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CAPÍTULO 3 / TEMA 5

PORCENTAJES

Los porcentajes son expresiones matemáticas que sirven para relacionar dos cantidades. Se emplean en diferentes situaciones como, por ejemplo, los descuentos. Están estrechamente relacionados con los números fraccionales, porque se emplean para representar una fracciones de denominador igual a 100. 

¿qUÉ ES UN PORCENTAJE?

Un porcentaje, al igual que una fracción, es una forma de indicar una parte de un todo. Los porcentajes se utilizan a diario, por ejemplo, en los siguientes casos:

  • El 30 % de los vuelos proviene de Europa.
  • El 40 % de las personas en la fiesta eran hombres y el 60 % eran mujeres.
  • El 60 % de la población mundial tiene acceso a Internet.

Esto quiere decir que:

  • De cada 100 vuelos, 30 proviene de Europa.
  • De cada 100 personas que había en la fiesta, 40 eran hombres y 60 eran mujeres.
  • De cada 100 personas, 60 tienen acceso a Internet.

Como vemos, el número 100 está presente en todos los casos como referencia. Esto sucede porque el porcentaje representa a una fracción decimal cuyo denominador es 100. Entonces, el número que utilizamos para indicar el porcentaje corresponde al numerador, y el denominador es siempre 100:

  • 20 % = 20/100
  • 60 % = 60/100
  • 33 % = 33/100
Un porcentaje, al igual que una fracción, es una forma de indicar una parte de un todo. Los porcentajes representan una fracción decimal cuyo denominador es 100. Se utiliza frecuentemente en la estadística para distinguir a ciertas porciones del total con respecto a otras. Por ejemplo, en esta imagen vemos un gráfico que divide al total en cuatro partes,  la porción más grande representa el 45 %, mientras que las otras representan el 20 %, el 10 % y el 25 % del total.

Símbolo de porcentaje

El símbolo que utilizamos para indicar un porcentaje es “%” y se lee “por ciento“. Podemos observar algunos ejemplos a continuación:

  • 100 % = “cien por ciento”.
  • 80 % = “ochenta por ciento”.
  • 44 % = “cuarenta y cuatro por ciento”.
  • 30 % = “treinta por ciento”.
El símbolo que utilizamos para indicar un porcentaje es %. Cuando un número está acompañado de dicho símbolo se trata de una expresión de este tipo. Por ejemplo, 100 % se lee “cien por ciento”. Los porcentajes también se utilizan en la economía para indicar los aumentos de precios, el crecimiento de las acciones de una empresa y la inflación de un país.

¿Sabías qué?
El agua constituye el 98 % de un melón, el 80 % de un pez y el 70 % de un ser humano.

Cálculo de porcentaje

Para calcular el porcentaje de una cantidad dada se deben seguir los siguientes pasos:

  1. Multiplicar el porcentaje por la cantidad conocida.
  2. Dividir el resultado obtenido entre cien.
  3. Escribir el resultado final.

Por ejemplo:

1. Calcular el 30 % de  60.

Para calcula cuánto es el 30 % de 60 se deben multiplicar ambos números y luego dividir el resultado entre cien de la siguiente forma:

\frac{30\times 60}{100}=\frac{1.800}{100}=18

En este caso el 30 % de 60 es 18.

2. ¿Cuánto es el 20 % de $ 150?

\frac{20\times 150}{100}=\frac{3.000}{100}=30

El 20 % de $ 150 son $ 30.

¿Cómo determinar qué porcentaje se aplicó?

Hay ocasiones en las que necesitamos calcular cuál es el porcentaje aplicado. Esto es muy útil cuando se va a realizar una compra. Por ejemplo, si un pantalón tiene un precio de $ 120 y el descuento es de $ 12, ¿Cuál es el porcentaje de descuento que se le aplicó?

En este caso se debe multiplicar el descuento por 100 y luego dividir el resultado entre el precio del pantalón que es $ 120:

\frac{12\times 100}{120}=\frac{1.200}{120} = 10\, %

El porcentaje de descuento en este caso fue del 10 %, es decir,  $ 12 representa el 10 % de $ 120.

Relación de porcentaje y fracción

Tanto los porcentajes como las fracciones son formas de representar una parte de un todo. Entonces, podemos convertir un porcentaje en una fracción y viceversa.

Convertir fracción a porcentaje

Para convertir cualquier fracción a porcentaje, debemos dividir el numerador con el denominador, y luego multiplicar dicho resultado por cien. Al número obtenido le agregamos siempre el símbolo de porcentaje (%) para indicar que nos referimos a un porcentaje. Por ejemplo, si convertimos 3/5 en porcentaje tenemos que:

Convertir porcentaje a fracción

En este caso, debemos colocar el porcentaje en el numerador de la fracción y agregar 100 como denominador. Luego, simplificamos hasta obtener una fracción irreducible. Por ejemplo, para convertir 20 % a fracción:

La fracción 20/100 se puede simplificar a 1/5 al dividir tanto al numerador como al denominador entre 5.

Los porcentajes y las fracciones son formas de representar una parte de un total. Entonces, podemos convertir tanto los porcentaje a fracciones como las fracciones a porcentajes. Los porcentajes son muy utilizados en las ofertas, para indicar el descuento sobre el total. Mientras mayor sea el porcentaje, mayor será el descuento.

¡A practicar!

1. ¿Cuánto es el 15 % de 300?

a) 150
b) 45
c) 100
d) 30

SOLUCIÓN
b) \frac{15\times 300}{100}=\frac{4.500}{100}=45

2. Convierte los siguientes porcentajes en fracciones.

a) 25 %
b) 35 %
c) 40 %
d) 90 %

SOLUCIÓN

a) \frac{1}{4}

b) \frac{7}{20}

c) \frac{2}{5}

d) \frac{9}{10}

3. Convierte las siguientes fracciones a porcentaje.

a) \frac{4}{5}

b) \frac{1}{2}

c) \frac{7}{50}

d) \frac{1}{4}

RESPUESTAS

a) 80 %
b) 50 %
c) 14 %
d) 25 %

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Porcentajes”

En este artículo se explican las características de los porcentajes y los diferentes métodos para calcularlos, como la regla de tres simple.

VER

Artículo “Porcentaje y proporcionalidad. Descuentos y recargos”

En este artículo se explican algunas aplicaciones de los porcentajes, como los descuentos y las recargas.

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CAPÍTULO 3 / TEMA 3

Gráficas de fracciones

Las gráficas son recursos visuales que permiten representar datos numéricos, como las fracciones. En este tipo de problemas podemos usar gran variedad de figuras para expresar una fracción de manera más sencilla, y así facilitar su interpretación. Los pasos para poder graficar una fracción dependen de su tipo.

Graficar una fracción propia

Podemos expresar fracciones a través de diagramas, pero para comprender cómo realizar un gráfico es importante recordar que una fracción es la representación de una o varias partes iguales de la unidad, donde:

El denominador representa el número de partes que se dividen de la unidad.

El numerador es el número de partes que se toman o se consideran de la unidad.

Toda fracción propia cumple una condición: el numerador siempre es menor que el denominador.

Pasos para graficar una fracción propia

  1. Elige la figura en la que se va a representar la fracción. Puede ser un triángulo, círculo, cuadrado, rectángulo, etc.
  2. Divide la figura elegida en tantas partes como indique el denominador de la fracción. Todas las partes deben ser iguales.
  3. Señala el número de partes que indique el numerador de la fracción.

– Grafica la fracción \frac{3}{4}

La figura que seleccionaremos en este caso será un triángulo, pero recuerda que puede ser cualquier figura. Como el denominador de la fracción es cuatro (4), la figura debe estar dividida en cuatro partes iguales:

Luego señalamos el número de partes que indique el numerador, en este caso serían tres (3) partes:

De manera gráfica es más fácil entender la representación de la fracción “tres cuartos”.

Otros ejemplos:

¿Sabías qué?
Las fracciones no solo pueden representarse con figuras geométricas, también lo pueden hacer en la recta numérica.

¿Cómo graficar fracciones cuyo numerador es igual al denominador?

A este tipo de fracción se lo denomina fracción igual la unidad porque, al ser iguales el numerador y el denominador, el cociente de ambos siempre va a ser uno (1). Por esta razón la representamos como toda la figura geométrica:

VER INFOGRAFÍA

Graficar una fracción impropia

En las fracciones impropias el numerador siempre es mayor al denominador y, como su resultado es mayor a la unidad, se requiere más de una figura geométrica para representarlas.

Pasos para graficar una fracción impropia

  1. Elige la figura en la que se va a representar la fracción.
  2. Divide la figura elegida en tantas partes como indique el denominador de la fracción. Todas las partes deben ser iguales.
  3. Señala el número de partes que indique el numerador de la fracción. Como es una fracción impropia van a faltar partes para señalar.
  4. Realiza tantas figuras geométricas hasta que el número de partes del numerador pueda ser señalado.

– Grafica la fracción \frac{10}{6}

Primero se divide la figura en 6 partes iguales:

Como el numerador es igual a 10, nos hace falta otra figura idéntica para completar las 10 partes que se van a seleccionar. Recuerda que se pueden agregar tantas figuras como sean necesarias hasta poder representar el número de partes del numerador.

Como las fracciones impropias tienen el numerador mayor al denominador, siempre van a estar representadas con más de una figura, porque representan a “algo” mayor que la unidad. Por esta razón, las fracciones de este tipo también pueden representarse como números mixtos. Por ejemplo la fracción 10/6 en número mixto se representa como 1 4/6.

 

Problemas cotidianos

Expresiones como “un cuarto de hora”, “media taza de té”, “tres cuartas partes de la población”, son algunos ejemplos en los que se emplean las fracciones dentro del lenguaje cotidiano. Por eso es común encontrarnos con fracciones y resolver problemas habituales. Algunos ejemplos son los siguientes:

– En una escuela solo la cuarta parte de los estudiantes practica fútbol, ¿cuál sería la representación gráfica de esa proporción?

Las expresión “cuarta parte” hace referencia a la fracción un cuarto: \frac{1}{4}. Entonces, lo que debemos hacer es graficar dicha fracción y responder así la interrogante del problema:

– En una fiesta compraron 3 pizzas del mismo tamaño que estaban cortadas en 4 partes iguales cada una. Uno de los invitados se comió una de las porciones, ¿cómo se puede expresar en forma de fracción al número de porciones de pizza que quedaron?

Lo primero que tenemos que hacer es imaginarnos las pizzas con el número total de porciones:

De la imagen determinamos que originalmente habían 12 porciones. Luego tenemos que imaginar cuántas porciones quedaron después de que el invitado se comiera una de ellas:

La imagen anterior representaría la gráfica del problema, ahora lo que debemos hacer es determinar la fracción de ella. Recordemos que el denominador es el número en el que se divide la unidad, en este caso la unidad es cada pizza y cada una de ellas está cortada o dividida en cuatro porciones, por lo tanto, el denominador es 4.

Como el numerador es el número de partes que se considera de la unidad, en este caso serían las porciones que quedaron, por lo tanto, el numerador es 11.

De esta manera se concluye que quedaron \frac{11}{4} de porciones de pizza.

Observa que \frac{11}{4} es una fracción impropia y por eso la unidad (la pizza) fue graficada más de una vez.

¡A practicar!

1. ¿Qué fracción representan las siguientes gráficas?

a)

Solución
\frac{2}{6}
b) 
Solución
\frac{3}{4}
c) 
Solución
\frac{5}{7}
d) 
Solución
\frac{2}{4}
e) 
Solución
\frac{7}{3}
e) 
Solución
\frac{2}{2}

2. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa al siguiente gráfico?


a) Un quinto de taza de café.
b) Cinco medios de cucharadas de azúcar.
c) Tres medios de harina.
d) Tres quintas partes de agua.
e) Dos terceras partes de vinagre.

Solución
d) Tres quintas partes de agua \left ( \frac{3}{5} \right ).

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Fracciones”

El presente artículo destacado explica los elementos de una fracción y la forma de graficarlas de acuerdo a sus tipos. También presenta una serie de ejemplos que facilitan su comprensión.

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Enciclopedia “Recursos para docentes”

La enciclopedia muestra algunas herramientas para ayudar el proceso de aprendizaje de los estudiantes en todas las áreas de estudio.

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