Los gráficos son representaciones visuales de alguna información numérica resultante de un proceso estadístico. Son muy efectivos para mostrar relaciones entre diferentes valores y permiten comprender fácilmente distintas situaciones de la realidad. Los datos disponibles de una población se presentan de tal manera que los mismos puedan ser visualizados sistemática y resumidamente. Los gráficos pueden ser de barras, circulares o lineales.
Los gráficos son una gran herramienta visual, porque captan la atención, dan información puntual de los datos y permiten una comparación eficaz.
INTERPRETACIÓN DE DATOS
Los cuadros, los gráficos y las tablas nos brindan información muy valiosa sobre una población determinada. Sin embargo, cuando la cantidad de datos es muy numerosa conviene buscar un valor característico del conjunto, como las que aportan las medidas de tendencia central. La media aritmética o promedio es igual a cociente entre la suma de todos los valores entre la cantidad de valores; la moda es el valor que se presenta con mayor frecuencia; y la mediana, tal como su nombre lo indica, corresponde a un punto medio, equidistante de los extremos.
Un conjunto de datos sin el análisis adecuado solo son valores o números. Requieren de lectura e interpretación adecuada para volverse útiles.
PROBABILIDAD
La probabilidad es un mecanismo matemático que nos permite estudiar sucesos aleatorios, es decir, operaciones cuyos resultados no pueden ser anticipados con seguridad, como lanzar un dado, lanzar una moneda o sacar una carta específica de un mazo. A través del cálculo de probabilidad se puede conocer cuántas posibilidades existen de que un fenómeno tenga lugar o no. A cada una de estas posibilidades se las denomina evento o suceso. El conjunto de eventos posibles constituye lo que se denomina espacio muestral.
Las probabilidades no predicen el futuro, únicamente valoran las diferentes posibilidades de un evento. Esta valoración es producto de un cálculo matemático que va de 0 (imposible) a 1 (totalmente posible).
¿QUÉ ES LA ESTADÍSTICA?
La estadística es una ciencia dentro del área de las matemáticas que se encarga de interpretar los datos obtenidos de la observación de un fenómeno en particular. Busca reunir información sobre determinados individuos o grupos, organizar datos y permitir una correcta interpretación. La finalidad de este proceso es tomar decisiones en base a las predicciones que pueden realizarse.
Los procedimientos estadísticos se hacen sobre el total de una población o sobre una muestra. Por ejemplo, cuando nos hacen un análisis de sangre no toman toda nuestra sangre, solo un poco de esta, es decir, una muestra.
Las relaciones espaciales nos orientan sobre las distancias a las que nos encontramos de algún objeto o lugar. Asimismo, sirven para especificar la posición de un territorio en el espacio. Los mapas y los croquis son ejemplos de herramientas usadas para encontrar distancias y ubicaciones específicas.
¿qué es un croquis?
Es un dibujo que indica nuestra ubicación o la de algún objeto o lugar. En él no hay medidas o distancias. Por ejemplo, cuando decimos que hacemos una representación mental de nuestra habitación, si la dibujamos tenemos un croquis.
Este podría ser el croquis de nuestra habitación. Observa que, después de pasar la puerta, a la izquierda tenemos una mesa, al frente está la cama y a la derecha de esta, justo al lado de la ventana, está ubicado el escritorio.
¡Es tu turno!
Observa este croquis de un zoológico, luego responde.
a) ¿Qué camino debe tomar Daniel para encontrarse con Laura?
Solución
Puede ir por la derecha del parque hasta donde están los caballos y allí se encontrará con Laura.
b) ¿Existe un solo camino?
Solución
No, hay varias maneras de llegar hasta donde está Laura.
c) ¿El canguro está al lado de la jirafa?
Solución
No. El canguro está entre el elefante y el oso.
d) ¿El caballo está frente al hipopótamo?
Solución
Sí, el caballo está frente al hipopótamo.
¿Qué son los mapas?
Son representaciones gráficas de un territorio. Por lo general, se representan de forma bidimensional pero también pueden encontrarse de forma esférica en los globos terráqueos y en modelos 3D.
Una de las características esenciales de todo mapa es su exactitud, por lo cual, debe poseer propiedades métricas a escala para permitir relacionar lo que representan con el mundo real. Toda distancia, ángulo o superficie denotada en un mapa debe cumplir con este principio.
Un planisferio, también conocido como mapamundi, es una representación gráfica a escala del mapa del mundo. Esta ilustración muestra todos los elementos del mapa de la Tierra de manera bidimensional. Muestra datos como relieve y altura sobre el nivel del mar, también señala ríos, regiones y otros elementos.
Los mapas se utilizan para distintos fines. Los más comunes indican:
Desde la organización de las primeras civilizaciones se utilizan los mapas como instrumento de ubicación. En la Edad Media se representaba a la Tierra de forma plana, y la ciudad de Jerusalén era el centro del mundo. Los mapas más antiguos que se tiene registro fueron realizados por los babilonios que vivieron en la Mesopotamia. Tallaban en tablillas de arcilla mediciones de sus tierras y luego las empleaban como herramienta de referencia para cobrar impuestos.
Característica de los mapas
Los mapas pertenecen a una forma de comunicación que emplea una serie de símbolos y nomenclaturas que permiten comprender amplias regiones de la Tierra en una pequeña porción de papel u otro material. Es por ello que es importante comprender los elementos más importantes de cualquier mapa:
Título del mapa: indica el objeto de estudio que se trata en el mapa.
Leyenda: presenta la codificación expresada en el mapa, es decir, explica los símbolos usados.
Escala: señala la proporción que existe entre la medida del mapa y la del terreno real.
Referencia de orientación: permite conocer la dirección de los elementos del mapa. Por convencionalismo, se suele usar una rosa de los vientos para señalar la ubicación de los puntos cardinales.
¿Sabías qué?
A comienzos de la Edad Moderna, cuando los exploradores como Cristóbal Colón comenzaron a recorrer los mares, la cartografía y los mapas empezaron a ser muy importantes para la sociedad.
La escala
¿Qué pasa si queremos dibujar un mapa de América? El continente no va a estar dibujado con su tamaño real porque no nos alcanzaría una hoja. Entonces, para poder dibujarlo, el creador del mapa coloca debajo del mismo una escala que indica los kilómetros que están representados por cada centímetro dibujados.
Una escala señala la proporción que existe entre la medida del mapa y la del terreno real. Las escalas pueden representarse de forma explícita cuando se indica, por ejemplo, que 1 cm = 100 km; de forma numérica cuando se muestra la fracción matemática, como por ejemplo 1/10.000; y de forma de regla graduada.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Lenguajes de mapas”
Con este artículo podrá ampliar la información sobre los mapas y sus partes.
Cada número está formado por diferentes cifras y cada una de estas cifras tiene un valor según la posición que ocupan dentro del número. Por ejemplo, el 300 se lee “trescientos” porque el 3 se ubica en el lugar de las centenas, pero el 30 se lee “treinta” porque el 3 está en el lugar de las decenas. Además de los números naturales que usamos para contar, también existen otros que representan orden, como los ordinales; y otros que podemos ver en relojes antiguos, como los números romanos.
Con los diez dígitos de nuestro sistema de numeración podemos crear cualquier número.
Valor posicional
El valor posicional es el valor que tiene una cifra dentro de un número, por ejemplo, el número 555, a pesar de tener tres cifras iguales, cada una tiene un valor distinto: 500, 50 y 5. Estos valores los podemos representar en una tabla posicional en la que están los órdenes (unidades, decenas, centenas) y las clases (miles, millones, etc.). Por otro lado, la descomposición aditiva nos ayuda a expresar un número como la suma de sus valores posicionales.
El ábaco es un instrumento que sirve para realizar diferentes operaciones matemáticas. Una esfera de color puede representar una unidad, una decena o una centena.
Recta numérica
La recta numérica, como su nombre lo indica, es una recta que contiene infinitos números. Para graficarla basta con hacer una línea recta, dibujar flechas a los lados, ubicar el cero (0) y hacer separaciones de igual distancia en las que colocaremos los puntos que simbolizan los números. Es importante recordar que cada número tiene un orden y pueden ser mayores o menores que otros. Para esto usamos símbolos de relación como mayor que (>), menor que (<) o igual a (=).
Con una regla graduada o escuadra podemos dibujar una recta numérica. Este instrumento nos ayudará no solo con el trazo de la línea recta, sino también con las separaciones entre punto y punto.
series
Las series numéricas son conjuntos de números organizados bajo una misma regla o patrón, pueden ser ascendentes y descendentes. Una serie es ascendente cuando los números están ordenados de menor a mayor y el patrón es una suma sucesiva; mientras que una serie numérica descendente es aquella en la que los números están ordenados de mayor a menor y el patrón es una resta sucesiva. A estos patrones los podemos identificar si restamos dos números contiguos de la serie. También vemos patrones en las tablas de 100 números.
Contar es una de las primeras tareas que aprendemos a hacer. Gracias al conteo con nuestros dedos podemos realizar operaciones básicas como la suma y resta de números pequeños.
Todos los números se pueden representar en una recta numérica. Esta nos permite comparar números y saber si uno es mayor o menor que otro; como también redondear las decenas o centenas máscercana. Es probable que la hayas visto en las reglas de tu escuela, hoy sabrás cómo graficarlas y usarlas.
La regla graduada es un instrumento que usamos para medir distancias y para trazar líneas rectas. Es graduada porque tiene marcas que simbolizan la distancia entre un punto y otro. Estas marcas hacen que la regla sea lo más parecido a una recta numérica.
¿qUÉ ES LA RECTA NUMÉRICA?
Es una línea recta que tiene una sola dimensión y está compuesta por una sucesión de puntos que se prolongan en una misma dirección hasta el infinito, es decir, que no tiene fin. Si empezamos a contar los números de uno en uno, no terminaríamos nunca porque los números son infinitos.
¿Sabías qué?
El símbolo del infinito es ∞.
¿Cómo graficar una recta numérica?
En un recta numérica podemos graficar los números como puntos que están separados por una misma distancia unos de otros. Los pasos son los siguientes:
1. Dibuja una línea recta con flechas en ambos extremos. Las flechas se colocan para representar que hay números sin fin tanto a la derecha como a la izquierda.
2. Ubica el cero. Ese será el inicio de la recta numérica.
3. Divide la recta en segmentos de la misma distancia y agrega los números.
4. Si deseas representar números grandes, también puedes hacerlo en la recta numérica. Por ejemplo:
De 10 en 10:
De 100 en 100:
De 1.000 en 1.000:
Recuerda que entre número y número hay divisiones más pequeñas que representan las cantidad intermedias. Por ejemplo, entre 1.000 y 2.000 podemos dibujar la recta así:
Aunque originalmente solo se colocaban los números naturales sobre la recta numérica, es decir, los números que usamos para contar: 1, 2, 3, 4, 5, … Hoy en día podemos representar cualquier tipo de número en ella. Así, podemos encontrar números decimales, como 6,5; números fraccionarios, como 1/2; o números negativos como −9.
representación de números en la recta numérica
En una recta numérica podemos ubicar cualquier número. Por ejemplo, si queremos representar el 7.500 tenemos que pensar que se encuentra entre el 7.000 y el 8.000, justo en el medio de ambos. Veamos cómo queda:
– Otro ejemplo:
También podemos representar los valores entre decenas de números grandes. Por ejemplo, para ubicar el número 2.130 tenemos que pensar que está entre el 2.100 y el 2.200. La recta quedaría así:
– Otro ejemplo:
Creación de la recta numérica
La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea recta, fue creada por John Wallis, un matemático Inglés que alrededor de 1670 la empleó para mostrar de modo gráfico los números naturales. A medida que nos movemos hacia la derecha sobre la recta vamos a encontrar números más grandes.
redondeo
Redondear un número significa llevarlo al número natural más cercano terminado en cero, es decir, consiste en encontrar la decena o centena más cercana al número. Por ejemplo, el redondeo del número 2.320 a la centena más cercana es 2.300, porque 2.320 está más cerca de 2.300 que de 2.400.
– Otro ejemplo:
El punto color rojo está ubicado en 4.870, entre el 4.800 y el 4.900, pero ¿a qué centena más cercana está? Como ves, en la recta, el punto rojo está más cerca de 4.900, por lo tanto, el redondeo a la centena de 4.870 es 4.900.
orden numérico
Hay números naturales mayores o menores que otros, a esta relación la llamamos orden. Para representar que un número es mayor, menor o igual a otro usamos los siguientes símbolos:
Símbolo
Significado
>
Mayor que
<
Menor que
=
Igual a
En una recta numérica, los números mayores están más a la derecha y los menores están más a la izquierda.
– Ejemplo:
9.000 es mayor que 1.000 porque está más a la derecha en la recta numérica. Lo representamos así:
9.000 > 1.000
4.840 es menor que 4.890 está más a la izquierda en la recta numérica. Lo representamos así:
4.840 < 4.890
– Otros ejemplos:
2.551 > 2.550
7.013 < 7.020
1.500 > 1.000
¿Sabías qué?
La boca más ancha de los símbolos < y > siempre mira al número más grande; y la parte más fina al número más pequeño.
¡A practicar!
Representa en la recta numérica los siguientes números:
2.160
Solución
9.540
Solución
5.365
Solución
7.615
Solución
2. Observa la recta numérica y luego responde las preguntas:
¿Qué número está representado en el punto de color azul?
Solución
3.300
¿Qué número está representado en el punto de color rosa?
Solución
4.100
¿Qué número está representado en el punto de color lila?
Solución
6.400
¿Qué número está representado en el punto de color negro?
Solución
3.600
¿Qué número está representado en el punto de color verde?
Solución
5.500
¿Qué número está representado en el punto de color naranja?
Solución
6.900
¿Qué número está representado en el punto de color rojo?
Solución
4.100
¿Qué número está representado en el punto de color celeste?
Solución
5.800
3. Redondea las siguientes cantidades a la centena más cercana por medio de la recta numérica.
a. 2.530
Solución
El redondeo a la centena más cercana es 2.500.
b. 5.590
Solución
El redondeo a la centena más cercana es 5.600.
c. 9.970
Solución
El redondeo a la centena más cercana es 10.000.
4. Completa con >, < o = según corresponda.
3.550 _____ 3.549
Solución
3.550 > 3.549
6.701 _____ 6.711
Solución
6.701 < 6.711
1.566 _____ 1.566
Solución
1.566 = 1.566
8.987 _____ 8.985
Solución
8.987 > 8.985
9.620 _____ 9.625
Solución
9.620 < 9.625
4.213 _____ 4.213
Solución
4.213 = 4.213
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Recta numérica”
Este recurso te permitirá complementar la información sobre la representación en la recta numérica.
Todas las fracciones representan una división o las partes de un entero. Las usamos día a día cuando queremos repartir chocolates con amigos, una pizza con familiares y hasta picar una torta de cumpleaños para los invitados. Cada vez que organizamos una reunión y pensamos cuántos invitados vendrán, hacemos uso de las fracciones.
lectura de fracciones
Toda fracción tiene un numerador y un denominador. Podemos representarlos en esta caja de rosquillas. ¡Observa! La caja es el entero y lo dividimos en 12 partes iguales porque hay 12 rosquillas. Ese es el denominador. El numerador será igual a las rosquillas repartidas. Si solo repartirmos 4, podemos decir que comimos 4/12 de la caja.
Las fracciones reciben diferentes nombres de acuerdo a los números que aparecen en el numerador y el denominador. El numerador lo leemos como cualquier número natural y el denominador de la siguiente manera:
Denominador
Lectura
2
Medios
3
Tercios
4
Cuartos
5
Quintos
6
Sextos
7
Séptimos
8
Octavos
9
Novenos
10
Décimos
A partir del 11 el número se lee terminado en -avos. Por ejemplo, onceavos, doceavos, treceavos y así sucesivamente.
– Veamos algunos ejemplos:
se lee “tres séptimos”.
se lee “cinco tercios”.
se lee “siete doceavos”.
se lee “dos décimos”.
se lee “ocho medios”.
¡Es tu turno!
Observa las siguientes fracciones, ¿cómo se leen?
Solución
Nueve cuartos.
Solución
Veinticinco treceavos.
Solución
Cinco octavos.
representación gráfica
En una fracción, el denominador indica las partes en las que se divide al entero y el numerador las partes que se toman.
Estas definiciones son importantes para realizar los gráficos de fracciones.
¿Cómo graficar una fracción propia?
Realicemos el gráfico de la fracción
Lo primero que hacemos es dibujar una figura. En este caso dibujaremos un rectángulo. Este será el entero.
Luego dividimos el entero en la cantidad de partes que nos indique el denominador. En este caso, como el denominador es 5, dividimos el rectángulo en 5 partes iguales.
Después pintamos la cantidad de partes que señale el numerador. Como en esta fracción el numerador es 3, pintamos 3 partes. El resultado será el gráfico de la fracción.
¿Cómo graficar una fracción impropia?
La fracciones impropias tienen el numerador mayor al denominador y por lo tanto son mayores que 1.
Realicemos el gráfico de la fracción
Primero dibujamos un figura que represente al entero. En este caso es un cuadrado.
Ahora dividimos el entero en tantas partes como nos señale el denominador. El denominador de esta fracción es 4, así que dividimos al cuadrado en 4 partes iguales.
Luego pintamos las partes que nos indique el numerador. Como el numerador es 6, no es suficiente con una sola figura, así que dibujamos de nuevo otro cuadrado con 4 partes y pintamos las partes necesarias para llegar a 6. Ese será el gráfico de la fracción.
¿Sabías qué?
Siempre que el numerador sea mayor que el denominador será necesario que dibujemos más de un entero para representar la fracción.
¡A practicar!
Representa gráficamente las siguientes fracciones:
Solución
Solución
Solución
representación en la recta numérica
La recta numérica es una línea recta sin principio ni final que contiene a todos los números. Ubicamos los números a partir del cero en segmentos iguales.
Entre el 0 y el 1, el 1 y el 2, o entre cualquier entero podemos encontrar fracciones. Todas estas también se pueden ubicar en la recta numérica.
Para ubicar las fracciones en la recta numérica solo tenemos que dividir la unidad en segmentos iguales según lo que indica el denominador y a partir del cero contamos tantos lugares como indique el numerador. Luego marcamos la fracción.
– Ejemplo:
Para representar en la recta numérica la fracción sigue estos pasos:
Divide el espacio entre 0 y 1 en 5 partes iguales.
Cuenta desde el cero dos lugares porque el numerador es 2.
Ubica la fracción.
¿Sabías qué?
Para representar en la recta numérica fracciones impropias se usan fracciones mixtas. Estas fracciones están formadas por una parte entera y una fraccionaria.
Ubica las fracciones
¿Qué fracción se representa en esta recta numérica?
¿cómo se relacionan las fracciones y las divisiones?
Las fracciones son partes de un todo, es decir, son divisiones de ese todo. Por esta razón están directamente relacionadas una con la otra.
Toda fracción es una división sin resolver entre dos números: el numerador y el denominador.
Entonces, es igual a . Las dos son formas correctas de escribir una división.
¿Sabías qué?
Podemos expresar las fracciones con la raya horizontal o con una diagonal, por ejemplo, es igual a .
La representación de las horas
Un reloj analógico marca diferentes fracciones con el paso de las horas. En una hora hay cuatro cuartos de hora, así que, cuando decimos que pasaron 15 minutos después de las 12, realmente decimos que pasó 1/4 de hora. Cuando la aguja de los minutos (aguja larga) llega al 6 significa que pasó media (1/2) hora y a los 45 minutos pasaron 3/4 de una hora.
Actividades
1. ¿Cómo se lee la fracción 3/10? Realiza su gráfico.
Solución
3/10 se lee “tres décimos”.
Su gráfico es igual a este:
2. ¿Cómo se lee la fracción 5/12? Representa la fracción en la recta numérica.
Solución
5/12 se lee “cinco doceavos”.
En la recta se representa así:
3. Une cada fracción con su gráfico:
Solución
4. ¿Qué fracción está representada en la siguiente recta numérica?
Solución
La fracción 3/6.
5. ¿Qué fracción está representada en la siguiente recta numérica?
Solución
La fracción 1/5.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Partes y porciones”
Este recurso permitirá profundizar la representación en la recta numérica.
A DIARIO PODEMOS ENCONTRAR QUE LOS OBJETOS QUE USAMOS TIENEN CARACTERÍSTICAS EN COMÚN. POR EJEMPLO, EN LOS SUPERMERCADOS VEMOS ESTANTES DE PRODUCTOS POR GRUPOS: LOS VEGETALES, LOS VÍVERES, LOS REFRIGERADOS, LAS GOLOSINAS, LOS REFRESCOS, ENTRE OTROS. ESTOS GRUPOS SE LLAMAN CONJUNTOS ¡APRENDAMOS CÓMO REPRESENTARLOS!
¿QUÉ ES UN CONJUNTO?
UN CONJUNTO ES UN GRUPO DE OBJETOS QUE COMPARTEN UNA CARACTERÍSTICA EN COMÚN. LOS OBJETOS QUE CONFORMAN EL CONJUNTO SE LLAMAN ELEMENTOS Y PUEDEN SER DE CUALQUIER TIPO: LETRAS, NÚMEROS, ALIMENTOS, DEPORTES, PERSONAS O JUEGOS.
A ES EL CONJUNTO DE LOS ANIMALES.
N ES EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS.
LA IDEA DE AGRUPAR OBJETOS CON CARACTERÍSTICAS COMUNES ES PARTE DE NUESTRA VIDA COTIDIANA. VEMOS CONJUNTOS DE ZAPATOS EN LAS ZAPATERÍAS, CONJUNTOS DE FRUTAS O VERDURAS EN LAS VERDULERÍAS, CONJUNTOS DE FLORES EN UN JARDÍN, CONJUNTOS DE VÍVERES EN UN MERCADO, CONJUNTOS DE NIÑOS EN LAS ESCUELAS Y CONJUNTOS DE LIBROS EN UNA BIBLIOTECA.
ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
SON TODOS LOS OBJETOS QUE CONFORMAN UN CONJUNTO. POR EJEMPLO:
U ES EL CONJUNTO DE LOS ÚTILES ESCOLARES. TIENE 9 ELEMENTOS.
S ES EL CONJUNTO DE LOS DÍAS DE LA SEMANAS. TIENE 7 ELEMENTOS.
AQUÍ PODEMOS VER ROLLOS DE TELA QUE SON ELEMENTOS SIMILARES AGRUPADOS. ¿POR QUÉ ES UN CONJUNTO? PORQUE TODOS LOS ROLLOS QUE SE OBSERVAN COMPARTEN LA MISMA CARACTERÍSTICA. ESTOS TIENEN QUE ESTAR JUNTOS PARA QUE PUEDAN EXPRESARSE COMO UN CONJUNTO. A PESAR DE QUE TENGAN DIFERENTES COLORES, TEXTURAS, RELIEVES, COMPARTEN ALGO EN COMÚN: SON UN TIPO DE TELA.
REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS
PODEMOS REPRESENTAR LOS CONJUNTOS DE DOS MANERAS:
1. DIAGRAMA DE VENN
P ES EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS PARES. ESTE CONJUNTO TIENE SEIS ELEMENTOS: 2, 4, 6, 8, 10 Y 12.
2. LLAVES
P = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
P ES EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS PARES. ESTE CONJUNTO TIENE SEIS ELEMENTOS: 2, 4, 6, 8, 10 Y 12.
¿SABÍAS QUÉ?
CUANDO UN CONJUNTO SOLO TIENE UN ELEMENTO SE LO LLAMA CONJUNTO UNITARIO.
SUBCONJUNTOS
SON CONJUNTOS DENTRO DE OTRO CONJUNTO. ESTOS COMPARTEN OTRA CARACTERÍSTICA EN COMÚN.
OBSERVA EL CONJUNTO F DE LAS FRUTAS Y VEGETALES.
ESTE CONJUNTO TIENE 12 ELEMENTOS. PERO ADEMÁS DE SER FRUTAS O VEGETALES, VARIOS DE ELLOS TIENEN OTRA CARACTERÍSTICA EN COMÚN: EL COLOR.
ENTONCES, DENTRO DEL CONJUNTO F HAY SUBCONJUNTOS V, R Y A.
ASÍ COMO REPRESENTAMOS CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS CON DIAGRAMAS DE VENN, TAMBIÉN PODEMOS MOSTRARLOS CON LLAVES:
EL GRUPO DE NIÑOS MÚSICOS ES UN CONJUNTO DE 6 ELEMENTOS. DENTRO DE ESTE CONJUNTO TAMBIÉN PODEMOS ENCONTRAR TRES SUBCONJUNTOS EN LOS QUE ALGUNOS ELEMENTOS VAN A COMPARTIR UNA CARACTERÍSTICA. POR EJEMPLO, AQUÍ PODRÍAMOS CLASIFICAR SUBCONJUNTOS DE AQUELLOS QUE TOCAN INSTRUMENTOS DE VIENTO, DE PERCUSIÓN O DE CUERDA.
CUANTIFICADORES
LOS CUANTIFICADORES SIRVEN PARA SABER LA CANTIDAD DE VECES QUE UN ELEMENTO CUMPLE CON UNA CONDICIÓN. LOS EXPRESAMOS CON TÉRMINOS COMO “TODOS“, “ALGUNOS” O “NINGUNO“.
OBSERVA EL CONJUNTO T.
EN EL CONJUNTO T TODOS SON TRIÁNGULOS.
EN EL CONJUNTO T ALGUNOS TRIÁNGULOS SON ROJOS.
EN EL CONJUNTO T NINGÚN TRIÁNGULO ES AMARILLO.
– OTRO EJEMPLO:
OBSERVA EL CONJUNTO Q.
EN EL CONJUNTO Q TODOS SON ANIMALES.
EN EL CONJUNTO Q ALGUNOS PUEDEN VOLAR.
EN EL CONJUNTO Q NINGUNO TIENE SEIS PATAS.
CUANTIFICADORES: ¿QUÉ SON?
LOS CUANTIFICADORES NOS INDICAN LA CANTIDAD DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO QUE CUMPLEN CON UNA PROPIEDAD PARTICULAR. EN ESTE CASO, VEMOS UN CONJUNTO DE 6 NIÑOS, ES DECIR DE 6 ELEMENTOS. SI NOS PREGUNTAMOS CUÁNTOS DE ELLOS ESTÁN FELICES, AL VER SUS CARAS PODRÍAMOS DECIR QUE TODOS. ALLÍ USAMOS UN CUANTIFICADOR PARA DETERMINAR LA CANTIDAD DE ELEMENTOS DEL CONJUNTO QUE COMPARTEN UN MISMO ESTADO DE ÁNIMO.
¡A PRACTICAR!
1. OBSERVA LOS CONJUNTOS Y RESPONDE LAS PREGUNTAS CON LOS CUANTIFICADORES NECESARIOS.
A = { LORO, GATO, HORMIGA, CUERVO, GAVIOTA, JIRAFA }
¿CUÁNTOS ELEMENTOS PUEDEN VOLAR?
SOLUCIÓN
ALGUNOS
¿CUÁNTOS ELEMENTOS PUEDEN LADRAR?
SOLUCIÓN
NINGUNO
¿CUANTOS ELEMENTOS SON ANIMALES?
SOLUCIÓN
TODOS
B = {CÍRCULO, TRIÁNGULO, CUADRADO, RECTÁNGULO}
¿CUANTOS ELEMENTOS SON FRUTAS?
SOLUCIÓN
NINGUNO
¿CUÁNTOS ELEMENTOS SON FIGURAS GEOMÉTRICAS?
SOLUCIÓN
TODOS
¿CUÁNTOS ELEMENTOS TIENEN CUATRO LADOS?
SOLUCIÓN
ALGUNOS
2. OBSERVA EL CONJUNTO A DE LOS ANIMALES. CREA DOS SUBCONJUNTOS: CONJUNTO B DE LOS ANIMALES QUE PUEDEN VOLAR Y CONJUNTO C DE LOS ANIMALES QUE PUEDEN NADAR.
A = {ÁGUILA, BALLENA, ORCA, LORO, PEZ GLOBO, GAVIOTA}
SOLUCIÓN
B = {ÁGUILA, LORO, GAVIOTA}
C = {BALLENA, ORCA, PEZ GLOBO}
3. OBSERVA EL CONJUNTO T DE LOS MEDIOS DE TRANSPORTE. CREA DOS SUBCONJUNTOS: CONJUNTO D DE LOS TRANSPORTES TERRESTRES Y CONJUNTO F DE LOS MEDIOS DE TRANSPORTES AÉREOS.
T = {AUTOMÓVIL, MOTO, AVIÓN, BICICLETA, HELICÓPTERO, METRO}
SOLUCIÓN
D = {AUTOMÓVIL, MOTO, BICICLETA, METROS}
F = {AVIÓN, HELICÓPTERO}
4. ¿CUÁLES SUBCONJUNTOS SE PUEDEN FORMAR EN EL CONJUNTO L DE LAS LETRAS?
SOLUCIÓN
SUBCONJUNTO V DE LAS VOCALES.
V = {A, E, I, O, U}
SUBCONJUNTO C DE LAS CONSONANTES.
C = {B, C, D, F}
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Relación entre conjuntos”
En el siguiente artículo encontrarás más información sobre conjuntos y la forma en la que se relacionan entre ellos.
Los números son símbolos escritos que reflejan cantidades de objetos reales e imaginarios. Por ejemplo, vemos números en las medidas y posiciones en el orden de llegada de una carrera, en la tabla de puntajes de un juego o en actividades cotidianas, como cuando cambiamos de canal con el control remoto del televisor.
Lectura de números hasta el 10.000
Existen ocasiones en las que usamos números que involucran una, dos, tres o más cifras. Cada una de estas cifras tiene un valor según la posición que tengan dentro del número. De acuerdo a esta posición y a los nombres de cada dígito podremos nombrar números de hasta cinco o más cifras.
Desde hace miles de años, el hombre ha sentido la necesidad de expresar cantidades a partir de sistemas de signos comprensibles por toda su comunidad. Los números arábigos, desarrollados en la India y transmitidos por los árabes, son los diez dígitos del sistema de numeración decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Con ellos formamos infinidad de números.
Ejemplo:
Si queremos leer el número 542, lo primero que hacemos es ubicar cada cifra en una tabla de valor posicional como esta:
Donde:
U: unidades
D: decenas
C: centenas
Observa que:
El 5 está ubicado en la posición de las centenas → 5 x 100 = 500, se lee “quinientos”.
El 4 está ubicado en la posición de la decenas → 4 x 10 = 40, se lee “cuarenta”.
El 2 está ubicado en la posición de la unidades → 2 x 1 = 2, se lee “dos”.
Por lo tanto, el número 542 se lee: “quinientos cuarenta y dos”.
Otro ejemplo:
Para el leer el número 709 realizamos una tabla de valor posicional y ubicamos sus cifras:
Observa que:
El 7 está ubicado en la posición de las centenas → 7 x 100 = 700, se lee “setecientos”.
El 9 está ubicado en la posición de la unidades → 9 x 1 = 2, se lee “nueve”.
El número 709 se lee: “setecientos nueve”.
¡Atención a los ceros!
¿Qué pasa cuando una posición está ocupada por el cero (0)?
En estos casos no tomamos en cuenta su valor posicional para la lectura del número.
Para leer números mayores a 999 colocamos un punto después de las centenas, es decir, a la izquierda de la tercera cifra. Este punto indica el comienzo de una clase llamada miles.
De este modo, para escribir y leer correctamente el número 2435, primero colocamos un punto al lado izquierdo de la centena. El punto rojo se lee “mil”:
2.435
Luego ubicamos cada cifra en una tabla posicional. Esta vez, añadimos las unidades, decenas y centenas de mil.
Observa que:
El 2 está ubicado en la posición de las unidades de mil → 2 x 1.000 = 2.000, se lee “dos mil”.
El 4 está ubicado en la posición de la centenas → 4 x 100 = 400, se lee “cuatrocientos”.
El 3 está ubicado en la posición de la decenas → 3 x 10 = 30, se lee “treinta”.
El 5 está ubicado en la posición de las unidades → 5 x 1 = 5, se lee “cinco”.
El número 2.435 se lee: “dos mil cuatrocientos treinta y cinco”.
Ejemplo:
– Lee el número 6.028.
El 6 está ubicado en la posición de las unidades de mil → 6 x 1.000 = 6.000, se lee “seis mil”.
El 2 está ubicado en la posición de la decenas → 2 x 10 = 20, se lee “veinte”.
El 8 está ubicado en la posición de las unidades → 8 x 1 = 8, se lee “ocho”.
El número 6.028 se lee: “seis mil veintiocho”
Representación de cantidades
La cinta métrica o metro es un instrumento de medida que consiste en una cinta flexible graduada. Con ella medimos líneas rectas y superficies curvas. Se utiliza en casa y en la construcción. Tiene marcas divisorias con números que representan los centímetros (cm) y los milímetros (mm). Su largo promedio es de 2 metros.
Para representar cantidades utilizamos 10 dígitos que combinados entre sí forman infinitos números y, como ya sabes, cada dígito cambia su valor según la posición que tenga en el número. Por lo tanto, la misma cifra puede tener distintos valores. Observa:
Esta información es útil si tuviésemos, por ejemplo, que pagar una cuenta y debemos descomponer un número grande. Los billetes y monedas por lo general señalan el valor de una unidad (1), de una decena (10) o de una centena (100). Por ejemplo, si tienes monedas de $ 1 y billetes de $ 10 y $ 100 y debes pagar $ 435, ¿cuántos billetes y monedas tomarías de cada uno?
De la tabla de valor posicional observamos sus valores relativos:
Ahora sabemos que si tomamos 5 monedas de $ 1; 3 billetes de $ 10 y 4 billetes de $ 100, tenemos $ 435. De modo gráfico puedes verlo a continuación:
Podemos concluir que 435 = (4 x 100) + (3 x 10) + (5 x 1)
¡A practicar!
¿Cuántos billetes y monedas de $ 1 , $ 10 y $ 100 necesitarías para formar estas cantidades?
876
Solución
8 billetes de $ 100
7 billetes de $ 10
6 monedas de $ 1
1.000
Solución
10 billetes de $ 100
611
Solución
6 billetes de $ 100
1 billete de $ 10
1 moneda de $ 1
¿Dónde usamos los números?
En los carteles que indican la numeración de las calles. Por ejemplo, calle Maipú del 800 al 900.
En los precios de los productos que se compran y venden en la juguetería. Por ejemplo, una muñeca cuesta $ 850, es decir, ochocientos cincuenta pesos.
En el número que señala la balanza cuando nos pesamos. Por ejemplo, Juan se pesó en la balanza de la farmacia y su peso fue 65 kilogramos.
En el dinero entregado al vendedor cuando se paga el precio de un producto. Por ejemplo, la mamá de Pedro fue a la verdulería y gastó $ 420, entonces le dio al vendedor cuatro billetes de $ 100 y dos billetes de $ 10.
¿Sabías que...?
En el sistema de numeración egipcio se simbolizaban los múltiplos de 10 (1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000 y 1.000.000) con dibujos denominados ideogramas que representaban conceptos o ideas.
Aproximación por redondeo
Consiste en reducir o aumentar la cantidad del número para acercarlo al número redondo más próximo en la recta númerica. Redondear números te ayudará a manejar mejor los cálculos mentales cuando no necesites una respuesta exacta.
Redondear números permite realizar las cuentas de manera más sencilla y estimar el resultado por medio de números más cercanos y redondos. En la vida cotidiana es muy común redondear cantidades cuando nos faltan monedas o queremos usar pocos billetes para pagar el precio exacto de los productos comprados en los comercios.
Pasos para aproximar un número a la decena más cercana
1. Identifica la cifra que está en la posición de las unidades.
2. Si la cifra que está en la posición de las unidades es menor que cinco (5), no cambies la decena y escribe un cero (0) en el lugar de las unidades.
3. Si la cifra que está ubicada en la posición de las unidades es igual o mayor que cinco (5), aumenta una unidad en la decena y escribe un cero (0) en el lugar de las unidades.
– Redondea el número 343 a su decena más cercana.
Primero identificamos la unidad:
343
Luego, como la unidad es menor que cinco (3 < 5), mantenemos la decena igual y escribimos un cero (0) en el lugar de la unidades:
343 ≈ 340
Por lo tanto, el número 343 es aproximadamente igual a 340.
¿Sabías qué?
El símbolo “≈” se lee “aproximadamente igual a”.
– Redondea el número 2.589 a su decena más cercana.
Primero identificamos la unidad.
2.589
Luego, como la unidad es mayor que cinco (9 > 5), aumentamos la decena una unidad y escribimos un cero en el lugar de las unidades.
2.589 ≈ 2.590
Por lo tanto, el número 2.589 es aproximadamente igual a 2.590.
Pasos para aproximar un número a la centena más cercana
1. Identifica la cifra que está en la posición de las decenas.
2. Si la cifra que está en la posición de las decenas es menor que cinco (5), no cambies la centena y escribe un cero (0) en el lugar de las decenas y de las unidades.
3. Si la cifra que está ubicada en la posición de las decenas es igual o mayor que cinco (5), aumenta una unidad en la centena y escribe un cero (0) en el lugar de las decenas y de las unidades.
– Redondea el número 9.411 a la centena más cercana
Primero identificamos la decena.
9.411
Luego, como la decena es menor que cinco (1 < 5), no cambiamos la centena y escribimos un cero (0) en el lugar de las decenas y de las unidades:
9.411 ≈ 9.400
Por lo tanto, el número 9.411 es aproximadamente igual a 9.400.
– Redondea el número 6.382 a la centena más cercana.
Primero identificamos la decena.
6.382
Luego, como la decena es mayor que cinco (8 > 5), aumentamos la centena una unidad y escribimos un cero en el lugar de las decenas y de las unidades.
6.382 ≈ 6.400
Por lo tanto, el número 6.382 es aproximadamente igual a 6.400.
¡A practicar!
Una familia se va de viaje y cuando llegan al kilómetro 485 hacen una parada para comer en una estación de servicio. Luego siguen su camino. En el kilómetro 495 se detiene el auto por falta de combustible y el padre tiene que salir a buscar gasolina. Él sabe que en el kilómetro 500 también hay una estación de servicio.
¿Hacia dónde le conviene ir si quiere caminar la menor cantidad de kilómetros posible? ¿Hacia la estación de servicio del kilómetro 485 o a la del kilómetro 500?
Solución
Le conviene ir a la estación de servicio del kilómetro 500 porque está a menor distancia que la otra.
Números ordinales
Los números ordinales sirven para representar un orden y se escriben antes de un sustantivo, por ejemplo “tercer grado”, donde la primera palabra es el número ordinal y la segunda es el sustantivo al que se refiere. También se usan en las colecciones de libros, el que tiene el número 1 es el primero, el que tiene el número 2 es el segundo y así sucesivamente.
Los números ordinales nos indican la posición en la que se ubica un elemento en una sucesión o lista. Para representarlos usamos números naturales seguidos por una letra que indica el género (masculino-femenino) del sustantivo al que se refieren. Por ejemplo:
El 5.º auto, se lee “el quinto auto”.
La 6.ª mesa, se lee “la quinta mesa”.
Estos números sirven para designar los pisos que hay en un edificio e indicar la dirección de vivienda de una persona. Por ejemplo, departamento A del 2º piso:
Estos son los nombres de los números ordinales del 1 al 50:
Número arábigo
Número ordinal
1.º/1.ª
primero/primera
2.º/2.ª
segundo/segunda
3.º/3.ª
tercero/tercera
4.º/4.ª
cuarto/cuarta
5.º/5.ª
quinto/quinta
6.º/6.ª
sexto/sexta
7.º/7.ª
séptimo/séptima
8.º/8.ª
octavo/octava
9.º/9.ª
noveno/novena
10.º/10.ª
décimo/décima
11.º/11.ª
décimo primero/décimo primera
12.º/12.ª
décimo segundo/décimo segunda
13.º/13.ª
décimo tercero/décimo tercera
14.º/14.ª
décimo cuarto/décimo cuarta
15.º/15.ª
décimo quinto/décimo quinta
16.º/16.ª
décimo sexto/décimo sexta
17.º/17.ª
décimo séptimo/décimo séptima
18.º/18.ª
décimo octavo/décimo octava
19.º/19.ª
décimo noveno/décimo novena
20.º/20.ª
vigésimo/vigésima
30.º/30.ª
trigésimo/trigésima
40.º/40.ª
cuadragésimo/cuadragésima
50.º/50.ª
quincuagésimo/quincuagésima
Para escribir números ordinales mayores al 20 primero se escribe el número ordinal del primer valor relativo, luego se escribe el del segundo, por ejemplo:
25.º es igual a “vigésimo quinto”.
42.º es igual a “cuadragésimo segundo”.
¿Sabías qué?
El número ordinal correspondiente al once puede ser nombrado como “décimo primero” o “undécimo”. En el caso del número 12, se lo denomina “décimo segundo” o “duodécimo”.
Números romanos
El reloj de la imagen indica la hora en una circunferencia numerada según el sistema romano. Este sistema de numeración fue inventado en la Antigua Roma y se basaba en la suma y resta de valores representados por letras mayúsculas. A pesar de estar en desuso, se lo puede encontrar en libros, objetos y denominaciones en la actualidad.
Cuando hablamos de números romanos nos referimos a un sistema de numeración que usa letras mayúsculas para representar cantidades. Está compuesto por siete letras y cada una tiene un valor diferente.
¿Para qué se usan los números romanos en la actualidad?
Nombrar los siglos históricos: siglo I antes de Cristo o siglo XX.
Numerar tomos, capítulos, partes de una obra literaria, actos y escenas de una obra teatral: tomo III, capítulo IV o escena VIII.
Nombrar reyes, papas y emperadores: Felipe IV o Juan Pablo II.
Denominar congresos, campeonatos y festivales: IV Congreso de la infancia o XIII Muestra de cine independiente.
Reglas para escribir números romanos
– Si a la derecha de una letra se escribe otra igual o de menor valor, sus valores se suman. Ejemplo:
VI = 5 + 1 = 6
XXI = 10 + 10 + 1= 21
LXVII = 50 + 10 + 5 + 1 + 1 = 67
– La letra I, colocada a la izquierda de V o X, les resta 1. Ejemplo:
IV = 5 − 1 = 4
IX = 10 − 1 = 9
– La letra X, colocada a la izquierda de L o C, les resta 10. Ejemplo:
XC = 100 − 10 = 90
XL = 50 − 10 = 40
– La letra C, colocada a la izquierda de D o M, les resta 100. Ejemplo:
CD = 500 − 100 = 400
CM = 1.000 − 100 = 900
– No se pueden repetir las letras I, X, C y M más de tres veces seguidas. Ejemplo:
XIII = 10 + 1 + 1 + 1 = 13
XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33
MMM = 1.000 + 1.000 + 1.000 = 3.000
– Las letras V, L y D no pueden duplicarse, porque otras ya representan su valor. Ejemplo:
X = 10 (2 veces 5)
C = 100 (2 veces 50)
M = 1.000 (2 veces 500)
– Una raya encima de una letra o grupo de letras multiplica su valor por mil.
a) Escribe los números en cifras o en palabras, según corresponda.
Setecientos cincuenta y dos
Solución
Setecientos cincuenta y dos = 752
Mil cien
Solución
Mil cien = 1.100
1.308
Solución
1.308 = mil trescientos ocho
8.444
Solución
8.444 = ocho mil cuatrocientos cuarenta y cuatro
10.000
Solución
10.000 = diez mil
b) Escribe los números ordinales en palabras:
4.ª
Solución
4.ª = cuarta
7.º
Solución
7.º = séptimo
12.º
Solución
12.º = décimo segundo o duodécimo
17.º
Solución
17.º = décimo séptimo
20.ª
Solución
20.ª = vigésima
23.º
Solución
23.º = vigésimo tercero
34.ª
Solución
34.ª = trigésima cuarta
40.º
Solución
40.º = cuadragésimo
46.ª
Solución
46.ª = cuadragésima sexta
c) Descubre los números romanos que están mal representados y escríbelos correctamente.
Número en sistema decimal
Número en sistema romano
4
IV
9
VIIII
15
VVV
40
XL
150
CL
1.000
CMC
Solución
VIIII no es la representación de 9, porque no se puede repetir la letra I más de tres veces. La escritura correcta es IX.
VVV no es la representación de 15, ya que no se puede repetir la letra V más de tres veces. La escritura correcta es XV.
CMC no es la representación de 1.000, porque hay un símbolo que tiene exactamente ese valor. La escritura correcta es M.
d) Aproxima por redondeo los siguientes números a la decena.
46
Solución
46 ≈ 50
493
Solución
493 ≈ 490
2.456
Solución
2.456 ≈ 2.460
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Sistemas de numeración”
Es una lectura ampliatoria sobre la numeración a lo largo de la historia. Una síntesis que contextualiza y explica el funcionamiento de algunos sistemas de numeración que han sentado las bases de lo que hoy conocemos como aritmética: babilónico, egipcio, chino, griego, romano y decimal.
Artículo que explica cómo leer números grandes sin dificultades, a partir de dos saberes básicos en cuanto a la numeración: leer números de tres cifras y reconocer el valor posicional de cada dígito en un número. Recomendado para enseñar lectura y escritura de números a niños de 3.° grado en adelante.
El sistema de numeración decimal es el más usado en todo el mundo. Se caracteriza por ser posicional, es decir, cada cifra toma un valor diferente de acuerdo al lugar que ocupe dentro de un número. Esta característica es conocida como valor posicional, y es aplicable a todos los números incluidos los enteros y decimales.
Valor posicional de cifras hasta 100.000
Como se mencionó al comienzo, las cifras de un número adquieren distinto valor según la posición que ocupen. No es lo mismo una cifra ubicada en la columna de las unidades de mil que la misma localizada en la columna de las decenas. Por ejemplo, la posición que ocupa la cifra 1 en los números 1.524 y 4.314 no tiene el misma valor. En el número 1.524 está en la columna de las unidades de mil y en el número 4.314 ocupa el lugar de las decenas. Aunque es la misma cifra, representa magnitudes diferentes: 1.000 y 10 respectivamente. Por eso se dice que el valor de las cifras depende de la posición que ocupen.
Valores de una cifra
Toda cifra tiene dos valores: uno absoluto y otro relativo. El valor absoluto es el valor de la cifra en sí mismo, es decir, el que tiene por su figura. El valor relativo es el que tiene una cifra de acuerdo a la posición que ocupa dentro de un número. Por ejemplo, en el caso del número 5.050 el valor absoluto de los dos 5 es el mismo, es decir 5. Pero el valor relativo no es igual. Para el primer cinco, el valor relativo es 5.000 por estar en el lugar de las unidades de mil y para el segundo cinco el valor relativo es de 50 por estar ubicado en la columna de las decenas.
¿Sabías qué?
Conocer el valor posicional de un número facilita su descomposición, que es de gran ayuda al momento de realizar operaciones y de escribir en letras un número.
Tabla posicional
Permite ver de manera sencilla la ubicación de las cifras de un número. En la tabla se muestra por columna cada valor posicional correspondiente: centena de mil, decena de mil, unidad de mil, centena, decena y unidad.
La tabla posicional para un número de seis cifras se presenta así:
Representación de números en la tabla posicional
Las cifras de un número se ubican en la tabla posicional en la columna a la que corresponda su valor, de derecha a izquierda. De este modo, si quisiéramos representar el número 195.632 en la tabla posicional, quedaría de la siguiente forma:
Se puede observar el valor posicional de cada cifra:
El 1 pertenece a las centenas de mil.
El 9 pertenece a las decenas de mil.
El 5 pertenece a las unidades de mil.
El 6 pertenece a las centenas.
El 3 pertenece a las decenas.
El 2 pertenece a las unidades.
Es por ello que si se deseas conocer el valor relativo de una cifra es aconsejable emplear la tabla posicional.
¿Sabías qué?
Las centenas de mil, decenas de mil y unidades de mil también son conocidas como centenas de millar, decenas de millar y unidades de millar respectivamente.
Descomposición aditiva de un número
Cualquier número puede expresarse a través de la suma, en lo que se conoce como descomposición aditiva. Este tipo de descomposición expresa en forma de suma el valor posicional de cada una de sus cifras.
Por ejemplo, el número 1.458 se descompone de la siguiente manera:
1.458 = 1.000 + 400 + 50 + 8
Toda esta descomposición parte de que el número 1.458 esta formado por:
1 unidad de mil = 1 x 1.000 = 1.000
4 centenas = 4 x 100 = 400
5 decenas = 5 x 10 = 50
8 unidades = 8 x 1 = 8
Otros ejemplos son:
254.331 = 200.000 + 50.000 + 4.000 + 300 + 30 + 1
85.417 = 80.000 + 5.000 + 400 + 10 + 7
30.154 = 30.000 + 100 + 50 + 4
100.540 = 100.000 + 500 + 40
Los números pueden expresarse a través de la suma en una descomposición aditiva. Este tipo de descomposición no es más que una expresión en la que se representa un número en forma de suma y donde cada sumando corresponde al valor posicional que tenga cada dígito dentro de un número. Para realizar este tipo de descomposición es necesario conocer el valor posicional de las cifras.
¿Sabías qué?
Cuando se descomponen números de forma aditiva las cifras iguales a cero se omiten en los sumandos.
Valor posicional de decimales
La tabla posicional de los decimales es similar a la que se usa en los números enteros, la diferencia es que incluyen las cifras de la parte decimal: las décimas, centésimas y milésimas:
El procedimiento para ubicar los números en la tabla posicional es exactamente igual y se debe verificar que la coma o punto decimal se encuentre en su columna correspondiente.
El número 128.457,639 se expresa en la tabla de la siguiente forma:
En la tabla se puede observar el valor de cada cifra:
El 1 pertenece a las centenas de mil.
El 2 pertenece a las decenas de mil.
El 8 pertenece a las unidades de mil.
El 4 pertenece a las centenas.
El 5 pertenece a las decenas.
El 7 pertenece a las unidades.
El 6 pertenece a las décimas.
El 3 pertenece a las centésimas.
El 9 pertenece a las milésimas.
Descomposición aditiva de decimales
Los números decimales contienen dos partes: la parte entera y la parte decimal. La parte entera se descompone de la misma forma como se descomponen los números enteros; en la parte decimal por ser menor que la unidad se debe considerar el valor posicional que es diferente:
1 décima equivale a 0,1 unidades.
1 centésima a 0,01 unidades.
1 milésima equivale a 0,001 unidades.
Al aplicar esto, la descomposición aditiva del número 0,584 sería: 0,584 = 0,5 + 0,08 + 0,004.
Ejercicios
¿Qué valor posicional tiene la cifra 2 en el número 125.534?
Solución
Decena de mil.
¿Qué valor posicional tiene la cifra 5 en el número 24,25?
Solución
Centésima.
¿Qué valor posicional tiene la cifra 1 en el número 102.345?
Solución
Centena de mil.
¿Qué valor posicional tiene la cifra 7 en el número 1.007,468?
Solución
Unidad.
Expresa la descomposición aditiva de los siguientes números:
a) 1.865
Solución
1.865 = 1.000 + 800 + 60 + 5
b) 198.456
Solución
198.056 = 100.000 + 90.000 + 8.000 + 50 + 6
c) 74.600
Solución
74.600 = 70.000 + 4.000 + 600
d) 0,54
Solución
0,54 = 0,5 + 0,04
e) 105.111
Solución
105.111 = 100.000 + 5.000 + 100 + 10 + 1
f) 3.333
Solución
3.333 = 3.000 + 300 + 30 + 3
g) 15.287
Solución
15.287 = 10.000 + 5.000 + 200 + 80 +7
d) 0,025
Solución
0,025 = 0,02 + 0,005
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Valores absolutos y relativos”
El presente artículo permite ampliar el conocimiento del valor absoluto y relativo de una cifra.
Artículo “Composición y descomposición de números”
Este artículo explica qué es una composición aditiva y su diferencia con la descomposición aditiva, así como la aplicación de esta última en problemas cotidianos.
La vida sería más complicada si no existieran los números. Tareas como contar o sumar cosas no serían posibles y eso traería muchos problemas. A lo largo de la historia el ser humano ha inventado diferentes sistemas de numeración, porque si hay algo que no ha cambiado es nuestra necesidad de contar.
Lectura y representación de números naturales
El sistema de numeración usado en la actualidad presenta dos características principales: es decimal, porque emplea diez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y es posicional, porque el valor de cada cifra obedece al lugar que ocupa dentro de un número. Como ya sabemos, a los números los agrupamos de diez en diez, de menor a mayor.
10 U = 1 D
10 D = 1 C
10 C = 1 UM
Donde:
U: unidad
D: decena
C: centena
UM: unidad de mil
¡Y así sucesivamente hasta el infinito!
En el número 3.145 la cifra 1 ocupa la posición de las centenas, como puede verse en el siguiente esquema:
¿Sabías qué?
La palabra “dígito” proviene del latín dígitus, que significa dedo, y surge al comparar el número de dedos de las manos con el número de dígitos.
En números de 6 cifras el esquema sería el siguiente:
Donde:
DM: decena de mil
CM: centena de mil
Para leer un número de seis cifras se comienza leer la cantidad del orden de los miles y luego se lee el resto de la cantidad.
Por ejemplo el número 254.873 se lee de la siguiente forma: doscientos cincuenta y cuatro milochocientos setenta y tres.
¡A practicar!
¿Cómo se leen estos números?
145.254
Solución
Ciento cuarenta y cinco mil doscientos cincuenta y cuatro.
927.630
Solución
Novecientos veintisiete mil seiscientos treinta.
501.588
Solución
Quinientos un mil quinientos ochenta y ocho.
470.625
Solución
Cuatrocientos setenta mil seiscientos veinticinco.
Con solo diez dígitos en el sistema decimal se pueden formar infinitos números al combinarlos. Estos símbolos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En la actualidad se considera el sistema más usado para expresar cantidades y magnitudes, pero existen otros sistemas menos conocidos como el binario y el octal, que son aplicados en áreas específicas.
Sistema de numeración romana
Hace muchos años, se desarrolló en la Antigua Roma un sistema de numeración basado en letras, dicho sistema fue implementado en todo el Imperio romano. La extensión de este era tal que ocupaba gran parte de los países europeos actuales y de algunos países de África y Asia, esto permitió que su influencia se mantuviera por mucho tiempo después de la caída del imperio.
A pesar de que se encuentran en desuso, todavía existen ciertas aplicaciones de los números romanos. Tanto en capítulos de libros como incluso en relojes están presentes los números romanos.
El Imperio romano fue, sin duda, uno de los imperios más influyentes de toda la historia. Se destacan sus aportes en la arquitectura, la escultura, la pintura y el derecho, además de novedosos inventos como el acueducto y el hormigón. También en el área de los números desarrollaron el sistema de numeración romano que surgió entre el 900 y el 800 a. C.
Características de los números romanos
– Es un sistema predominantemente aditivo, es decir; los valores de cada signo se suman (aunque hay ocasiones en los que se restan).
– Emplea letras del abecedario para representar a los números, por eso, podría catalogarse como un sistema alfanumérico.
– Los romanos, para ese momento, no conocían el número cero (que fue introducido más adelante a Europa con la numeración arábiga) y por ello no lo representaban.
– Las letras en este sistema siempre deben escribirse en mayúscula.
A pesar de su popularidad en el pasado, la numeración romana no era perfecta y presentaba ciertas limitaciones tales como la ausencia del número cero y la imposibilidad de representar fracciones o números decimales. Luego, con la llegada de la numeración arábiga (sistema decimal) los números romanos resultaban poco prácticos y entraron en desuso.
Reglas para escribir números romanos
Lo primero que se debe tener en cuenta es que este sistema emplea 7 letras del abecedario que se suman o restan entre ellas de acuerdo a ciertos criterios.
I = 1
V = 5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1.000
Con los símbolos anteriores y a veces con algún símbolo auxiliar se pueden construir el resto de los números de acuerdo a los siguientes criterios:
Valores que se suman
– Las letras que se escriben a la derecha de otra de igual o mayor valor se suman:
– Los símbolos I, X, C y M son los únicos que pueden repetirse dos o tres veces consecutivas:
III = 1 + 1 + 1 = 3
XXX = 10 + 10 + 10 = 30
CC = 100 + 100 = 200
MMM = 1.000 + 1.000 + 1.000 = 3.000
Los símbolos V, L y D pueden escribirse solo una vez en cada número y por ende no pueden repetirse nunca a diferencia del resto de los símbolos. A pesar de que hoy en día los usos de este sistema de numeración son muy limitados, pueden observarse en ciertos contextos como: siglos, nombres, capítulos de libros y monumentos o placas conmemorativas.
Valores que se restan
– Solo los símbolos I, X y C pueden restarse al símbolo siguiente. Esto sucede cuando el símbolo siguiente es mayor.
Números mayores a 3.999 (MMMCMXCIX) necesitan símbolos auxiliares, en estos caso se emplea una raya horizontal arriba de la letra para multiplicar su valor por 1.000.
¿Sabías qué?
Si se colocan dos rayas horizontales sobre un número romano su valor se multiplica por 1 millón.
Ejercicios
1. Escribe con letra los siguientes números
45.987
Solución
Cuarenta y cinco mil novecientos ochenta y siete.
120.501
Solución
Ciento veinte mil quinientos uno.
197.234
Solución
Ciento noventa y siete mil doscientos treinta y cuatro.
100.985
Solución
Cien mil novecientos ochenta y cinco.
2. Escribe en número:
Doscientos mil.
Solución
200.000
Setenta y nueve mil ochocientos treinta y dos.
Solución
79.832
Ciento veinticuatro mil quinientos sesenta y nueve.
Solución
124.569
Cuarenta mil trescientos uno.
Solución
40.301
3. Escribe el valor de cada número:
XXIV
Solución
24
CLX
Solución
160
MMMCLIX
Solución
3.159
MMCMLXIV
Solución
2.964
CLVIII
Solución
158
4. Escribe los siguientes números en número romanos:
2.157
Solución
MMCLVII
739
Solución
DCCXXXIX
1.199
Solución
MCXCIX
3.578
Solución
MMMDLXXVIII
5.000
Solución
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