CAPÍTULO 4 / TEMA 6 (REVISIÓN)

geometría | ¿QUÉ APRENDIMOS?

LAS LÍNEAS

LAS LÍNEAS SON UNA SUCESIÓN DE PUNTOS. SEGÚN SU FORMA, PUEDEN SER RECTAS SI TIENEN LA MISMA DIRECCIÓN; CURVAS SI CAMBIAN CONSTANTEMENTE DE DIRECCIÓN; MIXTAS SI ESTÁN FORMADAS POR LA COMBINACIÓN DE RECTAS Y CURVAS; O QUEBRADAS SI ESTÁN FORMADAS POR RECTAS QUE SE CORTAN ENTRE SÍ. ASIMISMO, LAS LÍNEAS PUEDEN SER ABIERTAS O CERRADAS. LAS LÍNEAS ABIERTAS TIENEN UN PUNTO DE INICIO Y UN PUNTO FINAL, MIENTRAS QUE LAS LÍNEAS CERRADAS NO TIENEN PUNTO DE INICIO NI PUNTO FINAL. POR OTRO LADO, TAMBIÉN LAS PODEMOS CLASIFICAR COMO HORIZONTALES, VERTICALES U OBLICUAS SEGÚN SU POSICIÓN.

ESTOS LÁPICES DE COLORES DIBUJAN LÍNEAS RECTAS PORQUE TIENEN LA MISMA DIRECCIÓN.

FORMAS

CASI TODOS LOS OBJETOS QUE NOS RODEAN TIENE UNA FORMA SIMILAR A LA DE UNA FIGURA GEOMÉTRICA, PUEDEN SER CUADRADOS, CIRCULARES, TRIANGULARES O RECTANGULARES. PERO NO TODOS LOS OBJETOS SON PLANOS, TAMBIÉN PUEDEN SER UN CUBO, UNA ESFERA O UN CILINDRO. LA PARTE EXTERIOR DE ESTOS SE LLAMA SUPERFICIE Y PUEDE SER PLANA, COMO LA DE UNA MESA, O CURVA COMO LA DE UN GLOBO.

ESTE ES UN CUBO DE RUBIK, UN JUEGO DE ROMPECABEZAS MUY POPULAR. ES UNA FIGURA CON FORMA DE CUBO Y CON TODAS SUS SUPERFICIE PLANAS.

FIGURAS PLANAS

TODAS LAS FIGURAS PLANAS ESTÁN DELIMITADAS POR LÍNEAS RECTAS O CURVAS, Y ADEMÁS, SOLO TIENEN DOS DIMENSIONES: ALTO Y ANCHO. LAS FIGURAS PLANAS MÁS CONOCIDAS SON EL CUADRADO, EL TRIÁNGULO, EL RECTÁNGULO Y EL CÍRCULO. LAS PRIMERAS TRES SE CARACTERIZAN POR TENER LADOS Y VÉRTICES, MIENTRAS QUE LA ÚLTIMA, EL CÍRCULO, SE CARACTERIZA POR TENER UN CENTRO, UN DIÁMETRO Y UN RADIO.

LA PANTALLA DE UNA COMPUTADORA, UN TELÉFONO O UNA TABLETA TIENE UNA FORMA PLANA COMO LA DE UN RECTÁNGULO.

FIGURAS TRIDIMENSIONALES

LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES TIENEN TRES DIMENSIONES: ALTO, ANCHO Y LARGO. LAS MÁS CONOCIDAS SON EL CONO, LA ESFERA, EL CUBO, EL PRISMA RECTANGULAR, LA PIRÁMIDE Y EL CILINDRO. ESTAS FIGURAS CUENTAN CON CARAS, ARISTAS Y VÉRTICES. A SU VEZ, SE CLASIFICAN EN POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS. LOS POLIEDROS SOLO TIENEN SUPERFICIES PLANAS Y NO PUEDEN RODAR; MIENTRAS QUE LOS CUERPOS REDONDOS TIENEN AL MENOS UNA SUPERFICIE CURVA Y SÍ PUEDEN RODAR.

TODAS ESTAS FIGURAS SON POLIEDROS PORQUE ESTÁN FORMADOS SOLO POR CARAS PLANAS Y NO PUEDEN RODAR.

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS ESTÁN PRESENTES EN NUESTRO DÍA A DÍA, ESTÁN EN LOS OBJETOS Y CREACIONES QUE NOS RODEAN. PARA PODER CONSTRUIRLAS ES NECESARIO QUE EMPLEEMOS LOS INSTRUMENTOS ADECUADOS, COMO LA REGLA GRADUADA, EL COMPÁS, LA ESCUADRA, EL CARTABÓN Y EL TRANSPORTADOR. SI DESEAMOS CONSTRUIR FIGURAS TRIDIMENSIONALES PODEMOS USAR PLANTILLAS.

LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS SON CONSTRUIDAS EN CADA PLANO DE UNA OBRA PARA REPRESENTAR ELEMENTOS COMO UNA BAÑO O UNA HABITACIÓN.

CAPÍTULO 4 / TEMA 5

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

¿QUÉ FORMA TIENE UNA HOJA DE TU CUADERNO? ¿Y UNA LATA DE GASEOSA? LA PRIMERA ES UN RECTÁNGULO Y LA SEGUNDA ES UN CILINDRO. AMBAS SON FIGURAS GEOMÉTRICAS Y PUEDES DIBUJARLAS O CONSTRUIRLAS SI UTILIZAS LOS INSTRUMENTOS ADECUADOS. ES MUY SENCILLO, LEE ESTE ARTÍCULO Y APRENDERÁS CÓMO HACERLO.

¿QUÉ SON LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS?

LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS SON TODAS AQUELLAS QUE ESTÁN DEFINIDAS POR LÍNEAS RECTAS O CURVAS. PUEDEN TENER DOS O TRES DIMENSIONES Y ADEMÁS CONFORMAN LA SUPERFICIE DE LA MAYORÍA DE LOS OBJETOS QUE NOS RODEAN, POR EJEMPLO, LA PANTALLA DE UN TELÉFONO TIENE FORMA DE RECTÁNGULO Y UNA PELOTA TIENE FORMA DE ESFERA.

LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS O CON DOS DIMENSIONES SON:

CUADRADO

TRIÁNGULO

CÍRCULO

RECTÁNGULO

LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS TRIDIMENSIONALES O CON TRES DIMENSIONES SON:

CUBO

PRISMA RECTANGULAR

PIRÁMIDE

CONO

CILINDRO

ESFERA

¿QUÉ ES UNA LÍNEA?

UNA LÍNEA ES LA UNIÓN DE MUCHOS PUNTOS CONTINUOS EN EL PLANO. PUEDEN SER ABIERTAS, CERRADAS, RECTAS O CURVAS.

LA LÍNEA DE COLOR AZUL ES RECTA Y ABIERTA.
LA LÍNEA DE COLOR AMARILLO ES CURVA Y ABIERTA.
LA LÍNEA DE COLOR VERDE ES RECTA Y CERRADA.
LA LÍNEA DE COLOR ROJO ES CURVA Y CERRADA.

¿SABÍAS QUÉ?

A LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES TAMBIÉN SE LAS CONOCE COMO SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.

INSTRUMENTOS PARA CONSTRUIR FIGURAS GEOMÉTRICAS

REGLA

ES UN INSTRUMENTO PLANO Y LARGO QUE SIRVE PARA TRAZAR LÍNEAS RECTAS Y PARA MEDIR LONGITUDES. POR LO GENERAL VIENE CON MARCAS QUE REPRESENTAN LOS CENTÍMETROS. CON UNA REGLA PUEDES TRAZAR LAS RECTAS DE UN CUADRADO O UN RECTÁNGULO.

ESCUADRA Y CARTABÓN

LA ESCUADRA ES UNA PLANTILLA CON FORMA DE TRIÁNGULO RECTÁNGULO ISÓSCELES. SE USA PARA TRAZAR LÍNEAS PARALELAS O PERPENDICULARES JUNTO CON EL CARTABÓN O LA REGLA GRADUADA. EN LA IMAGEN, LA ESCUADRA ES LA DE COLOR ROJO Y EL CARTABÓN ES EL DE COLOR AZUL.

TRANSPORTADOR

ES UN INSTRUMENTO CIRCULAR O SEMICIRCULAR QUE SIRVE PARA MEDIR ÁNGULOS. ES DE MUCHA AYUDA CUANDO DIBUJAMOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS.

COMPÁS

ES UN INSTRUMENTO DE GRAN UTILIDAD PARA DIBUJAR CIRCUNFERENCIAS. TIENE DOS PARTES QUE SE UNEN POR UNA BISAGRA AJUSTABLE. UNA PUNTA TIENE UN EXTREMO DE METAL Y LA OTRA TIENE UN LÁPIZ CON EL CUAL SE HACE EL DIBUJO.

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS EN LO COTIDIANO

LA CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS ES FUNDAMENTAL PARA LOS ARQUITECTOS E INGENIEROS, QUIENES ELABORAN PLANOS QUE MUESTRAN LOS DETALLES DE UNA OBRA EN UN PAPEL. ASIMISMO, GRANDES ARTISTAS DE LA HISTORIA HAN PRODUCIDO INCREÍBLES CREACIONES EN LAS QUE TOMAN LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS COMO BASE.

KANDINSKI FUE UN PINTOR RUSO DESTACADO EN EL ARTE ABSTRACTO. EN SU TRABAJO RESALTAN LOS COLORES VIVOS Y LA ABUNDANCIA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS COMO LOS TRIÁNGULOS, CUADRADOS Y CÍRCULOS. EN 1913 CREÓ ESTA OBRA LLAMADA *ESTUDIO DE COLOR CON CUADROS* EN LA QUE PUEDES VER CÍRCULOS UNO DENTRO DE OTRO, CADA UNO DE UN COLOR DIFERENTE.

¡CONSTRUYE TUS PROPIAS FIGURAS!

CON ESTAS PLANTILLAS PUEDES CREAR FIGURAS TRIDIMENSIONALES. SOLO TIENES QUE COPIAR LA PLANTILLA, CORTAR Y PEGAR SUS LADOS. ¡INTÉNTALO!

CILINDRO

CONO

CUBO

PIRÁMIDE

PRISMA RECTANGULAR

¡A PRACTICAR!

1. ¿CÓMO SE LLAMAN ESTOS INSTRUMENTOS?

SOLUCIÓN

TRANSPORTADOR.

SOLUCIÓN

REGLA.

SOLUCIÓN

ESCUADRA.

SOLUCIÓN

COMPÁS.

SOLUCIÓN

CARTABÓN.

2. UNE LOS PUNTOS DEL MISMO COLOR EN ESTA CUADRÍCULA. UTILIZA TU REGLA O COMPÁS PARA CREAR LAS FIGURAS.

LOS PUNTOS VERDES FORMAN UN TRIÁNGULO.
LOS PUNTOS ROJOS FORMAN UN CUADRADO.
LOS PUNTOS AZULES FORMAN UN RECTÁNGULO.
EL PUNTO AMARILLO ES EL CENTRO DE UN CÍRCULO.

SOLUCIÓN

CAPÍTULO 5 / TEMA 6

Aplicación de la geometría

La geometría se encuentra inmersa dentro de diferentes ciencias y situaciones de la vida. Muchos desarrollos de la actualidad no se habrían logrado sin los aportes de la geometría. La astronomía, la computación y la cartografía son algunos de los muchos campos donde la geometría es empleada.

Cálculo de área de una superficie

Para el cálculo de superficies usamos las fórmulas de área de las principales figuras geométricas. Las principales fórmulas son las siguientes:

Nombre	Figura	Área
Cuadrado		$\boldsymbol{A = l^{2}}$ Donde: A = área l = lado
Rectángulo		$\boldsymbol{A = a\times b}$ Donde: A = área a = altura b = base
Triángulo		$\boldsymbol{A = \frac{b\times h}{2}}$ Donde: A = área b = base h = altura
Rombo		$\boldsymbol{A = \frac{D\times d}{2}}$ Donde: A = área D = diagonal mayor d = diagonal menor
Paralelogramo		$\boldsymbol{A = b\times h}$ Donde: A = área b = base h = altura
Trapecio		$\boldsymbol{A = \left (\frac{a+ b}{2} \right )\times h}$ Donde: a = base menor b = base mayor h = altura
Círculo		$\boldsymbol{A = \pi \times r^{2}}$ Donde: A = área π = número pi r = radio
Polígono regular		$\boldsymbol{A = \frac{n\times b\times Ap}{2}}$ Donde: A = área n = número de lados regulares b = longitud de un lado Ap = apotema

Las figuras compuestas

Una figura compuesta es aquella que está formada por dos o más figuras geométricas más simples. Para calcular el área de estas figuras se suelen calcular las áreas de las figuras más simples por separado y la sumatoria de estas será el área total de la figura. Por otra parte, para el cálculo de perímetro suelen usarse ecuaciones trigonométricas, y teoremas como el de Pitágoras para calcular las longitudes de los lados de la figura.

Ejercicios

– Una cancha de fútbol mide 105 metros de largo y 68 metros de ancho. ¿Cuántos metros cuadrados de césped artificial se necesitarían para cubrir toda la cancha?

Es un problema de área porque al calcular los metros cuadrados de césped artificial que se necesitan, se calcula la superficie. Como todos sabemos, una cancha de fútbol tiene una forma rectangular, por lo tanto se debe aplicar la fórmula del rectángulo:

$A = a\times b$
$A = 105\, m\times 68\, m$
$A = \mathbf{7.140\, m^{2}}$

Por lo tanto, para cubrir toda la cancha se necesitarían 7.140 m² de césped artificial.

– La siguiente figura muestra el plano de una casa. ¿Cuántos metros cuadrados de cerámica se necesitan para cubrir el piso?

El piso de la casa forma una figura compuesta. Por lo tanto, antes de resolver el problema debemos separarlo en formas geométricas más simples:

La figura 1 corresponde a un rectángulo y la figura 2 a un cuadrado (ya que sus cuatro lados miden lo mismo). El área total del piso será igual a:

$A_{t} = A_{1}+A_{2}$

Donde:

A_t = área total del piso

A₁ = área de la figura 1

A₂ = área de la figura 2

Por lo tanto, para calcular el problema tenemos que resolver las áreas por separado:

En la figura 1 se cumple que:

$A_{1} = a\times b$

$A_{1} = 13\, m\times 5\, m$

$A_{1} = 65\, m^{2}$

En la figura 2 se cumple que:

$A_{2} = l^{2}$

$A_{2} = (10\, m)^{2}$

$A_{2} = 100\, m^{2}$

Al reemplazar los valores de A₁ y A₂ se tiene que:

$A_{t} = 65\, m^{2}+100\, m^{2}$

$A_{t} = \mathbf{165\, m^{2}}$

Por lo tanto, el piso de la casa necesita 165 m² de cerámica para cubrirlo.

¿Sabías qué?

La hectárea (ha) es una medida de área que equivale a 10.000 m².

Cálculo de volumen de un cuerpo

Todo cuerpo ocupa un lugar en el espacio. Se denomina volumen. Como ya sabemos, los principales cuerpos geométricos se calculan a través de fórmulas:

Nombre	Figura	Fórmula de volumen
Cubo		$\boldsymbol{V=l^{3}}$ Donde: V = volumen l = lado
Prisma		$\boldsymbol{V = A_{b}\times h}$ Donde: V = volumen *A_b* = área basal h = altura
Pirámide		$\boldsymbol{V = \frac{A_{b}\times h}{3}}$ Donde: V = volumen *A_b* = área basal h = altura
Cilindro		$\boldsymbol{V =\pi \times r^{2}\times h}$ Donde: V = volumen π = número pi (3,14…) r = radio h = altura
Cono		$\boldsymbol{V =\frac{\pi \times r^{2}\times h}{3}}$ Donde: V = volumen π = número pi (3,14…) r = radio h = altura
Esfera		$\boldsymbol{V =\frac{4}{3}\times \pi \times r^{3}}$ Donde: V = volumen π = número pi (3,14…) r = radio

En el caso de las pirámides y los primas, las formas de sus bases pueden ser diferentes.

Estas ecuaciones pueden aplicarse a figuras similares para resolver diferentes problemas.

Ejercicios

– Calcula el volumen de la Gran Pirámide de Guiza, cuya base es un cuadrado de aproximadamente 230 m cada lado y de altura mide aproximadamente 186 m.

La fórmula para calcular el volumen de una pirámide es la siguiente:

$V = \frac{A_{b}\times h}{3}$

Lo primero es calcular el valor de A_b que es el área de la base. En este caso, su base es un cuadrado de 230 metros de cada lado. Por lo tanto:

$A_{b} = l^{2}$

$A_{b} = (230\, m)^{2}$

$A_{b} = 52.900 \, m^{2}$

Reemplazamos el valor del área de la base y el de la altura (que es 186 m) en la fórmula:

$V = \frac{52.900\, m^{2}\times 186\, m}{3}$

$V = \frac{9.839.400\, m^{3}}{3}$

$V = \mathbf{3.279.800\, m^{3}}$

El volumen aproximado de la pirámide de Guiza es de 3.279.800 m³ (si se considera la pirámide como un cuerpo rígido sin cámaras interiores).

– Calcula el volumen de una canica de 2 centímetros de diámetro.

La forma de una canica es igual a la de una esfera por lo tanto se utiliza la siguiente ecuación:

$V =\frac{4}{3}\times \pi \times r^{3}$

El problema nos dice que el diámetro de la canica es de 2 cm, pero la fórmula está expresada en función del radio. Como ya sabemos, el radio es la mitad del diámetro, por lo tanto, el radio de la canica es de 1 cm.

$V =\frac{4}{3}\times \3,14 \times (1\, cm)^{3}$

$V =\frac{4}{3}\times \3,14 \times 1\, cm^{3}$

$V =\mathbf{4,18\, cm^{3}}$

La leyenda de la corona

Hay una leyenda popular que cuenta cómo el rey Hieron II de Siracusa le encomendó al reconocido matemático griego Arquímedes que comprobara si la corona que había mandado a hacer era de oro puro o no. Arquímedes pasó mucho tiempo sin resolver el misterio y estaba frustrado hasta que un día, al meterse a la bañera, se percató que el agua que se desplazaba tenía el mismo volumen de su cuerpo. Enseguida dio un salto al tiempo que decía la frase “¡Eureka!”.

Posteriormente le demostró al rey que el volumen desplazado por la corona debía ser el mismo que el desplazado por un lingote de oro puro de la misma masa. Cuando realizó el experimento, la cantidad de agua desplazada no fue la misma y concluyó que la corona no era de oro puro.

Otros usos

Desde su aparición, la geometría ha permitido al ser humano destacarse en varios campos como la arquitectura, la escultura, la pintura y, por su puesto, en las ciencias aplicadas como la física o la química. Disciplinas como la ingeniería aplican la geometría para el cálculo de ángulo y otras medidas. La química emplea la geometría para entender las estructuras moleculares, la agrupación de los átomos y la forma de los cristales de algunos compuestos, entre otros usos.

En el ámbito de la cartografía y la agronomía, se aplica la geometría para determinar áreas, calcular perímetros y planos de terrenos. La astronomía y la computación son otras áreas que emplean conocimientos geométricos.

La geometría y la arquitectura

La arquitectura clásica no habría podido lograr obras de singular belleza o armonía sin hacer uso de conocimientos geométricos. En la actualidad, los arquitectos emplean la geometría para lograr estructuras que se vean bien estéticamente, que permitan un ahorro de materiales y un mejor aprovechamiento de los espacios.

¡A practicar!

1. Una fábrica de quesos compró una granja de 14.300 m². ¿Cuáles son las medidas de la granja?

a) 150 m × 100 m
b) 130 m × 110 m
c) 40 m × 10 m
d) 280 m × 100 m

Solución

b) 130 m × 110 m

2. Un tablero de ajedrez mide 44 cm de alto y 44 cm de ancho, ¿cuál es el área del tablero?

a) 88 cm²
b) 1.936 cm²
c) 4.404 cm²
d) 3.854 cm²

Solución

b) 1.936 cm²

3. Una empresa inmobiliaria trabaja con propiedades que no superan los 20.000 m². ¿Cuál de las siguientes propiedades no cumple con este requisito de la empresa inmobiliaria?

a) Casa de playa de 155 m de ancho por 84 m de alto.
b) Departamento en la ciudad de 18 m de ancho por 14 m de alto.
c) Cabaña en la montaña de 320 m de ancho por 124 m de alto.
d) Chalet de 24 m de ancho por 20 m de alto.

Solución

c) Cabaña en la montaña de 320 m de ancho por 124 m de alto. El área de esta propiedad es de 39.680 m², por lo tanto, supera los 20.000 m² aceptados por la inmobiliaria.

4. Una pelota de fútbol tiene 22 cm de diámetro, ¿cuál es su volumen?

a) 2026,34 cm³
b) 44 cm³
c) 220 cm³
d) 5.572,45 cm³

Solución

d) 5.572,45 cm³

5. Una lata de tomates es cilíndrica y tiene una altura de 9 cm y un radio de 3 cm, ¿cuál es su volumen?

a) 384,35 cm³
b) 127,17 cm³
c) 954.44 cm³
d) 506,58 cm³

Solución

c) 254.34 cm³

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Los números ocultos en el universo”

El artículo trata de mostrar cómo la mayoría de los fenómenos del universo pueden explicarse a través de los números. También explica algunas formas geométricas que podemos encontrar en nuestro planeta.

VER

Enciclopedia “Nana y Enriqueta en el país de las matemáticas”

En este tomo, se platean los principales elementos de la geometría de una manera didáctica y sencilla. También se dan ejemplos y aplicaciones de la geometría.

VER

Artículo “Superficies de figuras geométricas”

El artículo plantea el cálculo de superficie de las principales figuras geométricas. También resuelve una serie de ejercicios y muestra al final algunos problemas propuestos.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 4

Figuras tridimensionales

UNA HOJA DE PAPEL O UNA REGLA GRADUADA SON OBJETOS PLANOS QUE SOLO TIENEN DOS DIMENSIONES: ALTO Y ANCHO. PERO TAMBIÉN HAY OBJETOS QUE TIENEN PROFUNDIDAD, COMO UNA CAJA DE ZAPATOS O UN VASO. ESTOS OBJETOS TIENEN UNA FORMA TRIDIMENSIONAL, ES DECIR, TIENEN TRES DIMENSIONES. SON MÁS COMUNES DE LOS QUE CREES Y PUEDES VERLOS EN MUCHOS OBJETOS.

¿QUÉ ES UNA FIGURA TRIDIMENSIONAL?

ES UNA FIGURA QUE TIENE TRES DIMENSIONES: ALTO, ANCHO Y LARGO.

¿SABÍAS QUÉ?

LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES TAMBIÉN SON CONOCIDAS COMO CUERPOS GEOMÉTRICOS.

HAY MUCHAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES, LAS MÁS COMUNES SON:

ELEMENTOS DE LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES

LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES TIENEN CARAS, ARISTAS Y VÉRTICES.

CARAS: SON LOS LADOS PLANOS O CURVOS.
ARISTAS: SON LAS LÍNEAS RECTAS QUE UNEN LAS CARAS.
VÉRTICES: SON LOS PUNTOS QUE UNEN DOS O MÁS CARAS.

POR EJEMPLO, ESTE CUBO TIENE 6 CARAS, 12 ARISTAS Y 8 VÉRTICES.

MUCHOS DE NUESTROS JUGUETES TIENEN FORMAS TRIDIMENSIONALES. OBSERVA ESTA IMAGEN. ¿PUEDES IDENTIFICAR ALGUNA DE ESAS FORMAS? ¡CLARO! LOS OBJETOS DE COLOR ROJOS SON CILINDROS, LOS OBJETOS DE COLOR AMARILLOS SON CUBOS Y PRISMAS RECTANGULARES; Y EL OBJETO AZUL UBICADO EN LA PARTE DE ARRIBA ES UNA PIRÁMIDE. TODOS SON CUERPOS GEOMÉTRICOS.

EN ESTA TABLA MUESTRA LOS ELEMENTOS DE CADA FIGURA:

FIGURAS TRIDIMENSIONAL

ELEMENTOS

CUBO

6 CARAS

8 VÉRTICES

12 ARISTAS

ESFERA

1 CARA

CILINDRO

3 CARAS

2 ARISTAS

CONO

2 CARAS

1 ARISTAS

PRISMA RECTANGULAR

6 CARAS

8 VÉRTICES

12 ARISTAS

PIRÁMIDE

5 CARAS

5 VÉRTICES

8 ARISTAS

¿CÓMO CONSTRUIR UN PRISMA RECTANGULAR?

CON ESTA PLANTILLA PODRÁS CONSTRUIR UN PRISMA RECTANGULAR. COMO VES, LA FIGURA ESTÁ FORMADA POR 6 CARAS: 4 CARAS CON FORMA DE RECTÁNGULO Y 2 CARAS CON FORMA DE CUADRADO. CON AYUDA DE UN ADULTO, COPIA ESTE PLANTILLA EN UNA CARTULINA, RECÓRTALA, DOBLA LAS LÍNEAS Y LUEGO PÉGALAS. CON ESTOS PASOS TENDRÁS LA FIGURA TRIDIMENSIONAL EN TUS MANOS.

TIPOS DE FIGURAS TRIDIMENSIONALES

LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES PUEDEN SER DE DOS TIPOS: POLIEDROS O CUERPOS REDONDOS.

POLIEDROS

CUERPOS REDONDOS

SOLO TIENEN SUPERFICIES PLANAS Y NO PUEDEN RODAR.

TIENEN AL MENOS UN SUPERFICIE CURVA Y SÍ PUEDEN RODAR.

EJEMPLO:

VER INFOGRAFÍA

FIGURAS TRIDIMENSIONALES EN LA VIDA COTIDIANA

LA MAYORÍA DE LOS OBJETOS QUE NOS RODEAN TIENE TRES DIMENSIONES. ESTOS SON ALGUNOS EJEMPLOS:

¿QUÉ FORMA TIENEN?

OBSERVA LA IMAGEN ANTERIOR Y RESPONDE LAS PREGUNTAS:

¿CUÁLES OBJETOS TIENEN FORMA DE CUBO?

SOLUCIÓN

¿CUÁLES OBJETOS TIENEN FORMA DE ESFERA?

SOLUCIÓN

¿CUÁLES OBJETOS TIENEN FORMA DE PRISMA RECTANGULAR?

SOLUCIÓN

¿CUÁLES OBJETOS TIENEN FORMA DE CILINDRO?

SOLUCIÓN

¿CUÁLES OBJETOS TIENEN FORMA DE CONO?

SOLUCIÓN

¿CUÁLES OBJETOS TIENEN FORMA DE PIRÁMIDE?

SOLUCIÓN

EL CUBO DE RUBIK ES UNA ESPECIE DE ROMPECABEZAS MECÁNICO. CADA CARA DEL CUBO TIENE UN COLOR DIFERENTE: ROJO, AZUL, AMARILLO, VERDE, NARANJA Y BLANCO. EL JUGADOR TRATA DE MEZCLAR TODOS LOS COLORES Y LUEGO HACER QUE CADA CARA VUELVA A TENER TODAS SUS PARTES DEL COLOR ORIGINAL. ¿TÚ TIENES UNO? ¡INTENTA JUGAR!

¡A PRACTICAR!

1. COLOREA CON ROJO LOS CUERPOS REDONDOS.

SOLUCIÓN

2. RESPONDE LAS PREGUNTAS:

¿CON CUÁL FIGURA HARÍAS UNA PELOTA DE FÚTBOL?

SOLUCIÓN

2. ESFERA.

¿CON CUÁL FIGURA HARÍAS UNA CAJA DE ZAPATOS?

SOLUCIÓN

2. PRISMA RECTANGULAR.

¿CON CUAL FIGURA HARÍAS UN DADO?

SOLUCIÓN

1. CUBO.

CAPÍTULO 4 / TEMA 3

FIGURAS TRIDIMENSIONALES

LA GEOMETRÍA ES UNA DE LAS DISCIPLINAS MÁS ANTIGUAS. GRACIAS A ELLA SABEMOS LOS ELEMENTOS Y PROPIEDADES DE LAS FIGURAS QUE NOS RODEAN. YA SABEMOS QUE LAS FIGURAS PLANAS SON AQUELLAS QUE TIENEN DOS DIMENSIONES. HOY APRENDEREMOS CUÁLES SON ESAS FIGURAS QUE ADEMÁS DE ALTO Y ANCHO TIENEN PROFUNDIDAD: LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES.

¿QUÉ SON LaS figuras tridimensionales?

LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES, TAMBIÉN LLAMADAS CUERPOS GEOMÉTRICOS, SON AQUELLAS QUE TIENEN TRES DIMENSIONES: ALTO, LARGO Y ANCHO. A SU VEZ TIENEN VOLUMEN, ES DECIR, OCUPAN UN LUGAR EN EL ESPACIO.

EXISTE UNA CLASIFICACIÓN BÁSICA DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS: LOS POLIEDROS Y LOS CUERPOS REDONDOS.

– EJEMPLOS:

POLIEDROS	CUERPOS REDONDOS

ELEMENTOS DE LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES

POLIEDROS

CARAS: SON LAS SUPERFICIES QUE LIMITAN EL CUERPO GEOMÉTRICO. ESAS SUPERFICIES SON FIGURAS GEOMÉTRICAS. LAS CARAS BASALES SON LAS QUE SIRVEN PARA APOYAR EL CUERPO EN EL PLANO.
VÉRTICE: ES EL PUNTO DONDE SE UNEN TRES O MÁS CARAS.
ARISTAS: SON LAS LÍNEAS QUE SE FORMAN CUANDO SE UNEN DOS CARAS.

CUERPOS REDONDOS

CARAS BASALES: SON LAS QUE SIRVEN PARA APOYAR EL CUERPO EN EL PLANO.
ALTURA: INDICA LA LONGITUD DEL ALTO DEL CUERPO.

LOS POLIEDROS Y SUS TIPOS

UN POLIEDRO ES UN CUERPO GEOMÉTRICO QUE SOLO PRESENTA SUPERFICIES PLANAS. CADA UNA DE SUS CARAS ES UN POLÍGONO. EXISTEN LOS POLIEDROS IRREGULARES Y LOS REGULARES. VEAMOS CUÁLES SON:

POLIEDROS IRREGULARES

PRISMAS: SON POLIEDROS QUE TIENEN DOS CARAS PARALELAS LLAMADAS CARAS BASALES. LOS PRISMAS SE IDENTIFICAN POR SU CARA BASAL, SI ES UN TRIÁNGULO EL PRISMA ES TRIANGULAR, SI ES UN CUADRADO EL PRISMA ES CUADRANGULAR, Y SI ES UN RECTÁNGULO EL PRISMA ES RECTANGULAR.

PIRÁMIDE: SON POLIEDROS QUE TIENEN UN POLÍGONO CUALQUIERA COMO BASE Y SUS CARAS LATERALES SON TRIÁNGULOS QUE SE UNEN EN UN VÉRTICE COMÚN.

POLIEDROS REGULARES

SON POLIEDROS CON TODAS LAS CARAS FORMADAS POR POLÍGONOS REGULARES IGUALES. LA CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS REGULARES DEPENDE DE SU NÚMERO DE CARAS:

[/su_note]

¿SABÍAS QUÉ?

EL CUBO TAMBIÉN ES UN PRISMA CUADRANGULAR.

FIGURAS TRIDIMENSIONALES EN EL ENTORNO

EN NUESTRO ENTORNO ENCONTRAMOS OBJETOS QUE OCUPAN UN LUGAR EN EL ESPACIO Y TIENEN UN VOLUMEN. AL MISMO TIEMPO, MUCHOS DE ESTOS SE PARECEN O TIENEN LA FORMA DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS, YA SEAN POLIEDROS O CUERPOS REDONDOS. POR EJEMPLO, UNA CAJA TIENE FORMA DE PRISMAS RECTANGULAR, UNA PIRÁMIDE EN EGIPTO TIENE FORMA DE PIRÁMIDE, UNA PELOTA DE TENIS ES UNA ESFERA, UNA VASO ES SIMILAR A UN CILINDRO Y UN DADO TIENE FORMA DE CUBO.

MUCHOS DE LOS OBJETOS QUE USAMOS COTIDIANAMENTE EN NUESTRAS CASAS O QUE OBSERVAMOS CUANDO RECORREMOS UNA CIUDAD SON CUERPOS GEOMÉTRICOS. POR EJEMPLO, EL JABÓN TIENE FORMA DE PRISMA PORQUE TIENE CARAS, VÉRTICES Y ARISTAS. ES DECIR, UNA BARRA DE JABÓN ES UN POLIEDRO PORQUE SUS CARAS SON PLANAS. SI SOLO TOMAMOS UNA CARA DEL PRISMA PODEMOS VER UNA FIGURA GEOMÉTRICA.

LAS PIRÁMIDES

LOS EGIPCIOS CREÍAN QUE LA PIRÁMIDE ESTABA RELACIONADA CON LAS RIQUEZAS Y LAS RELACIONES SOCIALES, POR ESO SUS MÁS GRANDES OBRAS TENÍAN ESTA FORMA. ESTAS PIRÁMIDES TIENEN UNA BASE CUADRANGULAR Y LAS CARAS SON IGUALES A LOS TRIÁNGULOS.

¡A PRACTICAR!

1. COMPLETA LA SIGUIENTE TABLA:

OBJETO	FIGURA TRIDIMENSIONAL QUE REPRESENTA
CUADERNO
DADO
VOLIGOMA
HELADERA

SOLUCIÓN

OBJETO	FIGURA TRIDIMENSIONAL QUE REPRESENTA
CUADERNO	PRISMA RECTANGULAR
DADO	CUBO
VOLIGOMA	CILINDRO
HELADERA	PRISMA DE BASE CUADRANGULAR

2. OBSERVA LOS SIGUIENTES CUERPOS Y RESPONDE:

¿CUÁNTOS LADOS TIENE LA FIGURA A?

SOLUCIÓN

LA FIGURA A TIENE 3 LADOS.

¿CUÁNTOS LADOS TIENE LA FIGURA B?

SOLUCIÓN

LA FIGURA B TIENE 6 LADOS.

¿AMBAS FIGURAS TIENEN VÉRTICES? ¿POR QUÉ?

SOLUCIÓN

NO. SOLO LA FIGURA B LOS TIENE, YA QUE ES UN POLIEDRO. LOS CUERPOS REDONDOS NO TIENEN VÉRTICES PORQUE SUS LADOS SON CURVOS, EXCEPTO EL CONO.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Poliedros irregulares”

Este recurso será de ayuda para profundizar sobre los cuerpos geométricos y es especial sobre los poliedros irregulares.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 7 (REVISIÓN)

GEOMETRÍA | ¿QUÉ APRENDIMOS?

UBICACIÓN ESPACIAL

La ubicación espacial nos sirve para conocer dónde estamos con respecto a todo lo que nos rodea, de este modo podemos señalar con facilidad nuestra ubicación. Términos como arriba, abajo, derecha, izquierda, delante y detrás son de gran utilidad para el desarrollo del sentido de la orientación. Si deseamos ubicar puntos en un plano podemos usar los ejes de coordenadas: un conjunto de líneas verticales y horizontales que nos brindan los datos necesarios para saber la posición exacta de un objeto en una cuadrícula.

En esta imagen, los crayones están dentro de un recipiente, el cuaderno está sobre la mesa y los bolígrafos están al lado del cuaderno.

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Los cuerpos geométricos poseen tres dimensiones: alto, largo y ancho. Estos cuerpos pueden ser poliedros, tales como el cubo, la pirámide y el prisma; también pueden ser cuerpos redondos, como la esfera, el cono y el cilindro. Los elementos que los componen son las caras, las aristas y los vértices. Las caras de los cuerpos geométricos son figuras planas.

Las pirámides de Egipto fueron construidas con forma de pirámide cuadrangular porque simbolizaban los rayos del Sol.

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

El punto, la recta, el rayo y el segmento son elementos geométricos. El punto indica una posición, el rayo posee un origen y se extiende hacia el infinito, el segmento tiene un principio y un final, y la recta es una sucesión de puntos que siguen una misma dirección. Por otro lado, dos rectas pueden ser paralelas cuando no se cortan en ningún punto; perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos rectos y oblicuas cuando al cortarse no forman ángulos rectos.

Los cables de electricidad representan rectas paralelas. Al verlos dan la ilusión de tres rectas que no se tocan entre sí.

ángulos

El ángulo es una porción comprendida entre dos lados con un origen en común llamado vértice. Según sus medidas el ángulo puede ser convexo, nulo, agudo, recto, obtuso, cóncavo, llano y completo. Según su posición existen ángulos adyacentes, consecutivos y opuestos por el vértice. Para estimar la medida de un ángulo es preferible usar medidas de referencia que ya conocemos, como ángulos de 45° y 90°.

perímetro

El perímetro es el contorno de una figura. Para averiguar el perímetro de polígonos regulares multiplicamos la cantidad de lados por la longitud del lado. En cambio, para polígonos no regulares el perímetro lo calculamos al sumar todos los lados de la figura. Conocer cuánto mide el perímetro de una figura te ayudará a saber cuánto material se utilizó para alambrar una cancha de fútbol y en otros múltiples usos.

transformaciones isométricas

Una transformación isométrica es el cambio de posición que sufre una figura. Estas transformaciones pueden ser por rotación, por traslación o por reflexión. La rotación se refiere al giro alrededor de un punto fijo; la traslación consiste en mover todos los puntos de una figura en la misma dirección, sentido y distancia; y la reflexión no es más que el reflejo de la figura respecto de un eje de simetría. Estas transformaciones no cambian ni la forma ni el tamaño de las figuras.

El planeta Tierra presenta varios movimientos, dos de ellos son la traslación y la rotación.

CAPÍTULO 4 / TEMA 2

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Los cuerpos geométricos ocupan un lugar en el espacio y poseen tres dimensiones: alto, largo y ancho. Un ejemplo de esto son los dados, los cuales tienen forma de cubo; o una pelota de fútbol, que tiene forma de esfera. Si miras a tu alrededor, es posible que encuentres diferentes cuerpos geométricos con los que interactúas todos los días.

cuerpos geométricos y sus tipos

Existen dos tipos de cuerpos geométricos: los poliedros y los cuerpos redondos.

Los poliedros tienen todas sus caras planas y no pueden rodar. Entre los poliedros más conocidos encontramos:

VER INFOGRAFÍA

Pirámides de Egipto

Las pirámides de Egipto fueron construidas hace miles de años por el primer arquitecto reconocido en la historia: Imhotep. Estos increíbles monumentos servían como tumba para los faraones y fueron construidos en forma de pirámide cuadrangular porque simbolizan los rayos del Sol. Creían que, de esta manera, el alma de los faraones iría directo al cielo.

Los cuerpos redondos están formados por una cara en forma curva y pueden rodar. Encontramos los siguientes:

¿Sabías qué?

El Sol es la esfera más perfecta que se ha observado hasta el momento. Si esta esfera estuviese, vacía necesitaríamos un millón de planetas Tierra para llenarla.

elementos de los cuerpos geométricos

Los elementos de un cuerpo geométrico son: caras, aristas y vértices.

Caras: son figuras planas que rodean el cuerpo geométrico. Las caras de las bases sirven para apoyarse en el plano.
Aristas: son las uniones entre dos caras de un cuerpo.
Vértices: son los puntos de unión de tres o más aristas.

Atomium

Es una de las construcciones más impresionantes de Bruselas y fue construida para la exposición universal de 1958. Está construido por 9 esferas y su diseño completo tiene forma de cubo. En la esfera más alta los visitantes pueden conocer el restaurante circular y una de las vistas panorámicas más grandiosas de la ciudad. Una de las esferas tiene una exposición con los detalles de su construcción, mientras que otra está dedicada a juegos interactivos para niños.

¡Observa y responde!

¿Qué elementos de la imagen son cuerpos redondos?
Solución
La lata de gaseosa, la Tierra y el cono de tránsito.
¿Qué elementos son poliedros?
Solución
La caja de cereal, la pirámide y la caja marrón.
¿Cómo se llama el cuerpo geométrico representado por la lata de gaseosa?
Solución
Cilindro.
¿Cómo se llama el cuerpo geométrico representado por la caja marrón?
Solución
Cubo.
¿Qué forma tiene la base de la pirámide?
Solución
Cuadrangular.
¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene esta pirámide?
Solución
5 caras, 5 vértices y 8 aristas.
¿Qué cuerpo geométrico es la Tierra?
Solución
Una esfera.
¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene la caja de cereales?
Solución
6 caras, 8 vértice y 12 aristas.
¿Qué cuerpo geométrico representa la caja de cereal?
Solución
Un prisma cuadrangular.

construcción de cuerpos geométricos

Podemos dibujar figuras planas como el triángulo en una hoja con las herramientas de geometría, pero para construir un cuerpo geométrico necesitamos dibujar con perspectiva, ya que estos cuerpos tienen profundidad. Veremos que los diagramas nos ayudarán a identificar las características que tiene cada cuerpo geométrico.

¿Qué podemos observar en este diagrama? ¿Qué cuerpo geométrico será? Como vemos, está formado por triángulos que son las caras del cuerpo. El triángulo que se encuentra en el medio es la base de la figura y el resto serán las caras laterales. El cuerpo geométrico que cumple con estas características es la pirámide triangular.

¡A practicar!

Observa las características del diagrama, ¿qué cuerpo geométrico se forma?
Solución
Un cono.
Observa las características del diagrama, ¿qué cuerpo geométrico se forma?
Solución
Una pirámide cuadrangular.
Observa las características del diagrama, ¿qué cuerpo geométrico se forma?
Solución
Un cubo.

Relación de los cuerpos geométricos y las figuras planas

Las caras de los cuerpos geométricos están formadas por figuras planas. Si observamos una caja de zapatos con la tapa al frente, notaremos que la figura plana es un rectángulo. ¿Qué pasará con la forma de las caras si la apoyamos en la mesa?

La forma de las caras también son rectángulos, entonces, la caja en forma de prisma con caras rectangulares está relacionada directamente con la figura plana llamada rectángulo.

Pirámide del Louvre

El museo de Louvre en París es uno de los museos más importantes de Francia y en su entrada se encuentra una pirámide de cristal, justo en el patio del palacio y en frente al jardín de las Tullerías. La diseñó Ieoh Ming Pei y tiene las mismas medidas que la pirámide de Keops ubicada en Egipto. Este monumento con forma de pirámide cuadrangular posee todas sus caras triangulares cubiertas por 673 placas de vidrio con formas de triángulos y rombos.

¡Cuenta caras, vértices y aristas!

Observa el siguiente cuerpo geométrico. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene?
Solución
7 caras, 10 vértices y 15 aristas.
Observa el siguiente cuerpo geométrico. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene?
Solución
7 caras, 8 vértices y 12 aristas.

Observa el siguiente cuerpo geométrico. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene?
Solución
8 caras, 12 vértices y 18 aristas.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Prismas”

Este recurso le permitirá obtener más información sobre los prismas y sus características.

VER

Artículo “Cuerpos redondos. Áreas y volúmenes.”

Este artículo le permitirá profundizar sobre la manera en que se generan los cuerpos de redondos y las características de los mismos.

VER