Las sucesiones son secuencias ordenadas de términos que siguen una determinada regla de recurrencia o patrón. Estas pueden ser aritméticas o geométricas. Las aritméticas tienen una diferencia con el término anterior en una cantidad constante, por ejemplo, 2, 4, 6, 8,… En cambio, en las geométricas cada término (excepto el primero) es múltiplo del término anterior de la sucesión, por ejemplo, 2, 4, 8, 16, 32,… Las sucesiones se utilizan en las matemáticas, en entidades financieras, en ciencias naturales, en informática y hasta en el arte.
La espiral de Fibonacci se trata de una espiral áurea que podemos construir a partir de los números contenidos en la sucesión de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13,…
LA RECTA NUMÉRICA
La recta numérica es una representación gráfica unidimensional que nos permite ubicar los números reales (), lo cual resulta de gran utilidad para comparar valores o indicar soluciones de intervalos en las inecuaciones. Se caracteriza por poseer el cero centrado y se considera el origen de la recta; hacia la izquierda se ubican los números negativos y a la derecha los positivos. Entre dos números, será mayor el que esté más a la derecha. Existen métodos para representar con precisión algunos números radicales sobre la recta.
Las reglas graduadas son un ejemplo de rectas numéricas. En estas vemos las divisiones de las unidades enteras que equivalen a las décimas.
PLANO CARTESIANO
Es un sistema de representación bidimensional muy utilizado en matemática y otras áreas para la ubicación de puntos en el plano. Su nombre se debe al filósofo y matemático René Descartes, quien propuso su aplicación en el siglo XVII como una base del sistema de coordenadas rectangulares. Está formado por un eje horizontal denominado eje de las abscisas, que tradicionalmente denotamos con la letra x; y un eje vertical llamado eje de las ordenadas, que por lo general representamos con la letra y. Cada eje se comporta como una recta numérica que se prolonga hasta el infinito.
Por lo general, lo mapas contienen ejes de coordenadas que asemejan el plano cartesiano. Las unión de dos coordenadas dan la ubicación de un punto.
FUNCIONES
Son expresiones matemáticas que indican una relación de correspondencia entre un conjunto de partida y un conjunto de llegada. Para que una relación sea considerada función, debe cumplirse que cada elemento del dominio tenga una sola imagen en el conjunto de llegada. Las funciones pueden ser inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.
Las funciones también se pueden clasificar de acuerdo con los operadores que contienen sus términos y estas pueden ser polinómicas, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, entre otras.
FUNCIÓN LINEAL
La función lineal es un tipo de funciónpolinómica cuyo mayor grado de exponente es 1. Su representación gráfica es una línea recta que puede ser descrita a partir de la ecuación explícita: y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es su ordenada al origen. Si conocemos la función de la recta podemos graficarla por medio una tabla de valores que cumpla con las soluciones de la función.
Estas gráficas representan dos funciones lineales. Las que no pasan por el origen se llaman funciones afines. Con dos puntos como mínimo se puede construir la recta.
PROPORCIONES
Las proporciones son una medida que relaciona a dos razones mediante una constante. El cociente que resulta de dividir una razón de proporción se conoce como constante de proporcionalidad. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una cantidad, la otra también aumenta; o si al disminuir una cantidad, la otra también disminuye. En cambio, dos magnitudes son inversamente proporcionales si al incrementar el valor de una, el valor de la otra disminuye; o si al disminuir el valor de una, la otra aumenta.
La cantidad de productos que compramos son directamente proporcionales con el precio, ya que a medida que más compramos más dinero pagamos.
Se trata de una herramienta muy útil para representar de forma ordenada los números reales en una dimensión, de manera que podamos visualizar con facilidad aspectos como la secuencia y la relación entre varios números, así como también soluciones de inecuaciones. Fue propuesta por John Wallis y es la base para la construcción del plano cartesiano.
Al igual que en la recta numérica, los números de las escalas en los instrumentos de medición, tales como una regla o cinta métrica, se encuentran ubicados de forma ordenada y con números consecutivos equidistantes. Las divisiones pueden a su vez contener subdivisiones para expresar fracciones o decimales de una medida.
ELEMENTOS DE UNA RECTA NUMÉRICA
Los elementos que podemos incluir en una recta numérica son muy variables, ya que dependerán del uso que hagamos de ella; pero, en esencia, la recta numérica está conformada por una recta horizontal en la que se indican generalmente los números enteros () con un origen (0) ubicado en el centro. Sin embargo, esta recta no es exclusiva de los números enteros, ya que en ella podemos representar cualquier número real ().
A la izquierda del cero se encuentran los números negativos y hacia la derecha los positivos. Además, suponemos que la prolongación de los extremos de la recta representa el infinito tanto positivo (a la derecha) como negativo (a la izquierda).
Los valores en la recta numérica se pueden representar de uno en uno, pero también se puede seleccionar a conveniencia una escala diferente, por ejemplo, de 0,5 en 0,5; o bien, de 3 en 3. También, podemos subdividir cada espacio en la recta real para representar números decimales o fracciones.
La escala de la regla es equivalente a la sección positiva de una recta numérica con una cantidad finita de números. En este caso, los centímetros son la escala principal y las subdivisiones representan los milímetros que proporcionan la parte decimal de una medida. A la menor medida que se pueda obtener con un instrumento se le denomina apreciación.
EL ORDEN DE LOS NÚMEROS
En la recta numérica los números están ordenados en forma ascendente de izquierda a derecha, es decir, si se comparan dos números, será mayor el que se localice más a la derecha.
Como ya hemos visto, cada división puede subdividirse para representar fracciones, las cuales pertenecen al conjunto de los números racionales (). Si para una determinada fracción realizamos la división del numerador entre el denominador, encontraremos su expresión decimal equivalente, es decir, toda fracción se puede expresar como un decimal; sin embargo, no todos los decimales tienen una fracción generatriz.
Los números decimales que no podemos expresar en fracciones pertenecen al conjunto de los números irracionales (), por ejemplo, el valor o la constante . A su vez, los números irracionales son un subconjunto de los números reales.
¿Sabías qué?
Los números negativos fueron aceptados universalmente e incluidos en la recta numérica a finales del siglo XVIII.
La constante π (pi) es un valor que contiene infinitos dígitos no periódicos en su parte decimal, por lo que pertenece al conjunto de los números irracionales. Su ubicación exacta en la recta real supone un inconveniente, por lo que se suele realizar un redondeo, por ejemplo, hasta la centésima (3,14) al momento de representar su valor en la recta numérica.
Podemos utilizar la longitud de segmentos de línea a escala sobre la recta numérica para efectuar operaciones de suma y resta. Por ejemplo:
Si queremos sumar 3 + 5, a partir del 0 representamos de izquierda a derecha un segmento de recta de longitud igual a 3 unidades y seguidamente dibujamos de izquierda a derecha otro segmento de longitud igual a 5 unidades. El resultado, será el valor indicado desde cero hasta donde llegue el último segmento trazado:
Ahora bien, si queremos restar 6 − 4, a partir de 0 debemos dibujar de izquierda a derecha una recta de longitud 6 unidades y luego, donde termina dicha recta, trazamos ahora de derecha a izquierda otra recta de longitud 4 unidades (quedará sobre el primer segmento dibujado). El resultado, será el valor indicado desde cero hasta el punto donde coinciden los dos segmentos de recta:
¿CÓMO UBICAR UN RADICAL EN LA RECTA NUMÉRICA?
Algunos números, en especial los radicales, resultan complicados de ubicar con precisión en la recta real, sin embargo, en algunos casos podemos hacer uso del teorema de Pitágoras y un compás, para determinar la ubicación precisa de estos valores.
Cabe destacar que este método es útil cuando podemos expresar el radical como la suma de dos términos que tienen raíces exactas, digamos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49… entre otros.
Uno de los legados más conocidos del filósofo griego Pitágoras fue el teorema que lleva su nombre, el cual establece que en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos. Hasta la fecha, este se considera uno de los teoremas más utilizados en la matemática y la física clásica.
Por ejemplo, si deseamos ubicar en la recta numérica el procedimiento es el siguiente:
Descomponemos el número dentro del radical como la suma de dos términos con raíces enteras:
Expresamos cada término como la suma de dos cuadrados, es decir, cada término será la raíz de ese valor elevado al cuadrado:
Si hacemos la analogía con el teorema de Pitágoras:
La base de cada cateto a y b son los valores de los términos que están elevados al cuadrado dentro de la raíz, es decir, 3 y 2.
Para representar el radical en la recta numérica, a partir del cero (0) se construye un rectángulo de base a y altura b (o viceversa); y la diagonal que parte de cero a la otra esquina será la hipotenusa del triángulo rectángulo que quedará con la medida del radical que deseas ubicar.
Con un compás, hacemos centro en el origen 0 y con abertura equivalente a la diagonal (hipotenusa), trazamos un arco de circunferencia hasta que corte la recta numérica y ese será el valor del radical que deseamos ubicar: .
Ubica los siguientes valores en la recta numérica:
a)
Solución
b)
Solución
c) −0,5
Solución
d) Ubica en la recta numérica el valor de
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “La recta numérica”
En este artículo encontrarás contenido relacionado con la ubicación de los diferentes conjuntos de números en la recta real, y en particular, la explicación de cómo ubicar un número irracional en dicha recta.
El conjunto de los números racionales está conformado por todos aquellos números que pueden ser expresados como una división. Entran en este grupo algunos números decimales y las fracciones. Tienen gran aplicación cotidiana para representar partes de un entero o porciones de una totalidad.
No podemos usar los números enteros para resolver todas las operaciones entre ellos. Por ejemplo, si cortamos una tabla de 1 metro en 2 partes iguales, ¿cuánto mide cada pedazo? La división 1 ÷ 2 no tiene solución dentro de los números enteros, por tal motivo, usamos el conjunto de los números racionales, en el que esta división se representa como 1/2.
¿Sabías qué?
La primera civilización en utilizar los números racionales fueron los egipcios.
¿QUÉ SON LOS NÚMEROS RACIONALES?
Son todos aquellos números que pueden representarse a través de una fracción. De ahí su nombre “racionales”, pues a las fracciones también se las conocen como “razones”.
El conjunto de los números racionales se denota con la letra , que alude al término quotient que significa “cociente”, ya que todo número racional puede ser representado como una fracción con cociente igual a un número decimal.
Los números racionales como subconjunto de los números reales
Los números racionales (), en conjunto con los números enteros () y los irracionales (), conforman el conjunto de los números reales (), donde se encuentran todos los números naturales y decimales.
ELEMENTOS DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales se forman al dividir dos números enteros que dan como resultado un número decimal. Los números racionales son todos los números del tipo donde a es el numerador y b es el denominador. Ambos elementos, a y b, son número enteros y b es distinto de cero.
Número irracionales
Toda fracción es un número racional. Sin embargo, no todo número decimal pertenece al conjunto de los números racionales, porque no todos tienen una fracción equivalente. Tal es el caso de los decimales no periódicos, los cuales pertenecen al conjunto de los números irracionales, denotados con la letra . En esta categoría se encuentran, por ejemplo, , o cualquier número con decimales infinitos.
orden de los números racionales
Comparar racionales permite establecer una relación de orden en . Cuando los racionales tienen igual denominador,será mayor aquel con mayor numerador. Por ejemplo, entre y , es mayor porque 8 > 2.
Cuando los racionales tienen denominadores diferentes tenemos que convertirlos en fracciones equivalentes de igual denominador y luego comparar. También podemos usar la siguiente regla:
Si y ∈ , con b y d positivos
Se cumple que:
Si , entonces
Si , entonces
– Ejemplo:
porque
porque
Fracciones negativas
Si el numerador o el denominador de una fracción es un número negativo podemos escribir el signo “−” antes de la fracción.
Las fracciones negativas, al estar más a la izquierda en la recta numérica, son menores que las fracciones positivas.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Los números racionales se suelen utilizar para expresar partes de una totalidad. Por ejemplo, “un 1/4 de la población mundial utiliza Internet” o “un 1/3 de la población vive en situación de pobreza”, o bien “un 1/2 de los habitantes del planeta son mujeres”. En general, resulta más representativo hablar de fracciones de un total que solo indicar la cantidad de personas.
Para graficar números racionales tenemos que identificar primero qué tipo de fracción es. Si la fracción es propia, es decir, si tiene el numerador menor al denominador, basta con dividir una figura geométrica en tantas partes como indique el denominador y colorear las partes que indique el denominador. Por ejemplo:
Si la fracción es impropia tenemos que dividir la figura en tantas partes como muestre el denominador y repetirla hasta que se coloreen todas las partes que señale el numerador. Estas fracciones siempre tendrán más de un entero, así que también podemos convertir la fracción impropia en número mixto y seguir los pasos anteriores. Por ejemplo:
Fracciones y porcentajes
Los gráficos circulares o de sectores son ampliamente utilizados en estadística y otras áreas en las que son una herramienta de gran utilidad para expresar partes de un todo, por lo que las fracciones son necesarias para determinar las porciones de colores. No obstante, es mucho más práctico hacer estos gráficos con datos mostrados en porcentajes: una forma de representar a una fracción decimal, cuyo denominador es 100.
Convertir fracciones en porcentajes es muy sencillo, solo tenemos que dividir el numerador entre el denominador y después multiplicar por 100 %. Por ejemplo, 1/4 es igual a 25 % porque 1 ÷ 4 = 0,25 y 0,25 × 100 % = 25 %.
¡A practicar!
1. Señala cuáles números son racionales y cuáles son irracionales.
Solución
Es un número racional.
Solución
Es un número irracional.
Solución
Es un número irracional.
Solución
Es un número racional.
2. Ordena de menor a mayor los siguientes número racionales.
, , ,
Solución
< < <
, , ,
Solución
< < <
, , ,
Solución
< < <
3. ¿Qué fracción representan estos gráficos?
Solución
Solución
Solución
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “¿Cómo transformar un número decimal a fracción?”
En este artículo hallará el método y la explicación para obtener la fracción generatriz de un número decimal.
En este artículo encontrará la clasificación de los diferentes conjuntos numéricos, a fin de identificar en qué categoría o a qué subconjunto pertenecen los números racionales.
La recta numérica es un gráfico en el que podemos representar cualquier número que pertenezca al conjunto de los números reales (). Tiene intervalos que señalan las unidades y siempre tienen la misma distancia entre un número y su consecutivo. Por otra parte, los distintos tipos de relaciones que existen entre los números se pueden mostrar por medio de los símbolos “<” y “>” que significan “menor que” y “mayor que” respectivamente.
Una regla graduada es muy parecida a una recta numérica.
ORDEN DE NÚMEROS NATURALES Y DECIMALES
Para ubicar los números naturales en la recta numérica ubicamos el 0 en una posición arbitraria y luego colocamos el resto de los números naturales en intervalos regulares. Si deseamos comparar números naturales usamos los símbolos < y > o la recta numérica, pues todo número que esté más a la derecha en la recta siempre será el mayor. Para ubicar números decimales en la recta numérica, debemos agregar subdivisiones entre los números enteros. Cuando queremos compararlos, primero tomamos en cuenta la parte entera y luego comparamos las cifras decimales de izquierda a derecha.
Sí bien algunos expertos afirman que el número cero (0) no pertenece al conjunto de los números naturales, otros aseguran que sí forma parte.
ORDEN DE FRACCIONES
Las fracciones también tiene un lugar en la recta numérica, para esto tenemos que considerar si la fracción es propia o impropia. De ser propia dividimos a la unidad en tantos segmentos como indique el denominador y contamos tantos segmentos como indique el numerador, luego marcamos la fracción. Si la fracción es impropia, tenemos que convertirla primero en un número mixto, en este caso, seguimos el procedimiento anterior pero a partir de la parte entera que tenga el número mixto.
Si comparamos fracciones con igual numerador y diferente denominador, será mayor aquella que tenga menor denominador.
PROPORCIONALIDAD
La proporcionalidad es una relación que existe entre dos magnitudes que podemos medir, y puede ser directa o inversa. Dos cantidades son directamente proporcionales si cuando una aumenta la otra aumenta o si cuando una disminuye la otra también lo hace. Por otro lado, al convertir medidas lo hacemos por medio de una regla de tres, un método muy útil para saber un valor desconocido entre 2 relaciones.
Siempre que vamos a un kiosco, sabemos que mientras más compremos, más tendremos que pagar; eso es porque la “cantidad que compramos” y la “cantidad que debemos pagar” tienen una relación directamente proporcional.
RELACIONES DE TIEMPO
El tiempo es quizás la magnitud más usada y medida diariamente. Sus unidades son variadas y van desde las menores a un día, como los segundos, los minutos y las horas; hasta las que sobrepasan al día como los meses, años y décadas. Si usamos una regla de tres podemos convertir una unidad a otra sin dificultad. También podemos hacer cálculos de suma y resta con el tiempo, esto nos ayuda a saber cuando empezó un partido de fútbol o qué hora salió un tren, por ejemplo.
Los calendarios o agendas son útiles para planificar las actividades a realizar a lo largo del día.
Si tienes que elegir entre 1/2 de pizza o 3/4 de pizza, ¿cuál elegirías? Para responder esta pregunta es importante que sepas comparar distintos tipos de fracciones. Estas expresiones matemáticas constan de un numerador y un denominador, y según la relación entre ellos pueden ser mayores o menores que otras. ¡Aprende cómo ordenar fracciones!
Una fracción es una división entre dos números: un numerador y un denominador. El denominador indica en cuantas partes se divide la unidad y el numerador señala cuántas de esas partes se han de tomar. Si el numerador es menor que el denominador, la fracción es propia; pero si es mayor al denominador, la fracción es impropia.
Ubicación de fracciones en la recta numérica
Fracciones propias
Las fracciones propias son aquellas que tienen el numerador menor al denominador, por lo que siempre son menores a 1. Para ubicar estas fracciones en la recta numérica dividimos a la unidad en tantos segmentos como indique el denominador de la fracción que queremos representar. Luego, contamos tantos espacios como indique el numerador a partir del cero.
– Ejemplo:
La fracción es propia porque su numerador es menor al denominador (4 < 5).
Para representarla en la recta dividimos el segmento entre el 0 y el 1 en 5 espacios (denominador). Después contamos 4 espacios (numerador) y ubicamos la fracción.
Fracciones impropias
Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor al denominador, por lo que siempre son mayores a 1. Para representar este tipo de fracciones en la recta numérica tenemos que transformarlas a números mixtos.
¿Qué es un número mixto?
Es aquel que tiene una parte entera y una parte fraccionaria. Por ejemplo:
Este número mixto se lee “dos enteros y un medio”.
¿Cómo transformar una fracción impropia a un número mixto?
Realiza la división entre el numerador y el denominador. Al terminar con la cuenta, el cociente de la división indica el entero del número mixto; el resto junto al divisor van a conformar la parte fraccionaria: el resto será el numerador y el divisor será el denominador.
– Ejemplo:
¿Cuál es el número mixto equivalente a la fracción ?
Por lo tanto:
De este modo, para poder representar el número mixto en la recta numérica consideramos el número entero, en este caso el 2, y a partir de este seguimos los mismos pasos que en las fracciones propias: dividimos el segmento entre el 2 y el 3 en 2 segmentos iguales (denominador), después contamos un espacio (numerador) y ubicamos la fracción.
Representa las siguientes fracciones en una recta numérica.
Solución
Como la fracción es impropia, la transformamos a número mixto.
Solución
Solución
Solución
Como la fracción es impropia, la transformamos a número mixto.
Las fracciones representan una parte del todo. No solo son importantes en el ámbito escolar, sino que son muy utilizadas en la vida diaria. Usamos fracciones cada vez que partimos un pastel, cuando pedimos media docena de empanadas o cuando cortamos la mitad de un pan. También vemos fracciones en las etiquetas de los productos, por ejemplo, 1/2 litro de jugo.
comparación de fracciones
Cuando comparamos fracciones, determinamos cuál es mayor o menor que otra. Para esto, debemos tomar en cuenta sus elementos y ver si los denominadores son iguales o si sus numeradores son iguales.
Comparar fracciones con igual denominador
Entre dos fracciones con igual denominador será mayor la fracción que tenga mayor numerador.
– Ejemplo:
Observa que los denominadores son iguales (3 = 3) pero los numeradores no; y como 8 > 6, la fracción 8/6 es mayor que 6/3.
Comparar fracciones con igual numerador
Entre dos fracciones con igual numerador será mayor la fracción que tenga menor denominador.
– Ejemplo:
Observa que los numeradores son iguales (12 = 12) pero los denominadores no; y como 5 > 4, la fracción 12/4 es mayor que 12/5.
Fracciones con distintos numeradores y denominadores
Cuando las dos fracciones tienen numeradores y denominadores diferentes, buscamos homogeneizar, es decir, encontrar fracciones equivalentes con igual denominador.
¿Cómo homogeneizar dos fracciones?
Para encontrar las fracciones equivalentes con igual denominador de unas fracciones seguimos estos pasos:
Determinamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ese será el denominador de las fracciones equivalentes.
Encontramos el número por el que hay que multiplicar el numerador y el denominador de las fracciones.
– Ejemplo:
Homogeneiza las fracciones y . Luego compara.
1. Calculamos el m. c. m. de los denominadores 3 y 4.
2. Encontramos el número por el que hay que multiplicar el numerador y el denominador de las fracciones.
Como 3 × 4 = 12, entonces también multiplicamos el numerador por 4.
Como 4 × 3 = 12, entonces también multiplicamos el numerador por 3.
Ahora es más sencillo comparar las fracciones, pues tenemos fracciones homogéneas por lo que seguimos los pasos anteriores: entre dos fracciones con igual denominador será mayor la fracción que tenga mayor numerador. Así que:
Como es la fracción equivalente de ; y es la fracción equivalente de , podemos decir que:
¿Sabías qué?
En el año 1800 a. C. el pueblo babilonio introdujo las fracciones.
Comparación de números mixtos
Entre dos números mixtos, será mayor aquel que tenga mayor parte entera. Por ejemplo:
Pero si las partes enteras son iguales, comparamos la parte fraccionaria por medio de cualquier de los métodos aplicados anteriormente. Por ejemplo:
Las dos partes entera son iguales (1 = 1), pero las partes fraccionarias no. Como ves, ambas son fracciones homogéneas porque los denominadores son iguales (6 = 6), así que comparamos los numeradores, y como 4 > 1, el número mixto es mayor que .
Un uso muy popular de las fracciones es cuando damos la hora. Por ejemplo, cuando decimos que son “las dos y media”, hacemos referencia a un número mixto en la que la parte entera es 2, y la parte fraccionaria es 1/2. También ocurre cuando decimos que “son las cinco y cuarto”, allí la parte entera es 5 y la parte fraccionaria es 1/4.
¡A practicar!
1. Representa las siguientes fracciones en la recta numérica.
Solución
Solución
Solución
Solución
2. Compara los siguientes números mixtos.
y
Solución
y
Solución
y
Solución
porque
y
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Partes y porciones”
En este artículo podrás ampliar la información sobre la comparación de fracciones por medio del método del común denominador (sin utilizar recta numérica).
Enciclopedia “Enciclopedia de Matemáticas Primaria”
Con el Tomo 2 de esta enciclopedia podrás profundizar en el concepto de fracciones y su clasificación, así como en la comparación de fracciones y números mixtos.
A cada número natural le corresponde una única posición en la recta numérica y a medida que nos movemos en ella hacia la derecha encontramos números mayores. Esto también sucede con los números decimales, es decir, aquellos más pequeños que la unidad. Todos tienen un orden y, por lo tanto, unos representan una mayor cantidad que otros.
números naturales en la recta numérica
Los números naturales son aquellos que usamos para contar y su conjunto se presenta como:
Como nuestro sistema de numeración decimal es posicional, cada cifra dentro de un número tiene un valor relativo. Así, un número de siete cifras está formado por unidades de millón, centenas de mil, decenas de mil, unidades de mil, centenas, decenas y unidades. Por ejemplo:
En la tabla vemos que el número 1.895.632 tiene:
1 unidad de millón = 1.000.000
8 centenas de mil = 800.000
9 decenas de mil = 90.000
5 unidades de mil = 5.000
6 centenas = 600
3 decenas = 30
2 unidades = 2
Para representar este tipo de números en la recta numérica lo primero que hacemos es ubicar en ella un punto arbitrario, este será el origen y la posición del cero (0). Luego hacemos marcas con rayas verticales de igual distancia entre una y otra.
Cada uno de los pequeños segmentos simboliza una unidad, por lo que en la línea vertical que se encuentra inmediatamente a la derecha del 0 se coloca el 1, después el 2 y así se continúa con el resto de los números naturales:
¿Siempre se comienza desde el 0?
No necesariamente. Podemos utilizar solo una parte de la recta y mostrar el intervalo de números. Por ejemplo, entre el 726.580 y el 726.590 está ubicado el número 726.586.
Los números naturales son los primeros números utilizados en la historia del hombre. Los usaban principalmente para contar objetos. Algunos autores coinciden en que el cero no es un número natural, pero algunos otros prefieren incluirlo por ser la ausencia de algo. Los números naturales no incluyen a las fracciones ni a los números decimales.
COMPARACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Todos los números naturales tienen un orden, es decir, siguen una secuencia en la que un número es mayor o menor que otro. Para mostrar esta relación usamos los siguientes símbolos:
> que significa “mayor que”.
< que significa “menor que”.
= que significa “igual a”.
En una recta numérica, el número que se encuentre más a la derecha será el mayor.
– Ejemplo:
Compara los números 726.589 con 726.592, ¿cuál es mayor?
Como 756.592 está más a la derecha en la recta numérica, decimos que 756.592 es mayor que 756.589. Se escribe así:
756.592> 726.589
– Otros ejemplos:
Compara los números 1.252 y 1.256.
1.252 < 1.256
1.256 > 1.252
Compara los números 500, 590 y 540.
500 < 540 < 590
590 > 540 > 500
Comparación de números naturales por el método aritmético
Si uno de los dos números tiene más cifras que el otro, entonces el que tenga mayor cantidad de cifras será el mayor. Por ejemplo, 1.225.988 > 899.999 ya que el primer número tiene 7 cifras y el segundo tiene 6.
Si los dos tienen la misma cantidad de cifras, comparamos cifra por cifra de izquierda a derecha. Por ejemplo, 8.225.988 y 8.225.899 tienen la misma cantidad de cifras, así que comparamos una por una:
Como 9 > 8, podemos afirmar que 8.225.988 > 8.225.899.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON NÚMEROS NATURALES
1. Máximo, Joaquín y Lucía quieren comprar una guitarra. Máximo tiene $ 1.000, Lucía $ 2.000 y Joaquín $ 6.000. La guitarra cuesta $ 11.000. ¿Cuánto dinero falta para poder comprar la guitarra?
Datos
Dinero de Máximo: $ 1.000
Dinero de Lucía: $ 2.000
Dinero de Joaquín: $ 6.000
Pregunta
¿Cuánto dinero falta para poder comprar la guitarra?
Piensa
Para poder calcular la cantidad de dinero que falta debemos saber cuánto hay en total, así que sumamos las cantidades de Máximo, Lucía y Joaquín. Luego, por medio de una recta numérica, contamos los espacio que faltan desde el punto que representa la cantidad total de dinero hasta los $ 11.000.
Calcula
Total de dinero:
$ 1.000 + $ 2.000 + $ 6.000 = $ 9.000
Dinero que falta:
Faltan dos espacios para llegar a $ 11.000 y como cada espacio es igual a 1 unidad de mil: 2 × 1.000 = 2.000.
Respuesta
Faltan $ 2.000 para poder comprar la guitarra.
2. La cantidad de habitantes de la ciudad de Córdoba es 1.329.604 y la de Montevideo es 1.319.108. ¿Cuál ciudad tiene mayor cantidad de habitantes?
Datos
Habitantes de Córdoba: 1.329.604
Habitantes de Montevideo: 1.319.108
Pregunta
¿Cuál ciudad tiene mayor cantidad de habitantes?
Piensa
Como ambos número son grandes y tienen la misma cantidad de cifras, tenemos que comparar cifra por cifra. El primer dígito que sea diferente nos indicará cuál número es mayor.
Resuelve
Por lo tanto, 1.329.604 > 1.319.108
Respuesta
La ciudad de Córdoba tiene más habitantes que la de Montevideo.
3. Carla tiene 10 años. José es su hermano y tiene 5 años más que ella. Martina es su hermana y tiene 7 años menos que José. ¿Cuántos años tiene José y y cuántos tiene Martina? ¿Cuál es el hermano mayor?
Datos
Edad de Carla: 10 años
Edad de José: 5 años más que Carla
Edad de Martina: 7 años menos que José
Preguntas
¿Cuántos años tiene José y cuántos tiene Martina? ¿Cuál es el hermano mayor?
Piensa
Tenemos que realizar una recta numérica y ubicar la edad de Carla que es la única conocida. Luego nos movemos 5 espacios a la derecha para saber la edad de José y desde allí nos movemos 7 espacios a la izquierda para saber la edad de Martina. Finalmente comparamos cantidades.
Resuelve
15 > 10 > 8
Respuesta
José tiene 15 años y Martina tiene 8 años.
José es el hermano mayor.
Primeros números arábigos
La actual representación de los números arábigos encuentra su origen en la India, aunque se introdujo en Europa a través de textos árabes. El Codex Vigilanus es el primer texto europeo que los contiene, aunque no en el estado actual y, además, sin el 0. El nombre de este texto se debe a su autor, el monje Vigila, que lo redactó en el año 976, en Albelda, España.
NÚMEROS DECIMALES en la recta numérica
Los números decimales están formados por dos partes: una entera y una decimal, ambas separadas por una coma. Después de la coma, cada cifra tiene una valor según su posición.
Podemos observar en la tabla que el número 632,549 tiene:
6 centenas = 600
3 decenas = 30
2 unidades = 2
5 décimas = 0,5
4 centésimas = 0,04
9 milésimas = 0,009
Unidades decimales
Décimas
Centésimas
Milésimas
Es igual a la unidad dividida en 10 partes iguales.
Es igual a la unidad dividida en 100 partes iguales.
Es igual a la unidad dividida en 1.000 partes iguales.
Como los números decimales se encuentran entre los enteros, también podemos representarlos en una recta numérica, solo tenemos que crear subdivisiones. Por ejemplo, para ubicar las décimas entre los enteros 1 y 2 basta con dividir en diez partes iguales el espacio entre ambos números:
– Ejemplo:
El número 1,7 está ubicado entre los números 1 y 2.
También podemos representar las centésimas si subdividimos el espacio entre dos décimas.
– Ejemplo:
El número 1,74 está ubicado entre los números 1,7 y 1,8.
Los números decimales expresan números no enteros. Contienen una parte entera y una parte decimal. Para compararlos, debemos tomar en cuenta la parte entera. Siempre será mayor el número decimal que tenga mayor parte entera. En el caso de que las partes enteras sean iguales, procedemos a comparar las cifras decimales de izquierda a derecha.
COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Los números decimales siguen un orden y tal como en el caso de los números naturales usamos < y > para indicar que una cantidad es menor o mayor que otra. En una recta numérica, mientras más a la derecha esté el número mayor será su valor.
– Ejemplo:
Compara los números 4,31 y 4,35.
El número 4,35 es mayor que 4,31 porque está más a la derecha en la recta numérica. Se escribe así:
4,35 > 4,31
– Otros ejemplos:
Compara los números 9,5 y 9,3.
9,5 > 9,3
9,3 < 9,5
Compara los números 6,72 y 6,79.
6,79 > 6,72
6,72 < 6,79
¿Sabías qué?
Aunque en los números naturales la cantidad de cifras determina si un número es mayor que otro, en los números decimales no sucede lo mismo, por ejemplo, 3,5 > 3,359875.
Comparación de números decimales el método aritmético
En este método, primero comparamos las parte enteras. Si las partes enteras son iguales, seguimos con las décimas, y así sucesivamente hasta hallar las cifras que sean diferentes. Por ejemplo, 9,125 < 9,145 porque la centésima 2 es menor que 4.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON NÚMEROS DECIMALES
1. Para un examen físico se midieron las estaturas de algunos estudiante. La estatura de Luis es 1,78 m, la de Carlos es 1,86 m y la de Juan 1,77 m. ¿Quién es el más alto de los tres?, ¿quien es el más bajo de los tres?
Datos
Estatura de Luis: 1,78 m
Estatura de Carlos: 1,86 m
Estatura de Juan: 1,76 m
Pregunta
¿Quién es el más alto de los tres?, ¿quien es el más bajo de los tres?
Piensa
Hay que saber quién es el más alto y el más bajo, así que solo tenemos que compara esos tres números por medio de una recta numérica.
Resuelve
1,86 > 1,78 > 1,76
Respuesta
Carlos es el estudiante más alto y Juan es el estudiante más bajo.
2. Varios estudiantes participaron en una prueba de saltos de longitud. María saltó 1,58 m; Pedro salto 1,62 m y Santiago saltó 1,56 m. Si Juan saltó más que Santiago y menos que María, ¿qué longitud pudo saltar Juan? ¿Quién hizo el salto de mayor longitud?
Datos
Salto de María: 1,58 m
Salto de Pedro: 1,62 m
Salto de Santiago: 1,56 m
Salto de Juan: mayor al de Santiago y menor al de María
Preguntas
¿Qué longitud pudo saltar Juan? ¿Quién hizo el salto con mayor longitud?
Piensa
Para saber la longitud del salto de Juan debemos dibujar una recta numérica y ver las posibles opciones entre 1,58 (salto de María) y 1,56 (salto de Santiago). Luego, para saber quién hizo el salto de mayor longitud, comparamos todos lo valores y el que esté más a la derecha en la recta numérica será el mayor.
Resuelve
1,62 > 1,58 >1,57 > 1,56
Respuesta
Juan saltó 1,57 m.
Pedro hizo el salto de mayor longitud.
3. En una carrera, Araceli tardó 8 minutos y 6 décimas en llegar a la meta; Francisco tardó 8 minutos y 6 centésimas y Agustín tardó 8 minutos y 6 milésimas. ¿Quién llegó primero a la meta? ¿quién llegó de último?
Datos
Tiempo que tardó Araceli: 8 minutos y 6 décimas = 8,6
Tiempo que tardó Francisco: 8 minutos y 6 centésimas = 8,06
Tiempo que tardó Agustín: 8 minutos y 6 milésimas = 8,006
Preguntas
¿Quién llegó primero a la meta? ¿quién llegó de último?
Piensa
Para comparar estos números debemos fijarnos solo en la parte decimal porque la parte entera es igual en los tres casos. Entonces vemos cifra por cifra, la primera que sea mayor o menor que otra indicará el valor del número.
Resuelve
Como 6 > 0, podemos decir que 8,6 > 8,06 > 8,006.
Respuesta
Agustín llegó primero y Araceli llegó última.
La coma y el punto son usados como separadores de los números decimales y ambos son válidos. La diferencia en usar una u otra radica en el lugar en donde te encuentres. En gran parte de Europa y América del Sur se emplea la coma, pero algunos países como Estados Unidos, Canadá, México y Reino Unido emplean el punto.
¡A practicar!
1. Escribe el símbolo de relación que sea necesario.
1.893.697 ____ 999.265
Solución
1.893.697 > 999.265
56,98 ____ 56,09
Solución
56,98 > 56,09
678.654 ____ 678.655
Solución
678.654 < 678.655
9.625.369 ____ 9.630.999
Solución
9.625.369 < 9.630.999
2.369.845 ____ 2.369.835
Solución
2.369.845 > 2.369.835
23,896 ____ 23,9
Solución
23,896 < 23,9
198.654,023 ____ 198.654,003
Solución
198.654,023 > 198.654,003
1.268,96 ____ 1.278,99
Solución
1.268,96 < 1.278,99
2. Ordena de mayor a menor los siguientes números. Usa los símbolos de relación necesarios.
Cada número está formado por diferentes cifras y cada una de estas cifras tiene un valor según la posición que ocupan dentro del número. Por ejemplo, el 300 se lee “trescientos” porque el 3 se ubica en el lugar de las centenas, pero el 30 se lee “treinta” porque el 3 está en el lugar de las decenas. Además de los números naturales que usamos para contar, también existen otros que representan orden, como los ordinales; y otros que podemos ver en relojes antiguos, como los números romanos.
Con los diez dígitos de nuestro sistema de numeración podemos crear cualquier número.
Valor posicional
El valor posicional es el valor que tiene una cifra dentro de un número, por ejemplo, el número 555, a pesar de tener tres cifras iguales, cada una tiene un valor distinto: 500, 50 y 5. Estos valores los podemos representar en una tabla posicional en la que están los órdenes (unidades, decenas, centenas) y las clases (miles, millones, etc.). Por otro lado, la descomposición aditiva nos ayuda a expresar un número como la suma de sus valores posicionales.
El ábaco es un instrumento que sirve para realizar diferentes operaciones matemáticas. Una esfera de color puede representar una unidad, una decena o una centena.
Recta numérica
La recta numérica, como su nombre lo indica, es una recta que contiene infinitos números. Para graficarla basta con hacer una línea recta, dibujar flechas a los lados, ubicar el cero (0) y hacer separaciones de igual distancia en las que colocaremos los puntos que simbolizan los números. Es importante recordar que cada número tiene un orden y pueden ser mayores o menores que otros. Para esto usamos símbolos de relación como mayor que (>), menor que (<) o igual a (=).
Con una regla graduada o escuadra podemos dibujar una recta numérica. Este instrumento nos ayudará no solo con el trazo de la línea recta, sino también con las separaciones entre punto y punto.
series
Las series numéricas son conjuntos de números organizados bajo una misma regla o patrón, pueden ser ascendentes y descendentes. Una serie es ascendente cuando los números están ordenados de menor a mayor y el patrón es una suma sucesiva; mientras que una serie numérica descendente es aquella en la que los números están ordenados de mayor a menor y el patrón es una resta sucesiva. A estos patrones los podemos identificar si restamos dos números contiguos de la serie. También vemos patrones en las tablas de 100 números.
Contar es una de las primeras tareas que aprendemos a hacer. Gracias al conteo con nuestros dedos podemos realizar operaciones básicas como la suma y resta de números pequeños.
Todos los números se pueden representar en una recta numérica. Esta nos permite comparar números y saber si uno es mayor o menor que otro; como también redondear las decenas o centenas máscercana. Es probable que la hayas visto en las reglas de tu escuela, hoy sabrás cómo graficarlas y usarlas.
La regla graduada es un instrumento que usamos para medir distancias y para trazar líneas rectas. Es graduada porque tiene marcas que simbolizan la distancia entre un punto y otro. Estas marcas hacen que la regla sea lo más parecido a una recta numérica.
¿qUÉ ES LA RECTA NUMÉRICA?
Es una línea recta que tiene una sola dimensión y está compuesta por una sucesión de puntos que se prolongan en una misma dirección hasta el infinito, es decir, que no tiene fin. Si empezamos a contar los números de uno en uno, no terminaríamos nunca porque los números son infinitos.
¿Sabías qué?
El símbolo del infinito es ∞.
¿Cómo graficar una recta numérica?
En un recta numérica podemos graficar los números como puntos que están separados por una misma distancia unos de otros. Los pasos son los siguientes:
1. Dibuja una línea recta con flechas en ambos extremos. Las flechas se colocan para representar que hay números sin fin tanto a la derecha como a la izquierda.
2. Ubica el cero. Ese será el inicio de la recta numérica.
3. Divide la recta en segmentos de la misma distancia y agrega los números.
4. Si deseas representar números grandes, también puedes hacerlo en la recta numérica. Por ejemplo:
De 10 en 10:
De 100 en 100:
De 1.000 en 1.000:
Recuerda que entre número y número hay divisiones más pequeñas que representan las cantidad intermedias. Por ejemplo, entre 1.000 y 2.000 podemos dibujar la recta así:
Aunque originalmente solo se colocaban los números naturales sobre la recta numérica, es decir, los números que usamos para contar: 1, 2, 3, 4, 5, … Hoy en día podemos representar cualquier tipo de número en ella. Así, podemos encontrar números decimales, como 6,5; números fraccionarios, como 1/2; o números negativos como −9.
representación de números en la recta numérica
En una recta numérica podemos ubicar cualquier número. Por ejemplo, si queremos representar el 7.500 tenemos que pensar que se encuentra entre el 7.000 y el 8.000, justo en el medio de ambos. Veamos cómo queda:
– Otro ejemplo:
También podemos representar los valores entre decenas de números grandes. Por ejemplo, para ubicar el número 2.130 tenemos que pensar que está entre el 2.100 y el 2.200. La recta quedaría así:
– Otro ejemplo:
Creación de la recta numérica
La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea recta, fue creada por John Wallis, un matemático Inglés que alrededor de 1670 la empleó para mostrar de modo gráfico los números naturales. A medida que nos movemos hacia la derecha sobre la recta vamos a encontrar números más grandes.
redondeo
Redondear un número significa llevarlo al número natural más cercano terminado en cero, es decir, consiste en encontrar la decena o centena más cercana al número. Por ejemplo, el redondeo del número 2.320 a la centena más cercana es 2.300, porque 2.320 está más cerca de 2.300 que de 2.400.
– Otro ejemplo:
El punto color rojo está ubicado en 4.870, entre el 4.800 y el 4.900, pero ¿a qué centena más cercana está? Como ves, en la recta, el punto rojo está más cerca de 4.900, por lo tanto, el redondeo a la centena de 4.870 es 4.900.
orden numérico
Hay números naturales mayores o menores que otros, a esta relación la llamamos orden. Para representar que un número es mayor, menor o igual a otro usamos los siguientes símbolos:
Símbolo
Significado
>
Mayor que
<
Menor que
=
Igual a
En una recta numérica, los números mayores están más a la derecha y los menores están más a la izquierda.
– Ejemplo:
9.000 es mayor que 1.000 porque está más a la derecha en la recta numérica. Lo representamos así:
9.000 > 1.000
4.840 es menor que 4.890 está más a la izquierda en la recta numérica. Lo representamos así:
4.840 < 4.890
– Otros ejemplos:
2.551 > 2.550
7.013 < 7.020
1.500 > 1.000
¿Sabías qué?
La boca más ancha de los símbolos < y > siempre mira al número más grande; y la parte más fina al número más pequeño.
¡A practicar!
Representa en la recta numérica los siguientes números:
2.160
Solución
9.540
Solución
5.365
Solución
7.615
Solución
2. Observa la recta numérica y luego responde las preguntas:
¿Qué número está representado en el punto de color azul?
Solución
3.300
¿Qué número está representado en el punto de color rosa?
Solución
4.100
¿Qué número está representado en el punto de color lila?
Solución
6.400
¿Qué número está representado en el punto de color negro?
Solución
3.600
¿Qué número está representado en el punto de color verde?
Solución
5.500
¿Qué número está representado en el punto de color naranja?
Solución
6.900
¿Qué número está representado en el punto de color rojo?
Solución
4.100
¿Qué número está representado en el punto de color celeste?
Solución
5.800
3. Redondea las siguientes cantidades a la centena más cercana por medio de la recta numérica.
a. 2.530
Solución
El redondeo a la centena más cercana es 2.500.
b. 5.590
Solución
El redondeo a la centena más cercana es 5.600.
c. 9.970
Solución
El redondeo a la centena más cercana es 10.000.
4. Completa con >, < o = según corresponda.
3.550 _____ 3.549
Solución
3.550 > 3.549
6.701 _____ 6.711
Solución
6.701 < 6.711
1.566 _____ 1.566
Solución
1.566 = 1.566
8.987 _____ 8.985
Solución
8.987 > 8.985
9.620 _____ 9.625
Solución
9.620 < 9.625
4.213 _____ 4.213
Solución
4.213 = 4.213
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Recta numérica”
Este recurso te permitirá complementar la información sobre la representación en la recta numérica.
Las fracciones son divisiones sin resolver. Están formadas por una raya de fracción que divide al numerador del denominador. El numerador es la parte que tomamos del entero y el denominador indica las partes en las que se divide al entero. Las fracciones pueden ser propias, impropias y aparentes. Las fracciones propias tienen un numerador menor que el denominador; las impropias tienen un numerador mayor que el denominador; y las aparentes son iguales a un entero.
La porción de pastel que se toma es igual a 1/8. El numerador es la parte tomada (1) y el denominador señala la cantidad de partes en las que se dividió el pastel (8).
representación de fracciones
Para leer una fracción solo tenemos que leer al numerador como cualquier otro número y al denominador según unas simples reglas: medios si es 2, tercios si es 3, cuartos si es 4, quintos si es 5 y así sucesivamente. A partir de números mayores a diez añadimos el sufijo –avos; como onceavos. Los gráficos de las fracciones se representan por medio de figuras divididas en tantas partes como muestra el denominador y con tantas partes pintadas como señala el numerador.
Podemos representar fracciones propias e impropias en gráficos con formas de figuras geométricas.
tipos de fracciones
Dos o más fracciones son homogéneas si comparten el mismo denominador, en cambio, si dos o más fracciones tienen distinto denominador se las llama heterogéneas. También existen las fracciones propias o puras, que son aquellas que tienen un numerador menor que el denominador y siempre son menores a un entero; y las fracciones impropias o impuras, que tienen un numerador mayor que el denominador y son mayores a uno.
Depende del país en el que nos encontramos, la fracción propia se puede llamar también fracción pura.
operaciones con fracciones homogéneas
Para sumar y restar fracciones homogéneas primero sumamos o restamos los numeradores y mantenemos el mismo denominador. Así como ordenamos números naturales, también lo podemos hacer con las fracciones, para esto usamos los símbolos de relación como > (mayor que) y < (menor que). Por otro lado, existen fracciones con distintos numeradores y denominadores pero que representan la misma cantidad, a estas se las conoce como fracciones equivalentes.
Las fracciones propias siempre tienen el numerador menor al denominador y representan una cantidad inferior a la unidad.
Todas las fracciones representan una división o las partes de un entero. Las usamos día a día cuando queremos repartir chocolates con amigos, una pizza con familiares y hasta picar una torta de cumpleaños para los invitados. Cada vez que organizamos una reunión y pensamos cuántos invitados vendrán, hacemos uso de las fracciones.
lectura de fracciones
Toda fracción tiene un numerador y un denominador. Podemos representarlos en esta caja de rosquillas. ¡Observa! La caja es el entero y lo dividimos en 12 partes iguales porque hay 12 rosquillas. Ese es el denominador. El numerador será igual a las rosquillas repartidas. Si solo repartirmos 4, podemos decir que comimos 4/12 de la caja.
Las fracciones reciben diferentes nombres de acuerdo a los números que aparecen en el numerador y el denominador. El numerador lo leemos como cualquier número natural y el denominador de la siguiente manera:
Denominador
Lectura
2
Medios
3
Tercios
4
Cuartos
5
Quintos
6
Sextos
7
Séptimos
8
Octavos
9
Novenos
10
Décimos
A partir del 11 el número se lee terminado en -avos. Por ejemplo, onceavos, doceavos, treceavos y así sucesivamente.
– Veamos algunos ejemplos:
se lee “tres séptimos”.
se lee “cinco tercios”.
se lee “siete doceavos”.
se lee “dos décimos”.
se lee “ocho medios”.
¡Es tu turno!
Observa las siguientes fracciones, ¿cómo se leen?
Solución
Nueve cuartos.
Solución
Veinticinco treceavos.
Solución
Cinco octavos.
representación gráfica
En una fracción, el denominador indica las partes en las que se divide al entero y el numerador las partes que se toman.
Estas definiciones son importantes para realizar los gráficos de fracciones.
¿Cómo graficar una fracción propia?
Realicemos el gráfico de la fracción
Lo primero que hacemos es dibujar una figura. En este caso dibujaremos un rectángulo. Este será el entero.
Luego dividimos el entero en la cantidad de partes que nos indique el denominador. En este caso, como el denominador es 5, dividimos el rectángulo en 5 partes iguales.
Después pintamos la cantidad de partes que señale el numerador. Como en esta fracción el numerador es 3, pintamos 3 partes. El resultado será el gráfico de la fracción.
¿Cómo graficar una fracción impropia?
La fracciones impropias tienen el numerador mayor al denominador y por lo tanto son mayores que 1.
Realicemos el gráfico de la fracción
Primero dibujamos un figura que represente al entero. En este caso es un cuadrado.
Ahora dividimos el entero en tantas partes como nos señale el denominador. El denominador de esta fracción es 4, así que dividimos al cuadrado en 4 partes iguales.
Luego pintamos las partes que nos indique el numerador. Como el numerador es 6, no es suficiente con una sola figura, así que dibujamos de nuevo otro cuadrado con 4 partes y pintamos las partes necesarias para llegar a 6. Ese será el gráfico de la fracción.
¿Sabías qué?
Siempre que el numerador sea mayor que el denominador será necesario que dibujemos más de un entero para representar la fracción.
¡A practicar!
Representa gráficamente las siguientes fracciones:
Solución
Solución
Solución
representación en la recta numérica
La recta numérica es una línea recta sin principio ni final que contiene a todos los números. Ubicamos los números a partir del cero en segmentos iguales.
Entre el 0 y el 1, el 1 y el 2, o entre cualquier entero podemos encontrar fracciones. Todas estas también se pueden ubicar en la recta numérica.
Para ubicar las fracciones en la recta numérica solo tenemos que dividir la unidad en segmentos iguales según lo que indica el denominador y a partir del cero contamos tantos lugares como indique el numerador. Luego marcamos la fracción.
– Ejemplo:
Para representar en la recta numérica la fracción sigue estos pasos:
Divide el espacio entre 0 y 1 en 5 partes iguales.
Cuenta desde el cero dos lugares porque el numerador es 2.
Ubica la fracción.
¿Sabías qué?
Para representar en la recta numérica fracciones impropias se usan fracciones mixtas. Estas fracciones están formadas por una parte entera y una fraccionaria.
Ubica las fracciones
¿Qué fracción se representa en esta recta numérica?
¿cómo se relacionan las fracciones y las divisiones?
Las fracciones son partes de un todo, es decir, son divisiones de ese todo. Por esta razón están directamente relacionadas una con la otra.
Toda fracción es una división sin resolver entre dos números: el numerador y el denominador.
Entonces, es igual a . Las dos son formas correctas de escribir una división.
¿Sabías qué?
Podemos expresar las fracciones con la raya horizontal o con una diagonal, por ejemplo, es igual a .
La representación de las horas
Un reloj analógico marca diferentes fracciones con el paso de las horas. En una hora hay cuatro cuartos de hora, así que, cuando decimos que pasaron 15 minutos después de las 12, realmente decimos que pasó 1/4 de hora. Cuando la aguja de los minutos (aguja larga) llega al 6 significa que pasó media (1/2) hora y a los 45 minutos pasaron 3/4 de una hora.
Actividades
1. ¿Cómo se lee la fracción 3/10? Realiza su gráfico.
Solución
3/10 se lee “tres décimos”.
Su gráfico es igual a este:
2. ¿Cómo se lee la fracción 5/12? Representa la fracción en la recta numérica.
Solución
5/12 se lee “cinco doceavos”.
En la recta se representa así:
3. Une cada fracción con su gráfico:
Solución
4. ¿Qué fracción está representada en la siguiente recta numérica?
Solución
La fracción 3/6.
5. ¿Qué fracción está representada en la siguiente recta numérica?
Solución
La fracción 1/5.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Partes y porciones”
Este recurso permitirá profundizar la representación en la recta numérica.
