Cada número está formado por diferentes cifras y cada una de estas cifras tiene un valor según la posición que ocupan dentro del número. Por ejemplo, el 300 se lee “trescientos” porque el 3 se ubica en el lugar de las centenas, pero el 30 se lee “treinta” porque el 3 está en el lugar de las decenas. Además de los números naturales que usamos para contar, también existen otros que representan orden, como los ordinales; y otros que podemos ver en relojes antiguos, como los números romanos.
Con los diez dígitos de nuestro sistema de numeración podemos crear cualquier número.
Valor posicional
El valor posicional es el valor que tiene una cifra dentro de un número, por ejemplo, el número 555, a pesar de tener tres cifras iguales, cada una tiene un valor distinto: 500, 50 y 5. Estos valores los podemos representar en una tabla posicional en la que están los órdenes (unidades, decenas, centenas) y las clases (miles, millones, etc.). Por otro lado, la descomposición aditiva nos ayuda a expresar un número como la suma de sus valores posicionales.
El ábaco es un instrumento que sirve para realizar diferentes operaciones matemáticas. Una esfera de color puede representar una unidad, una decena o una centena.
Recta numérica
La recta numérica, como su nombre lo indica, es una recta que contiene infinitos números. Para graficarla basta con hacer una línea recta, dibujar flechas a los lados, ubicar el cero (0) y hacer separaciones de igual distancia en las que colocaremos los puntos que simbolizan los números. Es importante recordar que cada número tiene un orden y pueden ser mayores o menores que otros. Para esto usamos símbolos de relación como mayor que (>), menor que (<) o igual a (=).
Con una regla graduada o escuadra podemos dibujar una recta numérica. Este instrumento nos ayudará no solo con el trazo de la línea recta, sino también con las separaciones entre punto y punto.
series
Las series numéricas son conjuntos de números organizados bajo una misma regla o patrón, pueden ser ascendentes y descendentes. Una serie es ascendente cuando los números están ordenados de menor a mayor y el patrón es una suma sucesiva; mientras que una serie numérica descendente es aquella en la que los números están ordenados de mayor a menor y el patrón es una resta sucesiva. A estos patrones los podemos identificar si restamos dos números contiguos de la serie. También vemos patrones en las tablas de 100 números.
Contar es una de las primeras tareas que aprendemos a hacer. Gracias al conteo con nuestros dedos podemos realizar operaciones básicas como la suma y resta de números pequeños.
Contamos desde hace miles de años y lo hacemos por diferentes razones, por ejemplo, para saber cuántos juguetes tenemos, cuánto tiempo falta para una película o cuántos deberes nos faltan por hacer. Las series numéricas son una forma de conteo y están creadas por varios números ordenados que siguen un patrón. Sin duda alguna, el conteo está presente en nuestro día a día.
conteo
Contar significa enumerar distintos elementos de manera ordenada y en orden creciente o decreciente.
El uso de los números y aprender a contar ha sido algo tan importante como lo fue aprender a cazar en la Antigüedad. Desde pequeños aprendemos cuáles son los números y cómo ordenarlos, lo que nos permite saber la cantidad de objetos que tenemos a nuestro alrededor. Para contar más rápido solemos contar de tanto en tanto, por ejemplo, de 2 en 2; de 5 en 5, etc.
– Ejemplo:
Cuando contamos las estrellas, contamos de manera creciente, es decir, de menor a mayor:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …
Cuando contamos los segundos que faltan para que sea año nuevo, contamos de manera decreciente, es decir, de mayor a menor:
10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.
También podemos contar de 3 en 3, de 4 en 4, de 5 en 5, etc.
Cuando contamos de 3 en 3 solo sumamos 3 a un número, luego volvemos a sumar 3 al siguiente, y así sucesivamente. Por ejemplo:
En cada recuadro hay 3 mariposas, entonces hay 3 grupos de 3 mariposas. Otra forma de verlo es que hay un recuadro dentro de otro y la cantidad total de mariposas la podemos contar así: 3, 6 y 9 mariposas. El conteo va de 3 en 3.
¿Sabías qué?
Los diez dígitos de nuestro sistema de numeración decimal fueron inventados en la India.
series numéricas y sus tipos
Las series numéricas son un conjunto de números ordenados que siguen un patrón o regla determinada. Pueden ser ascendentes y descendentes.
Series ascendentes
Son las que se forman por sumas sucesivas y que van de menor a mayor. Por ejemplo, si al número 1 le sumamos 1 obtenemos 2 (1 + 1 = 2), luego a ese resultado le sumamos 1 y resulta en 3 (2 + 1 = 3). Seguimos el mismo proceso en cada resultado.
Series descendentes
Son las que se forman por restas sucesivas y van de mayor a menor. Por ejemplo, en esta serie cada número es tres unidades menor que el siguiente.
Miles de años de conteo
Desde hace miles de años los humanos contamos números. Las culturas primitivas utilizaban el conteo para registrar el número de personas en una comunidad o grupo; para contar animales o presas cazadas; para saber la cantidad de propiedades que poseían o las deudas contraídas. Con el paso del tiempo se desarrollaron sistemas numéricos de escritura y el uso de símbolos matemáticos.
¿cómo identificar el patrón numérico?
El patrón numérico es la regla que sigue toda la serie. En la siguiente serie el patrón es “sumar 5”, por que cada número es 5 unidades mayor al siguiente.
5, 10, 15, 20, 25, 30
Para identificar el patrón numérico de una serie restamos cada par de números consecutivos, si cada operación da como resultado el mismo número el patrón será la suma o resta de ese número. Por lo tanto:
Si la serie es ascendente, el patrón es sumar el resultado obtenido.
Si la serie es descendente, el patrón es restar el resultado obtenido.
A modo de ejemplo observemos la siguiente serie:
3, 7, 11, 15, ___, 23
Restamos los primeros pares consecutivo:
7 − 3 = 4
11 − 7 = 4
Como los resultados son iguales y la serie es ascendente el patrón es “sumar 4”. Ahora podemos completar la serie. Como 15 + 4 = 19, colocamos el 19 en el espacio en blanco:
3, 7, 11, 15, 19, 23
¡Es tu turno!
Identifica el patrón de estas series.
8, 14, 20, 26, 32, 38, 44
Solución
Patrón: + 6
22, 20, 18, 16, 14, 12, 10
Solución
Patrón: − 2
39, 30, 21, 12, 3
Solución
Patrón: − 9
patrones numéricos en tablas de 100
Podemos ver patrones numéricos en las tablas que van del 1 al 100. Observa esta tabla:
Puedes ver en la tabla que los números marcados en azul van de 9 en 9. Si comienzas en el 9 la serie tiene una patrón + 9, pero si comienzas en el 81, la serie tiene una patrón − 9.
¡A practicar!
1. Observa la imagen y luego responde:
¿Cuántos grupos de caracoles hay?
Solución
Hay 5 grupos de caracoles.
¿Cuántos caracoles hay en total?
Solución
Hay 20 caracoles en total.
¿De cuánto en cuánto se agruparon los caracoles?
Solución
Los caracoles se agruparon de 4 en 4.
2. Escribe de cuánto en cuánto van las siguientes series:
586, 686, 786, 886, 986
Solución
La serie va de 100 en 100.
3.443, 3.453, 3.463, 3.473, 3.483
Solución
La serie va de 10 en 10.
675, 680, 685, 690, 695
Solución
La serie va de 5 en 5.
7.702, 7.722, 7.742, 7.762, 7.782
Solución
La serie va de 20 en 20.
3. Completa la siguiente serie y escribe el patrón numérico:
101, 104, 107, 110, ___, ___, ___, ___.
Solución
101, 104, 107, 110, 113, 116, 119, 122.
Patrón: + 3
1.500, 2.500, 3.500, ___, ___, ___.
Solución
1.500, 2.500, 3.500, 4.500, 5.500, 6.500.
Patrón: + 1.000
3.650, 3.640, 3.630, ___, ___, ___, ___.
Solución
3.650, 3.640, 3.630, 3.620, 3.610, 3.600, 3.590.
Patrón: − 10
4. Observa la tabla del 1 al 100 y luego resuelve los siguientes puntos:
Colorea en rojo una fila, columna o diagonal en la que los números vayan de 1 en 1.
Colorea en morado una fila, columna o diagonal en la que los números vayan de 11 en 11.
Colorea en verde una fila, columna o diagonal en la que los números vayan de 10 en 10.
Solución
Hay otras posibilidades, ¡descúbrelas!
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Sucesiones y series”
Con este artículo podrás complementar la información relacionada a las series y las sucesiones.
CADA VEZ QUE ORGANIZAMOS OBJETOS LO HACEMOS SEGÚN UN CRITERIO. PUEDE SER POR TAMAÑO, COLOR O FORMA. ESTO SE CONOCE COMO SERIE Y TAMBIÉN APLICA A LOS NÚMEROS, YA QUE CUANDO HACEMOS CUENTAS DE DOS EN DOS O DE TRES EN TRES, SEGUIMOS UN PATRÓN NUMÉRICO. TAMBIÉN PODEMOS CREAR NUESTROS PROPIOS PATRONES Y HACER UNA GRAN VARIEDAD DE SERIES.
¿QUÉ ES UNA SERIE NUMÉRICA?
UNA SERIE NUMÉRICA ES UNA CONJUNTO DE NÚMEROS ORDENADOS QUE SIGUEN UN PATRÓN O UNA REGLA DETERMINADA.
POR EJEMPLO, ESTOS NÚMEROS FORMAN UNA SERIE Y CADA UNO ES TRES UNIDADES MAYOR AL ANTERIOR.
EL PATRÓN ES: +3. POR LO TANTO, ESTA SERIE NUMÉRICA VA DE 3 EN 3.
LAS SERIES NO SOLO PUEDEN TENER NÚMEROS, TAMBIÉN EXISTEN SERIES DE OBJETOS O ELEMENTOS. TODAS TIENEN ALGO EN COMÚN Y ES QUE SIGUEN UN PATRÓN. POR EJEMPLO, EN ESTA IMAGEN VEMOS UNA SERIE DE ENVASES CON PINTURA QUE SIGUEN UN PATRÓN POR COLORES: UN ENVASE CON PINTURA AMARILLA, UN ENVASE CON PINTURA ROJA Y UN ENVASE CON PINTURA AZUL.
CARACTERÍSTICAS DE LAS SERIES NUMÉRICAS
LAS SERIES NUMÉRICAS PUEDEN SER PROGRESIVAS O REGRESIVAS. EN LAS SERIES PROGRESIVAS LOS NÚMEROS VAN DE MENOR A MAYOR, MIENTRAS QUE EN LAS SERIES REGRESIVAS LOS NÚMEROS VAN DE MAYOR A MENOR.
SERIE PROGRESIVA
DE 2 EN 2:
PATRÓN: + 2
DE 5 EN 5:
PATRÓN: + 5
DE 10 EN 10:
PATRÓN: + 10
SERIE REGRESIVA
DE 2 EN 2:
PATRÓN: − 2
DE 5 EN 5:
PATRÓN: − 5
DE 10 EN 10:
PATRÓN: − 10
¿SABÍAS QUÉ?
LAS SERIES PROGRESIVAS TAMBIÉN SON LLAMADAS SERIES ASCENDENTES, Y LAS SERIES REGRESIVAS SON CONOCIDAS COMO SERIES DESCENDENTES.
IDENTIFICAR EL PATRÓN EN UNA SERIE NUMÉRICA
PARA PODER IDENTIFICAR EL PATRÓN DE LA SERIE NUMÉRICA ES NECESARIO:
OBSERVAR LA SERIE.
IDENTIFICAR LA RELACIÓN ENTRE LOS NÚMERO.
OBSERVA ESTA SERIE, ¿QUÉ TIPO DE SERIE ES?, ¿CUÁL ES EL PATRÓN?
ESTA SERIE ES PROGRESIVA PORQUE VA DE MENOR A MAYOR. VA DE 7 EN 7. EL PATRÓN ES: + 7.
– OTRO EJEMPLO:
LA SERIE ES REGRESIVA PORQUE VA DE MAYOR A MENOR. VA DE 12 EN 12. EL PATRÓN ES: − 12.
¡A PRACTICAR!
1. ¿CUAL ES EL PATRÓN DE LAS SIGUIENTES SERIES NUMÉRICAS?
9, 18, 27, 36, 45, 54
SOLUCIÓN
LA SERIE ES ASCENDENTE DE 9 EN 9. EL PATRÓN ES: + 9.
100, 75, 50, 25
SOLUCIÓN
LA SERIE ES DESCENDENTE DE 25 EN 25. EL PATRÓN ES: − 25.
80, 60, 40, 20
SOLUCIÓN
LA SERIE ES DESCENDENTE DE 20 EN 20. EL PATRÓN ES: − 20.
14, 21, 28, 35
SOLUCIÓN
LA SERIE ES ASCENDENTE DE 7 EN 7. EL PATRÓN ES: + 7.
CONSTRUCCIÓN DE SERIES
PARA PODER CONSTRUIR SERIES NUMÉRICAS ASCENDENTES PODEMOS UTILIZAR LAS TABLAS DE MULTIPLICAR, ESTAS SON UN RECURSO MUY ÚTIL QUE AYUDARÁ A ESTABLECER UNA RELACIÓN CON LOS TÉRMINOS DE LA SUCESIÓN. POR EJEMPLO, SI QUEREMOS EMPLEAR LAS TABLAS DEL 6, PODEMOS CONSTRUIR UNA SERIE ASCENDENTE DE 6 EN 6 Y LA MISMA SERÁ ASÍ: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54.
PARA CONSTRUIR SERIES ES NECESARIO ESTABLECER LO SIGUIENTE:
SI ES ASCENDENTE O DESCENDENTE.
EL PATRÓN.
UN INICIO Y UN FINAL.
– EJEMPLO:
CONSTRUYE UNA SERIE NUMÉRICA ASCENDENTE DE 15 EN 15, DESDE EL 15 HASTA EL 90.
ACTIVIDAD
1. ESCRIBIR UNA SERIE NUMÉRICA PARA CADA RELACIÓN:
ASCENDENTE DE 2 EN 2. DESDE 22 Y HASTA 32.
SOLUCIÓN
22, 24, 26, 28, 30, 32
DESCENDENTE DE 10 EN 10. DESDE 80 Y HASTA 20.
SOLUCIÓN
80, 70, 60, 50, 40, 30, 20
ASCENDENTE DE 5 EN 5. DESDE 5 HASTA 35.
RESPUESTAS
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35
DESCENDENTE DE 2 EN 2. DESDE 20 HASTA 10.
SOLUCIÓN
20, 18, 16, 14, 12, 10
2. COMPLETA LAS SIGUIENTES SERIES:
44, ___, 56, 62, 68, 74, ___
SOLUCIÓN
44, 50, 56, 62, 68, 74, 80
10, ___, 20, 25, 30, ___, ___
RESPUESTAS
10, 15, 20, 25, 30, 35, 40
83, 80, ___, 74, ___. 68, ___
RESPUESTAS
83, 80, 77, 74, 71, 68, 65
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Sucesiones y series”
En el siguiente artículo encontraras un desarrollo de teoría más avanzado de las series numéricas y la sucesión de términos.
Hay otras posibilidades, ¡descúbrelas!
