LA RECTA NUMÉRICA

Se trata de una herramienta muy útil para representar de forma ordenada los números reales en una dimensión, de manera que podamos visualizar con facilidad aspectos como la secuencia y la relación entre varios números, así como también soluciones de inecuaciones. Fue propuesta por John Wallis y es la base para la construcción del plano cartesiano.

ELEMENTOS DE UNA RECTA NUMÉRICA

Los elementos que podemos incluir en una recta numérica son muy variables, ya que dependerán del uso que hagamos de ella; pero, en esencia, la recta numérica está conformada por una recta horizontal en la que se indican generalmente los números enteros ( $\mathbb{Z}$ ) con un origen (0) ubicado en el centro. Sin embargo, esta recta no es exclusiva de los números enteros, ya que en ella podemos representar cualquier número real ( $\mathbb{R}$ ).

A la izquierda del cero se encuentran los números negativos y hacia la derecha los positivos. Además, suponemos que la prolongación de los extremos de la recta representa el infinito tanto positivo (a la derecha) como negativo (a la izquierda).

Los valores en la recta numérica se pueden representar de uno en uno, pero también se puede seleccionar a conveniencia una escala diferente, por ejemplo, de 0,5 en 0,5; o bien, de 3 en 3. También, podemos subdividir cada espacio en la recta real para representar números decimales o fracciones.

La escala de la regla es equivalente a la sección positiva de una recta numérica con una cantidad finita de números. En este caso, los centímetros son la escala principal y las subdivisiones representan los milímetros que proporcionan la parte decimal de una medida. A la menor medida que se pueda obtener con un instrumento se le denomina apreciación.

EL ORDEN DE LOS NÚMEROS

En la recta numérica los números están ordenados en forma ascendente de izquierda a derecha, es decir, si se comparan dos números, será mayor el que se localice más a la derecha.

Como ya hemos visto, cada división puede subdividirse para representar fracciones, las cuales pertenecen al conjunto de los números racionales ( $\mathbb{Q}$ ). Si para una determinada fracción realizamos la división del numerador entre el denominador, encontraremos su expresión decimal equivalente, es decir, toda fracción se puede expresar como un decimal; sin embargo, no todos los decimales tienen una fracción generatriz.

Los números decimales que no podemos expresar en fracciones pertenecen al conjunto de los números irracionales ( $\mathbb{I}$ ), por ejemplo, el valor $\sqrt{2}$ o la constante $\pi$ . A su vez, los números irracionales son un subconjunto de los números reales.

¿Sabías qué?

Los números negativos fueron aceptados universalmente e incluidos en la recta numérica a finales del siglo XVIII.

La constante π (pi) es un valor que contiene infinitos dígitos no periódicos en su parte decimal, por lo que pertenece al conjunto de los números irracionales. Su ubicación exacta en la recta real supone un inconveniente, por lo que se suele realizar un redondeo, por ejemplo, hasta la centésima (3,14) al momento de representar su valor en la recta numérica.

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Adición y sustracción con la recta numérica

Podemos utilizar la longitud de segmentos de línea a escala sobre la recta numérica para efectuar operaciones de suma y resta. Por ejemplo:

Si queremos sumar 3 + 5, a partir del 0 representamos de izquierda a derecha un segmento de recta de longitud igual a 3 unidades y seguidamente dibujamos de izquierda a derecha otro segmento de longitud igual a 5 unidades. El resultado, será el valor indicado desde cero hasta donde llegue el último segmento trazado:

Ahora bien, si queremos restar 6 − 4, a partir de 0 debemos dibujar de izquierda a derecha una recta de longitud 6 unidades y luego, donde termina dicha recta, trazamos ahora de derecha a izquierda otra recta de longitud 4 unidades (quedará sobre el primer segmento dibujado). El resultado, será el valor indicado desde cero hasta el punto donde coinciden los dos segmentos de recta:

¿CÓMO UBICAR UN RADICAL EN LA RECTA NUMÉRICA?

Algunos números, en especial los radicales, resultan complicados de ubicar con precisión en la recta real, sin embargo, en algunos casos podemos hacer uso del teorema de Pitágoras y un compás, para determinar la ubicación precisa de estos valores.

Cabe destacar que este método es útil cuando podemos expresar el radical como la suma de dos términos que tienen raíces exactas, digamos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49… entre otros.

Uno de los legados más conocidos del filósofo griego Pitágoras fue el teorema que lleva su nombre, el cual establece que en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos. Hasta la fecha, este se considera uno de los teoremas más utilizados en la matemática y la física clásica.

Por ejemplo, si deseamos ubicar $\sqrt{13}$ en la recta numérica el procedimiento es el siguiente:

Descomponemos el número dentro del radical como la suma de dos términos con raíces enteras:

$\sqrt{13}=\sqrt{9+4}$

Expresamos cada término como la suma de dos cuadrados, es decir, cada término será la raíz de ese valor elevado al cuadrado:

$\sqrt{9+4}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}$

Si hacemos la analogía con el teorema de Pitágoras:

La base de cada cateto a y b son los valores de los términos que están elevados al cuadrado dentro de la raíz, es decir, 3 y 2.
Para representar el radical en la recta numérica, a partir del cero (0) se construye un rectángulo de base a y altura b (o viceversa); y la diagonal que parte de cero a la otra esquina será la hipotenusa del triángulo rectángulo que quedará con la medida del radical que deseas ubicar.
Con un compás, hacemos centro en el origen 0 y con abertura equivalente a la diagonal (hipotenusa), trazamos un arco de circunferencia hasta que corte la recta numérica y ese será el valor del radical que deseamos ubicar: $\sqrt{13}$ .

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¡A practicar!

Ubica los siguientes valores en la recta numérica:

a) $\frac{3}{4}$

Solución

b) $\frac{1}{3}$

Solución

c) −0,5

Solución

d) Ubica en la recta numérica el valor de $\sqrt{20}$

Solución

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “La recta numérica”

En este artículo encontrarás contenido relacionado con la ubicación de los diferentes conjuntos de números en la recta real, y en particular, la explicación de cómo ubicar un número irracional en dicha recta.

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Artículo “Recta numérica”

En este artículo se describen los pasos para ubicar un número entero, fracciones o decimales en la recta numérica.

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LOS TRIÁNGULOS

En la vida cotidiana es común observar triángulos. Los vemos en las porciones de pizza, en las señales de tránsito, en la vela de un velero, en las pirámides e incluso cuando estudiamos matemáticas. Los triángulos son figuras geométricas de tres lados y, aunque son los polígonos más simples, presentan ciertas particulares que los diferencian del resto.

El triángulo y sus ELEMENTOS

Los triángulos son figuras geométricas que cuentan con tres lados, tres ángulos y tres vértices.

Vértice: es el punto de unión de dos lados de un polígono o un ángulo.
Lado: es cada uno de los segmentos que une un vértice con el siguiente.
Ángulo: es el formado por la unión de dos rectas con un vértice en común. Pueden ser interno o externos.
- La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
- Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, por lo tanto, suman 180°.

Ángulos

Todos los triángulos tienen tres ángulos, estos pueden ser:

Agudos, cuando son menores a 90°.
Rectos, cuando son iguales a iguales a 90°.
Obtusos, cuando son mayores a 90°.

¿Cómo nombrar un triángulo?

Los vértices de los triángulos se designan con letras mayúsculas, mientras que los lados se denominan por la misma letra que el vértice opuesto, pero en minúscula. Por ejemplo:

El lado a es el segmento que une los vértices B y C.
El lado b es el segmento que une los vértices A y C.
El lado c es el segmento que une los vértices A y B.

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CLASIFICACIÓN de los triángulos

Son varios los criterios de clasificación que permiten agrupar a los triángulos de acuerdo a ciertas particularidades, los más utilizados son la medida de sus lados y la medida de sus ángulos.

Triángulos según sus lados

Triángulo equilátero: tiene 3 lados con la misma longitud.
Triángulo isósceles: tiene 2 lados con la misma longitud.
Triángulo escaleno: tiene todos sus lados desiguales.

Triángulos según sus ángulos

Triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto, es decir, que mide 90°.
Triángulo acutángulo: tiene todos sus ángulos agudos, es decir, ángulos menores que 90°.
Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso, es decir, un ángulo mayor a 90°.

Los triángulos pueden cumplir con ambos criterios de clasificación. Así, un triángulo isósceles también puede ser un triángulo rectángulo.

¡A practicar!

Observa los siguientes triángulos y clasifícalos según sus lados:

Solución

A) Escaleno

B) Equilátero

C) Isósceles

Observa los siguientes triángulos y clasifícalos según sus ángulos:

Solución

A) Rectángulo

B) Obtusángulo

C) Rectángulo

El Triángulo de las Bermudas es un área ubicada en el océano Atlántico, se forma al trazar una línea imaginaría entre el estado de la Florida (EE. UU.), la isla de Puerto Rico y las Bermudas. Es conocido como un triángulo equilátero, ya que, las distancias geográficas entre cada uno de los puntos que lo conforman son iguales.

Perímetro de un triángulo

El perímetro es la medida del contorno de una figura. Lo calculamos al sumar la longitud de todos sus lados.

$P = l_{1}+l_{2}+l_{3}$

Donde:

P = perímetro

l = lados

– Ejemplo:

El perímetro de este triángulo isósceles es igual a la suma de la longitud de sus lados.

$P=3\: cm+3\: cm+5\: cm$

$P=\boldsymbol{11\: cm}$

Este triángulo tiene un perímetro de 11 cm.

¿Sabías qué?

Para calcular el perímetro de un triángulo equilátero solo se debe multiplicar la longitud de un lado por 3. Esto se debe a que los tres lados miden lo mismo. Entonces, puedes utilizar la fórmula: P = 3 × l

área de un triángulo

El área es la medida de la superficie de la figura. La calculamos por medio de una expresión matemática que considera la longitud de la base y su altura:

$A=\frac{b\cdot h}{2}$

Donde:

A = área

b = base

h = altura

– Ejemplo:

La base de este triángulo mide 6 cm y la altura 4 cm, así que solo sustituimos los valores en la fórmula y resolvemos:

$A = \frac{6\: cm\cdot 4\: cm}{2}$

$A=\frac{24\: cm^{2}}{2}$

$A=\boldsymbol{12\: cm^{2}}$

Este triángulo tiene un área de 12 cm².

Teorema de Pitágoras y el triángulo rectángulo

Pitágoras de Samos, un matemático griego del siglo VI a. C. descubrió que los triángulos rectángulos guardaban una relación respecto a sus lados. Él llegó a la conclusión de que el cuadrado del lado mayor de un triángulo rectángulo, es decir, la hipotenusa, siempre era igual a la suma del cuadrado de sus otros dos lados o catetos. A esta relación se la conoce como teorema de Pitágoras.

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¡A practicar!

Calcula el área y el perímetro del siguiente triángulo:

Solución

$A=\frac{10\: cm\cdot 5\: cm}{2}=\frac{50\: cm^{2}}{2}=\boldsymbol{25\: cm^{2}}$

$P=10\: cm+12\: cm+\: 12\: cm=\boldsymbol{34\: cm}$

TRAZADO DE un triángulo dado dos lados y una ángulo

Si queremos dibujar una triángulo que tiene un ángulo de 40° y lado de 12 cm y otro de 8 cm seguimos estos pasos:

1. Dibujamos el ángulo de 40° y al vértice lo llamamos A.

2. Con la ayuda de una regla graduada marcamos el segmento AB de 12 cm.

3. Luego marcamos el segmento AC de 8 cm.

4. Unimos los puntos B y C. Después coloreamos el triángulo.

Rectas notables de un triángulo

La altura es una recta perpendicular en cualquiera de los lados del triángulo que pasa por el vértice opuesto.
La mediana es aquella recta que une el vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto.
La mediatriz es la perpendicular que pasa por el punto medio de un lado del triángulo.
Una bisectriz es una recta que pasa por el vértice de un triángulo y divide a su ángulo en dos partes iguales.