CAPÍTULO 4 / TEMA 6 (REVISIÓN)

ORDEN Y RELACIONES | ¿QUÉ APRENDIMOS?

RECTA NUMÉRICA

La recta numérica es un gráfico en el que podemos representar cualquier número que pertenezca al conjunto de los números reales ( $\mathbb{R}$ ). Tiene intervalos que señalan las unidades y siempre tienen la misma distancia entre un número y su consecutivo. Por otra parte, los distintos tipos de relaciones que existen entre los números se pueden mostrar por medio de los símbolos “<” y “>” que significan “menor que” y “mayor que” respectivamente.

ORDEN DE NÚMEROS NATURALES Y DECIMALES

Para ubicar los números naturales en la recta numérica ubicamos el 0 en una posición arbitraria y luego colocamos el resto de los números naturales en intervalos regulares. Si deseamos comparar números naturales usamos los símbolos < y > o la recta numérica, pues todo número que esté más a la derecha en la recta siempre será el mayor. Para ubicar números decimales en la recta numérica, debemos agregar subdivisiones entre los números enteros. Cuando queremos compararlos, primero tomamos en cuenta la parte entera y luego comparamos las cifras decimales de izquierda a derecha.

Sí bien algunos expertos afirman que el número cero (0) no pertenece al conjunto de los números naturales, otros aseguran que sí forma parte.

ORDEN DE FRACCIONES

Las fracciones también tiene un lugar en la recta numérica, para esto tenemos que considerar si la fracción es propia o impropia. De ser propia dividimos a la unidad en tantos segmentos como indique el denominador y contamos tantos segmentos como indique el numerador, luego marcamos la fracción. Si la fracción es impropia, tenemos que convertirla primero en un número mixto, en este caso, seguimos el procedimiento anterior pero a partir de la parte entera que tenga el número mixto.

Si comparamos fracciones con igual numerador y diferente denominador, será mayor aquella que tenga menor denominador.

PROPORCIONALIDAD

La proporcionalidad es una relación que existe entre dos magnitudes que podemos medir, y puede ser directa o inversa. Dos cantidades son directamente proporcionales si cuando una aumenta la otra aumenta o si cuando una disminuye la otra también lo hace. Por otro lado, al convertir medidas lo hacemos por medio de una regla de tres, un método muy útil para saber un valor desconocido entre 2 relaciones.

Siempre que vamos a un kiosco, sabemos que mientras más compremos, más tendremos que pagar; eso es porque la “cantidad que compramos” y la “cantidad que debemos pagar” tienen una relación directamente proporcional.

RELACIONES DE TIEMPO

El tiempo es quizás la magnitud más usada y medida diariamente. Sus unidades son variadas y van desde las menores a un día, como los segundos, los minutos y las horas; hasta las que sobrepasan al día como los meses, años y décadas. Si usamos una regla de tres podemos convertir una unidad a otra sin dificultad. También podemos hacer cálculos de suma y resta con el tiempo, esto nos ayuda a saber cuando empezó un partido de fútbol o qué hora salió un tren, por ejemplo.

Los calendarios o agendas son útiles para planificar las actividades a realizar a lo largo del día.

CAPÍTULO 3 / TEMA 6 (REVISIÓN)

FRACCIONES Y PORCENTAJES | REVISIÓN

LAS FRACCIONES Y SUS USOS

En toda fracción podemos distinguir dos partes principales: el numerador y el denominador, ambos se encuentran separados por una línea horizontal. El denominador indica en cuántas partes se divide la unidad y el numerador señala cuántas de esas partes se han de tomar. Las fracciones se pueden clasificar en propias, impropias y aparentes. Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador y representan un número menor a uno. Las fracciones impropias son la que tienen el numerador mayor que el denominador y representan a un número mayor a uno. Las fracciones aparentes son aquellas cuyo numerador es múltiplo de su denominador.

Además de la raya horizontal también podemos representar a las fracciones con una raya diagonal “/” o con el símbolo de las divisiones “÷”.

FRACCIONES EQUIVALENTES

Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad. Las fracciones equivalentes se pueden obtener por medio de dos métodos: amplificación y simplificación. Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero. Para obtenerlas por simplificación, debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero y que sea un divisor común entre ambos. Es importante recordar que las fracciones equivalentes se pueden utilizar para sumar y restar fracciones heterogéneas (que tienen distinto denominador).

OPERACIONES CON FRACCIONES

La suma y resta de fracciones depende del tipo de estas. En las fracciones homogéneas (mismo denominador) se suman o restan los numeradores y se conserva el mismo denominador. En las fracciones heterogéneas (diferente denominador) se debe multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el resultado se suma o se resta al producto del numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera, el número obtenido es el numerador de la fracción resultante; luego se multiplican ambos denominadores y el número obtenido corresponderá al denominador de la fracción resultante. Para la multiplicación se multiplican los numeradores y denominadores de forma lineal. Para la división, se debe multiplicar en forma de cruz: el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda es igual al numerador de la fracción resultante y el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera es igual al denominador de la fracción resultante.

Algunas fracciones se pueden simplificar, es decir, pueden expresarse en fracciones equivalentes más sencillas

FRACCIONES MIXTAS

Una fracción mixta o número mixto es una forma de representar a una cantidad compuesta por una parte entera y una parte fraccionaria. Para graficarla, dividimos al entero en tantas partes como indique el denominador de la parte fraccionaria. Luego, pintamos tantos enteros (completos) como indique el número entero de la fracción mixta. Por último, dibujamos otro entero y pintamos tantas partes de este como indique el numerador de la fracción mixta. Para transformar una fracción mixta a una fracción convencional, lo que se realiza es sumar la parte entera con la parte fraccionaria. Siempre se debe obtener una fracción impropia.

En este caso la parte entera de la fracción mixta es 2, y la parte fraccionaria es 1/3. Se lee “dos enteros y un tercio”.

PORCENTAJES

Un porcentaje, al igual que una fracción, es una forma de indicar una parte de un todo. Un porcentaje siempre representa a una fracción decimal cuyo denominador es 100. El símbolo que utilizamos para indicar un porcentaje es %. Para calcular el porcentaje de una cantidad conocida se multiplican ambos valores y se divide entre 100. Para convertir cualquier fracción a porcentaje, debemos dividir el numerador con el denominador, y luego multiplicar dicho resultado por cien. Por otro lado, para convertir un porcentaje a fracción, simplemente colocamos el porcentaje en el numerador y 100 como denominador, posteriormente se realiza una simplificación.

CAPÍTULO 4 / TEMA 3

ORDEN DE FRACCIONES

Si tienes que elegir entre 1/2 de pizza o 3/4 de pizza, ¿cuál elegirías? Para responder esta pregunta es importante que sepas comparar distintos tipos de fracciones. Estas expresiones matemáticas constan de un numerador y un denominador, y según la relación entre ellos pueden ser mayores o menores que otras. ¡Aprende cómo ordenar fracciones!

Una fracción es una división entre dos números: un numerador y un denominador. El denominador indica en cuantas partes se divide la unidad y el numerador señala cuántas de esas partes se han de tomar. Si el numerador es menor que el denominador, la fracción es propia; pero si es mayor al denominador, la fracción es impropia.

Ubicación de fracciones en la recta numérica

Fracciones propias

Las fracciones propias son aquellas que tienen el numerador menor al denominador, por lo que siempre son menores a 1. Para ubicar estas fracciones en la recta numérica dividimos a la unidad en tantos segmentos como indique el denominador de la fracción que queremos representar. Luego, contamos tantos espacios como indique el numerador a partir del cero.

– Ejemplo:

La fracción $\frac{4}{5}$ es propia porque su numerador es menor al denominador (4 < 5).

Para representarla en la recta dividimos el segmento entre el 0 y el 1 en 5 espacios (denominador). Después contamos 4 espacios (numerador) y ubicamos la fracción.

Fracciones impropias

Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor al denominador, por lo que siempre son mayores a 1. Para representar este tipo de fracciones en la recta numérica tenemos que transformarlas a números mixtos.

¿Qué es un número mixto?

Es aquel que tiene una parte entera y una parte fraccionaria. Por ejemplo:

$\boldsymbol{2\frac{1}{2}=}$

Este número mixto se lee “dos enteros y un medio”.

¿Cómo transformar una fracción impropia a un número mixto?

Realiza la división entre el numerador y el denominador. Al terminar con la cuenta, el cociente de la división indica el entero del número mixto; el resto junto al divisor van a conformar la parte fraccionaria: el resto será el numerador y el divisor será el denominador.

– Ejemplo:

¿Cuál es el número mixto equivalente a la fracción $\frac{5}{2}$ ?

Por lo tanto:

$\boldsymbol{\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}}$

De este modo, para poder representar el número mixto $2\frac{1}{2}$ en la recta numérica consideramos el número entero, en este caso el 2, y a partir de este seguimos los mismos pasos que en las fracciones propias: dividimos el segmento entre el 2 y el 3 en 2 segmentos iguales (denominador), después contamos un espacio (numerador) y ubicamos la fracción.

VER INFOGRAFÍA

¡Es tu turno!

Representa las siguientes fracciones en una recta numérica.

$\frac{7}{5}$

Solución

Como la fracción es impropia, la transformamos a número mixto.

$\boldsymbol{\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}}$

$\frac{1}{5}$

Solución

$\frac{8}{10}$

Solución

$\frac{9}{6}$

Solución

Como la fracción es impropia, la transformamos a número mixto.

$\boldsymbol{\frac{9}{6}=1\frac{3}{6}}$

Las fracciones representan una parte del todo. No solo son importantes en el ámbito escolar, sino que son muy utilizadas en la vida diaria. Usamos fracciones cada vez que partimos un pastel, cuando pedimos media docena de empanadas o cuando cortamos la mitad de un pan. También vemos fracciones en las etiquetas de los productos, por ejemplo, 1/2 litro de jugo.

comparación de fracciones

Cuando comparamos fracciones, determinamos cuál es mayor o menor que otra. Para esto, debemos tomar en cuenta sus elementos y ver si los denominadores son iguales o si sus numeradores son iguales.

Comparar fracciones con igual denominador

Entre dos fracciones con igual denominador será mayor la fracción que tenga mayor numerador.

– Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{8}{3}>\frac{6}{3}}$

Observa que los denominadores son iguales (3 = 3) pero los numeradores no; y como 8 > 6, la fracción 8/6 es mayor que 6/3.

Comparar fracciones con igual numerador

Entre dos fracciones con igual numerador será mayor la fracción que tenga menor denominador.

– Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{12}{5}<\frac{12}{4}}$

Observa que los numeradores son iguales (12 = 12) pero los denominadores no; y como 5 > 4, la fracción 12/4 es mayor que 12/5.

Fracciones con distintos numeradores y denominadores

Cuando las dos fracciones tienen numeradores y denominadores diferentes, buscamos homogeneizar, es decir, encontrar fracciones equivalentes con igual denominador.

¿Cómo homogeneizar dos fracciones?

Para encontrar las fracciones equivalentes con igual denominador de unas fracciones seguimos estos pasos:

Determinamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ese será el denominador de las fracciones equivalentes.
Encontramos el número por el que hay que multiplicar el numerador y el denominador de las fracciones.

– Ejemplo:

Homogeneiza las fracciones $\boldsymbol{\frac{2}{3}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{4}}$ . Luego compara.

1. Calculamos el m. c. m. de los denominadores 3 y 4.

2. Encontramos el número por el que hay que multiplicar el numerador y el denominador de las fracciones.

Como 3 × 4 = 12, entonces también multiplicamos el numerador por 4.

$\frac{2}{3}=\frac{2\times 4}{12}=\boldsymbol{ \frac{8}{12}}$

Como 4 × 3 = 12, entonces también multiplicamos el numerador por 3.

$\frac{3}{4}=\frac{3\times 3}{12}=\boldsymbol{\frac{9}{12}}$

Ahora es más sencillo comparar las fracciones, pues tenemos fracciones homogéneas por lo que seguimos los pasos anteriores: entre dos fracciones con igual denominador será mayor la fracción que tenga mayor numerador. Así que:

$\boldsymbol{\frac{9}{12}>\frac{8}{12}}$ Como $\frac{9}{8}$ es la fracción equivalente de $\frac{3}{4}$ ; y $\frac{8}{12}$ es la fracción equivalente de $\frac{2}{3}$ , podemos decir que:

$\boldsymbol{\frac{3}{4}>\frac{2}{3}}$

¿Sabías qué?

En el año 1800 a. C. el pueblo babilonio introdujo las fracciones.

Comparación de números mixtos

Entre dos números mixtos, será mayor aquel que tenga mayor parte entera. Por ejemplo:

$\boldsymbol{2\frac{3}{4}<3\frac{5}{3}}$

Pero si las partes enteras son iguales, comparamos la parte fraccionaria por medio de cualquier de los métodos aplicados anteriormente. Por ejemplo:

$\boldsymbol{1\frac{4}{6}>1\frac{1}{6}}$

Las dos partes entera son iguales (1 = 1), pero las partes fraccionarias no. Como ves, ambas son fracciones homogéneas porque los denominadores son iguales (6 = 6), así que comparamos los numeradores, y como 4 > 1, el número mixto $1\frac{4}{6}$ es mayor que $1\frac{1}{6}$ .

Un uso muy popular de las fracciones es cuando damos la hora. Por ejemplo, cuando decimos que son “las dos y media”, hacemos referencia a un número mixto en la que la parte entera es 2, y la parte fraccionaria es 1/2. También ocurre cuando decimos que “son las cinco y cuarto”, allí la parte entera es 5 y la parte fraccionaria es 1/4.

¡A practicar!

1. Representa las siguientes fracciones en la recta numérica.

$\frac{4}{9}$

Solución

$\frac{9}{5}$

Solución

$\frac{9}{5}=1\frac{4}{5}$

$\frac{2}{10}$

Solución

$6\frac{3}{5}$

Solución

2. Compara los siguientes números mixtos.

$4\frac{1}{6}$ y $2\frac{1}{2}$

Solución

$4\frac{1}{6}>2\frac{1}{2}$

$1\frac{7}{8}$ y $2\frac{2}{6}$

Solución

$1\frac{7}{8}<2\frac{2}{6}$

$1\frac{1}{3}$ y $1\frac{2}{6}$

Solución

$1\frac{1}{3}=1\frac{2}{6}$ porque $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$

$1\frac{5}{6}$ y $1\frac{1}{2}$

Solución

$1\frac{5}{6}>1\frac{1}{2}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Partes y porciones”

En este artículo podrás ampliar la información sobre la comparación de fracciones por medio del método del común denominador (sin utilizar recta numérica).

VER

Enciclopedia “Enciclopedia de Matemáticas Primaria”

Con el Tomo 2 de esta enciclopedia podrás profundizar en el concepto de fracciones y su clasificación, así como en la comparación de fracciones y números mixtos.

VER

Artículo “Clasificación de fracciones”

En este artículo podrás encontrar más información sobre la clasificación de fracciones.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 2

FRACCIONES EQUIVALENTES

Hay fracciones que aunque parezcan diferentes representan la misma cantidad. Por ejemplo, si un amigo te ofrece 1/2 de un alfajor y otro te ofrece 2/4 de un alfajor, ¿quién te ofrece más? ¡Ninguno! ¡Los dos ofrecen lo mismo! Este tipo de fracciones son conocidas como fracciones equivalentes y son muy fáciles de distinguir.

¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN EQUIVALENTE?

Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad, es decir, al mismo número. Veamos un ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{2}{3}} =$

$\boldsymbol{\frac{4}{6}}=$

Podemos observar que en ambas fracciones pintamos la misma porción del entero, lo que quiere decir que ambas fracciones representan la misma cantidad. Por lo tanto, decimos que $\frac{2}{3}$ y $\frac{4}{6}$ son fracciones equivalentes, y las podemos escribir así:

$\boldsymbol{\frac{2}{3}=\frac{4}{6}}$

¿Hay una sola fracción equivalente?

Cada fracción tiene muchas fracciones equivalentes. Por ejemplo, otra fracción equivalente de $\frac{2}{3}$ es $\frac{8}{12}$ :

Entonces, como las 3 fracciones son equivalentes entre sí, podemos escribir:

$\boldsymbol{\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{8}{12}}$

Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad, es decir, al mismo número. Por lo tanto, hay muchas formas de decir media sandía: 1/2 , 2/4 , 4/8 , 8/16 , 16/32 y muchas más. Todas ellas son fracciones equivalentes que indican la mitad de un entero.

¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?

Dos fracciones son equivalentes si al multiplicar sus términos en forma de cruz el resultado el mismo.

$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$ y $\boldsymbol{\frac{6}{8}}$ son fracciones equivalentes porque $\boldsymbol{3\times 8=4\times 6}$

$\boldsymbol{\frac{3}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{6}{18}}$ no son equivalentes porque $\boldsymbol{3\times 18\neq 5\times 6}$

¡Es tu turno!

¿Estas fracciones son equivalentes?

$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{6}{15}}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{6}{15}}$ son fracciones equivalentes porque $\boldsymbol{2\times 15=5\times 6}$

$\boldsymbol{\frac{4}{7}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{5}}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{4}{7}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{5}}$ no son fracciones equivalentes porque $\boldsymbol{4\times 5\neq 7\times 3}$

¿cómo CONVERTIR FRACCIONES EQUIVALENTES?

Las fracciones equivalentes se pueden obtener por medio de dos métodos: amplificación y simplificación.

Amplificación de fracciones

Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero.

Si al numerador y al denominador de la fracción $\frac{3}{5}$ los multiplicamos por 3, obtenemos $\frac{9}{15}$ y por lo tanto, ambas fracciones son equivalentes.

Así, si multiplicamos al numerador y al denominador por 4, obtenemos otra fracción equivalente: $\frac{12}{20}$ .

Y si multiplicamos por 5, obtenemos otra: $\frac{15}{25}$ .

Podemos escribir las fracciones obtenidas de la siguiente manera:

$\boldsymbol{\frac{3}{5}=\frac{9}{15}=\frac{12}{20}=\frac{15}{25}}$

¡Puedes comprobarlo!

Las fracciones equivalentes, a pesar de tener numeradores y denominadores diferentes, representan una misma cantidad. Puedes corroborar esto si divides el numerador entre el denominador.

$\boldsymbol{\frac{3}{5}=3\div 5=0.6}$

$\boldsymbol{\frac{9}{15}=9\div 15=0.6}$

$\boldsymbol{\frac{12}{20}=12\div 20=0.6}$

$\boldsymbol{\frac{15}{25}=15\div 25=0.6}$

Simplificación de fracciones

Para obtener fracciones equivalentes por simplificación debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero. Pero en este caso, el número debe ser un divisor común entre el numerador y el denominador. Es decir, tanto el numerador como el denominador se deben poder dividir por el número.

Si al numerador y al denominador de la fracción $\frac{30}{15}$ los dividimos por 3, obtenemos $\frac{10}{5}$ , que es una fracción equivalente.

Los divisores comunes entre 30 y 15 son: 3, 5, 15. Entonces, también podemos simplificar la fracción $\frac{30}{15}$ si dividimos el numerador y denominador por 5, cuyo resultado es $\frac{6}{3}$ .

Y si dividimos por 15, obtenemos $\frac{2}{1}$ , otra fracción equivalente.

Como todas representan la misma cantidad, podemos escribirlas de este modo:

$\boldsymbol{\frac{30}{15}=\frac{10}{5}=\frac{6}{3}=\frac{2}{1}}$

¿Sabías qué?

Cuando una fracción no puede simplificarse se dice que es una fracción irreducible.

Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero; y para obtener fracciones equivalentes por simplificación debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero que sea divisor común entre ambos.

APLICACIÓN DE LAS FRACCIONES EQUIVALENTES EN OPERACIONES DE FRACCIONES

Podemos usar las fracciones equivalentes para sumar y restar fracciones heterogéneas (aquellas que tienen distinto denominador). Para estos solo tenemos que convertirlas en fracciones homogéneas, es decir, en fracciones con igual denominador. Luego sumamos o restamos los numeradores y conservamos el denominador.

– Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{2}{4}+\frac{8}{2}=}$

Los denominadores son 4 y 2. Pero si en la segunda fracción multiplicamos numerador y denominador por 2, obtenemos $\frac{16}{4}$ , que es una fracción equivalente.

$\boldsymbol{\frac{8}{2}=\frac{16}{4}}$

Entonces, la suma queda así:

$\boldsymbol{\frac{2}{4}+\frac{16}{4}=\frac{2+16}{4}=\frac{18}{4}}$

También podemos representar esta fracción final de una manera más simple si encontramos un divisor común. Como 18 y 4 son divisible por 2, su fracción equivalente es $\frac{9}{2}$ .

$\boldsymbol{\frac{18}{4}=\frac{9}{2}}$

Por lo tanto:

$\boldsymbol{\frac{2}{4}+\frac{16}{4}=\frac{2+16}{4}=\frac{18}{4}=\boldsymbol{\frac{9}{2}}}$

– Otro ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{6}{5}-\frac{1}{2}=}$

Los denominadores son 5 y 2, así que debemos encontrar el mínimo común múltiplo entre ambos, que es 10. Para llegar de 5 a 10, debemos multiplicar a 5 por 2. Entonces, amplificamos la fracción $\frac{6}{5}$ por 2:

$\boldsymbol{\frac{6}{5}=\frac{12}{10}}$

Y para llegar de 2 a 10, debemos multiplicar a 2 por 5. Amplificamos esta fracción por 5:

$\boldsymbol{\frac{1}{2}=\frac{5}{10}}$

La resta queda así:

$\boldsymbol{\frac{12}{10}-\frac{5}{10}=\frac{12-5}{10}=\frac{7}{10}}$

Las fracciones equivalentes se pueden utilizar para sumar y restar fracciones heterogéneas (que tienen distinto denominador). Para poder sumarlas o restarlas, debemos convertirlas en fracciones homogéneas, es decir, que tengan el mismo denominador. Y para convertirlas en fracciones homogéneas, utilizamos fracciones equivalentes de las originales.

¡A practicar!

1. Indica si estas equivalencias son verdaderas o falsas.

$\boldsymbol{\frac{8}{11}=\frac{33}{44}}$

Solución

Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 8 × 44 ≠ 11 × 33.

$\boldsymbol{\frac{1}{5}=\frac{3}{15}}$

Solución

Verdadero. Estas fracciones sí son equivalentes porque 1 × 15 = 5 × 3.

$\boldsymbol{\frac{4}{12}=\frac{20}{24}}$

Solución

Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 4 × 24 ≠ 12 × 20.

$\boldsymbol{\frac{9}{10}=\frac{36}{30}}$

Solución

Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 9 × 30 ≠ 10 × 36.

$\boldsymbol{\frac{7}{8}=\frac{14}{16}}$

Solución

Verdadero. Estas fracciones sí son equivalentes porque 7 × 16 = 8 × 14.

$\boldsymbol{\frac{6}{9}=\frac{24}{36}}$

Solución

Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 9 × 24 ≠ 6 × 36.

2. Realiza los siguientes cálculos. Utiliza sus fracciones equivalentes:

$\boldsymbol{\frac{1}{4}+\frac{3}{2}=}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{1}{4}+\frac{6}{4}=\frac{6+1}{4}=\frac{7}{4}}$

$\boldsymbol{\frac{2}{3}+\frac{6}{4}=}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{8}{12}+\frac{18}{12}=\frac{8+18}{12}=\frac{26}{12}=\frac{13}{6}}$

$\boldsymbol{\frac{7}{5}-\frac{2}{2}=}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{14}{10}-\frac{10}{10}=\frac{14-10}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}}$

$\boldsymbol{\frac{8}{3}-\frac{2}{5}=}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{40}{15}-\frac{6}{15}=\frac{40-6}{15}=\frac{34}{15}}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Fracciones equivalentes”

En este artículo podrás ahondar en los conceptos de amplificación y simplificación de fracciones, hasta llegar al concepto de fracción irreducible.

VER

Micrositio “Operaciones matemáticas”

En este micrositio, las tarjetas te ayudarán a profundizar en el procedimiento que debe realizarse en las operaciones matemáticas de adición, resta, multiplicación y división de fracciones homogéneas y heterogéneas.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 3

TIPOS DE FRACCIONES

Aunque todas las fracciones se caracterizan por tener dos números divididos con una raya fraccionaria, no todas son iguales. Hay clasificaciones de fracciones que dependen de la relación que existe entre sus denominadores, entre ellas están las fracciones homogéneas y las fracciones heterogéneas. Otras clasificaciones dependen de la relación que existe entre los numeradores y denominadores, y pueden ser fracciones propias e impropias.

Las fracciones representan la parte de un todo que ha sido dividida en partes iguales. Todas ellas tienen un denominador, que indica el número de partes iguales en las que está dividido un todo; y un numerador, que indica qué partes de ese todo hemos considerado. En este ejemplo, 2 es el numerador y 8 es el denominador.

VER INFOGRAFÍA

fracciones homogéneas

Dos o más fracciones son homogéneas si tienen el mismo denominador. En estas fracciones el entero está dividido en la misma cantidad de partes.

$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{4}}$ son fracciones homogéneas porque tienen el mismo denominador: 4.

– Ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{8}{10}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{10}}$

$\boldsymbol{\frac{12}{9}}$ ; $\boldsymbol{\frac{7}{9}}$ y $\boldsymbol{\frac{20}{9}}$

$\boldsymbol{\frac{4}{20}}$ ; $\boldsymbol{\frac{9}{20}}$ y $\boldsymbol{\frac{1}{20}}$

fracciones heterogéneas

Dos o más fracciones son heterogéneas si tienen diferentes denominadores, es por esto que el entero estará dividido en distintas partes según la fracción.

$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{6}}$ son fracciones heterogéneas porque sus denominadores son diferentes.

– Ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{10}{12}}$ ; $\boldsymbol{\frac{8}{9}}$ y $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$

$\boldsymbol{\frac{20}{3}}$ ; $\boldsymbol{\frac{8}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{12}}$

$\boldsymbol{\frac{2}{9}}$ y $\boldsymbol{\frac{8}{18}}$

El ying y el yang en las fracciones

Los chinos representaban las fracciones con varillas, estas podían ser de bambú, hueso u otros materiales. A los elementos de una fracción le asignaban un rol femenino y otro masculino. Se referían al numerador como “el hijo” y al denominador como “la madre”. Este uso del ying y el yang los hacía seguir a la perfección las clasificaciones de fracciones y ser expertos conocedores de las operaciones con fracciones.

fracciones propias

Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador. Estas fracciones también reciben el nombre de fracciones puras. Las fracciones de este tipo son menores a un entero y se encuentran entre el 0 y el 1.

Para comprender mejor que estas fracciones siempre se encuentran entre el 0 y el 1 mostramos algunos ejemplos representados en una recta numérica:

– Ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{5}{12}}$

$\boldsymbol{\frac{12}{20}}$

$\boldsymbol{\frac{9}{15}}$

¿Sabías qué?

El símbolo “<” significa “menor que” y el símbolo “>” significa “mayor que”.

Cuando seguimos las instrucciones de una receta de cocina, usualmente fraccionamos los ingredientes, por ejemplo, media taza de leche (½) o tres cuartos de azúcar (¾). También usamos fracciones cuando ordenamos alimentos, como un cuarto de kilo de café (¼), medio kilo de queso (½) o litro y medio de gaseosa (1 ½).

fracciones impropias

Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Se las conoce también como fracciones impuras. Estas fracciones siempre son mayores a un entero, es decir mayores a 1.

En una recta numérica las fracciones impropias o impuras siempre se ubican del 1 en adelante porque son mayores a este, para entender mejor, observa los siguientes ejemplos:

– Ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{10}{8}}$

$\boldsymbol{\frac{25}{9}}$

$\boldsymbol{\frac{9}{2}}$

Hay expresiones que en cada país se dicen de maneras distintas pero que significan lo mismo, como por ejemplo “fresa” y “frutilla”. En el ámbito de la matemática sucede lo mismo, depende del país se utilizarán los términos “fracción propia” o “fracción pura” para el mismo tipo de fracción; y “fracción impropia” o “fracción impura” para el mismo tipo de fracción.

¡A practicar!

Determina si la siguientes fracciones son homogéneas o heterogéneas.

$\boldsymbol{\frac{3}{7}}$ y $\boldsymbol{\frac{5}{9}}$

Solución

Heterogéneas

$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{16}{5}}$

Solución

Homogéneas

$\boldsymbol{\frac{62}{6}}$ ; $\boldsymbol{\frac{95}{66}}$ y $\boldsymbol{\frac{17}{36}}$

Solución

Heterogéneas

$\boldsymbol{\frac{33}{13}}$ ; $\boldsymbol{\frac{57}{13}}$ y $\boldsymbol{\frac{25}{13}}$

Solución

Homogéneas

2. Determina si las fracciones a continuación son propias o impropias.

$\boldsymbol{\frac{11}{12}}$

Solución

Propia

$\boldsymbol{\frac{8}{5}}$

Solución

Impropia

$\boldsymbol{\frac{7}{3}}$

Solución

Impropia

$\boldsymbol{\frac{21}{18}}$

Solución

Impropia

3. Observa las fracciones en la recta numérica y responde.

a) ¿Cuál o cuáles son las fracciones que están entre 0 y 1? ¿Qué tipo de fracciones son?

Solución

Las fracciones que están entre 0 y 1 son 1/3 y 2/3. Son fracciones propias.

b) ¿Cuál o cuáles son las fracciones mayores que 1? ¿Qué tipo de fracciones son?

Solución

Las fracciones mayores a 1 son 5/3 y 7/3. Son fracciones impropias.

c) ¿Hay fracciones heterogéneas? ¿Cuáles?

Solución

No hay fracciones heterogéneas.

d) ¿Hay fracciones homogéneas? ¿Cuáles?

Solución

Sí, todas las fracciones de la recta son homogéneas.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Clasificación de fracciones”

Este recurso te permitirá profundizar las características y los criterios para clasificar las fracciones.

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CAPÍTULO 3 / TEMA 6 (REVISIÓN)

Fracciones | ¿Qué aprendimos?

¿Qué son las fracciones?

Una fracción está formada por dos términos principales: el numerador y el denominador. Estos son números enteros que están separados por una línea horizontal denominada raya divisoria o raya fraccionaria. Una fracción es la división de un entero o una unidad en partes iguales. El numerador indica las partes a considerar de esa división y el denominador indica las partes en las que se dividió el entero o unidad. Estos números son más antiguos que lo que se piensa y están relacionados con la división.

Las fracciones están presentes en la vida cotidiana, sobre todo en las mediciones usadas en la cocina, pero también están presentes en algunas monedas.

Fracciones diversas

De acuerdo a la relación que exista entre el numerador y el denominador, las fracciones pueden ser propias o impropias. Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador, contrario a las fracciones impropias, en las que el numerador es mayor que el denominador. Por otro lado, si comparamos dos o más fracciones, estas pueden ser homogéneas o heterogéneas. Las fracciones homogéneas son las que poseen el mismo denominador, las heterogéneas, en cambio, presentan diferentes denominadores.

Las fracciones pueden expresarse en forma de gráfica o viceversa. Lo emocionante de ellas es que las usamos a diario para dividir cosas o cantidades.

Gráficas de fracciones

Las fracciones suelen expresarse en gráficos para interpretar de manera más sencilla los datos. La forma para representar estos gráficos dependen del tipo de fracción. Si la fracción es propia elegimos cualquier figura, la dividimos en partes iguales según el denominador y señalamos las partes que indique el numerador. Cuando se trata de una fracción impropia dividimos una figura geométrica en las partes que señale el denominador, pero debido a que en este tipo de fracción el numerador es mayor que el denominador, serán necesarias más de una figuras.

Orden de fracción

Las fracciones presentan un sentido de orden, es decir, hay fracciones que son mayores o menores que otras. Una herramienta muy útil para reconocer este orden es la recta numérica. Se trata de un gráfico en forma de línea horizontal en el que los números están ordenados de menor a mayor. Para ubicar fracciones propias en la recta numérica dividimos la unidad en segmentos iguales según indique el denominador y la fracción se ubicaría en el número de segmento indicado por el numerador. Las fracciones impropias, por su parte, deben ser transformadas en números mixtos.

En la recta numérica, si se toma un número como referencia, los números de su izquierda son menores a él y los de la derecha mayores.

Problemas con fracciones

Las fracciones, además de ayudarnos a resolver problemas que impliquen proporciones, nos permiten resolver las operaciones básicas matemáticas como la adición, la sustracción, la multiplicación y al división. En el caso de la adición y la sustracción de fracciones debemos tener en cuenta su tipo: si las fracciones son homogéneas sumamos o restamos los numeradores y colocamos el denominador, si son heterogéneas usamos el método de cruz para resolverlas. Las multiplicaciones se resuelven de forma lineal, al multiplicar los numeradores y los denominadores.

La adición y sustracción de fracciones heterogéneas suele realizarse por el método en cruz que permite calcular de manera directa fracciones equivalentes.

CAPÍTULO 3 / TEMA 2

Fracciones diversas

Las fracciones pueden clasificarse en dos grupos: fracciones propias y fracciones impropias. Estas clasificaciones dependen de la relación que exista entre el numerador y el denominador. Por otro lado, el denominador de una fracción también permite compararla con otra para saber si es homogénea o heterogénea.

Fracciones propias e impropias

Una fracción propia es aquella donde el denominador es mayor que el numerador. A este tipo de fracción también se la conoce como fracción pura. Las siguientes fracciones son ejemplos de fracciones propias o puras:

$\frac{1}{8}$ ; $\frac{5}{33}$ ; $\frac{9}{10}$ ; $\frac{97}{99}$

Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción propia el resultado siempre estará comprendido entre cero (0) y uno (1), es decir:

$\frac{1}{8}= 0,125$

$\frac{5}{33}=0,\widehat{15}$

$\frac{1}{9} = 0,\widehat{1}$

$\frac{97}{99}=0,\widehat{97}$

¿Sabías qué?

De acuerdo a cada país se pueden usar los términos fracción propia o pura e impropia o impura para referirse a los mismos tipos de fracciones.

Una fracción impropia es aquella cuyo numerador siempre es mayor que el denominador. Se la conoce también como fracción impura y algunos ejemplos son los siguientes:

$\frac{5}{2}$ ; $\frac{7}{3}$ ; $\frac{14}{5}$ ; $\frac{3}{2}$

Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción impropia el resultado siempre será mayor a uno (1). Por ejemplo:

$\frac{5}{2}=2,5$

$\frac{7}{3}=2,\widehat{3}$

$\frac{14}{5}=2,8$

$\frac{3}{2}=1,5$

Fracciones aparentes

Son fracciones en las cuales la división entre el numerador y denominador es igual a un número entero. La fracción $\frac{8}{2}$ es una fracción aparente porque 8 ÷ 2 = 4 y el cuatro (4) es un número entero. Las fracciones aparentes se distinguen porque el numerador siempre es un múltiplo del denominador.

Fracciones homogéneas y heterogéneas

Como ya sabemos, el denominador en una fracción determina en cuántas partes está dividido el entero. Sin importar su numerador, dos fracciones son homogéneas si comparten el mismo denominador:

$\frac{1}{3}$ y $\frac{2}{3}$ son fracciones homogéneas porque su denominador es el mismo: 3. En las fracciones homogéneas el entero se ha dividido por la misma cantidad de partes:

Por otro lado, dos fracción son heterogéneas si sus denominadores son diferentes, es decir, el entero se dividió en partes diferentes para cada caso:

¿Qué es una fracción equivalente?

Equivalente quiere decir “de igual valor”, en este sentido, las fracciones equivalentes son aquellas que representan la misma cantidad. Las fracciones $\frac{1}{2}$ ; $\frac{2}{4}$ y $\frac{3}{6}$ son equivalentes:

Pasos para determinar si dos fracciones son equivalentes

1. Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda.

2. Multiplica el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera.

3. Si los productos anteriores son iguales, entonces las fracciones son equivalentes.

– Determina si las fracciones $\frac{1}{3}$ y $\frac{3}{9}$ son equivalentes.

Lo primero que debemos hacer es multiplicar el numerador de la primera fracción que es 1 por el denominador de la segunda fracción que es 9. Luego multiplicamos el numerador de la segunda fracción que es 3 por el denominador de la primera fracción que también es 3.

En este caso ambas fracciones son equivalentes porque los productos cruzados son iguales.

– Determina si las fracciones $\frac{2}{5}$ y $\frac{3}{4}$ son equivalentes.

Realizamos los productos cruzados y comparamos los resultado:

Como el producto cruzado dio diferente, entonces, las fracciones no son equivalentes.

Existen otras maneras para comprobar fracciones equivalentes, una de las más conocidas es transformar las fracciones a decimales, es decir; dividir el numerador de cada una entre su denominador correspondiente, ambos resultados deben ser iguales para que sean consideradas fracciones equivalentes; por ejemplo; 1/2 y 2/4 son equivalentes porque 1 ÷ 2 = 0,5 y 2 ÷ 4 =0,5.

¡A practicar!

1. Determina si la fracción mostrada es propia o impropia.

a) $\frac{23}{40}$

Solución

Propia.

b) $\frac{3}{2}$

Solución

Impropia.

c) $\frac{2}{5}$

Solución

Propia.

d) $\frac{12}{11}$

Solución

Impropia.

2. Determina si las siguientes fracciones son homogéneas o heterogéneas.

a) $\frac{7}{10}$ y $\frac{9}{10}$

Solución

Son fracciones homogéneas.

b) $\frac{11}{6}$ y $\frac{14}{9}$

Solución

Son fracciones heterogéneas.

c) $\frac{13}{4}$ y $\frac{9}{4}$

Solución

Son fracciones homogéneas.

d) $\frac{58}{7}$ y $\frac{58}{17}$

Solución

Son fracciones heterogéneas.

3. ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a $\frac{5}{2}$ ?

a) $\frac{2}{5}$

b) $\frac{10}{2}$

c) $\frac{52}{10}$

d) $\frac{15}{6}$

Solución

d) $\frac{15}{6}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Clasificación de fracciones”

Este artículo destacado trata sobre las características principales de las fracciones y los diferentes criterios para clasificarlas. También se muestran una serie de ejemplos que facilitan su comprensión.

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Micrositio “Tarjetas educativas – Operaciones matemáticas”

En el siguiente micrositio se presentan las principales operaciones matemáticas, especialmente las operaciones básicas realizadas con fracciones.

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Video “Fracciones decimales”

Este video permite convertir números decimales en fracciones y con ello se puede establecer una relación con las fracciones propias.

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