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CAPÍTULO 7 / TEMA 3

PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano fue propuesto por René Descartes en el siglo XVII y desde entonces ha sido una herramienta empleada en múltiples áreas del conocimiento. Su uso radica principalmente en la ubicación de puntos en el plano y en el análisis de figuras geométricas.

¿QUÉ ES EL PLANO CARTESIANO?

El plano cartesiano es una representación gráfica de dos rectas numéricas que se intersecan de forma perpendicular, por lo que forman cuatro cuadrantes como se muestra:

En cada cuadrante del plano cartesiano podemos ubicar infinitos puntos, los cuales se definen mediante un par ordenado expresado de esta manera: (coordenada en x, coordenada en y).

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El plano cartesiano es un sistema de ejes de coordenadas muy útiles para ubicar e identificar puntos en un plano. Este sistema se aplica en radares y mapas a nivel mundial, razón por la que actualmente podemos localizar cualquier persona o ciudad de forma rápida solo con ver una cuadrícula en un mapamundi o con un simple botón en el celular.

ELEMENTOS DEL PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano está formado por un eje horizontal denominado eje de las abscisas, que tradicionalmente denotamos con la letra x; y un eje vertical llamado eje de las ordenadas, que por lo general representamos con la letra y. Cada eje se comporta como una recta numérica que se prolonga hasta el infinito.

Ambos ejes se intersecan a 90 grados en el origen (0, 0). Hacia la derecha del eje x están las coordenadas positivas y a la izquierda, las negativas. En el eje y tenemos las coordenadas positivas hacia arriba y las negativas hacia abajo. Además, debemos mostrar una escala sobre los ejes como se muestra a continuación.

Los ejes son la base para la construcción del plano cartesiano, el cual se forma con la intersección del eje x y el eje y en el origen. El eje x se llama también eje de las abscisas y el eje y, eje de las ordenadas. El par de número que resulta de la unión de dos datos de cada eje se llama par ordenado. Estos se escriben separados por una coma dentro de paréntesis.

UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO

Los puntos a ubicar en el plano cartesiano deben venir expresados en pares ordenados, es decir, un valor que indique las coordenadas en x e y que tendrá dicho punto. Convencionalmente, el primer valor corresponde al eje x y el segundo al eje y. Por ejemplo, el par ordenado (−6, 5) significa que el punto se encuentra a 6 unidades a la izquierda del origen (0) y 5 unidades por encima del origen. Vemos los siguientes ejemplos:

  • Ubiquemos el punto (4, −3)

Al igual que en la recta numérica, podemos representar la escala de los números enteros de uno en uno. Ubicamos el primer valor que se indica en el par ordenado sobre el eje x, es decir, 4. Luego localizamos el segundo número del par ordenado, o sea, −3 en el eje y.

A continuación, trazamos dos líneas guías: una vertical que pase por la coordenada de x, y una horizontal que pase por la coordenada de y. A estas líneas se les conocen como proyecciones ortogonales. El lugar donde ambas líneas se intersecan es la ubicación del punto. Sin embargo, es frecuente que el plano cartesiano se dibuje sobre una hoja cuadriculada o papel milimetrado, de modo que ya se tengan todas las líneas guías y sea más fácil la ubicación del punto.

 

Uso de la escala

Puedes seleccionar una escala conveniente en los ejes para que puedas ubicar de manera sencilla los puntos; por ejemplo, si deseas ubicar el punto de coordenadas (1.500, −4.500), no resulta práctico que hagamos un plano y que contemos de 1 en 1 hasta 4.500 divisiones. En ese caso, podemos tomar cada división equivalente a 500 unidades.

  • Ubiquemos el punto (−1,5, 2)

El procedimiento a seguir para ubicar número decimales es el mismo que en el ejemplo anterior, sin embargo, tomaremos una escala diferente. Como las coordenadas a ubicar en el plano son −1,5 y 2; podemos asignarle a cada división un valor de 0,5 unidades como se muestra a continuación:

¿Sabías qué?
Se dice que las primeras ideas del plano cartesiano le surgieron a René Descartes a muy temprana edad mientras observaba una mosca en el techo y se preguntaba cómo podía indicar su posición en el plano a partir de dos coordenadas.
  • Ubiquemos el punto (8, 4)

Aplicamos de nuevo el mismo procedimiento, pero en esta ocasión, como se trata de números más elevados, tomaremos la escala de 2 en 2 unidades; es decir, que cada división, equivale a 2 unidades.

EMPLEO DEL PLANO CARTESIANO

Aunque en matemática es común que utilicemos el plano cartesiano para representar puntos, vectores o funciones al relacionar dos variables espaciales (posición en x y posición en y), el empleo del plano cartesiano no se limita solo a eso. En física, por ejemplo, se suele utilizar para relacionar la posición y el tiempo, o el comportamiento del voltaje en función de la resistencia. En geografía, puede ser aplicado para observar el crecimiento demográfico a lo largo del tiempo. En finanzas, por otra parte, es de utilidad para representar las ganancias de una empresa en función de sus ventas.

El plano cartesiano es muy utilizado para representar funciones que relacionan dos variables, e incluso podemos graficar varias funciones sobre un mismo diagrama, lo cual nos permite identificar puntos de corte entre las curvas, simetrías, proporciones y otras características que tal vez no resultan tan evidentes a partir de las ecuaciones.

 

Diagramas en el plano

Estos diagramas pueden tener diversas aplicaciones, por ejemplo, de izquierda a derecha en la imagen observamos: 1) la representación de un número complejo como un par ordenado, 2) una campana gaussiana estudiada en estadística en distribuciones normales o 3) la superposición de tres gráficas que pueden ser ondas de vibraciones.

¡A practicar!

1. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano:

a) (0,5, −2)

Solución

b) (5, −5)

Solución

c) (−12, 8)

Solución

d) Dada la siguiente gráfica, indica el par ordenado del siguiente punto en el plano cartesiano:

Solución
(10, −16)
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Plano cartesiano”:

Este artículo ofrece información sobre los elementos que conforman el plano cartesiano, así como también la explicación para ubicar puntos en coordenadas rectangulares.

VER

Artículo “Ejes cartesianos”

En este artículo encontrarás el contenido relacionado con la representación puntos en el plano cartesiano, así como actividades lúdicas con aplicaciones del plano cartesiano.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 4

Sistemas de referencia

Son convencionalismos adoptados por el ser humano para medir la posición y otras magnitudes físicas. Se usan para hallar cuerpos celestes en el espacio y son la base para determinar nuestra ubicación en el planeta. También permiten establecer comparaciones y transformaciones entre las figuras representadas.

Ejes de coordenadas

El sistema de coordenadas cartesianas es uno de los sistemas de referencias usados para ubicar puntos en el espacio. En este caso específicamente se explicarán estas coordenadas orientadas al plano, es decir, en dos dimensiones.

El plano donde ubicamos los puntos se denomina plano cartesiano y está formado por los siguientes elementos:

  • Eje X: es también denominado eje de las abscisas, y se encuentra ubicado dentro del plano en forma horizontal.
  • Eje Y: es conocido también como eje de las ordenadas y está ubicado en sentido vertical dentro del plano.
  • Origen: es el punto de intersección entre los ejes de coordenadas X e Y.

 

Los ejes de coordenadas permiten ubicar puntos, gráficos o figuras dentro del plano cartesiano. Al tratarse de dos ejes: el de las abscisas o eje X y el de las ordenadas o eje Y, se requieren de dos coordenadas para ubicar un punto, es decir, un punto está definido dentro del plano si, y solo si, se conocen sus coordenadas en el eje X y en el eje Y.

 

¿Sabías qué?
El nombre de las coordenadas cartesianas proviene de la persona que las empleó por primera vez: René Descartes.

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¿Cómo graficar un punto en el plano cartesiano?

Un punto está definido por un par de números que hacen referencia a su posición respecto al eje X y al eje Y. Estos puntos son denominados coordenadas cartesianas y permiten graficarlo.

Para hacerlo, dividimos los ejes en segmentos con la misma longitud y a cada uno le asignamos el valor de un número entero. A la derecha del origen, escribimos los números de menor a mayor, esos serán los valores del eje X. Arriba del origen escribimos los números que le siguen al cero de menor a mayor, esos serán los valores del eje Y:

¿Sabías qué?
Los números negativos se representan a la izquierda del origen (eje X) y debajo del origen (eje Y).

Para ubicar un punto en el plano necesitamos las coordenadas de cada eje, que de ahora en adelante llamaremos coordenada en X y coordenada en Y para hacer mención a cuál eje se refieren. La coordenada X determina cuán a la derecha del origen está ubicado el punto; mientras que la coordenada Y, cuán arriba del origen está el punto.

La manera más frecuente de representar un punto es a través de paréntesis, y dentro indicamos la coordenada X y la coordenada Y, separadas por una coma:

\left ( Coordenada \, X,\, Coordenada\, Y \right )

El punto desde dónde se empieza a contar es en el origen porque se encuentra en la coordenada (0,0) lo que quiere decir que está a 0 posiciones de la derecha y a 0 posiciones hacia arriba.

Por ejemplo:

El punto A (3,2) se encuentra a tres posiciones a la derecha y a dos posiciones hacia arriba. Si lo queremos graficar, cada coordenada debe estar representada en el respectivo eje y el punto de intersección de ambas sería el punto A:

Cuando algunas de las coordenadas del punto sea igual a cero, significa que el punto se encuentra sobre el eje al cual corresponde la coordenada diferente de cero. Por ejemplo, el punto B (0,3) indica que se movió cero posiciones a la derecha y tres posiciones hacia arriba, por lo tanto se ubica sobre el eje Y que es el que tiene la coordenada diferente de cero:

Ejes de simetrías

La simetría es una relación proporcionada entre las partes que componen un todo. Así, por ejemplo, decimos que una imagen es simétrica cuando su forma no cambia si es girada o volteada. Para que exista simetría entre dos objetos, ambos deben ser del mismo tamaño y de la misma forma y uno debe estar en una orientación diferente a la del primero.

La forma de una mariposa es un ejemplo de simetría: si trazamos una línea imaginaria de forma vertical en el centro de la mariposa (eje de simetría), obtendríamos dos imágenes iguales pero con diferente orientación. Nuestros cuerpos también son simétricos: esto se debe a que contamos con la misma cantidad de miembros a cada lado.

El eje de simetría es una línea imaginaria que divide al dibujo en dos partes idénticas pero con diferente orientación. Los ejes de simetría pueden ser horizontales, verticales o inclinados.

 

De acuerdo a la figura geométrica, algunas pueden presentar uno o más ejes de simetría. Otras, en cambio, no presentan ninguno. Cuando una figura no es simétrica se denomina asimétrica.

Por ejemplo, no todos los triángulos tienen ejes de simetría, todo depende de su tipo. Si son equiláteros tienen tres ejes de simetría; si son isósceles tienen dos ejes de simetría, y si son escalenos no tienen ningún eje de simetría.

Transformaciones isométricas

Las transformaciones isométricas son los cambios de posición u orientación que experimenta una figura sin alterar su forma.

Traslación

Es un tipo de transformación isométrica donde se mueven todos los puntos de una figura en una misma dirección, sentido y longitud.

Rotación

También es conocida como giro. Es una transformación isométrica en la que la figura se mueve alrededor de un punto sin alterar su forma. El movimiento es determinado por un ángulo de rotación y puede ser en sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario.

La simetría como transformación isométrica

La simetría entre dos objetos es un tipo de transformación isométrica porque a cada punto del objeto o figura se lo asocia a otro conocido como imagen. Cada punto está a una misma distancia del otro respecto al eje de simetría. Este tipo de transformación también se conoce como reflexión.

 

¡A practicar!

1. ¿Cuál es la posición de estos números?

a)

Solución
C (4,3)

b) 

Solución
D (1,2)

c) 

Solución
E (5,0)

d) 

Solución
F (4,5)

e) 

Solución
G (3,3)

2. ¿A cuál de los siguientes puntos corresponde la coordenada (6,3)?

Solución

Corresponde al punto K (6,3).

3. ¿Cuál de estas figuras no es simétrica?

a) 

b)

c)

d)

Solución
d) No es simétrica porque no tiene ningún eje de simetría.

4. ¿A qué tipo de transformación isométrica corresponde la gráfica?

Solución
Traslación.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Simetrías”

Este artículo explica qué es una simetría, sus tipos y su relación con los ejes. También incluye algunos ejemplos de simetría.

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Artículo “Plano cartesiano”

Este artículo explica qué es el plano cartesiano, sus características y divisiones por cuadrante. También incluye ejemplos sobre como ubicar puntos en este sistema.

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