CAPÍTULO 1 / TEMA 4

NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales son todos aquellos que tienen una parte entera y una parte decimal, es decir, una cantidad menor que la unidad y mayor que cero. Estos números los podemos encontrar en todas partes, como en los precios de los productos del supermercado.

CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales están formados por dos partes separadas con una coma de la siguiente manera:

Los números decimales también son llamados números fraccionarios. Estos se utilizan para realizar mediciones con mayor precisión. Por ejemplo, al medir la estatura de una persona. Si decimos que alguien mide 1 m no sabríamos con exactitud la medida, en cambio, si usamos números decimales podemos decir que una persona mide 1,65 m o 165 cm.

Clasificación de números decimales

Números decimales exactos

Tienen un número limitado de cifras decimales. Por ejemplo:

$1,25$

Números decimales periódicos

Tienen una o más cifras decimales que se repiten de forma ilimitada o infinita. Podemos distinguir dos tipos de números decimales periódicos:

Números decimales periódicos puros: son aquellos números en los cuales la parte decimal periódica comienza inmediatamente después de la coma. La parte que se repite indefinidamente en estos números es señalada con una línea horizontal o arco en la parte superior. Por ejemplo:

$0,66666 = 0, \widehat{6}$

Números decimales periódicos mixtos: son los que están formados por dos partes decimales: una cifra que no se repite que está justo después de la coma, denominada ante-período; y la parte periódica. Por ejemplo:

$3,233333 = 3,2\widehat{3}$ Números decimales no periódicos

No tienen cifras decimales con un patrón repetido indefinidamente. Un ejemplo de estos son los números irracionales, como el número pi.

$\pi = 3,14159265...$

¡A practicar!

Ya que conoces cómo están formados los números decimales, ¡consíguelos en este cuadro!

Solución

Número de Euler

Existen números decimales famosos y uno de ellos es el número de Euler, también denominado constante de Napier. Este número decimal fue utilizado por John Napier para introducir el concepto de logaritmo. No obstante, Leonhard Euler fue quien utilizó la letra e para representar dicha constante en el año 1727. El número es utilizado en cálculo, álgebra y números complejos.

$e = 2,7182818284590452353602874713527 ...$

LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES

Podemos realizar la lectura de un número decimal de dos formas. Para ello, tomaremos como ejemplo el número 698,754980213, el cual podemos representarlo así de acuerdo a su valor posicional:

Primera forma de leer el número:

Lee la parte entera de izquierda a derecha seguida de la palabra “enteros”.
Lee toda la parte decimal como se lee la parte entera.
Menciona la posición en la que se encuentra la última cifra decimal.

Entonces, el número 698,754980213 se lee “seiscientos noventa y ocho enteros setecientos cincuenta y cuatro millones novecientos ochenta mil doscientos trece milmillonésimas“.

Segunda forma de leer el número:

Lee la parte entera de izquierda a derecha seguida de la palabra “coma”.
Lee toda la parte decimal como se lee la parte entera.

De este manera, el número 698,754980213 se lee “seiscientos noventa y ocho coma setecientos cincuenta y cuatro millones novecientos ochenta mil doscientos trece”.

¡Es tu turno!

Utiliza el primer método para leer estos números decimales:

456,268435
Solución
456,268435 = cuatrocientos cincuenta y seis enteros doscientos sesenta y ocho mil cuatrocientos treinta y cinco millonésimas.
35.413,9346103
Solución
35.413,9346103 = treinta y cinco mil cuatrocientos trece enteros nueve millones trescientos cuarenta y seis mil ciento tres diezmillonésimas.
58,79516428
Solución
58,79516428 = cincuenta y ocho enteros setenta y nueve millones quinientos dieciséis mil cuatrocientos veintiocho cienmillonésimas.

REDONDEO DE NÚMEROS DECIMALES

Todo número decimal puede ser redondeado. El redondeo se refiere a reducir la cantidad de cifras de un número para tener un valor similar. Las reglas son las siguientes:

Redondeo por defecto: si la última cifra del número que deseamos redondear es 1, 2, 3 o 4, la sustituimos por 0, y no variamos la penúltima cifra. Por ejemplo, el número 18,3.

Redondeo por exceso: si la última cifra es 5, 6, 7, 8 o 9, también sustituimos por 0, pero en este caso aumentamos la penúltima cifra en 1. Por ejemplo, el número 45,8.

El símbolo (≈) significa aproximado.

Todo número decimal puede ser redondeado. El redondeo se refiere a reducir la cantidad de cifras de un número para tener un valor similar. Saber esta práctica puede ser muy útil en nuestro día a día, pues cuando vamos a pagar una cuenta hacemos un redondeo de la cifra de forma mental para saber con qué billete vamos a pagar.

Redondeo por aproximación

Podemos aproximar los números decimales a la unidad más cercana, es decir, acercarlo a un número de la recta numérica que tenga menos decimales que este por medio de las mismas reglas. También los podemos aproximar a las décimas, centésimas, milésimas, etc., más cercanas. Por ejemplo, observa los siguientes números y redondéalos: 18,82653 y 45,73286.

El primer número lo aproximamos mediante la regla de redondeo por defecto, ya que la última cifra está entre 0 y 4. Aquí la cifra se aproximó a la diezmilésima más cercana.

Y para el segundo número seguimos la regla de exceso, ya que la última cifra está entre 5 y 9. Aquí la cifra se aproximó a la a la diezmilésima más cercana.

¡A practicar!

Convierte los siguientes números decimales a enteros por redondeo:

465,568
Solución
466
84,91
Solución
85
14,3
Solución
14
9.214,12
Solución
9.214

Aproxima estos números a las décimas, centésimas o milésimas más cercanas:

326,3462
Solución
326,346
486,945
Solución
486,95
45,87
Solución
45,9

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Números decimales”

Este artículo ayuda a complementar la información sobre los números decimales.

VER

Artículo “Operaciones con decimales”

Con este recurso podrá obtener conocimiento sobre las operaciones con los números decimales y profundizar al respecto.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 3

NÚMEROS ENTEROS

¿Te has preguntado qué números utilizarías para representar temperaturas por debajo de 0 ºC? o ¿qué números utilizarías para indicar la altura del monte Everest? Para describir estas situaciones usamos los números enteros, un conjunto numérico que abarca desde los números negativos hasta los positivos.

¿QUÉ SON los NÚMEROS ENTEROS?

Los números enteros abarcan todos los números naturales $\mathbb{N}$ , así como también el cero y los números negativos o menores que cero. Matemáticamente, el conjunto de números enteros es representado con la letra $\mathbb{Z}$ y se expresa de la siguiente manera:

$\mathbb{Z}=\left \{ ...,\, -3,\, -2,\, -1,\, 0,\, +1,\, +2,\, +3,...\right \}$

Estos números continúan hasta infinito, tanto del lado de los positivos como del lado de los negativos.

Por lo general, los números enteros positivos $\mathbb{Z}^{+}$ no requieren el uso del signo más (+) para resaltarlos, caso contrario ocurre con los enteros negativos $\mathbb{Z}^{-}$ , que sí requieren el uso obligatorio del signo menos (−) para diferenciarlos.

Por ejemplo:

Los siguientes números enteros positivos: +3.674 y +5.876.541 se pueden escribir de dos formas:

Con el signo positivo antes del número: +3.674 y +5.876.541.
Sin el signo positivo antes del número: 3.674 y 5.876.541.

Por otra parte, los números enteros negativos −614 y −9.780 requieren el uso obligatorio del signo menos (−) antes de ellos. No colocar el signo negativo antes del número lo convierte en un número positivo.

LA RECTA NUMÉRICA

También es conocida como la recta real y se representa con una línea recta. Esta contiene todos los números reales $\mathbb{R}$ .

¿Cómo dibujar una recta numérica?

Traza una línea de forma horizontal con flechas en ambos extremos como la siguiente:

Divide la línea en segmentos iguales con la misma distancia entre ellos:

Coloca el número cero (0) en el centro de la recta:Comienza a colocar los números en cada intervalo: del lado derecho del cero van los enteros positivos y del lado izquierdo van los enteros negativos.

Ubicación de los números en la recta numérica

La recta numérica puede contener:

1. Enteros positivos y negativos como: −17 y +11.
2. Números decimales o en forma de fracción como: −8/5 que es igual a −1,6 y 4/5 que es igual a 0,8.

¿Sabías qué?

La línea recta fue introducida por John Wallis, un matemático Inglés que alrededor del año 1670 la empleó para representar de modo gráfico los números naturales.

¡A practicar!

Ubica estos número en la recta numérica:

+150

Solución

−180

Solución

Solución

Solución

−0,5

Solución

APLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros son utilizados en muchas situaciones de nuestra vida, algunos ejemplos son los siguientes:

Para indicar la altitud o altura sobre el nivel del mar.

En todo nuestro planeta existen distintas altitudes, tal son los casos del monte Everest en el Himalaya, el cual posee una altitud de +8.848 msnm y la costa del mar Muerto que se encuentra a unos −417 msnm.

Para indicar los pisos de un edificio.

Al caminar por el centro de la ciudad habrás visto algún edificio, estos están divididos por pisos y cada piso corresponde a un número. El piso que se encuentra en el mismo nivel de la calle es la planta baja, le corresponde el número 0. Los niveles que están arriba de él se indican con enteros positivos y los que se encuentra debajo, llamados subterráneos o sótanos, se señalan con los negativos.

Otras aplicaciones

Para realizar mediciones de temperatura.

¿Has escuchado hablar del Polo Sur y el Polo Norte de nuestro planeta tierra? La temperatura en esos lugares puede variar entre los −89 ºC y los 0 ºC. A esos valores, por lo general se les llama temperaturas bajo 0.

Por otra parte, existen lugares como Kuwait con temperaturas que pueden llegar a los +63 ºC.

Para contabilizar pérdidas o ganancias.

Las cuentas bancarias realizan registros de entradas de dinero con números enteros positivos, y los retiros o pagos con los números enteros negativos.

Por ejemplo:

Una persona recibe 2.000 $ en su cuenta y luego realiza una transferencia de 1.000 $ para pagar una computadora. ¿Cuánto dinero tendrá en la cuenta luego de la transferencia?

Recibe dinero: +2.000 $

Transferencia de dinero: −1.000 $

Total de dinero en la cuenta: +2.000 $ − 1.000 $ = +1.000 $

Entonces, el dinero que la persona tendrá en su cuenta luego de realizar la transferencia será 1.000 $.

Para dibujar ejes de coordenadas o eje cartesiano se emplean los números enteros.

Ejercicios

Juan se encuentra al nivel del mar y quiere escalar una montaña. Decide subir 50 m, luego desciende 25 m para tomar una herramienta que se le cayó. Al agarrar la herramienta decide terminar su escalada y sube 80 m. ¿A qué altura sobre el nivel del mar se encuentra?

Solución

Ubicación de Juan sobre el nivel del mar: 0 m

Juan sube: +50 m

Juan desciende: −25 m

Juan vuelve a subir: +80 m

Altura que escaló juan: 50 m − 25 m + 80 m = 105 m

Juan se encuentra a 105 metros sobre el nivel del mar.

Romina decide comprar un teléfono celular que cuesta 1.850 $, pero en su cuenta bancaria solo tiene 1.100 $. Decide decirle a su papá que le transfiera el dinero que le falta para comprar el teléfono y él le transfiere a su cuenta 1.350 $. ¿Cuánto dinero le quedó a Romina en su cuenta luego de comprar el teléfono?

Solución

Cuenta bancaria de Romina: +1.100 $

Transferencia del papá de Romina: +1.350 $

Compra del teléfono: −1.850 $

Total después de la compra: +1.100 $ + 1.350 $ − 1.850 $ = +600 $

A Romina le quedaron 600 $ en su cuenta luego de comprar el teléfono.

Felipe se encuentra parado en la posición +2 de una recta numérica, decide avanzar +6 posiciones y luego vuelve 11 posiciones atrás. ¿En qué posición quedó Felipe?

Solución

+2 + 6 − 11 = −3

Felipe quedó en la posición −3.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “La recta numérica”

Este artículo ayuda a complementar la información sobre la recta numérica.

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Artículo “La clasificación de los números”

Con este recurso se puede ampliar el conocimiento sobre la clasificación de los números.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 2

DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS

Usamos los números en muchas situaciones de la vida cotidiana, pero algunas veces necesitamos descomponerlos para que una operación matemática sea más sencilla. Estas separaciones de números se pueden hacer de diversas formas y por medio de sumas, multiplicaciones o combinaciones de estas.

DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE UN NÚMERO

Saber cómo formar números a partir de otros más pequeños puede resultar muy útil en nuestro día a día. Si, por ejemplo, necesitamos pagar una cuenta de $ 150, podemos pagar con un billete de $ 100 y otro billete de $ 50; también podríamos pagar con tres billetes de $ 50. Como verás a continuación, esto es una descomposición aditiva.

Un número se puede descomponer en una suma de varios números más pequeños, para ello existen dos formas de realizarlo:

1. Descomposición aditiva por medio de combinaciones básicas

Consiste en descomponer el número a través de una o más sumas que den como resultado el número original. Por ejemplo, el número 589.478,12 se puede descomponer de muchas maneras. Estas son algunas:

589.478,12 = 156.562,3 + 432.915,82

589.478,12 = 101.102 + 359.349,3 + 129.026,82

589.478,12 = 540.000 + 6.254 + 273,127 + 42.950,993

2. Descomposición aditiva por medio del valor posicional

Consiste en descomponer el número a través de la suma de los valores posicionales de cada cifra. De este modo, si queremos descomponer el número 54.268,2789, lo primero que debemos hacer es ubicar cada uno de sus valores en la tabla posicional. Observa:

Vemos en la tabla que:

5 ocupa la posición de las decenas de mil → 50.000
4 ocupa la posición de las unidades de mil → 4.000
2 ocupa la posición de las centenas → 200
6 ocupa la posición de las decenas → 60
8 ocupa la posición de las unidades → 8
2 ocupa la posición de las décimas → 0,2
7 ocupa la posición de las centésimas → 0,07
6 ocupa la posición de las milésimas → 0,006
9 ocupa la posición de las diezmilésimas → 0,0009

Ahora solo debes sumar todos los valores posicionales:

54.268,2769 = 50.000 + 4.000 + 200 + 60 + 8 + 0,2 + 0,07 + 0,006 + 0,0009

Otro ejemplos:

1.567.423,5916 = 1.000.000 + 500.000 + 60.000 + 7.000 + 400 + 20 + 3 + 0,5 + 0,09 + 0,001 + 0,0006
200.874,95 = 200.000 + 800 + 70 + 4 + 0,9 + 0,05

Observa que no tomamos en cuenta el dígito cero (0) para la descomposición de números.

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO

La descomposición polinómica se hace al combinar la suma y la multiplicación de potencias de base 10. Para descomponer de forma polinómica el número 452.328.465, los pasos son los siguientes:

1. Haz la descomposición aditiva del número. Puedes apoyarte en una tabla posicional como esta:

452.328.465 = 400.000.000 + 50.000.000 + 2.000.000 + 300.000 + 20.000 + 8.000 + 400 + 60 + 5

2. Convierte cada sumando en la multiplicación de la cifra respectiva por la unidad seguida de cero.

452.328.465 = 4 x 100.000.000 + 5 x 10.000.000 + 2 x 1.000.000 + 3 x 100.000 + 2 x 10.000 + 8 x 1.000 + 4 x 100 + 6 x 10 + 5

3. Transforma las unidades seguidas de cero a potencias de base 10.

452.328.465 = 4 x 10⁸ + 5 x 10⁷ + 2 x 10⁶ + 3 x 10⁵ + 2 x 10⁴ + 8 x 10³ + 4 x 10² + 6 x 10 + 5 x 10⁰

Potencia de base 10

Potencia igual a la unidad seguida de tantos ceros como exprese el exponente. Estas potencias son muy usadas para representar números grandes.

10² = 10 x 10 = 100
10³ = 10 x 10 x 10 = 1.000
10⁴ = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000

¿Sabías qué?

Los mayas utilizaban un sistema de numeración posicional de base 20, es decir, las cantidades se agrupaban de 20 en 20. Dichos valores permitían obtener sumas de números grandes.

DESCOMPOSICIÓN MULTIPLICATIVA DE UN NÚMERO

Las matemáticas han permitido que el ser humano resuelva situaciones de una manera más rápida y sencilla. Una de estas facilidades es expresar un número como una multiplicación de sus factores primos.

Un número se puede expresar de otra manera equivalente al utilizar la multiplicación de factores. Esta técnica matemática se realiza con el uso de los números primos.

¿Qué son los números primos?

Un número primo es aquel que solo puede dividirse por sí mismo y por el número uno. Es decir, que posee solo dos divisores. Los primeros 100 números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541.

Ejemplo: el número 60 puede descomponerse en distintas multiplicaciones.

60 = 6 x 10

60 = (2 x 3) x (2 x 5)

60 = 2 x 3 x 2 x 5

Observa que el número 6 se descompone en sus factores primos 2 y 3. Sucede lo mismo con el número 10 que se descompone en dos factores primos: 2 y 5. Otras maneras de descomponer el número 60 son estas:

60 = 4 x 15 = 2 x 2 x 3 x 5
60 = 20 x 3 = 2 x 2 x 5 x 3

Para números más grandes, observa estos ejemplos:

221.269 = 409 x 541
147.413.303 =521 x 523 x 541
1.738.066 = 2 x 11 x 199 x 397

¡A practicar!

1. Escribe la descomposición aditiva por medio del valor posicional de estos números:

4.856.912

Solución

4.856.912 = 4.000.000 + 800.000 + 50.000 + 6.000 + 900 + 10 + 2

73.892.146,965

Solución

73.892.146,965 = 70.000.000 + 3.000.000 + 800.000 + 90.000 + 2.000 + 100 + 40 + 6 + 0,9 + 0,06 + 0,005

5.198.762,4023

Solución

5.198.762,4023= 5.000.000 + 100.000 + 90.000 + 8.000 + 700 + 60 + 2 + 0,4 + 0,002 + 0,0003

2. Escribe la descomposición polinómica de estos números:

20.279.531

Solución

2 x 10⁷ + 2 x 10⁵ + 7 x 10⁴ + 9 x 10³ + 5 x 10² + 3 x 10¹ + 1 x 10⁰

579.348.670

Solución

5 x 10⁸ + 7 x 10⁷ + 9 x 10⁶ + 3 x 10⁵ + 4 x 10⁴ + 8 x 10³ + 6 x 10² + 7 x 10¹

8.671.690

Solución

8.671.690,5364 = 8 x 10⁶ + 6 x 10⁵ + 7 x 10⁴ + 1 x 10³ + 6 x 10 ² + 9 x 10

3. Escribe la descomposición multiplicativa de estos números:

99.301

Solución

99.301 = 199 x 499

Hay más opciones, ¡descúbrelas!

29.884.301

Solución

29.884.301 = 307 x 311 x 313

Hay más opciones, ¡descúbrelas!

2.843.858

Solución

2.843.858 = 2 x 23 x 211 x 293

Hay más opciones, ¡descúbrelas!

1.697.658

Solución

1.697.658 = 2 x 3 x 523 x 541

Hay más opciones, ¡descúbrelas!

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Descomposición de números”

En este artículo encontrarás mayor ayuda para la enseñanza de la descomposición y el valor posicional de los números.

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Artículo “Valores absolutos y relativos”

En este artículo encontrará apoyo para la identificación del valor de los números al descomponerlos.

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Tarjetas educativas “Números”

En estas tarjetas educativas podrás encontrar los números del 1 al 100 y sus descomposiciones aditivas y polinómicas.

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