CAPÍTULO 5 / REVISIÓN

geometría

áreas y perímetros

El cálculo de áreas y perímetros de figuras geométricas se hace a partir de la longitud de sus lados. El área de los rectángulos se calcula como la multiplicación de la base por la altura, y la de los triángulos se define como la multiplicación de la base por la altura dividido por dos. Cuando se calculan los perímetros se recurre a la sumatoria de la longitud de los lados, independientemente de la figura que sea.

Las figuras pueden ser simples o compuestas. Sin embargo, el cálculo del perímetro se realiza de la misma manera a través de la suma de las longitudes del contorno de la figura.

triángulos

Los triángulos son clasificados respecto a sus lados como equiláteros, isósceles y escalenos; y respecto a sus ángulos como acutángulos, rectángulos y obtusángulos. La suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre igual a 180º. Los triángulos congruentes son aquellos que son isométricos entre sí, es decir, poseen las mismas dimensiones.

plano, punto y segmento

Un plano es un conjunto infinito de puntos y segmentos dispuestos de manera bidimensional. Para formar un plano se precisan tres puntos, una recta y un punto o dos rectas no coincidentes. Para ubicar un punto se utiliza un sistema de coordenadas denominado eje cartesiano, en el cual se deben considerar los valores de X e Y. En el sistema de coordenadas, se pueden distinguir cuatro cuadrantes delimitados por los ejes.

Para ubicar un punto se intersecta un eje vertical en el valor de X y un eje horizontal en el valor de Y del punto.

Circunferencia

La circunferencia es una figura geométrica que mantiene todos sus puntos equidistantes de su centro. Para calcular el área de una circunferencia se recurre a la siguiente fórmula $\inline A = \pi \times r^{2}$ . Donde r es el radio, y π corresponde al número pi. Para la construcción de circunferencias se utiliza un compás: se realiza un segmento con la longitud del radio y a partir de allí se genera el arco completo.

Transformaciones isométricas

La ampliación y la reducción son transformaciones en las dimensiones de las figuras geométricas sin alterar las propiedades de la figura original. Las transformaciones isométricas como la rotación y la traslación permiten variar la posición de la figura en el plano sin alterar sus dimensiones. Hay figuras geométricas que poseen uno o más ejes de simetría en donde cada uno de sus puntos opuestos se encuentran a una misma distancia entre sí.

Las reducciones son usadas generalmente en los planos para expresar longitudes a una menor escala.

PRISMAS Y PIRÁMIDES

Los prismas son figuras geométricas tridimensionales formadas por dos caras o bases iguales y paralelas que se encuentran unidas por paralelogramos. Las pirámides presentan una base en la que todas sus caras son triángulos que se encuentran unidos en un vértice. Para su construcción se realiza primero la base y luego la base paralela (en el caso de un prisma) o el vértice (en el caso de una pirámide) a una determinada altura. Por último, se unen las bases por paralelogramos o triángulos según corresponda al tipo de figura.

La Gran Pirámide de Guiza es una pirámide rectangular y fue construida hace 4.600 años.

CAPITULO 5 / TEMA 5

Circunferencia y círculo

El círculo es la superficie contenida dentro de una circunferencia. En algunas ocasiones suelen confundirse estos términos por error, pero lo cierto es que gozan de características únicas que desde tiempos antiguos han cautivado a los matemáticos. Su conocimiento es importante para entender conceptos como el número pi.

Diferencia entre la circunferencia y el círculo

Aunque son conceptos que están estrechamente relacionados, circunferencia y círculo son dos cosas geométricamente diferentes. La circunferencia es la línea o perímetro que bordea y delimita la superficie de un círculo. Todos los puntos de la circunferencia se encuentran a una misma distancia del centro. El círculo, por otra parte, es una figura geométrica que está delimitada por una circunferencia.

¿Sabías qué?

El matemático griego Eratóstenes de Cirene fue la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra en el 230 a. C.

En este sentido, cuando hablamos de circunferencia nos referimos a una curva cerrada y cuando hablamos de círculo nos referimos a una superficie o área que está contenida dentro de una circunferencia.

Instrumento muy útil

Desde su invención en el año 200 a. C. por parte de los chinos, el compás ha sido uno de los inventos más usados en la geometría y en otras áreas. Su utilidad ha ido más allá del trazado de arcos y circunferencias, también permite transportar medidas y puede emplearse en la construcción de polígonos y en el cálculo de distancias empleado por la navegación.

Elementos de la circunferencia

Los elementos principales de una circunferencia se detallan a continuación:

Centro: es el punto que se ubica a la misma distancia de todos los puntos que conforman la circunferencia.
Radio: es el segmento de recta que une al centro con cualquiera de los puntos de la circunferencia.
Cuerda: es la recta que une dos puntos de la circunferencia.
Diámetro: es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. Su longitud es igual al doble del radio.
Semicircunferencia: es la mitad de la circunferencia. El diámetro divide a la circunferencia en dos semicircunferencias.
Arco: es una porción de la circunferencia que se encuentra delimitada por una cuerda. Generalmente, a cada cuerda se le asocia el menor arco que delimita.

Relaciones entre rectas y circunferencias

Entre una circunferencia y una recta pueden darse tres tipos diferentes de relación:

Recta exterior: es aquella recta que nunca corta a la circunferencia.
Recta tangente: es aquella recta que corta a la circunferencia en uno de sus puntos.
Recta secante: es aquella recta que corta a la circunferencia en dos de sus puntos.

VER INFOGRAFÍA

Desde la Antigüedad, los geómetras se enfocaron en calcular la longitud de la circunferencia. Esta línea curva cerrada sin importar su tamaño siempre mide algo más que el triple de su diámetro. En este contexto, se emplea el número pi (π), un número con infinitos decimales que se obtiene al dividir la longitud de la circunferencia por su diámetro.

Trazado de circunferencias

Para trazar circunferencias empleamos el compás y debemos seguir los siguientes pasos:

Conocer la distancia que hay desde el centro de la circunferencia hasta alguno de sus puntos (el radio). Para esto puedes usar una regla y abrir el compás a dicha distancia. Otra forma de hacerlo es trazar el segmento de recta igual a la longitud del radio deseado, colocar la aguja de acero sobre uno de los extremos y abrir el compás hasta que la mina de grafito toque el otro extremo.
Apretar con suavidad la aguja de acero contra el papel para que no se mueva y girar el otro brazo de forma firme para trazar la circunferencia.
Marcar el centro de la circunferencia que será el mismo punto donde se apoyó la aguja de acero durante el trazado de la circunferencia.

Área del círculo

Para calcular el área de un círculo simplemente necesitamos conocer la longitud de su radio. La fórmula es la siguiente:

$A=\pi \times r^{2}$

Donde:

A = área del círculo
π = número pi
r = longitud del radio

Como el número pi (π) es un número irracional, sus decimales son infinitos (3,141592653589793238…), por lo tanto, para efectos de cálculo de área se suele aproximar a 3,14.

¿Sabías qué?

Existe otra fórmula para calcular el área del círculo en función de su diámetro: $A = \frac{\pi }{4}\times d^{2}$ .

– Calcula el área del siguiente círculo.

De acuerdo a la figura, la longitud del radio es 5 cm, por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de área.

$A=\pi \times r^{2}$

$A=3,14 \times (5 \, cm)^{2}$

$A=3,14 \times 25 \, cm^{2}$

$A=\mathbf{78,5 \, cm^{2}}$

El sistema sexagesimal es uno de los sistemas usados para medir ángulos y tiempo. En el caso de los ángulos, el sistema emplea una circunferencia para establecer sus unidades de medición. Un grado (°) equivale a la 360 parte de una circunferencia, un minuto (′) equivale a la 60 parte de un grado y un segundo (″) equivale a la 60 parte de un minuto.

¡A practicar!

1. Calcula el área de los siguientes círculos.

Solución

A = 50,24 cm²

Solución

A = 254,34 cm²

Solución

A = 12,56 m²

Solución

A = 314 mm²

Solución

A =153,86 cm²

2. ¿Cuánto debe medir el radio de una circunferencia para que su área sea igual a 113,04 cm²?
a) 5 cm
b) 3 cm
c) 6 cm
d) 11 cm

Solución

c) 6 cm

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Circunferencia”

El artículo explica los elementos principales de la circunferencia y la relación que tiene esta con el número pi. En el artículo también se explica como calcular la longitud de una circunferencia y determinar el área de un círculo.

VER

Artículo “Círculo”

El artículo plantea de forma resumida cada uno de los elementos de un círculo como el semicírculo y el segmento circular. También presenta ilustraciones de cada uno para explicar el concepto de manera más clara.

VER

Infografía “Número pi (π)”

En esta infografía se explica más a detalle qué es el número pi, su desarrollo a través del tiempo y las diferentes aplicaciones del mismo.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 3

LOS ÁNGULOS Y SUS TIPOS

Es posible que identifiques diversas figuras geométricas al observar el mundo que te rodea y los objetos presentes en él. La mayoría de estas figuras están compuestas por semirrectas unidas por un punto en común, es decir, un vértice. Esa porción del plano delimitada por dos semirrectas que nacen de un mismo punto se conoce como ángulo y según su medida puede ser de distintos tipos.

¿qué es un ángulo?

Es una porción del plano delimitada por dos semirrectas, las cuales también son llamadas lados. Ambos lados coinciden en un punto de origen o vértice. La abertura de un lado con respecto al otro es la que denominamos ángulo.

VER INFOGRAFÍA

¿Cómo nombrar ángulos?

Con una letra griega, por ejemplo α y se lee “ángulo alpha”. En esta imagen vemos un ángulo α = 52,13°.

Con los puntos correspondientes a las semirrectas que lo constituyen y al vértice. Estos puntos se nombran mediante letras, por ejemplo, en la imagen vemos el ángulo AOB.

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

Los ángulos se clasificar según tres criterios diferentes: su medida, su posición y la suma de sus medidas con otros ángulos.

¿Sabías qué?

Los ángulos se miden en grados (°).

Ángulos según su medida

Ángulo completo: tiene una amplitud de 360°, significa que es un giro completo.
Ángulo nulo: tiene una amplitud de 0°.
Ángulo llano: tiene una amplitud de 180°, podrás verlo representado como una línea recta.
Ángulo cóncavo: tiene una amplitud mayor que 180° pero menor que 360°.
Ángulo convexo: tiene una amplitud menor que 180°.

Dentro de los ángulos convexos encontramos otras clasificaciones:

Ángulos rectos: miden 90°.
Ángulos obtusos: miden más de 90°.
Ángulos agudos: miden menos de 90°.

Ángulos según su posición

Según su posición los ángulos pueden ser:

Adyacentes: son aquellos que tienen el vértice y un lado en común. Al sumar las amplitudes de cada uno de ellos el resultado será 180°.
Consecutivos: son aquellos que comparten tanto el vértice como uno de sus lados.
Opuestos por el vértice: son aquellos que solo tienen el vértice en común.

Ángulos según la suma de su medida con otros ángulos

Los ángulos también pueden clasificarse según el resultado obtenido al sumar la medida de la amplitud de un ángulo con la de otro ángulo, así sabrás que:

Un ángulo es suplementario con otro si la suma de sus amplitudes da como resultado un ángulo de 180°.
Un ángulo es complementario con otro si la suma de sus amplitudes da como resultado un ángulo de 90°.

MEDICIÓN DE ÁNGULOS

Por lo general, la medición de los ángulos se realiza por medio de un transportador.

¿Qué es un transportador?

Es un instrumento geométrico que puede tener una forma circular o semicircular y se utiliza para medir gráficamente un ángulo así como para construirlo. Cuenta con graduaciones o marcas iguales que sirven de escala para identificar la medida del ángulo. Los transportadores circulares están divididos en 360 partes iguales, mientras que los semicirculares están divididos en 180 partes iguales. Cada una de estas partes representa un grado (1°) .

Para medir un ángulo con transportador seguimos estos pasos:

1. Identificamos el vértice, es decir, el punto del que nacen las semirrectas y hacemos que coincida con el centro del transportador.

2. Verificamos que el cero (0) en el transportador esté justo sobre uno de los lados del ángulo.

3. Observamos el valor que marca el otro lado que pasa por la escala graduada. En este caso, la medida del ángulo â = 165°.

¿Sabías qué?

Los transportadores tienen escalas graduadas dobles: una va en sentido de las manecillas del reloj y las otra en sentido contrario. Siempre debes recordar comenzar a medir a partir del cero.

LOS ÁNGULOS EN LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS

Las figuras geométricas planas poseen ángulos interiores, ubicados dentro de la figuras; y ángulos exteriores, ubicados entre un lado de la figura y el otro lado siguiente.

VER INFOGRAFÍA

Ángulos interiores de los triángulos

Los ángulos interiores de los triángulos siempre suman 180°. Según sus ángulos los triángulos pueden ser:

Nombre	Figura	Características
Triángulo rectángulo		Tiene un ángulo recto (90°).
Triángulo acutángulo		Tiene todos sus ángulos agudos (menores a 90°).
Triángulo obtusángulo		Tiene un ángulo obtuso (mayores a 90° pero menores a 180°).

Ángulos interiores de los cuadriláteros

En el caso de los cuadriláteros, la suma de sus cuatro ángulos internos siempre es igual a 360°. De acuerdo al tipo de cuadrilátero el valor del ángulo puede variar. Su clasificación es la siguiente:

Nombre	Figura	Característica
Cuadrado		Tiene cuatro ángulos rectos (90°).
Rectángulo		Tiene cuatro ángulos rectos (90°).
Rombo		Tiene ángulos opuestos iguales.
Romboide		Tiene ángulos opuestos iguales.
Trapecio rectángulo		Tiene dos ángulos rectos (90°).
Trapecio isósceles		Los dos ángulos de la base menor son iguales. Los dos ángulos de la base mayor son iguales.
Trapecio escaleno		Todos sus ángulos son diferentes.

¿Sabías qué?

La palabra “geometría” viene de geo que significa “Tierra”, y de metría que significa “medir”.

Ángulos internos de polígonos regulares

Los polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus ángulos internos iguales. Para calcular su valor se emplea la ecuación (n − 2) × 180°/n donde n es el número de lados que tiene el polígono. Por ejemplo, para un hexágono se sustituye la n por el número 6 que corresponde al número de sus lados y obtenemos que (6 − 2) × 180°/6 = 120°, lo que quiere decir que cada uno de los ángulos internos de un hexágono mide 120°.

¡A practicar!

1. Observa los ángulos entre estas rectas. Completa la tabla con los ángulos solicitados.

Tipo de ángulo	Nombre del ángulo
Recto	Ángulo α
Agudo
Obtuso
Complementario
Suplementario
Adyacente

Solución

Tipo de ángulo	Nombre del ángulo
Recto	Ángulo α
Agudo	Ángulo β
Obtuso	Ángulo GOC
Complementario	Ángulos BOE y EOC
Suplementario	Ángulos EOG y GOF
Adyacente	Ángulos AOC y COB

2. Calcula los ángulos complementarios y suplementarios para los siguientes ángulos:

β = 50°

Solución

Ángulo complementario = 40° porque 50° + 40° = 90°.

Ángulo suplementario = 130° porque 50° + 130° = 180°.

γ = 15°

Solución

Ángulo complementario = 75° porque 15° + 75° = 90°.

Ángulo suplementario = 165° porque 15° + 165° = 180°.

δ = 75°

Solución

Ángulo complementario = 15° porque 75° + 15 = 90°.

Ángulo suplementario = 105° porque 75° + 105° = 180°.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ángulos”

En el siguiente artículo encontrarás información sistematizada sobre las diferentes clasificaciones de los ángulos.

VER

Enciclopedia “Matemática Tomo I”.

En esta enciclopedia podrás encontrar las explicaciones necesarias para comprender la clasificación de los ángulos y su medición.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 5 (REVISIÓN)

GEOMETRÍA DE LAS FORMAS | ¿qué aprendimos?

EL PUNTO Y LA LÍNEA

EL PUNTO ES EL ENTE FUNDAMENTAL DE LA GEOMETRÍA. UNA SUCESIÓN INFINITA DE PUNTOS FORMA UNA LÍNEA. SEGÚN LAS DIRECCIÓN QUE TENGAN ESTOS PUNTOS LAS LÍNEAS PUEDEN SER RECTAS, COMO LAS DEL BORDE DE UNA PANTALLA DE CELULAR; O PUEDEN SER CURVAS, COMO EL BORDE UN GLOBO. CUANDO EL PUNTO DE INICIO Y FIN SON EL MISMO EN UNA LÍNEA, DECIMOS QUE LA LÍNEA ES CERRADA, PERO SI ESTOS PUNTOS NO COINCIDEN, LA LÍNEA ES ABIERTA.

CUANDO OBSERVAMOS UN PAISAJE PODEMOS VER MUCHAS LÍNEAS FORMADAS POR LA NATURALEZA.

FIGURAS PLANAS

LAS FIGURAS PLANAS SOLO TIENEN DOS DIMENSIONES: ALTO Y ANCHO. EXISTEN DOS TIPOS DE FIGURAS PLANAS, LAS POLIGONALES Y LOS CÍRCULOS. LAS PRIMERAS ESTÁN FORMADAS POR LÍNEAS POLIGONALES CERRADAS, COMO UN CUADRADO O RECTÁNGULO. LAS SEGUNDAS ESTÁN FORMADAS POR LÍNEAS CURVAS CERRADAS, COMO EL CÍRCULO. TODOS LOS PUNTOS QUE CORRESPONDEN A LA LÍNEA CURVA SE ENCUENTRAN A LA MISMA DISTANCIA DEL CENTRO DE FIGURA. ESTA LÍNEA QUE DELIMITA AL CÍRCULO SE LLAMA CIRCUNFERENCIA.

FIGURAS TRIDIMENSIONALES

LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES OCUPAN UN LUGAR EN EL ESPACIO Y TIENEN TRES DIMENSIONES: ALTO, LARGO Y ANCHO. LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES TAMBIÉN SON LLAMADAS CUERPOS GEOMÉTRICOS Y EXISTEN DOS TIPOS: LOS POLIEDROS Y LOS CUERPOS REDONDOS. LOS PRIMEROS ESTÁN CONFORMADOS POR CARAS PLANAS COMO EL PRISMA Y LA PIRÁMIDE; Y LOS SEGUNDOS TIENEN SUPERFICIES CURVAS, COMO EL CILINDRO, LA ESFERA Y EL CONO.

LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS NO SE PUEDEN TRAZAR EN UNA REGIÓN DEL PLANO SINO QUE SE CONSTRUYEN PARA QUE TENGAN SUS DIMENSIONES REALES.

POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO

LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS, LOS PUNTOS, LAS FIGURAS Y LOS OBJETOS TIENEN UNA DETERMINADA POSICIÓN EN EL ESPACIO, PERO LA POSICIÓN NO SIEMPRE ES LA MISMA. DOS DE LOS MOVIMIENTOS MÁS COMUNES SON LA TRASLACIÓN Y LA ROTACIÓN. POR OTRO LADO, ES POSIBLE UBICAR CADA PUNTO EN EL ESPACIO GRACIAS A LOS EJES CARTESIANOS, UN CONJUNTO DE LÍNEAS QUE SE CRUZAN PARA DARNOS LAS COORDENADAS O POSICIÓN DE UN PUNTO.

LA ROTACIÓN Y LA TRASLACIÓN DE ELEMENTOS GEOMÉTRICOS SE ASEMEJAN A LOS MOVIMIENTOS QUE REALIZA LA TIERRA.

CAPÍTULO 5 / TEMA 1

CUADRÍCULA

Es posible que hayas visto rectas verticales y horizontales en algún mapa. Esta red de líneas se llama cuadrícula y sirve para ubicar un punto de manera sencilla. Las cuadrículas tienen varios usos: cuando sus líneas se cruzan forman una coordenada y gracias a ella podemos saber exactamente, por ejemplo, la posición de una persona en el mundo o la posición de un planeta en el espacio.

¿QUÉ ES UNA CUADRÍCULA?

Una cuadrícula es un conjunto de líneas verticales y horizontales que funcionan como sistema de referencia y permiten ubicar elementos en un espacio. Cada línea puede tener asignado un número o una letra.

El tablero de ajedrez es un ejemplo de una cuadrícula porque está formado por líneas rectas perpendiculares. En este caso, cada cuadro dentro de la cuadrícula tiene un número y una letra asignada, los cuales comunican al jugador la posición exacta de la pieza dentro del tablero. La posición se nombra como una coordenada, por ejemplo, posición (C,5).

¿qué son las COORDENADAS?

Las coordenadas son un conjunto de valores que permiten localizar un punto en un espacio determinado. En un plano, las coordenadas están dadas por dos ejes: el eje X y el eje Y.

Ejes de coordenadas

Son las rectas rectas perpendiculares que se cortan en un punto denominado origen de coordenadas. Juntas forman el sistema de coordenadas.

El eje horizontal se llama eje de abscisas y es conocido normalmente como eje X.
El eje vertical se llama eje de ordenadas y es conocido normalmente como eje Y.

– Ejemplo:

En este sistema de coordenadas observamos que:

El eje Y está representado por números.
El eje X está representado por letras.
El origen de las coordenadas es denotado por (0,0).
La estrella está en un cuadro que corresponde a la posición D del eje X y a la posición 4 del eje Y.

¿Sabías qué?

Al tipo de localización que describe exactamente la posición de un objeto o una persona a través de un sistema de coordenadas geográficas se lo llama localización absoluta.

¿Cómo se escriben las coordenadas?

Existe una manera sencilla de escribir las coordenadas de un punto en el plano, para esto debemos seguir los siguientes pasos:

Ubicar el dato del eje horizontal o eje X.
Ubicar el dato del eje vertical o eje Y.
Separar ambos datos con una coma.
Colocarlos dentro de paréntesis.

Observa el ejemplo anterior. En ese sistema de coordenadas la estrella ocupa el cuadro que coincide con el punto D del eje X y el punto 4 del eje Y. Por lo tanto, las coordenadas de la estrella son (D,4).

– Ejemplo:

Esta cuadrícula tiene coordenadas por cuadros. Los del eje X tienen letras y los del eje Y tienen números. ¿Cuáles son las coordenadas de las figuras?

Figura	Coordenadas
Corazón	(C,5)
Círculo	(E,4)
Rayo	(A,1)

¡A practicar!

Completa la tabla y escribe las coordenadas de las demás figuras.

Solución

Figura	Coordenadas
Corazón	(C,5)
Círculo	(E,4)
Rayo	(A,1)
Cuadrado	(A,5)
Luna	(C,4)
Sol	(B,2)
Nube	(E,2)
Triángulo	(B,3)

¿Sabías qué?

Al ubicar un punto en una cuadrícula, siempre tomaremos primero la referencia horizontal del eje X y luego la vertical del eje Y.

Las coordenadas geográficas nos permiten saber cualquier ubicación en la Tierra por medio de una combinación de números y letras. En este sistema, las líneas horizontales representan a los paralelos que determinan la latitud, mientras que las líneas verticales representan a los meridianos que determinan la longitud.

VER INFOGRAFÍA

También podemos hallar puntos en una posición precisa si asignamos valores a las líneas.

– Ejemplo:

Esta cuadrícula tiene coordenadas con letra en el eje X y coordenadas con números en el eje Y. ¿Cuáles son las coordenadas de los punto de colores?

Color del punto	Coordenada
Azul	(F,3)
Naranja	(B,2)
Rosa	(D,5)

¡A practicar!

Completa la tabla y escribe las coordenadas de los demás puntos.

Solución

Color del punto	Coordenada
Azul	(F,3)
Naranja	(B,2)
Rosa	(D,5)
Verde	(0,4)
Rojo	(0,0)
Morado	(B,6)
Amarillo	(E,1)

GPS: un gran invento

Uno de los mejores inventos de nuestros tiempos ha sido el GPS, cuyas siglas en español significan “Sistema de Posicionamiento Global”. Este sistema brinda servicios de posicionamiento y navegación a todos sus usuarios a nivel mundial. Su funcionamiento se basa en un sistema de coordenadas geográficas llamado WGS que puede ubicar cualquier punto en el planeta.

¿Sabías qué?

Las coordenadas cartesianas son un sistema para localizar un punto en el plano. René Descartes fue el primer matemático que las utilizó de manera formal, de ahí el nombre de “cartesianas”.

¿PARA QUÉ SIRVE LA CUADRICULA?

Desde la elaboración de planos y dibujos a escalas en hojas cuadriculadas, hasta la localización de estrellas en la galaxia. La unión de rectas perpendiculares nos ayuda a distinguir la posición de cualquier objeto.

Cuando conforman un sistema de coordenadas, las cuadrículas son comunes en los planos de los museos, los parques de diversiones, o incluso de los barrios. También se emplean en los mapas de las ciudades o de los países, los planisferios o incluso los globos terráqueos y en el GPS de los teléfonos móviles y los medios de transporte.

¡A practicar!

Ubica en un cuadrícula las siguientes coordenadas:

(A,3)
(B,7)
(C,2)
(D,6)
(E,1)
(F,5)

Solución

2) Observa la siguiente cuadrícula e indica las coordenadas que están pintadas.

Solución

Azul: (A,6) (A,7) (B,6) (B,7)

Rojo: (F,5) (F,6) (F,7) (G,6)

Morado: (B,3) (C,1) (C,2) (C,3)

Amarillo: (E,1) (E,2) (E,3) (F,1) (F,3) (G,1)

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ejes cartesianos”

Este artículo te permitirá ampliar la información acerca del sistema de representación de ejes cartesianos.

VER

Artículo “Líneas imaginarias del planeta Tierra”

Este artículo brinda información para los estudiantes, así como material para el docente, relacionada a la ubicación geográfica a partir de coordenadas.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 7 (REVISIÓN)

GEOMETRÍA | ¿QUÉ APRENDIMOS?

UBICACIÓN ESPACIAL

La ubicación espacial nos sirve para conocer dónde estamos con respecto a todo lo que nos rodea, de este modo podemos señalar con facilidad nuestra ubicación. Términos como arriba, abajo, derecha, izquierda, delante y detrás son de gran utilidad para el desarrollo del sentido de la orientación. Si deseamos ubicar puntos en un plano podemos usar los ejes de coordenadas: un conjunto de líneas verticales y horizontales que nos brindan los datos necesarios para saber la posición exacta de un objeto en una cuadrícula.

En esta imagen, los crayones están dentro de un recipiente, el cuaderno está sobre la mesa y los bolígrafos están al lado del cuaderno.

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Los cuerpos geométricos poseen tres dimensiones: alto, largo y ancho. Estos cuerpos pueden ser poliedros, tales como el cubo, la pirámide y el prisma; también pueden ser cuerpos redondos, como la esfera, el cono y el cilindro. Los elementos que los componen son las caras, las aristas y los vértices. Las caras de los cuerpos geométricos son figuras planas.

Las pirámides de Egipto fueron construidas con forma de pirámide cuadrangular porque simbolizaban los rayos del Sol.

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

El punto, la recta, el rayo y el segmento son elementos geométricos. El punto indica una posición, el rayo posee un origen y se extiende hacia el infinito, el segmento tiene un principio y un final, y la recta es una sucesión de puntos que siguen una misma dirección. Por otro lado, dos rectas pueden ser paralelas cuando no se cortan en ningún punto; perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos rectos y oblicuas cuando al cortarse no forman ángulos rectos.

Los cables de electricidad representan rectas paralelas. Al verlos dan la ilusión de tres rectas que no se tocan entre sí.

ángulos

El ángulo es una porción comprendida entre dos lados con un origen en común llamado vértice. Según sus medidas el ángulo puede ser convexo, nulo, agudo, recto, obtuso, cóncavo, llano y completo. Según su posición existen ángulos adyacentes, consecutivos y opuestos por el vértice. Para estimar la medida de un ángulo es preferible usar medidas de referencia que ya conocemos, como ángulos de 45° y 90°.

perímetro

El perímetro es el contorno de una figura. Para averiguar el perímetro de polígonos regulares multiplicamos la cantidad de lados por la longitud del lado. En cambio, para polígonos no regulares el perímetro lo calculamos al sumar todos los lados de la figura. Conocer cuánto mide el perímetro de una figura te ayudará a saber cuánto material se utilizó para alambrar una cancha de fútbol y en otros múltiples usos.

transformaciones isométricas

Una transformación isométrica es el cambio de posición que sufre una figura. Estas transformaciones pueden ser por rotación, por traslación o por reflexión. La rotación se refiere al giro alrededor de un punto fijo; la traslación consiste en mover todos los puntos de una figura en la misma dirección, sentido y distancia; y la reflexión no es más que el reflejo de la figura respecto de un eje de simetría. Estas transformaciones no cambian ni la forma ni el tamaño de las figuras.

El planeta Tierra presenta varios movimientos, dos de ellos son la traslación y la rotación.

CAPÍTULO 4 / TEMA 2

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Los cuerpos geométricos ocupan un lugar en el espacio y poseen tres dimensiones: alto, largo y ancho. Un ejemplo de esto son los dados, los cuales tienen forma de cubo; o una pelota de fútbol, que tiene forma de esfera. Si miras a tu alrededor, es posible que encuentres diferentes cuerpos geométricos con los que interactúas todos los días.

cuerpos geométricos y sus tipos

Existen dos tipos de cuerpos geométricos: los poliedros y los cuerpos redondos.

Los poliedros tienen todas sus caras planas y no pueden rodar. Entre los poliedros más conocidos encontramos:

VER INFOGRAFÍA

Pirámides de Egipto

Las pirámides de Egipto fueron construidas hace miles de años por el primer arquitecto reconocido en la historia: Imhotep. Estos increíbles monumentos servían como tumba para los faraones y fueron construidos en forma de pirámide cuadrangular porque simbolizan los rayos del Sol. Creían que, de esta manera, el alma de los faraones iría directo al cielo.

Los cuerpos redondos están formados por una cara en forma curva y pueden rodar. Encontramos los siguientes:

¿Sabías qué?

El Sol es la esfera más perfecta que se ha observado hasta el momento. Si esta esfera estuviese, vacía necesitaríamos un millón de planetas Tierra para llenarla.

elementos de los cuerpos geométricos

Los elementos de un cuerpo geométrico son: caras, aristas y vértices.

Caras: son figuras planas que rodean el cuerpo geométrico. Las caras de las bases sirven para apoyarse en el plano.
Aristas: son las uniones entre dos caras de un cuerpo.
Vértices: son los puntos de unión de tres o más aristas.

Atomium

Es una de las construcciones más impresionantes de Bruselas y fue construida para la exposición universal de 1958. Está construido por 9 esferas y su diseño completo tiene forma de cubo. En la esfera más alta los visitantes pueden conocer el restaurante circular y una de las vistas panorámicas más grandiosas de la ciudad. Una de las esferas tiene una exposición con los detalles de su construcción, mientras que otra está dedicada a juegos interactivos para niños.

¡Observa y responde!

¿Qué elementos de la imagen son cuerpos redondos?
Solución
La lata de gaseosa, la Tierra y el cono de tránsito.
¿Qué elementos son poliedros?
Solución
La caja de cereal, la pirámide y la caja marrón.
¿Cómo se llama el cuerpo geométrico representado por la lata de gaseosa?
Solución
Cilindro.
¿Cómo se llama el cuerpo geométrico representado por la caja marrón?
Solución
Cubo.
¿Qué forma tiene la base de la pirámide?
Solución
Cuadrangular.
¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene esta pirámide?
Solución
5 caras, 5 vértices y 8 aristas.
¿Qué cuerpo geométrico es la Tierra?
Solución
Una esfera.
¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene la caja de cereales?
Solución
6 caras, 8 vértice y 12 aristas.
¿Qué cuerpo geométrico representa la caja de cereal?
Solución
Un prisma cuadrangular.

construcción de cuerpos geométricos

Podemos dibujar figuras planas como el triángulo en una hoja con las herramientas de geometría, pero para construir un cuerpo geométrico necesitamos dibujar con perspectiva, ya que estos cuerpos tienen profundidad. Veremos que los diagramas nos ayudarán a identificar las características que tiene cada cuerpo geométrico.

¿Qué podemos observar en este diagrama? ¿Qué cuerpo geométrico será? Como vemos, está formado por triángulos que son las caras del cuerpo. El triángulo que se encuentra en el medio es la base de la figura y el resto serán las caras laterales. El cuerpo geométrico que cumple con estas características es la pirámide triangular.

¡A practicar!

Observa las características del diagrama, ¿qué cuerpo geométrico se forma?
Solución
Un cono.
Observa las características del diagrama, ¿qué cuerpo geométrico se forma?
Solución
Una pirámide cuadrangular.
Observa las características del diagrama, ¿qué cuerpo geométrico se forma?
Solución
Un cubo.

Relación de los cuerpos geométricos y las figuras planas

Las caras de los cuerpos geométricos están formadas por figuras planas. Si observamos una caja de zapatos con la tapa al frente, notaremos que la figura plana es un rectángulo. ¿Qué pasará con la forma de las caras si la apoyamos en la mesa?

La forma de las caras también son rectángulos, entonces, la caja en forma de prisma con caras rectangulares está relacionada directamente con la figura plana llamada rectángulo.

Pirámide del Louvre

El museo de Louvre en París es uno de los museos más importantes de Francia y en su entrada se encuentra una pirámide de cristal, justo en el patio del palacio y en frente al jardín de las Tullerías. La diseñó Ieoh Ming Pei y tiene las mismas medidas que la pirámide de Keops ubicada en Egipto. Este monumento con forma de pirámide cuadrangular posee todas sus caras triangulares cubiertas por 673 placas de vidrio con formas de triángulos y rombos.

¡Cuenta caras, vértices y aristas!

Observa el siguiente cuerpo geométrico. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene?
Solución
7 caras, 10 vértices y 15 aristas.
Observa el siguiente cuerpo geométrico. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene?
Solución
7 caras, 8 vértices y 12 aristas.

Observa el siguiente cuerpo geométrico. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene?
Solución
8 caras, 12 vértices y 18 aristas.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Prismas”

Este recurso le permitirá obtener más información sobre los prismas y sus características.

VER

Artículo “Cuerpos redondos. Áreas y volúmenes.”

Este artículo le permitirá profundizar sobre la manera en que se generan los cuerpos de redondos y las características de los mismos.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 1

LAS LÍNEAS

ES POSIBLE QUE NO TE DES CUENTA, PERO ESTAMOS RODEADOS DE MUCHAS LÍNEAS. LAS USAMOS PARA ESCRIBIR, JUGAR, CAMINAR Y HASTA PARA COMER. LO PRIMERO QUE DEBES SABER ES QUE TODAS ESTÁN FORMADAS POR PUNTOS Y QUE ESTOS PUNTOS PUEDEN TENER RECORRIDOS MUY DIVERSOS.

¿QUÉ ES UNA LÍNEA?

UNA LÍNEA ES LA UNIÓN DE MUCHOS PUNTOS CONTINUOS EN EL PLANO.

ESTA IMAGEN REPRESENTA UNA SUCESIÓN DE PUNTOS. LA UNIÓN DE LOS PUNTOS FORMA UNA LÍNEA.

TE PUEDE PARECER EXTRAÑO QUE UNA LÍNEA ESTÉ FORMADA POR INFINITOS PUNTOS PORQUE SOLO VES UN TRAZO CONTINUO, PERO SI TE APROXIMAS LO SUFICIENTE VERÁS QUE EN REALIDAD SON PUNTOS SITUADOS UNO AL LADO DE OTROS. COMO LAS LÍNEAS DESCRIBEN LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS, HAY INFINITAS LÍNEAS.

LÍNEAS ABIERTAS Y CERRADAS

OBSERVA ESTAS LÍNEAS, ¿TODAS SON IGUALES?

NO, NO SON IGUALES.

LAS LÍNEAS DE COLOR ROJO SON LÍNEAS ABIERTAS.

LAS LÍNEAS DE COLOR VERDE SON LÍNEAS CERRADAS.

LAS LÍNEAS ABIERTAS TIENEN UN PUNTO DE INICIO Y UN PUNTO FINAL. NO SE CIERRAN. SI ESTUVIERAS DENTRO DE UNA LÍNEA ABIERTA PODRÍAS SALIR.

LA LÍNEA DE COLOR ROJO ES UNA LÍNEA ABIERTA.

LAS LÍNEAS CERRADAS NO TIENEN PUNTO DE INICIO NI PUNTO FINAL. SE CIERRAN. SI ESTUVIERAS DENTRO DE UNA LÍNEA CERRADA NO PODRÍAS SALIR.

LA LÍNEA DE COLOR VERDE ES UNA LÍNEA CERRADA.

LAS LÍNEAS SEGÚN SU FORMA

OBSERVA LAS LÍNEAS DE ESTAS LETRAS Y NÚMEROS, ¿TODAS SON IGUALES?

NO, SON SON IGUALES. TODAS TIENEN FORMAS DISTINTAS.

SEGÚN SU FORMA, LAS LÍNEAS PUEDEN SER RECTAS, CURVAS, MIXTAS O QUEBRADAS.

LA LÍNEA RECTA SIEMPRE TIENE LA MISMA DIRECCIÓN.

LAS LÍNEAS DE COLOR ROJO SON LÍNEAS RECTAS.

LA LÍNEA CURVA CAMBIA CONSTANTEMENTE DE DIRECCIÓN.

LAS LÍNEAS DE COLOR AZUL SON LÍNEAS CURVAS.

LAS LÍNEAS CURVAS PUEDEN SER ABIERTAS O CERRADAS

LAS LÍNEAS CURVAS ABIERTAS TIENEN UN PUNTO DE INICIO Y UN PUNTO FINAL. SI HACES ESTA SUCESIÓN DE PUNTOS CON UN LÁPIZ Y NO LO LEVANTAS DEL PAPEL, NO LLEGARÁS AL PUNTO EN EL QUE COMENZASTE.

LAS LÍNEAS CURVAS CERRADAS NO TIENEN UN PUNTO DE INICIO NI UN PUNTO FINAL. SI HACES ESTA SUCESIÓN DE PUNTOS CON UN LÁPIZ Y NO LO LEVANTAS DEL PAPEL, LLEGARÁS AL PUNTO EN EL QUE COMENZASTE.