CAPÍTULO 5 / TEMA 7 (REVISIÓN)

Geometría | ¿Qué aprendimos?

Elementos geométricos

El punto, la recta y el plano se denominan entes fundamentales de la geometría porque no tienen definición y su comprensión depende de comparaciones con elementos similares. El punto es adimensional y se nombra con letras mayúsculas del alfabeto. La recta está formada por infinitos puntos que se extienden en una misma dirección. Las rectas pueden ser paralelas, secantes o perpendiculares. El plano es un ente bidimensional, es decir, posee dos dimensiones y se suele nombrar con letras del alfabeto griego.

Un segmento es una parte de la recta que se encuentra ubicada entre dos puntos.

Ángulos

La región del plano comprendida entre dos semirrectas se denomina ángulo. De acuerdo a su medida pueden ser nulos (cuando miden 0°), agudos (cuando no son nulos y miden menos de 90°), rectos (cuando miden 90°), obtusos (cuando son menores a 180° y mayores a 90°) y llanos (cuando miden 180°). Se habla de dos ángulos complementarios cuando la suma de estos es igual a 90°, por otra parte, dos ángulos son suplementarios si la suma de ambos es igual a 180°. La sumatoria de los ángulos internos de un triángulo da 180°, mientras que en un cuadrilátero da 360°.

Polígonos

Los polígonos son figuras caracterizadas por estar delimitadas por segmentos finitos rectos denominados lados. Si todos sus lados tienen la misma longitud se denominan polígonos regulares, de lo contrario, se denominan polígonos irregulares. En el caso de los polígonos regulares se cumple que sus ángulos internos son iguales, lo mismo sucede con sus ángulos externos. Los polígonos regulares también se caracterizan por tener igual cantidad de ejes de simetrías que de lados y sus diagonales son todas internas y de la misma longitud.

Cuerpos geométricos

Los cuerpos geométricos pueden clasificarse en poliedros cuando todas sus caras son iguales y planas, y en cuerpos redondos cuando poseen al menos una cara curva. Sus elementos principales son las caras, las aristas y los vértices. Cada uno de los cuerpos geométricos posee su fórmula para determinar su volumen. De igual forma, cada uno de los cuerpos geométricos pueden representarse en construcciones de tres dimensiones.

La esfera es un cuerpo geométrico que no posee caras, aristas ni vértices.

Circunferencia y círculo

La circunferencia es una línea cerrada que sobresale por ser el perímetro del círculo. Por otra parte, el círculo es una figura geométrica que se encuentra delimitada por una circunferencia. Los elementos principales de una circunferencia son: centro, radio, cuerda, diámetro, semicircunferencia y arco. Entre una circunferencia y una recta pueden darse tres tipos diferentes de relación: recta exterior (cuando no toca ningún punto de la circunferencia), recta tangente (cuando toca un solo punto de la circunferencia) y recta secante (cuando atraviesa la circunferencia en dos puntos). El área de un círculo es igual al producto de el número pi por el radio de la circunferencia al cuadrado.

El matemático griego Eratóstenes fue la primera persona en calcular el diámetro de la Tierra en el 230 a. C.

Aplicación de la geometría

Incontables son las disciplinas y las situaciones en las que se emplea la geometría. Desde que apareció esta rama de la matemática ha permitido resolver infinidad de problemas. El cálculo de áreas de superficies planas puede extenderse a situaciones cotidianas como el cálculo de la extensión de un terreno, esto se debe a que cada figura posee su fórmula particular. Lo mismo sucede con el cálculo de volumen y los cuerpos geométricos.

La geometría ha permitido a la arquitectura realizar obras de singular belleza.

CAPÍTULO 5 / TEMA 7 (REVISIÓN)

GEOMETRÍA | ¿QUÉ APRENDIMOS?

CUADRÍCULA

Desde la elaboración de planos y dibujos a escalas en hojas cuadriculadas, hasta la localización de estrellas en la galaxia, la unión de rectas perpendiculares nos ayuda a distinguir la posición de cualquier objeto. Una cuadrícula es un sistema de coordenadas compuesto por líneas perpendiculares verticales y horizontales, que funciona como sistema de referencias y permite ubicar elementos en un espacio definido. El conjunto de líneas horizontales y verticales, también llamadas ejes, suelen nombrarse con números y letras.

TIPOS DE LÍNEAS

Las líneas son un conjunto de puntos ubicados uno junto al otro que generan un trazo continuo. Si los puntos están orientados en una misma dirección, entonces, forman una línea recta. Las líneas rectas son continuas e infinitas, no tienen ni principio ni final y se pueden clasificar según la forma en que interaccionan entre ellas en rectas paralelas (aquellas que nunca se cortan), rectas secantes perpendiculares (aquellas que se cortan formando ángulos rectos) y rectas secantes oblicuas (aquellas que se cortan sin formar ángulos rectos).

Un ejemplo de líneas rectas paralelas son las vías de un ferrocarril. Cuando se cortan con otras forman líneas secantes.

LOS ÁNGULOS Y SUS TIPOS

Un ángulo es una porción del plano delimitado por dos semirrectas. Cada semirrecta es uno de los lados del ángulo y coinciden en un punto de origen al que se denomina vértice. A la distancia entre lado y lado del ángulo se la denomina amplitud, y esta se mide en grados (°). Si queremos medir o trazar un ángulo es indispensable el uso del transportador. Según su amplitud, un ángulo puede ser convexo, cóncavo, nulo, completo, llano, agudo, recto u obtuso.

Las escuadras nos permiten estimar ángulos, pues tienen un ángulo de 90° y dos ángulos de 45°.

LOS TRIÁNGULOS

Los triángulos son polígonos regulares cerrados de tres lados, tres ángulos y tres vértices. Los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180° y los ángulos exteriores suman 360°. Son varios los criterios de clasificación que permiten agrupar a los triángulos de acuerdo a ciertas particularidades, los más utilizados son: la medida de sus lados y la medida de sus ángulos. Según la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos; mientras que, según la medida de sus ángulos se clasifican en acutángulo, obtusángulo y rectángulo.

CUADRILÁTEROS

Los cuadriláteros tienen cuatro lados, cuatro ángulos internos, cuatro ángulos externos, cuatro vértices y dos diagonales. Estos se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides. Los paralelogramos son aquellos cuadriláteros que poseen dos pares de lados opuestos paralelos y que comparten algunas propiedades específicas; los trapecios, por su parte, son figuras que presentan un par de lados opuestos paralelos a los que se suele denominar base; y los trapezoides son aquellos cuyos lados no son paralelos.

POLIEDROS

Los poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales con caras planas formados por polígonos. Cada una de las caras de un poliedro es un polígono (triángulo, cuadrado, rombo, etc.). Los poliedros pueden ser regulares cuando sus caras están compuestas por el mismo polígono regular; o irregulares si sus caras presentan diferentes formas. En estos poliedros el número de caras no presenta límites como ocurre con los poliedros regulares y se dividen en prismas (tienen dos bases) y pirámides (tienen una sola base).

CAPÍTULO 5 / TEMA 1

Elementos geométricos

El punto, la recta y el plano representan los cimientos de la geometría. Seguramente, muchos otros conceptos no podrían ser definidos sin ellos y por tal motivo son tan importantes. Cada uno está relacionado: infinitos puntos forman una recta, infinitos puntos y rectas forman un plano e infinitos puntos, rectas y planos forman el espacio.

El punto

El punto es el objeto más pequeño del espacio, por tanto no tiene longitud, área o volumen. Es adimensional, lo que quiere decir que no tiene dimensiones.

Una de las funciones del punto es describir la posición en un sistema de coordenadas como el cartesiano.

¿Sabías qué?

Los puntos se nombran con letras mayúsculas del abecedario, por ejemplo: A, B, C, D, etc.

Entes fundamentales de la geometría

Se denominan así a los entes que por sí solos no tienen definición y se comprenden a partir de las características de elementos similares. La mayoría de las personas tiene noción de lo que cada uno representa. Los entes fundamentales en la geometría son el punto, la recta y el plano.

La recta y sus tipos

Una recta es un tipo de línea que se extiende en una misma dirección y está formada por infinitos puntos. Por esta razón, la recta tiene longitud pero no anchura. En geometría, las rectas se suelen denominar con letras minúsculas.

De acuerdo a su posición en el plano, las rectas pueden ser paralelas, perpendiculares y secantes.

¿Sabías qué?

Entre dos puntos, solamente existe una recta que los une.

Rectas paralelas

Son rectas que no tienen ningún punto en común, es decir, nunca se interceptan. Para la construcción de este tipo de rectas se emplean la regla, la escuadra y el compás. En el siguiente ejemplo la recta a es paralela a la recta b.

Un ejemplo de rectas paralelas son los lados opuestos de un cuadrilátero como el cuadrado.

VER INFOGRAFÍA

Rectas secantes

Son aquellas que se interceptan en un punto en común y forman cuatro ángulos internos. Las rectas c y d son secantes.

Un ejemplo de rectas secantes son dos calles que se interceptan en un punto en común.

Rectas perpendiculares

Son aquellas rectas secantes que al cortarse forman cuatro ángulos iguales, específicamente rectos (de 90°). Estas rectas dividen al plano en cuatro regiones. Las rectas e y f son perpendiculares entre sí.

Un ejemplo de rectas perpendiculares son los ejes del plano cartesiano.

La recta es un tipo de línea pero no es la única, existen líneas curvas, quebradas y mixtas. Además de su empleo en la geometría, los diferentes tipos de líneas son recursos usados por artistas plásticos y diseñadores gráficos en sus trabajos para proporcionar expresividad gráfica, dinamismo y movimiento. También son útiles para crear planos y texturas.

Otros conceptos relacionados

Semirrecta

Todo punto que pertenece a una línea recta la divide en dos partes denominadas semirrectas. Las semirrectas también son llamadas rayos y contienen infinitos puntos como la recta. La diferencia es que una recta no tiene origen y una semirrecta sí lo tiene.

Segmento

Corresponde a la parte de una recta que se encuentra delimitada entre dos de sus puntos, cada uno de ellos es denominado extremo. Los segmentos se escriben a través de la escritura sin espacio de sus extremos y con una raya horizontal en la parte superior. En el siguiente ejemplo, la figura corresponde al segmento $\overline{PQ}$ .

El plano

Es un ente ideal que posee dos dimensiones (bidimensional). Se suele representar con letras del alfabeto griego. En geometría, un plano queda definido cuando se cumplen algunas de las siguientes condiciones:

Tres puntos no alineados.
Dos rectas que son paralelas.
Dos rectas secantes.

Un plano contiene infinitas rectas y puntos. En el siguiente ejemplo se puede observar un ejemplo de plano.

Otro ejemplo de plano sería la parte superior de una mesa.

Con el propósito de facilitar su gráfica y simplificar su visualización, los planos suelen representarse como una figura delimitada con bordes irregulares. Sin embargo, un plano contiene infinitos puntos, por lo tanto, al igual que sucede con la recta, sería imposible representarlo completamente, así que se muestra una pequeña porción de su superficie.

El plano cartesiano

Es un sistema de coordenadas desarrollado por el célebre matemático René Descartes en el siglo XVII. Permite asignar ubicación a cualquier punto del plano. Este sistema cuenta con dos ejes numerados que permiten localizar las coordenadas de los puntos. Un eje vertical denominado eje Y o de las ordenadas muestra las coordenadas en Y de un punto, y un eje horizontal denominado eje X o de las abscisas indica las coordenada en X de un punto.

¡A practicar!

1. Observa la siguiente imagen y responde qué tipo de rectas son las indicadas.

a) Las rectas e y h.

Solución

Secantes.

b) Las rectas d y g.

Solución

Secantes perpendiculares.

c) Las rectas e y f.

Solución

Paralelas.

d) Las rectas h y f.

Solución

Secantes.

2. De acuerdo al contenido explicado responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántos puntos no alineados definen a un plano?

Solución

b) ¿Qué diferencia tiene una recta de una semirrecta?

Solución

La semirrecta tiene un origen y la recta no.

c) ¿De qué medida son los ángulos formados por dos rectas perpendiculares?

Solución

90°

d) ¿En cuántos puntos se intersectan dos rectas paralelas?

Solución

En ningún punto.

e) ¿Cuáles entes fundamentales de la geometría suelen nombrarse con letras del alfabeto griego?

Solución

Los planos.

f) ¿Cómo se denominan a los puntos que forman un segmento?

Solución

Extremos.

g) ¿Qué tipo de ente fundamental de la geometría tiene longitud pero no anchura?

Solución

La recta.

h) ¿Qué tipo de ente fundamental de la geometría no tiene dimensiones?

Solución

El punto.

i) ¿Con qué otro nombre se denominan las semirrectas?

Solución

Rayos.

j) ¿Quién inventó el sistema cartesiano?

Solución

René Descartes.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Determinación de rectas y puntos notables de los triángulos”

El artículo explica cuáles son las rectas y puntos notables que presentan los triángulos y qué características geométricas poseen.

VER

Micrositio “Tarjetas educativas – Geometría y medidas”

En este micrositio podrá encontrar una variedad de tarjetas que resumen los elementos principales de la geometría como el punto, la recta y las principales figuras geométricas.

VER

Artículo “Las rectas en el plano”

El artículo explica la clasificación de las rectas según su posición en el plano y muestra cómo graficar cada una de ellas mediante el uso de regla, escuadra y compás.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 2

TIPOS DE LÍNEAS

Cuando los puntos están ubicados uno junto al otro generan un trazo continuo, es decir, generan una línea. Ahora, si los puntos están orientados en una misma dirección forman una línea recta. Este tipo de líneas son continuas e infinitas, no tienen ni principio ni final y las podemos clasificar según la forma en que interaccionan entre ellas.

LÍNEAS PARALELAS

Las líneas paralelas son aquellas líneas rectas que sostienen una distancia determinada entre sí y, a pesar de extender su trayectoria, no se encuentran ni se tocan en ningún punto.

Un ejemplo de líneas rectas paralelas en la vida cotidiana son las vías de un ferrocarril. Las vías no son ni más ni menos que dos líneas rectas paralelas. En ellas se observa cómo a pesar de que la trayectoria de ambas se extiende a lo largo de todo el recorrido, estas rectas jamás se tocan. Sostienen la misma distancia entre ellas durante todo el trayecto.

Las líneas rectas paralelas se encuentran en un mismo plano y recorren trayectorias similares pero mantienen siempre la misma distancia una de la otra y en ningún momento se cruzan o se cortan. Entonces, las rectas paralelas no comparten ningún punto entre sí.

¿Sabías qué?

También se consideran rectas paralelas a las rectas coincidentes, es decir, a aquellas que comparten todos sus puntos. Esto es posible cuando dos rectas similares se superponen y ocupan el mismo espacio en el plano.

Propiedades de las rectas paralelas

Reflexiva: toda recta es paralela a sí misma.

La recta AB es paralela a sí misma.

Simétrica: si una recta es paralela a otra, esa otra será paralela a la primera.

La recta AB es paralela a la recta CD, así como la recta CD es paralela a la recta AB.

Transitiva: si una recta es paralela a otra y esta a su vez es paralela a una tercera, la primera será paralela a la tercera recta. Entonces, dos rectas paralelas a una tercera serán paralelas entre sí y todas las rectas paralelas presentan la misma dirección en su trayectoria.

La recta AB es paralela a la recta CD. La recta CD es paralela a la recta EF. Entonces, la recta AB también es paralela a la recta EF.[/su_note]

LÍNEAS PERPENDICULARES

Se llama líneas rectas perpendiculares a aquellas líneas que dentro de un mismo plano se cortan en un único punto y forman ángulos de 90°.

El tablero de ajedrez es cuadrado y consta de 64 casillas del mismo tamaño. Estas casillas están dispuestas en 8 líneas de 8 casilleros cada una, y alternan entre blancas y negras. Todas las líneas están dispuestas de manera perpendicular, de modo que al unirse una casilla de una letra con la de un número se forma un ángulo de 90 grados.

Cuando dos líneas que recorren el plano en diferente dirección se cruzan de forma perpendicular generan cuatro ángulos de 90°, o cuatro ángulos rectos. Es decir, el plano queda dividido en cuatro partes a las que llamamos cuadrantes.

Rectas secantes: rectas que también se cruzan en el plano

No todas las rectas que se cruzan en un plano tiene una relación de perpendicularidad. Observa:

En este caso, las rectas AB y CD se cortan de manera perpendicular, puedes confirmar esto al observar la medida del ángulo α = 90°; es decir, es un ángulo recto.

En cambio, en este caso puedes ver que si bien las rectas AB y CD están en el mismo plano y se cortan en un punto, el ángulo α no es un ángulo recto. A estas rectas que se cortan, pero no forman ángulos rectos, se las llama rectas secantes.

Propiedades de las líneas rectas perpendiculares

Reflexiva: las rectas perpendiculares no cumplen con la característica reflexiva, es decir, no son perpendiculares a sí mismas.

Simétrica: si una recta es perpendicular a otra, esta es perpendicular a la primera.

Como podrás observar, no es posible que la recta AB sea perpendicular a sí misma, así como no es posible que la recta CD sea perpendicular a sí misma. En cambio, las rectas AB y CD son perpendiculares entre sí.

Transitiva: las rectas perpendiculares no cumplen con la propiedad transitiva. Entonces, que dos rectas sean perpendiculares entre sí, y la segunda sea perpendicular a una tercera, no hace que esa tercera recta sea perpendicular a la primera.Aquí puedes ver que si bien la recta EF es perpendicular a la recta AB y a la recta CD, las rectas CD y AB no son perpendiculares entre sí, ya que no se cortan en ningún punto. Por el contrario, puedes observar que las rectas AB y CD son paralelas entre sí. [/su_note]

LÍNEAS SECANTES E INTERSECANTES

Las líneas rectas intersecantes son aquellas líneas rectas que existen en el mismo plano y comparten un punto en común, es decir, se cortan en algún punto.

Esta señal de tránsito indica que te encontrarás con una intersección. Una intersección no es otra cosa que el punto en el que dos o más rutas se tocan. Es decir, se trata de líneas que coinciden, o se cortan, en un mismo punto. Si observas el cartel, verás que al tocarse estas líneas no generan cuatro ángulos rectos, por lo tanto podemos decir que estas líneas son **líneas rectas secantes oblicuas**.

Clasificación de las líneas secantes

Las líneas rectas secantes se clasifican de acuerdo a la medida de los ángulos que generan con su corte.

Las líneas rectas secantes oblicuas son aquellas que al coincidir en algún punto generan ángulos distintos a 90°, es decir, no generan ángulos rectos. Por ejemplo, la recta EF es una recta secante oblicua con respecto a la recta AB.
Las líneas rectas secantes perpendiculares, tal como lo vimos anteriormente, son aquellas que al coincidir generan cuatro ángulos de 90°. Por ejemplo la recta CD es una recta secante perpendicular con respecto a la recta AB.

¿Sabías qué?

También existen las rectas concurrentes o convergentes que son las que, a pesar de que a simple vista no se observe, al extender su trayectoria se unen entre sí.

¡A practicar!

Observa con atención la imagen e identifica qué relación existe entre las rectas señaladas:

Recta	Relación
AB y CD	Paralelas
AB y GH
GH y EF
CD y IJ
KL y AB

Solución

Recta	Relación
AB y CD	Paralelas
AB y GH	Perpendiculares
GH y EF	Paralelas
CD y IJ	Secante oblicua
KL y AB	Secante oblicua

LÍNEAS EN NUESTRA VIDA COTIDIANA

Las líneas están presente en todo lo que nos rodea. Una línea puede ser una sucesión infinita de puntos interrelacionados y puedes verla graficada, pero también puede ser imaginaria; por ejemplo, cuando pensamos en qué dirección patear el balón para que logre entrar en el arco y hacer un gol, nos imaginamos una línea desde el balón hasta el arco que nos ayuda a orientarnos. Esto quiere decir que las líneas pueden ser visibles, pero también invisibles, ya que nuestro cerebro utiliza esquemas mentales.

Las líneas también se utilizan para describir la distancia entre dos puntos, y por eso se las ve en los mapas, o en el recorrido que indica el GPS. Por otro lado, las líneas están en los contornos de los objetos, figuras e imágenes.

Usos de las líneas

Tal como en los casos de las vías del ferrocarril, el tablero de ajedrez o la señal de intersección, en todas las imágenes y objetos que te rodean puedes identificar líneas.

Este es un templo de Acrópolis, si lo observas detalladamente verás que su techo y su piso establecen líneas paralelas, y así como las bellísimas estatuas que funcionan como columnas resultan paralelas entre sí, también resultan perpendiculares con respecto al suelo y al techo.

Otro gran ejemplo de las líneas imaginarias son las constelaciones, que se han usado durante mucho tiempo para orientarnos geográficamente. Las mismas son un conjunto de líneas imaginarias que unen determinadas estrellas y dan una forma específica.

VER INFOGRAFÍA

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Rectas”

Este artículo sobre las rectas brindará información clara y sistematizada para su definición.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 7 (REVISIÓN)

GEOMETRÍA | ¿QUÉ APRENDIMOS?

UBICACIÓN ESPACIAL

La ubicación espacial nos sirve para conocer dónde estamos con respecto a todo lo que nos rodea, de este modo podemos señalar con facilidad nuestra ubicación. Términos como arriba, abajo, derecha, izquierda, delante y detrás son de gran utilidad para el desarrollo del sentido de la orientación. Si deseamos ubicar puntos en un plano podemos usar los ejes de coordenadas: un conjunto de líneas verticales y horizontales que nos brindan los datos necesarios para saber la posición exacta de un objeto en una cuadrícula.

En esta imagen, los crayones están dentro de un recipiente, el cuaderno está sobre la mesa y los bolígrafos están al lado del cuaderno.

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Los cuerpos geométricos poseen tres dimensiones: alto, largo y ancho. Estos cuerpos pueden ser poliedros, tales como el cubo, la pirámide y el prisma; también pueden ser cuerpos redondos, como la esfera, el cono y el cilindro. Los elementos que los componen son las caras, las aristas y los vértices. Las caras de los cuerpos geométricos son figuras planas.

Las pirámides de Egipto fueron construidas con forma de pirámide cuadrangular porque simbolizaban los rayos del Sol.

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

El punto, la recta, el rayo y el segmento son elementos geométricos. El punto indica una posición, el rayo posee un origen y se extiende hacia el infinito, el segmento tiene un principio y un final, y la recta es una sucesión de puntos que siguen una misma dirección. Por otro lado, dos rectas pueden ser paralelas cuando no se cortan en ningún punto; perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos rectos y oblicuas cuando al cortarse no forman ángulos rectos.

Los cables de electricidad representan rectas paralelas. Al verlos dan la ilusión de tres rectas que no se tocan entre sí.

ángulos

El ángulo es una porción comprendida entre dos lados con un origen en común llamado vértice. Según sus medidas el ángulo puede ser convexo, nulo, agudo, recto, obtuso, cóncavo, llano y completo. Según su posición existen ángulos adyacentes, consecutivos y opuestos por el vértice. Para estimar la medida de un ángulo es preferible usar medidas de referencia que ya conocemos, como ángulos de 45° y 90°.

perímetro

El perímetro es el contorno de una figura. Para averiguar el perímetro de polígonos regulares multiplicamos la cantidad de lados por la longitud del lado. En cambio, para polígonos no regulares el perímetro lo calculamos al sumar todos los lados de la figura. Conocer cuánto mide el perímetro de una figura te ayudará a saber cuánto material se utilizó para alambrar una cancha de fútbol y en otros múltiples usos.

transformaciones isométricas

Una transformación isométrica es el cambio de posición que sufre una figura. Estas transformaciones pueden ser por rotación, por traslación o por reflexión. La rotación se refiere al giro alrededor de un punto fijo; la traslación consiste en mover todos los puntos de una figura en la misma dirección, sentido y distancia; y la reflexión no es más que el reflejo de la figura respecto de un eje de simetría. Estas transformaciones no cambian ni la forma ni el tamaño de las figuras.

El planeta Tierra presenta varios movimientos, dos de ellos son la traslación y la rotación.

CAPÍTULO 4 / TEMA 3

elementos geométricos

Para dibujar elementos geométricos en una hoja de papel podemos inspirarnos en elementos que vemos a nuestro alrededor. Por ejemplo, un clavo en la pared, la senda peatonal o el cable de luz que atraviesa nuestra calle.

El punto

El punto sirve para indicar una posición y se nombra con una letra mayúscula.

¿Sabías qué?

El matemático griego Euclides fue el primero en dar una definición del punto en geometría.

la recta

La recta es una sucesión infinita de puntos orientada en una misma dirección. No tiene principio ni final y la longitud es su única dimensión. Con dos puntos podemos trazar una recta y la nombramos con una letra minúscula.

Según la posición que tomen las rectas en un plano estas pueden ser paralelas o secantes. También existen las coincidentes que se representan una sobre otra.

Dos rectas son paralelas cuando no se cortan en ningún punto por más que intentemos extenderlas.

Dos rectas son secantes cuando se cortan en un punto y pueden ser perpendiculares u oblicuas. Las rectas perpendiculares son aquellas que al cortarse en un punto forman cuatro ángulos rectos, mientras que las rectas oblicuas son aquellas que al cortarse en un punto no forman ángulos rectos.

Veremos un ejemplo para entender más cómo se cortan las rectas. El siguiente esquema representa las calles de una ciudad, cada una lleva un nombre para poder identificarlas.

Francia y Neuquén son calles paralelas, observa que nunca se cortan.
Italia y España son perpendiculares. Notarás que las rectas se cortan en forma de cruz, lo que formará cuatro ángulos rectos.
Peña y Quiroga son oblicuas porque al cruzarse no forman ángulos rectos.

¡A practicar!

¿Cómo son las calles Roca y Neuquén?
Solución
Son perpendiculares.
¿Como son las calles Italia y Quiroga?
Solución
Son oblicuas.
¿Cómo son las calles Peña y Roca?
Solución
Son paralelas.
¿Peña y Francia son calles paralelas?
Solución
No. Son perpendiculares.
Si extendemos más la calle Roca hasta que se cruce con Quiroga, ¿estas calles serán oblicuas?
Solución
Sí.
¿Italia y Francia son paralelas?
Solución
Sí, nunca se cortan.
¿España y Peña son perpendiculares?
Solución
No. Son paralelas.
¿Neuquén y Quiroga pueden ser calles oblicuas?
Solución
Sí, al extender las dos calles demostramos que se cortan.

El rayo

El rayo, también conocido como semirrecta, tiene un punto de origen pero no tiene fin, se extiende hacia el infinito.

el segmento

El segmento es la distancia que existe entre dos puntos de una recta, esto quiere decir que tiene un origen y un final. Además expresa gráficamente una medida.

Podemos marcar infinitos segmentos en una recta. Observa este ejemplo y anota los segmentos:

Desde el punto A al D hay tres segmentos: AB, AC y AD. Desde el punto B al D hay dos segmentos: BC y BD y por último nos queda el segmento CD. Por lo tanto, en la recta hay 6 segmentos.

¡A practicar!

En la recta k, ¿cuántos segmentos hay?
Solución
Hay 3 segmentos.
¿Qué segmentos se forman en la recta k?
Solución
AB, AC y BC.
En la recta s, ¿cuántos segmentos hay?
Solución
Hay 3 segmentos.
¿Qué segmentos se forman en la recta s?
Solución
FC, FG y CG.
¿En todas las rectas se forman la misma cantidad de segmentos?
Solución
Sí.
¿Qué segmentos se forman en la recta t?
Solución
DE, DB y BE.
¿Cuántos segmentos se forman en total?
Solución
9 segmentos.

elementos geométricos en la vida cotidiana

La geometría forma parte de nuestras vidas, a donde miremos hay figuras y cuerpos geométricos e incluso puntos que marcan donde estamos o dónde queremos ir. Las rectas pueden estar representadas por las calles de la ciudad, los cables de energía eléctrica, hasta el rayo o semirrecta se forma si un auto viaja desde un punto de inicio, por ejemplo una estación de servicio en línea recta. Los segmentos los podemos encontrar en los barrotes de una reja, todo lo que nos rodea puede convertirse en un elemento geométrico.

Las rectas pueden estar representadas por las calles de la ciudad, los cables de energía eléctrica, hasta el rayo o semirrecta se forma si un auto viaja desde un punto de inicio, por ejemplo una estación de servicio en línea recta. Los segmentos los podemos encontrar en los barrotes de una reja o en los rieles de un tren.

Al estilo de Mondrian

Para el pintor Piet Mondrian el arte era representado a través de líneas rectas y colores primarios, creía que mostraba el orden armonioso del universo. Si observamos esta imagen al estilo de las pinturas de Mondrian, las líneas rectas se convierten en rectas que al cortarse unas con otras obtenemos segmentos. Algunas de las rectas que se forman son paralelas y otras perpendiculares.

Actividades

Observa la siguiente imagen y responde.

¿Cuáles de las siguientes rectas son paralelas?
Solución
Las rectas a, b, c y d son paralelas entre sí.
¿Cuáles de las siguientes rectas son perpendiculares?
Solución
La recta “e” es perpendicular con a, b, c y d.
¿Cuáles de las siguientes rectas son oblicuas?
Solución
La recta f es oblicua con a, b y c.
Si extendemos la recta f, ¿las recta d y e también son oblicuas con ella?
Solución
Sí.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Rectas”

El siguiente recurso le permitirá profundizar la información brindada sobre las rectas.

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