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Operaciones básicas de los números naturales y sus propiedades

La matemática está constituida por numerosos tipos de operaciones, sin embargo, existen 4 operaciones básicas que todo individuo debe conocer. Estas operaciones son: la suma, la resta, la multiplicación y la división. A continuación estudiaremos las propiedades de dichas operaciones.

Operaciones básicas de la matemática.
Operaciones básicas de la matemática.

Propiedades de la suma

  • Propiedad asociativa: en esta propiedad, al sumar tres o más números, el resultado es el mismo sin importar el orden en el que se agrupan los sumandos.

{\color{Red} \left ( 2+7 \right )}+3={\color{Red} 9}+3=\mathbf{12}

2+{\color{Red} \left ( 7+3 \right )}=2+{\color{Red} 10}=\mathbf{12}

Así que:

\left ( 2+7 \right )+3=2+\left ( 7+3 \right )=\mathbf{12}

  • Propiedad conmutativa: en esta propiedad, al sumar dos o más números, el resultado es el mismo sin importar el orden de los sumandos, es decir, el orden de los sumandos no altera el resultado.

5+8=\mathbf{13}

8+5=\mathbf{13}

Así que:

5+8=8+5=\mathbf{13}

  • Elemento neutro: el elemento neutro de la suma es el cero. La suma de cualquier número y cero da como resultado el mismo número.

9+0=\mathbf{9}

Símbolos de suma y resta.
Símbolos de suma y resta.

Propiedades de la resta

  • Elemento neutro: el elemento neutro de la resta es el cero. La resta de cualquier número y cero da como resultado el mismo número.

15-0=\mathbf{15}

  • Elemento simétrico: restar un número con su opuesto, es decir, un número con el mismo valor, produce como resultado el elemento neutro de la resta 0.

15-15=\mathbf{0}

Propiedades de la multiplicación

  • Propiedad asociativa: al multiplicar tres o más números, el resultado es el mismo sin importar como se agrupen o efectúen los factores.

{\color{Red} (3\times4 )}\times 5={\color{Red} 12}\times 5=\mathbf{60}

3\times {\color{Red} (4\times 5)}=3\times {\color{Red} 20}=\mathbf{60}

Entones:

(3\times4 )\times5=3\times(4\times5)=\mathbf{60}

  • Propiedad conmutativa: al multiplicar dos números, el resultado es el mismo sin importar el orden de los multiplicandos, es decir, el orden de los factores no altera el producto.

9\times7=\mathbf{63}

7\times9=\mathbf{63}

Entonces:

9\times7=7\times9=\mathbf{63}

  • Elemento neutro: el elemento neutro de la multiplicación es el uno. La multiplicación de cualquier número y uno da como resultado el mismo número.

18\times1=\mathbf{18}

  • Propiedad distributiva: al multiplicar un número por una suma o una resta, se multiplica el número por cada uno de los elementos contenidos en el paréntesis y luego se suma o resta según sea el caso.

5\times (3{\color{Red} +}4)=(5\times3){\color{Red} +}(5\times4)=15+20=\mathbf{35}

6\times(5{\color{Red} -}2)=(6\times5){\color{Red} -}(6\times2)=30-12=\mathbf{18}

Tablas de multiplicar.
Tablas de multiplicar.

Propiedades de la división

  • Cuando se dividen dos números naturales o enteros, el resultado no siempre es otro número natural o entero, es decir, la división no es una operación interna de este tipo de números.

10\div 4=\boldsymbol{\mathbf{}2,5}

  • Cuando se intercambian de lugar el divisor con el dividendo no se obtiene el mismo resultado, es decir, la división no es una operación conmutativa.

10\div 4\neq 4\div 10

Porque:

10\div 4=\boldsymbol{\mathbf{}2,5}

4\div 10=\mathbf{0,4}

  • Como consecuencia de que no existe ningún cociente que multiplicado por cero sea igual al dividendo, no se puede dividir por dicho número.
  • Una división es exacta si el dividendo es igual al divisor por el cociente, y es entera si el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

→ División exacta

Donde:

20 = dividendo

4 = divisor

5 = cociente

0 = resto

 

→ División entera

Donde:

19 = dividendo

5 = divisor

3 = cociente

4 = resto

¡A practicar!

  • Resuelve las siguientes operaciones aplicando las propiedades necesarias:

a) 3\times(6+5)

b) 7+0

c) 6\times(3\times2)

d) 12\div 4

e) 24\times1

f) 35-35

g) 10+15

h) (1+2)+3

i) 8\times(4-2)

j) 15\div 3

k) 18\times1

l) 24-0

m) 9+(8+5)

n) 25\div 4

o) (8\times1)\times4

 

Soluciones

a) 33 | b) 7 | c) 36 | d) 3 | e) 24 | f) 0 | g) 25 | h) 6 | i) 16 | j) 5 | k) 18 | l) 24 | m) 22 | n) 6, resto = 1 | o) 32

 

Propiedades y nomenclatura de aminas

Las aminas son compuestos orgánicos nitrogenados conocidos por su importancia a nivel biológico y medicinal. Ejemplo de ello es la serotonina, un neurotransmisor involucrado en diversos procesos de tipo afectivo a nivel del sistema nervioso central.

Las aminas son compuestos orgánicos derivados del amoniaco, conformados por uno o más grupos alquilo o arilo enlazados al átomo de hidrógeno mediante un enlace simple.


En función del número de grupos alquilo o arilo unido al nitrógeno las aminas se clasifican en:

Amina primaria: están constituidas por un grupo amino unido a un sustituyente alquilo o arilo (R- NH2).

Amina secundaria: están formadas por dos grupos alquilo o arilo (R-NH-R´) unidos al átomo de hidrógeno.


Amina terciaria: tienen tres grupos alquilo o arilo unidos al nitrógeno (NR3).


IMPORTANCIA BIOLÓGICA DE LAS AMINAS

En el cuerpo humano hay diferentes aminas que cumplen funciones vitales en el organismo, entre las cuales se encuentran:

Histamina: es la sustancia responsable de las reacciones típicas de la alergia como la dilatación de los vasos sanguíneos, también es un importante neurotransmisor.

Niacina: es una vitamina que ayuda al buen funcionamiento de órganos como la piel, además interviene en procesos del sistema digestivo y nervioso.

Dopamina: es un neurotransmisor del sistema nervioso central y periférico.

PROPIEDADES DE LAS AMINAS

Las propiedades de las aminas están asociadas a su estructura química y la forma en que ésta determina las interacciones moleculares. En general, las aminas son polares y presentan interacciones del tipo dipolo-dipolo, además, aquellas que contienen enlaces de N-H pueden interactuar mediante enlaces de hidrógeno. Debido a que el nitrógeno es menos electronegativo que el oxígeno presente en los alcoholes (R-OH), los puentes de hidrógeno en las aminas son más débiles y por tanto sus puntos de ebullición suelen ser menores a los de los alcoholes de igual masa molecular.

¿Sabías que incluso las aminas terciarias pueden interaccionar con otras moléculas que formen enlaces de hidrógeno? Esto debido al par de electrones libre del nitrógeno.

En cuanto a la solubilidad, las aminas con menos de siete átomos de carbono son solubles en agua, propiedad que disminuye al aumentar el número de carbonos.

Las aminas se comportan como bases débiles en presencia de un ácido, tal como muestra el siguiente ejemplo:


AMINAS MEDICINALES

En la medicina hay drogas o fármacos que pertenecen al grupo de las aminas, como son los antihistamínicos recetados en los casos de alergias y gripes, también la morfina administrada en dosis pequeñas a pacientes que sufren dolor crónico y agudo.

Sin embargo, algunas aminas como la cocaína, la nicotina y la metanfetamina generan adicción y demás efectos negativos sobre el sistema nervioso central y la salud en general.

¿Sabías que el nombre de vitaminas se debe a que inicialmente se creía dichas biomoléculas eran todas aminas?

NOMENCLATURA DE AMINAS

Las aminas se nombran como alcanoaminas o alquilaminas, es decir, se nombran utilizando el nombre del alcano o sustituyente alquilo, respectivamente. En ambos casos se utiliza la terminación –amina.


En aquellos casos donde hay más de un sustituyente se deben nombrar en orden alfabético, así mismo, si alguno de estos se repite varias veces se utilizan los prefijos de cantidad: di, tri y tetra, entre otros.


También es posible nombrar los sustituyentes empleando la letra N como localizador, siempre que los sustituyentes estén unidos al átomo de nitrógeno.


En compuestos donde la prioridad corresponde a otra función química, las aminas se nombran empleando el término amino- precedido por el localizador.


SALES CUATERNARIAS

Las sales cuaternarias se forman cuando una amina reacciona con un ácido. Se utilizan como producto de limpieza y en medicamentos, ya que son más estables y resistentes que las aminas de las cuales provienen.



¡Aplica lo aprendido!

Indica el nombre del siguiente compuesto.


  1. Enumera la cadena carbonada más larga.

  1. Identificar los sustituyentes.

  1. Nombrar el compuesto.

Teoría Cinético Molecular

Todas las partículas tienen energía que varía de acuerdo a la temperatura de la muestra, lo que determina si la sustancia es un sólido, un líquido o un gas. Las partículas sólidas tienen la menor cantidad de energía, mientras que las partículas de gas poseen la mayor cantidad.

¿En qué consiste esta teoría?

La teoría cinética de la materia afirma que ésta se compone de un gran número de pequeñas partículas o moléculas individuales que están en constante movimiento. Ayuda a explicar el flujo o transferencia de calor y la relación entre la presión, la temperatura y las propiedades del volumen.

¿Sabías qué...?
La teoría cinética de la materia también es ilustrada por el proceso de difusión, donde se da el movimiento de partículas desde una alta concentración a una baja concentración.

Es un modelo utilizado para explicar el comportamiento de la materia y se basa en una serie de postulados:

  • La materia está hecha de partículas en constantemente movimiento.
  • La energía en movimiento se llama energía cinética y la cantidad en una sustancia está relacionada con su temperatura.
La materia puede existir en las fases sólida, líquida y gaseosa.
  • Hay espacio entre las partículas. El tamaño de este espacio está relacionado con el estado de la sustancia.
  • Los cambios de fase ocurren cuando la temperatura de la sustancia cambia lo suficiente.
  • Hay fuerzas de atracción entre las partículas llamadas fuerzas intermoleculares que aumentan a medida que dichas partículas se acercan.

 

Si hay un aumento de temperatura, los átomos y moléculas ganarán más energía y se moverán aún más rápido.

Propiedades de los líquidos

Una de las propiedades más notables de los líquidos es que son fluidos, es decir, pueden fluir. Los líquidos tienen un volumen definido, pero no una forma definida. El movimiento de las partículas está restringido en gran medida por el volumen del líquido.

Hay menos espacio entre las partículas que en los gases, pero hay más que en los sólidos. Las partículas líquidas también tienen relativamente más energía que las partículas sólidas, es lo que permite que los líquidos fluyan.

Las fuerzas intermoleculares en un líquido dependen de la composición química del propio líquido.

La fuerza intermolecular se ve afectada por la cantidad de energía cinética en la sustancia; cuanta más energía cinética exista, más débil es la fuerza entre las moléculas. Los líquidos tienen más de esta energía que los sólidos, por lo que las fuerzas entre sus partículas tienden a ser más débiles.

Propiedades de los sólidos

Las sustancias sólidas tienen formas y volúmenes definidos. Las partículas sólidas tienen relativamente poca energía cinética y vibran en su lugar. Debido a esto, no pueden fluir como los líquidos. En los sólidos, el movimiento de partículas está completamente restringido dentro de un área pequeña, lo que ayuda al sólido a mantener su forma.

La energía cinética está determinada básicamente por la velocidad de cada partícula participante.

La mayoría de los sólidos están dispuestos en una estructura apretada, de manera ordenada y repetitiva de partículas llamada red cristalina. La forma del cristal muestra la disposición de éstas en el sólido.

Algunos sólidos no tienen forma cristalina y son llamados sólidos amorfos porque no tienen estructuras internas ordenadas. Ejemplos de sólidos amorfos son el caucho, el plástico, la cera y el vidrio.

Los sólidos se pueden moldear en cualquier forma.

Propiedades de los gases

La teoría cinética explica la temperatura, la presión y el volumen de un gas en términos del movimiento de moléculas.

Según esta teoría, los gases están formados por partículas diminutas que se encuentran en movimiento aleatorio y además experimentan colisiones entre sí y con las paredes del contenedor, pero de lo contrario no interactúan.

En un medio gaseoso el espacio entre las partículas es muy grande, esto da como resultado la ausencia de fuerzas atractivas o repulsivas entre las moléculas.

En la teoría cinética se hacen las siguientes suposiciones acerca de los gases ideales:

  • El gas contiene un gran número de moléculas idénticas.
  • Las colisiones entre moléculas son perfectamente elásticas, al igual que las moléculas y las paredes del contenedor.
  • El tiempo de colisión es insignificante en comparación con el tiempo transcurrido entre las colisiones.
  • Las moléculas no se atraen entre sí si no hay fuerzas intermoleculares.
  • Las moléculas están en constante movimiento al azar.
  • El volumen de las moléculas es despreciable en comparación con el volumen del gas o el recipiente.
  • Las leyes del movimiento de Newton pueden aplicarse a las moléculas
  • La energía cinética media de una colección de partículas de gas depende de la temperatura del gas y nada más.
Plasma

Los plasmas son gases ionizados que en su forma natural son poco comunes en la Tierra. Se pueden observar en cosas artificiales, como letreros de neón y bombillas fluorescentes. Pero en el resto del universo el plasma es la fase más común de la materia. La mayoría de las estrellas son de plasma, al igual que las luces del norte que se ven alrededor de las regiones polares.

 

Propiedades y nomenclatura de ésteres

Los ésteres son compuestos orgánicos oxigenados que contienen un carbonilo unido a un grupo alcoxido y un grupo alquilo o arilo. Éstos se obtienen a partir de ácidos carboxílicos, por lo cual se conocen como derivados de los mismos.

Los ésteres (R-COOR) son compuestos estructuralmente relacionados a los ácidos carboxílicos (R-COOH), ya que la formación del éster requiere la sustitución del grupo –OH del ácido por un grupo –OR´.

Esterificación

La esterificación es una reacción a partir de la cual se pueden obtener ésteres. Para ellos se hace reaccionar un acido carboxílico con un alcohol para formar el éster más agua, generalmente se emplea un acido fuerte como catalizador.

PROPIEDADES DE LOS ÉSTERES

Los ésteres de baja masa molecular se caracterizan por ser líquidos con aromas agradables, conforme la masa molecular aumenta, lo esteres tienden a ser sólidos a temperatura ambiente e inodoros.

La solubilidad de los esteres en agua disminuye conforme aumenta la cadena carbonada.

Por otro lado, sus puntos de ebullición suelen ser más bajos que el del ácido del cual deriva cada uno debido a que la presencia de un grupo alquilo o arilo en lugar del hidrógeno dificulta la formación de enlaces de hidrógeno.

Aroma a ésteres

Una de las características de los esteres está relacionado a su aroma, el cual es responsable del olor de algunas frutas y flores. Por ello se utilizan en la industria de las fragancias y perfumes.

El plátano debe su aroma al etanoato de pentilo.
El pentoanato de pentilo es el responsable del olor a manzana.
El albaricoque es un aroma asociado al butanoato de pentilo.
El olor a frambuesa se debe al octanoato de heptilo.

NOMENCLATURA DE ÉSTERES

Además de las regla generales de nomenclatura, la IUPAC determinó una serie de reglas específicas para los ésteres, las cuales se detallan a continuación.

¡Recuerda!

Las normas generales de nomenclatura orgánica son:

  1. Seleccionar la cadena principal, ésta siempre es la más larga y la que contiene el grupo funcional de mayor prioridad.
  2. Enumerar la cadena principal, para lo cual se asigna la numeración más baja posible al grupo funcional principal y a los sustituyentes e insaturaciones presentes en la estructura.
  3. Identificar y nombrar los sustituyentes presentes.
  4. Los sustituyentes se nombran en orden alfabético, en casos donde los sustituyentes se encuentran repetidos se utilizan prefijos de cantidad que no son considerados al momento de ordenar, por ejemplo: di = 2, tri = 3, tetra = 4, penta = 5, hexa = 6 y así sucesivamente.

 

  1. Los ésteres se nombran como sales del ácido carboxílico del cual provienen. Para ello se sustituye la terminación –oico por el sufijo –oato, luego se coloca el nombre del sustituyente alquilo o arilo unido al átomo de oxígeno, dichos nombres deben estar separados por la palabra “de”.

– Ejemplo:

  1. En compuestos donde el grupo éster se encuentra como sustituyente, por ejemplo en ácidos carboxílicos y anhídridos ácidos, se emplea el nombre del alcoxido correspondiente seguido de la palabra carbonil.
  • Ejemplo:

 

Algunos medicamentos son ésteres, por ejemplo la aspirina.
  1. En aquellos compuestos donde el grupo éster está unido a un ciclo se considera como cadena principal al ciclo, cuyo nombre va seguido de la terminación –carboxilato de alquilo, donde el nombre del alquilo dependerá del número de carbonos.
  • Ejemplo:

 

¿Sabías qué...?
Los ésteres cíclicos reciben el nombre de lactonas

 

Valerolactona

Ejemplo:

Nombre el siguiente compuesto:

Paso 1: reconocer el ácido del cual proviene el éster, luego se elimina la palabra ácido y se sustituye el sufijo –ico por -ato.

Paso 2: reconocer y nombrar el grupo alquilo unido al oxigeno.

Paso 3: escribir el nombre completo del compuesto.