Gracias al estudio de la geometría y la trigonometría, la humanidad evolucionó de tal manera que logró edificar ciudades, construir herramientas y diseñar su vestimenta; y los ángulos son parte de esto. Si observamos a nuestro alrededor todos los objetos tienen algún tipo de ángulo.
¿Qué es un ángulo?
Un ángulo es la porción comprendida entre dos semirrectas con un origen en común llamado vértice.
Tipos de ángulos
La clasificación de los ángulos dependerá por un lado de sus medidas y por el otro de sus posiciones.
Según sus medidas un ángulo puede ser:
Convexo: es el que mide menos de 180°.
Nulo: es que el que no tiene amplitud, mide 0°.
Agudo: es el que mide menos de 90°.
Recto: es el que mide 90°.
Obtuso: es el que mide más de 90° y menos de 180°.
Cóncavo: es el que mide más de 180°.
Llano: es el que mide 180°.
Completo: es el que mide 360°.
¿Sabías qué?
Los ángulos agudos, rectos y obtusos están dentro de la clasificación de ángulos convexos.
Según su posición, dos ángulos pueden ser:
Adyacentes: tienen un lado y un vértice en común. La suma de sus ángulos suma 180°.
Consecutivos: tienen un lado y un vértice en común.
Opuestos por el vértice: tienen en común solamente el vértice.
Los egipcios fueron los primeros en establecer la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.
¡Encuentra los ángulos!
Observa la siguiente imagen:
¿Qué tipos de ángulos encuentras en la casa?
Solución
Agudos, rectos y obtusos.
¿Dónde encontraste los ángulos agudos?
Solución
En el triángulo de la chimenea y en la unión de la pared con el techo.
¿Dónde encontraste los ángulos rectos?
Solución
En la puerta, en las ventanas y en la unión del suelo con las paredes.
¿Dónde encontraste los ángulos obtusos?
Solución
En el techo.
La vuelta del Sol
En la Antigüedad, los babilonios hicieron varios estudios sobre los astros porque creían que en ellos estaba escrito el futuro. Tras observar el cielo, consideraban que el Sol tardaba 360 días en volver a estar en la misma posición. Por esto decidieron dividir la circunferencia en 360 partes iguales. Llamamos grado a cada una de las 360 partes iguales en la que dividimos a un ángulo completo.
elementos de los ángulos
Como ya vimos, un ángulo es el espacio que existe entre dos semirrectas que parten desde un mismo punto. Los elementos que componen al ángulo son los siguientes:
Lado: es lo que antes llamábamos semirrecta.
Vértice: es el punto en el que coinciden las dos semirrectas.
Amplitud: es la apertura que hay entre los dos lados. Medimos la amplitud en grados y usamos un transportador para eso.
Transportador
El transportador es el instrumento que nos permite medir y construir un ángulo gráficamente. Por lo general son de plástico y poseen una forma circular o semicircular. Para utilizarlo apoyamos el centro del semicírculo en el vértice del ángulo, hacemos coincidir uno de los lados con el 0° y el otro lado del ángulo marcará la abertura en el punto del semicírculo graduado.
Estimación de ángulos
Para conocer la medida exacta de un ángulo se usa el transportador, pero también podemos estimar su valor. Para esto podemos usar como referencia medidas ya conocidas, como el ángulo de 45° y el ángulo de 90°; y así poder saber una medida aproximada del ángulo.
Escuadra y estimación
La escuadra es una herramienta de geometría que podemos utilizar para estimar ángulos, pues posee un ángulo de 90° como se observa en la imagen. El ángulo de 45° se obtiene de dividir a la mitad el ángulo de 90°. En la última escuadra vemos la estimación de un ángulo de 30° y otro de 80°. Para aproximar usamos las referencias de los ángulos conocidos. La abertura del ángulo de 30° es más pequeña que la de 45°, por eso el ángulo es menor. Lo mismo nos pasa con el ángulo de 80°, su apertura es menor que 90°.
Cuando un ángulo es mayor que 90°, uno de los lados del ángulo quedará a la izquierda de la escuadra. Veamos un ejemplo:
Vamos a imaginar que un espejo está enmarcado en esta figura y queremos estimar cuánto mide el ángulo que está señalado en color rojo. La escuadra ya está apoyada en uno de los lados pero el otro lado se inclina a la izquierda de la escuadra. Como ya sabemos que el ángulo de la escuadra mide 90°, entonces el ángulo que debemos estimar es mayor. Por lo tanto, ese ángulo puede medir aproximadamente 120°.
¡Estima medidas!
Estima las medidas de los ángulos marcados:
¿Cuánto estimas que mide el ángulo del objeto A?
Solución
Como la abertura es más pequeña que 45°, pero más grande que 0°, podemos decir que mide aproximadamente 30°.
¿Cuánto estimas que mide el ángulo objeto B?
Solución
Como la abertura es un poco más pequeña que 90°, pero mayor a 45°, podemos decir que mide aproximadamente 60°.
¿Cuánto estimas que mide el ángulo del objeto C?
Solución
Mide 90°.
¿Cuánto estimas que mide el ángulo del objeto D?
Solución
Como la abertura es mayor a los 90°, pero está lejos de llegar a 180°, podemos decir que mide aproximadamente 120°.
¿Cuánto estimas que mide el ángulo del objeto E?
Solución
Como la abertura es un poco más pequeña que 90°, pero mayor a 45°, podemos decir que mide aproximadamente 75°.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Ángulos”
Este recurso le permitirá profundizar la información sobre los ángulos y su clasificación.
Para dibujar elementos geométricos en una hoja de papel podemos inspirarnos en elementos que vemos a nuestro alrededor. Por ejemplo, un clavo en la pared, la senda peatonal o el cable de luz que atraviesa nuestra calle.
El plano, el punto y la recta son algunos de los elementos geométricos con los que podemos dibujar figuras. Cada una de ellas tienen dimensiones distintas: el plano tiene dos, la recta tiene una y el punto no tiene. Sobre un plano podemos trazar rectas, y estas rectas no son más que una sucesión de puntos. ¡Intenta hacer rectas en una hoja de papel!
El punto
El punto sirve para indicar una posición y se nombra con una letra mayúscula.
¿Sabías qué?
El matemático griego Euclides fue el primero en dar una definición del punto en geometría.
la recta
La recta es una sucesión infinita de puntos orientada en una misma dirección. No tiene principio ni final y la longitud es su única dimensión. Con dos puntos podemos trazar una recta y la nombramos con una letra minúscula.
Según la posición que tomen las rectas en un plano estas pueden ser paralelas o secantes. También existen las coincidentes que se representan una sobre otra.
Dos rectas son paralelas cuando no se cortan en ningún punto por más que intentemos extenderlas.
Dos rectas son secantes cuando se cortan en un punto y pueden ser perpendiculares u oblicuas. Las rectas perpendiculares son aquellas que al cortarse en un punto forman cuatro ángulos rectos, mientras que las rectas oblicuas son aquellas que al cortarse en un punto no forman ángulos rectos.
Veremos un ejemplo para entender más cómo se cortan las rectas. El siguiente esquema representa las calles de una ciudad, cada una lleva un nombre para poder identificarlas.
Francia y Neuquén son calles paralelas, observa que nunca se cortan.
Italia y España son perpendiculares. Notarás que las rectas se cortan en forma de cruz, lo que formará cuatro ángulos rectos.
Peña y Quiroga son oblicuas porque al cruzarse no forman ángulos rectos.
¡A practicar!
¿Cómo son las calles Roca y Neuquén?
Solución
Son perpendiculares.
¿Como son las calles Italia y Quiroga?
Solución
Son oblicuas.
¿Cómo son las calles Peña y Roca?
Solución
Son paralelas.
¿Peña y Francia son calles paralelas?
Solución
No. Son perpendiculares.
Si extendemos más la calle Roca hasta que se cruce con Quiroga, ¿estas calles serán oblicuas?
Solución
Sí.
¿Italia y Francia son paralelas?
Solución
Sí, nunca se cortan.
¿España y Peña son perpendiculares?
Solución
No. Son paralelas.
¿Neuquén y Quiroga pueden ser calles oblicuas?
Solución
Sí, al extender las dos calles demostramos que se cortan.
El rayo
El rayo, también conocido como semirrecta, tiene un punto de origen pero no tiene fin, se extiende hacia el infinito.
el segmento
El segmento es la distancia que existe entre dos puntos de una recta, esto quiere decir que tiene un origen y un final. Además expresa gráficamente una medida.
Podemos marcar infinitos segmentos en una recta. Observa este ejemplo y anota los segmentos:
Desde el punto A al D hay tres segmentos: AB, AC y AD. Desde el punto B al D hay dos segmentos: BC y BD y por último nos queda el segmento CD. Por lo tanto, en la recta hay 6 segmentos.
¡A practicar!
En la recta k, ¿cuántos segmentos hay?
Solución
Hay 3 segmentos.
¿Qué segmentos se forman en la recta k?
Solución
AB, AC y BC.
En la recta s, ¿cuántos segmentos hay?
Solución
Hay 3 segmentos.
¿Qué segmentos se forman en la recta s?
Solución
FC, FG y CG.
¿En todas las rectas se forman la misma cantidad de segmentos?
Solución
Sí.
¿Qué segmentos se forman en la recta t?
Solución
DE, DB y BE.
¿Cuántos segmentos se forman en total?
Solución
9 segmentos.
elementos geométricos en la vida cotidiana
La geometría forma parte de nuestras vidas, a donde miremos hay figuras y cuerpos geométricos e incluso puntos que marcan donde estamos o dónde queremos ir. Las rectas pueden estar representadas por las calles de la ciudad, los cables de energía eléctrica, hasta el rayo o semirrecta se forma si un auto viaja desde un punto de inicio, por ejemplo una estación de servicio en línea recta. Los segmentos los podemos encontrar en los barrotes de una reja, todo lo que nos rodea puede convertirse en un elemento geométrico.
Las rectas pueden estar representadas por las calles de la ciudad, los cables de energía eléctrica, hasta el rayo o semirrecta se forma si un auto viaja desde un punto de inicio, por ejemplo una estación de servicio en línea recta. Los segmentos los podemos encontrar en los barrotes de una reja o en los rieles de un tren.
Al estilo de Mondrian
Para el pintor Piet Mondrian el arte era representado a través de líneas rectas y colores primarios, creía que mostraba el orden armonioso del universo. Si observamos esta imagen al estilo de las pinturas de Mondrian, las líneas rectas se convierten en rectas que al cortarse unas con otras obtenemos segmentos. Algunas de las rectas que se forman son paralelas y otras perpendiculares.
Actividades
Observa la siguiente imagen y responde.
¿Cuáles de las siguientes rectas son paralelas?
Solución
Las rectas a, b, c y d son paralelas entre sí.
¿Cuáles de las siguientes rectas son perpendiculares?
Solución
La recta “e” es perpendicular con a, b, c y d.
¿Cuáles de las siguientes rectas son oblicuas?
Solución
La recta f es oblicua con a, b y c.
Si extendemos la recta f, ¿las recta d y e también son oblicuas con ella?
Solución
Sí.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Rectas”
El siguiente recurso le permitirá profundizar la información brindada sobre las rectas.
La multiplicación y la división son operaciones básicas de la matemática. La primera consiste básicamente en sumar varias veces un mismo número y la segunda, en cambio, consiste en repartir cantidades. Ambas están muy relacionadas entre sí y su manejo es necesario para resolver otros tipos de problemas.
Elementos de la multiplicación
La multiplicación es una operación en la que se suma tantas veces un número como indica otro número, por ejemplo, 3 x 4 = 12 se puede representar como 3 + 3 + 3 + 3 = 12. El signo usado en la multiplicación es “x” y se lee “por”. Los elementos principales de una multiplicación son:
Factores o coeficientes: son los números que se multiplican, estos son multiplicando y multiplicador. El multiplicando es el número a sumar y el multiplicador es el número de veces que se suma al multiplicando. En la multiplicación 3 x 4 = 12, el número 3 es el multiplicando y el 4 corresponde al multiplicador.
Producto: es el resultado de la multiplicación de dos o más factores. Hay ocasiones en las que las multiplicaciones son largas y deben realizarse por medio de la suma de productos parciales.
¿Sabías qué?
En la multiplicación además de la equis también suele usarse el punto “·” como símbolo.
La multiplicación tiene la finalidad de calcular el producto o resultado que se obtiene de sumar el multiplicando tantas veces por sí mismo como indique el multiplicador. En estas operaciones, cuando el multiplicador es mayor a una cifra se requieren de productos parciales que se sumarán para obtener el resultado final de la multiplicación.
Propiedades de la multiplicación
Son cuatro propiedades: la conmutativa, la asociativa, la distributiva y la del elemento neutro.
Propiedad conmutativa
Esta propiedad permite que al multiplicar dos números el resultado sea el mismo sin importar el orden de los factores. Por ejemplo:
3 x 10 = 30
10 x 3 = 30
Por lo tanto, 3 x 10 = 10 x 3. Observa:
Propiedad asociativa
Esta propiedad permite que al multiplicar tres o más factores el producto siempre sea el mismo, sin importar como se agrupen estos. Por ejemplo, 2 x 4 x 6 se puede agrupar de estas formas:
(2 x 4) x 6 = 8 x 6 = 48
2 x (4 x 6) = 2 x 24 = 48
Por lo tanto, (2 x 4) x 6 = 2 x (4 x 6). Observa:
Propiedad distributiva
Esta propiedad permite que la suma de dos o más números multiplicada por otro número sea igual a la multiplicación de ese número por cada elemento de la suma. Por ejemplo:
Elemento neutro
El uno es el elemento neutro de la multiplicación, cualquier número multiplicado por él será igual a sí mismo. Por ejemplo:
0 x 1 = 0
3 x 1= 3
10 x 1 =10
113 x 1 = 113
¿Sabías qué?
La propiedad distributiva también puede aplicarse a números que se restan.
Modelos de multiplicación
Una multiplicación es una suma abreviada y puede ser representada a través del modelo grupal, modelo lineal y modelo geométrico. Estas son diferentes formas de dar sentido a las multiplicaciones y se pueden aplicar en situaciones simples de la vida.
Modelo grupal
En este modelo se construyen secuencias con la misma cantidad de elementos, estos grupos de elementos representan la multiplicación.
Observa la representación del modelo en los siguientes ejemplos:
4 pelotas de tenis = 4
1 vez 4 = 4 1 x 4 = 4
4 + 4 = 8 raquetas de tenis
2 veces 4 = 8 2 x 4 = 8
4 + 4 + 4 = 12 pelotas de baloncesto
3 veces 4 = 12 3 x 4 = 12
¿Sabías qué?
En el modelo grupal, 3 x 4 se lee como “tres veces cuatro”.
Modelo lineal
En este modelo se emplea la semirrecta numérica para representar las multiplicaciones. Se comienza desde cero y se cuenta de acuerdo al número de elementos que tenga el conjunto a estudiar y al número de conjuntos. Por ejemplo:
Un árbol crece 2 metros cada año. ¿Cuántos metros crecerá en 4 años?
Planteado el sistema en la gráfica sería:
4 veces 2 = 8 metros 4 x 2 = 8
Modelo geométrico
En este método se comparan las cuadrículas en columnas y filas para representar una multiplicación. Se colocan tantas filas como indique el primer factor y el número de columnas será igual al segundo factor. Por ejemplo:
La multiplicación 3 x 4 = 12 se representa geométricamente de la siguiente manera:
Si se cuentan cada una de las cuadrículas se obtiene el resultado: 3 x 4 = 12
Pasos para resolver ejercicios con el algoritmo de la multiplicación
Multiplica las unidades del multiplicador por cada una de las cifras del multiplicando y coloca el resultado en la fila de abajo. Será el primer producto parcial.
Multiplica las decenas del multiplicador por cada una de las cifras del multiplicando y coloca el resultado en la fila de abajo pero con la diferencia que se debe desplazar una posición hacia la izquierda. Este será el segundo producto parcial.
Suma los dos productos parciales. El número que obtengas será el total de la multiplicación.
– Resuelve la multiplicación 453 x 24
Por tratarse de una multiplicación con números grandes no sería tan fácil de resolver a través de los modelos grupal, lineal y geométrico. En estos casos debes emplear el algoritmo de la multiplicación y seguir los pasos mencionados anteriormente.
Para iniciar, el multiplicando y el multiplicador tienen que estar uno debajo del otro:
Luego multiplica las unidades del multiplicador por el multiplicando, es decir, multiplica 4 por 453:
Después multiplica las decenas del multiplicador por el multiplicando, es decir, 2 por 453:
Por último, suma los dos productos parciales que se calcularon para obtener el resultado de la multiplicación:
Elementos de la división
La división consiste en repartir grupos de elementos en partes iguales. Sus elementos principales son:
Dividendo: es el número que se va a dividir, es decir, la cantidad que se quiere repartir.
Divisor: es el número que divide, este indica cuántas veces se va a repartir el dividendo.
Cociente: es el resultado de la división.
Resto: es la cantidad que sobra de la división o la que no se puede repartir por ser menor que el divisor.
La división también se expresa con el símbolo “÷“, por ejemplo:
Método para comprobar una división
En una división se cumple la relación:
Dividendo = (cociente x divisor) + resto
De esta manera es muy fácil comprobar que una división esté correcta, solo se debe multiplicar el cociente que se obtuvo por el divisor y luego sumarle el resto. Si el resultado que se obtiene es igual al número del dividendo, entonces la división es correcta.
¿Sabías qué?
Cuando el resto de una división es igual a cero la división es exacta y cuando no lo es se denomina división inexacta.
Algoritmo de división
Los pasos para resolver una división son los siguientes:
– Resuelve la división 3.654 ÷ 25
Lo primero que hay que hacer es tomar las dos primeras cifras del dividendo, si estas dos cifras forman un número menor que el divisor entonces se toman tres cifras del dividendo. En este caso, las dos primeras cifras son 36 y como es mayor que 25 se puede continuar.
Divide el primer número del dividendo (si tomaste tres cifras, entonces divide los dos primero) entre el primer número del divisor. Coloca el número resultado en el cociente. Como el primer número del dividendo es 3 y el primer número del divisor es 2, el resultado de dividirlo es 1.
Multiplica el número del cociente por el divisor y coloca el resultado debajo de los dos números seleccionados al principio del dividendo. Luego haz la resta y anota el resultado:
Baja la cifra siguiente del dividendo. 5. Si divides 11 entre 2, el resultado es 5; y cuando multiplicas 5 por 25 se obtiene 125 que no puede restarse con 115. Por esta razón, coloca 4 en el cociente y continúa con los pasos anteriores.
Baja la cifra siguiente del dividendo.
Si divides 15 entre 2, obtienes 6. Colócalo en el cociente y repite los pasos anteriores. Como no existen más cifras del dividendo para bajar y el número que se obtuvo de la resta es menor que el divisor, entonces se culmina el ejercicios: 3.654 ÷ 25 = 146 y sobraron 4 unidades sin repartir (resto).
¡A practicar!
1. Resuelve las siguientes multiplicaciones:
a) 296 x 18
Solución
5.328
b) 593 x 29
Solución
17.197
c) 332 x 74
Solución
24.568
d) 375 x 16
Solución
6.000
e) 613 x 59
Solución
36.167
2. Resuelve las siguientes divisiones:
a) 4.739 ÷ 88
Solución
Cociente = 53; Resto = 75
b) 7.049 ÷ 41
Solución
Cociente = 171; Resto = 38
c) 9.370 ÷ 58
Solución
Cociente = 161; Resto = 32
d) 3.830 ÷ 40
Solución
Cociente = 95; Resto = 30
e) 5.378 ÷ 65
Solución
Cociente = 82; Resto = 48
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Trucos para aprender las tablas de multiplicar”
El siguiente artículo muestra algunas sugerencias para que el aprendizaje de las tablas de multiplicar sea más sencillo y significativo.
5. Si divides 11 entre 2, el resultado es 5; y cuando multiplicas 5 por 25 se obtiene 125 que no puede restarse con 115. Por esta razón, coloca 4 en el cociente y continúa con los pasos anteriores.
Como no existen más cifras del dividendo para bajar y el número que se obtuvo de la resta es menor que el divisor, entonces se culmina el ejercicios: 3.654 ÷ 25 = 146 y sobraron 4 unidades sin repartir (resto).