CAPITULO 5 / TEMA 5

Circunferencia y círculo

El círculo es la superficie contenida dentro de una circunferencia. En algunas ocasiones suelen confundirse estos términos por error, pero lo cierto es que gozan de características únicas que desde tiempos antiguos han cautivado a los matemáticos. Su conocimiento es importante para entender conceptos como el número pi.

Diferencia entre la circunferencia y el círculo

Aunque son conceptos que están estrechamente relacionados, circunferencia y círculo son dos cosas geométricamente diferentes. La circunferencia es la línea o perímetro que bordea y delimita la superficie de un círculo. Todos los puntos de la circunferencia se encuentran a una misma distancia del centro. El círculo, por otra parte, es una figura geométrica que está delimitada por una circunferencia.

¿Sabías qué?
El matemático griego Eratóstenes de Cirene fue la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra en el 230 a. C.

En este sentido, cuando hablamos de circunferencia nos referimos a una curva cerrada y cuando hablamos de círculo nos referimos a una superficie o área que está contenida dentro de una circunferencia.

Instrumento muy útil

Desde su invención en el año 200 a. C. por parte de los chinos, el compás ha sido uno de los inventos más usados en la geometría y en otras áreas. Su utilidad ha ido más allá del trazado de arcos y circunferencias, también permite transportar medidas y puede emplearse en la construcción de polígonos y en el cálculo de distancias empleado por la navegación.

Elementos de la circunferencia

Los elementos principales de una circunferencia se detallan a continuación:

  • Centro: es el punto que se ubica a la misma distancia de todos los puntos que conforman la circunferencia.
  • Radio: es el segmento de recta que une al centro con cualquiera de los puntos de la circunferencia.
  • Cuerda: es la recta que une dos puntos de la circunferencia.
  • Diámetro: es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. Su longitud es igual al doble del radio.
  • Semicircunferencia: es la mitad de la circunferencia. El diámetro divide a la circunferencia en dos semicircunferencias.
  • Arco: es una porción de la circunferencia que se encuentra delimitada por una cuerda. Generalmente, a cada cuerda se le asocia el menor arco que delimita.

Relaciones entre rectas y circunferencias

Entre una circunferencia y una recta pueden darse tres tipos diferentes de relación:

  • Recta exterior: es aquella recta que nunca corta a la circunferencia.
  • Recta tangente: es aquella recta que corta a la circunferencia en uno de sus puntos.
  • Recta secante: es aquella recta que corta a la circunferencia en dos de sus puntos.

VER INFOGRAFÍA

Desde la Antigüedad, los geómetras se enfocaron en calcular la longitud de la circunferencia. Esta línea curva cerrada sin importar su tamaño siempre mide algo más que el triple de su diámetro. En este contexto, se emplea el número pi (π), un número con infinitos decimales que se obtiene al dividir la longitud de la circunferencia por su diámetro.

Trazado de circunferencias

Para trazar circunferencias empleamos el compás y debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Conocer la distancia que hay desde el centro de la circunferencia hasta alguno de sus puntos (el radio). Para esto puedes usar una regla y abrir el compás a dicha distancia. Otra forma de hacerlo es trazar el segmento de recta igual a la longitud del radio deseado, colocar la aguja de acero sobre uno de los extremos y abrir el compás hasta que la mina de grafito toque el otro extremo.
  2. Apretar con suavidad la aguja de acero contra el papel para que no se mueva y girar el otro brazo de forma firme para trazar la circunferencia.
  3. Marcar el centro de la circunferencia que será el mismo punto donde se apoyó la aguja de acero durante el trazado de la circunferencia.

Área del círculo

Para calcular el área de un círculo simplemente necesitamos conocer la longitud de su radio. La fórmula es la siguiente:

A=\pi \times r^{2}

Donde:

A = área del círculo
π = número pi
r = longitud del radio

Como el número pi (π) es un número irracional, sus decimales son infinitos (3,141592653589793238…), por lo tanto, para efectos de cálculo de área se suele aproximar a 3,14.

¿Sabías qué?
Existe otra fórmula para calcular el área del círculo en función de su diámetro: A = \frac{\pi }{4}\times d^{2}.

– Calcula el área del siguiente círculo.

De acuerdo a la figura, la longitud del radio es 5 cm, por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de área.

A=\pi \times r^{2}

A=3,14 \times (5 \, cm)^{2}

A=3,14 \times 25 \, cm^{2}

A=\mathbf{78,5 \, cm^{2}}

El sistema sexagesimal es uno de los sistemas usados para medir ángulos y tiempo. En el caso de los ángulos, el sistema emplea una circunferencia para establecer sus unidades de medición. Un grado (°) equivale a la 360 parte de una circunferencia, un minuto (′) equivale a la 60 parte de un grado y un segundo (″) equivale a la 60 parte de un minuto.

¡A practicar!

1. Calcula el área de los siguientes círculos.

a) 

Solución
A = 50,24 cm2

b)

Solución
A = 254,34 cm2

c)

Solución
A = 12,56 m2

d)

Solución
A = 314 mm2

e)

Solución
A =153,86 cm2

2. ¿Cuánto debe medir el radio de una circunferencia para que su área sea igual a 113,04 cm2?
a) 5 cm
b) 3 cm
c) 6 cm
d) 11 cm

Solución
c) 6 cm

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Circunferencia”

El artículo explica los elementos principales de la circunferencia y la relación que tiene esta con el número pi. En el artículo también se explica como calcular la longitud de una circunferencia y determinar el área de un círculo.

VER

Artículo “Círculo”

El artículo plantea de forma resumida cada uno de los elementos de un círculo como el semicírculo y el segmento circular. También presenta ilustraciones de cada uno para explicar el concepto de manera más clara.

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Infografía “Número pi (π)”

En esta infografía se explica más a detalle qué es el número pi, su desarrollo a través del tiempo y las diferentes aplicaciones del mismo.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 4

LOS TRIÁNGULOS

En la vida cotidiana es común observar triángulos. Los vemos en las porciones de pizza, en las señales de tránsito, en la vela de un velero, en las pirámides e incluso cuando estudiamos matemáticas. Los triángulos son figuras geométricas de tres lados y, aunque son los polígonos más simples, presentan ciertas particulares que los diferencian del resto. 

 

Los triángulos forman parte de nuestro día a día y los vemos en múltiples objetos. Al triángulo también se lo conoce como trígono; en ambos casos su nombre indica la presencia de tres ángulos. La disciplina encargada de estudiar las relaciones y las características de estos polígonos regulares de tres lados es la trigonometría.

El triángulo y sus ELEMENTOS

Los triángulos son figuras geométricas que cuentan con tres lados, tres ángulos y tres vértices.

  • Vértice: es el punto de unión de dos lados de un polígono o un ángulo.
  • Lado: es cada uno de los segmentos que une un vértice con el siguiente.
  • Ángulo: es el formado por la unión de dos rectas con un vértice en común. Pueden ser interno o externos.
    • La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
    • Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, por lo tanto, suman 180°.

Ángulos

Todos los triángulos tienen tres ángulos, estos pueden ser:

  • Agudos, cuando son menores a 90°.
  • Rectos, cuando son iguales a iguales a 90°.
  • Obtusos, cuando son mayores a 90°.

¿Cómo nombrar un triángulo?

Los vértices de los triángulos se designan con letras mayúsculas, mientras que los lados se denominan por la misma letra que el vértice opuesto, pero en minúscula. Por ejemplo:

  • El lado a es el segmento que une los vértices B y C.
  • El lado b es el segmento que une los vértices A y C.
  • El lado c es el segmento que une los vértices A y B.

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CLASIFICACIÓN de los triángulos

Son varios los criterios de clasificación que permiten agrupar a los triángulos de acuerdo a ciertas particularidades, los más utilizados son la medida de sus lados y la medida de sus ángulos.

Triángulos según sus lados

  • Triángulo equilátero: tiene 3 lados con la misma longitud.
  • Triángulo isósceles: tiene 2 lados con la misma longitud.
  • Triángulo escaleno: tiene todos sus lados desiguales.

Triángulos según sus ángulos

  • Triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto, es decir, que mide 90°.
  • Triángulo acutángulo: tiene todos sus ángulos agudos, es decir, ángulos menores que 90°.
  • Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso, es decir, un ángulo mayor a 90°.

Los triángulos pueden cumplir con ambos criterios de clasificación. Así, un triángulo isósceles también puede ser un triángulo rectángulo.

¡A practicar!

Observa los siguientes triángulos y clasifícalos según sus lados:

Solución

A) Escaleno

B) Equilátero

C) Isósceles

Observa los siguientes triángulos y clasifícalos según sus ángulos:

Solución

A) Rectángulo

B) Obtusángulo

C) Rectángulo

El Triángulo de las Bermudas es un área ubicada en el océano Atlántico, se forma al trazar una línea imaginaría entre el estado de la Florida (EE. UU.), la isla de Puerto Rico y las Bermudas. Es conocido como un triángulo equilátero, ya que, las distancias geográficas entre cada uno de los puntos que lo conforman son iguales.

Perímetro de un triángulo

El perímetro es la medida del contorno de una figura. Lo calculamos al sumar la longitud de todos sus lados.

P = l_{1}+l_{2}+l_{3}

Donde:

P = perímetro

l = lados

 

– Ejemplo:

El perímetro de este triángulo isósceles es igual a la suma de la longitud de sus lados.

P=3\: cm+3\: cm+5\: cm

 

P=\boldsymbol{11\: cm}

 

 

Este triángulo tiene un perímetro de 11 cm.

¿Sabías qué?
Para calcular el perímetro de un triángulo equilátero solo se debe multiplicar la longitud de un lado por 3. Esto se debe a que los tres lados miden lo mismo. Entonces, puedes utilizar la fórmula: P = 3 × l

área de un triángulo

El área es la medida de la superficie de la figura. La calculamos por medio de una expresión matemática que considera la longitud de la base y su altura:

A=\frac{b\cdot h}{2}

Donde:

A = área

b = base

h = altura

– Ejemplo:

La base de este triángulo mide 6 cm y la altura 4 cm, así que solo sustituimos los valores en la fórmula y resolvemos:

A = \frac{6\: cm\cdot 4\: cm}{2}

A=\frac{24\: cm^{2}}{2}

 

A=\boldsymbol{12\: cm^{2}}

 

 

Este triángulo tiene un área de 12 cm2.

Teorema de Pitágoras y el triángulo rectángulo

Pitágoras de Samos, un matemático griego del siglo VI a. C. descubrió que los triángulos rectángulos guardaban una relación respecto a sus lados. Él llegó a la conclusión de que el cuadrado del lado mayor de un triángulo rectángulo, es decir, la hipotenusa, siempre era igual a la suma del cuadrado de sus otros dos lados o catetos. A esta relación se la conoce como teorema de Pitágoras.

VER INFOGRAFÍA

¡A practicar!

Calcula el área y el perímetro del siguiente triángulo:

Solución

A=\frac{10\: cm\cdot 5\: cm}{2}=\frac{50\: cm^{2}}{2}=\boldsymbol{25\: cm^{2}}

P=10\: cm+12\: cm+\: 12\: cm=\boldsymbol{34\: cm}

TRAZADO DE un triángulo dado dos lados y una ángulo

Si queremos dibujar una triángulo que tiene un ángulo de 40° y lado de 12 cm y otro de 8 cm seguimos estos pasos:

1. Dibujamos el ángulo de 40° y al vértice lo llamamos A.

2. Con la ayuda de una regla graduada marcamos el segmento AB de 12 cm.

3. Luego marcamos el segmento AC de 8 cm.

4. Unimos los puntos B y C. Después coloreamos el triángulo.

Rectas notables de un triángulo

  • La altura es una recta perpendicular en cualquiera de los lados del triángulo que pasa por el vértice opuesto.
  • La mediana es aquella recta que une el vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto.
  • La mediatriz es la perpendicular que pasa por el punto medio de un lado del triángulo.
  • Una bisectriz es una recta que pasa por el vértice de un triángulo y divide a su ángulo en dos partes iguales.

¡A practicar!

1. Traza los siguientes triángulos:

  • Triángulo con un ángulo de 90°, un lado de 4 cm y otro lado de 2 cm.
Solución

  • Triángulo con un ángulo de 80°, un lado de 4,5 cm y otro lado de 4 cm.
Solución

  • Triángulo con un ángulo de 110°, un lado de 4 cm y otro lado de 3 cm.
Solución

 

2. Clasifica cada triángulo según sus ángulos y lados:

Solución

A) Isósceles y rectángulo.

B) Isósceles y obtusángulo.

C) Escaleno y acutángulo.

D) Isósceles y acutángulo.

E) Equilátero y acutángulo.

F) Escaleno y obtusángulo.

G) Escaleno y rectángulo.

 

3. Calcula el área y el perímetro de estos triángulos:

Solución

A=\frac{9\: cm\cdot 5\: cm}{2}=\frac{45\: cm^{2}}{2}=\boldsymbol{22,5\: cm^{2}}

P= 4\: cm+8\: cm+9\: cm=\boldsymbol{21\: cm}

Solución

A=\frac{4\: cm\cdot 4\: cm}{2}=\frac{16\: cm^{2}}{2}=\boldsymbol{8\: cm^{2}}

P=4\: cm+4\: cm+6\: cm=\boldsymbol{14\: cm}

 

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Triángulos”

En este artículo encontrarás una síntesis de las características y clasificaciones de los triángulos.

VER

Artículo “Perímetro de triángulos y cuadriláteros”

En este recurso encontrarás información detallada sobre el perímetro de figuras geométricas, como triángulos y cuadriláteros.

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Video “Tipos de triángulos según sus ángulos”

Este material audiovisual te ayudará a acompañar y complementar sus clases de manera ilustrativa.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 7

La circunferencia

Una de las curvas más estudiadas en la geometría es, sin duda, la circunferencia. Tiene características únicas y ha sido pieza fundamental en invenciones humanas como la rueda. Para trazar esta figura usamos el compás, y su longitud está determinada por un número muy particular: el número pi.

¿Qué es una circunferencia?

Es la curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan del centro; es decir, están a la misma distancia del centro de la circunferencia.

Los griegos y la circunferencia

Sin lugar a duda, los antiguos griegos tuvieron una gran influencia en el perfeccionamiento de la geometría. Para ellos, la línea recta y la circunferencia eran muy importantes en sus construcciones matemáticas, lo que permitió que realizaran increíbles descubrimientos para su época. Por ejemplo, Eratóstene de Cirene, que vivió entre 276 y 194 a. C., fue la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra.

Elementos de la circunferencia

En la circunferencia se pueden observar los siguientes elementos:

Centro: es el punto en torno al cual equidistan todos los puntos de la curva.

Radio: es un segmento de recta que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.

Diámetro: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro de la misma. Su longitud es igual al doble del radio.

Cuerda: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.

Arco: es una porción de la circunferencia que se encuentra limitada por una cuerda.

Semicircunferencia: es la porción de circunferencia limitada por el diámetro. Equivale a la mitad de la circunferencia.

Posiciones de una recta en relación a la circunferencia

Recta tangente: es la recta que comparte un mismo y único punto con la circunferencia.

Recta secante: es la recta que comparte dos puntos con la circunferencia.

Recta exterior: es la recta que no comparte ningún punto con la circunferencia.

¿Sabías qué?
La circunferencia de la tierra mide cerca de 40.000 km de longitud.

Diferencia entre círculo y circunferencia

Es posible que confundamos los conceptos de círculo y circunferencia porque están muy relacionados entre sí, pero se trata de dos términos diferentes. El círculo es una figura plana que corresponde al área contenida dentro de una circunferencia. La circunferencia, por su parte, representa el perímetro del círculo, es decir, es la línea que forma el contorno de la figura.

VER INFOGRAFÍA

El círculo es una figura que presenta diferentes elementos, como el semicírculo, los sectores circulares y los segmentos circulares. El primero es el área comprendida entre el diámetro y una semicircunferencia; el segundo consiste en las regiones comprendidas entre dos radios y el arco que estos forman; y el tercero se trata de los segmentos que se forman entre una cuerda y su arco.

Trazado de circunferencias

El compás es el instrumento por excelencia para trazar circunferencias y su origen es muy antiguo. Un compás consta de los siguientes elementos principales:

  1. Un mango.
  2. Una punta metálica.
  3. Una punta trazadora.
  4. Dos brazos regulables.

El uso de esta herramienta es relativamente sencillo. Para trazar una circunferencia con un compás lo primero que debemos hacer es conocer el radio de la circunferencia y trazarlo con la ayuda de una regla. Luego posicionamos la punta metálica en uno de los extremos del segmento y luego abrimos los brazos hasta que la punta trazadora esté ubicada en el otro extremo del segmento. Finalmente, con ayuda del mango, trazamos la circunferencia.

Circunferencias a nuestro alrededor

Un anillo o un aro son ejemplos de circunferencias, pero hay muchos más. Al ser una circunferencia el contorno de un círculo, la observamos en los bordes de las ruedas de los autos, en un molde para hacer una torta o un pastel y hasta incluso en juguetes como los platos voladores.

Las circunferencias han sido elementos fundamentales en el desarrollo de la geometría y con ello también han permitido a los seres humanos realizar grandes invenciones como la rueda.

La circunferencia es el contorno de una de las figuras más comunes: el círculo. Es frecuente observarlas en platos, ruedas, pasteles, diseños y pinturas. Han permitido realizar cálculos y aproximaciones, como el descubrimiento del número pi que relaciona la longitud de la circunferencia con su radio y que ha tenido numerosas aplicaciones prácticas.

 

¡A practicar!

  1. Además del centro, ¿qué elementos de la circunferencia observas?

a) 

Solución
Diámetro.

b)

Solución
Arco.

c)

Solución
Cuerda.

d)

Solución
Radio.

2. ¿Cuál de las siguientes rectas es una tangente?

a) 

b) 

c) 

d) 

Solución
c)  Es tangente porque solo comparte un punto en común con la circunferencia.

 

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Circunferencia”

El siguiente artículo explica de forma resumida qué es una circunferencia y los diferentes elementos que la integran como el radio, la cuerda, el diámetro, etc.

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Artículo “Ángulos en la circunferencia”

Este artículo relaciona los conceptos de ángulo y circunferencia, así como también explica sus características.

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