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CAPÍTULO 5 / TEMA 3

plano, punto y segmento

El plano, el punto y la recta son conceptos abstractos, lo que quiere decir que no se definen; sin embargo, son los pilares fundamentales de la geometría. Un segmento es un fragmento de recta que se encuentra delimitadas entre dos puntos. Todos estos sistemas pueden representarse en sistemas de coordenadas que tienen diferentes aplicaciones.

¿qué es un plano?

Un plano es un conjunto infinito de puntos y rectas expresado en dos dimensiones. Por lo tanto, no tiene volumen ya que es una superficie bidimensional.

¿Cuándo se puede definir un plano?

Para definir un plano se necesita de alguno de los siguientes elementos geométricos:

  • Tres puntos no alineados.
  • Una recta y un punto exterior a ella.
  • Dos rectas no coincidentes.

sistema de coordenadas

Un sistema de coordenadas es la utilización de dos ejes cartesianos coincidentes en un punto denominado origen (0;0). Esta representación sirve para poder ubicar un punto o representación geométrica. Los ejes se representan como X, al eje de las abscisas, y como Y, al eje de las ordenadas.

Este sistema de coordenadas es uno de los más usados hoy en día y fue inventado el el siglo XVII por el filósofo y matemático francés René Descartes. En este sistema se emplea un plano cartesiano que funciona como un mapa en el cuál cada punto está relacionado a las coordenadas determinadas por dos rectas numéricas perpendiculares denominadas ejes.

¿Sabías qué?
En la astronomía se utilizan los sistemas de coordenadas para expresar la ubicación de forma correcta de planetas y estrellas.

VER INFOGRAFÍA

ubicación de puntos en el sistema de coordenadas

Para ubicar un punto en el sistema de coordenadas se debe especificar tanto la coordenada X como la Y. Un punto se representa con una letra mayúscula y presenta la siguiente estructura P(x;y). Para que se pueda ubicar en el sistema de coordenadas se utilizan los valores correspondientes a cada una de estas.

Los cuadrantes

En el sistema de coordenadas se puede hacer una distinción entre cuatro cuadrantes como se ve en la imagen. Ahí también se ven representados ambos ejes de coordenadas.

Los cuadrantes son utilizados comúnmente en la geometría para diferenciar la ubicación de diferentes ángulos:

  • El primer cuadrante estará comprendido entre 0º y 90º. Está formado por las cordenadas X positivas y las coordenadas Y positivas. Por ejemplo, el punto P(3;5) corresponde a este cuadrante.
  • El segundo cuadrante estará comprendido entre 90º y 180º. Está formado por las coordenadas X negativas y las coordenadas Y positivas. Por ejemplo, el punto F(−3;5) corresponde a este cuadrante.
  • El tercer cuadrante estará comprendido entre 180º y 270º. Está formado por las coordenadas X negativas y las coordenadas Y negativas. Por ejemplo, el punto H(−3;−5) corresponde a este cuadrante.
  • El cuarto cuadrante estará comprendido entre 270º y 360º. Está formado por las coordenadas X positivas y las coordenadas Y negativas. Por ejemplo, el punto M(3;−5) corresponde a este cuadrante.

Ejemplo de ubicación de puntos en el sistema de coordenadas

Ubicar en el sistema de coordenadas el punto P(3;5).

Para hacerlo se debe indicar primero cuál es el valor correspondiente a X y cuál es el valor correspondiente a Y:

X = 3, trazamos una línea vertical en el valor de 3 en el eje X.

Y = 5, trazamos una línea horizontal en el valor de 5 del eje Y.

La intersección de las dos rectas será el punto correspondiente.

La ubicación del punto P(3;5) se encuentra con la intersección de las rectas vertical y horizontal en los valores de X e Y correspondientes.

aplicación de los sistemas de coordenadas

Los sistemas de coordenadas tienen una gran cantidad de aplicaciones, no solo matemáticas. Estos se encuentran como representaciones de movimiento en física, como funciones de ingreso y egreso en contabilidad, o para representaciones de vida media en biología, entre otras cosas.

Funciones en sistemas de coordenadas

Una de las principales aplicaciones de los sistemas de coordenadas es la representación de funciones matemáticas. Estas son representaciones de Y en función de X. En la siguiente imagen, se muestran ejemplos de gráficas de funciones cuadráticas.

¡A practicar!

1. ¿A qué cuadrante corresponde cada uno de los siguientes puntos.
a) S(4;3)

Solución
Primer cuadrante.
b) T(1;−5)
Solución
Cuarto cuadrante.
c) D(−2;−8)
Solución
Tercer cuadrante.
d) R(−1;7)
Solución
Segundo cuadrante.

2. ¿Cuántas coordenadas se necesitan para representar un punto?

Solución
Dos

3. ¿Quién inventó el sistema de coordenadas?

Solución
René Descartes

4. ¿Cómo se denominan a los ejes de coordenadas cartesianas?

Solución
Eje X y eje Y.

5.Ubicar en el mismo sistema de coordenadas los siguientes puntos

a) A(−2;3)
b) B(0;1)
c) C(4;-2)

RESPUESTAS

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ejes cartesianos”

En este artículo se explica de manera muy didáctica la forma de ubicar puntos en el sistema de coordenadas. Además hay un complemento teórico sobre los ejes cartesianos, así como también ejercicios para practicar.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 7 (REVISIÓN)

GEOMETRÍA | ¿QUÉ APRENDIMOS?

UBICACIÓN ESPACIAL

La ubicación espacial nos sirve para conocer dónde estamos con respecto a todo lo que nos rodea, de este modo podemos señalar con facilidad nuestra ubicación. Términos como arriba, abajo, derecha, izquierda, delante y detrás son de gran utilidad para el desarrollo del sentido de la orientación. Si deseamos ubicar puntos en un plano podemos usar los ejes de coordenadas: un conjunto de líneas verticales y horizontales que nos brindan los datos necesarios para saber la posición exacta de un objeto en una cuadrícula.

En esta imagen, los crayones están dentro de un recipiente, el cuaderno está sobre la mesa y los bolígrafos están al lado del cuaderno.

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Los cuerpos geométricos poseen tres dimensiones: alto, largo y ancho. Estos cuerpos pueden ser poliedros, tales como el cubo, la pirámide y el prisma; también pueden ser cuerpos redondos, como la esfera, el cono y el cilindro. Los elementos que los componen son las caras, las aristas y los vértices. Las caras de los cuerpos geométricos son figuras planas.

Las pirámides de Egipto fueron construidas con forma de pirámide cuadrangular porque simbolizaban los rayos del Sol.

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

El punto, la recta, el rayo y el segmento son elementos geométricos. El punto indica una posición, el rayo posee un origen y se extiende hacia el infinito, el segmento tiene un principio y un final, y la recta es una sucesión de puntos que siguen una misma dirección. Por otro lado, dos rectas pueden ser paralelas cuando no se cortan en ningún punto; perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos rectos y oblicuas cuando al cortarse no forman ángulos rectos.

Los cables de electricidad representan rectas paralelas. Al verlos dan la ilusión de tres rectas que no se tocan entre sí.

ángulos

El ángulo es una porción comprendida entre dos lados con un origen en común llamado vértice. Según sus medidas el ángulo puede ser convexo, nulo, agudo, recto, obtuso, cóncavo, llano y completo. Según su posición existen ángulos adyacentes, consecutivos y opuestos por el vértice. Para estimar la medida de un ángulo es preferible usar medidas de referencia que ya conocemos, como ángulos de 45° y 90°.

Las escuadras son instrumentas de medidas que también nos ayudan a estimar ángulos, por ejemplo, esta escuadra tiene un ángulo recto (90 grados) y dos ángulos de 45 grados.

perímetro

El perímetro es el contorno de una figura. Para averiguar el perímetro de polígonos regulares multiplicamos la cantidad de lados por la longitud del lado. En cambio, para polígonos no regulares el perímetro lo calculamos al sumar todos los lados de la figura. Conocer cuánto mide el perímetro de una figura te ayudará a saber cuánto material se utilizó para alambrar una cancha de fútbol y en otros múltiples usos.

A lo largo de la historia los perímetros de muchos castillos fueron amurallados para defender el territorio.

transformaciones isométricas

Una transformación isométrica es el cambio de posición que sufre una figura. Estas transformaciones pueden ser por rotación, por traslación o por reflexión. La rotación se refiere al giro alrededor de un punto fijo; la traslación consiste en mover todos los puntos de una figura en la misma dirección, sentido y distancia; y la reflexión no es más que el reflejo de la figura respecto de un eje de simetría. Estas transformaciones no cambian ni la forma ni el tamaño de las figuras.

El planeta Tierra presenta varios movimientos, dos de ellos son la traslación y la rotación.

CAPÍTULO 4 / TEMA 3

elementos geométricos

Para dibujar elementos geométricos en una hoja de papel podemos inspirarnos en elementos que vemos a nuestro alrededor. Por ejemplo, un clavo en la pared, la senda peatonal o el cable de luz que atraviesa nuestra calle.

El plano, el punto y la recta son algunos de los elementos geométricos con los que podemos dibujar figuras. Cada una de ellas tienen dimensiones distintas: el plano tiene dos, la recta tiene una y el punto no tiene. Sobre un plano podemos trazar rectas, y estas rectas no son más que una sucesión de puntos. ¡Intenta hacer rectas en una hoja de papel!

El punto

El punto sirve para indicar una posición y se nombra con una letra mayúscula.

¿Sabías qué?
El matemático griego Euclides fue el primero en dar una definición del punto en geometría.

la recta

La recta es una sucesión infinita de puntos orientada en una misma dirección. No tiene principio ni final y la longitud es su única dimensión. Con dos puntos podemos trazar una recta y la nombramos con una letra minúscula.

Según la posición que tomen las rectas en un plano estas pueden ser paralelas o secantes. También existen las coincidentes que se representan una sobre otra.

Dos rectas son paralelas cuando no se cortan en ningún punto por más que intentemos extenderlas.

Dos rectas son secantes cuando se cortan en un punto y pueden ser perpendiculares u oblicuas. Las rectas perpendiculares son aquellas que al cortarse en un punto forman cuatro ángulos rectos, mientras que las rectas oblicuas son aquellas que al cortarse en un punto no forman ángulos rectos.

Veremos un ejemplo para entender más cómo se cortan las rectas. El siguiente esquema representa las calles de una ciudad, cada una lleva un nombre para poder identificarlas.

  • Francia y Neuquén son calles paralelas, observa que nunca se cortan.
  • Italia y España son perpendiculares. Notarás que las rectas se cortan en forma de cruz, lo que formará cuatro ángulos rectos.
  • Peña y Quiroga son oblicuas porque al cruzarse no forman ángulos rectos.

¡A practicar!

  1. ¿Cómo son las calles Roca y Neuquén?
    Solución
    Son perpendiculares.
  2. ¿Como son las calles Italia y Quiroga?
    Solución
    Son oblicuas.
  3. ¿Cómo son las calles Peña y Roca?
    Solución
    Son paralelas.
  4. ¿Peña y Francia son calles paralelas?
    Solución
    No. Son perpendiculares.
  5. Si extendemos más la calle Roca hasta que se cruce con Quiroga, ¿estas calles serán oblicuas?
    Solución
    Sí.
  6. ¿Italia y Francia son paralelas?
    Solución
    Sí, nunca se cortan.
  7. ¿España y Peña son perpendiculares?
    Solución
    No. Son paralelas.
  8. ¿Neuquén y Quiroga pueden ser calles oblicuas?
    Solución
    Sí, al extender las dos calles demostramos que se cortan.

El rayo

El rayo, también conocido como semirrecta, tiene un punto de origen pero no tiene fin, se extiende hacia el infinito.

el segmento

El segmento es la distancia que existe entre dos puntos de una recta, esto quiere decir que tiene un origen y un final. Además expresa gráficamente una medida.

Podemos marcar infinitos segmentos en una recta. Observa este ejemplo y anota los segmentos:

Desde el punto A al D hay tres segmentos: AB, AC y AD. Desde el punto B al D hay dos segmentos: BC y BD y por último nos queda el segmento CD. Por lo tanto, en la recta hay 6 segmentos.

¡A practicar!

  1. En la recta k, ¿cuántos segmentos hay?
    Solución
    Hay 3 segmentos.
  2. ¿Qué segmentos se forman en la recta k?
    Solución
    AB, AC y BC.
  3. En la recta s, ¿cuántos segmentos hay?
    Solución
    Hay 3 segmentos.
  4. ¿Qué segmentos se forman en la recta s?
    Solución
    FC, FG y CG.
  5. ¿En todas las rectas se forman la misma cantidad de segmentos?
    Solución
    Sí.
  6. ¿Qué segmentos se forman en la recta t?
    Solución
    DE, DB y BE.
  7. ¿Cuántos segmentos se forman en total?
    Solución
    9 segmentos.

elementos geométricos en la vida cotidiana

La geometría forma parte de nuestras vidas, a donde miremos hay figuras y cuerpos geométricos e incluso puntos que marcan donde estamos o dónde queremos ir. Las rectas pueden estar representadas por las calles de la ciudad, los cables de energía eléctrica, hasta el rayo o semirrecta se forma si un auto viaja desde un punto de inicio, por ejemplo una estación de servicio en línea recta. Los segmentos los podemos encontrar en los barrotes de una reja, todo lo que nos rodea puede convertirse en un elemento geométrico.

Las rectas pueden estar representadas por las calles de la ciudad, los cables de energía eléctrica, hasta el rayo o semirrecta se forma si un auto viaja desde un punto de inicio, por ejemplo una estación de servicio en línea recta. Los segmentos los podemos encontrar en los barrotes de una reja o en los rieles de un tren.

Al estilo de Mondrian

Para el pintor Piet Mondrian el arte era representado a través de líneas rectas y colores primarios, creía que mostraba el orden armonioso del universo. Si observamos esta imagen al estilo de las pinturas de Mondrian, las líneas rectas se convierten en rectas que al cortarse unas con otras obtenemos segmentos. Algunas de las rectas que se forman son paralelas y otras perpendiculares.

Actividades

Observa la siguiente imagen y responde.

  1. ¿Cuáles de las siguientes rectas son paralelas?
    Solución
    Las rectas a, b, c y d son paralelas entre sí.
  2. ¿Cuáles de las siguientes rectas son perpendiculares?
    Solución
    La recta “e” es perpendicular con a, b, c y d.
  3. ¿Cuáles de las siguientes rectas son oblicuas?
    Solución
    La recta f es oblicua con a, b y c.
  4. Si extendemos la recta f, ¿las recta d y e también son oblicuas con ella?
    Solución
    Sí.
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Rectas”

El siguiente recurso le permitirá profundizar la información brindada sobre las rectas.

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