CAPÍTULO 6 / TEMA 1

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS

Habrás observado que muchas veces la información en los medios de comunicación está acompañada por una variedad de gráficos. Los gráficos son representaciones visuales de un conjunto de datos; por ejemplo, la cantidad de habitantes de cada ciudad del país o el porcentaje del crecimiento interanual de una economía. Son muy efectivos para mostrar relaciones entre diferentes valores y permiten comprender fácilmente distintas situaciones de la realidad.

Es frecuente encontrar gráficos en los análisis estadísticos que refuercen de forma visual la información necesaria. Estas representaciones se adaptan en cada caso a aquello que se busca transmitir y al objetivo de la investigación. Dichos resultados se presentan de forma rápida, directa, atractiva y comprensible para un conjunto amplio de personas.

LOS DATOS Y LAS GRÁFICAS

Un dato no es más que una información que permite describir alguna característica de una situación de estudio. Este puede ser un número, una palabra o cualquier símbolo. Si un dato describe una cualidad se dice que es cualitativo, pero si señala una cantidad se llama cuantitativo. Por ejemplo:

Datos cualitativos

Datos cuantitativos

– Profesión: {médico, policía, ingeniero}

– Color de ojos: {negro, azul, verde, marrón}

– Estado civil: {soltero, casado, viudo}

– Edad: {10 años, 11 años, 13 años}

– Peso: {40 kg, 37 kg, 41 kg}

– Cantidad de hermanos: {1, 3, 4}

Cuando tenemos una cantidad numerosa de datos recurrimos a las tablas. Allí, organizamos en filas y columnas los valores obtenidos y luego los clasificamos de acuerdo a los objetivos de la investigación. Posteriormente graficamos la información, pues estas gráficas brindan una mayor rapidez en la comprensión de los datos porque los presentan de forma clara, organizada y llamativa.

– Ejemplo:

30 personas fueron encuestadas acerca de cuál era su fruta favorita. Las respuestas obtenidas fueron las siguientes:

Manzana	Pera	Ananá	Ananá	Naranja	Naranja
Banana	Fresa	Naranja	Manzana	Naranja	Manzana
Naranja	Durazno	Manzana	Ananá	Naranja	Pera
Banana	Fresa	Banana	Fresa	Manzana	Fresa
Ananá	Naranja	Manzana	Ananá	Naranja	Banana

Con estos datos podemos realizar una tabla que muestre la frecuencia o al cantidad de veces que cada fruta se repite.

Fruta	Frecuencia
Manzana	6
Banana	4
Naranja	8
Pera	2
Ananá	5
Fresa	4
Durazno	1
Total	30

Si bien los datos se ven claramente en esta tabla, podemos graficarlos para que sea aún más sencillo visualizar cuáles son las frutas más o menos preferidas por este grupo de personas.

Elementos de los gráficos

Existen diferentes tipos de gráficos y la selección dependerá de la información que se quiera mostrar, sin embargo todos los gráficos tienen algunos elementos en común:

Título: todo gráfico debe tener un título para saber rápidamente de qué se trata. El mismo se ubica en la parte superior de la gráfica, debe ser claro, breve e informar sobre el contenido del cuadro.
Cuerpo: el cuerpo varía en función al estilo de gráfico que se seleccione, entre los más usados se encuentran el lineal, el de barras y el circular.

VER INFOGRAFÍA

TIPOS DE GRÁFICOS

Gráficos de barras

En este tipo de gráficos se construyen barras cuyas longitudes permiten comparar las categorías, observar los diferentes valores y obtener información con respecto a lapsos de tiempo. Las variables estudiadas se colocan en el eje horizontal y las frecuencias se colocan en el eje vertical, luego ubicamos los puntos y trazamos barras verticales para cada variable.

– Ejemplo:

Esta gráfica muestra la cantidad de hombres y mujeres en cada grado de un colegio.

Con esta gráfica vemos de forma muy clara la cantidad de hombres y mujeres que hay en cada grado. Nota que las barras de colores azul corresponden a los hombres y las barras de color naranja corresponden a las mujeres.

De acuerdo a la tabla, el grado con mayor cantidad de hombres es 6º (20), y el grado con menor cantidad de hombres es 1º (9).

¡Es tu turno!

Realiza la tabla de datos de acuerdo a la gráfica anterior.

Solución

Grado	Hombres	Mujeres	Total
1º	9	11	20
2º	10	15	25
3º	14	14	28
4º	15	17	32
5º	14	10	24
6º	20	11	31
7º	18	15	33
Total	100	93	193

¿Sabías qué?

Los gráficos de barras pueden ser verticales, horizontales, agrupados o apilados.

Gráficos lineales

Los gráficos lineales, también llamados gráficos poligonales, se representan en un plano (dos dimensiones) mediante el uso de un sistema de coordenadas. Para construirlos basta con ubicar los puntos en el plano y luego unirlos por medio de líneas.

– Ejemplo:

Con los mismos datos del ejemplo anterior en el que realizamos un gráfico de barras podemos dibujar un gráfico lineal.

Gráficos circulares

También son conocidos como gráficos de torta o pastel. Se usan para comparar porcentajes con respecto a un total de datos. Son útiles cuando deseas mostrar una sola serie de datos, por ejemplo, el sexo de la población. Para hallar los porcentajes parciales se dividen los 360° del círculo de acuerdo a los valores dados.

– Ejemplo:

La siguiente tabla muestra la cantidad de huéspedes en un hotel según su nacionalidad:

Nacionalidad	Cantidad de turistas
Colombiana	12
Argentina	23
Chilena	5
Venezolana	15
Italiana	18
Total	73

Es normal colocar los valores de porcentajes en los gráficos de este tipo, para calcularlos solo dividimos la cantidad de cada nacionalidad entre el total de turista. Luego multiplicamos por 100. La suma de todos los porcentajes debe ser igual a 100 %.

Nacionalidad	Cantidad de turistas	Porcentaje
Colombiana	12	(12/73) × 100 = 16,44 %
Argentina	23	(23/73) × 100 = 31,50 %
Chilena	5	(5/73) × 100 = 6,85 %
Venezolana	15	(15/73) × 100 = 20,55 %
Italiana	18	(18/73) × 100 = 24,66 %
Total	73	100 %

Ahora, para ilustrar los datos en un círculo multiplicamos la fracción de cada nacionalidad por 360°. La suma de todos los grados debe ser igual a 360°. Por conveniencia redondeamos a la unidad cada producto.

Nacionalidad	Cantidad de turistas	Grados
Colombiana	12	(12/73) × 360° = 59,18° ≈ 59°
Argentina	23	(23/73) × 360° = 113,42° ≈ 113°
Chilena	5	(5/73) × 360° = 24,66° ≈ 25°
Venezolana	15	(15/73) × 360° = 73,97° ≈ 74°
Italiana	18	(18/73) × 360° = 88,77° ≈ 89°
Total	73	360°

De ese modo, tras dibujar la circunferencia, medimos con el transportador los grados correspondientes a cada porción y anotamos el porcentaje redondeado que lo representa.

¿Qué es una muestra?

Se denomina población al conjunto de elementos estudiados, es decir, al total. Una muestra es una parte de esa población, es decir, es una porción seleccionada que resulta representativa del conjunto. Se toman muestras cuando la población que se quiere estudiar es muy amplia e inabarcable, entonces se decide realizar una selección estratégica que recorte la cantidad de individuos a estudiar y que mantengan los rasgos representativos de toda la población analizada.

IMPORTANCIA DE REPRESENTAR DATOS EN GRÁFICOS

La estadística, entre otras cosas, se encarga de recopilar, analizar y sistematizar datos. Luego, debe comunicar la información generada en este proceso. La presentación de datos es uno de los aspectos mayormente utilizados en la estadística descriptiva. Los gráficos son muy importantes ya que posibilitan un abordaje dinámico, claro y entretenido.

En este sentido, los gráficos son una gran herramienta ya que permiten:

Registrar datos de manera clara y concreta.
Comunicar la información en forma sencilla.
Comprender la estructura del conjunto de datos.

La cartografía tiene como objetivo la concepción, redacción y realización de los mapas, es decir, la representación plana y simplificada de toda o de una parte de la superficie terrestre. Los mapas estadísticos o cartogramas son aquellos que presentan datos por regiones o zonas. Al igual que en un mapa topográfico, los colores y las tramas indican áreas que están en el mismo rango de valores.

¡A practicar!

Observa los gráficos y responde:

1. Marta vendió magdalenas durante toda la semana. La cantidad de magdalenas vendidas se muestra en el siguiente gráfico:

¿Cuántas magdalenas vendió Marta el lunes?
Solución
Vendió 10 magdalenas.

¿Cuál día vendió más magdalenas?
Solución
El martes.

¿Cuál día vendió menos magdalenas?
Solución
El domingo.

¿Cuántas magdalenas vendió durante la semana?
Solución
Vendió 68 magdalenas durante la semana.

¿Cuál día vendió solo 8 magdalenas?
Solución
El viernes.

2. Se hizo una encuesta sobre el deporte favorito de un grupo de estudiantes. Los resultados se muestran en este gráfico.

¿Cuál es el deporte favorito de la mayoría de encuestados?
Solución
El fútbol.

¿Qué porcentaje de encuestados prefiere el béisbol?
Solución
El 14 %.

¿Qué porcentaje de encuestados prefiere el baloncesto?
Solución
El 23 %.

¿Cuál es el deporte menos preferido por los encuestados?
Solución
El béisbol.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Gráficos estadísticos”

Con el siguiente artículo podrás ampliar tu conocimiento sobre tipos de gráficos estadísticos y sus funciones.

VER

Artículo “Lectura de gráficos”

En el siguiente artículo encontrarás ejemplos claros y explicados para abordar la interpretación y lectura de gráficos.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 6 (REVISIÓN)

FRACCIONES Y PORCENTAJES | REVISIÓN

LAS FRACCIONES Y SUS USOS

En toda fracción podemos distinguir dos partes principales: el numerador y el denominador, ambos se encuentran separados por una línea horizontal. El denominador indica en cuántas partes se divide la unidad y el numerador señala cuántas de esas partes se han de tomar. Las fracciones se pueden clasificar en propias, impropias y aparentes. Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador y representan un número menor a uno. Las fracciones impropias son la que tienen el numerador mayor que el denominador y representan a un número mayor a uno. Las fracciones aparentes son aquellas cuyo numerador es múltiplo de su denominador.

Además de la raya horizontal también podemos representar a las fracciones con una raya diagonal “/” o con el símbolo de las divisiones “÷”.

FRACCIONES EQUIVALENTES

Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad. Las fracciones equivalentes se pueden obtener por medio de dos métodos: amplificación y simplificación. Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero. Para obtenerlas por simplificación, debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero y que sea un divisor común entre ambos. Es importante recordar que las fracciones equivalentes se pueden utilizar para sumar y restar fracciones heterogéneas (que tienen distinto denominador).

OPERACIONES CON FRACCIONES

La suma y resta de fracciones depende del tipo de estas. En las fracciones homogéneas (mismo denominador) se suman o restan los numeradores y se conserva el mismo denominador. En las fracciones heterogéneas (diferente denominador) se debe multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el resultado se suma o se resta al producto del numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera, el número obtenido es el numerador de la fracción resultante; luego se multiplican ambos denominadores y el número obtenido corresponderá al denominador de la fracción resultante. Para la multiplicación se multiplican los numeradores y denominadores de forma lineal. Para la división, se debe multiplicar en forma de cruz: el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda es igual al numerador de la fracción resultante y el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera es igual al denominador de la fracción resultante.

Algunas fracciones se pueden simplificar, es decir, pueden expresarse en fracciones equivalentes más sencillas

FRACCIONES MIXTAS

Una fracción mixta o número mixto es una forma de representar a una cantidad compuesta por una parte entera y una parte fraccionaria. Para graficarla, dividimos al entero en tantas partes como indique el denominador de la parte fraccionaria. Luego, pintamos tantos enteros (completos) como indique el número entero de la fracción mixta. Por último, dibujamos otro entero y pintamos tantas partes de este como indique el numerador de la fracción mixta. Para transformar una fracción mixta a una fracción convencional, lo que se realiza es sumar la parte entera con la parte fraccionaria. Siempre se debe obtener una fracción impropia.

En este caso la parte entera de la fracción mixta es 2, y la parte fraccionaria es 1/3. Se lee “dos enteros y un tercio”.

PORCENTAJES

Un porcentaje, al igual que una fracción, es una forma de indicar una parte de un todo. Un porcentaje siempre representa a una fracción decimal cuyo denominador es 100. El símbolo que utilizamos para indicar un porcentaje es %. Para calcular el porcentaje de una cantidad conocida se multiplican ambos valores y se divide entre 100. Para convertir cualquier fracción a porcentaje, debemos dividir el numerador con el denominador, y luego multiplicar dicho resultado por cien. Por otro lado, para convertir un porcentaje a fracción, simplemente colocamos el porcentaje en el numerador y 100 como denominador, posteriormente se realiza una simplificación.

CAPÍTULO 3 / TEMA 5

PORCENTAJES

Los porcentajes son expresiones matemáticas que sirven para relacionar dos cantidades. Se emplean en diferentes situaciones como, por ejemplo, los descuentos. Están estrechamente relacionados con los números fraccionales, porque se emplean para representar una fracciones de denominador igual a 100.

¿qUÉ ES UN PORCENTAJE?

Un porcentaje, al igual que una fracción, es una forma de indicar una parte de un todo. Los porcentajes se utilizan a diario, por ejemplo, en los siguientes casos:

El 30 % de los vuelos proviene de Europa.
El 40 % de las personas en la fiesta eran hombres y el 60 % eran mujeres.
El 60 % de la población mundial tiene acceso a Internet.

Esto quiere decir que:

De cada 100 vuelos, 30 proviene de Europa.
De cada 100 personas que había en la fiesta, 40 eran hombres y 60 eran mujeres.
De cada 100 personas, 60 tienen acceso a Internet.

Como vemos, el número 100 está presente en todos los casos como referencia. Esto sucede porque el porcentaje representa a una fracción decimal cuyo denominador es 100. Entonces, el número que utilizamos para indicar el porcentaje corresponde al numerador, y el denominador es siempre 100:

20 % = 20/100
60 % = 60/100
33 % = 33/100

Un porcentaje, al igual que una fracción, **es una forma de indicar una parte de un todo**. Los porcentajes representan una fracción decimal cuyo denominador es 100. Se utiliza frecuentemente en la estadística para distinguir a ciertas porciones del total con respecto a otras. Por ejemplo, en esta imagen vemos un gráfico que divide al total en cuatro partes, la porción más grande representa el 45 %, mientras que las otras representan el 20 %, el 10 % y el 25 % del total.

Símbolo de porcentaje

El símbolo que utilizamos para indicar un porcentaje es “%” y se lee “por ciento“. Podemos observar algunos ejemplos a continuación:

100 % = “cien por ciento”.
80 % = “ochenta por ciento”.
44 % = “cuarenta y cuatro por ciento”.
30 % = “treinta por ciento”.

El símbolo que utilizamos para indicar un porcentaje es %. Cuando un número está acompañado de dicho símbolo se trata de una expresión de este tipo. Por ejemplo, 100 % se lee “cien por ciento”. Los porcentajes también se utilizan en la economía para indicar los aumentos de precios, el crecimiento de las acciones de una empresa y la inflación de un país.

¿Sabías qué?

El agua constituye el 98 % de un melón, el 80 % de un pez y el 70 % de un ser humano.

Cálculo de porcentaje

Para calcular el porcentaje de una cantidad dada se deben seguir los siguientes pasos:

Multiplicar el porcentaje por la cantidad conocida.
Dividir el resultado obtenido entre cien.
Escribir el resultado final.

Por ejemplo:

1. Calcular el 30 % de 60.

Para calcula cuánto es el 30 % de 60 se deben multiplicar ambos números y luego dividir el resultado entre cien de la siguiente forma:

$\frac{30\times 60}{100}=\frac{1.800}{100}=18$

En este caso el 30 % de 60 es 18.

2. ¿Cuánto es el 20 % de $ 150?

$\frac{20\times 150}{100}=\frac{3.000}{100}=30$

El 20 % de $ 150 son $ 30.

¿Cómo determinar qué porcentaje se aplicó?

Hay ocasiones en las que necesitamos calcular cuál es el porcentaje aplicado. Esto es muy útil cuando se va a realizar una compra. Por ejemplo, si un pantalón tiene un precio de $ 120 y el descuento es de $ 12, ¿Cuál es el porcentaje de descuento que se le aplicó?

En este caso se debe multiplicar el descuento por 100 y luego dividir el resultado entre el precio del pantalón que es $ 120:

$\frac{12\times 100}{120}=\frac{1.200}{120} = 10\, %$

El porcentaje de descuento en este caso fue del 10 %, es decir, $ 12 representa el 10 % de $ 120.

Relación de porcentaje y fracción

Tanto los porcentajes como las fracciones son formas de representar una parte de un todo. Entonces, podemos convertir un porcentaje en una fracción y viceversa.

Convertir fracción a porcentaje

Para convertir cualquier fracción a porcentaje, debemos dividir el numerador con el denominador, y luego multiplicar dicho resultado por cien. Al número obtenido le agregamos siempre el símbolo de porcentaje (%) para indicar que nos referimos a un porcentaje. Por ejemplo, si convertimos 3/5 en porcentaje tenemos que:

Convertir porcentaje a fracción

En este caso, debemos colocar el porcentaje en el numerador de la fracción y agregar 100 como denominador. Luego, simplificamos hasta obtener una fracción irreducible. Por ejemplo, para convertir 20 % a fracción: