al conjunto de los números reales (). Tiene intervalos que señalan las unidades y siempre tienen la misma distancia entre un número y su consecutivo. Por otra parte, los distintos tipos de relaciones que existen entre los números se pueden mostrar por medio de los símbolos “<” y “>” que significan “menor que” y “mayor que” respectivamente.
Una regla graduada es muy parecida a una recta numérica.
ORDEN DE NÚMEROS NATURALES Y DECIMALES
Para ubicar los números naturales en la recta numérica ubicamos el 0 en una posición arbitraria y luego colocamos el resto de los números naturales en intervalos regulares. Si deseamos comparar números naturales usamos los símbolos < y > o la recta numérica, pues todo número que esté más a la derecha en la recta siempre será el mayor. Para ubicar números decimales en la recta numérica, debemos agregar subdivisiones entre los números enteros. Cuando queremos compararlos, primero tomamos en cuenta la parte entera y luego comparamos las cifras decimales de izquierda a derecha.
Sí bien algunos expertos afirman que el número cero (0) no pertenece al conjunto de los números naturales, otros aseguran que sí forma parte.
ORDEN DE FRACCIONES
Las fracciones también tiene un lugar en la recta numérica, para esto tenemos que considerar si la fracción es propia o impropia. De ser propia dividimos a la unidad en tantos segmentos como indique el denominador y contamos tantos segmentos como indique el numerador, luego marcamos la fracción. Si la fracción es impropia, tenemos que convertirla primero en un número mixto, en este caso, seguimos el procedimiento anterior pero a partir de la parte entera que tenga el número mixto.
Si comparamos fracciones con igual numerador y diferente denominador, será mayor aquella que tenga menor denominador.
PROPORCIONALIDAD
La proporcionalidad es una relación que existe entre dos magnitudes que podemos medir, y puede ser directa o inversa. Dos cantidades son directamente proporcionales si cuando una aumenta la otra aumenta o si cuando una disminuye la otra también lo hace. Por otro lado, al convertir medidas lo hacemos por medio de una regla de tres, un método muy útil para saber un valor desconocido entre 2 relaciones.
Siempre que vamos a un kiosco, sabemos que mientras más compremos, más tendremos que pagar; eso es porque la “cantidad que compramos” y la “cantidad que debemos pagar” tienen una relación directamente proporcional.
RELACIONES DE TIEMPO
El tiempo es quizás la magnitud más usada y medida diariamente. Sus unidades son variadas y van desde las menores a un día, como los segundos, los minutos y las horas; hasta las que sobrepasan al día como los meses, años y décadas. Si usamos una regla de tres podemos convertir una unidad a otra sin dificultad. También podemos hacer cálculos de suma y resta con el tiempo, esto nos ayuda a saber cuando empezó un partido de fútbol o qué hora salió un tren, por ejemplo.
Los calendarios o agendas son útiles para planificar las actividades a realizar a lo largo del día.
Si compramos una gaseosa a $ 2, 2 gaseosas costarán $ 4 y 3 gaseosas costarán $ 6. Esto se llama proporcionalidad porque las dos magnitudes, precio y cantidad, tiene una relación directa entre sí. Esta relación sirve para hacer conversiones de unidades de medida. ¡Aprendamos a resolver problemas de proporcionalidad!
¿QUÉ ES LA PROPORCIONALIDAD?
La proporcionalidad es una relación que existe entre las magnitudes que podemos medir, como el tiempo, la longitud, la superficie o el peso.
Las proporciones son mucho más comunes de lo que pensamos. Las utilizamos al calcular la cantidad de ingredientes para hacer una torta, cuando convertimos unidades de medida o cuando vamos al cine con nuestros amigos y deseamos saber cuál es el costo total de las entradas.
Muchas de las cantidades que utilizamos cotidianamente están relacionadas entre sí. Por ejemplo, siempre que vamos a un kiosco, sabemos que mientras más productos compremos, más dinero tendremos que pagar. Eso es porque “la cantidad de productos que compramos” y “la cantidad que debemos pagar” tienen una relación directamente proporcional.
¿Sabías qué?
Existen dos tipos de proporcionalidad: la proporcionalidad directa y la proporcionalidad inversa.
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Cuando dos magnitudes están relacionadas mediante una proporcionalidad directa se comportan de tal manera que:
Cuando una cantidad aumenta, la otra también aumenta.
Cuando una cantidad disminuye, la otra también disminuye.
Si esto sucede, se dice que las cantidades son “directamente proporcionales”.
– Ejemplo:
Si una camiseta cuesta $ 3, ¿cuánto cuestan 2 camisetas?, ¿y 3 camisetas?
Cantidad de dinero
$ 3
$ 6
$ 9
Cantidad de camisetas
1
2
3
Observa que al aumentar la cantidad de camisetas también aumenta la cantidad de dinero, por eso, ambas son directamente proporcionales.
Siempre que dos magnitudes sean directamente proporcionales el cociente entre ellas será constante. A esta relación la podemos escribir y comprobar por medio de una fracción:
Los numeradores en azul representan la cantidad de dinero y los denominadores en rojo representan la cantidad de camiseta. Todos los cocientes son iguales, es decir, la proporción es constante.
Razón de proporcionalidad
Si dividimos entre sí las magnitudes que aumentan o disminuyen, obtendremos como resultado un número llamado razón de proporcionalidad, y si dividimos ambas cantidades luego de que aumenten o disminuyan, también obtendremos como resultado al mismo número. Por lo tanto, dos magnitudes son directamente proporcionales si:
magnitud 1 ÷ magnitud 2 = razón de proporcionalidad
¿cómo resolver problemas de PROPORCIONALIDAD DIRECTA?
Un método para resolver problemas de proporcionalidad es la regla de tres. Esta se utiliza para hallar el cuarto término de una proporción cuando ya conoces tres valores.
– Ejemplo 1:
En cada paquete de chicles hay 8 chicles. ¿Cuántos chicles hay en 4 paquetes?
1. Escribimos la primera relación, que es la que tiene los dos valores conocidos:
2. Luego escribimos la segunda relación. En esta solo conocemos un valor y al desconocido lo representamos con la letra equis (x).
En conjunto, estas relaciones se leen así: “si un paquete de chicles tiene ocho chicles, ¿cuántos chicles tienen cuatro paquetes de chicles?”.
Observa que colocamos una magnitud debajo de otra magnitud: paquetes de chicles debajo de paquetes de chicles y cantidad de chicles debajo de cantidad de chicles. La “x” es una valor que desconocemos, pero la magnitud buscada es “cantidad de chicles”.
3. Multiplicamos en diagonal y luego dividimos por el valor que quede solo.
4. Resolvemos las operaciones.
Nota que las magnitudes que son iguales tanto en el numerador como en el denominador se tachan y queda la magnitud deseada: cantidad de chicles.
5. Damos respuesta a la interrogante.
En 4 paquetes de chicles hay 32 chicles.
Dos magnitudes directamente proporcionales son la cantidad de kilómetros recorridos en un automóvil y la cantidad de combustible gastado. Cuando una de estas cantidades se modifica, la otra lo hace de igual manera; pues si recorremos 110 kilómetros gastaremos 10 litros de combustible, pero si recorremos 330 kilómetros gastaremos 30 litros.
– Ejemplo 2:
Para pintar 6 edificios son necesarios 80 galones de pintura, ¿cuántos galones de pintura son necesarios para pintar 18 edificios?
Relaciones
Reflexión
Este problema de proporcionalidad se resuelve al multiplicar en forma diagonal las relaciones antes mostradas, y después al dividir entre 6. No debemos olvidar tachar las magnitudes iguales en el numerador y en el denominador.
Operaciones
Respuesta
Para pintar 18 edificios se necesitan 240 galones de pintura.
– Ejemplo 3:
Si 10 lápices cuestan $ 5, ¿cuánto costarán 70 lápices?
Relaciones
Reflexión
Hay que resolver la regla de tres, para esto multiplicamos en forma diagonal: 70 × 5 y luego dividimos este resultado entre 10. Tachamos las unidades repetidas en los numeradores y denominadores.
Operaciones
Respuesta
70 lápices costarán $ 35.
¿Sabías qué?
En la cocina también utilizamos la proporcionalidad. Si tenemos una receta que indica las cantidades para 1 persona, pero queremos hacer la receta para 5 personas, debemos multiplicar a todas las cantidades por 5.
USOS DE LA PROPORCIONALIDAD DE LA CONVERSIÓN DE MEDIDAS
La proporcionalidad nos puede ser útil a la hora de convertir unidades de medidas. Por ejemplo, cuando conocemos la longitud de un objeto en centímetros y queremos conocerla en metros, o cuando conocemos nuestro peso en kilogramos pero queremos conocerlo en gramos.
La conversión de unidades de medida es usada en múltiples oficios. Los costureros y diseñadores utilizan a menudo la cinta métrica: una cinta flexible con marcas que muestran los metros y los centímetros. Esta es de gran utilidad para medir grandes o pequeñas longitudes de tela. También es usada por arquitectos y médicos.
Equivalencias de interés
Masa
Unidad principal: gramo (g)
1 g = 1.000 mg
1 g = 100 cg
1 g = 10 dg
1 g = 0,1 dag
1 g = 0,01 hg
1 g = 0,001 kg
Longitud
Unidad principal: metro (m)
1 m = 1.000 mm
1 m = 100 cm
1 m = 10 dm
1 m = 0,1 dam
1 m = 0,01 hm
1 m = 0,001 km
Capacidad
Unidad principal: litro (L)
1 L = 1.000 mL
1 L = 100 cL
1 L = 10 dL
1 L = 0,1 daL
1 L = 0,01 hL
1 L = 0,001 kL
– Ejemplo 1:
Convierte 1,90 m a cm.
Ya sabemos que 1 metro = 100 centímetros, por lo tanto, esta es nuestra primera relación para la regla de tres. Luego resolvemos:
1,90 m equivalen a 190 cm.
– Ejemplo 2:
Convierte 5.600 ml a L.
5.600 mL equivalen a 5,6 L.
– Ejemplo 3:
Convierte 8,96 km a m.
9,96 km equivalen a 8.960 m.
¡A practicar!
1. Resuelve estos problemas de proporcionalidad por medio de reglas de tres.
a) Un automóvil recorre 200 km en 4 horas, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 500 km si la velocidad es constante?
Solución
Tardará 10 horas.
b) José compró 25 servilletas por $ 5, ¿cuántas servilletas podrá comprar con $ 30?
Solución
José podrá comprar 150 servilletas.
c) Si 60 segundos son iguales a 1 minuto, ¿cuántos minutos hay en 2.160 segundos?
Solución
Hay 36 minutos.
d) 8 obreros realizaron una obra de 200 m, ¿cuántos metros de obras pueden hacer 10 obreros?
Solución
Pueden hacer 250 metros.
2. Realiza las siguientes conversiones de unidades de medida.
a) 0,69 g a mg.
Solución
690 mg.
b) 5.896 mg a g.
Solución
5,896 g.
c) 5 kg a g.
Solución
5.000 g.
d) 0,94 L a mL.
Solución
940 mL.
e) 3.216 mL a L.
Solución
3,216 L.
f) 1,5 g a mg.
Solución
15.000 mg.
g) 7.415 g a kg.
Solución
7,415 kg.
h) 0,05 kg a g.
Solución
5.000 g.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Regla de 3 simple y compuesta”
Este artículo trata sobre una herramienta que se utiliza para resolver problemas de proporcionalidad: la regla de 3 simple y compuesta.
El tiempo es una magnitud que nos ayuda a medir la duración de un evento. Gracias al tiempo podemos ordenar sucesos y establecer un pasado, un presente y un futuro. Todas sus unidades de medidas pueden convertirse entre ellas. Aprender sus cálculos básicos permite saber, por ejemplo, en qué momento tenemos que hacer una tarea.
El tiempo es una de las magnitudes más utilizamos cotidianamente, por eso es normal que veas un reloj en todas las casa, escuelas y comercios. Las unidades menores a un día son las horas, minutos y segundo, y para medirlas usamos el reloj o un cronómetro; en cambio, las unidades mayores a un día, como los meses y los años, son medidas con un calendario.
UNIDADES DE Tiempo: equivalencias y conversiones
Todo lo que realizamos consume tiempo: sabemos que el recreo dura 10 minutos, que un partido de fútbol dura 90 minutos o que el día tiene 24 horas. Es una variable tan importante, que en todo el mundo se utilizan las mismas unidades para medir el tiempo, a diferencia de otras magnitudes, como la distancia o el volumen. A algunas de sus unidades más importantes puedes verlas en esta tabla, junto a sus equivalencias:
Unidades de tiempo y sus equivalencia
Menores a un día
1 día = 24 horas
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos
Mayores a un día
1 semana = 7 días
1 mes = 30 o 31 días
1 año = 365 días = 12 meses
Conversión de unidades de tiempo
Podemos hacer conversiones entre dos o más unidades de tiempo por medio de una regla de tres: método en el que establecemos relaciones, multiplicamos en forma diagonal y luego dividimos por la unidad restante.
– Ejemplo 1:
¿Cuánto días hay en 96 horas?
En 96 horas hay 4 días.
– Ejemplo 2:
¿Cuántos meses hay en 20 años?
En 20 años hay 240 meses.
– Ejemplo 3:
¿Cuántas horas tiene una semana?
Una semana (7 días) tiene 168 horas.
Otras unidades de tiempo
Para las medidas de tiempo más grandes, las equivalencias más prácticas son:
1 lustro = 5 años
1 década = 10 años
1 siglo = 100 años
1 milenio = 1.000 años
¿Sabías qué?
Hay una unidad de tiempo mucho menor que el segundo: el microsegundo. Su símbolo es µs y es igual a una millonésima parte de un segundo, es decir, 10−6 s.
En un calendario o agenda representamos todos los días del mes. Son útiles para planificar las actividades a realizar cada día; incluso, algunas agendas dividen cada día en horas, de manera que podamos organizar aún mejor nuestro tiempo. También son útiles para conocer las fechas de cada mes y los días feriados que hay en cada uno de ellos.
el reloj
El reloj es una instrumento para medir el tiempo, gracias a él sabemos las horas, los minutos y los segundos de un día. Pueden ser digitales o analógicos.
Este es un reloj analógico e indica que son “las 6 y 15 minutos”.
Este es un reloj digital e indica que son “las 10 y 20 minutos de la mañana”.
Abreviaturas am y pm
La abreviatura am significa que la hora leída corresponde a antes del mediodía.
La abreviatura pm significa que la hora leída corresponde a después del mediodía.
Sistema horario de 24 horas
Los relojes analógcos tienen un sistema de 12 horas, por lo que necesitan hacer dos ciclos completos para cubrir un día. En cambio, los relojes digitales pueden tener, además de un sistema de 12 horas, un sistema de 24 horas que se caracteriza por dividir al día en las 24 horas totales que lo conforman, por lo que no utiliza las abreviaturas am y pm.
La siguiente tabla muestra la relación entre ambos formatos:
Formato 24 horas
Formato 12 horas
00:00 h
12:00 am
01:00 h
01:00 am
02:00 h
02:00 am
03:00 h
03:00 am
04:00 h
04:00 am
05:00 h
05:00 am
06:00 h
06:00 am
07:00 h
07:00 am
08:00 h
08:00 am
09:00 h
09:00 am
10:00 h
10:00 am
11:00 h
11:00 am
12:00 h
12:00 pm
13:00 h
01:00 pm
14:00 h
02:00 pm
15:00 h
03:00 pm
16:00 h
04:00 pm
17:00 h
05:00 pm
18:00 h
06:00 pm
19:00 h
07:00 pm
20:00 h
08:00 pm
21:00 h
09:00 pm
22:00 h
10:00 pm
23:00 h
11:00 pm
operaciones con unidades de tiempo
Suma
Los pasos a seguir para sumar horas y minutos son los siguientes:
Sumamos los minutos y luego las horas.
Si los minutos son 60, colocamos 00 en la columna de los minutos y sumamos 1 hora en la columnas de las horas.
Si los minutos son más de 60, restamos 60 a ese resultado y sumamos 1 hora en la columnas de las horas.
Escribimos la hora final.
– Ejemplo 1:
¿Cuánto es 2:36 + 5:15?
Así que:
2 h y 36 min + 5 h y 15 min = 7 h y 51 min
También podemos representarlo de esta manera:
02:36 + 05:15 = 07:51
– Ejemplo 2:
Marta salió de su casa a las 3: 45 pm y luego de 2 horas y 15 minutos llegó a la casa de su abuela, ¿a qué hora llegó?
Datos
Hora de salida: 3 h y 45 min
Duración del recorrido: 2 h y 15 min
Analiza
Tenemos que sumar la hora de salida con el tiempo que duró en el recorrido para saber la hora de llegada. Para esto sumamos primero los minutos y luego las horas.
Calcula
Primero sumamos los minutos: 45 min + 15 min = 60 min. Como 60 min son iguales a 1 h, escribimos 00 y sumamos 1 hora a la columna de las horas.
Luego sumamos las horas: 1 h + 3 h + 2 h = 6 h.
Responde
Marta llegó a las 6 pm en punto.
– Ejemplo 3:
Carla entró a un examen a las 8:50 am y tardó 2 horas y 39 minutos en hacerlo, ¿a qué hora salió del examen?
Datos
Hora de entrada: 8 h y 50 min
Duración en el examen: 2 h y 39 min
Analiza
Si sumamos la hora de entrada con el tiempo que duró en el examen tendremos la hora de salida del examen. Primero sumamos los minutos y luego las horas.
Calcula
Sumamos los minutos: 50 + 39 = 89. Pero ya sabemos que 60 minutos forman una hora, así que tenemos que “sacar” 60 min de 89 min, es decir, 89 − 60 = 29.
Escribimos 29 min en la columna de los minutos y sumamos 1 h en la columna de las horas.
Luego sumamos las horas: 1 h + 8 h + 2 h = 11 h.
Responde
Carla salió a las 11:29 am.
Una de las primeras formas de medir el tiempo fue por medio de un reloj solar. Este funciona gracias a la sombra que genera el Sol durante el día sobre un estilo ubicado encima de una superficie. El movimiento diurno del Sol hace que la sombra cambie de dirección y de este modo se podía saber con bastante precisión la hora del día.
Resta
Los pasos a seguir para restar horas y minutos son los siguientes:
Restamos los minutos.
Si el minuendo es menor que el sustraendo, sumamos 60 minutos (que es igual a 1 hora) a ese minuendo. Luego restamos una hora de la columna de las horas.
Restamos las horas.
Escribimos el resultado.
– Ejemplo 1:
¿Cuánto es 4:11 – 2:47?
Lo primero que debemos hacer es colocar una hora sobre otra.
Como 11 es menor que 47 y no lo puede restar, tomamos “prestado” 60 minutos (1 hora) de la columna de las horas, es decir, sumamos a 11 min + 60 min = 71 min. Luego restamos esa hora de la columna de las horas: 4 h − 1 h = 3 h.
Ahora sí podemos hacer la resta de minutos: 71 min − 47 min = 24 min.
Después restamos las horas: 3 h − 2 h = 1 h.
Entonces:
4 h y 11 min − 2 h y 47 min = 1 h y 24 min
También lo podemos escribir así:
4:11 − 2:47 = 1:24
– Ejemplo 2:
Después de 45 min, un tren llegó a las 16 h y 15 min, ¿a qué hora salió el tren?
Datos
Duración de recorrido: 45 min
Hora de llegada: 16 h y 15 min
Analiza
Hay que restar el tiempo recorrido a la hora de llegada para saber la hora exacta de salida.
Calcula
Como 15 es menor que 45, tomamos prestado 60 minutos (1 hora) de la columna de las horas. Por lo tanto: 15 min + 60 min = 75 min. Al prestar 1 hora, tenemos que restarla de la columna de las horas, así que: 16 h − 1 h = 15 h. Luego hacemos la resta de minutos y horas.
Responde
El tren salió a las 15:30.
– Ejemplo 3:
Francisco tomó el bus para visitar a sus primos en otra ciudad. El bus salió a las 8:30 am y llegó a las 10:45 am ¿cuánto duró el viaje?
Datos
Hora de salida: 8 h y 30 min
Hora de llegada: 10 h y 45 min
Analiza
Si restamos la hora de salida a la hora de llegada tendremos la diferencia de tiempo entre ambas. Restamos primero los minutos y luego las horas.
Calcula
Responde
El viaje duró 2 h y 15 min.
¡A practicar!
1. Resuelve las operaciones de tiempo:
8:45 + 2:45
Solución
8:45 + 2:45 = 11:30
4:25 − 3:42
Solución
4:25 − 3:42 = 00:43
10:20 + 6:15
Solución
10:20 + 6:15 = 16:35
8:23 − 5:15
Solución
8:23 − 5:15 = 3:08
1:50 + 9:38
Solución
1:50 + 9:38 = 11:28
12:12 − 6:30
Solución
12:12 − 6:30 = 5:42
2. Responde:
¿Cuántas horas hay en 5 días?
Solución
120 horas.
¿Cuántos días hay en 1 década?
Solución
3.650 días.
¿Cuántos segundos hay en 2 horas?
Solución
7.200 segundos.
¿Cuántos meses hay en 2 lustros?
Solución
240 meses.
¿Cuántas décadas hay en 3 siglos?
Solución
30 décadas.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Operaciones en el sistema sexagesimal”
Este artículo explica la forma de realizar operaciones con unidades de tiempo en el sistema sexagesimal.
Las fracciones mixtas se denominan así porque están formadas por un número entero y por una fracción. Hay diversas situaciones donde se usan, unas de ellas son las recetas de cocina, donde se suelen emplear fracciones mixtas para representar cantidades: por ejemplo, “2 ½ de tazas de azúcar” hacen referencia a dos tazas y media de ese ingrediente.
¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN MIXTA?
Una fracción mixta es una forma de representar a una cantidad, y esta compuesta por una parte entera y una parte fraccionaria. La estructura general de una fracción mixta es la siguiente:
Donde:
A = es la parte entera; es decir, un número entero.
b = es el numerador de la parte fraccionaria.
c = es el denominador de la parte fraccionaria.
Una característica de estas expresiones es que la parte fraccionaria corresponde a una fracción propia, es decir, una fracción en la que su numerador es menor que el denominador.
Lectura de fracciones mixtas
Para leer fracciones de este tipo se lee primero su parte entera y luego su parte fraccionaria.
Veamos algunos ejemplos:
a)
La parte entera de este número es 2 y su parte fraccionaria es 1/3. Por lo tanto, esta fracción se lee como: dos enteros y un tercio.
b)
En este caso la parte entera del número es 4 y su parte fraccionaria es 5/7. Se lee como: cuatro enteros y siete quintos.
¿Sabías qué?
Las fracciones mixtas también son denominadas números mixtos.
Una fracción mixta es una forma de representar a una cantidad, y está compuesta por una parte entera y una parte fraccionaria que esta formada por una fracción propia. Es otra forma representar a las fracciones. La hora siempre puede ser representada por medio de una fracción mixta. Por ejemplo, en esta imagen “una hora y media” se escribiría como 1 1/2 hora.
GRÁFICA DE FRACCIONES MIXTAS
Para graficar fracciones mixtas se siguen los siguientes pasos:
Se representa al entero o la unidad dividida en tantas partes iguales como indique el denominador de la parte fraccionaria.
Se repite este gráfico tantas veces como indique la parte entera. En este caso representaríamos solo la parte entera de la fracción.
Se representa la parte fraccionaria con otro gráfico similar pero en este caso se rellenan solo las partes que indique el numerador de la fracción.
Por ejemplo, si queremos graficar la fracción mixta:
Lo primero es representar a la unidad dividida en tantas partes iguales como indique el denominador de la parte fraccionaria. En este caso como el denominador es 3 se debe dividir al entero o la unidad en 3 partes iguales:
Como la parte entera de esta fracción es 2, quiere decir que esta formada por dos enteros, entonces se debe graficar el entero nuevamente:
Finalmente, se repite el gráfico pero se rellenan únicamente las partes que indique el numerador, como el numerador es 1, señalamos una sola parte que corresponde a un tercio:
La fracción se lee como dos enteros y un tercio.
Historia de las fracciones
Las fracciones surgieron a partir de la necesidad de representar divisiones inexactas y unidades de medida. Por esta razón, no son un invento nuevo. De hecho, antiguas civilizaciones como la egipcia, la babilonia y la griega ya las conocían. Sin embargo, la manera de expresar fracciones con la raya horizontal fue introducida por los árabes y luego fue llevada a Europa por Lenorado Fibonacci en el siglo XIII. Posteriormente, su uso se expandió por el resto del mundo.
Para graficar fracciones mixtas se sigue un procedimiento similar al que utilizamos para graficar fracciones convencionales. En primer lugar, dividimos al entero en tantas partes como indique el denominador de la parte fraccionaria. Luego, rellenamos tantos enteros (completos) como indique la parte entera de la fracción mixta. Por último, se emplea un gráfico similar para la parte fraccionaria y se rellenan tantas parte como indique el numerador de la fracción.
TRANSFORMAR FRACCIONES MIXTAS A FRACCIONES CONVENCIONALES
Para transformar una fracción mixta a una fracción convencional, se debe sumar la parte entera con la parte fraccionaria. El resultado, será una fracción convencional que representa la misma cantidad que la fracción mixta original.
Por ejemplo:
– Convertir la siguiente fracción mixta a fracción convencional.
En este caso se debe sumar 2 + 1/3 pero como la parte entera que es 2 no es una fracción, se debe colocar un número 1 como denominador para poder realizar la suma de fracciones. Se debe seguir el procedimiento de suma de fracciones heterogéneas (con diferente denominador):
De esta manera el resultado es 7/3, es una fracción impropia porque su numerador es mayor que el denominador y es igual a 2 1/3.
Para graficar fracciones impropias se deben convertir primero a fracciones mixtas.
Para transformar una fracción mixta a una fracción convencional, se debe realizar una suma de la parte entera y la parte fraccionaria. El resultado será una fracción convencional que representa la misma cantidad que la fracción mixta original. Cuando convertimos una fracción mixta a fracción convencional, siempre obtenemos una fracción impropia, es decir, una fracción en la que el numerador es mayor al denominador, y por lo tanto, una fracción mayor a uno.
¡A practicar!
1. Representa gráficamente los siguientes números mixtos.
a.
b.
c.
RESPUESTAS
2. Transforma las siguientes fracciones mixtas en fracciones convencionales.
a.
b.
c.
d.
e.
RESPUESTAS
a.
b.
c.
d.
e.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Clasificación de fracciones”
En este artículo se explican los diferentes tipos de fracciones, como las fracciones propias, las impropias, las homogéneas, las heterogéneas, las reducibles y las irreducibles.
En toda fracción podemos distinguir dos partes principales: el numerador y el denominador, ambos se encuentran separados por una línea horizontal. El denominador indica en cuántas partes se divide la unidad y el numerador señala cuántas de esas partes se han de tomar. Las fracciones se pueden clasificar en propias, impropias y aparentes. Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador y representan un número menor a uno. Las fracciones impropias son la que tienen el numerador mayor que el denominador y representan a un número mayor a uno. Las fracciones aparentes son aquellas cuyo numerador es múltiplo de su denominador.
Además de la raya horizontal también podemos representar a las fracciones con una raya diagonal “/” o con el símbolo de las divisiones “÷”.
FRACCIONES EQUIVALENTES
Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad. Las fracciones equivalentes se pueden obtener por medio de dos métodos: amplificación y simplificación. Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero. Para obtenerlas por simplificación, debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero y que sea un divisor común entre ambos. Es importante recordar que las fracciones equivalentes se pueden utilizar para sumar y restar fracciones heterogéneas (que tienen distinto denominador).
Media sandía se puede expresar como 1/2, 2/4, 4/8, 8/16, 16/32… Todas ellas son fracciones equivalentes que indican la mitad de un entero.
OPERACIONES CON FRACCIONES
La suma y resta de fracciones depende del tipo de estas. En las fracciones homogéneas (mismo denominador) se suman o restan los numeradores y se conserva el mismo denominador. En las fracciones heterogéneas (diferente denominador) se debe multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el resultado se suma o se resta al producto del numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera, el número obtenido es el numerador de la fracción resultante; luego se multiplican ambos denominadores y el número obtenido corresponderá al denominador de la fracción resultante. Para la multiplicación se multiplican los numeradores y denominadores de forma lineal. Para la división, se debe multiplicar en forma de cruz: el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda es igual al numerador de la fracción resultante y el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera es igual al denominador de la fracción resultante.
Algunas fracciones se pueden simplificar, es decir, pueden expresarse en fracciones equivalentes más sencillas
FRACCIONES MIXTAS
Una fracción mixta o número mixto es una forma de representar a una cantidad compuesta por una parte entera y una parte fraccionaria. Para graficarla, dividimos al entero en tantas partes como indique el denominador de la parte fraccionaria. Luego, pintamos tantos enteros (completos) como indique el número entero de la fracción mixta. Por último, dibujamos otro entero y pintamos tantas partes de este como indique el numerador de la fracción mixta. Para transformar una fracción mixta a una fracción convencional, lo que se realiza es sumar la parte entera con la parte fraccionaria. Siempre se debe obtener una fracción impropia.
En este caso la parte entera de la fracción mixta es 2, y la parte fraccionaria es 1/3. Se lee “dos enteros y un tercio”.
PORCENTAJES
Un porcentaje, al igual que una fracción, es una forma de indicar una parte de un todo. Un porcentaje siempre representa a una fracción decimal cuyo denominador es 100. El símbolo que utilizamos para indicar un porcentaje es %. Para calcular el porcentaje de una cantidad conocida se multiplican ambos valores y se divide entre 100. Para convertir cualquier fracción a porcentaje, debemos dividir el numerador con el denominador, y luego multiplicar dicho resultado por cien. Por otro lado, para convertir un porcentaje a fracción, simplemente colocamos el porcentaje en el numerador y 100 como denominador, posteriormente se realiza una simplificación.
Los porcentajes se utilizan para indicar descuentos y recargos. También se utilizan en la estadística y en la economía.
Los porcentajes son expresiones matemáticas que sirven para relacionar dos cantidades. Se emplean en diferentes situaciones como, por ejemplo, los descuentos. Están estrechamente relacionados con los números fraccionales, porque se emplean para representar una fracciones de denominador igual a 100.
¿qUÉ ES UN PORCENTAJE?
Un porcentaje, al igual que una fracción, es una forma de indicar una parte de un todo. Los porcentajes se utilizan a diario, por ejemplo, en los siguientes casos:
El 30 % de los vuelos proviene de Europa.
El 40 % de las personas en la fiesta eran hombres y el 60 % eran mujeres.
El 60 % de la población mundial tiene acceso a Internet.
Esto quiere decir que:
De cada 100 vuelos, 30 proviene de Europa.
De cada 100 personas que había en la fiesta, 40 eran hombres y 60 eran mujeres.
De cada 100 personas, 60 tienen acceso a Internet.
Como vemos, el número 100 está presente en todos los casos como referencia. Esto sucede porque el porcentaje representa a una fracción decimal cuyo denominador es 100. Entonces, el número que utilizamos para indicar el porcentaje corresponde al numerador, y el denominador es siempre 100:
20 % = 20/100
60 % = 60/100
33 % = 33/100
Un porcentaje, al igual que una fracción, es una forma de indicar una parte de un todo. Los porcentajes representan una fracción decimal cuyo denominador es 100. Se utiliza frecuentemente en la estadística para distinguir a ciertas porciones del total con respecto a otras. Por ejemplo, en esta imagen vemos un gráfico que divide al total en cuatro partes, la porción más grande representa el 45 %, mientras que las otras representan el 20 %, el 10 % y el 25 % del total.
Símbolo de porcentaje
El símbolo que utilizamos para indicar un porcentaje es “%” y se lee “por ciento“. Podemos observar algunos ejemplos a continuación:
100 % = “cien por ciento”.
80 % = “ochenta por ciento”.
44 % = “cuarenta y cuatro por ciento”.
30 % = “treinta por ciento”.
El símbolo que utilizamos para indicar un porcentaje es %. Cuando un número está acompañado de dicho símbolo se trata de una expresión de este tipo. Por ejemplo, 100 % se lee “cien por ciento”. Los porcentajes también se utilizan en la economía para indicar los aumentos de precios, el crecimiento de las acciones de una empresa y la inflación de un país.
¿Sabías qué?
El agua constituye el 98 % de un melón, el 80 % de un pez y el 70 % de un ser humano.
Cálculo de porcentaje
Para calcular el porcentaje de una cantidad dada se deben seguir los siguientes pasos:
Multiplicar el porcentaje por la cantidad conocida.
Dividir el resultado obtenido entre cien.
Escribir el resultado final.
Por ejemplo:
1. Calcular el 30 % de 60.
Para calcula cuánto es el 30 % de 60 se deben multiplicar ambos números y luego dividir el resultado entre cien de la siguiente forma:
En este caso el 30 % de 60 es 18.
2. ¿Cuánto es el 20 % de $ 150?
El 20 % de $ 150 son $ 30.
¿Cómo determinar qué porcentaje se aplicó?
Hay ocasiones en las que necesitamos calcular cuál es el porcentaje aplicado. Esto es muy útil cuando se va a realizar una compra. Por ejemplo, si un pantalón tiene un precio de $ 120 y el descuento es de $ 12, ¿Cuál es el porcentaje de descuento que se le aplicó?
En este caso se debe multiplicar el descuento por 100 y luego dividir el resultado entre el precio del pantalón que es $ 120:
El porcentaje de descuento en este caso fue del 10 %, es decir, $ 12 representa el 10 % de $ 120.
Relación de porcentaje y fracción
Tanto los porcentajes como las fracciones son formas de representar una parte de un todo. Entonces, podemos convertir un porcentaje en una fracción y viceversa.
Convertir fracción a porcentaje
Para convertir cualquier fracción a porcentaje, debemos dividir el numerador con el denominador, y luego multiplicar dicho resultado por cien. Al número obtenido le agregamos siempre el símbolo de porcentaje (%) para indicar que nos referimos a un porcentaje. Por ejemplo, si convertimos 3/5 en porcentaje tenemos que:
Convertir porcentaje a fracción
En este caso, debemos colocar el porcentaje en el numerador de la fracción y agregar 100 como denominador. Luego, simplificamos hasta obtener una fracción irreducible. Por ejemplo, para convertir 20 % a fracción:
La fracción 20/100 se puede simplificar a 1/5 al dividir tanto al numerador como al denominador entre 5.
Los porcentajes y las fracciones son formas de representar una parte de un total. Entonces, podemos convertir tanto los porcentaje a fracciones como las fracciones a porcentajes. Los porcentajes son muy utilizados en las ofertas, para indicar el descuento sobre el total. Mientras mayor sea el porcentaje, mayor será el descuento.
¡A practicar!
1. ¿Cuánto es el 15 % de 300?
a) 150
b) 45
c) 100
d) 30
SOLUCIÓN
b)
2. Convierte los siguientes porcentajes en fracciones.
a) 25 %
b) 35 %
c) 40 %
d) 90 %
SOLUCIÓN
a)
b)
c)
d)
3. Convierte las siguientes fracciones a porcentaje.
a)
b)
c)
d)
RESPUESTAS
a) 80 %
b) 50 %
c) 14 %
d) 25 %
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Porcentajes”
En este artículo se explican las características de los porcentajes y los diferentes métodos para calcularlos, como la regla de tres simple.
Las fracciones son números y, como tales, su pueden sumar, restar, dividir y multiplicar. Muchas situaciones en la vida cotidiana se resuelven mediante la suma o resta de fracciones, como por ejemplo, calcular las porciones de torta que quedan luego de repartir una parte.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES
El procedimiento para sumar o restar fracciones es distinto entre fracciones homogéneas y heterogéneas. Por ello es muy importante saber reconocerlas.
Fracciones homogéneas
Las fracciones homogéneas son las que tienen el mismo denominador. En este caso, la operación de suma o resta consiste simplemente en sumar o restar los numeradores y conservar el mismo denominador.
-En el caso de la suma se cumple que:
Por ejemplo:
a)
En este caso se trata de una suma de dos fracciones homogéneas porque tienen igual denominador, que es 5. Para resolver la suma se coloca el mismo denominador y se suman los numeradores.
El denominador en ambos casos es 5. Entonces sumamos los numeradores (1 + 2 = 3) y conservamos el denominador 5.
-En el caso de la resta se cumple que:
Por ejemplo:
b)
En este caso se trata de una sustracción o resta de dos fracciones homogéneas con denominar igual a 3. Para resolver el problema se coloca el mismo denominador y se restan los exponentes.
Fracciones heterogéneas
Las fracciones heterogéneas son las que entre sí tienen distinto denominador. Para el caso de la suma de fracciones heterogéneas se aplica la siguiente fórmula.
La expresión anterior lo que quiere decir es que para sumar dos fracciones heterogéneas, el numerador de la fracción resultante es igual a la suma del producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. El denominador de la fracción resultante es igual al producto de los denominadores de las fracciones originales.
En el caso de la resta de las fracciones se aplica casi la misma fórmula pero al momento de calcular el numerador resultante se deben restar los productos del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.
Veamos algunos ejemplos con números:
Otro método
El método explicado anteriormente es el más utilizado, aunque también se pueden sumar y restar fracciones heterogéneas a través de fracciones equivalentes. Para ello, se calcula el mínimo común múltiplo entre los dos denominadores, y se amplifican ambas fracciones de manera de que ambas tengan como denominador al mínimo común múltiplo. Una vez que tienen el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y conservamos el denominador.
En procedimiento para sumar o a restar fracciones varía, y depende de si se trata de fracciones homogéneas o heterogéneas. En el caso de las fracciones homogéneas el procedimiento es más sencillo porque se mantiene el mismo denominador y se suman o restan los numeradores según la operación. En las operaciones heterogéneas el procedimiento es más largo.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
Otras operaciones que se pueden realizar con fracciones son la multiplicación y la división. Ambas llevan procedimientos diferentes.
Multiplicación
La multiplicación de fracciones es una de las operaciones más sencillas. Para resolverla solamente se debe multiplicar de forma lineal. Es decir, numerador por numerador y denominador por denominador. De la siguiente forma:
Observa el siguiente ejemplo:
Para resolver esta multiplicación primero tenemos que multiplicar el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda: el resultado será el numerador de la fracción resultante. Luego multiplicamos el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y el número que se obtiene será el denominador de la fracción resultante.
División
Para dividir fracciones, el método que más se utiliza es multiplicar en forma de cruz. Es decir, primero se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el producto de estos números sera el denominador de la fracción resultante. Luego se multiplica el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera y el producto de estos números será igual al denominador de la fracción resultante.
Observa el siguiente ejemplo:
a)
En este caso procedemos a realizar la multiplicación en cruz del primer numerador, que es 7, por el denominador de la segunda fracción, que es 5:
Luego multiplicamos el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera fracción:
Finalmente, se resuelven los productos:
Algunas fracciones se pueden simplificar, es decir, pueden expresarse en fracciones equivalentes más sencillas (que representan la misma cantidad). La simplificación es un proceso usado comúnmente en los cálculos porque permite manejar expresiones más sencillas. Las fracciones que no se pueden simplificar se denominan fracciones irreducibles.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Existen problemas cotidianos que pueden resolverse a través de operaciones con fracciones. Los siguientes ejemplos indican cómo usar las fracciones en estos casos.
1. Juan comió 3/8 de pizza y Luis comió 4/8 de la misma pizza. ¿Cuánto comieron los dos en total?
Análisis: Debemos sumar ambas fracciones. Como los denominadores son los mismos, son fracciones homogéneas. Entonces, sumamos los numeradores y conservamos el denominador.
Cálculos:
Respuesta: Entre Juan y Luis comieron 7/8 de la pizza.
2. Un científico tiene 6/5 partes de una sustancia, si pierde 2/3 de esa sustancia, ¿cuánta sustancia le queda?
Análisis: Para saber cuánta sustancia le queda al científico hay que restar ambas fracciones. Como los denominadores son diferentes, son fracciones heterogéneas. Entonces, seguimos el procedimiento explicado anteriormente:
Cálculos:
Respuesta: Al científico le quedan 8/15 de sustancia.
3. Una modista tiene una tela que mide 5/7 de metro, si la dividió en trozos de 1/8 de metros, ¿cuántos trozos obtuvo?
Análisis: Para saber el número de trozos que obtuvo la modista se deben dividir ambas fracciones.
Cálculos:
Respuesta: El número de trozos que obtuvo la modista fue de 40/7.
Muchas situaciones de la vida cotidiana implican la utilización de fracciones. Los casos en que dividimos una torta, una pizza o un terreno, entre otros, son algunas de las situaciones más comunes donde podemos utilizar estos números. Al partir una torta en porciones, cada porción representa una cantidad del total. En esta imagen falta 1/4 de la torta y quedan 3/4 de la misma.
¡A practicar!
Realiza los siguientes cálculos.
a)
b)
c)
d)
e)
RESPUESTAS
a)
b)
c)
d)
e)
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Adición y sustracción de fracciones”
Este artículo profundiza la información sobre el proceso de resolución de sumas y restas de fracciones a través de fracciones equivalentes.
Artículo “Multiplicación y división de fracciones”
Este artículo, además de mostrar cómo resolver multiplicaciones y divisiones con fracciones, muestra cuáles son los criterios de divisibilidad usados para simplificarlas.
El siguiente micrositio ofrece una serie de tarjetas educativas que muestran un resumen de las formulas generales para la sustracción, la adición, la multiplicación y la división de fracciones.
Si tienes que elegir entre 1/2 de pizza o 3/4 de pizza, ¿cuál elegirías? Para responder esta pregunta es importante que sepas comparar distintos tipos de fracciones. Estas expresiones matemáticas constan de un numerador y un denominador, y según la relación entre ellos pueden ser mayores o menores que otras. ¡Aprende cómo ordenar fracciones!
Una fracción es una división entre dos números: un numerador y un denominador. El denominador indica en cuantas partes se divide la unidad y el numerador señala cuántas de esas partes se han de tomar. Si el numerador es menor que el denominador, la fracción es propia; pero si es mayor al denominador, la fracción es impropia.
Ubicación de fracciones en la recta numérica
Fracciones propias
Las fracciones propias son aquellas que tienen el numerador menor al denominador, por lo que siempre son menores a 1. Para ubicar estas fracciones en la recta numérica dividimos a la unidad en tantos segmentos como indique el denominador de la fracción que queremos representar. Luego, contamos tantos espacios como indique el numerador a partir del cero.
– Ejemplo:
La fracción es propia porque su numerador es menor al denominador (4 < 5).
Para representarla en la recta dividimos el segmento entre el 0 y el 1 en 5 espacios (denominador). Después contamos 4 espacios (numerador) y ubicamos la fracción.
Fracciones impropias
Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor al denominador, por lo que siempre son mayores a 1. Para representar este tipo de fracciones en la recta numérica tenemos que transformarlas a números mixtos.
¿Qué es un número mixto?
Es aquel que tiene una parte entera y una parte fraccionaria. Por ejemplo:
Este número mixto se lee “dos enteros y un medio”.
¿Cómo transformar una fracción impropia a un número mixto?
Realiza la división entre el numerador y el denominador. Al terminar con la cuenta, el cociente de la división indica el entero del número mixto; el resto junto al divisor van a conformar la parte fraccionaria: el resto será el numerador y el divisor será el denominador.
– Ejemplo:
¿Cuál es el número mixto equivalente a la fracción ?
Por lo tanto:
De este modo, para poder representar el número mixto en la recta numérica consideramos el número entero, en este caso el 2, y a partir de este seguimos los mismos pasos que en las fracciones propias: dividimos el segmento entre el 2 y el 3 en 2 segmentos iguales (denominador), después contamos un espacio (numerador) y ubicamos la fracción.
Representa las siguientes fracciones en una recta numérica.
Solución
Como la fracción es impropia, la transformamos a número mixto.
Solución
Solución
Solución
Como la fracción es impropia, la transformamos a número mixto.
Las fracciones representan una parte del todo. No solo son importantes en el ámbito escolar, sino que son muy utilizadas en la vida diaria. Usamos fracciones cada vez que partimos un pastel, cuando pedimos media docena de empanadas o cuando cortamos la mitad de un pan. También vemos fracciones en las etiquetas de los productos, por ejemplo, 1/2 litro de jugo.
comparación de fracciones
Cuando comparamos fracciones, determinamos cuál es mayor o menor que otra. Para esto, debemos tomar en cuenta sus elementos y ver si los denominadores son iguales o si sus numeradores son iguales.
Comparar fracciones con igual denominador
Entre dos fracciones con igual denominador será mayor la fracción que tenga mayor numerador.
– Ejemplo:
Observa que los denominadores son iguales (3 = 3) pero los numeradores no; y como 8 > 6, la fracción 8/6 es mayor que 6/3.
Comparar fracciones con igual numerador
Entre dos fracciones con igual numerador será mayor la fracción que tenga menor denominador.
– Ejemplo:
Observa que los numeradores son iguales (12 = 12) pero los denominadores no; y como 5 > 4, la fracción 12/4 es mayor que 12/5.
Fracciones con distintos numeradores y denominadores
Cuando las dos fracciones tienen numeradores y denominadores diferentes, buscamos homogeneizar, es decir, encontrar fracciones equivalentes con igual denominador.
¿Cómo homogeneizar dos fracciones?
Para encontrar las fracciones equivalentes con igual denominador de unas fracciones seguimos estos pasos:
Determinamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ese será el denominador de las fracciones equivalentes.
Encontramos el número por el que hay que multiplicar el numerador y el denominador de las fracciones.
– Ejemplo:
Homogeneiza las fracciones y . Luego compara.
1. Calculamos el m. c. m. de los denominadores 3 y 4.
2. Encontramos el número por el que hay que multiplicar el numerador y el denominador de las fracciones.
Como 3 × 4 = 12, entonces también multiplicamos el numerador por 4.
Como 4 × 3 = 12, entonces también multiplicamos el numerador por 3.
Ahora es más sencillo comparar las fracciones, pues tenemos fracciones homogéneas por lo que seguimos los pasos anteriores: entre dos fracciones con igual denominador será mayor la fracción que tenga mayor numerador. Así que:
Como es la fracción equivalente de ; y es la fracción equivalente de , podemos decir que:
¿Sabías qué?
En el año 1800 a. C. el pueblo babilonio introdujo las fracciones.
Comparación de números mixtos
Entre dos números mixtos, será mayor aquel que tenga mayor parte entera. Por ejemplo:
Pero si las partes enteras son iguales, comparamos la parte fraccionaria por medio de cualquier de los métodos aplicados anteriormente. Por ejemplo:
Las dos partes entera son iguales (1 = 1), pero las partes fraccionarias no. Como ves, ambas son fracciones homogéneas porque los denominadores son iguales (6 = 6), así que comparamos los numeradores, y como 4 > 1, el número mixto es mayor que .
Un uso muy popular de las fracciones es cuando damos la hora. Por ejemplo, cuando decimos que son “las dos y media”, hacemos referencia a un número mixto en la que la parte entera es 2, y la parte fraccionaria es 1/2. También ocurre cuando decimos que “son las cinco y cuarto”, allí la parte entera es 5 y la parte fraccionaria es 1/4.
¡A practicar!
1. Representa las siguientes fracciones en la recta numérica.
Solución
Solución
Solución
Solución
2. Compara los siguientes números mixtos.
y
Solución
y
Solución
y
Solución
porque
y
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Partes y porciones”
En este artículo podrás ampliar la información sobre la comparación de fracciones por medio del método del común denominador (sin utilizar recta numérica).
Enciclopedia “Enciclopedia de Matemáticas Primaria”
Con el Tomo 2 de esta enciclopedia podrás profundizar en el concepto de fracciones y su clasificación, así como en la comparación de fracciones y números mixtos.
A cada número natural le corresponde una única posición en la recta numérica y a medida que nos movemos en ella hacia la derecha encontramos números mayores. Esto también sucede con los números decimales, es decir, aquellos más pequeños que la unidad. Todos tienen un orden y, por lo tanto, unos representan una mayor cantidad que otros.
números naturales en la recta numérica
Los números naturales son aquellos que usamos para contar y su conjunto se presenta como:
Como nuestro sistema de numeración decimal es posicional, cada cifra dentro de un número tiene un valor relativo. Así, un número de siete cifras está formado por unidades de millón, centenas de mil, decenas de mil, unidades de mil, centenas, decenas y unidades. Por ejemplo:
En la tabla vemos que el número 1.895.632 tiene:
1 unidad de millón = 1.000.000
8 centenas de mil = 800.000
9 decenas de mil = 90.000
5 unidades de mil = 5.000
6 centenas = 600
3 decenas = 30
2 unidades = 2
Para representar este tipo de números en la recta numérica lo primero que hacemos es ubicar en ella un punto arbitrario, este será el origen y la posición del cero (0). Luego hacemos marcas con rayas verticales de igual distancia entre una y otra.
Cada uno de los pequeños segmentos simboliza una unidad, por lo que en la línea vertical que se encuentra inmediatamente a la derecha del 0 se coloca el 1, después el 2 y así se continúa con el resto de los números naturales:
¿Siempre se comienza desde el 0?
No necesariamente. Podemos utilizar solo una parte de la recta y mostrar el intervalo de números. Por ejemplo, entre el 726.580 y el 726.590 está ubicado el número 726.586.
Los números naturales son los primeros números utilizados en la historia del hombre. Los usaban principalmente para contar objetos. Algunos autores coinciden en que el cero no es un número natural, pero algunos otros prefieren incluirlo por ser la ausencia de algo. Los números naturales no incluyen a las fracciones ni a los números decimales.
COMPARACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Todos los números naturales tienen un orden, es decir, siguen una secuencia en la que un número es mayor o menor que otro. Para mostrar esta relación usamos los siguientes símbolos:
> que significa “mayor que”.
< que significa “menor que”.
= que significa “igual a”.
En una recta numérica, el número que se encuentre más a la derecha será el mayor.
– Ejemplo:
Compara los números 726.589 con 726.592, ¿cuál es mayor?
Como 756.592 está más a la derecha en la recta numérica, decimos que 756.592 es mayor que 756.589. Se escribe así:
756.592> 726.589
– Otros ejemplos:
Compara los números 1.252 y 1.256.
1.252 < 1.256
1.256 > 1.252
Compara los números 500, 590 y 540.
500 < 540 < 590
590 > 540 > 500
Comparación de números naturales por el método aritmético
Si uno de los dos números tiene más cifras que el otro, entonces el que tenga mayor cantidad de cifras será el mayor. Por ejemplo, 1.225.988 > 899.999 ya que el primer número tiene 7 cifras y el segundo tiene 6.
Si los dos tienen la misma cantidad de cifras, comparamos cifra por cifra de izquierda a derecha. Por ejemplo, 8.225.988 y 8.225.899 tienen la misma cantidad de cifras, así que comparamos una por una:
Como 9 > 8, podemos afirmar que 8.225.988 > 8.225.899.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON NÚMEROS NATURALES
1. Máximo, Joaquín y Lucía quieren comprar una guitarra. Máximo tiene $ 1.000, Lucía $ 2.000 y Joaquín $ 6.000. La guitarra cuesta $ 11.000. ¿Cuánto dinero falta para poder comprar la guitarra?
Datos
Dinero de Máximo: $ 1.000
Dinero de Lucía: $ 2.000
Dinero de Joaquín: $ 6.000
Pregunta
¿Cuánto dinero falta para poder comprar la guitarra?
Piensa
Para poder calcular la cantidad de dinero que falta debemos saber cuánto hay en total, así que sumamos las cantidades de Máximo, Lucía y Joaquín. Luego, por medio de una recta numérica, contamos los espacio que faltan desde el punto que representa la cantidad total de dinero hasta los $ 11.000.
Calcula
Total de dinero:
$ 1.000 + $ 2.000 + $ 6.000 = $ 9.000
Dinero que falta:
Faltan dos espacios para llegar a $ 11.000 y como cada espacio es igual a 1 unidad de mil: 2 × 1.000 = 2.000.
Respuesta
Faltan $ 2.000 para poder comprar la guitarra.
2. La cantidad de habitantes de la ciudad de Córdoba es 1.329.604 y la de Montevideo es 1.319.108. ¿Cuál ciudad tiene mayor cantidad de habitantes?
Datos
Habitantes de Córdoba: 1.329.604
Habitantes de Montevideo: 1.319.108
Pregunta
¿Cuál ciudad tiene mayor cantidad de habitantes?
Piensa
Como ambos número son grandes y tienen la misma cantidad de cifras, tenemos que comparar cifra por cifra. El primer dígito que sea diferente nos indicará cuál número es mayor.
Resuelve
Por lo tanto, 1.329.604 > 1.319.108
Respuesta
La ciudad de Córdoba tiene más habitantes que la de Montevideo.
3. Carla tiene 10 años. José es su hermano y tiene 5 años más que ella. Martina es su hermana y tiene 7 años menos que José. ¿Cuántos años tiene José y y cuántos tiene Martina? ¿Cuál es el hermano mayor?
Datos
Edad de Carla: 10 años
Edad de José: 5 años más que Carla
Edad de Martina: 7 años menos que José
Preguntas
¿Cuántos años tiene José y cuántos tiene Martina? ¿Cuál es el hermano mayor?
Piensa
Tenemos que realizar una recta numérica y ubicar la edad de Carla que es la única conocida. Luego nos movemos 5 espacios a la derecha para saber la edad de José y desde allí nos movemos 7 espacios a la izquierda para saber la edad de Martina. Finalmente comparamos cantidades.
Resuelve
15 > 10 > 8
Respuesta
José tiene 15 años y Martina tiene 8 años.
José es el hermano mayor.
Primeros números arábigos
La actual representación de los números arábigos encuentra su origen en la India, aunque se introdujo en Europa a través de textos árabes. El Codex Vigilanus es el primer texto europeo que los contiene, aunque no en el estado actual y, además, sin el 0. El nombre de este texto se debe a su autor, el monje Vigila, que lo redactó en el año 976, en Albelda, España.
NÚMEROS DECIMALES en la recta numérica
Los números decimales están formados por dos partes: una entera y una decimal, ambas separadas por una coma. Después de la coma, cada cifra tiene una valor según su posición.
Podemos observar en la tabla que el número 632,549 tiene:
6 centenas = 600
3 decenas = 30
2 unidades = 2
5 décimas = 0,5
4 centésimas = 0,04
9 milésimas = 0,009
Unidades decimales
Décimas
Centésimas
Milésimas
Es igual a la unidad dividida en 10 partes iguales.
Es igual a la unidad dividida en 100 partes iguales.
Es igual a la unidad dividida en 1.000 partes iguales.
Como los números decimales se encuentran entre los enteros, también podemos representarlos en una recta numérica, solo tenemos que crear subdivisiones. Por ejemplo, para ubicar las décimas entre los enteros 1 y 2 basta con dividir en diez partes iguales el espacio entre ambos números:
– Ejemplo:
El número 1,7 está ubicado entre los números 1 y 2.
También podemos representar las centésimas si subdividimos el espacio entre dos décimas.
– Ejemplo:
El número 1,74 está ubicado entre los números 1,7 y 1,8.
Los números decimales expresan números no enteros. Contienen una parte entera y una parte decimal. Para compararlos, debemos tomar en cuenta la parte entera. Siempre será mayor el número decimal que tenga mayor parte entera. En el caso de que las partes enteras sean iguales, procedemos a comparar las cifras decimales de izquierda a derecha.
COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Los números decimales siguen un orden y tal como en el caso de los números naturales usamos < y > para indicar que una cantidad es menor o mayor que otra. En una recta numérica, mientras más a la derecha esté el número mayor será su valor.
– Ejemplo:
Compara los números 4,31 y 4,35.
El número 4,35 es mayor que 4,31 porque está más a la derecha en la recta numérica. Se escribe así:
4,35 > 4,31
– Otros ejemplos:
Compara los números 9,5 y 9,3.
9,5 > 9,3
9,3 < 9,5
Compara los números 6,72 y 6,79.
6,79 > 6,72
6,72 < 6,79
¿Sabías qué?
Aunque en los números naturales la cantidad de cifras determina si un número es mayor que otro, en los números decimales no sucede lo mismo, por ejemplo, 3,5 > 3,359875.
Comparación de números decimales el método aritmético
En este método, primero comparamos las parte enteras. Si las partes enteras son iguales, seguimos con las décimas, y así sucesivamente hasta hallar las cifras que sean diferentes. Por ejemplo, 9,125 < 9,145 porque la centésima 2 es menor que 4.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON NÚMEROS DECIMALES
1. Para un examen físico se midieron las estaturas de algunos estudiante. La estatura de Luis es 1,78 m, la de Carlos es 1,86 m y la de Juan 1,77 m. ¿Quién es el más alto de los tres?, ¿quien es el más bajo de los tres?
Datos
Estatura de Luis: 1,78 m
Estatura de Carlos: 1,86 m
Estatura de Juan: 1,76 m
Pregunta
¿Quién es el más alto de los tres?, ¿quien es el más bajo de los tres?
Piensa
Hay que saber quién es el más alto y el más bajo, así que solo tenemos que compara esos tres números por medio de una recta numérica.
Resuelve
1,86 > 1,78 > 1,76
Respuesta
Carlos es el estudiante más alto y Juan es el estudiante más bajo.
2. Varios estudiantes participaron en una prueba de saltos de longitud. María saltó 1,58 m; Pedro salto 1,62 m y Santiago saltó 1,56 m. Si Juan saltó más que Santiago y menos que María, ¿qué longitud pudo saltar Juan? ¿Quién hizo el salto de mayor longitud?
Datos
Salto de María: 1,58 m
Salto de Pedro: 1,62 m
Salto de Santiago: 1,56 m
Salto de Juan: mayor al de Santiago y menor al de María
Preguntas
¿Qué longitud pudo saltar Juan? ¿Quién hizo el salto con mayor longitud?
Piensa
Para saber la longitud del salto de Juan debemos dibujar una recta numérica y ver las posibles opciones entre 1,58 (salto de María) y 1,56 (salto de Santiago). Luego, para saber quién hizo el salto de mayor longitud, comparamos todos lo valores y el que esté más a la derecha en la recta numérica será el mayor.
Resuelve
1,62 > 1,58 >1,57 > 1,56
Respuesta
Juan saltó 1,57 m.
Pedro hizo el salto de mayor longitud.
3. En una carrera, Araceli tardó 8 minutos y 6 décimas en llegar a la meta; Francisco tardó 8 minutos y 6 centésimas y Agustín tardó 8 minutos y 6 milésimas. ¿Quién llegó primero a la meta? ¿quién llegó de último?
Datos
Tiempo que tardó Araceli: 8 minutos y 6 décimas = 8,6
Tiempo que tardó Francisco: 8 minutos y 6 centésimas = 8,06
Tiempo que tardó Agustín: 8 minutos y 6 milésimas = 8,006
Preguntas
¿Quién llegó primero a la meta? ¿quién llegó de último?
Piensa
Para comparar estos números debemos fijarnos solo en la parte decimal porque la parte entera es igual en los tres casos. Entonces vemos cifra por cifra, la primera que sea mayor o menor que otra indicará el valor del número.
Resuelve
Como 6 > 0, podemos decir que 8,6 > 8,06 > 8,006.
Respuesta
Agustín llegó primero y Araceli llegó última.
La coma y el punto son usados como separadores de los números decimales y ambos son válidos. La diferencia en usar una u otra radica en el lugar en donde te encuentres. En gran parte de Europa y América del Sur se emplea la coma, pero algunos países como Estados Unidos, Canadá, México y Reino Unido emplean el punto.
¡A practicar!
1. Escribe el símbolo de relación que sea necesario.
1.893.697 ____ 999.265
Solución
1.893.697 > 999.265
56,98 ____ 56,09
Solución
56,98 > 56,09
678.654 ____ 678.655
Solución
678.654 < 678.655
9.625.369 ____ 9.630.999
Solución
9.625.369 < 9.630.999
2.369.845 ____ 2.369.835
Solución
2.369.845 > 2.369.835
23,896 ____ 23,9
Solución
23,896 < 23,9
198.654,023 ____ 198.654,003
Solución
198.654,023 > 198.654,003
1.268,96 ____ 1.278,99
Solución
1.268,96 < 1.278,99
2. Ordena de mayor a menor los siguientes números. Usa los símbolos de relación necesarios.
Hay fracciones que aunque parezcan diferentes representan la misma cantidad. Por ejemplo, si un amigo te ofrece 1/2 de un alfajor y otro te ofrece 2/4 de un alfajor, ¿quién te ofrece más? ¡Ninguno! ¡Los dos ofrecen lo mismo! Este tipo de fracciones son conocidas como fracciones equivalentes y son muy fáciles de distinguir.
¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN EQUIVALENTE?
Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad, es decir, al mismo número. Veamos un ejemplo:
Podemos observar que en ambas fracciones pintamos la misma porción del entero, lo que quiere decir que ambas fracciones representan la misma cantidad. Por lo tanto, decimos que y son fracciones equivalentes, y las podemos escribir así:
¿Hay una sola fracción equivalente?
Cada fracción tiene muchas fracciones equivalentes. Por ejemplo, otra fracción equivalente de es :
Entonces, como las 3 fracciones son equivalentes entre sí, podemos escribir:
Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad, es decir, al mismo número. Por lo tanto, hay muchas formas de decir media sandía: 1/2 , 2/4 , 4/8 , 8/16 , 16/32 y muchas más. Todas ellas son fracciones equivalentes que indican la mitad de un entero.
¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?
Dos fracciones son equivalentes si al multiplicar sus términos en forma de cruz el resultado el mismo.
y son fracciones equivalentes porque
y no son equivalentes porque
¡Es tu turno!
¿Estas fracciones son equivalentes?
y
Solución
y son fracciones equivalentes porque
y
Solución
y no son fracciones equivalentes porque
¿cómo CONVERTIR FRACCIONES EQUIVALENTES?
Las fracciones equivalentes se pueden obtener por medio de dos métodos: amplificación y simplificación.
Amplificación de fracciones
Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero.
Si al numerador y al denominador de la fracción los multiplicamos por 3, obtenemos y por lo tanto, ambas fracciones son equivalentes.
Así, si multiplicamos al numerador y al denominador por 4, obtenemos otra fracción equivalente: .
Y si multiplicamos por 5, obtenemos otra: .
Podemos escribir las fracciones obtenidas de la siguiente manera:
¡Puedes comprobarlo!
Las fracciones equivalentes, a pesar de tener numeradores y denominadores diferentes, representan una misma cantidad. Puedes corroborar esto si divides el numerador entre el denominador.
Simplificación de fracciones
Para obtener fracciones equivalentes por simplificación debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero. Pero en este caso, el número debe ser un divisor común entre el numerador y el denominador. Es decir, tanto el numerador como el denominador se deben poder dividir por el número.
Si al numerador y al denominador de la fracción los dividimos por 3, obtenemos , que es una fracción equivalente.
Los divisores comunes entre 30 y 15 son: 3, 5, 15. Entonces, también podemos simplificar la fracción si dividimos el numerador y denominador por 5, cuyo resultado es .
Y si dividimos por 15, obtenemos , otra fracción equivalente.
Como todas representan la misma cantidad, podemos escribirlas de este modo:
¿Sabías qué?
Cuando una fracción no puede simplificarse se dice que es una fracción irreducible.
Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero; y para obtener fracciones equivalentes por simplificación debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero que sea divisor común entre ambos.
APLICACIÓN DE LAS FRACCIONES EQUIVALENTES EN OPERACIONES DE FRACCIONES
Podemos usar las fracciones equivalentes para sumar y restar fracciones heterogéneas (aquellas que tienen distinto denominador). Para estos solo tenemos que convertirlas en fracciones homogéneas, es decir, en fracciones con igual denominador. Luego sumamos o restamos los numeradores y conservamos el denominador.
– Ejemplo:
Los denominadores son 4 y 2. Pero si en la segunda fracción multiplicamos numerador y denominador por 2, obtenemos , que es una fracción equivalente.
Entonces, la suma queda así:
También podemos representar esta fracción final de una manera más simple si encontramos un divisor común. Como 18 y 4 son divisible por 2, su fracción equivalente es .
Por lo tanto:
– Otro ejemplo:
Los denominadores son 5 y 2, así que debemos encontrar el mínimo común múltiplo entre ambos, que es 10. Para llegar de 5 a 10, debemos multiplicar a 5 por 2. Entonces, amplificamos la fracción por 2:
Y para llegar de 2 a 10, debemos multiplicar a 2 por 5. Amplificamos esta fracción por 5:
La resta queda así:
Las fracciones equivalentes se pueden utilizar para sumar y restar fracciones heterogéneas (que tienen distinto denominador). Para poder sumarlas o restarlas, debemos convertirlas en fracciones homogéneas, es decir, que tengan el mismo denominador. Y para convertirlas en fracciones homogéneas, utilizamos fracciones equivalentes de las originales.
¡A practicar!
1. Indica si estas equivalencias son verdaderas o falsas.
Solución
Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 8 × 44 ≠ 11 × 33.
Solución
Verdadero. Estas fracciones sí son equivalentes porque 1 × 15 = 5 × 3.
Solución
Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 4 × 24 ≠ 12 × 20.
Solución
Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 9 × 30 ≠ 10 × 36.
Solución
Verdadero. Estas fracciones sí son equivalentes porque 7 × 16 = 8 × 14.
Solución
Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 9 × 24 ≠ 6 × 36.
2. Realiza los siguientes cálculos. Utiliza sus fracciones equivalentes:
Solución
Solución
Solución
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Fracciones equivalentes”
En este artículo podrás ahondar en los conceptos de amplificación y simplificación de fracciones, hasta llegar al concepto de fracción irreducible.
En este micrositio, las tarjetas te ayudarán a profundizar en el procedimiento que debe realizarse en las operaciones matemáticas de adición, resta, multiplicación y división de fracciones homogéneas y heterogéneas.
Este es un reloj analógico e indica que son “las 6 y 15 minutos”.
Este es un reloj digital e indica que son “las 10 y 20 minutos de la mañana”.
Donde:
