Los números desde su invención han servido para contar cosas y por eso existen diferentes sistemas y tipos de números que permiten un mejor conocimiento de las cantidades. Para comprender el sentido numérico, dentro del universo de los números se utilizan diversas clasificaciones. Un tipo de números son los ordinales que sirven para establecer un orden. Por otro lado, existen los cardinales que indican cantidades numéricas de elementos que pertenecen a un grupo o conjunto. Actualmente, el sistema más usado es el sistema numérico decimal pero no es el único que existe. Otras culturas crearon sistemas de numeración distintos al decimal, como por ejemplo, los mayas y los romanos.
El sistema de numeración binario se utiliza principalmente en la informática. Está conformado solo por dos cifras: el 0 y el 1.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
De acuerdo a la cantidad de divisores que poseen los número, los podemos clasificar en primos y compuestos. Los números primos son aquellos que solo son divisibles por el número uno y por sí mismos. En cambio, los números compuestos son aquellos que además de ser divisibles por el uno y por sí mismos, también son divisibles por otro u otros números, es decir, tienen más de dos divisores. Todos los números compuestos pueden expresarse como un producto de factores primos.
Para determinar los factores primos de un número compuesto se emplean los criterios de divisibilidad.
VALOR POSICIONAL
Una de las principales características de nuestro sistema de numeración decimal es que el valor de los dígitos varía de acuerdo a su ubicación dentro del número. Esta característica se denomina valor posicional y aplica tanto en los números enteros como en los fraccionarios. Una herramienta que nos permite observar directamente el valor de cada dígito de acuerdo al lugar que ocupa es la tabla posicional.
Según la posición de cada dígito, los números pueden descomponerse en forma de suma (descomposición aditiva) o de multiplicación (descomposición multiplicativa).
NÚMEROS DECIMALES
Hay números que se ubican entre dos números enteros consecutivos, estos números se denominan números decimales y se caracterizan porque presentan una parte entera y una decimal, que se encuentran separadas por una coma o punto de acuerdo a la convención del país. Los números decimales se clasifican en racionales y en irracionales. Los racionales se pueden representar en forma de fracción, y los irracionales son números infinitos cuya parte decimal no sigue ningún patrón, como sucede en el caso del número pi.
A menudo se pueden aplicar redondeos en las cifras decimales de un número para simplificar los cálculos.
POTENCIAS
La potenciación es una operación compuesta de tres partes fundamentales: el exponente, la base y la potencia. El exponente indica cuántas veces se debe multiplicar la base por si misma. La base es el número que se multiplica por sí mismo las veces que indique el exponente. La potencia es el resultado de la operación de potenciación. Como toda operación matemática, las potencias cumplen con algunas propiedades. Por ejemplo, todo número elevado a 0 es igual a 1. Para resolver potencias se aplican sus propiedades y se realizan multiplicaciones sucesivas de la base.
Cuando el exponente es 1, la potencia es siempre igual a la base.
RAÍZ DE UN NÚMERO
La radicación es la operación inversa a la potenciación y por ello se encuentran estrechamente relacionadas. Esta operación emplea el símbolo (√) denominado radical. Sus elementos principales son el radicando, el índice y la raíz. El radicando es el número al cual se le va a calcular la raíz y se encuentra en la parte inferior del radical. El índice es el número que índica la cantidad de veces en las que debe multiplicarse un número por sí mismo para que el resultado sea igual al radicando, y se ubica en la parte izquierda del radical. La raíz es el resultado de la operación. Para calcular una raíz se debe buscar un número que multiplicado por sí mismo las veces que indique el índice dé como resultado el mismo valor del radicando.
En las raíces cuadradas, el índice 2 no se coloca en el radical: simplemente se denotan como (√).
Cada número está formado por diferentes cifras y cada una de estas cifras tiene un valor según la posición que ocupan dentro del número. Por ejemplo, el 300 se lee “trescientos” porque el 3 se ubica en el lugar de las centenas, pero el 30 se lee “treinta” porque el 3 está en el lugar de las decenas. Además de los números naturales que usamos para contar, también existen otros que representan orden, como los ordinales; y otros que podemos ver en relojes antiguos, como los números romanos.
Con los diez dígitos de nuestro sistema de numeración podemos crear cualquier número.
Valor posicional
El valor posicional es el valor que tiene una cifra dentro de un número, por ejemplo, el número 555, a pesar de tener tres cifras iguales, cada una tiene un valor distinto: 500, 50 y 5. Estos valores los podemos representar en una tabla posicional en la que están los órdenes (unidades, decenas, centenas) y las clases (miles, millones, etc.). Por otro lado, la descomposición aditiva nos ayuda a expresar un número como la suma de sus valores posicionales.
El ábaco es un instrumento que sirve para realizar diferentes operaciones matemáticas. Una esfera de color puede representar una unidad, una decena o una centena.
Recta numérica
La recta numérica, como su nombre lo indica, es una recta que contiene infinitos números. Para graficarla basta con hacer una línea recta, dibujar flechas a los lados, ubicar el cero (0) y hacer separaciones de igual distancia en las que colocaremos los puntos que simbolizan los números. Es importante recordar que cada número tiene un orden y pueden ser mayores o menores que otros. Para esto usamos símbolos de relación como mayor que (>), menor que (<) o igual a (=).
Con una regla graduada o escuadra podemos dibujar una recta numérica. Este instrumento nos ayudará no solo con el trazo de la línea recta, sino también con las separaciones entre punto y punto.
series
Las series numéricas son conjuntos de números organizados bajo una misma regla o patrón, pueden ser ascendentes y descendentes. Una serie es ascendente cuando los números están ordenados de menor a mayor y el patrón es una suma sucesiva; mientras que una serie numérica descendente es aquella en la que los números están ordenados de mayor a menor y el patrón es una resta sucesiva. A estos patrones los podemos identificar si restamos dos números contiguos de la serie. También vemos patrones en las tablas de 100 números.
Contar es una de las primeras tareas que aprendemos a hacer. Gracias al conteo con nuestros dedos podemos realizar operaciones básicas como la suma y resta de números pequeños.
El sistema de numeración decimal se caracteriza por ser de base 10 y por ser posicional. Esto significa que solo usa diez dígitos y que la posición de cada uno de ellos determina el valor que tienen. La tablas posicionales y la descomposición son algunas técnicas que podemos emplear para escribir y leer números con más de cinco cifras de manera sencilla. A continuación verás lo fácil que es.
VALOR POSICIONAL DE CIFRAS HASTA 1.000.000
En el sistema de numeración decimal contamos con los siguientes dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Con ellos podemos formar todos los números del sistema ya que si variamos la posición de las cifras dentro del número, también cambiamos su valor. Esta característica se denomina valor posicional.
Como podemos observar en este ejemplo, todas las cifras que componen el número 999.999 son las mismas: 9, pero cada una tiene un valordiferente debido a su posición dentro del número.
Como ya sabemos, luego de 3 cifras debemos colocar un punto. En este caso, dicho punto separa a los miles de los millones. El número que le sigue al 999.999 es el millón, que se escribe de la siguiente manera:
1.000.000
¿Sabías qué?
Si empiezas a contar de uno en uno no terminarás nunca porque los números no tienen un final, es decir, son infinitos.
Cuando algo no termina decimos que es infinito, y los números son un ejemplo de ello. No hay un límite final para los números, pero tampoco hay un comienzo, ya que antes del 0 hay una infinidad de número negativos. Cuando queramos expresar que una cuenta es infinita podemos utilizar el símbolo que lo representa: ∞.
LA TABLA POSICIONAL
Existe una clasificación según la posición que tengan las cifras dentro del número. Cada posición recibe el nombre de un orden, como las unidades, decenas y centenas. Cada tres órdenes se forma una clase, que va desde las unidades, miles, millones, millares de millón, billones, etc. Podemos observar toda esta información en una tabla posicional.
– Ejemplo:
Según la tabla posicional, los valores de cada cifra de derecha a izquierda son los siguientes:
2 unidades = 2 se lee “dos”.
3 decenas = 30 se lee “treinta”
5 centenas = 500 se lee “quinientos”.
9 unidades de mil = 9.000 se lee “nueve mil”.
4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
8 centenas de mil = 800.000 se lee “ochocientos mil”.
1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”
Por lo tanto, el número 1.849.532 se lee “un millón ochocientos cuarenta y nueve mil quinientos treinta y dos”.
– Otro ejemplo:
Según la tabla posicional, los valores son:
5 unidades = 5 se lee “cinco”.
8 decenas = 80 se lee “ochenta”.
9 centenas = 900 se lee “novecientos”.
2 unidades de mil = 2.000 se lee “dos mil”.
4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
6 centenas de mil = 600.000 se lee “seiscientos mil”.
1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”.
Entonces, el número 1.642.985 se lee “un millón seiscientos cuarenta y dos mil novecientos ochenta y cinco”.
¡Es tu turno!
Coloca los siguientes números en sus tablas posicionales:
1.022.467
Solución
270.628
Solución
896.501
Solución
VALOR POSICIONAL DE DECIMALES
Los números decimales se componen de una parte entera y una parte decimal que van separadas por una coma. Esto quiere decir que de un lado de la coma vamos a tener la parte de los números enteros con unidades, decenas, centenas, etc.; y del otro lado, la parte decimal que también tiene valores posicionales conocidos como décimas, centésimas, milésimas, etc.
La parte decimal de los números decimales también puede ser representada en una tabla posicional. Al igual que la parte entera, el valor cambia de acuerdo a la posición de la cifra.
Unidades decimales
Son las que obtenemos al dividir la unidad en partes iguales. Las primeras unidades decimales son las décimas, las centésimas y las milésimas.
Décimas
Centésimas
Milésimas
1 unidad = 10 décimas
1 décima = 0,1 unidades
1 unidad = 100 centésimas
1 centésima = 0,01 unidades
1 unidad = 1.000 milésimas
1 milésima = 0,001 unidades
– Ejemplo:
Podemos leer los números decimales de dos formas:
Leemos la parte entera seguida de la palabra “enteros”. Luego leemos la parte decimal como se lee la parte entera y mencionamos la posición en la que está la última cifra.
Leemos la parte entera seguida de la palabra “coma”. Después leemos la parte decimal de la misma forma en la que lees la parte entera.
De este modo, el número 5.897,234 puede ser leído de dos formas, ambas correctas:
“Cinco mil ochocientos noventa y siete enteros doscientos treinta y cuatro milésimas“.
“Cinco mil ochocientos noventa y siete coma doscientos treinta y cuatro”.
DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE UN NÚMERO
Todos los números pueden descomponerse de diversas maneras. Una de ellas es la descomposición aditiva, la cual consiste en representar números como la suma de otros.
Por ejemplo, podemos descomponer el número 128 de forma aditiva y representarlo así:
128 = 100 + 20 + 8
Observa que sumamos los valores posicionales de cada cifra.
Cualquier número puede ser expresado a través de la suma, en lo que se conoce como descomposición aditiva. Este tipo de descomposición considera el valor posicional de cada una de sus cifras, pero también es posible verlo como la suma de diferentes cifras, por ejemplo, 15 = 10 + 5, pero también lo podemos escribir como 15 = 7 + 8.
DESCOMPOSICIÓN MULTIPLICATIVA DE UN NÚMERO
Es otro tipo de descomposición en el que representamos números por medio de multiplicaciones. Aquí tomamos en cuenta el valor del dígito por el valor de su posición.
En nuestro sistema de numeración utilizamos solo 10 cifras para escribir todos los números, pero cada una de estas cifras puede tener valores distintos según su posición, por ejemplo, en el número 222, el primer 2 de izquierda a derecha vale 200, el segundo 20 y el tercero 2. Esto es lo que llamamos valor posicional y puedes aplicarlo a cualquier número.
¿qué es el Valor posicional?
Estos son los diez dígitos de nuestro sistema de numeración decimal. Con ellos podemos formar cualquier cantidad de números. El valor posicional de cada uno importa porque nos indica el valor total, pues no es lo mismo tener $ 321 que $ 123. A pesar de que tienen las mismas cifras (1, 2 y 3), con $ 321 puedes comprar más cosas que con $ 123.
El valor posicional es el valor que tiene una cifra en un número y depende de su posición o lugar. Estas posiciones se conocen como unidad, decena y centena; y según la clase pueden ser “de miles” o “de millones. Observa estas equivalencias:
1 unidad = 1 U
1 decena = 10 U
1 centena = 100 U
1 unidad de mil = 1.000 U
1 decena de mil = 10.000 U
– Ejemplo 1:
El número 473 tiene tres cifras y cada una ocupa estas posiciones:
– Ejemplo 2:
El número 2.984 tiene 4 cifras y cada una ocupa estas posiciones:
¿Sabías qué?
Los valores posicionales tienen estas abreviaturas: U (unidades), D (decenas), C (centenas), UM (unidades de mil) y DM (decenas de mil).
Tabla posicional
Podemos ubicar todas las cifras de un número en una tabla posicional. Esta nos ayuda a ver con facilidad el valor de cada una de las cifras por medio de columnas identificadas.
Esta es una tabla posicional para números de 6 cifras. Observa que en las columnas de color en azul están las unidades, las decenas y las centenas; mientras que en las columnas de color naranja están las unidades de mil, las decenas de mil y las centenas de mil.
¿cómo representar números en la tabla posicional?
Si queremo ubicar las cifras de un número en la tabla posicional tenemos que empezar por la primera cifra de derecha a izquierda, esa será la unidad. La segunda cifra de derecha a izquierda será la decena, la siguiente la centena y así sucesivamente.
– Ejemplo:
Ubica las cifras del número 7.946 en la tabla posicional.
Como la primera cifra de derecha a izquierda es el 6, colocamos el 6 en la casilla de las unidades. Luego el 4 en la de las decenas, el 9 en las centena y el 7 en las unidades de mil.
¡A practicar!
Ubica estos números en la tabla posicional:
8.104
Solución
582
Solución
1.789
Solución
Conocer el valor posicional de las cifras de cada número resulta de gran utilidad cuando manejamos dinero. Por lo general, los billetes y monedas vienen con valores de 1, 10 y 100 unidades. De este modo, si necesitamos pagar una cuenta de $ 483, solo debemos tomar 4 billetes de $ 100, 8 de $ 10 y 3 de $ 1.
– Problema 1
En una pastelería se hacen entregas de donas todas las semanas. El transporte de las donas se hace en cajas de 100, cajas de 10 y otras sueltas. Esta semana se pidieron las siguientes cantidades: 318, 173, 486 y 300. Si el encargado prepara los pedidos, ¿cuántas cajas de 100 y de 10 necesita para cada orden? ¿cuántas donas irán sueltas en cada caso?
Primer pedido
El primer pedido es de 318 donas. Lo primero que hacemos es ubicar este número en una tabla posicional.
En la tabla posicional vemos que hay:
3 centenas = 3 veces 100
1 decena = 1 vez 10
8 unidades = 8 veces 1
Hagamos la representación con las cajas y donas:
Por lo tanto, el encargado necesita 3 cajas de 100, 1 caja de 10 y 8 donas sueltas.
Segundo pedido
El segundo pedido es de 163 donas. Ubicamos este número en una tabla posicional.
En la tabla posicional vemos que hay:
1 centenas = 1 vez 100
6 decenas = 6 veces 10
3 unidades = 3 veces 1
Hagamos la representación con las cajas y donas:
Para este pedido el encargado necesita 1 caja de 100, 6 cajas de 10 y 3 donas sueltas.
¡Responde!
¿Cómo preparó el encargado los demás pedidos?
Tercer pedido
Solución
Este pedido es de 245 donas. Ubicamos este número en una tabla posicional.
En la tabla posicional vemos que hay:
2 centenas = 2 veces 100
4 decenas = 4 veces 10
5 unidades = 5 veces 1
Hagamos la representación con las cajas y donas:
Para este pedido el encargado necesita 2 cajas de 100, 4 cajas de 10 y 5 donas sueltas.
Cuarto pedido
Solución
Este pedido es de 300 donas. Ubicamos este número en una tabla posicional.
En la tabla posicional vemos que hay:
3 centenas = 3 veces 100
Hagamos la representación con las cajas y donas:
Para este pedido el encargado necesita 3 cajas de 100.
– Problema 2
En un juego de fichas, cada una de estas figuras indica una cantidad de puntos.
Observa que:
1 cubo azul = 1 unidad
1 barra roja = 1 decena
1 placa verde = 1 centena
1 caja amarilla = 1 unidad de mil
Carla sacó estas fichas, ¿cuántos puntos obtuvo?
Hay 2 cajas amarillas → 2 unidades de mil
Hay 1 placa verde → 1 centena
Hay 3 barras rojas → 3 decenas
Hay 8 cubos azules → 8 unidades
En una tabla posicional colocamos cada cifra según el valor que tenga.
Carla obtuvo 2.138 puntos.
Pedro sacó estas fichas, ¿cuántos puntos obtuvo?
Hay 5 cajas amarillas → 5 unidades de mil
Hay 0 placa verde → 0 centena
Hay 2 barras rojas → 2 decenas
Hay 3 cubos azules → 3 unidades
En una tabla posicional colocamos cada cifra según el valor que tenga.
Pedro obtuvo 5.023 puntos.
¿Sabías qué?
Hubo dos civilizaciones antiguas que usaron el principio de posición y representaron la ausencia de unidades mediante el cero: los babilonios y los mayas.
Descomposición aditiva de un número
La descomposición aditiva consiste en expresar un número como una suma de dos o más números. Para esta descomposición consideramos los valores posicionales.
Por ejemplo, el número 3.456 se coloca de esta manera en una tabla posicional:
En la tabla vemos que hay:
3 unidades de mil = 3 veces 1.000 = 3.000
4 centenas = 4 veces 100 = 400
5 decenas = 5 veces 10 = 50
6 unidades = 6 veces 1 = 6
Por lo tanto, podemos decir que el número 3.456 es igual a la suma de todos sus valores posicionales. Observa:
3.456 = 3.000 + 400 + 50 + 6
El ábaco es uno de los objetos más antiguos utilizados por el hombre para realizar sus operaciones matemáticas y quizás el de mayor distribución a nivel mundial. Esta herramienta o instrumento se utiliza para hacer cálculos manuales por medio de piezas de colores que representan los valores posicionales de una cifra.
¡A practicar!
Escribe la descomposición aditiva de los siguientes números:
7.342
Solución
Valores posicionales
7 unidades de mil = 7 veces 1.000 = 7.000
3 centenas = 3 veces 100 = 300
4 decenas = 4 veces 10 = 40
2 unidades = 2 veces 1 = 2
Descomposición aditiva
7.342 = 7.000 + 300 + 40 + 2
9.716
Solución
Valores posicionales
9 unidades de mil = 9 veces 1.000 = 9.000
7 centenas = 7 veces 100 = 700
1 decena = 1 vez 10 = 10
6 unidades = 6 veces 1 = 6
Descomposición aditiva
9.716 = 9.000 = 700 + 10 + 6
8.053
Solución
Valores posicionales
8 unidades de mil = 8 veces 1.000 = 8.000
5 decenas = 5 veces 10 = 50
3 unidades = 3 veces 1 = 3
Descomposición aditiva
8.053 = 8.000 + 50 + 3
¿Sabías qué?
Cuando el valor de una cifra es cero (0) no se escribe en la descomposición.
¡Hora de practicar!
1. Escribe el valor posicional de los dígitos en color rojo.
216
Solución
Unidad.
1.971
Solución
Centena.
7.031
Solución
Centena.
532
Solución
Decena.
828
Solución
Unidad.
6.220
Solución
Decena.
9.483
Solución
Unidad de mil.
2. Une la descomposición con el numero correspondiente.
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Composición y descomposición de números”
Este artículo explica cómo realizar composiciones y descomposiciones aditivas que ayudarán al alumno a realizar cálculos mentales con números naturales.
EL HOMBRE SIEMPRE HA TENIDO LA NECESIDAD DE CONTAR Y POR ESO INVENTÓ LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN. NOSOTROS USAMOS EL SISTEMA DECIMAL QUE SOLO TIENE DIEZ CIFRAS CON LAS QUE PODEMOS FORMAR CUALQUIER CANTIDAD DE NÚMEROS. PERO ¿CÓMO HACERLO? DEBEMOS SABER EL VALOR DE CADA CIFRA DENTRO DEL NÚMERO, ES DECIR, SU VALOR POSICIONAL.
ESTOS DIEZ DÍGITOS FORMAN NUESTRO SISTEMA DECIMAL Y CON ELLOS FORMAMOS MUCHOS NÚMEROS. ¿LOS HAS USADO? ¡SEGURO QUE SÍ! USAMOS LA COMBINACIÓN DE ESTAS CIFRAS PARA DAR UN NÚMERO DE TELÉFONO, LA FECHA DE NUESTRO CUMPLEAÑOS, EL NÚMERO DE IDENTIFICACIÓN O PARA CONTAR LA CANTIDAD DE JUGUETES QUE TENEMOS.
¿QUÉ ES EL VALOR POSICIONAL?
ES EL VALOR QUE TIENE UNA CIFRA SEGÚN SU POSICIÓN EN EL NÚMERO. ESTAS POSICIONES TIENEN UN NOMBRE Y PUEDEN SER UNIDADES, DECENAS O CENTENAS. OBSERVA Y RESPONDE:
EL NÚMERO 123 ESTÁ FORMADO POR TRES CIFRAS: 1, 2 Y 3. ¿PODEMOS CREAR MÁS NÚMERO CON ESTAS TRES CIFRAS? ¡CLARO QUE SÍ! POR EJEMPLO, EL NÚMERO 312 O EL 231. COMO VES, AUNQUE TENGAN LAS MISMAS CIFRAS, CADA NÚMERO TIENE UN VALOR DISTINTO PORQUE LAS POSICIONES SON DIFERENTES. EN 123 EL 1 VALE 100; EN 312 EL 1 VALE 10; Y EN 231 EL 1 VALE 1.
PARA SABER LOS VALORES DE CADA CIFRA EN UN NÚMERO USAMOS UNA TABLA DE VALOR POSICIONAL COMO ESTA:
EL NÚMERO 468 TIENE:
8 UNIDADES.
6 DECENAS.
4 CENTENAS.
¡CAMBIEMOS POSICIONES!
LA POSICIÓN DE UNA CIFRA EN UN NÚMERO INDICAN UN VALOR. SI UNA DE LAS CIFRAS CAMBIA DE POSICIÓN, ENTONCES SE CONVIERTE EN OTRO NÚMERO. OBSERVA ESTOS EJEMPLOS EN LOS QUE CAMBIAMOS LAS POSICIONES DE TRES CIFRAS: 4, 6 Y 8.
NÚMERO
VALOR POSICIONAL
SE LEE
468
4 CENTENAS
6 DECENAS
8 UNIDADES
CUATROCIENTOS SESENTA Y OCHO.
486
4 CENTENAS
8 DECENAS
6 UNIDADES
CUATROCIENTOS OCHENTA Y SEIS.
864
8 CENTENAS
6 DECENAS
4 UNIDADES
OCHOCIENTOS SESENTA Y CUATRO.
846
8 CENTENAS
4 DECENAS
6 UNIDADES
OCHOCIENTOS CUARENTA Y SEIS.
684
6 CENTENAS
8 DECENAS
4 UNIDADES
SEISCIENTOS OCHENTA Y CUATRO.
648
6 CENTENAS
4 DECENAS
8 UNIDADES
SEISCIENTOS CUARENTA Y OCHO.
DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS
CONSISTE EN CONVERTIR UN NÚMERO EN UNA SUMA DE SUS VALORES POSICIONALES.
– EJEMPLO:
EL NÚMERO 183 TIENE:
1 CENTENA = 1 VEZ 100 = 100 UNIDADES
8 DECENAS = 8 VECES 10 = 80 UNIDADES
3 UNIDADES = 3 VECES 1 = 3 UNIDADES
ENTONCES, LA DESCOMPOSICIÓN DEL NÚMERO 183 ES LA SIGUIENTE:
183 = 1 C + 8 D + 3 U
183 = 100 + 80 + 3
¡A PRACTICAR!
REALIZA LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS:
642
SOLUCIÓN
642 = 6 C + 4 D + 2 U
642 = 600 + 40 + 2
789
SOLUCIÓN
789 = 7 C + 8 D + 9 U
789 = 700 + 80 + 9
453
SOLUCIÓN
453 = 4 C + 5 D + 3 U
453 = 400 + 50 + 3
998
SOLUCIÓN
998 = 9 C + 9 D + 8 U
998 = 900 + 90 + 8
¿SABÍAS QUÉ?
LA DESCOMPOSICIÓN DEL NÚMERO 1.000 TIENE UNA UNIDAD DE MIL Y SE ESCRIBE “1 UM”.
UBICACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA
ES UNA LÍNEA RECTA EN LA QUE UBICAMOS LOS NÚMEROS. EL 0 ES EL COMIENZO DE LA RECTA, LUEGO VAN LOS NÚMEROS DE 1 EN 1 DE MENOR A MAYOR.
– EJEMPLO:
LA REGLA ES UN ELEMENTO QUE UTILIZAMOS PARA MEDIR OBJETOS O PARA TRAZAR LAS LÍNEAS DE UN DIBUJO. SU FORMA ES DELGADA Y RECTANGULAR, PUEDE SER RÍGIDA O FLEXIBLE Y HAY DE DISTINTOS MATERIALES: PLÁSTICO, GOMA, METAL, MADERA. EXISTEN OTROS ELEMENTOS QUE CUMPLEN UNA FUNCIÓN SIMILAR, PERO SON MÁS LARGOS, COMO POR EJEMPLO, LA CINTA MÉTRICA O EL METRO.
– EJEMPLO:
LAS EDADES DE CINCO HERMANOS SON LAS SIGUIENTES:
JUAN: 2 AÑOS; INÉS: 5 AÑOS; ALDO: 9 AÑOS; CARLA: 12 AÑOS; y LUCÍA: 18 AÑOS.
SI DESEAMOS UBICAR EN UNA RECTA NUMÉRICA LAS EDADES DE LOS HERMANOS SEGUIMOS ESTOS PASOS:
1) DIBUJAMOS UNA RECTA CON LAS FLECHAS EN LOS EXTREMOS, HACEMOS DIVISIONES DE IGUAL DISTANCIA Y UBICAMOS EL 0.
2) EN ESTE CASO HICIMOS 20 DIVISIONES PARA UBICAR TODAS LAS EDADES.
3) COLOCAMOS UN PUNTO EN EL VALOR DE LAS EDADES.
OBSERVA QUE MIENTRAS MÁS AVANZA HACIA LA DERECHA, MAYORES SON LOS NÚMEROS.
¡A PRACTICAR!
1. REALIZA LA DESCOMPOSICIÓN DE ESTOS NÚMEROS.
275
SOLUCIÓN
275 = 2 C + 7 D + 5 U = 200 + 70 + 5
638
SOLUCIÓN
638 = 6 C + 3 D + 8 U = 600 + 30 + 8
996
SOLUCIÓN
996 = 9 C + 9 D + 6 U = 900 + 90 + 6
47
SOLUCIÓN
47 = 4 D + 7 U = 40 + 7
546
SOLUCIÓN
546 = 500 + 40 + 6
87
SOLUCIÓN
87 = 80 + 7
788
SOLUCIÓN
788 = 700 + 80 + 8
9 D + 2 U =
SOLUCIÓN
92 = 90 + 2
2. UBICA EN ESTA RECTA NUMÉRICA LOS SIGUIENTES NÚMEROS: 0, 3, 10, 15 Y 20.
SOLUCIÓN
RECURSOS PARA DOCENTES
Composición y descomposición de números
El siguiente artículo destacado te permitirá trabajar con los alumnos la composición y descomposición aditiva de números.
Los números son símbolos escritos que reflejan cantidades de objetos reales e imaginarios. Por ejemplo, vemos números en las medidas y posiciones en el orden de llegada de una carrera, en la tabla de puntajes de un juego o en actividades cotidianas, como cuando cambiamos de canal con el control remoto del televisor.
Lectura de números hasta el 10.000
Existen ocasiones en las que usamos números que involucran una, dos, tres o más cifras. Cada una de estas cifras tiene un valor según la posición que tengan dentro del número. De acuerdo a esta posición y a los nombres de cada dígito podremos nombrar números de hasta cinco o más cifras.
Desde hace miles de años, el hombre ha sentido la necesidad de expresar cantidades a partir de sistemas de signos comprensibles por toda su comunidad. Los números arábigos, desarrollados en la India y transmitidos por los árabes, son los diez dígitos del sistema de numeración decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Con ellos formamos infinidad de números.
Ejemplo:
Si queremos leer el número 542, lo primero que hacemos es ubicar cada cifra en una tabla de valor posicional como esta:
Donde:
U: unidades
D: decenas
C: centenas
Observa que:
El 5 está ubicado en la posición de las centenas → 5 x 100 = 500, se lee “quinientos”.
El 4 está ubicado en la posición de la decenas → 4 x 10 = 40, se lee “cuarenta”.
El 2 está ubicado en la posición de la unidades → 2 x 1 = 2, se lee “dos”.
Por lo tanto, el número 542 se lee: “quinientos cuarenta y dos”.
Otro ejemplo:
Para el leer el número 709 realizamos una tabla de valor posicional y ubicamos sus cifras:
Observa que:
El 7 está ubicado en la posición de las centenas → 7 x 100 = 700, se lee “setecientos”.
El 9 está ubicado en la posición de la unidades → 9 x 1 = 2, se lee “nueve”.
El número 709 se lee: “setecientos nueve”.
¡Atención a los ceros!
¿Qué pasa cuando una posición está ocupada por el cero (0)?
En estos casos no tomamos en cuenta su valor posicional para la lectura del número.
Para leer números mayores a 999 colocamos un punto después de las centenas, es decir, a la izquierda de la tercera cifra. Este punto indica el comienzo de una clase llamada miles.
De este modo, para escribir y leer correctamente el número 2435, primero colocamos un punto al lado izquierdo de la centena. El punto rojo se lee “mil”:
2.435
Luego ubicamos cada cifra en una tabla posicional. Esta vez, añadimos las unidades, decenas y centenas de mil.
Observa que:
El 2 está ubicado en la posición de las unidades de mil → 2 x 1.000 = 2.000, se lee “dos mil”.
El 4 está ubicado en la posición de la centenas → 4 x 100 = 400, se lee “cuatrocientos”.
El 3 está ubicado en la posición de la decenas → 3 x 10 = 30, se lee “treinta”.
El 5 está ubicado en la posición de las unidades → 5 x 1 = 5, se lee “cinco”.
El número 2.435 se lee: “dos mil cuatrocientos treinta y cinco”.
Ejemplo:
– Lee el número 6.028.
El 6 está ubicado en la posición de las unidades de mil → 6 x 1.000 = 6.000, se lee “seis mil”.
El 2 está ubicado en la posición de la decenas → 2 x 10 = 20, se lee “veinte”.
El 8 está ubicado en la posición de las unidades → 8 x 1 = 8, se lee “ocho”.
El número 6.028 se lee: “seis mil veintiocho”
Representación de cantidades
La cinta métrica o metro es un instrumento de medida que consiste en una cinta flexible graduada. Con ella medimos líneas rectas y superficies curvas. Se utiliza en casa y en la construcción. Tiene marcas divisorias con números que representan los centímetros (cm) y los milímetros (mm). Su largo promedio es de 2 metros.
Para representar cantidades utilizamos 10 dígitos que combinados entre sí forman infinitos números y, como ya sabes, cada dígito cambia su valor según la posición que tenga en el número. Por lo tanto, la misma cifra puede tener distintos valores. Observa:
Esta información es útil si tuviésemos, por ejemplo, que pagar una cuenta y debemos descomponer un número grande. Los billetes y monedas por lo general señalan el valor de una unidad (1), de una decena (10) o de una centena (100). Por ejemplo, si tienes monedas de $ 1 y billetes de $ 10 y $ 100 y debes pagar $ 435, ¿cuántos billetes y monedas tomarías de cada uno?
De la tabla de valor posicional observamos sus valores relativos:
Ahora sabemos que si tomamos 5 monedas de $ 1; 3 billetes de $ 10 y 4 billetes de $ 100, tenemos $ 435. De modo gráfico puedes verlo a continuación:
Podemos concluir que 435 = (4 x 100) + (3 x 10) + (5 x 1)
¡A practicar!
¿Cuántos billetes y monedas de $ 1 , $ 10 y $ 100 necesitarías para formar estas cantidades?
876
Solución
8 billetes de $ 100
7 billetes de $ 10
6 monedas de $ 1
1.000
Solución
10 billetes de $ 100
611
Solución
6 billetes de $ 100
1 billete de $ 10
1 moneda de $ 1
¿Dónde usamos los números?
En los carteles que indican la numeración de las calles. Por ejemplo, calle Maipú del 800 al 900.
En los precios de los productos que se compran y venden en la juguetería. Por ejemplo, una muñeca cuesta $ 850, es decir, ochocientos cincuenta pesos.
En el número que señala la balanza cuando nos pesamos. Por ejemplo, Juan se pesó en la balanza de la farmacia y su peso fue 65 kilogramos.
En el dinero entregado al vendedor cuando se paga el precio de un producto. Por ejemplo, la mamá de Pedro fue a la verdulería y gastó $ 420, entonces le dio al vendedor cuatro billetes de $ 100 y dos billetes de $ 10.
¿Sabías que...?
En el sistema de numeración egipcio se simbolizaban los múltiplos de 10 (1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000 y 1.000.000) con dibujos denominados ideogramas que representaban conceptos o ideas.
Aproximación por redondeo
Consiste en reducir o aumentar la cantidad del número para acercarlo al número redondo más próximo en la recta númerica. Redondear números te ayudará a manejar mejor los cálculos mentales cuando no necesites una respuesta exacta.
Redondear números permite realizar las cuentas de manera más sencilla y estimar el resultado por medio de números más cercanos y redondos. En la vida cotidiana es muy común redondear cantidades cuando nos faltan monedas o queremos usar pocos billetes para pagar el precio exacto de los productos comprados en los comercios.
Pasos para aproximar un número a la decena más cercana
1. Identifica la cifra que está en la posición de las unidades.
2. Si la cifra que está en la posición de las unidades es menor que cinco (5), no cambies la decena y escribe un cero (0) en el lugar de las unidades.
3. Si la cifra que está ubicada en la posición de las unidades es igual o mayor que cinco (5), aumenta una unidad en la decena y escribe un cero (0) en el lugar de las unidades.
– Redondea el número 343 a su decena más cercana.
Primero identificamos la unidad:
343
Luego, como la unidad es menor que cinco (3 < 5), mantenemos la decena igual y escribimos un cero (0) en el lugar de la unidades:
343 ≈ 340
Por lo tanto, el número 343 es aproximadamente igual a 340.
¿Sabías qué?
El símbolo “≈” se lee “aproximadamente igual a”.
– Redondea el número 2.589 a su decena más cercana.
Primero identificamos la unidad.
2.589
Luego, como la unidad es mayor que cinco (9 > 5), aumentamos la decena una unidad y escribimos un cero en el lugar de las unidades.
2.589 ≈ 2.590
Por lo tanto, el número 2.589 es aproximadamente igual a 2.590.
Pasos para aproximar un número a la centena más cercana
1. Identifica la cifra que está en la posición de las decenas.
2. Si la cifra que está en la posición de las decenas es menor que cinco (5), no cambies la centena y escribe un cero (0) en el lugar de las decenas y de las unidades.
3. Si la cifra que está ubicada en la posición de las decenas es igual o mayor que cinco (5), aumenta una unidad en la centena y escribe un cero (0) en el lugar de las decenas y de las unidades.
– Redondea el número 9.411 a la centena más cercana
Primero identificamos la decena.
9.411
Luego, como la decena es menor que cinco (1 < 5), no cambiamos la centena y escribimos un cero (0) en el lugar de las decenas y de las unidades:
9.411 ≈ 9.400
Por lo tanto, el número 9.411 es aproximadamente igual a 9.400.
– Redondea el número 6.382 a la centena más cercana.
Primero identificamos la decena.
6.382
Luego, como la decena es mayor que cinco (8 > 5), aumentamos la centena una unidad y escribimos un cero en el lugar de las decenas y de las unidades.
6.382 ≈ 6.400
Por lo tanto, el número 6.382 es aproximadamente igual a 6.400.
¡A practicar!
Una familia se va de viaje y cuando llegan al kilómetro 485 hacen una parada para comer en una estación de servicio. Luego siguen su camino. En el kilómetro 495 se detiene el auto por falta de combustible y el padre tiene que salir a buscar gasolina. Él sabe que en el kilómetro 500 también hay una estación de servicio.
¿Hacia dónde le conviene ir si quiere caminar la menor cantidad de kilómetros posible? ¿Hacia la estación de servicio del kilómetro 485 o a la del kilómetro 500?
Solución
Le conviene ir a la estación de servicio del kilómetro 500 porque está a menor distancia que la otra.
Números ordinales
Los números ordinales sirven para representar un orden y se escriben antes de un sustantivo, por ejemplo “tercer grado”, donde la primera palabra es el número ordinal y la segunda es el sustantivo al que se refiere. También se usan en las colecciones de libros, el que tiene el número 1 es el primero, el que tiene el número 2 es el segundo y así sucesivamente.
Los números ordinales nos indican la posición en la que se ubica un elemento en una sucesión o lista. Para representarlos usamos números naturales seguidos por una letra que indica el género (masculino-femenino) del sustantivo al que se refieren. Por ejemplo:
El 5.º auto, se lee “el quinto auto”.
La 6.ª mesa, se lee “la quinta mesa”.
Estos números sirven para designar los pisos que hay en un edificio e indicar la dirección de vivienda de una persona. Por ejemplo, departamento A del 2º piso:
Estos son los nombres de los números ordinales del 1 al 50:
Número arábigo
Número ordinal
1.º/1.ª
primero/primera
2.º/2.ª
segundo/segunda
3.º/3.ª
tercero/tercera
4.º/4.ª
cuarto/cuarta
5.º/5.ª
quinto/quinta
6.º/6.ª
sexto/sexta
7.º/7.ª
séptimo/séptima
8.º/8.ª
octavo/octava
9.º/9.ª
noveno/novena
10.º/10.ª
décimo/décima
11.º/11.ª
décimo primero/décimo primera
12.º/12.ª
décimo segundo/décimo segunda
13.º/13.ª
décimo tercero/décimo tercera
14.º/14.ª
décimo cuarto/décimo cuarta
15.º/15.ª
décimo quinto/décimo quinta
16.º/16.ª
décimo sexto/décimo sexta
17.º/17.ª
décimo séptimo/décimo séptima
18.º/18.ª
décimo octavo/décimo octava
19.º/19.ª
décimo noveno/décimo novena
20.º/20.ª
vigésimo/vigésima
30.º/30.ª
trigésimo/trigésima
40.º/40.ª
cuadragésimo/cuadragésima
50.º/50.ª
quincuagésimo/quincuagésima
Para escribir números ordinales mayores al 20 primero se escribe el número ordinal del primer valor relativo, luego se escribe el del segundo, por ejemplo:
25.º es igual a “vigésimo quinto”.
42.º es igual a “cuadragésimo segundo”.
¿Sabías qué?
El número ordinal correspondiente al once puede ser nombrado como “décimo primero” o “undécimo”. En el caso del número 12, se lo denomina “décimo segundo” o “duodécimo”.
Números romanos
El reloj de la imagen indica la hora en una circunferencia numerada según el sistema romano. Este sistema de numeración fue inventado en la Antigua Roma y se basaba en la suma y resta de valores representados por letras mayúsculas. A pesar de estar en desuso, se lo puede encontrar en libros, objetos y denominaciones en la actualidad.
Cuando hablamos de números romanos nos referimos a un sistema de numeración que usa letras mayúsculas para representar cantidades. Está compuesto por siete letras y cada una tiene un valor diferente.
¿Para qué se usan los números romanos en la actualidad?
Nombrar los siglos históricos: siglo I antes de Cristo o siglo XX.
Numerar tomos, capítulos, partes de una obra literaria, actos y escenas de una obra teatral: tomo III, capítulo IV o escena VIII.
Nombrar reyes, papas y emperadores: Felipe IV o Juan Pablo II.
Denominar congresos, campeonatos y festivales: IV Congreso de la infancia o XIII Muestra de cine independiente.
Reglas para escribir números romanos
– Si a la derecha de una letra se escribe otra igual o de menor valor, sus valores se suman. Ejemplo:
VI = 5 + 1 = 6
XXI = 10 + 10 + 1= 21
LXVII = 50 + 10 + 5 + 1 + 1 = 67
– La letra I, colocada a la izquierda de V o X, les resta 1. Ejemplo:
IV = 5 − 1 = 4
IX = 10 − 1 = 9
– La letra X, colocada a la izquierda de L o C, les resta 10. Ejemplo:
XC = 100 − 10 = 90
XL = 50 − 10 = 40
– La letra C, colocada a la izquierda de D o M, les resta 100. Ejemplo:
CD = 500 − 100 = 400
CM = 1.000 − 100 = 900
– No se pueden repetir las letras I, X, C y M más de tres veces seguidas. Ejemplo:
XIII = 10 + 1 + 1 + 1 = 13
XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33
MMM = 1.000 + 1.000 + 1.000 = 3.000
– Las letras V, L y D no pueden duplicarse, porque otras ya representan su valor. Ejemplo:
X = 10 (2 veces 5)
C = 100 (2 veces 50)
M = 1.000 (2 veces 500)
– Una raya encima de una letra o grupo de letras multiplica su valor por mil.
a) Escribe los números en cifras o en palabras, según corresponda.
Setecientos cincuenta y dos
Solución
Setecientos cincuenta y dos = 752
Mil cien
Solución
Mil cien = 1.100
1.308
Solución
1.308 = mil trescientos ocho
8.444
Solución
8.444 = ocho mil cuatrocientos cuarenta y cuatro
10.000
Solución
10.000 = diez mil
b) Escribe los números ordinales en palabras:
4.ª
Solución
4.ª = cuarta
7.º
Solución
7.º = séptimo
12.º
Solución
12.º = décimo segundo o duodécimo
17.º
Solución
17.º = décimo séptimo
20.ª
Solución
20.ª = vigésima
23.º
Solución
23.º = vigésimo tercero
34.ª
Solución
34.ª = trigésima cuarta
40.º
Solución
40.º = cuadragésimo
46.ª
Solución
46.ª = cuadragésima sexta
c) Descubre los números romanos que están mal representados y escríbelos correctamente.
Número en sistema decimal
Número en sistema romano
4
IV
9
VIIII
15
VVV
40
XL
150
CL
1.000
CMC
Solución
VIIII no es la representación de 9, porque no se puede repetir la letra I más de tres veces. La escritura correcta es IX.
VVV no es la representación de 15, ya que no se puede repetir la letra V más de tres veces. La escritura correcta es XV.
CMC no es la representación de 1.000, porque hay un símbolo que tiene exactamente ese valor. La escritura correcta es M.
d) Aproxima por redondeo los siguientes números a la decena.
46
Solución
46 ≈ 50
493
Solución
493 ≈ 490
2.456
Solución
2.456 ≈ 2.460
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Sistemas de numeración”
Es una lectura ampliatoria sobre la numeración a lo largo de la historia. Una síntesis que contextualiza y explica el funcionamiento de algunos sistemas de numeración que han sentado las bases de lo que hoy conocemos como aritmética: babilónico, egipcio, chino, griego, romano y decimal.
Artículo que explica cómo leer números grandes sin dificultades, a partir de dos saberes básicos en cuanto a la numeración: leer números de tres cifras y reconocer el valor posicional de cada dígito en un número. Recomendado para enseñar lectura y escritura de números a niños de 3.° grado en adelante.
– Ejemplo 1:
