CAPÍTULO 2 / TEMA 6

MÍnimo común múltiplo y máximo común divisor

La multiplicación y la división son operaciones básicas relacionadas directamente con dos conceptos: múltiplos y divisores. Ambos términos señalan la cantidad de veces que un número está contenido dentro de otro y la cantidad de veces que un número puede dividir a otro. Gracias a ellos podemos calcular múltiplos y divisores comunes en dos o más números y así poder simplificar operaciones más complejas.

múltiplos y divisores

El múltiplo de un número natural se obtiene al multiplicar ese número por otro número natural, por ejemplo:

4 × 1 = 4
4 × 2 = 8
4 × 3 = 12
4 × 4 = 16
4 × 5 = 20
4 × 6 = 24
4 × 7 = 28
4 × 8 = 32
4 × 9 = 36

Los números marcados en rojo son múltiplos de 4. Estos números resultan de la multiplicación del número 4 por números naturales. Como los números naturales son infinitos, los múltiplos de un número también lo son, así que los múltiplos de 4 y de cualquier número continúan hasta el infinito.

Por otro lado, un divisor es todo número que al dividir a otro resulta en una división exacta, por ejemplo:

12 ÷ 1 = 12
12 ÷ 2 = 6
12 ÷ 3 = 4
12 ÷ 4 = 3
12 ÷ 5 = 2 y resto = 2
12 ÷ 6 = 2
12 ÷ 7 = 1 y resto = 5
12 ÷ 8 = 1 y resto = 4
12 ÷ 9 = 1 y resto = 3

Los números marcados en rojo son divisores de 12 porque su división tiene un cociente entero con resto igual a cero, es decir, son divisiones exactas.

¡Es tu turno!

Escribe los múltiplos y divisores de 25.

Solución

Múltiplos: 25, 50, 75, 100,…

25 × 1 = 25
25 × 2 = 50
25 × 3 = 75
25 × 4 = 100

Divisores: 1, 5, 25

25 ÷ 1 = 25
25 ÷ 5 = 5
25 ÷ 25 = 1

Los múltiplos y los divisores no son conceptos aislados, de hecho, están muy relacionados entre sí. Si un número a es múltiplo de otro número b, este último es divisor del primero. Por ejemplo, el número 6 es múltiplo de 2 porque 2 × 3 = 6, pero al mismo tiempo, 2 es divisor de 6, porque 6 ÷ 2 = 3. ¿Puedes buscar esta relación en otros números? ¡Inténtalo!

Mínimo común múltiplo

Entre dos o más números, el mínimo común múltiplo o mcm es el menor múltiplo que tienen dichos números en común. Por ejemplo, observa los múltiplos de 4 y 5:

Múltiplos de 4 → 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 28, 32, 36, 40, …

Múltiplos de 5 → 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, …

Tanto el número 4 como el número 5 tienen al 20 y el 40 como múltiplos. Como 20 es el menor de ellos, decimos que el mínimo común múltiplo entre 4 y 5 es 20 y lo representamos de la siguiente forma:

mcm (4, 5) = 20

– Otro ejemplo:

¿Cuál es el mcm entre 12 y 18?

Múltiplos de 12 → 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, …

Múltiplos de 18 → 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, …

Así que:

mcm (12, 18) = 36

¿Sabías qué?

Al mínimo común múltiplo también se lo conoce como múltiplo común menor.

El mcm se utiliza en operaciones con fracciones, especialmente en la simplificación de resultados. Por ejemplo, al sumar y restar fracciones es más sencillo calcular el mcm de los denominadores, el cual será el denominador final. Luego calcula las fracciones equivalentes de cada elemento del problema para hacer un cálculo con fracciones homogéneas.

Mcm por descomposición

Hay una forma en la que no es necesario calcular varios múltiplos, consiste en descomponer cada número en sus factores primos, para luego multiplicar a los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplo:

– Calcula el mcm entre 15 y 36.

1. Descomponemos cada números en sus factores primos:

2. Identificamos el factor común en los dos números y seleccionamos el de mayor exponente. En este caso el factor común de mayor exponente es el 3².

3. Luego multiplicamos por el factor no común. En este caso los factores no comunes son el 2² y el 5. Así que el mínimo común múltiplo entre 15 y 36 se escribe así:

mcm (15, 36) = 3² × 2² × 5 = 180

Los mínimos divisores y los números primos

Los mínimos divisores que calculamos reciben el nombre de “números primos”. Estos números se caracterizan por ser divisibles entre sí mismos y entre 1. Por ejemplo, el 5 solo se divide entre 5 y entre 1. Lo mismo ocurre con el 2, con el 3, con el 7… De hecho los números primos son infinitos y hay ocasiones en las que los matemáticos anuncian el descubrimiento de nuevos números primos.

Máximo común divisor

Entre dos o más números, el máximo común divisor o mcd es el divisor común mayor entre todos los divisores. Por ejemplo, observa los divisores de 32 y 40:

Divisores de 32 → 1, 2, 4, 8, 16, 32

Divisores de 40 → 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

Los números 32 y 40 tienen varios divisores en común: 1, 2, 4 y 8. Como el 8 es el mayor de todos, decimos que el máximo común divisor entre 32 y 40 es 8. Lo escribimos de la siguiente manera:

mcd (32, 40) = 8

– Otro ejemplo:

¿Cuál es el mcd entre 35 y 49?

Divisores de 35 → 1, 5, 7, 35

Divisores de 49 → 1, 7, 49

Así que:

mcd (35, 49) = 7

¿Sabías qué?

El máximo común divisor también es conocido como “divisor común mayor”.

Mcd por descomposición

Otra forma para calcular el mcd es por medio de la factorización o descomposición en factores primos. Luego de esto, multiplicamos solo los factores comunes con su menor exponente. Por ejemplo:

– Calcular el mcd entre 30 y 20.

1. Factorizamos cada número.

2. Multiplicamos los factores comunes con su menor exponente. Los factores no comunes no se consideran para este cálculo. Entonces, el mcd entre 30 y 20 se escribe así:

mcd (30, 20) = 2 × 5 = 10

El mcd en la historia

El estudio del mcd se remonta a la antigua Grecia con Euclides, quien fue un líder de un grupo de matemáticos que vivió en los siglos IV y III a. C. En su obra Elementos, él describió un método para calcular el máximo común divisor de un número por medio del algoritmo de Euclides.

¡A practicar!

1. ¿Cuáles son los divisores de los siguientes números?

Solución

1, 2, 4, 8, 7, 14, 28 y 56.

Solución

1, 2, 4, 7, 14 y 28.

Solución

1, 2, 37 y 74.

2. ¿Cuáles son los primeros seis múltiplos de estos números?

Solución

34, 68, 102, 136 y 170.

Solución

23, 46, 69, 92, 115 y 138.

Solución

50, 100, 150, 200, 250 y 300.

3. ¿Cuál es el mcm de los siguientes números?

60 y 38.

Solución

mcm (60, 38) = 420

10 y 25.

Solución

mcm (10, 25) = 50

8 y 12.

Solución

mcm (8, 12) = 24

4. ¿Cuál es el mcd de los siguientes números?

50 y 80.

Solución

mcd (50, 80) = 10

16 y 72.

Solución

mcd (16, 72) = 8

60 y 75

Solución

mcd (60, 75) = 15

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Mínimo común múltiplo y máximo común divisor”

Con este recurso podrás poner en práctica los aprendido en este artículo, ya que cuenta con problemas que puedes resolver por medio de mcm y mcd.

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Artículo “Mínimo común múltiplo (mcm)”

En esta animación podrás trabajar con tus alumnos una aplicación directa del mcm.

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Tabla comparativa “Múltiplos y divisores”

Con este recurso podrás profundizar la información sobre las propiedades de los múltiplos y los divisores.

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CAPÍTULO 2 / TEMA 8 (REVISIÓN)

OPERACIONES | ¿qué aprendimos?

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

La adición consiste en combinar, agrupar o sumar números; la sustracción, en cambio, consiste en quitar o restar números a un grupo. Siempre que queramos resolver cualquiera de estas operaciones, debemos considerar el valor posicional de cada una de las cifras de los números. Por otro lado, la adición cumple con ciertas propiedades como la asociativa y la conmutativa que no se pueden aplicar a la sustracción.

Un ejemplo de la adición por reagrupación es la suma de dinero. Si tienes $ 1.324 y luego te dan $ 3.984, tienes en total $ 1.324 + $ 3.984 = $ 5.318.

Multiplicación

La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar varias veces un mismo número. Los factores son los números que se multiplican o suman reiteradas veces y el producto es el resultado de la multiplicación. La multiplicación sin reagrupación es un método que consiste en multiplicar las unidades, las decenas y las centenas de 2 factores entre sí cuando ninguno de los productos formados supera la decena, mientras que la multiplicación con reagrupación es un procedimiento que podemos utilizar cuando algún producto entre dos cifras es igual o mayor a 10.

División

La división es la operación opuesta a la multiplicación. Sus elementos son el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. El dividendo es la cantidad que se quiere repartir; el divisor indica entre cuántas partes se reparte; el cociente es la cantidad que le corresponde a cada parte y también es el resultado de la división; y el resto representa lo que no se puede repartir. Cuando el resto es igual a cero (0) decimos que la división es exacta.

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

Para la adición y sustracción de números decimales procedemos igual que en el caso de los números naturales, pues debemos colocar cada elemento uno sobre otro según su valor posicional, al final nos aseguramos de que la coma esté en la misma columna. En el caso de las multiplicaciones, realizamos la operación tal y como si fuera una de números naturales, luego le colocamos al producto final la coma de acuerdo a los decimales de los factores.

Si sube la temperatura corporal un grado más allá de los 36,6° de la imagen, la persona tiene fiebre. ¿Cuál es la temperatura a la que puede tener fiebre? El cálculo es 36,6° + 1° = 37,6°. Este es un ejemplo de adición de decimales.

OPERACIONES COMBINADAS

Las operaciones combinadas son aquellas que agrupan diversos cálculos en una sola expresión. Cuando no hay paréntesis debemos seguir un orden de resolución: primero las multiplicaciones y divisiones, luego las sumas y restas. Si la operación combinada tiene paréntesis tenemos que realizar primero los cálculos que están dentro de ellos, es decir, estos tienen prioridad sobre otros.

Los paréntesis son de gran importancia si deseamos realizar operaciones en una calculadora, pues indican que son prioritarias sobre las demás.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) son operaciones que nos ayudan a simplificar cálculos más complejos. El mcm es el mínimo múltiplo que tienen en común dos o más números y el mcd es el divisor mayor que tienen en común dos o más números. Ambos pueden ser calculados por comparación de múltiplos y divisores o por descomposición de su números en factores primos.

La descomposición en factores primos consiste en dividir cada número entre su divisor mínimo para representar un número como producto de sus números primos. Algunos números primos están en esta imagen.

CONVERSIONES DE MEDIDAS

Algunas magnitudes que podemos medir son la longitud, la masa, el volumen y el tiempo. Cada una de ellas tiene una unidad básica de medida pero no son las únicas. Para medir longitudes podemos usar unidades como el metro, el kilómetro o el centímetro; para medir masas usamos unidades como el gramo, el kilogramo o el miligramo; para medir el volumen usamos unidades como el centímetro cúbico o el metro cúbico; y para medir el tiempo usamos unidades como los segundos, los minutos, las horas, los días o los años.

Hay mariposas que solo viven 1 día. Si convertimos esta unidad, también podemos decir que hay mariposas que viven 24 horas.

CAPÍTULO 4 / TEMA 5 (REVISIÓN)

Unidades y medidas | ¿Qué aprendimos?

Unidades de medición

Existen diferentes magnitudes físicas como la longitud, el área, el volumen y el tiempo que emplean unidades de medidas particulares. En el caso de la longitud, mide la distancia entre dos puntos; el área mide la superficie; el volumen mide el espacio y el tiempo mide la duración de un suceso. Desde 1960 se creó el Sistema Internacional de Unidades que busca que todos los países usen las mismas unidades de medición: el metro, el kilogramo, el metro cuadrado, el metro cúbico, el segundo, etc.

Los mayas usaban su propio calendario para medir el tiempo y planificar sus cosechas.

Instrumentos de medición

Medir es comparar con base en un patrón, de manera que para poder medir usamos instrumentos que se encuentran calibrados y presentan ciertas características como el rango de medición que soportan y que se indica en su cota superior e inferior. Algunos ejemplos de instrumentos que se usan en la escuela son la regla, la escuadra y el transportador. Los dos primeros miden longitudes y el último mide tamaños de ángulos.

Las reglas que usamos en la escuela generalmente vienen graduadas en centímetros y milímetros.

El tiempo

Para medir el tiempo usamos los relojes y cronómetros. Los relojes pueden ser análogos cuando emplean manecillas o digitales cuando no las emplean. La lectura del tiempo en estos casos se realiza de diferente manera. En un reloj analógico, la esfera se encuentra dividida en 12 horas que a su vez también presenta su división en minutos. Por otro lado, el formato de 24 horas es un sistema de medición que divide el día en 24 horas y comienza a partir de la medianoche hasta la medianoche siguiente.

Existen otras unidades de tiempo, como el día, la semana, el año, el lustro, la década, el siglo y el milenio.

Conversión de unidades

En el mundo existen diferentes unidades de medidas que pueden estar o no relacionados. Esto sucede con el metro, unidad usada para medir longitudes. El metro presenta submúltiplos como el decímetro, el centímetro y el milímetro; y múltiplos como el kilómetro, el hectómetro y el decámetro. Por medio de diagramas podemos transformar unidades de acuerdo a la relación que existan entre ellas, por ejemplo, las unidades de longitud y de capacidad aumentan de 10 en 10 y las de tiempo (segundo, minuto y hora) aumentan de 60 en 60.

El sistema para medir el tiempo es sexagesimal porque cada unidad es 60 veces menor que la anterior.

CAPÍTULO 3 / TEMA 3

capacidad

Si tenemos un vaso de vidrio y una taza pequeña de té, ¿en cuál cabe más agua? En el vaso, ¿cierto? La propiedad que indica lo que cabe dentro de un recipiente se llama capacidad, y la vemos en todos los envases de gaseosas, aceites y jugos. A continuación aprenderás cuáles son sus unidades de medida y cómo convertirlas.

el litro y el mililitro

La capacidad nos permite conocer qué cabe dentro de un recipiente, por ejemplo, en uno de leche, perfume o champú. Estas cantidades se expresan con unidades de medida y las más usadas son el litro y el mililitro.

Capacidad y volumen: ¿son lo mismo?

No, la capacidad es la cantidad que cabe dentro de un recipiente, mientras que el volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. La unidad de medida del volumen es el metro cúbico, mientras que la unidad de medida de la capacidad es el litro.

El litro es la unidad principal de las medidas de capacidad y en forma abreviada se representa con la letra L. Al litro lo podemos dividir en medios litro y cuartos de litro. Observa:

– Ejemplo:

Esta jarra tiene capacidad para 1 litro de jugo. Si solo tenemos vasos de ½ litro, ¿cuántos vasos podríamos llenar? ¿y si son de ¼ de litro?

Si dividimos un litro en dos partes iguales, cada parte es igual a ½ litro o 0,5 L, es decir, que si tenemos vasos de ½ litro podemos llenar solo 2 vasos.

1 litro = ½ litro + ½ litro

Si dividimos un litro en cuatro partes iguales, cada parte es ¼ de litro o 0,25 L, entonces, si tenemos vasos de ¼ de litro podemos llenar solo 4 vasos.

1 litro = ¼ de litro + ¼ de litro + ¼ de litro + ¼ de litro

¡Es tu turno!

Susana llenó su termo con ocho vasos de ¼ de litro. ¿Qué capacidad tiene el termo?

Solución

2 litros.

Una pecera tiene una capacidad de 4 litros. ¿Cuántas botellas de medio litro son necesarias para llenarla?

Solución

8 botellas.

El litro tiene submúltiplos y con ellos podemos expresar cantidades pequeñas de capacidad, estos son el decilitro (dL), centilitro (cL) y el mililitro (mL). Las equivalencias son las siguientes:

1 decilitro (dL) = 0,1 litros (L)
1 centilitro (cL) = 0,01 litros (L)
1 mililitro (mL) = 0,001 litros (L)

Además de los submúltiplos, el litro tiene múltiplos, es decir, unidades que nos permiten expresar cantidades grandes de capacidad. Estos son el kilolitro (kL), el hectolitro (hL) y el decalitro (daL).

Sus equivalencias son:

1 kilolitro (kL) = 1.000 litros (L)
1 hectolitro (hL) = 100 litros (L)
1 decalitro (dL) = 10 litros (L)

Para que tengas una idea acerca de las unidades de capacidad veamos algunos ejemplos:

El mililitro es un submúltiplo del litro y se representa con las letras mL. Se utiliza a menudo para medir pequeñas cantidades de líquidos.

En las antiguas civilizaciones se usaban envases de cerámica de medida estándar para medir el volumen, estas se llamaban ánforas y eran empleadas en todos los territorios griegos. Tenían diferentes tamaños y formas que variaban de acuerdo a su uso y capacidad, había desde 2 litros hasta 26 litros.

conversión de las unidades de capacidad

Las principales unidades de capacidad son el litro y el mililitro. Si queremos comparar dos capacidades, la de un tanque y la de una botella, y una está en litros y la otra en mililitros, lo primero que debemos hacer es convertir las unidades. De esta manera las dos tendrán la misma unidad y podrás compararlas.

Con este esquema podemos convertir litros a sus submúltiplos y viceversa:

Para convertir unidades de capacidad existen dos métodos:

El primero consiste en mover a la derecha o a la izquierda la coma del número tantos lugares como casillas sean necesarias para llegar a la unidad deseada.
El segundo consiste en multiplicar o dividir por diez tantas veces como casillas se necesiten para llegar a la unidad deseada.

– Ejemplo:

Convierte 1,89 L a mL

Primer método

Dibuja el cuadro y mueve tantos lugares a la derecha como sean necesarios hasta llegar a la posición de los mililitros.

Como nos desplazamos tres lugares a la derecha, movemos la coma tres lugares a la derecha.

Observa que después del 9 agregamos un cero y al lado la coma.

Entonces, 1,89 L equivalen a 1.890 mL.

Segundo método

Multiplica tres veces seguidas por diez (10).

Observa que tres veces diez (10) es igual a 10 x 10 x 10 = 1.000. Así que puedes multiplicar de forma directa:

1,89 x 1.000 = 1.890

El resultado será el mismo, 1,89 L son equivalentes a 1.890 mL.

– Otro ejemplo:

Convierte 4.320 mL a L.

Primer método

Dibuja el cuadro y mueve tantos lugares a la izquierda como sean necesarios hasta llegar a la posición de los litros.

Como nos desplazamos tres lugares a la izquierda, movemos la coma tres lugares a la izquierda.

Entonces, 4.320 mL son equivalentes a 4,32 L.

Segundo método

Divide tres veces seguidas por diez (10).

Observa que tres veces diez (10) es igual a 10 x 10 x 10 = 1.000. Así que puedes dividir de forma directa:

4.320 ÷ 1.000 = 4,32

El resultado será el mismo, 4.320 mL son equivalentes a 4,32 L.

Otras medidas de capacidad

• El barril, que equivale a 159 litros, se utiliza para determinar la cantidad de petróleo y algunos de sus productos derivados como la gasolina.

• El galón, que equivale a 3,785 litros, se utiliza cuando compramos enormes cantidades de líquidos, por ejemplo la pintura para pintar la casa.

¿cómo medir la capacidad?

Muchos envases muestran con etiquetas o marcas la capacidad que tienen, y muchos otros sirven para medir el líquido contenido en ellos. En tu hogar puedes ver algunos como estos:

Este tipo de recipientes tienen una escala en litros o en mililitros que nos permite conocer la cantidad del líquido que se encuentra dentro de ellos.

– Ejemplo:

Si tenemos una botella llena de leche, pero no conocemos su capacidad, ¿cómo podemos saber cuántos mL de leche contiene la botella?

Para conocer la capacidad de la botella podemos usar un vaso graduado o jarra medidora como esta:

Como puedes ver, el vaso tiene marcas para indicar la medidas en mililitros (mL) hasta llegar a 1 litro (L), que es su capacidad máxima. Así que solo agregamos la leche de la botella en el vaso graduado para poder medir la cantidad de líquido.

Después de verter todo lo líquido, nos fijamos en qué marca quedó la leche. En este caso quedó en los 500 mL o ½ L.

Por lo tanto, la botella de leche tiene una capacidad de 500 mL o ½ L.

¡Es tu turno!

¿Cuánto jugo de naranja contiene el vaso graduado?

Solución

400 mL.

Usamos las unidades de medida de capacidad a diario. En el supermercado podemos encontrar diferentes productos como agua, jugo, leche, yogurt y aceite envasados en algún recipiente, el cual, sin importar la forma que tenga, tendrá un volumen determinado de ese líquido. Es decir, la forma del envase no tiene relación con su capacidad.

problemas de capacidad

1. Aurora compró 3 litros de jugo de naranja, 4 litros de jugo de manzana, 2 medios litros de jugo de fresa y 4 cuartos de litro de jugo de pera. ¿Cuántos litros de jugo compró en total?

Datos

Jugo de naranja: 3 L

Jugo de manzana: 4 L

Jugo de fresa: 2 veces ½ L

Jugo de pera: 4 veces ¼ L

Pregunta

¿Cuántos litros de jugo compró en total?

Piensa

Para saber la cantidad total de litros debes saber el total de litros por fruta. Así que primero suma los medios litros del jugo de fresa y los cuartos de litro del jugo de pera. Al final, suma con los litro de jugo de naranja y manzana.

Resuelve

Juego de fresa:

½ L + ½ L = 1 L

Compró 1 L de jugo de fresa.

Jugo de pera:

¼ L + ¼ L + ¼ L + ¼ L = 1 L

Compró 1 L de jugo de pera.

Todos lo sabores:

3 L + 4 L + 1 L + 1 L = 9 L

Solución

Aurora compró 9 litros de jugo en total.

2. Un balde de agua tiene 3,46 litros, si la capacidad total del balde es de 10.000 mililitros, ¿cuántos litros le falta al balde para llenarse?

Datos

Capacidad del balde: 10.000 mL

Volumen de agua en el balde: 3,46 L

Pregunta

¿Cuántos litros le falta al balde para llenarse?

Piensa

a. Tenemos que convertir los mililitros a litros para que los dos datos tengan las mimas unidades.

b. Hay que hacer una resta entre la capacidad total del balde y lo que ya tiene de agua.

Resuelve

a. Para convertir los mililitros a litros basta con dividir 10.000 ÷ 1.000.

10.000 ÷ 1.000 = 10

El balde tiene una capacidad total de 10 L.

b. Hacemos la resta:

10 L − 3,46 L = 6,54 L

Solución

Faltan 6,54 litros para llenar el balde.

3. Durante el día, Gloria se ha tomado 800 mililitros de jugo de naranja natural y Pedro se ha tomado 1,4 litros. ¿Cuál de los dos ha tomado más jugo?

Datos

Jugo tomado por Gloria: 800 mL

Jugo tomado por Pedro: 1,4 L

Pregunta

¿Cuál de los dos ha tomado más jugo?

Piensa

Tenemos que convertir los mililitros a litros para que los dos datos tengan las mismas unidades, para eso solo dividimos 800 entre 1.000. Luego comparamos el resultado con 1,4 para saber cuál es la mayor.

Resuelve

División:

800 ÷ 1.000 = 0,8

800 mL son equivalentes a 0,8 L.

Comparación

1,4 > 0,8.

Solución

Pedro ha tomado más jugo que Gloria.

4. Pablo está enfermo y el doctor le ha indicado tomar 0,7 centilitros de la medicina, pero su jeringuilla dosificadora tiene una escala en mililitros. ¿Cuántos mililitros debe tomar de su medicina?

Datos

Medicina indicada: 0,7 centilitros

Pregunta

¿Cuántos mililitros debe tomar de su medicina?

Piensa

Hay que convertir los centilitros a mililitros para saber cuánto puede tomar.

Calcula

0,7 x 10 = 7

Solución

Pablo debe tomar 7 mL de su medicina.

¡A practicar!

Realiza las siguientes conversiones:

2.000 mL a L

Solución

2 L

4,8 L a mL

Solución

4.800 mL

2.960 mL a L

Solución

2,96 L

5,97 L a mL

Solución

5.970 mL

500 mL a L

Solución

0,5 L

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Capacidad y volumen”

El siguiente material permitirá que trabajes con tus alumnos las unidades de capacidad y volumen y sus aplicaciones.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 2

Números primos y compuestos

Los números naturales son usados comúnmente para contar y se clasifican según sus divisores. Aquellos que solo pueden dividirse de forma exacta entre ellos mismos y entre el 1, es decir, tienen solo dos divisores, se denominan números primos; mientras que los que tienen más de dos divisores se denominan números compuestos.

Divisores de un número

Antes de abordar el tema de los números primos y números compuestos, es indispensable comprender el concepto de divisor. Este es un número natural que al dividir a otro natural da como resultado una división con cociente entero y resto igual a cero.

¿Sabías qué?

El divisor de un número siempre lo divide en partes exactas, por eso el resto siempre es igual a cero.

En este sentido, si deseas saber si un número es o no divisor de otro, debes realizar una división entre el número en cuestión y el posible divisor. Si el resultado es un cociente entero (no decimal) y si el resto es igual a cero (división exacta) entonces decimos que efectivamente es divisor de dicho número.

Por ejemplo:

– Para determinar si el número 2 es divisor del número 6:

Lo primero es dividir 6 entre 2.

En este caso, el número 2 es divisor del número 6 porque el cociente de la división es un número entero (no es decimal) y la división es exacta con el resto igual a cero.

Otro ejemplo:

– Para determinar si el número 3 es divisor del número 14:

Aunque la división es exacta, el número 4 no es divisor del número 14, porque el cociente de la división es un número decimal, en este caso se dice que el número 14 no es divisible entre 4.

Criterios de divisibilidad

Son simples reglas que permiten determinar de manera rápida si un número es divisor o no de otro sin necesidad de realizar la división. Algunos de estos criterios son:

– Un número es divisible entre 2 si es un número par o termina en 0.
Por ejemplo: 20, 54, 12, 1.050, 76 y 80.

– Un número es divisible entre 5 si termina en 5 o en 0.
Por ejemplo: 15, 225, 3.110 y 400.

– Un número es divisible entre 10 si termina en 0.
Por ejemplo: 10, 500, 3.410 y 780.

¡A practicar!

¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 12?
a) 5
b) 2
c)10

RESPUESTAS
2
¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 25?
a) 3
b) 7
c) 5

RESPUESTAS
5
¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 200?
a) 10
b) 3
c) 6

RESPUESTAS
10
¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 16?
a) 5
b) 4
c) 9

RESPUESTAS
4

Números primos

Son números que poseen únicamente dos divisores: ellos mismos y el 1.

Por ejemplo, el número 2 es un número primo porque solamente es divisible entre 2 y entre 1.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?

El número uno es divisor de todos los números enteros pero solo es divisible por sí mismo.

Números compuestos

Los números compuestos son números divisibles por ellos mismos, por el uno (1) y por otros números, es decir, tienen más de dos divisores y son más frecuentes que los números primos.

Por ejemplo, el número 24 es un número compuesto, ya que es divisible entre 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. En total tiene 8 números divisores.

Números especiales

Los números 1 y 0 son números muy particulares. En el caso del 1, su único divisor es él mismo y en el caso del número 0, aunque puede ser dividido entre infinitos números, no puede dividirse entre sí mismo porque la división entre cero no esta determinada. Por estas razones, los números 1 y 0 no se consideran números primos ni compuestos.

Tabla de los números primos y compuestos

Existe un simple procedimiento que permite determinar con facilidad los conjuntos de números primos y compuestos; se conoce como Criba de Eratóstenes y aunque su nombre parezca complicado, su procedimiento no lo es.

1. Lo primero que hay que hacer es realizar una tabla con los números del 1 al 100 y se deberán tachar los números que no son primos. El primer número que se tacha es el 1 al no ser considerado número primo.
2. Luego, el siguiente número es el 2, al ser un número primo no se tacha pero a partir de él se empieza a contar de dos en dos al mismo tiempo que se tachan los números que resulten de dicho conteo.

3. Luego del 2, el siguiente número que no se ha tachado es el 3, a partir de él se empieza a contar de 3 en 3 y se tachan los números al mismo tiempo.

4. El siguiente número sin tachar es el 5, se deja sin tachar y se empieza a contar de 5 en 5 mientras se tachan los números.

5. El siguiente número sin marcar el el 7, se mantiene en la tabla sin tachar y se empieza a contar de 7 en 7 mientras se tachan los números.

Los números que no fueron tachados corresponden a números primos, y los números tachados son los compuestos, es una manera gráfica de identificar estos tipos de números del 1 al 100.

La Criba de Eratóstenes es una herramienta muy práctica para tener una visión general de los números primos y compuestos, sin embargo; en la vida cotidiana no es necesario ni aconsejable memorizarlos para resolver los ejercicios, por el contrario; al entender los elementos de cada número se podrá determinar con mayor rapidez si es primo o no.

¡A practicar!

1. ¿Qué número tiene infinitos divisores?

RESPUESTAS

El número cero.

2. ¿Cómo se llaman los números que solo tienen dos divisores?

RESPUESTAS

Números primos.

3. ¿Qué números no son considerados ni primos ni compuestos?

RESPUESTAS

El cero y el uno.

4. Un número es divisible entre dos si es par o termina en __________.

RESPUESTAS

cero

5. ¿Cuáles de estos números no es primo?
a) 7
b) 19
c) 25
d) 2

RESPUESTAS

6. El número 32 es un número _________.

a) impar
b) primo
c) compuesto

RESPUESTAS

compuesto

7. Clasifica cada uno de los siguientes números como “primo” o “compuesto”:

a) 21
b) 59
c) 18
d) 13

RESPUESTAS

a) Compuesto.
b) Primo.
c) Compuesto.
d) Primo.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Números primos y compuestos”

En el siguiente artículo se desarrolla el tema de números primos y compuestos. Además se explica qué son los coprimos, y se señalan algunos números especiales.

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Artículo “Criterios de divisibilidad”

Este recurso ayuda a conocer los criterios de divisibilidad, ampliados para más números de los que se mencionaron en este artículo.

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