CAPÍTULO 2 / TEMA 6

MÍnimo común múltiplo y máximo común divisor

La multiplicación y la división son operaciones básicas relacionadas directamente con dos conceptos: múltiplos y divisores. Ambos términos señalan la cantidad de veces que un número está contenido dentro de otro y la cantidad de veces que un número puede dividir a otro. Gracias a ellos podemos calcular múltiplos y divisores comunes en dos o más números y así poder simplificar operaciones más complejas.

múltiplos y divisores

El múltiplo de un número natural se obtiene al multiplicar ese número por otro número natural, por ejemplo:

4 × 1 = 4
4 × 2 = 8
4 × 3 = 12
4 × 4 = 16
4 × 5 = 20
4 × 6 = 24
4 × 7 = 28
4 × 8 = 32
4 × 9 = 36

Los números marcados en rojo son múltiplos de 4. Estos números resultan de la multiplicación del número 4 por números naturales. Como los números naturales son infinitos, los múltiplos de un número también lo son, así que los múltiplos de 4 y de cualquier número continúan hasta el infinito.

Por otro lado, un divisor es todo número que al dividir a otro resulta en una división exacta, por ejemplo:

12 ÷ 1 = 12
12 ÷ 2 = 6
12 ÷ 3 = 4
12 ÷ 4 = 3
12 ÷ 5 = 2 y resto = 2
12 ÷ 6 = 2
12 ÷ 7 = 1 y resto = 5
12 ÷ 8 = 1 y resto = 4
12 ÷ 9 = 1 y resto = 3

Los números marcados en rojo son divisores de 12 porque su división tiene un cociente entero con resto igual a cero, es decir, son divisiones exactas.

¡Es tu turno!

Escribe los múltiplos y divisores de 25.

Solución

Múltiplos: 25, 50, 75, 100,…

25 × 1 = 25
25 × 2 = 50
25 × 3 = 75
25 × 4 = 100

Divisores: 1, 5, 25

25 ÷ 1 = 25
25 ÷ 5 = 5
25 ÷ 25 = 1

Los múltiplos y los divisores no son conceptos aislados, de hecho, están muy relacionados entre sí. Si un número a es múltiplo de otro número b, este último es divisor del primero. Por ejemplo, el número 6 es múltiplo de 2 porque 2 × 3 = 6, pero al mismo tiempo, 2 es divisor de 6, porque 6 ÷ 2 = 3. ¿Puedes buscar esta relación en otros números? ¡Inténtalo!

Mínimo común múltiplo

Entre dos o más números, el mínimo común múltiplo o mcm es el menor múltiplo que tienen dichos números en común. Por ejemplo, observa los múltiplos de 4 y 5:

Múltiplos de 4 → 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 28, 32, 36, 40, …

Múltiplos de 5 → 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, …

Tanto el número 4 como el número 5 tienen al 20 y el 40 como múltiplos. Como 20 es el menor de ellos, decimos que el mínimo común múltiplo entre 4 y 5 es 20 y lo representamos de la siguiente forma:

mcm (4, 5) = 20

– Otro ejemplo:

¿Cuál es el mcm entre 12 y 18?

Múltiplos de 12 → 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, …

Múltiplos de 18 → 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, …

Así que:

mcm (12, 18) = 36

¿Sabías qué?

Al mínimo común múltiplo también se lo conoce como múltiplo común menor.

El mcm se utiliza en operaciones con fracciones, especialmente en la simplificación de resultados. Por ejemplo, al sumar y restar fracciones es más sencillo calcular el mcm de los denominadores, el cual será el denominador final. Luego calcula las fracciones equivalentes de cada elemento del problema para hacer un cálculo con fracciones homogéneas.

Mcm por descomposición

Hay una forma en la que no es necesario calcular varios múltiplos, consiste en descomponer cada número en sus factores primos, para luego multiplicar a los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplo:

– Calcula el mcm entre 15 y 36.

1. Descomponemos cada números en sus factores primos:

2. Identificamos el factor común en los dos números y seleccionamos el de mayor exponente. En este caso el factor común de mayor exponente es el 3².

3. Luego multiplicamos por el factor no común. En este caso los factores no comunes son el 2² y el 5. Así que el mínimo común múltiplo entre 15 y 36 se escribe así:

mcm (15, 36) = 3² × 2² × 5 = 180

Los mínimos divisores y los números primos

Los mínimos divisores que calculamos reciben el nombre de “números primos”. Estos números se caracterizan por ser divisibles entre sí mismos y entre 1. Por ejemplo, el 5 solo se divide entre 5 y entre 1. Lo mismo ocurre con el 2, con el 3, con el 7… De hecho los números primos son infinitos y hay ocasiones en las que los matemáticos anuncian el descubrimiento de nuevos números primos.

Máximo común divisor

Entre dos o más números, el máximo común divisor o mcd es el divisor común mayor entre todos los divisores. Por ejemplo, observa los divisores de 32 y 40:

Divisores de 32 → 1, 2, 4, 8, 16, 32

Divisores de 40 → 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

Los números 32 y 40 tienen varios divisores en común: 1, 2, 4 y 8. Como el 8 es el mayor de todos, decimos que el máximo común divisor entre 32 y 40 es 8. Lo escribimos de la siguiente manera:

mcd (32, 40) = 8

– Otro ejemplo:

¿Cuál es el mcd entre 35 y 49?

Divisores de 35 → 1, 5, 7, 35

Divisores de 49 → 1, 7, 49

Así que:

mcd (35, 49) = 7

¿Sabías qué?

El máximo común divisor también es conocido como “divisor común mayor”.

Mcd por descomposición

Otra forma para calcular el mcd es por medio de la factorización o descomposición en factores primos. Luego de esto, multiplicamos solo los factores comunes con su menor exponente. Por ejemplo:

– Calcular el mcd entre 30 y 20.

1. Factorizamos cada número.

2. Multiplicamos los factores comunes con su menor exponente. Los factores no comunes no se consideran para este cálculo. Entonces, el mcd entre 30 y 20 se escribe así:

mcd (30, 20) = 2 × 5 = 10

El mcd en la historia

El estudio del mcd se remonta a la antigua Grecia con Euclides, quien fue un líder de un grupo de matemáticos que vivió en los siglos IV y III a. C. En su obra Elementos, él describió un método para calcular el máximo común divisor de un número por medio del algoritmo de Euclides.

¡A practicar!

1. ¿Cuáles son los divisores de los siguientes números?

Solución

1, 2, 4, 8, 7, 14, 28 y 56.

Solución

1, 2, 4, 7, 14 y 28.

Solución

1, 2, 37 y 74.

2. ¿Cuáles son los primeros seis múltiplos de estos números?

Solución

34, 68, 102, 136 y 170.

Solución

23, 46, 69, 92, 115 y 138.

Solución

50, 100, 150, 200, 250 y 300.

3. ¿Cuál es el mcm de los siguientes números?

60 y 38.

Solución

mcm (60, 38) = 420

10 y 25.

Solución

mcm (10, 25) = 50

8 y 12.

Solución

mcm (8, 12) = 24

4. ¿Cuál es el mcd de los siguientes números?

50 y 80.

Solución

mcd (50, 80) = 10

16 y 72.

Solución

mcd (16, 72) = 8

60 y 75

Solución

mcd (60, 75) = 15

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Mínimo común múltiplo y máximo común divisor”

Con este recurso podrás poner en práctica los aprendido en este artículo, ya que cuenta con problemas que puedes resolver por medio de mcm y mcd.

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Artículo “Mínimo común múltiplo (mcm)”

En esta animación podrás trabajar con tus alumnos una aplicación directa del mcm.

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Tabla comparativa “Múltiplos y divisores”

Con este recurso podrás profundizar la información sobre las propiedades de los múltiplos y los divisores.

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CAPÍTULO 2 / TEMA 4

Operaciones con números decimales

Los números decimales son aquellos que tienen una parte entera y una parte decimal, separadas por una coma; son comunes en los precios de los productos del supermercado o en nuestro peso y altura. Los problemas con este tipo de números se resuelven casi de la misma forma que los que tienen números naturales. A continuación, aprenderás las reglas para resolver dichos cálculos.

suma de números decimales

Cuando sumamos número decimales el procedimiento es similar al de los números naturales. Colocamos las unidades, decenas y centenas una sobre otra; de este modo, las comas, décimas, centésimas y milésimas también estarán en las mismas columnas.

– Ejemplo:

432,61 + 54,3

Donde:

C = centena

D = decena

U = unidad

d = décima

c = centésima

m = milésima

Si la suma de las cifras de una columna es mayor a 9, colocamos el dígito de la unidad debajo de dicha columna y el dígito de la decena en la columna de la izquierda.

– Ejemplo:

523,4 + 74,86

¡Es tu turno!

Resuelve estas sumas de números decimales.

0,816 + 26,5
10,5 + 10,5
129,836 + 345,26
64,68 + 22,129

Solución

¿Sabías qué?

Además de la coma, también se puede usar un punto para separar la parte entera de la parte decimal. Todo depende de la convención del país en el que estés.

¿Notaste que la adición de los números decimales es muy similar a la adición de los números naturales? Lo más importante en esta operación es que las cifras estén en las mismas columnas según su valor posicional: unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas. De este modo, la coma siempre estará en el lugar adecuado.

resta de números decimales

Para restar números decimales colocamos cada números en las mismas columnas según el orden de cada cifra: unidades con unidades, décimas con décimas, etc. De ser necesario añadimos ceros para que ambos números tengan la misma cantidad de dígitos. Luego restamos como si fueran números naturales y colocamos la coma en el resultado.

– Ejemplo:

360,84 − 246,013

1. Colocamos los números uno sobre otro y agregamos un cero al minuendo.

2. Como no podemos restarle 3 a 0, tomamos “prestada” una décima de la columna de la izquierda. Ahora el 0 se transforma en 10 y el 4 de las centésimas se convierte en 3. Luego hacemos la resta: 10 − 3 = 7.

3. Restamos las centésimas: 3 − 1 = 2.

4. Restamos las décimas: 8 − 0 = 8.

5. Restamos las unidades. Como no podemos restarle 6 a 0, tomamos una decena de la columna de la izquierda. Así que el 0 se convierte en 10 y el 6 se transforma en 5. Luego restamos: 10 − 6 = 4.

6. Restamos las decenas: 5 − 4 = 1.

7. Restamos las centenas y colocamos la coma en la misma columna en la que están las comas.

¡Es tu turno!

Resuelve las siguientes restas de números decimales.

95,371 − 24,98
137 − 45,290
348,6 − 26,696
67,4 − 0,16

Solución

Décimas en una regla

La regla graduada es un instrumento de medición con el que también podemos trazar líneas rectas. Por lo general viene con marcas con números que indican los centímetros y marcas más pequeñas entre estas que muestran los milímetros. Recuerda que 1 milímetro es igual a 0,1 centímetros.

Multiplicación con números decimales

Cuando multiplicamos un número decimal por un número natural colocamos los factores uno sobre otro alineados a la derecha, luego multiplicamos tal como si ambos fueran números naturales. Al final colocamos la coma decimal de acuerdo a la cantidad de decimales que tenga el factor decimal.

– Ejemplo:

1,27 × 36

1. Colocamos los factores uno sobre otro.

2. Multiplicamos como hacemos con los números naturales.

3. Colocamos la coma decimal en el resultado. Como el 1,27 tiene dos números decimales, movemos dos espacios en el resultado y colocamos la coma.

Por lo tanto,

1,27 × 36 = 45,72

¡Es tu turno!

Resuelve la siguientes multiplicaciones.

3,1 × 21
132 × 5,3
2,65 × 68

Solución

Los números decimales también se pueden representar como una fracción. Para esto colocamos un denominador con la unidad seguida de tantos ceros como sean necesarios para que el numerador sea un entero. Recuerda que se multiplican ambas partes de la fracción. Luego simplificamos. Por ejemplo, si amplificamos por 10 la expresión 0,5/1 nos queda 5/10 = 1/2.

¡A practicar!

Resuelve las siguientes operaciones.

421,78 + 100,1

Solución

421,78 + 100,1 = 521,88

500,999 − 500,159

Solución

500,999 − 500,159 = 0,84

131 × 12,4

Solución

131 × 12,4 = 1.624,4

0,92 × 53

Solución

0,92 × 53 = 48,76

0,578 + 0,9

Solución

0,578 + 0,9 = 1,478

36,9 − 0,806

Solución

36,9 − 0,806 = 36,094

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Números decimales”

Con este artículo podrás ampliar la información relacionada con los números decimales, su clasificación y las operaciones que los involucran.

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Artículo “Operaciones con números decimales”

Este recurso describe paso a paso cómo realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números decimales.

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CAPÍTULO 2 / TEMA 7

Conversiones de medidas

Los números fueron creados para contar y para cuantificar cantidades y medidas. En este sentido, la medición se ha transformado en una de las cuestiones más importantes de las matemáticas en todas sus ramas. Longitud, masa, volumen y tiempo son solo algunas de las magnitudes que podemos medir y que tienen diferentes unidades que podemos usar y convertir.

medidas de longitud

La longitud es una magnitud que nos permite saber la distancia que hay entre dos puntos. Gracias a esta sabemos qué tan largo es una lápiz o qué distancia hay de la casa a la escuela. Si las distancias son cortas, usamos los submúltiplos del metro, pero si son largas usamos los múltiplos; por ejemplo, una carrera de larga distancia puede tener más de 42 kilómetros.

El metro (m) es la unidad principal para medir la longitud. Con el metro podemos medir objetos cotidianos como la altura de un edificio, el largo de una mesa o las dimensiones de un campo de fútbol. Sin embargo, esta unidad no siempre es la más apropiada; por ejemplo, si un carpintero necesita medir la longitud de un tornillo debe utilizar unidades más pequeñas que el metro, pero si una corredor de fórmula 1 quiere saber la distancia que recorrió tiene que usar unidades más grandes que el metro.

Las unidades más pequeñas al metro se llaman submúltiplos y las más grandes se llama múltiplos. Las equivalencias entre estas unidades y el metro son las siguientes:

1 kilómetro = 1.000 metros
1 hectómetro = 100 metros
1 decámetro = 10 metros
1 metro = 1 metros
1 decímetro = 0,1 metros
1 centímetro = 0,01 metros
1 milímetro = 0,001 metros

Si queremos pasar de una unidad mayor a una menor debemos multiplicar por 10 tantas veces como unidades de medida haya de diferencia. Por el contrario, si deseamos pasar de una unidad menor a una mayor debemos dividir por 10 tantas veces como unidades de medida haya de diferencia. Observa este esquema:

– Ejemplo 1:

Convierte 7,8 metros a centímetros.

Para llegar de metros a centímetros debemos multiplicar dos veces por 10. Recuerda que 10 × 10 = 100. Entonces, podemos multiplicar por 100.

7,8 × 100 = 780

Por lo tanto,

7,8 cm = 780 m

– Ejemplo 2:

Convierte 0,85 kilómetros a metros.

Debemos multiplicar tres veces por 10, es decir, 10 × 10 × 10 = 1.000.

0,85 × 1.000 = 850

Por lo tanto,

0,85 km = 850 m

– Ejemplo 3:

Convierte 690 milímetros a metros.

Tenemos que dividir el número tres veces por 10, lo que es igual a dividir entre 1.000.

690 ÷ 1.000 = 0,69

Así que:

690 mm = 0,69 m

Medidas de masa

La masa es una magnitud física que determina la cantidad de materia que tiene un cuerpo u objeto. La medimos con una balanza por medio de un proceso que se llama “pesaje”, así que cuando decimos que, por ejemplo, compramos medio kilogramo de papas, nos referimos a la cantidad de materia que tiene una determinada cantidad de papa.

El gramo es la unidad de medida de masa, la cual sirve para saber la cantidad de un determinado material. Con el gramo podemos saber la masa de una cuchara, pero si necesitamos saber la masa de una saco de papas tenemos que usar un múltiplo, es decir, una unidad mayor al gramo. Si lo que necesitamos es saber la masa de una hoja, podemos usar unidades más pequeñas que el gramo, es decir, un submúltiplo.

Los múltiplos y los submúltiplos del gramos junto con sus equivalencias son los siguientes:

1 kilogramo = 1.000 gramos
1 hectogramo = 100 gramos
1 decagramo = 10 gramos
1 gramo = 1 gramo
1 decigramo = 0,1 gramos
1 centigramo = 0,01 gramos
1 miligramo = 0,001 gramos

¿Sabías qué?

El prefijo “kilo” significa 1.000, por eso un kilogramo son 1.000 gramos.

Si queremos pasar de una unidad mayor a una menor debemos multiplicar por 10 según la cantidad de espacios entre las unidades que transformaremos. Si vamos a pasar de una unidad menor a una mayor el procedimiento es similar, con la diferencia de que no multiplicamos sino que dividimos. Observa este esquema:

– Ejemplo 1

Convierte 9,4 decagramos a centigramos.

Hay tres espacios entre dag y cg, así que multiplicamos por 1.000 porque 1.000 = 10 × 10 × 10.

9,4 × 1.000 = 9.400

9,4 dag = 9.400 cg

– Ejemplo 2

Convierte 125 gramos a hectogramos.

Hay dos espacios entre g y hag, así que dividimos dos veces entre 10, lo que es igual a dividir entre 100.

125 ÷ 100 = 1,25

125 g = 1,25 hg

– Ejemplo 3

Convierte 10.589 centigramos a kilogramos.

Hay cinco espacios entre cg y kg, por lo tanto dividimos entre 100.000.

10.589 ÷ 100.000 = 0,10589

10.589 cg = 0,10589 kg

La balanza

Para determinar la masa de un cuerpo se usa como medio de comparación la masa definida de otro cuerpo. A esta operación se la denomina pesaje y el instrumento utilizado para ello es uno de los más comunes en cualquier laboratorio: la balanza. Hay muchos tipos de balanzas pero las más usadas son las mecánicas y las electrónicas.

VER INFOGRAFÍA

medidas de volumen

El concepto de volumen no debe confundirse con el de capacidad. El volumen corresponde al espacio ocupado por un cuerpo, su unidad de medida en el Sistema Internacional de Unidades es el m³; en cambio, la capacidad es la propiedad que tiene un objeto de contener cierta cantidad de materia, su unidad principal de medida es el litro (L).

Las unidades de volumen miden la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. El metro cúbico (m³) es la unidad de medida de volumen y equivale al espacio ocupado por un cubo que mide 1 m de largo, 1 m de ancho y 1 m de alto.

Las conversiones entre las distintas unidades de volumen se muestran en el siguiente esquema:

El procedimiento para hacer conversiones de unidades es el mismo que en los casos de masa y longitud.

– Ejemplo 1:

Convierte 5 centímetros cúbicos a milímetros cúbicos.

5 × 1.000 = 5.000

5 cm³ = 5.000 mm³

– Ejemplo 2:

Convierte 6,2 kilómetros cúbicos a decámetro cúbicos.

6,2 × 1.000.000 = 6.200.000

6,2 km³ = 6.200.000 dam³

– Ejemplo 3:

Convierte 79 centímetros cúbicos a metro cúbico.

79 ÷ 100.000 = 0,00079

79 cm³ = 0,00079 m³

¿Sabías qué?

1 litro es igual a 1 dm³ y 1 mililitro es igual a 1 cm³

medidas de tiempo

El tiempo es una magnitud que nos señala la duración de un suceso. Existen varias formas de medir el tiempo, ya sea con un cronómetro, un reloj o un calendario. A diferencia de otras magnitudes, el tiempo puede ser medido con unidades que van de 60 en 60, como los segundos, minutos y horas. También puede ser medido la cantidad de días o años.

Las unidades de tiempo pueden ser menores o mayores, según el período que se quiera medir. Por ejemplo, las unidades de tiempo respecto a un día son:

1 día = 24 horas
1 hora = 60 minutos
1 minutos = 60 segundos

El esquema para hacer conversiones es el siguiente:

Para convertir unidades de tiempo multiplicamos o dividimos por 60 tantas veces como espacios entre unidades hayan.

– Ejemplo 1:

Convierte 54.000 segundos a horas.

Como hay dos espacios entre los segundos y las horas, dividimos dos veces entre 60, lo que es igual a dividir entre 3.600.

54.000 ÷ 3.600 = 15

54.000 segundos = 15 horas

– Ejemplo 2:

Convierte 120 minutos a horas.

Como solo hay un espacio, dividimos entre 60.

120 ÷ 60 = 2

120 minutos = 2 horas

– Ejemplo 3:

Convierte 120 minutos a segundo.

Como solo hay un espacio, multiplicamos por 60.

120 × 60 = 7.200

120 minutos = 7.200 segundos

También hay unidades de tiempo mayores a un día como las siguientes:

1 año = 365 días
1 lustro = 5 años
1 década = 10 años
1 siglo= 100 años
1 milenio = 1.000 años

¡A practicar!

Convierte las siguientes unidades de medida:

0,6 cm a mm.

Solución

0,6 cm = 6 mm.

1,5 m a dm.

Solución

1,5 m = 15 dm.

1,7 m a cm.

Solución

1,7 m = 170 cm.

7,5 kg a g.

Solución

7,5 kg = 7.500 g.

6,9 hg a a dg.

Solución

6,9 hg a = 6.900 dg.

196 dg a a dag.

Solución

196 dg = 1,96 dag.

8 horas a minutos.

Solución

8 horas = 480 minutos.

720 minutos a horas.

Solución

720 minutos = 12 horas.

3 horas a segundos.

Solución

3 horas = 10.800 segundos.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Conversión de unidades de volumen”

En este artículo encontrarás distintos problemas para ejercitar la conversión de unidades de volumen.

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Artículo “Conversión de unidades de longitud”

En este artículo hay información complementaria y ejercicios referidos a las unidades de longitud.

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CAPÍTULO 2 / TEMA 8 (REVISIÓN)

OPERACIONES | ¿qué aprendimos?

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

La adición consiste en combinar, agrupar o sumar números; la sustracción, en cambio, consiste en quitar o restar números a un grupo. Siempre que queramos resolver cualquiera de estas operaciones, debemos considerar el valor posicional de cada una de las cifras de los números. Por otro lado, la adición cumple con ciertas propiedades como la asociativa y la conmutativa que no se pueden aplicar a la sustracción.

Un ejemplo de la adición por reagrupación es la suma de dinero. Si tienes $ 1.324 y luego te dan $ 3.984, tienes en total $ 1.324 + $ 3.984 = $ 5.318.

Multiplicación

La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar varias veces un mismo número. Los factores son los números que se multiplican o suman reiteradas veces y el producto es el resultado de la multiplicación. La multiplicación sin reagrupación es un método que consiste en multiplicar las unidades, las decenas y las centenas de 2 factores entre sí cuando ninguno de los productos formados supera la decena, mientras que la multiplicación con reagrupación es un procedimiento que podemos utilizar cuando algún producto entre dos cifras es igual o mayor a 10.

División

La división es la operación opuesta a la multiplicación. Sus elementos son el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. El dividendo es la cantidad que se quiere repartir; el divisor indica entre cuántas partes se reparte; el cociente es la cantidad que le corresponde a cada parte y también es el resultado de la división; y el resto representa lo que no se puede repartir. Cuando el resto es igual a cero (0) decimos que la división es exacta.

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

Para la adición y sustracción de números decimales procedemos igual que en el caso de los números naturales, pues debemos colocar cada elemento uno sobre otro según su valor posicional, al final nos aseguramos de que la coma esté en la misma columna. En el caso de las multiplicaciones, realizamos la operación tal y como si fuera una de números naturales, luego le colocamos al producto final la coma de acuerdo a los decimales de los factores.

Si sube la temperatura corporal un grado más allá de los 36,6° de la imagen, la persona tiene fiebre. ¿Cuál es la temperatura a la que puede tener fiebre? El cálculo es 36,6° + 1° = 37,6°. Este es un ejemplo de adición de decimales.

OPERACIONES COMBINADAS

Las operaciones combinadas son aquellas que agrupan diversos cálculos en una sola expresión. Cuando no hay paréntesis debemos seguir un orden de resolución: primero las multiplicaciones y divisiones, luego las sumas y restas. Si la operación combinada tiene paréntesis tenemos que realizar primero los cálculos que están dentro de ellos, es decir, estos tienen prioridad sobre otros.

Los paréntesis son de gran importancia si deseamos realizar operaciones en una calculadora, pues indican que son prioritarias sobre las demás.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) son operaciones que nos ayudan a simplificar cálculos más complejos. El mcm es el mínimo múltiplo que tienen en común dos o más números y el mcd es el divisor mayor que tienen en común dos o más números. Ambos pueden ser calculados por comparación de múltiplos y divisores o por descomposición de su números en factores primos.

La descomposición en factores primos consiste en dividir cada número entre su divisor mínimo para representar un número como producto de sus números primos. Algunos números primos están en esta imagen.

CONVERSIONES DE MEDIDAS

Algunas magnitudes que podemos medir son la longitud, la masa, el volumen y el tiempo. Cada una de ellas tiene una unidad básica de medida pero no son las únicas. Para medir longitudes podemos usar unidades como el metro, el kilómetro o el centímetro; para medir masas usamos unidades como el gramo, el kilogramo o el miligramo; para medir el volumen usamos unidades como el centímetro cúbico o el metro cúbico; y para medir el tiempo usamos unidades como los segundos, los minutos, las horas, los días o los años.

Hay mariposas que solo viven 1 día. Si convertimos esta unidad, también podemos decir que hay mariposas que viven 24 horas.

CAPÍTULO 2 / TEMA 3

DIVISIÓN

La división es la operación inversa a la multiplicación. Mientras que en la multiplicación buscamos unir cantidades en grupos iguales, en la división buscamos separarlas en grupos iguales. Las divisiones pueden ser de dos tipos: exactas o inexactas. Hoy aprenderás las reglas necesarias para poder resolverlas.

la división y sus elementos

La división es una operación matemática que consiste en repartir una cantidad en partes iguales. Sus elementos son los siguientes:

Dividendo: es el número que se va dividir o repartir.
Divisor: es el número por el que se divide.
Cociente: es el resultado de la división.
Resto: es lo que sobra del dividiendo. No se puede dividir debido a que es un número más pequeño que el divisor.

Todo número tiene sus múltiplos, de la misma manera, también tiene sus divisores. Estos son números que lo dividen de forma exacta, es decir, los divisores de un número son los que dividen a este y el resultado de esa división es un número exacto. En forma general, dado un número b, si la división a/b es exacta, donde el resto c es cero, entonces se dice que b es divisor de a.

división exacta

La división exacta es aquella cuyo resto es igual a 0.

– Por ejemplo:

Carlos tiene 20 manzanas y las desea repartir entre 5 personas: Marta, Carla, Lucía, Pedro y Francisco. ¿Cuántas manzanas le corresponden a cada uno?

Como la división es la operación inversa a la multiplicación, podemos preguntarnos ¿qué número multiplicado por 5 da como producto el número 20?

5 × ? = 20

5 × 4 = 20

El factor desconocido será igual al cociente exacto de la división. En este caso es 4, porque ya sabemos que 5 × 4 = 20. Por lo tanto, toda división será exacta cuando el dividendo sea igual al producto entre el divisor y el cociente:

dividendo = divisor × cociente

Podemos comprobar esta relación si realizamos la división:

Por lo tanto, Carlos puede repartir exactamente las 20 manzanas entre 5 personas si a cada una le da 4 manzanas.

división inexacta

La división inexacta es aquella cuyo resto es diferente de 0.

– Por ejemplo:

La maestra quiere repartir 23 lápices entre 4 niños: Lucas, Juan, Carlos y Luis. ¿Cuántos lápices le corresponden a cada uno?

A diferencia de las divisiones exactas, en las inexactas no hay números naturales que multiplicados por el divisor nos den por resultado el dividendo. Pues, 4 × 5 = 20, y su producto es menor al dividendo (23); en cambio, 4 × 6 = 24, y su producto es mayor al dividendo (23). Entonces, consideramos la opción más cercana e inferior al dividendo, es decir, 5; y lo que falte para llegar al dividendo será el resto.

dividendo = divisor × cociente + resto

Comprobamos la relación al realizar la división:

Por lo tanto, la maestra puede dar 5 lápices a cada niño y le sobrarán 3 lápices.

¿Sabías qué?

El signo de división también se puede representar con dos puntos (:). De esta forma, “36 : 9” se lee “36 entre 9”.

¿cómo resolver una división?

1. Observa las dos primeras cifras del dividendo. Si son mayores que el divisor, comienza por ellas.

2. Busca un número que multiplicado por 12 sea igual a 43 o cercano e inferior a él. En este caso: 12 × 3 = 36. Este producto lo restamos a la primeras dos cifras del dividendo: 43 − 36 = 7.

3. Baja la siguiente cifra del dividendo.

4. Repite el proceso anterior. Busca un número que multiplicado por 12 resulte 72 o se acerque a 72. En este caso: 12 × 6 = 72. Luego restamos este producto al 72 obtenido de la resta.

Esta división es exacta porque el resto es igual a cero (0) y podemos comprobarla si al multiplicar el cociente (36) por el divisor (12) el resultado es igual al dividendo (432): 12 × 36 = 432.

Entonces, 432 ÷ 12 = 36 porque 12 × 36 = 432.

– Otro ejemplo:

1. Observa las dos primeras cifras del dividendo, como son menores que el divisor (47 < 64), toma hasta la tercera para iniciar la división.

2. Busca un número que multiplicado por 64 sea igual o cercano a 476.

Como el resto es menor que divisor (28 < 64), queda así. Podemos comprobar esta división si multiplicamos el cociente (7) por el divisor (64) y le sumamos el resto (28). Si el resultado es igual al dividendo, la división está correcta.

64 × 7 + 28 = 476

Entonces, 476 ÷ 64 = 7 y resto = 28.

Fracciones: una división sin resolver

Las divisiones sin resolver se conocen como fracciones. Las fraccione representan una parte de un todo y se caracterizan por tener un numerador y un denominador separados por una raya fraccionaria. El denominador es un número que indica en cuantas partes se divide la unidad, y el numerador es el número que señala cuántas de esas partes se han de tomar.

división entre 10, 100 y 1.000

Las divisiones por la unidad seguida de cero son muy sencillas, solo debes desplazar una coma a la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. De faltar lugares, añadimos ceros.

– Ejemplo:

1.789 ÷ 10 = 178,9 → Movemos una coma un lugar a la izquierda.
1.789 ÷ 100 = 17,89 → Movemos una coma dos lugares a la izquierda.
1.789 ÷ 1.000 = 1,789 → Movemos una coma tres lugares a la izquierda.

– Otros ejemplos:

	275	489	70	6	1.652	3.698
÷ 10	27,5	48,9	7	0,6	165,3	369,8
÷ 100	2,75	4,89	0,7	0,06	16,52	36,98
÷ 1.000	0,275	0,489	0,07	0,006	1,652	3,698

Los grados centígrados que miden la temperatura son un ejemplo de división entre 10. Si tienes 1 grado y lo divides entre 10 el cálculo es 1 ÷ 10 = 0,1. Los termómetros muestran las mediciones por medio de sumas sucesivas de 0,1 grados. Por ejemplo 36,6; 36,7; 36,8; y así sucesivamente.

¡A practicar!

1. Resuelve la siguientes divisiones.

27 ÷ 3
Solución
27 ÷ 3 = 9
100 ÷ 9
Solución
100 ÷ 9 = 11 y resto = 1
1.934 ÷ 23
Solución
1.934 ÷ 23 = 84 y resto = 2
2.487 ÷ 16
Solución
2.487 ÷16 = 155 y resto = 7
3.432 ÷ 52
Solución
3.432 ÷ 52 = 66
61.712 ÷ 76
Solución
61.712 ÷ 76 = 812

2. Resuleve la siguientes divisiones por la unidad seguida de cero.

254 ÷ 10
Solución
254 ÷ 10 = 25,4
27 ÷ 10
Solución
27 ÷ 10 = 2,7
2 ÷ 10
Solución
2 ÷ 10 = 0,2
333 ÷ 100
Solución
333 ÷ 100 = 3,33
25 ÷ 1.000
Solución
25 ÷ 1.000 = 0,025
999 ÷ 1.000 =
Solución
999 ÷ 1.000 = 0,999
8.000 ÷ 1.000 =
Solución
8.000 ÷ 1.000 = 8

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Propiedades de la división”

Con este artículo podrás estudiar las propiedades adicionales de la división y realizar ejercicios complementarios.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 2

MULTIPLICACIÓN

Si queremos comprar 8 chocolates y cada uno cuesta $ 6, ¿cuánto dinero tenemos que pagar? Para responder esta pregunta debemos hacer una multiplicación. Esta es una operación que simplifica la tarea de sumar varias veces un mismo número. Así que, en lugar de contar 8 veces 6, lo podemos representar como 8 × 6 = 48. A continuación aprenderás cómo hacer estos cálculos con números grandes.

¿Qué es la multiplicación?

La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar varias veces un mismo número.

Los elementos de la multiplicación son:

Factores: son los números que se multiplican o suman reiteradas veces.
Producto: es el resultado de la multiplicación. Cuando las multiplicaciones son largas el producto final se obtiene por la suma de los productos parciales.

Multiplicaciones en la Fórmula 1

Las multiplicaciones se utilizan en una gran variedad de situaciones y las carreras de automóviles son un ejemplo. Supongamos que una vuelta completa a la pista de carrera es de 4 kilómetros y para realizar toda carrera el vehículo tiene que dar 52 vueltas. Si multiplicamos la cantidad de vueltas por los kilómetros de cada vuelta sabremos la distancia total recorrida por el vehículo, es decir, 52 × 4 = 208. Entonces, el vehículo recorre 208 kilómetros en toda la carrera.

multiplicación sin reagrupación

Es un método que consiste en multiplicar las unidades, las decenas y las centenas de 2 factores entre sí cuando ninguno de los productos formados supera la decena.

– Ejemplo: 234 × 21

Lo primero que tenemos que hacer es ubicar los factores uno arriba del otro, de manera tal que las unidades estén sobre las unidades, las decenas sobre las decenas y las centenas sobre las centenas.

Luego multiplicamos las unidades del factor de abajo por todas las cifras del factor de arriba (1 × 324 = 324). Colocamos el resultado en la fila inferior desde la derecha hacia la izquierda.

Después multiplicamos las decenas del factor de abajo por cada cifra del factor de arriba (2 × 324 = 648). Escribimos este resultado debajo del obtenido anteriormente y dejamos un espacio a la derecha.

Finalmente realizamos una suma de los productos parciales.

– Ejemplo: 122 × 332

Ubicamos los factores uno sobre otro.

Multiplicamos las unidades del segundo factor por todas las cifras del primer factor (2 x 122 = 244) y escribimos el resultado en la última fila.

Multiplicamos las decenas del segundo factor por cada cifra del primer factor (3 × 122 = 366). Escribimos el resultado y dejamos un espacio a la derecha.

Repetimos el procedimiento anterior, esta vez con las centenas del segundo factor (3 × 122 = 366).

Al final sumamos las tres filas. Ese será el resultado de nuestra multiplicación.

El área de un rectángulo es igual a una multiplicación de dos de sus lados. Por ejemplo, un campo de fútbol puede llegar a tener 120 metros de largo y 90 metros de ancho. Para saber el área del campo solo tenemos que multiplicar ambas medidas, es decir, 120 m x 90 m = 10.800 m². Por lo tanto, el campo tiene un área de 10.800 metros cuadrados.

¡A practicar!

Realiza las siguientes multiplicaciones:

231 × 32

Solución

321 x 123

Solución

MULTIPLICACIÓN CON REAGRUPACIÓN

Es un procedimiento que podemos utilizar cuando algún producto es igual o mayor a 10. Aquí reagrupamos decenas o centenas según sea el caso.

– Ejemplo: 469 x 73

Al igual que en el caso anterior, colocamos los factores uno sobre otros y nos aseguramos de que las unidades, decenas y centenas de cada factor estén en las mismas columnas.

Multiplicamos las unidades del factor ubicado debajo por todas las cifras del factor de arriba. En este caso comenzamos con 3 y lo multiplicamos por 9. Como 3 × 9 = 27, colocamos el 7 en la fila de los resultados y el 2 lo ubicamos en la columna de las decenas de los factores.

Ahora multiplicamos 3 x 6 = 18, pero debemos agrupar este resultado con el 2 que colocamos antes. Entonces, el resultado es 18 + 2 = 20. Escribimos el 0 en la fila del resultado y colocamos el 2 en la columna de las centenas.

El siguiente producto es 3 x 4 = 12 y agrupamos con el 2 de las centenas. Así que 12 + 2 = 14. En la fila del resultado colocamos las dos cifras del número.

Repetimos el mismo procedimiento con las decenas del factor de abajo y lo multiplicamos por cada cifra del primer factor (7 × 469 = 3.283).

Luego sumamos las dos filas y obtenemos el resultado de la multiplicación.

Tabla pitagórica

Es otro modelo de tabla de multiplicar. Fue construida por Pitágoras, filósofo y matemático griego del siglo V a. C., para enseñarles a multiplicar a los más pequeños. La primera columna y fila dispone de los números que van ser multiplicados, y cada una de las celdas internas de la tabla representa la multiplicación entre los números de la primera fila y columna.

– Ejemplo: 423 x 514

Cuando los dos factores tienen tres cifras el procedimiento es el mismo. Ubicamos los factores uno sobre otro, y multiplicamos las unidades del segundo factor por el primero (4 × 423 = 1.692).

Multiplicamos las decenas del segundo factor por cada cifra del primer factor (1 × 423 = 423).

Repetimos el procedimiento con las centenas del factor de abajo (5 × 423 = 2.115).

Sumamos las filas con los productos parciales.

¡A practicar!

Realiza esta multiplicación:

721 × 166

Solución

721 × 166 = 119.686

MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO NATURAL POR 10, 100 Y 1.000

Veamos estas 3 multiplicaciones:

473 × 10 = 4.730
473 × 100 = 47.300
473 × 1.000 = 473.000

Como ves, cuando se multiplica un número natural por 10, 100 y 1.000 basta con agregar ceros al número original como se resume en la siguiente tabla:

Para multiplicar un número natural por…	Agregamos…	Ejemplo
10	un cero	912 × 10 = 9.120
100	dos ceros	411 × 100 = 41.100
1.000	tres ceros	746 × 1.000 = 746.000

LA MULTIPLICACIÓN Y LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

La propiedad distributiva establece que si multiplicamos un número por una suma es igual a multiplicar ese número por cada sumando y luego sumar los productos finales.

– Ejemplo:

Esta propiedad también se cumple en la resta:

¿Sabías qué?

Puedes resolver primero la suma o resta que esté dentro de los paréntesis y luego hacer la multiplicación. El resultado será el mismo.

Las multiplicaciones forman parte de nuestro día a día. Las usamos cada vez que hacemos compras, contamos las butacas de un cine o jugamos con nuestros amigos. Por lo general hacemos esta operación cuando manejamos dinero, pues si tenemos 6 billetes de $ 100 es más fácil solo multiplicar 6 x 100 = 600 en lugar de contar de 100 en 100 hasta llegar a 600.

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones:

414 x 24 =
Solución
414 x 24 = 9.936
121 x 38 =
Solución
121 x 38 = 4.598
741 x 51 =
Solución
741 x 51 = 37.791
620 x 324 =
Solución
620 x 324 = 200.880
496 x 531 =
Solución
496 x 531 = 263.376
589 x 10 =
Solución
589 x 10= 5.890
144 x 100 =
Solución
144 x 100 = 14.400
378 x 1.000 =
Solución
378 x 1.000 = 378.000

2. Usa la propiedad distributiva para resolver estas operaciones:

(25 + 30) x 2 =
Solución
(25 + 30) x 2 = 110
(10 + 9) x 4 =
Solución
(10 + 9) x 4 = 76
(15 − 8 ) x 100 =
Solución
(15 − 8) × 100 = 700
(24 − 22) × 5 =
Solución
(24 − 22) × 5 = 10

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Multiplicación por dos o más cifras”

En este artículo podrás acceder a información complementaria sobre algunos métodos de multiplicación

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Artículo “Trucos para aprender las tablas de multiplicar”

Este artículo brinda los recursos necesarios para estudiar las tablas de multiplicar.

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CAPÍTULO 2 / TEMA 1

adición y sustracción

La adición y la sustracción son dos operaciones muy usadas en la cotidianidad. La primera consiste en combinar o agrupar números; y la segunda, en cambio, consiste en quitar números a un grupo. Saber los valores posicionales de cada cifra nos ayudan a hacer sumas y restas con números grandes por reagrupación de sus unidades, decenas y centenas.

Las primeras operaciones básicas que todos aprendemos son la adición y la sustracción. Estas nos ayudan día a día en cálculos cotidianos, como saber cuántos juguetes tenemos en total, cuánto dinero gastamos en el desayuno, cuánta tarea nos falta por hacer o cuántas horas faltan para ver nuestro programa favorito.

ADICIÓN POR REAGRUPACIÓN

La adición es una operación básica en la que combinamos dos o más números para obtener una cantidad final o total. El símbolo empleado para hacer esta operación es “+“.

Toda adición consta de dos partes:

Sumandos: son los números que vamos a sumar.
Suma: es el resultado de la suma.

La adición por reagrupación es un método que consiste en agrupar las unidades, decenas y centenas del número. Para sumar dos números como 12.468 y 147.314, los pasos son los siguientes:

1. Ubica los sumandos uno arriba del otro de tal manera que los valores posicionales estén en una misma columna, es decir, unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, y así sucesivamente.

2. Suma cada columna a partir de las unidades. Escribe en la parte inferior de la columna el resultado. Si el resultado de la suma en una columna es de dos cifras, coloca el número de la unidad de dicho número en la parte inferior y la decena la sumanos a la columna siguiente.

Propiedades de la adición

Propiedad conmutativa

Esta propiedad indica que el orden de los números no afecta el resultado de la suma.

– Ejemplo:

12.046 + 71 = 71 + 12.046

Observa que sin importar la ubicación de los sumandos, el resultado es el mismo.

¡Hay otra solución!

Podemos representar la propiedad conmutativa de otra manera. Para la suma anterior es así:

Propiedad asociativa

Esta propiedad indica que la forma en la que agrupemos los sumandos no afecta el resultado.

– Ejemplo:

(856.127 + 12.713) + 82.311 = 951.151

Primero resolvemos la suma que está dentro de los paréntesis y al final sumamos 82.311.

856.127 + (12.713 + 82.311) = 951.151

Primero resolvemos las sumas que están dentro de los paréntesis y al final sumamos 856.127.

En ambas ocasiones el resultado es el mismo sin importar la manera en la que se agruparon.

¡Hay otra solución!

Podemos representar la propiedad asociativa de otra manera. Para la suma anterior es así:

Elemento neutro

Esta propiedad indica que si a cualquier número le sumamos cero el resultado será el mismo número.

– Ejemplo:

148.583 + 0 = 148.583

Ábaco: una herramienta para contar

El ábaco es una herramienta o instrumento que se utiliza para realizar cálculos manuales a través de contadores o marcadores que representan ciertas cantidades. Es uno de los objetos más antiguos utilizados por el hombre para realizar sus operaciones matemáticas y quizás el de mayor distribución a nivel mundial.

sustracción por reagrupación

La sustracción, al igual que la adición, es una operación básica. Es considerada una operación opuesta a la adición, ya que consiste en quitar una cantidad a otra. Se representa con el símbolo “−“.

Las partes de esta operación son:

Minuendo: es el número al cual le quitamos una cantidad.
Sustraendo: es el número que resta al minuendo.
Diferencia: es el resultado de la operación.

La sustracción por reagrupación es un método que consiste en agrupar las unidades, decenas y centenas del número. Para restar dos números como 549.763 y 95.126, los pasos son los siguientes:

1. Ubica el minuendo sobre el sustraendo y verifica que los valores posicionales de cada cifra coincidan en la misma columna.

2. Comienza a restar desde la columna de las unidades, de derecha a izquierda. Cuando en una columna una cifra del minuendo es menor que la del sustraendo, esta toma una decena del minuendo de la izquierda. En estos casos, el minuendo que prestó una decena se reduce y debemos considerar el valor de la nueva cifra.

¿Sabías qué?

En la sustracción no existen las mismas propiedades que en la adición.

Propiedades de la sustracción

Elemento neutro

Si a un número se le resta 0, el resultado es el mismo número.

– Ejemplo:

245.630 − 0 = 245.630

Elemento simétrico

Si dos números iguales se restan, el resultado siempre es 0.

– Ejemplo:

983.124 − 983.124 = 0

En una ciudad se recolectaron 55.879 botellas de plástico para reciclar. Si solo se han reciclado 48.250 botellas, ¿cuántas botellas faltan para terminar la tarea? Responder esta pregunta es fácil cuando sabemos las restas por reagrupación. Así que restamos: 55.879 – 49.250 = 6.629. Entonces, aún faltan 6.629 botellas por reciclar.

Problemas de adición y sustracción

Para resolver problemas matemáticos debemos seguir una serie de pasos. Observa estos ejemplos:

1. Juan tenía en el banco $ 132.798 y le pagaron por la venta de su vehículo $ 369.000. ¿Cuánto dinero tiene Juan ahora?

Datos

Dinero en el banco: $ 132.798

Pago por el vehículo: $ 369.000

Pregunta

¿Cuánto dinero tiene Juan ahora?

Piensa

Para saber la cantidad total de dinero que Juan tiene ahora debemos sumar el dinero que tenía en el banco y el dinero que le pagaron.

Calcula

Solución

Juan tiene $ 501.798 en el banco.

2. Gabriel jugaba un videojuego. En un día obtuvo 412.312 puntos en el primer partido, 469.142 puntos en el segundo partido y 111.222 en el tercero. ¿Cuántos puntos obtuvo en total ese día?

Datos

Puntos en el primer partido: 412.312

Puntos en el segundo partido: 469.142

Puntos en el tercer partido: 111.222

Pregunta

¿Cuántos puntos obtuvo en total?

Piensa

Para hallar la cantidad total de puntos solo debemos sumar todos los puntos que obtuve en los tres partidos. Según la propiedad asociativa, no importa cómo se agrupen los números, el resultado siempre será el mismo.

Calcula

Solución

Gabriel obtuvo 992.676 puntos ese día en el videojuego.

3. Carla y Pedro tomaban fotografías en el parque. Carla tomó 2.546 fotografía y Pedro tomó 620 fotografía menos que ella. ¿Cuántas fotografía tomaron los dos?

Datos

Fotografía tomadas por Carla: 2.546

Fotografía tomadas por Pedro: 620 menos que Carla

Pregunta

¿Cuántas fotografía tomaron los dos?

Piensa

Hay que hallar las fotos que tomó Pedro. Para esto restamos 620 a la cantidad de fotos que tomó Carla.
Para saber el total de fotos tomadas entre los dos solo debemos sumar la cantidad de foto que tomaron ambos.

Calcula

1. Fotos tomadas por Pedro:

2. Fotos tomadas por los dos:

Solución

Carla y Pedro tomaron 4.472 fotografías.

¡A practicar!

Resuelve las siguientes operaciones:

18.654 + 987 =
Solución
18.654 + 987 = 19.641

546.821 + 12.547 =
Solución
546.821 + 12.547 = 559.368

452.365 − 0 =
Solución
452.365 − 0 = 452.365

89.546 + 6.547 + 3.245 =
Solución
89.546 + 6.547 + 3.245 = 99.338

81.974 − 9.634 =
Solución
81.974 − 9.634 = 72.340

15.689 − 15.689 =
Solución
15.689 − 15.689 = 0

35.785 + 54.753 + 56.852 =
Solución
35.785 + 54.753 + 56.852 =147.390

258.369 + 0 =
Solución
258.369 + 0 = 258.369

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Operaciones básicas de los número naturales y sus propiedades”

Este artículo explica las propiedades de las operaciones básicas con los números naturales, lo que te permitirá ampliar el tema.

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Artículo “Cómo enseñar a sumar y restar”

Este recurso contiene sugerencias y prácticas que puedes emplear para enseñar operaciones como la suma y la resta.

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Artículo “Resta de números naturales

Este recurso te permitirá profundizar sobre los elementos que conforman una sustracción, sus propiedades y usos.

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