Los gráficos son representaciones visuales de alguna información numérica resultante de un proceso estadístico. Son muy efectivos para mostrar relaciones entre diferentes valores y permiten comprender fácilmente distintas situaciones de la realidad. Los datos disponibles de una población se presentan de tal manera que los mismos puedan ser visualizados sistemática y resumidamente. Los gráficos pueden ser de barras, circulares o lineales.
Los gráficos son una gran herramienta visual, porque captan la atención, dan información puntual de los datos y permiten una comparación eficaz.
INTERPRETACIÓN DE DATOS
Los cuadros, los gráficos y las tablas nos brindan información muy valiosa sobre una población determinada. Sin embargo, cuando la cantidad de datos es muy numerosa conviene buscar un valor característico del conjunto, como las que aportan las medidas de tendencia central. La media aritmética o promedio es igual a cociente entre la suma de todos los valores entre la cantidad de valores; la moda es el valor que se presenta con mayor frecuencia; y la mediana, tal como su nombre lo indica, corresponde a un punto medio, equidistante de los extremos.
Un conjunto de datos sin el análisis adecuado solo son valores o números. Requieren de lectura e interpretación adecuada para volverse útiles.
PROBABILIDAD
La probabilidad es un mecanismo matemático que nos permite estudiar sucesos aleatorios, es decir, operaciones cuyos resultados no pueden ser anticipados con seguridad, como lanzar un dado, lanzar una moneda o sacar una carta específica de un mazo. A través del cálculo de probabilidad se puede conocer cuántas posibilidades existen de que un fenómeno tenga lugar o no. A cada una de estas posibilidades se las denomina evento o suceso. El conjunto de eventos posibles constituye lo que se denomina espacio muestral.
Las probabilidades no predicen el futuro, únicamente valoran las diferentes posibilidades de un evento. Esta valoración es producto de un cálculo matemático que va de 0 (imposible) a 1 (totalmente posible).
¿QUÉ ES LA ESTADÍSTICA?
La estadística es una ciencia dentro del área de las matemáticas que se encarga de interpretar los datos obtenidos de la observación de un fenómeno en particular. Busca reunir información sobre determinados individuos o grupos, organizar datos y permitir una correcta interpretación. La finalidad de este proceso es tomar decisiones en base a las predicciones que pueden realizarse.
Los procedimientos estadísticos se hacen sobre el total de una población o sobre una muestra. Por ejemplo, cuando nos hacen un análisis de sangre no toman toda nuestra sangre, solo un poco de esta, es decir, una muestra.
Si lanzas un dado, ¿cuáles son los posibles resultados? ¡6! Esto es así porque los dados tienen 6 caras; no obstante, no sabemos con certeza cuál de esos números saldrá. Esto es lo que se conoce como experimento aleatorio, y gracias a la probabilidad podemos medir la posibilidad de que este ocurra o no ocurra.
Los juegos de azar son aquellos cuyo resultado es aleatorio y dependen principalmente de la casualidad, sin que la habilidad del jugador sea un factor importante. La mayoría de estos involucra apuestas y mientras menor sea la probabilidad de ganar, mayor será el premio obtenido. El bingo, la ruleta y las quinielas son algunos ejemplos de juegos de azar.
Todos los fenómenos que ocurren en nuestra vida pueden ser catalogados como deterministas o aleatorios.
Los experimentos o fenómenos deterministasson los que suceden con seguridad, es decir, al repetirlos en las mismas condiciones se obtiene el mismo resultado; por ejemplo:
El agua se congela a 0 °C.
Al multiplicar 2 × 2 el resultado es 4.
Los experimentos o fenómenos aleatoriossuceden al azar, no es posible predecir su resultado; por ejemplo:
Sacar una carta de un mazo de naipes.
Lanzar una moneda.
Lanzar un dado es un experimento aleatorio que podrías analizar por medio de cálculos de probabilidad. Aquí las variables aleatorias pueden tomar dos o más valores que no se pueden anticipar con certeza. Por ejemplo, al arrojar un dado los posibles resultados son 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Sabemos qué valores pueden salir, pero no podemos asegurar cuál de ellos será.
TIPOS DE EVENTOS aleatorios
Los eventos aleatorios pueden ser seguros, posibles o imposibles.
Los eventos imposibles no pueden ocurrir nunca; por ejemplo, lanzar un dado y que salga el número mayor a 7.
Los eventos posibles ocurren algunas veces; por ejemplo, lanzar un dado y que salga el número 3.
Los eventos seguros ocurren siempre y coinciden con el espacio muestral; por ejemplo, lanzar un dado y que salga un número menor a 7.
¿Qué es el espacio muestral?
Es el conjunto que contiene a todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Lo representamos con E. Se denomina “suceso elemental” a cada uno de los posibles resultados. Por ejemplo:
Experimento
Espacio muestral
Lanzar un dado
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lanzar una moneda
E = {cara, cruz}
PROBABILIDAD DE UN EVENTO
La probabilidad de un resultado o acontecimiento es la proporción de las veces en que ocurrirán. En otras palabras, la probabilidad es el mecanismo matemático a través del cual pueden estudiarse sucesos aleatorios, es decir, operaciones cuyos resultados no pueden ser anticipados con seguridad, como el lanzamiento de un dado, la tirada de ruleta o un juego de cartas.
En los casos donde las posibilidades de obtener uno u otro resultado no son iguales, se analizan las probabilidades por medio de la definición del matemático francés Pierre de Laplace: “La probabilidad de un acontecimiento es igual al cociente entre el número de casos favorables y el número de casos igualmente posibles”.
– Ejemplo 1:
En un bolillero hay 24 bolas, 20 rojas y 4 azules, ¿cuál es la probabilidad de extraer una bola roja?,
Casos favorables
Casos posibles
Casos favorables/Casos posibles
20
24
20/24 = 5/6
La probabilidad de que salga una bola roja es de 5/6.
Podemos expresar la probabilidad como una fracción, un número decimal o porcentaje. Por lo tanto, para este caso podemos decir que:
P = 5/6
P = 0,83
P = 83,33 %
¿Sabías qué?
Para transformar la probabilidad en fracción a porcentaje basta con multiplicar el cociente entre el numerador y el denominador por 100.
– Ejemplo 2:
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 4?
Casos favorables
Casos posibles
Casos favorables/Casos posibles
2
{5, 6}
6
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
2/6 = 1/3
La probabilidad de obtener un número mayor que 4 es de 1/3. También podemos expresarlo de la siguiente manera:
P = 1/3
P = 0,33
P = 33,33 %
Baraja francesa
Es un conjunto de cartas divididas en cuatro palos: corazones, picas, tréboles y rombos. De cada palo hay 13 cartas, por lo tanto, el mazo está formado por 52 cartas totales. Los corazones y los rombos son de color rojo, y los tréboles y las picas son de color negro. Estos naipes son ampliamente utilizados en juegos de mesa y azar. Si tuviésemos que sacar una carta del mazo sin ver tendríamos las siguientes probabilidades:
Evento
Probabilidad (fracción)
Probabilidad (número decimal)
Probabilidad (porcentaje)
Sacar una carta de corazones
13/52 = 1/4
0,25
25 %
Sacar el 4 de tréboles
1/52
0,02
2 %
Sacar una carta con dos palos
0
0
0 %
Sacar una carta roja
26/52 = 1/2
0,5
50 %
árbol de probabilidades
Los diagramas de árbol se utilizan en matemática principalmente para identificar formas de agrupar elementos o para indicar los factores que conforman un determinado número. Sin embargo, también pueden aplicarse a experimentos probabilísticos de distinto tipo en la que las formas de ordenar se llamarán “casos posibles”.
– Ejemplo:
Si lanzamos una moneda tres veces, ¿cuántos resultados posibles tendríamos?
En este diagrama de árbol observamos que hay 8 casos posibles u 8 posibles combinaciones de resultados si lanzamos una moneda tres veces.
– Ejemplo 2:
Observa de nuevo el diagrama, ¿cuál es la probabilidad de obtener tres veces cara al lanzar una moneda tres veces seguidas?
Para responder esta pregunta debemos ver todas las posibles opciones. Como solo una cumple este requerimiento y los posibles casos son 8, decimos que la probabilidad de obtener tres veces cara al lanzar una moneda tres veces seguidas es:
P = 1/8
P = 0,125
P = 12,5 %
¡A practicar!
Expresa en fracción, número decimal y porcentaje la probabilidad de que ocurran los siguientes eventos:
Lanzar un dado y que salga un número impar.
Solución
P = 3/6 = 1/2
P = 0,5
P = 50 %
Sacar una carta con número par de un grupo de 10 cartas numeradas del 1 al 10.
Solución
P = 5/10 = 1/2
P = 0,5
P = 50 %
Sacar una bola verde de una urna que tiene 3 bolas rojas, 5 bolas verdes y 3 bolas amarillas.
Solución
P= 5/11
P = 0,45
P = 45,5 %
Sacar una carta de tréboles de un mazo de baraja francesa.
Solución
P = 13/52 = 1/4
P = 0,25
P = 25 %
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Probabilidad”
Con este artículo se podrá profundizar sobre el concepto de probabilidad. Además hay algunos ejercicios para poner en práctica lo aprendido.
Las relaciones espaciales nos orientan sobre las distancias a las que nos encontramos de algún objeto o lugar. Asimismo, sirven para especificar la posición de un territorio en el espacio. Los mapas y los croquis son ejemplos de herramientas usadas para encontrar distancias y ubicaciones específicas.
¿qué es un croquis?
Es un dibujo que indica nuestra ubicación o la de algún objeto o lugar. En él no hay medidas o distancias. Por ejemplo, cuando decimos que hacemos una representación mental de nuestra habitación, si la dibujamos tenemos un croquis.
Este podría ser el croquis de nuestra habitación. Observa que, después de pasar la puerta, a la izquierda tenemos una mesa, al frente está la cama y a la derecha de esta, justo al lado de la ventana, está ubicado el escritorio.
¡Es tu turno!
Observa este croquis de un zoológico, luego responde.
a) ¿Qué camino debe tomar Daniel para encontrarse con Laura?
Solución
Puede ir por la derecha del parque hasta donde están los caballos y allí se encontrará con Laura.
b) ¿Existe un solo camino?
Solución
No, hay varias maneras de llegar hasta donde está Laura.
c) ¿El canguro está al lado de la jirafa?
Solución
No. El canguro está entre el elefante y el oso.
d) ¿El caballo está frente al hipopótamo?
Solución
Sí, el caballo está frente al hipopótamo.
¿Qué son los mapas?
Son representaciones gráficas de un territorio. Por lo general, se representan de forma bidimensional pero también pueden encontrarse de forma esférica en los globos terráqueos y en modelos 3D.
Una de las características esenciales de todo mapa es su exactitud, por lo cual, debe poseer propiedades métricas a escala para permitir relacionar lo que representan con el mundo real. Toda distancia, ángulo o superficie denotada en un mapa debe cumplir con este principio.
Un planisferio, también conocido como mapamundi, es una representación gráfica a escala del mapa del mundo. Esta ilustración muestra todos los elementos del mapa de la Tierra de manera bidimensional. Muestra datos como relieve y altura sobre el nivel del mar, también señala ríos, regiones y otros elementos.
Los mapas se utilizan para distintos fines. Los más comunes indican:
Desde la organización de las primeras civilizaciones se utilizan los mapas como instrumento de ubicación. En la Edad Media se representaba a la Tierra de forma plana, y la ciudad de Jerusalén era el centro del mundo. Los mapas más antiguos que se tiene registro fueron realizados por los babilonios que vivieron en la Mesopotamia. Tallaban en tablillas de arcilla mediciones de sus tierras y luego las empleaban como herramienta de referencia para cobrar impuestos.
Característica de los mapas
Los mapas pertenecen a una forma de comunicación que emplea una serie de símbolos y nomenclaturas que permiten comprender amplias regiones de la Tierra en una pequeña porción de papel u otro material. Es por ello que es importante comprender los elementos más importantes de cualquier mapa:
Título del mapa: indica el objeto de estudio que se trata en el mapa.
Leyenda: presenta la codificación expresada en el mapa, es decir, explica los símbolos usados.
Escala: señala la proporción que existe entre la medida del mapa y la del terreno real.
Referencia de orientación: permite conocer la dirección de los elementos del mapa. Por convencionalismo, se suele usar una rosa de los vientos para señalar la ubicación de los puntos cardinales.
¿Sabías qué?
A comienzos de la Edad Moderna, cuando los exploradores como Cristóbal Colón comenzaron a recorrer los mares, la cartografía y los mapas empezaron a ser muy importantes para la sociedad.
La escala
¿Qué pasa si queremos dibujar un mapa de América? El continente no va a estar dibujado con su tamaño real porque no nos alcanzaría una hoja. Entonces, para poder dibujarlo, el creador del mapa coloca debajo del mismo una escala que indica los kilómetros que están representados por cada centímetro dibujados.
Una escala señala la proporción que existe entre la medida del mapa y la del terreno real. Las escalas pueden representarse de forma explícita cuando se indica, por ejemplo, que 1 cm = 100 km; de forma numérica cuando se muestra la fracción matemática, como por ejemplo 1/10.000; y de forma de regla graduada.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Lenguajes de mapas”
Con este artículo podrá ampliar la información sobre los mapas y sus partes.
OBSERVA LOS OBJETOS QUE TE RODEAN, ES PROBABLE QUE NO TE HAYAS DADO CUENTA PERO TODOS ESTÁN COMPUESTOS POR LÍNEAS, Y ESTAS, A SU VEZ, POR UNA SUCESIÓN DE PUNTOS. SEGÚN LA DIRECCIÓN QUE TOMEN ESTOS PUNTOS LAS LÍNEAS PUEDEN SER RECTAS O CURVAS.
¿QUÉ ES EL PUNTO?
EL PUNTO ES ENTE FUNDAMENTAL DE LA GEOMETRÍA, NO TIENE LONGITUD, NO TIENE ÁREA Y NO TIENE DIMENSIÓN. EL PUNTO ES SOLO UNA POSICIÓN EN EL ESPACIO. PODEMOS IDENTIFICAR LOS PUNTOS CON UNA LETRA MAYÚSCULA.
– EJEMPLO:
OBSERVA LA CUADRÍCULA, ¿CUÁNTOS PUNTOS HAY?
A, B, C, D, E, F Y G SON PUNTOS. HAY 7 PUNTOS.
LAS LÍNEAS Y SUS TIPOS
LA LÍNEA ES UNA SUCESIÓN DE INFINITOS PUNTOS. UNA LÍNEA SE ASEMEJA A UNA CUERDA QUE PUEDE SER RECTA O CURVA, ABIERTA O CERRADA PERO QUE ESTÁ FORMADA POR PUNTOS MUY PEQUEÑOS Y JUNTOS. LAS LÍNEAS TIENEN UNA DIMENSIÓN: LA LONGITUD.
SUCESIÓN DE PUNTOS
LÍNEA
SI OBSERVAMOS CADA LUGAR QUE CONFORMA NUESTRO DÍA PODEMOS VER MUCHOS TIPOS DE LÍNEAS. POR EJEMPLO, EL HORIZONTE ES UNA LÍNEA. TIENE SU NOMBRE POR SER UNA LÍNEA RECTA EN POSICIÓN HORIZONTAL. PUEDES VER OTROS EJEMPLOS DE LÍNEAS EN TUS LÁPICES, EN UNA MESA O EN LA FORMA DE NUESTRO PLANETA.
TIPOS DE LÍNEAS
EXISTEN DOS TIPOS DE LÍNEAS QUE EXPRESAN SU FORMA:
LÍNEA RECTA: ES LA LÍNEA CUYOS PUNTOS ESTÁN ALINEADOS EN UNA MISMA DIRECCIÓN.
LÍNEA CURVA: ES LA LÍNEA CUYOS PUNTOS NO ESTÁN ALINEADOS EN UNA MISMA DIRECCIÓN. EXISTEN DOS TIPOS DE LÍNEAS CURVAS, LAS ABIERTAS, EN LAS QUE SU INICIO Y SU FINAL NO COINCIDEN, Y LAS CERRADAS, EN LAS QUE SU INICIO Y FINAL SÍ COINCIDEN.
ESTAS SON LÍNEAS CURVAS ABIERTAS.
ESTAS SON LÍNEAS CURVAS CERRADAS.
LÍNEA POLIGONAL: ES LA COMBINACIÓN DE LÍNEAS RECTAS QUE EN UN DETERMINADO PUNTO CAMBIAN DE DIRECCIÓN. EXISTEN DOS TIPOS DE LÍNEAS POLIGONALES, LAS ABIERTAS, EN LAS QUE SU INICIO Y SU FINAL NO COINCIDEN, Y LAS CERRADAS, EN LAS QUE SU INICIO Y FINAL SÍ COINCIDEN.
ESTAS SON LÍNEAS POLIGONALES ABIERTAS.
ESTAS SON LÍNEAS POLIGONALES CERRADAS.
¿SABÍAS QUÉ?
USAMOS UNA LÍNEA PARA REPRESENTAR LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.
¿QUÉ ES UN SEGMENTO?
ES UNA LÍNEA RECTA LIMITADA POR DOS PUNTOS. EN LA IMAGEN HAY TRES SEGMENTOS: AB, CD Y FE.
¡IDENTIFIQUEMOS LÍNEAS!
OBSERVA ESTE DIBUJO, ¿QUÉ TIPO DE LÍNEAS PUEDES VER?
SOLUCIÓN
HAY MUCHAS LÍNEAS MÁS. ¡DESCÚBRELAS!
LAS LÍNEAS RECTAS SE EXTIENDEN EN UNA MISMA DIRECCIÓN, ES COMÚN VERLAS EN LOS BORDES DE LAS PANTALLAS DE NUESTROS TELÉFONOS MÓVILES, ASÍ COMO EN LAS SILUETAS DE MUCHAS FIGURAS GEOMÉTRICAS. LAS LÍNEAS RECTAS SON MUY USADAS EN EL SECTOR DE TRANSPORTES, PUES LAS VEMOS EN LOS RIELES DE LOS TRENES, EN LOS PASOS PEATONES, EN LAS CICLOVÍAS Y EN LAS CARRETERAS.
CONSTRUCCIÓN DE LOS DIFERENTES TIPOS DE LÍNEAS
PARA EL TRAZADO Y CONSTRUCCIÓN DE LAS DIFERENTES LÍNEAS DEBEMOS UTILIZAR ELEMENTOS GEOMÉTRICOS, COMO POR EJEMPLO, UNA REGLA O UNA ESCUADRA.
PARA CONSTRUIR LÍNEAS RECTAS O POLIGONALES BASTA CON USAR UNA REGLA O ESCUADRA PARA REALIZAR LOS TRAZOS. EN CAMBIO, SI QUIERES DIBUJAR UNA LÍNEA CURVA NO NECESITAS INSTRUMENTOS ADEMÁS DE TU LÁPIZ. RECUERDA QUE SI QUIERE DIBUJAR ALGUNA LÍNEA ABIERTA, EL PUNTO DE FINAL Y EL PUNTO DE INICIO NO DEBEN COINCIDIR, ES DECIR, DEBEN ESTAR SEPARADOS.
¡A PRACTICAR!
1. IDENTIFICA LAS SIGUIENTES LÍNEAS:
SOLUCIÓN
LÍNEA POLIGONAL CERRADA.
LÍNEA RECTA.
LÍNEA CURVA CERRADA.
LÍNEA POLIGONAL ABIERTA.
LÍNEA CURVA ABIERTA.
2. TRAZA LAS SIGUIENTES LÍNEAS:
UNA LÍNEA ROJA RECTA.
UNA LÍNEA VERDE POLIGONAL ABIERTA,
UNA LÍNEA AMARILLA CURVA ABIERTA.
UNA LÍNEA MORADA POLIGONAL CERRADA.
SOLUCIÓN
3. OBSERVA LA IMAGEN, IDENTIFICA LAS LÍNEAS QUE VES.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “El punto, la recta y el plano”
En el siguiente artículo hay información extra para ampliar los conceptos principales de la geometría.
LA CAPACIDAD SURGE CON LA NECESIDAD DE ESTABLECER UNA MEDIDA DE “LO QUE CABE” DENTRO DE UN OBJETO. POR EJEMPLO, EN UNA LLAVE NO CABE NINGUNA SUSTANCIA, PERO DENTRO DE UN VASO SÍ CABEN OBJETOS Y LÍQUIDOS, COMO AGUA O JUGO. LA UNIDAD DE MEDIDA DE LA CAPACIDAD ES EL LITRO. A CONTINUACIÓN APRENDERÁS CÓMO EMPLEARLA.
¿QUÉ ES LA CAPACIDAD?
OBSERVA ESTOS VASOS, ¿EN CUÁL HAY MÁS AGUA?
HAY MÁS AGUA EN EL VASO B.
AHORA OBSERVA ESTOS VASOS, ¿EN CUÁL CABE MÁS AGUA?
CABE MÁS AGUA EN EL VASO C.
LA CAPACIDAD ES UNA MAGNITUD QUE SE CARACTERIZA POR CONTENER UNA CIERTA CANTIDAD DE SUSTANCIA. GENERALMENTE SE UTILIZA PARA ESTABLECER LA CANTIDAD DE LÍQUIDO QUE TIENE UN RECIPIENTE.
OBSERVA DE NUEVO LOS VASOS DE ARRIBA, ¿CUALES TIENEN MAYOR CAPACIDAD?
EN EL PRIMER EJEMPLO, LOS DOS VASOS TIENEN LA MISMA CAPACIDAD, PERO EN EL SEGUNDO EJEMPLO, EL VASO C TIENE MAYOR CAPACIDAD QUE EL VASO D.
LA CAPACIDAD INDICA CUÁNTO LÍQUIDO PUEDE CONTENER UN RECIPIENTE Y SU UNIDAD DE MEDIDA ES EL LITRO. NO DEBE CONFUNDIRSE CON EL VOLUMEN, QUE ES EL ESPACIO OCUPADO POR EL LÍQUIDO Y SU UNIDAD ES EL METRO CÚBICO. EN LA IMAGEN VEMOS DOS VASOS, ¿CUÁL TIENE MAYOR CAPACIDAD? ¡LOS DOS TIENEN LA MISMA CAPACIDAD PORQUE PUEDEN CONTENER EL MISMO VOLUMEN!
¿SABÍAS QUÉ?
TODOS LOS CUERPOS OCUPAN UN VOLUMEN EN TRES DIMENSIONES: LARGO, ANCHO Y ALTO.
¡COMPAREMOS CAPACIDADES!
¿DÓNDE CABE MÁS AGUA?, ¿CUÁL RECIPIENTE TIENE MAYOR CAPACIDAD?
EN EL BOTELLÓN CABE MÁS AGUA QUE EN LA LATA. EL BOTELLÓN TIENE MAYOR CAPACIDAD.
EN EL BARRIL CABE MÁS AGUA QUE EN LA JARRA. EL BARRIL TIENE MAYOR CAPACIDAD.
EN LA PISCINA CABE MÁS AGUA QUE EN LA PIPA. LAS PISCINA TIENE MAYOR CAPACIDAD.
¡ES TU TURNO!
SOLUCIÓN
EN LA JARRA CABE MÁS AGUA QUE EN EL CARTÓN DE JUGO. LA JARRA TIENE MAYOR CAPACIDAD.
SOLUCIÓN
EN LA CISTERNA CABE MÁS AGUA QUE EN LA BOTELLA. LA CISTERNA TIENE MAYOR CAPACIDAD.
¿CÓMO SE MIDE LA CAPACIDAD?
LA CAPACIDAD SE PUEDE MEDIR CON VARIOS INSTRUMENTOS, COMO JARRAS MEDIDORAS, GOTEROS Y CUCHARAS. EN OTROS CASOS ENCONTRAMOS ENVASES CON SU CAPACIDAD YA DELIMITADA, POR EJEMPLO UNA BOTELLA DE 1 LITRO Y MEDIO DE AGUA, O UNA CAJA DE 1 LITRO DE LECHE.
LAS JARRAS MEDIDORAS SON TRANSPARENTES, FABRICADAS DE PLÁSTICO O VIDRIO; Y TIENEN RAYAS O MARCAS QUE REPRESENTAN LA MEDIDA DE CAPACIDAD HASTA ESE PUNTO. ES POSIBLE QUE TENGAS UNA EN CASA PORQUE SON DE GRAN AYUDA CUANDO PREPARAMOS RECETAS. ALGUNAS TIENEN LAS MEDIDAS EN MILILITROS (mL), LITROS (L) O CENTÍMETRO CÚBICO (cm3 O cc).
PRINCIPALES UNIDADES DE CAPACIDAD
LA UNIDAD PRINCIPAL DE LA CAPACIDAD ES EL LITRO, PERO NO ES LA ÚNICA. TAMBIÉN EXISTEN SUS MÚLTIPLOS, QUE REPRESENTAN UNA CANTIDAD MAYOR QUE EL LITRO, Y SUS SUBMÚLTIPLOS, QUE REPRESENTAN UNA CANTIDAD MENOR QUE EL LITRO. POR EJEMPLO:
UNA JARRA TIENE CAPACIDAD DE 1 LITRO.
ALGUNAS BOTELLAS TIENEN CAPACIDAD DE 500 MILILITROS.
UN CARTÓN PEQUEÑO DE JUGO TIENE CAPACIDAD DE 250 MILILITROS.
OBSERVA LAS EQUIVALENCIAS:
EN 1 LITRO HAY DOS ½ LITROS.
EN UN LITRO HAY CUATRO ¼ DE LITRO.
¡MUY IMPORTANTE!
1 LITRO = 1.000 MILILITROS
½ LITRO = 500 MILILITROS
¼ DE LITRO = 250 MILILITROS
1 L = ½ L + ½ L
1 L = ¼ L + ¼ L + ¼ L + ¼ L
– EJEMPLO:
OBSERVA LA TAZA MEDIDORA, ¿QUÉ CAPACIDAD TIENE?, ¿CUÁNTA AGUA HAY?
ESTA TAZA MEDIDORA TIENE CAPACIDAD PARA 1 LITRO.
NO ESTÁ LLENA DE AGUA HASTA LA MARCA DE 1 LITRO.
SI CONTAMOS LAS MARCAS, HAY AGUA HASTA LA MITAD DE 1 LITRO, ES DECIR, ½ LITRO.
POR LO TANTO, LA TAZA MEDIDORA TIENE ½ LITRO O 500 MILILITROS DE AGUA.
TODOS LOS RECIPIENTES DE LOS PRODUCTOS QUE CONSEGUIMOS EN UN SUPERMERCADO VIENEN CON ETIQUETAS QUE INDICAN LA CAPACIDAD O VOLUMEN. ALGUNOS TIENEN LAS UNIDADES DE CAPACIDAD DEL ENVASE Y OTROS TIENEN LAS UNIDADES DE VOLUMEN DE LAS SUSTANCIAS CONTENIDAS. ¡BUSCA EN TU CASA ALGÚN RECIPIENTE Y LEE SUS UNIDADES DE MEDIDA!
RELACIÓN ENTRE centímetro CÚBICO Y miliLITRO
AUNQUE LA CAPACIDAD Y EL VOLUMEN NO SON LO MISMO, TIENEN MUCHA RELACIÓN ENTRE SÍ. CUANDO NOS REFERIMOS A LA CAPACIDAD HABLAMOS DEL ESPACIO VACÍO QUE TIENE UN RECIPIENTE PARA SER LLENADO, MIENTRAS QUE EL VOLUMEN ES EL ESPACIO OCUPADO POR EL CUERPO.
DE ESTE MODO, UN OBJETO QUE TENGA CAPACIDAD PARA 1 MILILITRO SERÁ OCUPADO POR UN VOLUMEN DE 1 CENTÍMETRO CÚBICO. ASÍ QUE:
1 MILILITRO (mL) = 1 CENTÍMETRO CÚBICO (cm3)
¡A PRACTICAR!
1. ESTOS RECIPIENTES TIENEN DEBAJO SU CAPACIDAD. CONVIÉRTELA EN LITROS O MILILITROS SEGÚN SEA EL CASO.
SOLUCIÓN
A) 5 LITROS = 5.000 MILILITROS
B) ¼ LITRO = 250 MILILITROS
C) 1.000 MILILITROS = 1 LITRO
2. COMPLETAR LA TABLA TENIENDO EN CUENTA LA EQUIVALENCIA 1 cm3 = 1 mL.
2 cm3 = ____ mL
SOLUCIÓN
2
____ cm3 = 6 mL
SOLUCIÓN
6
____ cm3 = 42 mL
SOLUCIÓN
42
96 cm3 = ____ mL
SOLUCIÓN
96
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo: “Volumen y capacidad: aplicaciones”
En el siguiente artículo podrás encontrar un trabajo sobre la relación entre volumen y capacidad y varias estrategias de enseñanza.
El perímetro es el contorno de una figura geométrica. En el caso de los polígonos regulares, el perímetro lo calculamos al multiplicar la cantidad de sus lados por la longitud de uno de estos. Otra forma de calcular el perímetro es a través de la suma de cada uno de los lados de una figura. En cambio, el perímetro del círculo es igual a la multiplicación del número pi por el diámetro de la circunferencia. Existen también figuras compuestas que están formadas por dos o más figuras geométricas, para calcular su perímetro basta con sumar cada uno de los lados.
El perímetro tiene múltiples aplicaciones en disciplinas como la arquitectura y también se usa en el ámbito militar.
Ángulos
Uno de los elementos fundamentales para la geometría es el ángulo, el cual está formado por un par de semirrectas denominadas lados que tienen un origen común o vértice. Uno de los sistemas más usados para medir ángulos es el sistema sexagesimal, en el que medimos los ángulos en grados, minutos y segundos. De acuerdo a su tamaño, los ángulos pueden clasificarse en agudos, rectos, obtusos y llanos. Los agudos son mayores a 0° pero menores a 90°, los rectos miden 90°, los obtusos son mayores a 90° pero menores de 180° y los llanos miden siempre 180°.
El transportador es uno de los instrumentos más usados para medir ángulos.
Área
Para calcular superficies usamos el área, que es la extensión comprendida por una figura. Para cada figura plana existe una fórmula que permite determinar su área. En el Sistema Internacional de Unidades se emplea el metro cuadrado (m2) como unidad de medida de área, pero también podemos usar otras unidades derivadas, como el centímetro cuadrado (cm2) o el milímetro cuadrado (mm2). Podemos obtener el área de las figuras compuestas al descomponerlas en figuras geométricas más simples, para luego sumar las áreas de cada una.
El conocimiento del área puede ser aplicado para calcular cuántas baldosas son necesarias para cubrir una superficie.
Sistemas de referencia
Uno de los sistemas de referencias más usados es el sistema cartesiano, el cual está formado por dos ejes en el plano: uno horizontal denominado eje X o de las abscisas y otro vertical denominado eje Y o de las ordenadas. Para representar un punto en el plano cartesiano necesitamos sus coordenadas en el eje X y en el eje Y: la intersección de ambas coordenadas constituye su ubicación. Por otro lado, las figuras pueden experimentar transformaciones isométricas, es decir, cambios de posición y orientación que no afectan su forma. Estas transformaciones son: traslación, rotación y simetría.
Los sistemas de referencia son usados por el ser humano para medir las posiciones y las magnitudes de las cosas.
Cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados, y aunque se pueden clasificar en varios grupos, comparten elementos en común: tienen cuatro ángulos, la suma de estos es siempre igual 360° y tienen dos diagonales que dividen al cuadrado en triángulos. De manera general, los cuadriláteros son clasificados como paralelogramos, trapecios y trapezoides. Los paralelogramos tienen sus lados opuestos paralelos y pueden ser cuadrados, rombos y rectángulos. Los trapecios tienen dos de sus lados paralelos y los trapezoides no tienen ningún lado paralelo.
El campo de fútbol tiene forma de rectángulo que es un tipo de cuadrilátero.
Capacidad y volumen
El volumen es el espacio que ocupa un objeto mientras que la capacidad indica la cantidad que un objeto puede contener dentro de él. Todos los objetos tienen volumen pero no todos tienen capacidad. En el caso de los sólidos y los líquidos mientras mayor sea su volumen, mayor espacio van a ocupar. No es lo mismo el volumen de un grano de arroz que el de un edificio. Algunas unidades de volumen son el metro cúbico (m3), el centímetro cúbico (cm3) y milímetro cúbico (mm3), entre otras. El litro es una medida de capacidad que equivale a 1.000 cm3.
A pesar de estar muy relacionadas, no se deben confundir las medidas de volumen con las de capacidad.
La circunferencia
La circunferencia es una curva plana con todos sus puntos ubicados a la misma distancia del origen o centro. No debe ser confundida con el círculo que corresponde al área contenida dentro de ella, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo. Presenta ciertos elementos como el radio, el diámetro, la tangente, la cuerda, el arco y la semicircunferencia. Uno de los instrumentos usados para su trazado es el compás.
Los antiguos griegos empleaban la recta y la circunferencia como figuras básicas en sus cálculos.
Son convencionalismos adoptados por el ser humano para medir la posición y otras magnitudes físicas. Se usan para hallar cuerpos celestes en el espacio y son la base para determinar nuestra ubicación en el planeta. También permiten establecer comparaciones y transformaciones entre las figuras representadas.
Ejes de coordenadas
El sistema de coordenadas cartesianas es uno de los sistemas de referencias usados para ubicar puntos en el espacio. En este caso específicamente se explicarán estas coordenadas orientadas al plano, es decir, en dos dimensiones.
El plano donde ubicamos los puntos se denomina plano cartesiano y está formado por los siguientes elementos:
Eje X: es también denominado eje de las abscisas, y se encuentra ubicado dentro del plano en forma horizontal.
Eje Y: es conocido también como eje de las ordenadas y está ubicado en sentido vertical dentro del plano.
Origen: es el punto de intersección entre los ejes de coordenadas X e Y.
Los ejes de coordenadas permiten ubicar puntos, gráficos o figuras dentro del plano cartesiano. Al tratarse de dos ejes: el de las abscisas o eje X y el de las ordenadas o eje Y, se requieren de dos coordenadas para ubicar un punto, es decir, un punto está definido dentro del plano si, y solo si, se conocen sus coordenadas en el eje X y en el eje Y.
¿Sabías qué?
El nombre de las coordenadas cartesianas proviene de la persona que las empleó por primera vez: René Descartes.
Un punto está definido por un par de números que hacen referencia a su posición respecto al eje X y al eje Y. Estos puntos son denominados coordenadas cartesianas y permiten graficarlo.
Para hacerlo, dividimos los ejes en segmentos con la misma longitud y a cada uno le asignamos el valor de un número entero. A la derecha del origen, escribimos los números de menor a mayor, esos serán los valores del eje X. Arriba del origen escribimos los números que le siguen al cero de menor a mayor, esos serán los valores del eje Y:
¿Sabías qué?
Los números negativos se representan a la izquierda del origen (eje X) y debajo del origen (eje Y).
Para ubicar un punto en el plano necesitamos las coordenadas de cada eje, que de ahora en adelante llamaremos coordenada en X y coordenada en Y para hacer mención a cuál eje se refieren. La coordenada X determina cuán a la derecha del origen está ubicado el punto; mientras que la coordenada Y, cuán arriba del origen está el punto.
La manera más frecuente de representar un punto es a través de paréntesis, y dentro indicamos la coordenada X y la coordenada Y, separadas por una coma:
El punto desde dónde se empieza a contar es en el origen porque se encuentra en la coordenada (0,0) lo que quiere decir que está a 0 posiciones de la derecha y a 0 posiciones hacia arriba.
Por ejemplo:
El punto A (3,2) se encuentra a tres posiciones a la derecha y a dos posiciones hacia arriba. Si lo queremos graficar, cada coordenada debe estar representada en el respectivo eje y el punto de intersección de ambas sería el punto A:
Cuando algunas de las coordenadas del punto sea igual a cero, significa que el punto se encuentra sobre el eje al cual corresponde la coordenada diferente de cero. Por ejemplo, el punto B (0,3) indica que se movió cero posiciones a la derecha y tres posiciones hacia arriba, por lo tanto se ubica sobre el eje Y que es el que tiene la coordenada diferente de cero:
Ejes de simetrías
La simetría es una relación proporcionada entre las partes que componen un todo. Así, por ejemplo, decimos que una imagen es simétrica cuando su forma no cambia si es girada o volteada. Para que exista simetría entre dos objetos, ambos deben ser del mismo tamaño y de la misma forma y uno debe estar en una orientación diferente a la del primero.
La forma de una mariposa es un ejemplo de simetría: si trazamos una línea imaginaria de forma vertical en el centro de la mariposa (eje de simetría), obtendríamos dos imágenes iguales pero con diferente orientación. Nuestros cuerpos también son simétricos: esto se debe a que contamos con la misma cantidad de miembros a cada lado.
El eje de simetría es una línea imaginaria que divide al dibujo en dos partes idénticas pero con diferente orientación. Los ejes de simetría pueden ser horizontales, verticales o inclinados.
De acuerdo a la figura geométrica, algunas pueden presentar uno o más ejes de simetría. Otras, en cambio, no presentan ninguno. Cuando una figura no es simétrica se denomina asimétrica.
Por ejemplo, no todos los triángulos tienen ejes de simetría, todo depende de su tipo. Si son equiláteros tienen tres ejes de simetría; si son isósceles tienen dos ejes de simetría, y si son escalenos no tienen ningún eje de simetría.
Transformaciones isométricas
Las transformaciones isométricas son los cambios de posición u orientación que experimenta una figura sin alterar su forma.
Traslación
Es un tipo de transformación isométrica donde se mueven todos los puntos de una figura en una misma dirección, sentido y longitud.
Rotación
También es conocida como giro. Es una transformación isométrica en la que la figura se mueve alrededor de un punto sin alterar su forma. El movimiento es determinado por un ángulo de rotación y puede ser en sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario.
La simetría como transformación isométrica
La simetría entre dos objetos es un tipo de transformación isométrica porque a cada punto del objeto o figura se lo asocia a otro conocido como imagen. Cada punto está a una misma distancia del otro respecto al eje de simetría. Este tipo de transformación también se conoce como reflexión.
¡A practicar!
1. ¿Cuál es la posición de estos números?
a)
Solución
C (4,3)
b)
Solución
D (1,2)
c)
Solución
E (5,0)
d)
Solución
F (4,5)
e)
Solución
G (3,3)
2. ¿A cuál de los siguientes puntos corresponde la coordenada (6,3)?
Solución
Corresponde al punto K (6,3).
3. ¿Cuál de estas figuras no es simétrica?
a)
b)
c)
d)
Solución
d) No es simétrica porque no tiene ningún eje de simetría.
4. ¿A qué tipo de transformación isométrica corresponde la gráfica?
Solución
Traslación.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Simetrías”
Este artículo explica qué es una simetría, sus tipos y su relación con los ejes. También incluye algunos ejemplos de simetría.
Este artículo explica qué es el plano cartesiano, sus características y divisiones por cuadrante. También incluye ejemplos sobre como ubicar puntos en este sistema.
UNA JARRA TIENE CAPACIDAD DE 1 LITRO.
ALGUNAS BOTELLAS TIENEN CAPACIDAD DE 500 MILILITROS.
UN CARTÓN PEQUEÑO DE JUGO TIENE CAPACIDAD DE 250 MILILITROS.
EN 1 LITRO HAY DOS ½ LITROS.
EN UN LITRO HAY CUATRO ¼ DE LITRO.
Corresponde al punto K (6,3). 
