Etiqueta: problemas

CAPÍTULO 3 / TEMA 5

fracciones y porcentajes

¿Sabías qué el 70 % de la superficie de nuestro planeta está cubierto por agua? ¡Sí! Pero ¿qué significa 70 %? Los porcentajes son expresiones que, al igual que las fracciones, representan una parte de un todo. También los vemos a menudo en las rebajas en las tiendas del centro comercial o en los impuestos de los productos que compramos. 

relación de las fracciones y el porcentaje

El porcentaje es una parte de un todo igual a 100, es decir, es una razón con denominador 100. Su símbolo es “%” y se puede expresar como una fracción o como un decimal. Por ejemplo, 70 % es igual a escribir 70/100 que a su vez es igual a 0,7.

Puedes ver la relación entre el porcentaje, las fracciones y los número decimales en esta tabla:

Porcentaje Fracción Decimal
Cantidad en relación a 100 Porcentaje/100 0,…

– Ejemplo:

Porcentaje Fracción Decimal
70\: % \frac{70}{100} 0,7
45\: % \frac{45}{100} 0,45

La relación no siempre es lineal, también podemos partir de una fracción y convertirla en porcentaje. Para esto, solo dividimos el numerador entre el denominador, y luego multiplicamos el cociente obtenido por 100.

Fracción Decimal Porcentaje
\frac{1}{2} 1\div 2=0,5 0,5\times 100=50\: %
\frac{5}{6} 5\div 6=0,833 0,833\times 100=83,3\: %

¿Sabías qué?
En los porcentajes se lee “por ciento”. Por ejemplo, el “15 % de los alumnos juegan al fútbol” se lee “el quince por ciento de los alumnos juegan al fútbol”.
Los porcentajes ya eran usados en la Antigüedad y hay registros sobre su aplicación en el Imperio romano. Aunque el símbolo original no era el que conocemos en la actualidad, este hacía alusión a los ceros del 100. De hecho, el símbolo “%” es una representación estética de los ceros de las centenas, pues un porcentaje se lee “por ciento”.

¡Es tu turno!

Convierte estas fracciones a porcentajes:

  • \frac{1}{4}
Solución

\frac{1}{4}=1\div 4=0,25

0,25\times 100=\boldsymbol{25\: %}

  • \frac{2}{25}
Solución

\frac{2}{25}=2\div 25=0,08

0,08\times 100=\boldsymbol{8\: %}

Cálculo de porcentajes

Para calcular el porcentaje de una cantidad, por ejemplo, el 15 % de 80, podemos optar por tres métodos diferentes:

1. Convierte el porcentaje a fracción. Luego multiplica.

15\: % = \frac{15}{100}

\frac{15}{100}\times 80 = \boldsymbol{12}

2. Convierte el porcentaje a decimal. Luego multiplica.

15\: %=\frac{15}{100}=0,15

0,15\times 80=\boldsymbol{12}

3. Usa la regla de tres.

100\: %\rightarrow 80

\: \: 15\: %\rightarrow x

 x=\frac{15\: %\times 80}{100\: %}=\boldsymbol{12}

Nota que con cualquiera de los tres métodos el resultado será el mismo: 12.

¿Qué es el IVA?

El IVA o impuesto al valor agregado es un impuesto directo que pagan los consumidores al Estado por utilizar algún bien o servicio. Cada país tiene un porcentaje de IVA diferente, por ejemplo, en Argentina es de 21 %, en Colombia es de 19 %, en Costa Rica es de 13 % y en Venezuela es de 16 %.

¡Resolvamos algunos problemas!

1. En un curso hay 30 chicos y el 10 % de ellos juega al rugby, el 30 % juega al fútbol y el resto no hace ningún deporte. Responde:

a) ¿Cuántos de ellos juegan al rugby?

b) ¿Cuántos juegan al fútbol?

c) ¿Cuántos no hacen ningún deporte?

  • Datos

Cantidad de chicos: 30

Chicos que juegan al rugby: 10 %

Chicos que juegan al fútbol: 30 %

Chicos que no hacen ningún deporte: ?

  • Reflexión

a. Para saber la cantidad de chicos que juegan al rugby tenemos que multiplicar la cantidad total de chicos (30) por la fracción equivalente al porcentaje, en este caso, 10 % = 10/100.

b. La cantidad de jugadores de fútbol la sabremos si multiplicamos la cantidad total de chicos por la fracción equivalente al porcentaje, en este caso, 30 % = 30/100.

c. Cuando sepamos la cantidad de chicos que juegan al rugby y al fútbol, solo tendremos que restarle esa cantidad al total, es decir, los chicos que no hacen deporte = 30 − (a + b)

  • Cálculo

a. 30\times \frac{10}{100}=\boldsymbol{3}

b. 30\times \frac{30}{100}= \boldsymbol{9}

c. 30-(3+9)=30-12=\boldsymbol{18}

  • Respuestas

a. 3 chicos juegan al rugby.

b. 9 chicos juegan al fútbol.

c. 18 chicos no hacen deporte.

2. A José le hicieron un descuento del 5 % en su compra. Si gastó en ese lugar $ 3.200, ¿qué monto debe pagar?

  • Datos

Cuenta total: $ 3.200

Descuento: 5 %

  • Reflexión

a. Lo primero que tenemos que hacer es calcular el 5 % de 3.200. Para esto solo multiplicamos la cantidad de dinero por la fracción equivalente al porcentaje, que sería 5 % = 5/100.

b. Como se trata de un descuento, tenemos que “quitar” la cantidad que represente ese porcentaje al monto total, por lo tanto, tenemos que restarlo.

  • Cálculo

a. 3.200\times \frac{5}{100}=\boldsymbol{160}

b. 3.200-160=\boldsymbol{3.040}

  • Respuesta

José debe pagar $ 3.040.

3. Un equipo de baloncesto participó en 50 partidos este año y ganó el 30 % de ellos. ¿Cuántos partidos ganó este año?

  • Datos

Partidos jugados: 50

Partidos ganados: 30 %

  • Reflexión

Al tratarse del porcentaje de una cantidad total, basta con multiplicar la cantidad de partidos (50) por la fracción equivalente al porcentaje, es decir, 30 % = 30/100.

  • Cálculo

50\times \frac{30}{100}=\boldsymbol{15}

  • Respuesta

El equipo de baloncesto ganó 15 partidos de 50 jugados este año.

importancia del porcentaje

En la vida cotidiana, el porcentaje tiene distintos usos. Por ejemplo, a la hora de calcular la tasa de interés, al solicitar un crédito, al realizar una encuesta, en los descuentos y recargos en el pago de una cuenta, o cuando esperamos que una aplicación móvil se cargue y vemos una barra que muestra el porcentaje de descarga.

Los porcentajes son útiles cuando comparamos grandes partes de un todo. Por ejemplo, si de un instituto de 800 estudiantes, 360 estudiantes van a la feria de ciencias, y de otro van 360 de 600 estudiantes, es más práctico y claro decir que el 45 % de los estudiantes del primer instituto va a la feria de ciencias y que el 60 % del segundo va a la feria de ciencias.

Los gráficos circulares, también conocidos como gráficos de torta o pastel, se usan para comparar porcentajes con respecto a un total de datos. Para hallar los porcentajes parciales se dividen los 360° del círculo de acuerdo a los valores dados. Para dibujarlas en papel necesitarás un compás y un transportador para saber los grados a marcar por cada porcentaje.

¡A practicar!

1. Calcular los siguientes porcentajes:

  • 12 % de 1.700
Solución
204
  • 3 % de 4.400
Solución
132
  • 15 % de 2.500
Solución
375
  • 50 % de 45.000
Solución
22.500
  • 78 % de 50.000
Solución
39.000

2. Resuelve:

a. Marta tiene 120 figuritas repetidas y le regaló el 20 % a su amiga. ¿Cuántas figuritas le quedan a Marta?

Solución

120\times \frac{20}{100}=\boldsymbol{24}

120-24=\boldsymbol{96}

A Marta le quedan 96 figuritas.

b. Gabriela viajó dos quintas partes de lo que debía viajar. ¿Qué porcentaje del viaje realizó?

Solución

\frac{2}{5}=2\div 5=0,4

0,4\times 100 = \boldsymbol{40 \: %}

Gabriela realizó el 40 % del viaje.

c. Se realizó una encuesta a 200 personas sobre los géneros de películas que más les gustan y representaron los resultados en este gráfico circular como porcentajes. Indica a cuántas personas les gusta cada género.

Solución

Comedia: 110 personas

Suspenso: 40 personas

Familiares: 24 personas

Terror: 10 personas

Drama: 16 personas

3. Escribe las siguientes fracciones como porcentajes:

  • \frac{3}{5}
Solución
60 %
  • \frac{12}{20}
Solución
60 %
  • \frac{7}{8}
Solución
87,5 %
RECURSOS PARA DOCENTES

Tarjeta Educativa “Porcentaje”

En esta tarjeta encontrará reglas prácticas para el cálculo de porcentajes, sus características y aplicaciones.

VER

Artículo “Porcentajes”

El artículo habla sobre la presencia de los porcentajes en la vida cotidiana y su uso.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 4

PROPORCIONALIDAD

Si compramos una gaseosa a $ 2, 2 gaseosas costarán $ 4 y 3 gaseosas costarán $ 6. Esto se llama proporcionalidad porque las dos magnitudes, precio y cantidad, tiene una relación directa entre sí. Esta relación sirve para hacer conversiones de unidades de medida. ¡Aprendamos a resolver problemas de proporcionalidad!

¿QUÉ ES LA PROPORCIONALIDAD?

La proporcionalidad es una relación que existe entre las magnitudes que podemos medir, como el tiempo, la longitud, la superficie o el peso.

Las proporciones son mucho más comunes de lo que pensamos. Las utilizamos al calcular la cantidad de ingredientes para hacer una torta, cuando convertimos unidades de medida o cuando vamos al cine con nuestros amigos y deseamos saber cuál es el costo total de las entradas.

Muchas de las cantidades que utilizamos cotidianamente están relacionadas entre sí. Por ejemplo, siempre que vamos a un kiosco, sabemos que mientras más productos compremos, más dinero tendremos que pagar. Eso es porque “la cantidad de productos que compramos” y “la cantidad que debemos pagar” tienen una relación directamente proporcional.

¿Sabías qué?
Existen dos tipos de proporcionalidad: la proporcionalidad directa y la proporcionalidad inversa.

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Cuando dos magnitudes están relacionadas mediante una proporcionalidad directa se comportan de tal manera que:

  • Cuando una cantidad aumenta, la otra también aumenta.
  • Cuando una cantidad disminuye, la otra también disminuye.

Si esto sucede, se dice que las cantidades son “directamente proporcionales”.

– Ejemplo:

Si una camiseta cuesta $ 3, ¿cuánto cuestan 2 camisetas?, ¿y 3 camisetas?

Cantidad de dinero $ 3 $ 6 $ 9
Cantidad de camisetas 1 2 3

Observa que al aumentar la cantidad de camisetas también aumenta la cantidad de dinero, por eso, ambas son directamente proporcionales.

Siempre que dos magnitudes sean directamente proporcionales el cociente entre ellas será constante. A esta relación la podemos escribir y comprobar por medio de una fracción:

\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 1}}=\boldsymbol{3}

\frac{{\color{Blue} 6}}{{\color{Red} 2}}=\boldsymbol{3}

\frac{{\color{Blue} 9}}{{\color{Red} 3}}=\boldsymbol{3}

Los numeradores en azul representan la cantidad de dinero y los denominadores en rojo representan la cantidad de camiseta. Todos los cocientes son iguales, es decir, la proporción es constante.

Razón de proporcionalidad

Si dividimos entre sí las magnitudes que aumentan o disminuyen, obtendremos como resultado un número llamado razón de proporcionalidad, y si dividimos ambas cantidades luego de que aumenten o disminuyan, también obtendremos como resultado al mismo número. Por lo tanto, dos magnitudes son directamente proporcionales si:

magnitud 1 ÷ magnitud 2 = razón de proporcionalidad

¿cómo resolver problemas de PROPORCIONALIDAD DIRECTA?

Un método para resolver problemas de proporcionalidad es la regla de tres. Esta se utiliza para hallar el cuarto término de una proporción cuando ya conoces tres valores.

– Ejemplo 1:

En cada paquete de chicles hay 8 chicles. ¿Cuántos chicles hay en 4 paquetes?

1. Escribimos la primera relación, que es la que tiene los dos valores conocidos:

 

2. Luego escribimos la segunda relación. En esta solo conocemos un valor y al desconocido lo representamos con la letra equis (x).

En conjunto, estas relaciones se leen así: “si un paquete de chicles tiene ocho chicles, ¿cuántos chicles tienen cuatro paquetes de chicles?”.

Observa que colocamos una magnitud debajo de otra magnitud: paquetes de chicles debajo de paquetes de chicles y cantidad de chicles debajo de cantidad de chicles. La “x” es una valor que desconocemos, pero la magnitud buscada es “cantidad de chicles”.

 

3. Multiplicamos en diagonal y luego dividimos por el valor que quede solo.

 

4. Resolvemos las operaciones.

Nota que las magnitudes que son iguales tanto en el numerador como en el denominador se tachan y queda la magnitud deseada: cantidad de chicles.

 

5. Damos respuesta a la interrogante.

En 4 paquetes de chicles hay 32 chicles.

Dos magnitudes directamente proporcionales son la cantidad de kilómetros recorridos en un automóvil y la cantidad de combustible gastado. Cuando una de estas cantidades se modifica, la otra lo hace de igual manera; pues si recorremos 110 kilómetros gastaremos 10 litros de combustible, pero si recorremos 330 kilómetros gastaremos 30 litros.

– Ejemplo 2:

Para pintar 6 edificios son necesarios 80 galones de pintura, ¿cuántos galones de pintura son necesarios para pintar 18 edificios?

  • Relaciones

  • Reflexión

Este problema de proporcionalidad se resuelve al multiplicar en forma diagonal las relaciones antes mostradas, y después al dividir entre 6. No debemos olvidar tachar las magnitudes iguales en el numerador y en el denominador.

  • Operaciones

  • Respuesta

Para pintar 18 edificios se necesitan 240 galones de pintura.

– Ejemplo 3:

Si 10 lápices cuestan $ 5, ¿cuánto costarán 70 lápices?

  • Relaciones

  • Reflexión

Hay que resolver la regla de tres, para esto multiplicamos en forma diagonal: 70 × 5 y luego dividimos este resultado entre 10. Tachamos las unidades repetidas en los numeradores y denominadores.

  • Operaciones

  • Respuesta

70 lápices costarán $ 35.

¿Sabías qué?
En la cocina también utilizamos la proporcionalidad. Si tenemos una receta que indica las cantidades para 1 persona, pero queremos hacer la receta para 5 personas, debemos multiplicar a todas las cantidades por 5.

USOS DE LA PROPORCIONALIDAD DE LA CONVERSIÓN DE MEDIDAS

La proporcionalidad nos puede ser útil a la hora de convertir unidades de medidas. Por ejemplo, cuando conocemos la longitud de un objeto en centímetros y queremos conocerla en metros, o cuando conocemos nuestro peso en kilogramos pero queremos conocerlo en gramos.

La conversión de unidades de medida es usada en múltiples oficios. Los costureros y diseñadores utilizan a menudo la cinta métrica: una cinta flexible con marcas que muestran los metros y los centímetros. Esta es de gran utilidad para medir grandes o pequeñas longitudes de tela. También es usada por arquitectos y médicos.

Equivalencias de interés

Masa

Unidad principal: gramo (g)

 

1 g = 1.000 mg

1 g = 100 cg

1 g = 10 dg

1 g = 0,1 dag

1 g = 0,01 hg

1 g = 0,001 kg

Longitud

Unidad principal: metro (m)

 

1 m = 1.000 mm

1 m = 100 cm

1 m = 10 dm

1 m = 0,1 dam

1 m = 0,01 hm

1 m = 0,001 km

Capacidad

Unidad principal: litro (L)

 

1 L = 1.000 mL

1 L = 100 cL

1 L = 10 dL

1 L = 0,1 daL

1 L = 0,01 hL

1 L = 0,001 kL

– Ejemplo 1:

Convierte 1,90 m a cm.

Ya sabemos que 1 metro = 100 centímetros, por lo tanto, esta es nuestra primera relación para la regla de tres. Luego resolvemos:

1,90 m equivalen a 190 cm.

– Ejemplo 2:

Convierte 5.600 ml a L.

5.600 mL equivalen a 5,6 L.

– Ejemplo 3:

Convierte 8,96 km a m.

9,96 km equivalen a 8.960 m.

¡A practicar!

1. Resuelve estos problemas de proporcionalidad por medio de reglas de tres.

a) Un automóvil recorre 200 km en 4 horas, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 500 km si la velocidad es constante?

Solución
Tardará 10 horas.

b) José compró 25 servilletas por $ 5, ¿cuántas servilletas podrá comprar con $ 30?

Solución
José podrá comprar 150 servilletas.

c) Si 60 segundos son iguales a 1 minuto, ¿cuántos minutos hay en 2.160 segundos?

Solución
Hay 36 minutos.

d) 8 obreros realizaron una obra de 200 m, ¿cuántos metros de obras pueden hacer 10 obreros?

Solución
Pueden hacer 250 metros.

 

2. Realiza las siguientes conversiones de unidades de medida.

a) 0,69 g a mg.

Solución
690 mg.

b) 5.896 mg a g.

Solución
5,896 g.

c) 5 kg a g.

Solución
5.000 g.

d) 0,94 L a mL.

Solución
940 mL.

e) 3.216 mL a L.

Solución
3,216 L.

f) 1,5 g a mg.

Solución
15.000 mg.

g) 7.415 g a kg.

Solución
7,415 kg.

h) 0,05 kg a g.

Solución
5.000 g.
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Regla de 3 simple y compuesta”

Este artículo trata sobre una herramienta que se utiliza para resolver problemas de proporcionalidad: la regla de 3 simple y compuesta.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 3

Mínimo común múltiplo Y Máximo común divisor

Todo número natural se puede descomponer con la multiplicación de sus factores o números primos. La utilidad para descomponerlos de esta manera es que nos permitirá calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos o más números. Y con ellos resolver diversos problemas.

mínimo común múltiplo Y Máximo común divisor

El mínimo común múltiplo (mcm), también conocido como múltiplo común menor de dos o más números naturales, es el menor múltiplo común de ambos números que sea distinto de cero.

El máximo común divisor (mcd), también conocido como divisor común mayor entre dos o más números naturales, es el mayor divisor entre ambos, es decir, el mayor número por el que son divisibles dos o más números.

CÁLCULO DEL Mínimo común múltiplo

Para calcular el mcm entre dos o más números podemos seguir los siguientes pasos:

  1. Descomponer los números en sus factores primos.
  2. Escribir los números como la multiplicación de sus factores primos.
  3. Escribir en en la parte inferior el mcm que será igual al producto de todos los factores comunes y no comunes de los números a la mayor potencia. Es decir, si entre los números a los que se le realizó la descomposición se observa un factor que se repite pero con exponente diferente, se considera el que tiene el mayor exponente.
  4. Resolver el producto del mcm.

Por ejemplo:

-Hallar el mcm entre 40 y 60.

Lo primero es descomponer los dos números en factores primos y expresar dicha descomposición en forma de multiplicación:

Luego se eligen los factores comunes y no comunes. En el caso del 2, está en ambas expresiones con diferente exponente, en este caso se considera el 23 porque es mayor. De esta forma, el mcm de ambos números es:

mcm (40, 60) = 23 · 3 · 5

Al resolver el producto obtenido el resultado es:

mcm (40, 60) = 23 · 3 · 5 = 2 · 2 · 2 ·3 · 5 = 120

De esta forma, el mínimo común múltiplo entre 40 y 60 es 120.

CÁLCULO DEL Máximo común divisor

Para calcular el mcd entre dos o más números se pueden seguir los siguientes pasos:

  1. Descomponer los números en sus factores primos.
  2. Escribir los números como la multiplicación de sus factores primos.
  3. Escribir en la parte inferior el mcd que será igual al producto de los factores que tienen en común a la menor potencia. Es decir, si se repite un factor se considera el que tiene la menor potencia.
  4. Resolver el producto del mcd.

Por ejemplo:

-Hallar el mcd entre 56 y 48.

Primero se descomponen ambos números en sus factores primos:

Luego se seleccionan únicamente los factores que tienen en común. En este caso, el factor en común entre ambos números es el 2 que se encuentra expresado en diferente potencia: 23 y 24. Para calcular el mcd se toma únicamente la menor potencia, en este caso sería 23. De esta manera, el mcd queda expresado de la siguiente manera:

mcd (56, 48) = 23

Al resolver la potencia se obtiene el resultado:

mcd (56, 48) = 8

De esta manera, el mcd entre 56 y 48 es el número 8.

¿Sabías qué?
Calculamos el máximo común divisor porque si calculamos el mínimo común divisor entre dos números siempre sería 1, porque el 1 es divisor de todos los números.

El mcd de los números de Fibonacci

Los números de la secuencia de Fibonacci son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 89 y siguen hasta el infinito. Esta secuencia consiste en sumar los dos números anteriores para hallar el siguiente número. Por ejemplo, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 2 + 3 = 5, y así sucesivamente hasta el infinito.

Lo curioso de estos números es que si calculamos el máximo común divisor de dos números de Fibonacci obtenemos otro número de la secuencia de Fibonacci. Por ejemplo, el mcd (3, 21) = 3.

VER INFOGRAFÍA

problemas de aplicación

Para resolver problemas de mcm y mcd hay que tener en cuenta los datos del problema y la pregunta que nos hace, en ella estará la clave para saber si el problema se resuelve con mcm y mcd. Veremos unos ejemplos donde se tenga que aplicar alguno de los dos cálculos:

1. En una ciudad, el reloj de la catedral indica la hora a través de campanadas que suenan cada 3 horas, y el reloj de la torre de la plaza lo hace cada 8 horas. ¿Cada cuántas horas ambos relojes sonarán al mismo tiempo?

Los datos del problema indican que el reloj de la catedral suena cada 3 horas y el de la municipalidad cada 8 horas. Al descomponer ambos números se obtiene:

En este caso, se trata de un problema de mínimo común múltiplo, y se debe calcular el mismo entre ambos números para determinar cada cuántas horas sonarán al mismo tiempo los relojes.

mcm (3, 8) = 3 · 23

mcm (3, 8) = 24

De esta manera, se determinó que los relojes suenan al mismo tiempo cada 24 horas.

2. En la tienda de Jorge hay una caja con 12 naranjas y otra con 18 peras. Jorge quiere distribuir las frutas en cajas más pequeñas de forma que todas las cajas tengan la misma cantidad de fruta. Cada caja solo puede tener peras o naranjas y las cajas deben ser lo más grande posible. ¿Cuántas frutas debe haber en cada caja?

Los datos del problema son cajas de 12 naranjas y 18 peras. Al descomponer dichos números en factores primos se obtiene:

En este problema debemos separar o dividir las frutas en diferentes cajas, por lo tanto se resuelve a través del mcd.

mcd (12, 18) = 2 · 3

mcd (12, 18) = 6

De esta manera, se determinó que en cada caja debe haber 6 frutas.

¡A practicar!

  1. Calcula el mínimo común múltiplo entre los siguientes números.

a) 30, 60 y 90 

SOLUCIÓN

mcm (30,60,90) = 23 . 32 . 5 = 180 

b) 15, 30, 20 y 40 

SOLUCIÓN

mcm (15,30,20,40) = 23 . 3 . 5 = 120

2. Calcula el máximo común divisor entre los siguientes números.

a) 18, 26 y 40 

SOLUCIÓN

mcd (18,26,40) = 2

b) 54, 60, 80 y 100 

SOLUCIÓN

mcd (54,60,80,100) = 2

3. Marcos tiene una cuerda de 120 metros y otra de 96 metros. Desea cortarlas de modo que todos los trozos sean iguales pero lo más largos posible. ¿Cuánto medirá cada trozo de cuerda? 

SOLUCIÓN

mcd (120,96) = 23 . 3 = 24

Cada trozo medirá 24 metros.

4. Un jardinero riega el césped de un parque cada 5 días y lo corta cada 8 días. ¿Cada cuántos días coincidirán sus funciones de riego y de corte del césped? 

SOLUCIÓN

mcm (5,8) = 23 . 5 = 40

Las funciones de riego y corte de césped coincidirán cada 40 días.

5. Una tienda compra memorias USB de diferentes colores. Para Navidad hizo un pedido de 84 memorias rojas, 196 azules y 252 verdes. Para guardar la mercancía de forma organizada, exigió que le enviaran las memorias en cajas iguales, sin mezclar los colores y con el mayor número posible de memorias. ¿Cuántas memorias habrá en cada caja? 

SOLUCIÓN

mcd (84,196,252) = 22 . 7 = 4 . 7 = 28

En cada caja habrá 28 memorias.

6. Adrián es un deportista de alto rendimiento que practica después del colegio. Cada 3 días recorre un trayecto en bicicleta por la ciudad, cada 4 días juega fútbol y cada 12 días juega al hockey. ¿Cuántos días pasarán para que realice las tres actividades en el mismo día? 

SOLUCIÓN

mcm (3,4,12) = 22 . 3 = 4 . 3 = 12

Pasarán 12 días para que haga las tres actividades el mismo día.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Factorización de números”

Este recurso permite profundizar el tema de la factorización de números y el cálculo del mcm y el mcd.

VER

Artículo “Mínimo común múltiplo y Máximo común divisor”

Este recurso proporciona situaciones problemáticas en las que se aplica el cálculo del mcm y el mcd.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 4

situaciones problemáticas

MUCHAS SITUACIONES DE NUESTRO DÍA A DÍA SE RESUELVEN POR MEDIO DE CÁLCULOS MATEMÁTICOS, PERO PARA LLEGAR A SU RESPUESTA ES NECESARIO QUE REALICEMOS UNA SERIE DE PASOS: ORGANIZAR LOS DATOS, REFLEXIONAR SOBRE EL PROCESO, HACER LAS OPERACIONES Y FINALMENTE HALLAR LA RESPUESTA. MUCHAS OTRAS VECES TENEMOS QUE HACERLO MENTALMENTE. ¡APRENDE CÓMO SE HACEN! 

problemas de suma y resta

1. JUANA TIENE 12 LÁPICES DE COLORES Y CATALINA 6. ¿CUÁNTOS LÁPICES DE COLORES TIENEN ENTRE LAS DOS?

  • DATOS

LÁPICES DE JUANA: 12

LÁPICES DE CATALINA: 6

  • PREGUNTA

¿CUÁNTOS LÁPICES DE COLORES TIENEN ENTRE LAS DOS?

  • REFLEXIONA

HAY QUE SUMAR LAS DOS CANTIDADES DE LÁPICES DE COLORES PARA SABER EL TOTAL. PRIMERO SUMAS LAS UNIDADES Y LUEGO SUMA LAS DECENAS. SI UNO DE LOS SUMANDOS NO TIENE DECENAS SE CONSIDERA COMO UN CERO (0).

  • CALCULA

  • RESPUESTA

ENTRE LAS DOS TIENEN 18 LÁPICES.

2. JUAN TENÍA 54 FIGURITAS PARA JUGAR EN EL RECREO. COMPITIÓ CON CELINA Y PERDIÓ 13 FIGURITAS. ¿CUÁNTAS FIGURITAS LE QUEDAN A JUAN AHORA?

  • DATOS

FIGURITAS DE JUAN: 54

FIGURITAS QUE PERDIÓ: 13

  • PREGUNTA

¿CUÁNTAS FIGURITAS LE QUEDAN A JUAN AHORA?

  • REFLEXIONA

PARA SABER CUÁNTAS FIGURITAS LE QUEDARON A JUAN TENEMOS QUE RESTAR LA CANTIDAD QUE TENÍA AL INICIO CON LA CANTIDAD QUE PERDIÓ. PARA ESTO COLOCAMOS EL MINUENDO (54) SOBRE EL SUSTRAENDO (13). RESTAMOS PRIMERO LAS UNIDADES Y LUEGO LAS DECENAS.

  • CALCULA

  • RESPUESTA

A JUAN LE QUEDAN 41 FIGURITAS.

3. ILEANA LLEVÓ UN PAQUETE DE GALLETAS DE FRUTILLA PARA COMPARTIR. EL PAQUETE TENÍA 15 GALLETAS Y ELLA CONVIDÓ 5. ¿CUÁNTAS GALLETAS LE QUEDAN A ILEANA AHORA?

  • DATOS

GALLETAS DE ILEANA: 15

GALLETAS CONVIDADAS: 5

  • PREGUNTA

¿CUÁNTAS GALLETAS LE QUEDAN A ILEANA AHORA?

  • REFLEXIONA

ESTE PROBLEMA PODEMOS RESOLVERLO POR MEDIO DE UNA RESTA. SI LE “QUITAMOS” LA CANTIDAD DE GALLETAS CONVIDADAS A LA CANTIDAD TOTAL QUE TIENE EL PAQUETE TENDREMOS COMO RESULTADO LAS GALLETAS QUE QUEDARON.

  • CALCULA

  • RESPUESTA

A ILEANA LE QUEDAN AHORA 10 GALLETITAS.

TODO PROBLEMA MATEMÁTICO PUEDE SER RESUELTO POR MEDIO DE UNA OPERACIÓN, LAS MÁS COMUNES SON LAS DE SUMA Y RESTA. PARA RESOLVER PROBLEMAS TIENES QUE SEGUIR UNOS PASOS: ORGANIZAR LOS DATOS, OBSERVAR LA PREGUNTA, PENSAR SOBRE SU RESPUESTA PARA DAR EL RESULTADO A LA PREGUNTA. ESTOS PASOS TE AYUDARÁN A SOLUCIONAR PROBLEMAS DE MANERA RÁPIDA Y SENCILLA.

4. COMO FALTÓ LA MAESTRA DE UN PRIMER GRADO, UNIERON A TODOS LOS NIÑOS EN UN AULA. SI EN 1º A HAY 25 ALUMNOS Y EN 1º B HAY 23, ¿CUÁNTOS ALUMNOS HAY AHORA EN EL AULA?

  • DATOS

ALUMNOS DE 1º A: 25

ALUMNOS DE 1º B: 23

  • PREGUNTA

¿CUÁNTOS ALUMNOS HAY AHORA EN EL AULA?

  • REFLEXIONA

HAY QUE HACER UNA SUMA O ADICIÓN EN LAS QUE LOS SUMANDOS SON LAS CANTIDADES DE ALUMNOS EN CADA GRADO. COLOCA LOS SUMANDOS UNO SOBRE OTRO. SUMA PRIMERO LAS UNIDADES Y LUEGO LAS DECENAS.

  • CALCULA

  • RESPUESTA

AHORA EN EL AULA HAY 48 ALUMNOS.

5. EN 1º A HAY 25 ALUMNOS Y HOY FALTARON 4, ¿CUÁNTOS ALUMNOS DE 1º A ESTÁN EN LA ESCUELA?

  • DATOS

ALUMNOS TOTALES DE 1º A: 25

ALUMNOS DE 1º A QUE FALTARON: 4

  • PREGUNTA

¿CUÁNTOS ALUMNOS DE 1º A ESTÁN EN LA ESCUELA?

  • REFLEXIONA

TENEMOS QUE RESTAR LA CANTIDAD DE ALUMNOS QUE NO FUERON A LA ESCUELA A LA CANTIDAD TOTAL DE ALUMNOS DE 1º A. RECUERDA QUE EL SUSTRAENDO ES EL MENOR DE LOS NÚMEROS Y VA DEBAJO DEL MINUENDO QUE ES 25. RESTA LAS UNIDADES Y LUEGO LAS DECENAS.

  • CALCULA

  • RESPUESTA

EN LA ESCUELA ESTÁN 21 ALUMNOS DE 1º A

6. ANGÉLICA COMPRÓ UN PANTALÓN EN $ 50 Y PAGÓ CON $ 80. ¿CUÁNTO DINERO RECIBIÓ DE VUELTO?

  • DATOS

PRECIO DEL PANTALÓN: $ 50

PAGO DE ANGÉLICA: $ 80

  • PREGUNTA

¿CUÁNTO DINERO RECIBIÓ DE VUELTO?

  • REFLEXIONA

ESTE PROBLEMA LO PODEMOS RESOLVER POR MEDIO DE UNA RESTA, PUES SI SUSTRAEMOS EL PRECIO DEL PANTALÓN COMPRADO A LA CANTIDAD DE DINERO QUE SE PAGÓ, EL RESULTADO SERÁ EL DINERO QUE LE DIERON A ANGÉLICA DE VUELTO.

  • CALCULA

  • RESPUESTA

ANGÉLICA RECIBIÓ $ 30 DE VUELTO.

SI TIENES 1 PALETA Y TE REGALAN 4 PALETAS MÁS, ¿CUÁNTAS PALETAS TIENES? ESTA ES UNA OPERACIÓN QUE RESOLVEMOS CON UNA SUMA O ADICIÓN: 1 + 4 = 5. LA OPERACIÓN INVERSA DE LA SUMA ES LA RESTA, PUES MIENTRAS QUE EN LA SUMA AGRUPAMOS CANTIDADES, EN LA RESTA QUITAMOS UNA CANTIDAD A OTRA. ASÍ, QUE SI DE 4 PALETAS REGALAMOS 2, TENEMOS QUE HACER: 4 − 2 = 2. ¡QUEDAN 2 PALETAS!

LAS CALCULADORAS

LAS CALCULADORAS SON DISPOSITIVOS DISEÑADOS PARA REALIZAR CÁLCULOS MATEMÁTICOS DESDE LOS MÁS SIMPLES COMO UNA SUMA O UNA RESTA, HASTA OTROS MÁS COMPLICADOS COMO LA MULTIPLICACIÓN O LA DIVISIÓN. TAMBIÉN HACEN MUCHA OTRAS OPERACIONES. PUEDES VERLAS EN LOS COMERCIOS PORQUE AYUDAN A RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS DE FORMA EXACTA MUY RÁPIDA, COMO LA CUENTA QUE DEBEMOS PAGAR.

¿SABÍAS QUÉ?
CUANDO PRACTICAS LO SUFICIENTE PUEDES HACER ESTOS CÁLCULOS DE MANERA MENTAL.
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Situaciones problemáticas 1º grado”

Este recurso te brindará una serie de situaciones problemáticas que puedes compartir con tus alumnos.

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Artículo “Situaciones problemáticas 1º grado”

Con este recurso obtendrás las respuestas a las situaciones problemáticas del artículo anterior.

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CAPÍTULO 2 / TEMA 1

CÁLCULOS MATEMÁTICOS

DÍA A DÍA NOS ENCONTRAMOS CON SITUACIONES EN LAS QUE TENEMOS QUE HACER CÁLCULOS, POR EJEMPLO, CUANDO COMPARTIMOS NUESTROS DULCES O CUANDO AGRUPAMOS NUESTROS JUGUETES. COMO VES, SIEMPRE RESOLVEMOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS. PARA ELLO ES ÚTIL SEGUIR ALGUNOS CONSEJOS Y UTILIZAR SÍMBOLOS ESPECIALES.

¿QUÉ ES UN CÁLCULO MATEMÁTICO?

UN CÁLCULO MATEMÁTICO ES UNA OPERACIÓN QUE REALIZAMOS PARA CONOCER EL RESULTADO, VALOR O MEDIDA DE ALGO EXPRESADO EN NÚMEROS. LAS OPERACIONES QUE UTILIZAMOS CON MAYOR FRECUENCIA PARA CALCULAR SON LA SUMA Y LA RESTA.

ES POSIBLE QUE CADA DÍA SOLUCIONES PROBLEMAS MATEMÁTICOS SIN DARTE CUENTA. ESTOS CÁLCULOS SON MUY SENCILLOS CUANDO DOMINAS LOS SÍMBOLOS ADECUADOS. POR EJEMPLO, SI TIENES UNA CAJA CON DOCE ROSQUILLAS Y TE COMES DOS, PUEDES CONTAR UNA POR UNA LAS QUE QUEDARÍA O PUEDES EXPRESARLO COMO UNA CÁLCULO: 12 − 2 = 10. ¡QUEDARÍAN 10 ROSQUILLAS!

¿por qué es importante la matemática?

LA MATEMÁTICA NOS PERMITE ADQUIRIR HABILIDADES MUY ÚTILES PARA NUESTRA VIDA. NOS AYUDA A PENSAR, RAZONAR Y AGILIZAR NUESTRA MENTE. EN LA VIDA COTIDIANA ESTO TE AYUDARÁ A RESOLVER JUEGOS CON AMIGOS, ADMINISTRAR TUS AHORROS, UTILIZAR BIEN TU TIEMPO, UBICARTE EN EL ESPACIO Y NUNCA DEJAR DE APRENDER.

LA MATEMÁTICA Y LA MÚSICA

A SIMPLE VISTA LA MATEMÁTICA Y LA MÚSICA PUEDEN PARECER QUE NO TIENEN RELACIÓN. SIN EMBARGO, LOS MÚSICOS UTILIZAN CONSTANTEMENTE ELEMENTOS MATEMÁTICOS PARA CREAR Y EJECUTAR SUS PRODUCCIONES. LA UTILIZAN PARA INDICAR LA DURACIÓN DE LAS NOTAS, EL RITMO, EL VOLUMEN, LOS TONOS. ¡YA VES! LA MATEMÁTICA ESTÁ PRESENTE AÚN DONDE NO PODEMOS VERLA.

¿SABÍAS QUÉ?
EN TODOS LOS DEPORTES ES NECESARIA LA MATEMÁTICA. YA SEA PARA CONTAR LOS GOLES APUNTADOS, LA CANTIDAD DE JUGADORES O EL TAMAÑO DE LA CANCHA DE JUEGO.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

EN MATEMÁTICA LOS SÍMBOLOS SIRVEN PARA EXPRESAR OPERACIONES O RELACIONES ENTRE LOS NÚMEROS. LA SUMA Y LA RESTA SON LAS OPERACIONES QUE UTILIZAMOS CON MAYOR FRECUENCIA.

= ESTE ES EL SÍMBOLO “IGUAL”.

EL SÍMBOLO = ES USADO PARA DAR EL RESULTADO DE UN CÁLCULO COMO LA SUMA O LA RESTA.

+ ESTE ES EL SÍMBOLO “MÁS”.

EL SÍMBOLO + ES USADO PARA HACER SUMAS O ADICIONES. LA SUMA ES UN CÁLCULO EN EL QUE AGRUPAMOS CANTIDADES.

− ESTE ES EL SÍMBOLO “MENOS”.

EL SÍMBOLO − ES USADO PARA HACER RESTAS O SUSTRACCIONES. LA RESTA ES UNA CÁLCULO EN QUE QUITAMOS UNA CANTIDAD A OTRA.

– EJEMPLO:

SI MARÍA TIENE 4 LIMONES Y SU MAMÁ LE DA 3 LIMONES, ¿CUÁNTOS LIMONES TIENE AHORA?

MARÍA TIENE 7 LIMONES.

SI LUEGO LE REGALA 5 LIMONES A JOSÉ, ¿CUÁNTOS LIMONES LE QUEDAN?

LE QUEDAN 2 LIMONES.

LOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS REPRESENTAN LAS DISTINTAS OPERACIONES O RELACIONES ENTRE NÚMEROS. ALGUNOS SÍMBOLOS COMO “+” Y “−” REPRESENTAN LAS OPERACIONES DE SUMA Y RESTA, OTROS COMO “>” Y “<” REPRESENTAN RELACIONES DE “MAYOR QUE” O “MENOR QUE”. EXISTEN MUCHOS SÍMBOLOS ADEMÁS DE ESTOS. A MEDIDA QUE APRENDAS MÁS OPERACIONES APRENDERÁS MÁS SÍMBOLOS.

CONSEJOS PARA RESOLVER PROBLEMAS

  • PIENSA SI YA HAS RESUELTO UN PROBLEMA PARECIDO.
  • ANOTA LA INFORMACIÓN O LOS DATOS QUE EL PROBLEMA TE PROPORCIONA.
  • REALIZA DIBUJOS O ESQUEMAS.
  • PIENSA SI ALGUNA OPERACIÓN MATEMÁTICA TE AYUDARÍA A RESOLVERLO.
  • REALIZA LOS CÁLCULOS.
  • TOMA NOTA DE TODO LO QUE CONSIDERES NECESARIO.
  • ESCRIBE EL RESULTADO.

¡SIGUE LOS CONSEJOS!

JUAN TIENE 6 LÁPICES DE COLOR ROJO Y 3 LÁPICES DE COLOR AMARILLO. ¿CUÁNTOS LÁPICES TIENE EN TOTAL?

  • DATOS

LÁPICES DE COLOR ROJO:

LÁPICES DE COLOR AMARILLO: 3

  • DIBUJO

  • CÁLCULOS

  • RESULTADO

JUAN TIENE 9 LÁPICES EN TOTAL. 6 DE COLOR ROJO Y 3 DE COLOR AMARILLO.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Matemáticas en las vida cotidiana”

Este artículo ofrece información sobre el uso diario de la matemática, lo que te servirá para analizar con tus alumnos la importancia de la misma.

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CAPÍTULO 2 / TEMA 5

OPERACIONES COMBINADAS

Las operaciones combinadas son expresiones formadas por números que se agrupan de diferentes formas, con cálculos diversos. Estas operaciones pueden emplear símbolos como los paréntesis, que se encargan de unir un grupos de operaciones para ser resueltas primero. Los pasos son muy sencillos, ¡aprende hoy cómo resolver operaciones combinadas!

Recomendaciones para resolver problemas combinados

Para resolver las operaciones combinadas debemos tener en cuenta que:

  • Para sumar o restar dos números, ambos deben estar “sueltos”, es decir, no se pueden sumar o restar dos números si uno de ellos está unido a otra expresión mediante un símbolo u otro signo como el de la multiplicación.
  • Los signos de multiplicar generan una unión más fuerte que los de sumar y restar. Cuando dos o más números están unidos por un signo de multiplicación generan una unión inseparable, mientras que los que están unidos por signos de suma y resta se encuentran más “sueltos” en la operación.
  • Las operaciones combinadas deben resolverse paso a paso. Todo lo que se resuelve en un paso debe copiarse, sin realizar cambios al inicio del siguiente paso.
  • Antes de comenzar a resolver las operaciones combinadas se deben conocer las propiedades de dichas operaciones para así plantear una estrategia a seguir sin cometer errores.
  • Siempre se resuelve primero lo que está en el interior del paréntesis, para seguir luego con las multiplicaciones y finalmente con las sumas y restas.

¿Qué más debes saber?

Para ser un experto en resolución de cálculos combinados debes:

  • Ser prolijo.
  • Identificar los distintos términos de un ejercicio y el orden de resolución.
  • Revisar todos los pasos una vez terminado el ejercicio.
  • Practicar, practicar y practicar.

operaciones combinadas sin PARÉNTESIS

En una operación combinada sin paréntesis tenemos que respetar la jerarquía de los cálculos: primero resolvemos las multiplicaciones y divisiones, luego resolvemos las sumas y restas.

– Ejemplo:

9 − 2 × 4 + 12

Primero resolvemos la multiplicación: 2 × 4 = 8.

9 − 8 + 12

Luego resolvemos las sumas y restas:

9 − 8 + 12 = 13

Finalmente escribimos el resultado:

9 − 2 × 4 + 12 = 13

– Otro ejemplo:

81 ÷ 9 + 7 × 8 − 13 × 5

Realizamos las divisiones y multiplicaciones:

9 + 56 − 65

Resolvemos las sumas y restas:

9 + 56 − 65 = 0

Escribimos la respuestas:

81 ÷ 9 + 7 × 8 − 13 × 5 = 0

¡Es tu turno!

  • 15 + 8 − 2 − 6
Solución
15 + 8 − 2 − 6 = 15
  • 144 ÷ 12 − 4 × 3 − 24 ÷ 8
Solución
144 ÷ 12 − 4 × 3 − 24 ÷ 8 = −3
Podemos ver paréntesis en cualquier tipo de operación, esto nos indica que debemos realizar primero los cálculos que están dentro de ellos. Pero los paréntesis no son las únicas formas de expresar jerarquías, también están los corchetes [] y las llaves {} que simbolizan prioridad de resolución: primero se resuelven los corchetes y luego las llaves.

operaciones combinadas con paréntesis

Los paréntesis indican prioridad al momento de resolver los problemas. Esto significa que primero debemos realizar el cálculo dentro del paréntesis y luego resolver el resto de la cuenta.

– Ejemplo:

(8 − 3) × 2 + 4

Primero resolvemos la resta dentro de los paréntesis: 8 − 3 = 5.

5 × 2 + 4

Luego resolvemos la multiplicación: 5 × 2 = 10.

10 + 4

Finalmente resolvemos la suma y escribimos el resultado:

10 + 4 = 14

Por lo tanto,

(8 − 3) × 2 + 4 = 14

– Otro ejemplo:

28 − (7 + 9) + 3

Resolvemos la operación dentro de los paréntesis: 7 + 9 = 16

 28 − 16 + 3

Resolvemos las sumas y restas:

28 − 16 + 3 = 15

Luego escribimos el resultado:

28 − (7 + 9) + 3 = 15

¡Es tu turno!

  • 25 − (3 × 3 + 11) − (2 + 3)
Solución
25 − (3 × 3 +11) − (2 + 3) = 0
  • 36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5
Solución
36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5 = 29

¿Sabías qué?
Si se suman dos números con diferente signo, la operación a realizar es una resta y se mantiene el signo del número mayor, por ejemplo, −15 + 8 = −7.

Problemas con ejercicios combinados

1. Marta fue a la tienda y compró un par de zapatos por $ 125, 2 pantalones a $ 40 cada uno y 4 camisetas a $ 25 cada una. ¿Cuánto gastó Marta?

  • Datos

Zapatos comprados: un par a $ 125

Pantalones comprados: 2 a $ 40 cada uno

Camisetas compradas: 4 a $ 25 cada una

  • Pregunta

¿Cuánto gastó Marta?

  • Analiza

Si multiplicamos la cantidad de prendas por el costo de cada una y luego sumamos cada resultado tendremos el total de dinero gastado.

  • Calcula

(1 × 125) + (2 × 40) + (4 × 25) = 125 + 80 + 100 = 305

  • Respuesta

Marta gastó $ 305 en su compra.

2. José ha comprado 18 litros de jugo de naranja. Cada litro cuesta $ 5. Si después de pagar le devuelven $ 10, ¿cuánto dinero entregó al pagar?

  • Datos

Jugo comprado: 18 litros

Precio del litro de jugo: $ 5

Dinero devuelto: $ 10

  • Pregunta

¿Cuánto dinero entregó al pagar?

  • Analiza

El producto de la cantidad de jugo comprado y el precio de cada litro de jugo será igual a la cantidad de dinero que debía pagar. Si a eso le sumamos el dinero devuelto sabremos cuánto pagó.

  • Calcula

(18 × 5) + 10 = 90 + 10 = 100

  • Respuesta

José pagó $ 100. Gastó $ 90 en jugo de naranja y le devolvieron $ 10.

3. Pedro compró un lote de 180 donas que debe colocar en cajas de 12 donas. Si venderá cada caja a $ 3, ¿cuánto dinero obtendrá al vender todas las cajas?

  • Datos

Cantidad de donas: 180

Cantidad de donas por caja: 12

Precio de la caja: $ 3

  • Pregunta

¿Cuánto dinero obtendrá al vender todas las cajas?

  • Analiza

Para saber la cantidad de donas que irán en cada caja debemos dividir las 180 donas entre las 12 unidades por caja. Luego multiplicamos esa cantidad por los $ 3 que vale cada una.

  • Calcula

(180 ÷ 12) × 3 = 15 × 3 = 45

  • Respuesta

Obtendrá $ 45 al vender todas las cajas.

Es posible que te encuentres con operaciones combinadas que además de tener sumas, restas multiplicaciones y divisiones, también tengas raíces y potencias. En este caso, debemos resolver primero las raíces y potencias y luego proceder con el orden que ya conoces: primero las multiplicaciones y divisiones, después las sumas y restas.

 

¡A practicar!

Resuelve las siguientes operaciones combinadas:

  • 6 × 8 − 8 + 12 − 3
Solución
6 × 8 − 8 + 12 − 3 = 49
  • 24 × 4 + 18 ÷ 9 − 26
Solución
24 × 4 + 18 ÷ 9 − 26 = 72
  • 32 − 20 ÷ 5 + 16 × 2
Solución
32 − 20 ÷ 5 + 16 × 2 = 60
  • 85 − 49 + 17 × 3 − 54 ÷ 3
Solución
85 − 49 + 17 × 3 − 54 ÷ 3 = 69
  • 25 + (13 − 8 × 6 + 12) − 16
Solución
25 + (13 − 8 × 6 + 12) − 16 = −14
  • 73 + (48 − 7 × 6) − 21 ÷ 3
Solución
73 + (48 − 7 × 6) − 21 ÷ 3 = 72
  • 3 − 4 × 5 + (35 ÷ 7 + 8)
Solución
3 − 4 × 5 + (35 ÷ 7 + 8) = −4
  • 36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5
Solución
36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5 = 29
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Cálculos combinados”

Con este recurso podrás reforzar el contenido relacionado a las jerarquías en operaciones combinadas.

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Artículo “Resolución de cálculos combinados con paréntesis,corchetes y llaves”

Este artículo explica paso a paso cómo resolver problemas combinados que contengan paréntesis, corchetes y llaves.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 6

Aplicación de la geometría

La geometría se encuentra inmersa dentro de diferentes ciencias y situaciones de la vida. Muchos desarrollos de la actualidad no se habrían logrado sin los aportes de la geometría. La astronomía, la computación y la cartografía son algunos de los muchos campos donde la geometría es empleada. 

Cálculo de área de una superficie

Para el cálculo de superficies usamos las fórmulas de área de las principales figuras geométricas. Las principales fórmulas son las siguientes:

Nombre Figura Área
Cuadrado \boldsymbol{A = l^{2}}

 

Donde:

A = área

l = lado
Rectángulo \boldsymbol{A = a\times b}

 

Donde:

A = área

a = altura

b = base
Triángulo \boldsymbol{A = \frac{b\times h}{2}}

 

Donde:

A = área

b = base

h = altura
Rombo \boldsymbol{A = \frac{D\times d}{2}}

 

Donde:

A = área

D = diagonal mayor

d = diagonal menor
Paralelogramo \boldsymbol{A = b\times h}

 

Donde:

A = área

b = base

h = altura
Trapecio \boldsymbol{A = \left (\frac{a+ b}{2} \right )\times h}

 

Donde:

a = base menor

b = base mayor

h = altura
Círculo \boldsymbol{A = \pi \times r^{2}}

 

Donde:

A = área

π = número pi

r = radio
Polígono regular \boldsymbol{A = \frac{n\times b\times Ap}{2}}

 

Donde:

A = área

n = número de lados regulares

b = longitud de un lado

Ap = apotema

Las figuras compuestas

Una figura compuesta es aquella que está formada por dos o más figuras geométricas más simples. Para calcular el área de estas figuras se suelen calcular las áreas de las figuras más simples por separado y la sumatoria de estas será el área total de la figura. Por otra parte, para el cálculo de perímetro suelen usarse ecuaciones trigonométricas, y teoremas como el de Pitágoras para calcular las longitudes de los lados de la figura.

Ejercicios

– Una cancha de fútbol mide 105 metros de largo y 68 metros de ancho. ¿Cuántos metros cuadrados de césped artificial se necesitarían para cubrir toda la cancha?

Es un problema de área porque al calcular los metros cuadrados de césped artificial que se necesitan, se calcula la superficie. Como todos sabemos, una cancha de fútbol tiene una forma rectangular, por lo tanto se debe aplicar la fórmula del rectángulo:

A = a\times b
A = 105\, m\times 68\, m
A = \mathbf{7.140\, m^{2}}

Por lo tanto, para cubrir toda la cancha se necesitarían 7.140 m2 de césped artificial.

– La siguiente figura muestra el plano de una casa. ¿Cuántos metros cuadrados de cerámica se necesitan para cubrir el piso?

El piso de la casa forma una figura compuesta. Por lo tanto, antes de resolver el problema debemos separarlo en formas geométricas más simples:

La figura 1 corresponde a un rectángulo y la figura 2 a un cuadrado (ya que sus cuatro lados miden lo mismo). El área total del piso será igual a:

A_{t} = A_{1}+A_{2}

Donde:

At = área total del piso

A1 = área de la figura 1

A2 = área de la figura 2

Por lo tanto, para calcular el problema tenemos que resolver las áreas por separado:

En la figura 1 se cumple que:

A_{1} = a\times b

A_{1} = 13\, m\times 5\, m

A_{1} = 65\, m^{2}

En la figura 2 se cumple que:

A_{2} = l^{2}

A_{2} = (10\, m)^{2}

A_{2} = 100\, m^{2}

Al reemplazar los valores de A1 y A2 se tiene que:

A_{t} = 65\, m^{2}+100\, m^{2}

A_{t} = \mathbf{165\, m^{2}}

Por lo tanto, el piso de la casa necesita 165 m2 de cerámica para cubrirlo.

¿Sabías qué?
La hectárea (ha) es una medida de área que equivale a 10.000 m2.

Cálculo de volumen de un cuerpo

Todo cuerpo ocupa un lugar en el espacio. Se denomina volumen. Como ya sabemos, los principales cuerpos geométricos se calculan a través de fórmulas:

Nombre Figura Fórmula de volumen
Cubo \boldsymbol{V=l^{3}}

 

 

Donde:

V = volumen

l = lado
Prisma \boldsymbol{V = A_{b}\times h}

 

 

Donde:

V = volumen

Ab = área basal

h = altura
Pirámide \boldsymbol{V = \frac{A_{b}\times h}{3}}

 

 

Donde:

V = volumen

Ab = área basal

h = altura
Cilindro \boldsymbol{V =\pi \times r^{2}\times h}

 

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

h = altura
Cono \boldsymbol{V =\frac{\pi \times r^{2}\times h}{3}}

 

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

h = altura
Esfera \boldsymbol{V =\frac{4}{3}\times \pi \times r^{3}}

 

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

En el caso de las pirámides y los primas, las formas de sus bases pueden ser diferentes.

Estas ecuaciones pueden aplicarse a figuras similares para resolver diferentes problemas.

Ejercicios

– Calcula el volumen de la Gran Pirámide de Guiza, cuya base es un cuadrado de aproximadamente 230 m cada lado y de altura mide aproximadamente 186 m.

La fórmula para calcular el volumen de una pirámide es la siguiente:

V = \frac{A_{b}\times h}{3}

Lo primero es calcular el valor de Ab que es el área de la base. En este caso, su base es un cuadrado de 230 metros de cada lado. Por lo tanto:

A_{b} = l^{2}

A_{b} = (230\, m)^{2}

A_{b} = 52.900 \, m^{2}

Reemplazamos el valor del área de la base y el de la altura (que es 186 m) en la fórmula:

V = \frac{52.900\, m^{2}\times 186\, m}{3}

V = \frac{9.839.400\, m^{3}}{3}

V = \mathbf{3.279.800\, m^{3}}

El volumen aproximado de la pirámide de Guiza es de 3.279.800 m3 (si se considera la pirámide como un cuerpo rígido sin cámaras interiores).

– Calcula el volumen de una canica de 2 centímetros de diámetro.

La forma de una canica es igual a la de una esfera por lo tanto se utiliza la siguiente ecuación:

V =\frac{4}{3}\times \pi \times r^{3}

El problema nos dice que el diámetro de la canica es de 2 cm, pero la fórmula está expresada en función del radio. Como ya sabemos, el radio es la mitad del diámetro, por lo tanto, el radio de la canica es de 1 cm.

V =\frac{4}{3}\times \3,14 \times (1\, cm)^{3}

V =\frac{4}{3}\times \3,14 \times 1\, cm^{3}

V =\mathbf{4,18\, cm^{3}}

La leyenda de la corona

Hay una leyenda popular que cuenta cómo el rey Hieron II de Siracusa le encomendó al reconocido matemático griego Arquímedes que comprobara si la corona que había mandado a hacer era de oro puro o no. Arquímedes pasó mucho tiempo sin resolver el misterio y estaba frustrado hasta que un día, al meterse a la bañera, se percató que el agua que se desplazaba tenía el mismo volumen de su cuerpo. Enseguida dio un salto al tiempo que decía la frase “¡Eureka!”.

Posteriormente le demostró al rey que el volumen desplazado por la corona debía ser el mismo que el desplazado por un lingote de oro puro de la misma masa. Cuando realizó el experimento, la cantidad de agua desplazada no fue la misma y concluyó que la corona no era de oro puro.

Otros usos

Desde su aparición, la geometría ha permitido al ser humano destacarse en varios campos como la arquitectura, la escultura, la pintura y, por su puesto, en las ciencias aplicadas como la física o la química. Disciplinas como la ingeniería aplican la geometría para el cálculo de ángulo y otras medidas. La química emplea la geometría para entender las estructuras moleculares, la agrupación de los átomos y la forma de los cristales de algunos compuestos, entre otros usos.

En el ámbito de la cartografía y la agronomía, se aplica la geometría para determinar áreas, calcular perímetros y planos de terrenos. La astronomía y la computación son otras áreas que emplean conocimientos geométricos.

La geometría y la arquitectura

La arquitectura clásica no habría podido lograr obras de singular belleza o armonía sin hacer uso de conocimientos geométricos. En la actualidad, los arquitectos emplean la geometría para lograr estructuras que se vean bien estéticamente, que permitan un ahorro de materiales y un mejor aprovechamiento de los espacios.

¡A practicar!

1. Una fábrica de quesos compró una granja de 14.300 m2. ¿Cuáles son las medidas de la granja?

a) 150 m × 100 m
b) 130 m × 110 m
c) 40 m × 10 m
d) 280 m × 100 m

Solución
b) 130 m × 110 m

2. Un tablero de ajedrez mide 44 cm de alto y 44 cm de ancho, ¿cuál es el área del tablero?

a) 88 cm2
b) 1.936 cm2
c) 4.404 cm2
d) 3.854 cm2

Solución
b) 1.936 cm2

3. Una empresa inmobiliaria trabaja con propiedades que no superan los 20.000 m2. ¿Cuál de las siguientes propiedades no cumple con este requisito de la empresa inmobiliaria?

a) Casa de playa de 155 m de ancho por 84 m de alto.
b) Departamento en la ciudad de 18 m de ancho por 14 m de alto.
c) Cabaña en la montaña de 320 m de ancho por 124 m de alto.
d) Chalet de 24 m de ancho por 20 m de alto.

Solución
c) Cabaña en la montaña de 320 m de ancho por 124 m de alto. El área de esta propiedad es de 39.680 m2, por lo tanto, supera los 20.000 m2 aceptados por la inmobiliaria.

4. Una pelota de fútbol tiene 22 cm de diámetro, ¿cuál es su volumen?

a) 2026,34 cm3
b) 44 cm3
c) 220 cm3
d) 5.572,45 cm3

Solución
d) 5.572,45 cm3

5. Una lata de tomates es cilíndrica y tiene una altura de 9 cm y un radio de 3 cm, ¿cuál es su volumen?

a) 384,35 cm3
b) 127,17 cm3
c) 954.44 cm3
d) 506,58 cm3

Solución
c) 254.34 cm3

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Los números ocultos en el universo”

El artículo trata de mostrar cómo la mayoría de los fenómenos del universo pueden explicarse a través de los números. También explica algunas formas geométricas que podemos encontrar en nuestro planeta.

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Enciclopedia “Nana y Enriqueta en el país de las matemáticas”

En este tomo, se platean los principales elementos de la geometría de una manera didáctica y sencilla. También se dan ejemplos y aplicaciones de la geometría.

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Artículo “Superficies de figuras geométricas”

El artículo plantea el cálculo de superficie de las principales figuras geométricas. También resuelve una serie de ejercicios y muestra al final algunos problemas propuestos.

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CAPITULO 5 / TEMA 5

Circunferencia y círculo

El círculo es la superficie contenida dentro de una circunferencia. En algunas ocasiones suelen confundirse estos términos por error, pero lo cierto es que gozan de características únicas que desde tiempos antiguos han cautivado a los matemáticos. Su conocimiento es importante para entender conceptos como el número pi.

Diferencia entre la circunferencia y el círculo

Aunque son conceptos que están estrechamente relacionados, circunferencia y círculo son dos cosas geométricamente diferentes. La circunferencia es la línea o perímetro que bordea y delimita la superficie de un círculo. Todos los puntos de la circunferencia se encuentran a una misma distancia del centro. El círculo, por otra parte, es una figura geométrica que está delimitada por una circunferencia.

¿Sabías qué?
El matemático griego Eratóstenes de Cirene fue la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra en el 230 a. C.

En este sentido, cuando hablamos de circunferencia nos referimos a una curva cerrada y cuando hablamos de círculo nos referimos a una superficie o área que está contenida dentro de una circunferencia.

Instrumento muy útil

Desde su invención en el año 200 a. C. por parte de los chinos, el compás ha sido uno de los inventos más usados en la geometría y en otras áreas. Su utilidad ha ido más allá del trazado de arcos y circunferencias, también permite transportar medidas y puede emplearse en la construcción de polígonos y en el cálculo de distancias empleado por la navegación.

Elementos de la circunferencia

Los elementos principales de una circunferencia se detallan a continuación:

  • Centro: es el punto que se ubica a la misma distancia de todos los puntos que conforman la circunferencia.
  • Radio: es el segmento de recta que une al centro con cualquiera de los puntos de la circunferencia.
  • Cuerda: es la recta que une dos puntos de la circunferencia.
  • Diámetro: es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. Su longitud es igual al doble del radio.
  • Semicircunferencia: es la mitad de la circunferencia. El diámetro divide a la circunferencia en dos semicircunferencias.
  • Arco: es una porción de la circunferencia que se encuentra delimitada por una cuerda. Generalmente, a cada cuerda se le asocia el menor arco que delimita.

Relaciones entre rectas y circunferencias

Entre una circunferencia y una recta pueden darse tres tipos diferentes de relación:

  • Recta exterior: es aquella recta que nunca corta a la circunferencia.
  • Recta tangente: es aquella recta que corta a la circunferencia en uno de sus puntos.
  • Recta secante: es aquella recta que corta a la circunferencia en dos de sus puntos.

VER INFOGRAFÍA

Desde la Antigüedad, los geómetras se enfocaron en calcular la longitud de la circunferencia. Esta línea curva cerrada sin importar su tamaño siempre mide algo más que el triple de su diámetro. En este contexto, se emplea el número pi (π), un número con infinitos decimales que se obtiene al dividir la longitud de la circunferencia por su diámetro.

Trazado de circunferencias

Para trazar circunferencias empleamos el compás y debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Conocer la distancia que hay desde el centro de la circunferencia hasta alguno de sus puntos (el radio). Para esto puedes usar una regla y abrir el compás a dicha distancia. Otra forma de hacerlo es trazar el segmento de recta igual a la longitud del radio deseado, colocar la aguja de acero sobre uno de los extremos y abrir el compás hasta que la mina de grafito toque el otro extremo.
  2. Apretar con suavidad la aguja de acero contra el papel para que no se mueva y girar el otro brazo de forma firme para trazar la circunferencia.
  3. Marcar el centro de la circunferencia que será el mismo punto donde se apoyó la aguja de acero durante el trazado de la circunferencia.

Área del círculo

Para calcular el área de un círculo simplemente necesitamos conocer la longitud de su radio. La fórmula es la siguiente:

A=\pi \times r^{2}

Donde:

A = área del círculo
π = número pi
r = longitud del radio

Como el número pi (π) es un número irracional, sus decimales son infinitos (3,141592653589793238…), por lo tanto, para efectos de cálculo de área se suele aproximar a 3,14.

¿Sabías qué?
Existe otra fórmula para calcular el área del círculo en función de su diámetro: A = \frac{\pi }{4}\times d^{2}.

– Calcula el área del siguiente círculo.

De acuerdo a la figura, la longitud del radio es 5 cm, por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de área.

A=\pi \times r^{2}

A=3,14 \times (5 \, cm)^{2}

A=3,14 \times 25 \, cm^{2}

A=\mathbf{78,5 \, cm^{2}}

El sistema sexagesimal es uno de los sistemas usados para medir ángulos y tiempo. En el caso de los ángulos, el sistema emplea una circunferencia para establecer sus unidades de medición. Un grado (°) equivale a la 360 parte de una circunferencia, un minuto (′) equivale a la 60 parte de un grado y un segundo (″) equivale a la 60 parte de un minuto.

¡A practicar!

1. Calcula el área de los siguientes círculos.

a) 

Solución
A = 50,24 cm2

b)

Solución
A = 254,34 cm2

c)

Solución
A = 12,56 m2

d)

Solución
A = 314 mm2

e)

Solución
A =153,86 cm2

2. ¿Cuánto debe medir el radio de una circunferencia para que su área sea igual a 113,04 cm2?
a) 5 cm
b) 3 cm
c) 6 cm
d) 11 cm

Solución
c) 6 cm

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Circunferencia”

El artículo explica los elementos principales de la circunferencia y la relación que tiene esta con el número pi. En el artículo también se explica como calcular la longitud de una circunferencia y determinar el área de un círculo.

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Artículo “Círculo”

El artículo plantea de forma resumida cada uno de los elementos de un círculo como el semicírculo y el segmento circular. También presenta ilustraciones de cada uno para explicar el concepto de manera más clara.

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Infografía “Número pi (π)”

En esta infografía se explica más a detalle qué es el número pi, su desarrollo a través del tiempo y las diferentes aplicaciones del mismo.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 4

Cuerpos geométricos

Uno de los objetos de estudio de la geometría son los cuerpos geométricos. Una pelota de fútbol, un cono de helado o un dado son algunos objetos cotidianos que podemos asociar con estos cuerpos, los cuales se caracterizan por ocupar volumen en el espacio y estar formados con figuras geométricas.

Principales cuerpos geométricos

Los cuerpos geométricos son infinitos y cada uno posee características propias. Los más comunes son el cubo, el prisma, la pirámide, el cilindro, el cono y la esfera. Ellos se clasifican en poliedros y cuerpos redondos.

  • Los poliedros son cuerpos geométricos. Todas sus caras son planas. Estos, a su vez, pueden ser regulares si sus caras son todas iguales o irregulares cuando son diferentes. Un ejemplo de poliedro es el cubo.
  • Los cuerpos redondos son cuerpos geométricos con al menos una cara curva, como sucede con el cilindro.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?
Al cubo también se lo denomina hexaedro regular.

Elementos de los cuerpos geométricos

En la mayoría de los cuerpos geométricos se pueden identificar los siguientes elementos.

  • Cara: corresponde a cada una de las superficies planas que delimitan al cuerpo geométrico. Pueden ser caras basales, las que sirven de apoyo (base) al cuerpo en el plano, o caras laterales, que corresponden a las de los costados.
  • Vértice: es el punto en el que se juntan tres o más caras.
  • Arista: es el segmento de línea que se forma cuando dos caras se juntan.
La esfera y sus curiosidades

La esfera es un cuerpo geométrico que no posee ni caras, ni aristas ni vértice. Y se caracteriza porque todos los puntos de su superficie están a la misma distancia del centro.

Volumen de cuerpos geométricos

De acuerdo a su tipo, cada cuerpo geométrico tiene características propias que permiten calcular su volumen a través de fórmulas.

Nombre Figura Fórmula de volumen
Cubo \boldsymbol{V=l^{3}}

 

Donde:

V = volumen

l = lado
Prisma \boldsymbol{V = A_{b}\times h}

 

Donde:

V = volumen
Ab = área basal

h = altura
Pirámide \boldsymbol{V = \frac{A_{b}\times h}{3}}

 

Donde:

V = volumen

Ab = área basal

h = altura
Cilindro \boldsymbol{V =\pi \times r^{2}\times h}

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

h = altura
Cono \boldsymbol{V =\frac{\pi \times r^{2}\times h}{3}}

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

h = altura
Esfera \boldsymbol{V =\frac{4}{3}\times \pi \times r^{3}}

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

h = altura

VER INFOGRAFÍA

– Calcula el volumen de este cubo.

Un cubo se caracteriza porque todos sus lados miden lo mismo, de manera que al conocer solo la medida de un lado se puede aplicar la fórmula:

V=l^{3}

V=(3\, cm)^{3}

V=\mathbf{27\, cm^{3}}

– Calcula el volumen del siguiente cilindro.

Según la fórmula, los únicos datos que se necesitan son el radio del cilindro y su altura. De la imagen se obtienen los datos:

V =\pi \times r^{2}\times h

V =\pi \times (2\, cm)^{2}\times 6\, cm

En este caso observa que el radio está elevado al cuadrado, por lo tanto, al resolver esa potencia las unidades también se verán afectadas, por lo que quedarán centímetros cuadrados:

V =\pi \times 4\, cm^{2}\times 6\, cm

El número pi (π) es un número irracional, por lo cual es infinito. Para efectos de estos cálculos, usaremos solamente 2 de sus decimales, es decir, lo aproximamos a 3,14.

V =3,14 \times 4\, cm^{2}\times 6\, cm

Al resolver este producto se obtiene el volumen del cilindro.

V =\mathbf{75,36\, cm^{3}}

¿Sabías qué?
Cuando se usan múltiplos o submúltiplos del metro, el volumen siempre se expresa en unidades cúbicas: m3, cm3, mm3, km3, etc.
Los prismas son poliedros cuyos lados laterales son paralelogramos y con dos caras paralelas e iguales denominadas bases. Reciben su nombre de acuerdo a la forma de su base, por ejemplo, si su base es un triángulo, se denomina prisma triangular, si es un pentágono se denomina prisma pentagonal y así sucesivamente. Un paralelepípedo es un prisma cuya base es un paralelogramo.

Construcción de cuerpos geométricos

Los cuerpos geométricos tienen volumen y, por lo tanto, se pueden representar en tres dimensiones: largo, alto y ancho. Las imágenes a continuación son patrones que puedes usar para construir los cuerpos geométricos más comunes:

Cubo

Prisma rectangular

Pirámide

Cilindro

Cono

La construcción de cuerpos geométricos, además de su gran utilidad al momento de representar a estas figuras, permite trasladar estos conocimientos a otras áreas como la arquitectura y la ingeniería, en las cuales se realizan diseños a escalas. Conocer las diferentes fórmulas de cálculo y volumen de las figuras es fundamental para realizar operaciones más avanzadas.

¡A practicar!

1. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

a)

      *La base es un rectángulo.

Solución
V = 133,33 cm3

b)

Solución
V = 64 cm3

c)

Solución
V = 904,32 cm3

d) 

Solución
V = 33,49 cm3

e)

Solución
V = 96 cm3

f)

Solución
V = 62,8 cm3

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Poliedros irregulares”

El artículo explica qué es un poliedro y qué caracteriza a los irregulares. También hace una breve explicación de los sólidos platónicos y muestra algunos ejemplos.

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Infografía “Cuerpos redondos”

La infografía explica de manera sencilla qué es un cuerpo redondo, sus características y su presencia en la vida cotidiana.

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Artículo “Volumen de figuras geométricas”

En este artículo destacado se explica qué es el volumen y cómo calcularlo en los diferentes cuerpos geométricos. También se plantean una serie de problemas resueltos y de ejercicios planteados.

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CAPÍTULO 6 / TEMA 2

combinaciones

Las combinaciones forman parte de nuestra vida: combinamos el café con la leche en el desayuno, las frutas para una ensalada, o la ropa cuando nos vestimos. En ninguno de estos casos el orden de los elementos importa, por lo que pueden agruparse de distintas maneras, dos de ellas son las tablas de doble entrada y los diagramas de árbol.

¿Qué son las combinaciones?

Las combinaciones son una forma de agrupar elementos de un conjunto sin importar el orden. Por ejemplo, una ensalada es una combinación de verduras como cebolla, lechuga y tomate. No importa el orden en el que coloques las verduras, la ensalada será la misma.

Lo mismo sucede si vamos a una heladería. Si hay vasos y conos; y además, solo tienen tres sabores para escoger: fresa, chocolate y vainilla, podemos hacer varias combinaciones, como un cono con helado de fresa o una vaso con helado de vainilla.

Podemos representar estos arreglos por medio de tablas de doble entrada o diagramas de árbol.

¿Sabías qué?
El cubo de Rubik tiene más de 40 trillones de combinaciones.

Tablas de doble entrada

Las tablas de doble entrada son una forma gráfica de analizar los datos y combinarlos de todas las maneras posibles. Estas tablas ordenan los elementos para poder ilustrar todas las combinaciones.

– Ejemplo:

Esta tabla muestra las posibles combinaciones entre los conos, los vasos y los tres sabores de helados de la heladería.

En total hay 6 posibles combinaciones porque:

2 recipientes × 3 sabores = 6 combinaciones posibles

 

– Otro ejemplo:

Un grupo de niños quieren comprar artículos de playa: cubo, pala y rastrillo; y a estos elementos los venden de tres diferentes colores. Para saber cuántos artículos de colores distintos pueden comprar, deben comparar los artículos y los colores.

Hay 9 combinaciones posibles porque:

3 colores × 3 artículos = 9 combinaciones posibles

El sistema Braille

El sistema Braille les permite a las personas no videntes poder leer artículos, libros y cuentos, entre otros textos. Este sistema está compuesto por la combinación de seis puntos en relieve que permiten obtener 64 combinaciones diferentes, incluida la que no tiene ningún punto en relieve que se utiliza para separar palabras y números.

diagrama de árbol

Los diagramas de árbol son formas gráficas de contar las posibles combinaciones que pueden surgir entre varios elementos. En ellos podemos usar dibujos, letras o palabras.

– Ejemplo:

Este diagrama de árbol muestra las posibles combinaciones entre los conos, los vasos y los tres sabores de helados posibles en la heladería.

           

Hay 6 combinaciones posibles porque:

2 recipientes × 3 sabores = 6 combinaciones posibles

 

 

– Otro ejemplo:

Tomás tiene 2 pantalones, 2 camisas y 2 corbatas para vestirse, ¿cuales son las posibles opciones?

                       

Tomás tiene 8 combinaciones posibles porque:

2 pantalones × 2 camisas × 2 corbatas = 8 combinaciones posibles

 

Cuadro de Punnett

Las combinaciones de genes otorgan a un organismo rasgos particulares. Estas se representan en el cuadro de Punnett, el cual determina todos los posibles arreglos de genes que se pueden producir en el cruce entre dos organismos. Los rasgos distintos que tenemos se deben a la unión entre dos copias de un gen, que provienen de nuestros progenitores.

¡A practicar!

1. En la siguiente tabla se encuentran los útiles que compró María para el comienzo de clases. ¿Cuántas combinaciones de útiles y colores compró?

Solución
Puede armar 12 combinaciones.

2. Todas las mañanas, la mamá de Camila le prepara el desayuno y ella puede elegir algunas opciones: puede combinar una bebida con algo dulce para acompañar. Observa las opciones de Camila y elabora diagramas de árbol para saber cuántas combinaciones tiene para armar su desayuno:

Solución
Camila tiene 9 combinaciones para desayunar.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Formas de agrupar”

Este recurso te permitirá profundizar la información sobre el diagrama de árbol.

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Artículo “Combinatoria”

El siguiente recurso complementará la información sobre combinaciones y otros temas relacionados.

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