CAPÍTULO 7 / TEMA 5

FUNCIÓN LINEAL

Cuando dos magnitudes se relacionan de manera directamente proporcional pueden representarse como una función de expresión algebraica y = mx + b. Estas funciones pueden identificarse rápidamente por medio de su gráfica, pues en el plano cartesiano siempre estarán representadas con una línea recta ascendente o descendente.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Si conocemos la función matemática que relaciona a dos variables, podemos construir su gráfica, o al menos una aproximación de ella. Para esta tarea solo calculamos, a partir de la función, una serie de puntos que cumplan con la solución. Debemos tener en cuenta que cuantos más puntos utilicemos para graficar una función, mayor precisión obtendremos.

Algunas funciones matemáticas tienen gráficas características en el plano cartesiano, por ejemplo:

Funciones lineales

f(x) = mx + b

Funciones potenciales

f(x) = x²

Funciones exponenciales

f(x) = 2^x

Funciones irracionales

f(x) = √x

Funciones racionales

f(x) = 1/x

Funciones trigonométricas

f(x) = sen x

Las funciones lineales se denominan de esta manera ya que su gráfica característica en el plano cartesiano se representa como una recta. Para trazar de forma correcta esta línea, basta con que conozcamos dos puntos en el plano. Por lo general se determinan si calculamos los cortes con los ejes o por medio de la ecuación de la recta.

¿Qué es una función lineal?

Una función lineal es una función cuya gráfica es igual a una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. Su expresión algebraica es la siguiente:

f(x) = mx

Donde:

m = constante de proporcionalidad o pendiente de la recta

¿Sabías qué?

Las funciones lineales también son llamadas “funciones de proporcionalidad directa”.

– Ejemplo:

Un tren tiene una velocidad media de 160 km/h. La relación entre la distancia y el tiempo se puede observa en la siguiente tabla:

Tiempo (h) = x	0	1	2	3	4
Distancia (km) = y	0	160	320	480	640

Por medio de esta tabla vemos que las dos magnitudes (tiempo y distancia) son directamente proporcionales porque a medida que una aumenta, la otra también lo hace. Si realizamos una gráfica entre estas dos magnitudes nos resulta una línea recta como esta:

Nota que la recta pasa por el origen (0, 0) y va en aumento, por lo tanto, la recta es continua y creciente. La constante de proporcionalidad es 160, así que la expresión algebraica de esta función es:

f(x) = 160x

Función afín

Una función afín es un tipo de función lineal que no pasa por el origen de coordenadas. Su expresión algebraica es:

f(x) = mx + b

Donde:

m = pendiente de la recta

b = ordenada en el origen: la recta corta al eje de ordenada en el punto (0, n)

– Ejemplo:

Se ha determinado el pago de agua en una casa. Cada recibo indica que por cada metro cúbico de agua consumida se pagan $ 5, mientras que por la distribución y depuración se pagan $ 10. Con estos datos elaboramos la siguiente tabla:

Agua consumida (m³) = x	0	1	2	3	4
Pago ($) = y	10	15	20	25	30

La expresión algebraica de esta función es f(x) = 5x + 10, cuya gráfica se muestra a continuación:

Observa que la línea recta no pasa por el origen, sino que corta en el punto (0, 10).

La función de costo lineal se usa frecuentemente en las operaciones de las pequeñas empresas. El costo es el total de dinero necesario para producir q unidades de un producto. La función se representa con la expresión C(q) que incluye tanto a los costos fijos (independientes) como a los costos variables (dependientes).

ecuación de la recta

La ecuación de la recta es una expresión algebraica que describe una línea recta y relaciona la variación de y con respecto a x, la cual se puede graficar en el plano cartesiano según los componentes en cada uno de los ejes. De manera general la ecuación de una recta se representa así:

y = mx + b

Donde:

y = eje de las ordenadas

x = eje de las abscisas

m = pendiente de la recta

b = punto de intersección de la recta con el eje y

Para determinar la pendiente de la recta usamos la fórmula:

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

– Ejemplo:

Hallemos la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (−1, 1) y B (1, 7).

Primero identificamos los valores de los ejes. Como ya sabemos, los pares ordenados siempre tienen primero la coordenada del eje x y luego de la coma va la coordenada del eje y; entonces:

En el punto A (−1, 1), x₁ = −1 y y₁ = 1

En el punto B (1, 7), x₂ = 1 y y₂ = 7

Ahora solo sustituimos en la fórmula general:

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{7-1}{1-(-1)}=\frac{6}{2}=\boldsymbol{3}$

Sabemos que la ecuación de esta recta es y = mx + b porque no pasa por el origen, es decir, representa una función afín. También sabemos que la pendiente (m) es 3, por lo tanto, y = 3x + b; así que faltaría hallar el valor de b.

Para calcula b podemos tomar cualquiera de los puntos A o B. Planteamos la ecuación y luego despejamos.

$A(-1, \: 1): y=3x+b\rightarrow 1=3(-1)+b\rightarrow \boldsymbol{b=4}$

$B(1,\: 7):y=3x+b\rightarrow 7=3(1)+b\rightarrow \boldsymbol{b=4}$

De este modo sabemos que la recta que pasa por los puntos A y B tiene por ecuación:

y = 3x + 4

Pendiente de la recta y = mx

Para un función lineal f(x) = mx, el coeficiente m se llama pendiente y representa el aumento o disminución de la variable dependiente en relación a la variable independiente.

– Ejemplo:

En la función f(x) = −3x, la pendiente es −3.
En la función f(x) = 5x, la pendiente es 5.

En una gráfica, la pendiente de una recta representa la inclinación de la misma respecto del eje x. La podemos hallar al dividir el valor de la variable dependiente entre el valor de la variable independiente.

$m =\frac{y}{x}$

– Ejemplo:

Esta gráfica muestra tres líneas rectas que pasan por el origen, así que cada una representa a un función lineal de forma f(x) = mx.

Para saber la pendiente de la recta solo debemos fijarnos en cualquiera de sus puntos y hallar su cociente.

Recta a	Recta b	Recta c
$m=\frac{6}{-6}=\boldsymbol{-1}$	$m=\frac{-2}{-2}=\boldsymbol{1}$	$m=\frac{4}{6}=\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
$f(x)=-x$	$f(x)=x$	$f(x)=\frac{2}{3}x$

Valor de la pendiente

Si m es positiva, significa que la recta es creciente de izquierda a derecha.
Si m es negativa, significa que la recta es decreciente de izquierda a derecha.
Si m es cero, significa que la recta no posee inclinación respecto al eje horizontal, es decir, se trataría de una recta paralela al eje horizontal.

Una función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, el mayor exponente de x es 1. Para expresar cualquier tipo de recta, pase o no por el origen, se utiliza la ecuación explícita de la recta: *y = mx + b*. Donde y es la variable dependiente, x es la variable independiente, m es la pendiente y b es la ordenada al origen.

¿cómo Graficar una función lineal?

Dada la ecuación de la recta y = 2x + 3. La pendiente es 2 y el punto de intersección de la recta con el eje y es igual a 3. Para determinar el valor de y es necesario darle valores a x y efectuar la operación correspondiente, de la siguiente manera:

Si x = 1 y = 2(1) + 3 y = 2 + 3 y = 5	Si x = 2 y = 2(2) + 3 y = 4 + 3 y = 7	Si x = 3 y = 2(3) + 3 y = 6 + 3 y = 9
Si x = −1 y = 2(−1) + 3 y = −2 + 3 y = 1	Si x = −2 y = 2(−2) + 3 y = −4 + 3 y = −1	Si x = −3 y = 2(−3) + 3 y = −6 + 3 y = −3

Para obtener una recta bien definida es recomendable utilizar al menos tres puntos. Será de gran ayuda realizar una tabla de valores en la que observes las coordenadas de cada punto como esta:

x	y	Punto
−3	−3	(−3, −3)
−2	−1	(−2, −1)
−1	1	(−1, 1)
1	5	(1, 5)
2	7	(2, 7)
3	9	(3, 9)

Si usamos esta tabla como guía es más sencillo realizar la gráfica de la función.

Nota que la recta se corta en el punto (0, 3), pues b = 3.

¡A practicar!

1. Dadas las siguientes funciones, determina:

a. Pendiente (m)

b. Ordenada al origen (b)

f(x) = 2x − 6

Solución

b = −6

m = 2

f(x) = −x + 4

Solución

b = 4

m = −1

f(x) = 13/5x − 2

Solución

b = −2

m = 13/5

2. Construye una tabla con los siguientes valores de x para cada función.

x = −2, −1, 0, 1, 2, 3

f(x) = −x + 2

Solución

x	y
−2	4
−1	3
0	2
1	1
2	0
3	−1

f(x) = 5x − 3

Solución

x	y
−2	−13
−1	−8
0	−3
1	2
2	7
3	12

f(x) = 3x

Solución

x	y
−2	−6
−1	−3
0	0
1	3
2	6
3	9

f(x) = −2x + 1

Solución

x	y
−2	5
−1	3
0	1
1	−1
2	−3
3	−5

3. Realiza la gráfica de las siguientes funciones:

f(x) = −x + 2

f(x) = −2x + 1

Solución

f(x) = −x + 2

f(x) = −2x + 1

4. Dada la siguiente gráfica, determina:

a. Pendiente de la recta.

b. Ecuación de la recta.

Solución

a. m = −1

b. y = −x + 9

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Función Lineal”

En este artículo podrás encontrar ejercicios relacionados con la construcción de gráficas de funciones lineales a partir de su ecuación explícita, además de problemas de enunciados.

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Artículo “Aplicaciones de la función lineal”

Este artículo explica los conceptos de proporción, así como detalla el análisis y las aplicaciones de las funciones lineales.

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Artículo “Función lineal”

Este contenido ofrece una breve descripción de las características de una función lineal a partir de la ecuación explícita de la recta.

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CAPÍTULO 7 / TEMA 4

FUNCIONES

Una función es una relación entre variables en la que cada valor de una variable corresponde a un único valor de la otra. Por ejemplo, el peso en kilogramos de manzanas y el precio del kilogramo de ese producto son magnitudes relacionadas que representan una función, pues a cada número de kilogramos le corresponde un precio específico. La forma en las que las variables se relacionan determina el tipo de función.

¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN?

Es una expresión que indica una relación de correspondencia entre dos conjuntos. Siempre se debe cumplir que todo elemento del conjunto de partida tenga una única relación con algún elemento del conjunto de llegada.

Conjunto: es el grupo de elementos que no se repiten.
Dominio: es el conjunto de partida. Lo denotamos como Dom f.
Rango: son los elementos del codominio que se obtienen al aplicar la función. Se abrevia Rg f.
Codominio: es el conjunto de llegada. Se denota como Codom f.

Si denotamos al conjunto de partida con la letra A, al de llegada con la letra B y a la función que los relaciona con f, entonces, el diagrama sagital para indicar la relación entre A y B, sería:

Esta función se puede expresar como:

f: A → B = {(a, 3), (b, 2), (c, 6), (d, 1), (e, 4)}

Donde el dominio y el rango son:

Dom f = {a, b, c, d, e}

Rg f = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Si alguno de los elementos del conjunto de partida no tiene imagen en el conjunto de llegada, o bien, si posee más de una imagen en el conjunto de llegada, serían relaciones, pero no son funciones. Por ejemplo:

Esta relación no corresponde a la definición de función, ya que hay un elemento del conjunto de partida (a) que no tiene ninguna imagen en el conjunto de llegada.

Esta relación tampoco es una función, ya que un elemento del conjunto de partida (d) que tienen dos imágenes diferentes en el conjunto de llegada (1 y 5).

El estudio y uso de las funciones data del siglo XVII, cuando los matemáticos René Descartes y luego Leibniz y Newton las definieron como una manera de establecer relaciones entre dos variables. Posteriormente, el término “funciones” ha sido extendido a otras áreas de las ciencias e incluso en aplicaciones que contienen más de dos variables.

¿Cómo representar una función?

Existen diversas maneras de representar funciones matemáticas, entre ellas, las más comunes son las siguientes:

Diagrama sagital	Forma algebraica	Gráfico de la función
Es un gráfico compuesto por formas cerradas que representan los conjuntos que se relacionan a través de flechas.	Es la expresión algebraica de la función.	Es la relación gráfica de ambas variables. Cada eje representa un conjunto y la unión de los puntos muestra el comportamiento de la función.
	$f(x)=5x+8$

TIPOS DE FUNCIONES

Función inyectiva

Es una función en la cual a cada elemento del rango le corresponde una única imagen en el dominio o conjunto de partida.

– Ejemplo:

f(x) = 3x − 2

Evaluada en los números enteros $\mathbb{Z}$ , para:

x = −2, −1, 0, 1, 2

Al sustituir en f(x) = 3x − 2, tenemos:

f(−2) = 3(−2) − 2 = −8

f(−1) = 3(−1) − 2 = −5

f(0) = 3(0) − 2 = −2

f(1) = 3(1) − 2 = 1

f(2) = 3(2) − 2 = 4

Así que podemos expresar:

Dom f = {−2, −1, 0, 1, 2}

Rg f = {−8, −5, −2, 1, 4}

Función sobreyectiva

Una función es sobreyectiva cuando cada elemento del rango es imagen de al menos un elemento del dominio.

– Por ejemplo:

f(x) = 2x

Evaluada en los números enteros $\mathbb{Z}$ , para:

x = −2, −1, 0, 1, 2

Sustituyendo en f(x) = 2x, tenemos:

f(-2) = 2(−2) = −4

f(−1) = 2(−1) = −2

f(0) = 2(0) = 0

f(1) = 2(1) = 2

f(2) = 2(2) = 4

Podemos expresar:

Dom f = {−2, −1, 0, 1, 2}

Rg f = {−4, −2, 0, 2, 4}

El diagrama sagital para el dominio y rango de la función sería:

Función biyectiva

Una función es biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

En la imagen observamos que cada botón del elevador está asociado a un único apartamento, de manera que si establecemos una analogía con las funciones biyectivas, el dominio estará formado por cada botón (enumerados del 1 al 8), y el rango está conformado por cada apartamento, desde la conserjería, hasta el apartamento 4º 2ª.

– Ejemplo:

f(x) = x

Evaluada en los números enteros $\mathbb{Z}$ , para:

x = −2, −1, 0, 1, 2

Al sustituir en f(x) = x, tenemos:

f(−2) = −2 = −2

f(−1) = −1 = −1

f(0) = 0 = 0

f(1) = 1 = 1

f(2) = 2 = 2

Podemos expresar:

Dom f = {−2, −1, 0, 1, 2}

Rg f = {−2, −1, 0, 1, 2}

Otra clasificación

Si ahora clasificamos las funciones de acuerdo con los operadores matemáticos que contienen, podemos agrupar las funciones en algunas de las siguientes categorías:

Funciones polinómicas: son funciones compuestas por la suma o resta de términos que tienen la forma ax², conocidos como monomios, por ejemplo:

f(x) = −6x⁴ + 11x³− 7x² − x − 5

Funciones logarítmicas: son funciones que contienen entre sus términos al logaritmo, por ejemplo:

f(x) = log_ax, para a ˃ 1, y 0 ˂ a ˂ 1

¿Sabías qué?

La función logarítmica solo está definida para los números reales positivos ( $\mathbb{R}^{+}$ ), ya que no existe para los números negativos.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Funciones exponenciales: son aquellas que están formadas por una base constante y la variable independiente se encuentra en el exponente, digamos:

f(x) = −12^5x

Funciones trigonométricas: son las que se caracterizan por contener funciones trigonométricas en al menos uno de sus términos, por ejemplo:

f(x) = 9 · cos(−6x²) + sen²(8x) = 17

FUNCIONES EN LA VIDA COTIDIANA

Muchos avances tecnológicos y científicos han involucrado el uso de funciones. Tal es el caso del lanzamiento de cohetes, satélites y naves al espacio. En este tipo de aplicaciones, se requiere del conocimiento y dominio de varios tipos de funciones matemáticas como las logarítmicas y exponenciales, además de estudios avanzados en el área de física.

Son infinitas las utilidades que tienen las funciones tanto en la vida diaria como en ciertas áreas del conocimiento, que van desde las ciencias exactas, hasta la medicina y las ciencias naturales. A continuación, te mencionamos algunos ejemplos:

Para describir el movimiento de un cuerpo. Por ejemplo, si estudiamos el movimiento de un vehículo que se desplaza por una carretera recta, podemos determinar la distancia horizontal a la que se encuentra de un origen en cualquier instante de tiempo. Esto es posible mediante una ecuación polinómica que describe la posición horizontal de una partícula en función del tiempo.
Para determinar el crecimiento demográfico. Algunas poblaciones muestran crecimientos que los científicos has demostrado que obedecen a funciones exponenciales. Mediante dichas funciones es posible estimar la cantidad de habitantes que habrá en una zona en un determinado periodo de tiempo.
Para saber la velocidad de reproducción de colonias de bacterias. Muchas colonias de bacteria se reproducen a una tasa exponencial, por lo que si se determina la función que describe este comportamiento, los científicos pueden calcular la cantidad de colonias de bacterias en un espacio y tiempo específico.

¡A practicar!

1. Indique si la siguiente relación de conjuntos es una función. Justifique su respuesta.

Solución

Sí es una función, ya que cada elemento del conjunto de partida tiene una sola imagen en el conjunto de llegada.

2. Evalúa la función f(x) = 5x − 4 para el conjunto de los números enteros en el dominio Dom f = {−2, −1, 0, 1, 2}, e indica si es una función inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

Solución

Evaluada en los números enteros $\mathbb{Z}$ , para:

x = −2, −1, 0, 1, 2

Al sustituir en f(x) = 5x − 4, tenemos:

f(−2) = 5(−2) − 4 = −14

f(−1) = 5(−1) − 4 = −9

f(0) = 5(0) − 4 = −4

f(1) = 5(1) − 4 = 1

f(2) = 5(2) − 4 = 6

Podemos expresar:

Dom f = {−2, −1, 0, 1, 2}

Rg f = {−14, −9, −4, 1, 6}

Es una función inyectiva, ya que a cada elemento del dominio le corresponde una imagen diferente del rango.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva”

En este artículo encontrarás la descripción general de los tipos de funciones a partir de su definición, características, representación y ejemplos.

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Artículo “Función”

Este documento contiene el concepto de función matemática y su clasificación de acuerdo a la relación entre los conjuntos de partida y de llegada.

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Artículo “Función numérica”

Este artículo ofrece ejemplos de funciones lineales y muestra la representación de funciones en diagramas sagitales.

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