CAPÍTULO 2 / TEMA 7 (REVISIÓN)

OPERACIONES | ¿Qué aprendimos?

operaciones básicas

Todos los días utilizamos operaciones básicas como la adición, la sustracción, la multiplicación y la división. Las adiciones con reagrupación de dos o más números se caracterizan por tener “llevadas” cuando sumamos sus unidades, decenas, centenas, etc. Las sustracciones con reagrupación son restas en las que existen cifras del minuendo que son menores a las del sustraendo. Por esta razón, hay que “pedirle” una unidad al dígito de al lado para así poder resolver el ejercicio. En el caso de la multiplicación, al igual que en la adición y en la sustracción, se observan dos tipos de operaciones: sin reagrupación y con reagrupación. Las multiplicaciones sin reagrupación son aquellas que no contienen llevadas cuando multiplicamos un dígito con otro. En cambio, las multiplicaciones con reagrupación sí poseen llevadas. En el caso de las divisiones, encontramos las exactas cuando el resto es igual a cero y las no exactas cuando el resto es diferente de cero.

Leibniz impuso el uso del punto como símbolo de la multiplicación e introdujo los dos puntos como símbolo de la división.

múltiplos y divisores

El múltiplo de un número es el resultado de multiplicar ese número por otro. Por otra parte, el divisor de un número es aquel que lo divide de manera exacta. Hay números cuyos únicos divisores son ellos mismos y el uno, a estos números se los conoce como números primos. Por otro lado, los números que poseen más de dos divisores se denominan números compuestos y pueden descomponerse en factores primos.

El número 1 no es ni primo ni compuesto porque solo tiene un divisor que es él mismo.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Todo número natural se puede descomponer como una multiplicación de sus factores primos. Este tipo de expresión permite calcular el mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) entre dos o más números. El mínimo común múltiplo (también llamado múltiplo común menor) de dos o más números es el menor múltiplo común de dos o más números distintos de cero. Para calcularlo, hay que descomponer los números en sus factores primos y luego elegir los números que tienen y no tienen en común a mayor potencia. El número que resulta del producto es el menor múltiplo en común. El máximo común divisor (también conocido como divisor común mayor) es el mayor divisor entre dos o más números distintos de cero. Para calcularlo también se descomponen los números en sus factores primos y luego se eligen solo los números que tienen en común a menor potencia. El producto de estos es el mayor divisor en común.

Si calculamos el mcd entre dos números de la secuencia de Fibonacci obtenemos otro número de Fibonacci. Por ejemplo, el mcd de (2, 8) = 2.

problemas con los números enteros

Una de las características de los números enteros es que permiten representar cantidades positivas y negativas, por esta razón se emplea la regla de los signos para saber qué signo tendrá un número al realizar una operación con enteros. En una adición, cuando todos los números son negativos, se suman y el resultado que se obtiene es un número negativo. Si se suman números positivos y negativos, los números de igual signo se suman y al final los dos números obtenidos se restan y se coloca el signo del número mayor. Para sustraer números enteros, hay que tener en cuenta que el símbolo de la resta cambia el signo al número que sigue según la regla. Para multiplicar y dividir números enteros primero se operan los signos mediante la regla de los signos y luego se multiplican o dividen los números según corresponda.

En Oriente se operaba con números positivos y negativos a través de ábacos, tablillas o bolas de colores. A los números negativos se los conocía como “números deudos” o “números absurdos”.

problemas con números decimales

Cuando vamos al supermercado la mayoría de los precios de los productos están marcados con números decimales. Con estos números también se pueden desarrollar las operaciones básicas de la aritmética. Para sumar números decimales tienen que coincidir la parte entera, la coma y la parte decimal de los números de acuerdo a sus valores posicionales. También podemos sumar números decimales con enteros siempre y cuando coincidan sus valores posicionales. Para sustraer también deben coincidir los valores posicionales y se pueden restar dos decimales o un decimal y un número entero. Para multiplicar dos números decimales se multiplican los números como si fuesen números naturales y el producto final será un número decimal que tendrá la cantidad de decimales igual a la suma de todos los decimales de ambos números. Si se multiplica un decimal con un natural el producto final tendrá tantos decimales como tenga el número decimal que se multiplicó inicialmente. Para dividir a estos números, ya sea por otro decimal o por un entero, hay que convertir a los números decimales en enteros. Para esto, se debe multiplicar al dividendo y al divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el número con la parte decimal de más cifras. Luego se realiza la división de manera habitual.

A comienzos del siglo XV, un matemático árabe desarrolló el conjunto de los números decimales y sus usos.

operaciones combinadas

Las operaciones combinadas son aquellas que involucran dos o más operaciones aritméticas agrupadas por diferentes símbolos. Los símbolos de agrupamiento son: los paréntesis (), los corchetes [] y las llaves {}. En una operación con estos símbolos primero se eliminan los paréntesis, luego los corchetes y, por último, las llaves. En los ejercicios combinados se pueden encontrar agrupados números enteros, fracciones, números decimales, potencias y raíces. A la hora de resolverlos, se tiene que tener en cuenta el orden de eliminación de los símbolos de agrupamiento como también el de las operaciones: primero se resuelven las potencias y las raíces, luego las multiplicaciones y las divisiones, y por último, las sumas y las restas.

El símbolo de igual “=” fue creado por el matemático inglés Robert Recorde en 1557 para evitar la expresión textual “es igual a”.

CAPÍTULO 2 / TEMA 3

Mínimo común múltiplo Y Máximo común divisor

Todo número natural se puede descomponer con la multiplicación de sus factores o números primos. La utilidad para descomponerlos de esta manera es que nos permitirá calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos o más números. Y con ellos resolver diversos problemas.

mínimo común múltiplo Y Máximo común divisor

El mínimo común múltiplo (mcm), también conocido como múltiplo común menor de dos o más números naturales, es el menor múltiplo común de ambos números que sea distinto de cero.

El máximo común divisor (mcd), también conocido como divisor común mayor entre dos o más números naturales, es el mayor divisor entre ambos, es decir, el mayor número por el que son divisibles dos o más números.

CÁLCULO DEL Mínimo común múltiplo

Para calcular el mcm entre dos o más números podemos seguir los siguientes pasos:

  1. Descomponer los números en sus factores primos.
  2. Escribir los números como la multiplicación de sus factores primos.
  3. Escribir en en la parte inferior el mcm que será igual al producto de todos los factores comunes y no comunes de los números a la mayor potencia. Es decir, si entre los números a los que se le realizó la descomposición se observa un factor que se repite pero con exponente diferente, se considera el que tiene el mayor exponente.
  4. Resolver el producto del mcm.

Por ejemplo:

-Hallar el mcm entre 40 y 60.

Lo primero es descomponer los dos números en factores primos y expresar dicha descomposición en forma de multiplicación:

Luego se eligen los factores comunes y no comunes. En el caso del 2, está en ambas expresiones con diferente exponente, en este caso se considera el 23 porque es mayor. De esta forma, el mcm de ambos números es:

mcm (40, 60) = 2· 3 · 5

Al resolver el producto obtenido el resultado es:

mcm (40, 60) = 2· 3 · 5 = 2 · 2 · 2 ·3 · 5 = 120

De esta forma, el mínimo común múltiplo entre 40 y 60 es 120.

CÁLCULO DEL Máximo común divisor

Para calcular el mcd entre dos o más números se pueden seguir los siguientes pasos:

  1. Descomponer los números en sus factores primos.
  2. Escribir los números como la multiplicación de sus factores primos.
  3. Escribir en la parte inferior el mcd que será igual al producto de los factores que tienen en común a la menor potencia. Es decir, si se repite un factor se considera el que tiene la menor potencia.
  4. Resolver el producto del mcd.

Por ejemplo:

-Hallar el mcd entre 56 y 48.

Primero se descomponen ambos números en sus factores primos:

Luego se seleccionan únicamente los factores que tienen en común. En este caso, el factor en común entre ambos números es el 2 que se encuentra expresado en diferente potencia: 23 y 24. Para calcular el mcd se toma únicamente la menor potencia, en este caso sería 23. De esta manera, el mcd queda expresado de la siguiente manera:

mcd (56, 48) = 23

Al resolver la potencia se obtiene el resultado:

mcd (56, 48) = 8

De esta manera, el mcd entre 56 y 48 es el número 8.

¿Sabías qué?
Calculamos el máximo común divisor porque si calculamos el mínimo común divisor entre dos números siempre sería 1, porque el 1 es divisor de todos los números.

El mcd de los números de Fibonacci

Los números de la secuencia de Fibonacci son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 89 y siguen hasta el infinito. Esta secuencia consiste en sumar los dos números anteriores para hallar el siguiente número. Por ejemplo, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 2 + 3 = 5, y así sucesivamente hasta el infinito.

Lo curioso de estos números es que si calculamos el máximo común divisor de dos números de Fibonacci obtenemos otro número de la secuencia de Fibonacci. Por ejemplo, el mcd (3, 21) = 3.

VER INFOGRAFÍA

problemas de aplicación

Para resolver problemas de mcm y mcd hay que tener en cuenta los datos del problema y la pregunta que nos hace, en ella estará la clave para saber si el problema se resuelve con mcm y mcd. Veremos unos ejemplos donde se tenga que aplicar alguno de los dos cálculos:

1. En una ciudad, el reloj de la catedral indica la hora a través de campanadas que suenan cada 3 horas, y el reloj de la torre de la plaza lo hace cada 8 horas. ¿Cada cuántas horas ambos relojes sonarán al mismo tiempo?

Los datos del problema indican que el reloj de la catedral suena cada 3 horas y el de la municipalidad cada 8 horas. Al descomponer ambos números se obtiene:

En este caso, se trata de un problema de mínimo común múltiplo, y se debe calcular el mismo entre ambos números para determinar cada cuántas horas sonarán al mismo tiempo los relojes.

mcm (3, 8) = 3 · 23

mcm (3, 8) = 24

De esta manera, se determinó que los relojes suenan al mismo tiempo cada 24 horas.

2. En la tienda de Jorge hay una caja con 12 naranjas y otra con 18 peras. Jorge quiere distribuir las frutas en cajas más pequeñas de forma que todas las cajas tengan la misma cantidad de fruta. Cada caja solo puede tener peras o naranjas y las cajas deben ser lo más grande posible. ¿Cuántas frutas debe haber en cada caja?

Los datos del problema son cajas de 12 naranjas y 18 peras. Al descomponer dichos números en factores primos se obtiene:

En este problema debemos separar o dividir las frutas en diferentes cajas, por lo tanto se resuelve a través del mcd.

mcd (12, 18) = 2 · 3

mcd (12, 18) = 6

De esta manera, se determinó que en cada caja debe haber 6 frutas.

¡A practicar!

  1. Calcula el mínimo común múltiplo entre los siguientes números.

a) 30, 60 y 90 

SOLUCIÓN

mcm (30,60,90) = 23 . 32 . 5 = 180 

b) 15, 30, 20 y 40 

SOLUCIÓN

mcm (15,30,20,40) = 23 . 3 . 5 = 120

2. Calcula el máximo común divisor entre los siguientes números.

a) 18, 26 y 40 

SOLUCIÓN

mcd (18,26,40) = 2

b) 54, 60, 80 y 100 

SOLUCIÓN

mcd (54,60,80,100) = 2

3. Marcos tiene una cuerda de 120 metros y otra de 96 metros. Desea cortarlas de modo que todos los trozos sean iguales pero lo más largos posible. ¿Cuánto medirá cada trozo de cuerda? 

SOLUCIÓN

mcd (120,96) = 23 . 3 = 24

Cada trozo medirá 24 metros.

4. Un jardinero riega el césped de un parque cada 5 días y lo corta cada 8 días. ¿Cada cuántos días coincidirán sus funciones de riego y de corte del césped? 

SOLUCIÓN

mcm (5,8) = 23 . 5 = 40

Las funciones de riego y corte de césped coincidirán cada 40 días.

5. Una tienda compra memorias USB de diferentes colores. Para Navidad hizo un pedido de 84 memorias rojas, 196 azules y 252 verdes. Para guardar la mercancía de forma organizada, exigió que le enviaran las memorias en cajas iguales, sin mezclar los colores y con el mayor número posible de memorias. ¿Cuántas memorias habrá en cada caja? 

SOLUCIÓN

mcd (84,196,252) = 22 . 7 = 4 . 7 = 28

En cada caja habrá 28 memorias.

6. Adrián es un deportista de alto rendimiento que practica después del colegio. Cada 3 días recorre un trayecto en bicicleta por la ciudad, cada 4 días juega fútbol y cada 12 días juega al hockey. ¿Cuántos días pasarán para que realice las tres actividades en el mismo día? 

SOLUCIÓN

mcm (3,4,12) = 22 . 3 = 4 . 3 = 12

Pasarán 12 días para que haga las tres actividades el mismo día.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Factorización de números”

Este recurso permite profundizar el tema de la factorización de números y el cálculo del mcm y el mcd.

VER

Artículo “Mínimo común múltiplo y Máximo común divisor”

Este recurso proporciona situaciones problemáticas en las que se aplica el cálculo del mcm y el mcd.

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CAPÍTULO 2 / TEMA 6

MÍnimo común múltiplo y máximo común divisor

La multiplicación y la división son operaciones básicas relacionadas directamente con dos conceptos: múltiplos y divisores. Ambos términos señalan la cantidad de veces que un número está contenido dentro de otro y la cantidad de veces que un número puede dividir a otro. Gracias a ellos podemos calcular múltiplos y divisores comunes en dos o más números y así poder simplificar operaciones más complejas.

múltiplos y divisores

El múltiplo de un número natural se obtiene al multiplicar ese número por otro número natural, por ejemplo:

  • 4 × 1 = 4
  • 4 × 2 = 8
  • 4 × 3 = 12
  • 4 × 4 = 16
  • 4 × 5 = 20
  • 4 × 6 = 24
  • 4 × 7 = 28
  • 4 × 8 = 32
  • 4 × 9 = 36

Los números marcados en rojo son múltiplos de 4. Estos números resultan de la multiplicación del número 4 por números naturales. Como los números naturales son infinitos, los múltiplos de un número también lo son, así que los múltiplos de 4 y de cualquier número continúan hasta el infinito.

Por otro lado, un divisor es todo número que al dividir a otro resulta en una división exacta, por ejemplo:

  • 12 ÷ 1 = 12
  • 12 ÷ 2 = 6
  • 12 ÷ 3 = 4
  • 12 ÷ 4 = 3
  • 12 ÷ 5 = 2 y resto = 2
  • 12 ÷ 6 = 2
  • 12 ÷ 7 = 1 y resto = 5
  • 12 ÷ 8 = 1 y resto = 4
  • 12 ÷ 9 = 1 y resto = 3

Los números marcados en rojo son divisores de 12 porque su división tiene un cociente entero con resto igual a cero, es decir, son divisiones exactas.

¡Es tu turno!

Escribe los múltiplos y divisores de 25.

Solución

Múltiplos: 25, 50, 75, 100,…

  • 25 × 1 = 25
  • 25 × 2 = 50
  • 25 × 3 = 75
  • 25 × 4 = 100

Divisores: 1, 5, 25

  • 25 ÷ 1 = 25
  • 25 ÷ 5 = 5
  • 25 ÷ 25 = 1
Los múltiplos y los divisores no son conceptos aislados, de hecho, están muy relacionados entre sí. Si un número a es múltiplo de otro número b, este último es divisor del primero. Por ejemplo, el número 6 es múltiplo de 2 porque 2 × 3 = 6, pero al mismo tiempo, 2 es divisor de 6, porque 6 ÷ 2 = 3. ¿Puedes buscar esta relación en otros números? ¡Inténtalo!

Mínimo común múltiplo

Entre dos o más números, el mínimo común múltiplo o mcm es el menor múltiplo que tienen dichos números en común. Por ejemplo, observa los múltiplos de 4 y 5:

Múltiplos de 4 → 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 28, 32, 36, 40, …

Múltiplos de 5 → 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, …

Tanto el número 4 como el número 5 tienen al 20 y el 40 como múltiplos. Como 20 es el menor de ellos, decimos que el mínimo común múltiplo entre 4 y 5 es 20 y lo representamos de la siguiente forma:

mcm (4, 5) = 20

 

– Otro ejemplo:

¿Cuál es el mcm entre 12 y 18?

Múltiplos de 12 → 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, …

Múltiplos de 18 → 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, …

Así que:

mcm (12, 18) = 36

¿Sabías qué?
Al mínimo común múltiplo también se lo conoce como múltiplo común menor.
El mcm se utiliza en operaciones con fracciones, especialmente en la simplificación de resultados. Por ejemplo, al sumar y restar fracciones es más sencillo calcular el mcm de los denominadores, el cual será el denominador final. Luego calcula las fracciones equivalentes de cada elemento del problema para hacer un cálculo con fracciones homogéneas.

Mcm por descomposición

Hay una forma en la que no es necesario calcular varios múltiplos, consiste en descomponer cada número en sus factores primos, para luego multiplicar a los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplo:

– Calcula el mcm entre 15 y 36.

1. Descomponemos cada números en sus factores primos:

2. Identificamos el factor común en los dos números y seleccionamos el de mayor exponente. En este caso el factor común de mayor exponente es el 32.

3. Luego multiplicamos por el factor no común. En este caso los factores no comunes son el 22 y el 5. Así que el mínimo común múltiplo entre 15 y 36 se escribe así:

mcm (15, 36) = 32 × 22 × 5 = 180

Los mínimos divisores y los números primos

Los mínimos divisores que calculamos reciben el nombre de “números primos”. Estos números se caracterizan por ser divisibles entre sí mismos y entre 1. Por ejemplo, el 5 solo se divide entre 5 y entre 1. Lo mismo ocurre con el 2, con el 3, con el 7… De hecho los números primos son infinitos y hay ocasiones en las que los matemáticos anuncian el descubrimiento de nuevos números primos.

Máximo común divisor

Entre dos o más números, el máximo común divisor o mcd es el divisor común mayor entre todos los divisores. Por ejemplo, observa los divisores de 32 y 40:

Divisores de 32 → 1, 2, 4, 8, 16, 32

Divisores de 40 → 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

Los números 32 y 40 tienen varios divisores en común: 1, 2, 4 y 8. Como el 8 es el mayor de todos, decimos que el máximo común divisor entre 32 y 40 es 8. Lo escribimos de la siguiente manera:

mcd (32, 40) = 8

– Otro ejemplo:

¿Cuál es el mcd entre 35 y 49?

Divisores de 35 → 1, 5, 7, 35

Divisores de 49 → 1, 7, 49

Así que:

mcd (35, 49) = 7

¿Sabías qué?
El máximo común divisor también es conocido como “divisor común mayor”.

Mcd por descomposición

Otra forma para calcular el mcd es por medio de la factorización o descomposición en factores primos. Luego de esto, multiplicamos solo los factores comunes con su menor exponente. Por ejemplo:

– Calcular el mcd entre 30 y 20.

1. Factorizamos cada número.

2. Multiplicamos los factores comunes con su menor exponente. Los factores no comunes no se consideran para este cálculo. Entonces, el mcd entre 30 y 20 se escribe así:

mcd (30, 20) = 2 × 5 = 10

El mcd en la historia

El estudio del mcd se remonta a la antigua Grecia con Euclides, quien fue un líder de un grupo de matemáticos que vivió en los siglos IV y III a. C. En su obra Elementos, él describió un método para calcular el máximo común divisor de un número por medio del algoritmo de Euclides.

¡A practicar!

1. ¿Cuáles son los divisores de los siguientes números?

  • 56
Solución
1, 2, 4, 8, 7, 14, 28 y 56.
  • 28
Solución
1, 2, 4, 7, 14 y 28.
  • 74
Solución
1, 2, 37 y 74.

 

2. ¿Cuáles son los primeros seis múltiplos de estos números?

  • 34
Solución
34, 68, 102, 136 y 170.
  • 23
Solución
23, 46, 69, 92, 115 y 138.
  • 50
Solución
50, 100, 150, 200, 250 y 300.

 

3. ¿Cuál es el mcm de los siguientes números?

  • 60 y 38.
Solución
mcm (60, 38) = 420
  • 10 y 25.
Solución
mcm (10, 25) = 50
  • 8 y 12.
Solución
mcm (8, 12) = 24

 

4. ¿Cuál es el mcd de los siguientes números?

  • 50 y 80.
Solución
mcd (50, 80) = 10
  • 16 y 72.
Solución
mcd (16, 72) = 8
  • 60 y 75
Solución
mcd (60, 75) = 15

 

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Mínimo común múltiplo y máximo común divisor”

Con este recurso podrás poner en práctica los aprendido en este artículo, ya que cuenta con problemas que puedes resolver por medio de mcm y mcd.

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Artículo “Mínimo común múltiplo (mcm)”

En esta animación podrás trabajar con tus alumnos una aplicación directa del mcm.

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Tabla comparativa “Múltiplos y divisores”

Con este recurso podrás profundizar la información sobre las propiedades de los múltiplos y los divisores.

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