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CAPÍTULO 5 / TEMA 6

Volumen y capacidad

El volumen y la capacidad son dos conceptos que empleamos a diario. A veces necesitamos medir la cantidad de agua para una receta y otras veces necesitamos saber cuánto puede contener un molde para tortas. En el primer caso hablamos de volumen y en el segundo de capacidad. A pesar de estar relacionados, cada magnitud emplea distintas unidades de medida para los cálculos.

Cálculo de volumen de cubos

Así como en área empleamos cuadrados como referencia para medir una superficie, en la medición del volumen empleamos cubos como referencia.

El volumen es el espacio ocupado por un objeto. Por ejemplo, si una caja tiene un volumen de 200 cm3 (centímetros cúbicos) quiere decir que está formado por 200 cubos que miden 1 cm en cada lado, cada uno.

Para comprender mejor el concepto de volumen, debemos aprender cómo calcularlo en cubos. La fórmula es la siguiente:

V=a\times a\times a

Donde:

V = volumen.

a = longitud de los lados del cubo.

La fórmula de volumen también puede expresarse como V=a^{3}

– Ejemplo:

Calcula el volumen del siguiente cubo:

Como es un cubo, cada lado mide 3 cm y hay que aplicar la fórmula de volumen, es decir, multiplicar la longitud de un lado tres veces:

V = 3\, cm\times 3\, cm\times3\, cm = \mathbf{27\, cm^{3}}

Observa que la unidad centímetro se multiplicó tres veces, por lo tanto, al final se expresa en cm3.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?
Un cubo tiene tres dimensiones: alto, ancho y profundidad.
Cuando medimos, relacionamos una cantidad con una unidad de medida base, en otras palabras, medir es un proceso de comparación. El volumen es una característica muy importante de los cuerpos porque permite saber cuánto ocupa el mismo en el espacio. Los científicos suelen medir volúmenes de muestras en sus diferentes estudios y ensayos a través de equipos especializados.

Comparación de volúmenes

Todos los objetos ocupan un lugar en el espacio, por lo tanto tienen volumen. Ese espacio ocupado depende de las características del material, por eso, para realizar comparaciones entre objetos usamos medidas de volumen.

Cuanto mayor sea el lugar que ocupe un cuerpo en el espacio, mayor será su volumen. Por ejemplo, el volumen que ocupa un grano de arroz no es igual al volumen que ocupa un edificio.

Observa las siguientes figuras:

Imaginemos que cada cubo equivale a 1 cm3, ¿cuántos cubos de 1 cm3 tiene la figura 1?, ¿y la figura 2?, ¿cuál figura tiene mayor volumen?

  • La figura 1 tiene 5 cubos de 1 cm3, así que su volumen es de 5 cm3.
  • La figura 2 tiene 15 cubos de 1 cm3, así que su volumen es de 15 cm3.

La figura 2 tiene mayor volumen que la figura 1 y, por lo tanto, ocupa mayor espacio.

Otras unidades de volumen

La unidad empleada por el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico (m3), sin embargo, esta unidad tiene múltiplos y submúltiplos que en situaciones cotidianas suelen emplearse, por ejemplo, el milímetro cúbico (mm3), el decímetro cúbico (dm3), el centímetro cúbico (cm3), etc.

También existen otras unidades de volumen como pulgada cúbica (pulg3) y pie cúbico (pie3).

El litro y las unidades de capacidad

La capacidad es la propiedad que tienen los objeto de contener a otras sustancias dentro de él. Por ejemplo, es común ver en el supermercado diferentes productos con envases en los que hay cierto volumen en su interior, ya sea de gaseosas, aceites o detergentes. El litro (L) es la medida de capacidad que vemos en las etiquetas de estos artículos.

Al ocupar un lugar en el espacio, todos los objetos tienen volumen pero no todos tienen capacidad. Por ejemplo, un objeto sólido como una barra de metal, tiene volumen pero no tiene capacidad.

Relación entre capacidad y volumen

La capacidad que tiene un recipiente es equivalente al volumen del objeto. De este modo, si construimos un cubo de 10 cm en cada lado y lo llenamos con agua en su interior, notaremos que la capacidad de ese cubo es igual a 1 litro ya que su volumen es igual a 1.000 cm3.

Recordemos que:

V=10 \, cm\times 10 \, cm\times 10 \, cm = 1.000\,\, cm^{3}

1\: L = 1.000\: cm^{3}

Algunas equivalencias útiles

  • 1 litro es igual a 2 medios litros.

1\: L = \left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \right )\: L

 

  • 1 litro es igual a 4 cuartos de litro.

1\: L = \left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \right )\: L

 

  • Medio litro es igual a 2 cuartos de litro.

\frac{1}{2}\: L = \left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{4} \right )\: L

 

¡A practicar!

  1. Calcula el volumen de los siguientes cubos.

a)

Solución
V = 2 x 2 x 2 = 8 cm3.

b)

Solución
V = 1 x 1 x 1 = 1 cm3.

c)

Solución
V = 4 x 4 x 4 = 64 cm3.

d)

Solución
V = 5 x 5 x 5 =125 cm3.

2. ¿Cuál de los siguientes cubos tiene un volumen igual a 343 cm3?

a) 

b) 

c) 

d) 

Solución
b) Porque V = 7\, cm\times 7\, cm\times7\, cm = \mathbf{343\, cm^{3}}.

 

RECURSOS PARA DOCENTES

Video “Volumen de los cuerpos sólidos”

Este video muestra cómo se forman los cuerpos geométricos y explica las diferentes fórmulas de volumen en cada caso.

VER

Artículo “Volumen y capacidad: aplicaciones”

Este artículo explica las diferentes unidades de medición de volumen, al igual que las diferentes situaciones en las que puedes aplicarlo.

VER

Artículo “Sistemas de medición”

En este artículo destacado se explica qué es un sistema de medición, sus aplicaciones y los diferentes tipos de instrumentos para medir algunas unidades.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 2

Fracciones diversas

Las fracciones pueden clasificarse en dos grupos: fracciones propias y fracciones impropias. Estas clasificaciones dependen de la relación que exista entre el numerador y el denominador. Por otro lado, el denominador de una fracción también permite compararla con otra para saber si es homogénea o heterogénea.

Fracciones propias e impropias

Una fracción propia es aquella donde el denominador es mayor que el numerador. A este tipo de fracción también se la conoce como fracción pura. Las siguientes fracciones son ejemplos de fracciones propias o puras:

\frac{1}{8}; \frac{5}{33}; \frac{9}{10}; \frac{97}{99}

Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción propia el resultado siempre estará comprendido entre cero (0) y uno (1), es decir:

\frac{1}{8}= 0,125

\frac{5}{33}=0,\widehat{15}

\frac{1}{9} = 0,\widehat{1}

\frac{97}{99}=0,\widehat{97}

 

¿Sabías qué?
De acuerdo a cada país se pueden usar los términos fracción propia o pura e impropia o impura para referirse a los mismos tipos de fracciones.

Una fracción impropia es aquella cuyo numerador siempre es mayor que el denominador. Se la conoce también como fracción impura y algunos ejemplos son los siguientes:

\frac{5}{2}; \frac{7}{3}; \frac{14}{5}; \frac{3}{2}

Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción impropia el resultado siempre será mayor a uno (1). Por ejemplo:

\frac{5}{2}=2,5

\frac{7}{3}=2,\widehat{3}

\frac{14}{5}=2,8

\frac{3}{2}=1,5

 

Fracciones aparentes

Son fracciones en las cuales la división entre el numerador y denominador es igual a un número entero. La fracción \frac{8}{2} es una fracción aparente porque 8 ÷ 2 = 4 y el cuatro (4) es un número entero. Las fracciones aparentes se distinguen porque el numerador siempre es un múltiplo del denominador.

Fracciones homogéneas y heterogéneas

Como ya sabemos, el denominador en una fracción determina en cuántas partes está dividido el entero. Sin importar su numerador, dos fracciones son homogéneas si comparten el mismo denominador:

\frac{1}{3} y \frac{2}{3} son fracciones homogéneas porque su denominador es el mismo: 3. En las fracciones homogéneas el entero se ha dividido por la misma cantidad de partes:

Por otro lado, dos fracción son heterogéneas si sus denominadores son diferentes, es decir, el entero se dividió en partes diferentes para cada caso:

¿Qué es una fracción equivalente?

Equivalente quiere decir “de igual valor”, en este sentido, las fracciones equivalentes son aquellas que representan la misma cantidad. Las fracciones \frac{1}{2}; \frac{2}{4} y \frac{3}{6} son equivalentes:

Pasos para determinar si dos fracciones son equivalentes

1. Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda.

2. Multiplica el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera.

3. Si los productos anteriores son iguales, entonces las fracciones son equivalentes.

– Determina si las fracciones \frac{1}{3} y \frac{3}{9} son equivalentes.

Lo primero que debemos hacer es multiplicar el numerador de la primera fracción que es 1 por el denominador de la segunda fracción que es 9. Luego multiplicamos el numerador de la segunda fracción que es 3 por el denominador de la primera fracción que también es 3.

En este caso ambas fracciones son equivalentes porque los productos cruzados son iguales.

– Determina si las fracciones \frac{2}{5} y \frac{3}{4} son equivalentes.

Realizamos los productos cruzados y comparamos los resultado:

Como el producto cruzado dio diferente, entonces, las fracciones no son equivalentes.

Existen otras maneras para comprobar fracciones equivalentes, una de las más conocidas es transformar las fracciones a decimales, es decir; dividir el numerador de cada una entre su denominador correspondiente, ambos resultados deben ser iguales para que sean consideradas fracciones equivalentes; por ejemplo; 1/2 y 2/4 son equivalentes porque 1 ÷ 2 = 0,5 y 2 ÷ 4 =0,5.
¡A practicar!

1. Determina si la fracción mostrada es propia o impropia.

a) \frac{23}{40}

Solución
Propia.

b) \frac{3}{2}

Solución
Impropia.

c) \frac{2}{5}

Solución
Propia.

d) \frac{12}{11}

Solución
Impropia.

2. Determina si las siguientes fracciones son homogéneas o heterogéneas.

a) \frac{7}{10} y \frac{9}{10}

Solución
Son fracciones homogéneas.

b) \frac{11}{6} y \frac{14}{9}

Solución
Son fracciones heterogéneas.

c) \frac{13}{4} y \frac{9}{4}

Solución
Son fracciones homogéneas.

d) \frac{58}{7} y \frac{58}{17}

Solución
Son fracciones heterogéneas.

3. ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a \frac{5}{2}?

a) \frac{2}{5}

b) \frac{10}{2}

c) \frac{52}{10}

d) \frac{15}{6}

Solución
d) \frac{15}{6}

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Clasificación de fracciones”

Este artículo destacado trata sobre las características principales de las fracciones y los diferentes criterios para clasificarlas. También se muestran una serie de ejemplos que facilitan su comprensión.

VER

Micrositio “Tarjetas educativas – Operaciones matemáticas”

En el siguiente micrositio se presentan las principales operaciones matemáticas, especialmente las operaciones básicas realizadas con fracciones.

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Video “Fracciones decimales”

Este video permite convertir números decimales en fracciones y con ello se puede establecer una relación con las fracciones propias.

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