CAPÍTULO 5 / TEMA 8 (REVISIÓN)

Geometría y mediciones | ¿Qué aprendimos?

Perímetro

El perímetro es el contorno de una figura geométrica. En el caso de los polígonos regulares, el perímetro lo calculamos al multiplicar la cantidad de sus lados por la longitud de uno de estos. Otra forma de calcular el perímetro es a través de la suma de cada uno de los lados de una figura. En cambio, el perímetro del círculo es igual a la multiplicación del número pi por el diámetro de la circunferencia. Existen también figuras compuestas que están formadas por dos o más figuras geométricas, para calcular su perímetro basta con sumar cada uno de los lados.

Ángulos

Uno de los elementos fundamentales para la geometría es el ángulo, el cual está formado por un par de semirrectas denominadas lados que tienen un origen común o vértice. Uno de los sistemas más usados para medir ángulos es el sistema sexagesimal, en el que medimos los ángulos en grados, minutos y segundos. De acuerdo a su tamaño, los ángulos pueden clasificarse en agudos, rectos, obtusos y llanos. Los agudos son mayores a 0° pero menores a 90°, los rectos miden 90°, los obtusos son mayores a 90° pero menores de 180° y los llanos miden siempre 180°.

Área

Para calcular superficies usamos el área, que es la extensión comprendida por una figura. Para cada figura plana existe una fórmula que permite determinar su área. En el Sistema Internacional de Unidades se emplea el metro cuadrado (m²) como unidad de medida de área, pero también podemos usar otras unidades derivadas, como el centímetro cuadrado (cm²) o el milímetro cuadrado (mm²). Podemos obtener el área de las figuras compuestas al descomponerlas en figuras geométricas más simples, para luego sumar las áreas de cada una.

Sistemas de referencia

Uno de los sistemas de referencias más usados es el sistema cartesiano, el cual está formado por dos ejes en el plano: uno horizontal denominado eje X o de las abscisas y otro vertical denominado eje Y o de las ordenadas. Para representar un punto en el plano cartesiano necesitamos sus coordenadas en el eje X y en el eje Y: la intersección de ambas coordenadas constituye su ubicación. Por otro lado, las figuras pueden experimentar transformaciones isométricas, es decir, cambios de posición y orientación que no afectan su forma. Estas transformaciones son: traslación, rotación y simetría.

Cuadriláteros

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados, y aunque se pueden clasificar en varios grupos, comparten elementos en común: tienen cuatro ángulos, la suma de estos es siempre igual 360° y tienen dos diagonales que dividen al cuadrado en triángulos. De manera general, los cuadriláteros son clasificados como paralelogramos, trapecios y trapezoides. Los paralelogramos tienen sus lados opuestos paralelos y pueden ser cuadrados, rombos y rectángulos. Los trapecios tienen dos de sus lados paralelos y los trapezoides no tienen ningún lado paralelo.

El campo de fútbol tiene forma de rectángulo que es un tipo de cuadrilátero.

Capacidad y volumen

El volumen es el espacio que ocupa un objeto mientras que la capacidad indica la cantidad que un objeto puede contener dentro de él. Todos los objetos tienen volumen pero no todos tienen capacidad. En el caso de los sólidos y los líquidos mientras mayor sea su volumen, mayor espacio van a ocupar. No es lo mismo el volumen de un grano de arroz que el de un edificio. Algunas unidades de volumen son el metro cúbico (m³), el centímetro cúbico (cm³) y milímetro cúbico (mm³), entre otras. El litro es una medida de capacidad que equivale a 1.000 cm³.

A pesar de estar muy relacionadas, no se deben confundir las medidas de volumen con las de capacidad.

La circunferencia

La circunferencia es una curva plana con todos sus puntos ubicados a la misma distancia del origen o centro. No debe ser confundida con el círculo que corresponde al área contenida dentro de ella, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo. Presenta ciertos elementos como el radio, el diámetro, la tangente, la cuerda, el arco y la semicircunferencia. Uno de los instrumentos usados para su trazado es el compás.

CAPÍTULO 5 / TEMA 4

Sistemas de referencia

Son convencionalismos adoptados por el ser humano para medir la posición y otras magnitudes físicas. Se usan para hallar cuerpos celestes en el espacio y son la base para determinar nuestra ubicación en el planeta. También permiten establecer comparaciones y transformaciones entre las figuras representadas.

Ejes de coordenadas

El sistema de coordenadas cartesianas es uno de los sistemas de referencias usados para ubicar puntos en el espacio. En este caso específicamente se explicarán estas coordenadas orientadas al plano, es decir, en dos dimensiones.

El plano donde ubicamos los puntos se denomina plano cartesiano y está formado por los siguientes elementos:

Eje X: es también denominado eje de las abscisas, y se encuentra ubicado dentro del plano en forma horizontal.
Eje Y: es conocido también como eje de las ordenadas y está ubicado en sentido vertical dentro del plano.
Origen: es el punto de intersección entre los ejes de coordenadas X e Y.

Los ejes de coordenadas permiten ubicar puntos, gráficos o figuras dentro del plano cartesiano. Al tratarse de dos ejes: el de las abscisas o eje X y el de las ordenadas o eje Y, se requieren de dos coordenadas para ubicar un punto, es decir, un punto está definido dentro del plano si, y solo si, se conocen sus coordenadas en el eje X y en el eje Y.

¿Sabías qué?

El nombre de las coordenadas cartesianas proviene de la persona que las empleó por primera vez: René Descartes.

VER INFOGRAFÍA

¿Cómo graficar un punto en el plano cartesiano?

Un punto está definido por un par de números que hacen referencia a su posición respecto al eje X y al eje Y. Estos puntos son denominados coordenadas cartesianas y permiten graficarlo.

Para hacerlo, dividimos los ejes en segmentos con la misma longitud y a cada uno le asignamos el valor de un número entero. A la derecha del origen, escribimos los números de menor a mayor, esos serán los valores del eje X. Arriba del origen escribimos los números que le siguen al cero de menor a mayor, esos serán los valores del eje Y:

¿Sabías qué?

Los números negativos se representan a la izquierda del origen (eje X) y debajo del origen (eje Y).

Para ubicar un punto en el plano necesitamos las coordenadas de cada eje, que de ahora en adelante llamaremos coordenada en X y coordenada en Y para hacer mención a cuál eje se refieren. La coordenada X determina cuán a la derecha del origen está ubicado el punto; mientras que la coordenada Y, cuán arriba del origen está el punto.

La manera más frecuente de representar un punto es a través de paréntesis, y dentro indicamos la coordenada X y la coordenada Y, separadas por una coma:

$\left ( Coordenada \, X,\, Coordenada\, Y \right )$

El punto desde dónde se empieza a contar es en el origen porque se encuentra en la coordenada (0,0) lo que quiere decir que está a 0 posiciones de la derecha y a 0 posiciones hacia arriba.

Por ejemplo:

El punto A (3,2) se encuentra a tres posiciones a la derecha y a dos posiciones hacia arriba. Si lo queremos graficar, cada coordenada debe estar representada en el respectivo eje y el punto de intersección de ambas sería el punto A:

Cuando algunas de las coordenadas del punto sea igual a cero, significa que el punto se encuentra sobre el eje al cual corresponde la coordenada diferente de cero. Por ejemplo, el punto B (0,3) indica que se movió cero posiciones a la derecha y tres posiciones hacia arriba, por lo tanto se ubica sobre el eje Y que es el que tiene la coordenada diferente de cero:

Ejes de simetrías

La simetría es una relación proporcionada entre las partes que componen un todo. Así, por ejemplo, decimos que una imagen es simétrica cuando su forma no cambia si es girada o volteada. Para que exista simetría entre dos objetos, ambos deben ser del mismo tamaño y de la misma forma y uno debe estar en una orientación diferente a la del primero.

La forma de una mariposa es un ejemplo de simetría: si trazamos una línea imaginaria de forma vertical en el centro de la mariposa (eje de simetría), obtendríamos dos imágenes iguales pero con diferente orientación. Nuestros cuerpos también son simétricos: esto se debe a que contamos con la misma cantidad de miembros a cada lado.

El eje de simetría es una línea imaginaria que divide al dibujo en dos partes idénticas pero con diferente orientación. Los ejes de simetría pueden ser horizontales, verticales o inclinados.

De acuerdo a la figura geométrica, algunas pueden presentar uno o más ejes de simetría. Otras, en cambio, no presentan ninguno. Cuando una figura no es simétrica se denomina asimétrica.

Por ejemplo, no todos los triángulos tienen ejes de simetría, todo depende de su tipo. Si son equiláteros tienen tres ejes de simetría; si son isósceles tienen dos ejes de simetría, y si son escalenos no tienen ningún eje de simetría.

Transformaciones isométricas

Las transformaciones isométricas son los cambios de posición u orientación que experimenta una figura sin alterar su forma.

Traslación

Es un tipo de transformación isométrica donde se mueven todos los puntos de una figura en una misma dirección, sentido y longitud.

Rotación

También es conocida como giro. Es una transformación isométrica en la que la figura se mueve alrededor de un punto sin alterar su forma. El movimiento es determinado por un ángulo de rotación y puede ser en sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario.

La simetría como transformación isométrica

La simetría entre dos objetos es un tipo de transformación isométrica porque a cada punto del objeto o figura se lo asocia a otro conocido como imagen. Cada punto está a una misma distancia del otro respecto al eje de simetría. Este tipo de transformación también se conoce como reflexión.

¡A practicar!

1. ¿Cuál es la posición de estos números?

Solución

C (4,3)

Solución

D (1,2)

Solución

E (5,0)

Solución

F (4,5)

Solución

G (3,3)

2. ¿A cuál de los siguientes puntos corresponde la coordenada (6,3)?

Solución

Corresponde al punto K (6,3).

3. ¿Cuál de estas figuras no es simétrica?

Solución

No es simétrica porque no tiene ningún eje de simetría.

4. ¿A qué tipo de transformación isométrica corresponde la gráfica?

Solución

Traslación.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Simetrías”

Este artículo explica qué es una simetría, sus tipos y su relación con los ejes. También incluye algunos ejemplos de simetría.

VER

Artículo “Plano cartesiano”

Este artículo explica qué es el plano cartesiano, sus características y divisiones por cuadrante. También incluye ejemplos sobre como ubicar puntos en este sistema.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 6

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

Las figuras geométricas pueden sufrir diversas alteraciones y una de estas es la isométrica. Una transformación isométrica es el cambio de posición que puede sufrir una figura sin alterar su tamaño o forma. Existen tres tipos de transformaciones: la rotación, la traslación y la reflexión.

¿Qué es la isometría?

La palabra “isometría” significa “igual medida”, por esta razón cuando una figura recibe una transformación isométrica resulta que la figura original y la final son semejantes y congruentes, es decir no cambian ni de forma ni tamaño.

Las transformaciones isométricas que puede recibir una figura plana son la rotación, la traslación y la reflexión.

rOTACIÓN

Para rotar una figura se la gira en torno a un punto fijo llamado punto de rotación, alrededor de este punto la figura se moverá una cantidad de grados respecto de un ángulo. En este movimiento la figura mantiene la forma y el tamaño.

En la imagen, el triángulo azul giró 60° en sentido contrario a las agujas del reloj y se obtuvo otro triángulo de color rosa que no ha perdido sus dimensiones ni tamaño.

TRaslación

La traslación es un movimiento directo de una figura en la que todos sus puntos se mueven en la misma dirección y distancia. Al transformar una figura por traslación la misma no pierde la medida de sus lados ni ángulos como tampoco su orientación, no gira ni se refleja.

Podemos desplazar una figura de la siguiente manera:

En una dirección, ya sea horizontal, vertical u oblicua.
En un sentido, esto puede ser a la izquierda, a la derecha, arriba o abajo.
A una distancia, que es la longitud en la que se va a desplazar la figura inicial de la figura final.

En muchas situaciones de la vida cotidiana utilizamos el movimiento de traslación, por ejemplo, cuando movemos un mueble, subimos un ascensor o recorremos una ciudad en subterráneo (metro).

Movimientos de la Tierra

La Tierra se mueve constantemente en el espacio y posee dos movimientos principales: el movimiento de rotación y el movimiento de traslación. Cuando se produce el movimiento de rotación la Tierra da vueltas sobre su propio eje y tarda 24 horas en completarlo. Al mismo tiempo en el que la Tierra gira sobre su eje también se produce el movimiento de traslación alrededor del Sol que tarda 365 días.

REFLEXIÓN

La reflexión es un movimiento en la que dos figuras quedan reflejas respecto de un eje. Sobre una misma línea están todos los puntos que se asocian de una figura y la figura que se refleja. Los puntos también se encuentran a la misma distancia del eje pero en direcciones opuestas. Diferentes objetos que nos rodean se pueden reflejar en el agua, en un espejo y hasta en un vidrio de cristal.

¿Sabías qué?

El eje de simetría es una línea vertical que divide a dos figuras y funciona como “espejo” para mostrar que ambas son iguales pero invertidas.

Reflexión en el espejo

Cuando nos situamos frente a un espejo, la imagen que se refleja de nosotros mismos es una transformación isométrica: la reflexión. Para que esta reflexión ocurra la luz nos debe iluminar y rebotar hacia la superficie del espejo. Una vez que los rayos rebotan, cambian de dirección y son captados por nuestros ojos listos para observar nuestro reflejo.

Actividades

A las siguientes figuras se les aplicó un movimiento:

Observa esta imagen, ¿de qué forma se movió la figura verde?

Solución

La figura verde se movió hacia arriba y a la derecha.

¿La figura verde cambió de sentido respecto a la figura roja? ¿Cómo se llama el movimiento?

Solución

Sí, cambió de sentido. El movimiento se llama traslación.

Observa esta imagen, ¿la figura verde se movió de la misma manera que la anterior?

Solución

No.

¿Cuál es el movimiento que se le aplicó a esta figura?

Solución

Se le aplicó el movimiento de reflexión.

Observa esta imagen, ¿qué movimiento se le aplicó a la figura roja?

Solución

Se le aplicó el movimiento de rotación.

2. A la mariposa de la izquierda se le aplicaron distintas transformaciones isométricas que aparecen en las imágenes de la derecha. Responde las preguntas.

¿Qué transformación isométrica tuvo la mariposa A?
Solución
Una rotación.
¿Qué transformación isométrica tuvo la mariposa B?
Solución
Una traslación.
¿Qué transformación isométrica tuvo la mariposa C?
Solución
No hay transformación isométrica porque la figura cambia de tamaño.
¿Qué transformación isométrica tuvo la mariposa D?
Solución
Una rotación.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Simetría”

Este artículo le permitirá reforzar el concepto de simetría y su aplicación el a vida cotidiana.

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