CAPÍTULO 7 / TEMA 2

LA RECTA NUMÉRICA

Se trata de una herramienta muy útil para representar de forma ordenada los números reales en una dimensión, de manera que podamos visualizar con facilidad aspectos como la secuencia y la relación entre varios números, así como también soluciones de inecuaciones. Fue propuesta por John Wallis y es la base para la construcción del plano cartesiano.

ELEMENTOS DE UNA RECTA NUMÉRICA

Los elementos que podemos incluir en una recta numérica son muy variables, ya que dependerán del uso que hagamos de ella; pero, en esencia, la recta numérica está conformada por una recta horizontal en la que se indican generalmente los números enteros ( $\mathbb{Z}$ ) con un origen (0) ubicado en el centro. Sin embargo, esta recta no es exclusiva de los números enteros, ya que en ella podemos representar cualquier número real ( $\mathbb{R}$ ).

A la izquierda del cero se encuentran los números negativos y hacia la derecha los positivos. Además, suponemos que la prolongación de los extremos de la recta representa el infinito tanto positivo (a la derecha) como negativo (a la izquierda).

Los valores en la recta numérica se pueden representar de uno en uno, pero también se puede seleccionar a conveniencia una escala diferente, por ejemplo, de 0,5 en 0,5; o bien, de 3 en 3. También, podemos subdividir cada espacio en la recta real para representar números decimales o fracciones.

La escala de la regla es equivalente a la sección positiva de una recta numérica con una cantidad finita de números. En este caso, los centímetros son la escala principal y las subdivisiones representan los milímetros que proporcionan la parte decimal de una medida. A la menor medida que se pueda obtener con un instrumento se le denomina apreciación.

EL ORDEN DE LOS NÚMEROS

En la recta numérica los números están ordenados en forma ascendente de izquierda a derecha, es decir, si se comparan dos números, será mayor el que se localice más a la derecha.

Como ya hemos visto, cada división puede subdividirse para representar fracciones, las cuales pertenecen al conjunto de los números racionales ( $\mathbb{Q}$ ). Si para una determinada fracción realizamos la división del numerador entre el denominador, encontraremos su expresión decimal equivalente, es decir, toda fracción se puede expresar como un decimal; sin embargo, no todos los decimales tienen una fracción generatriz.

Los números decimales que no podemos expresar en fracciones pertenecen al conjunto de los números irracionales ( $\mathbb{I}$ ), por ejemplo, el valor $\sqrt{2}$ o la constante $\pi$ . A su vez, los números irracionales son un subconjunto de los números reales.

¿Sabías qué?

Los números negativos fueron aceptados universalmente e incluidos en la recta numérica a finales del siglo XVIII.

La constante π (pi) es un valor que contiene infinitos dígitos no periódicos en su parte decimal, por lo que pertenece al conjunto de los números irracionales. Su ubicación exacta en la recta real supone un inconveniente, por lo que se suele realizar un redondeo, por ejemplo, hasta la centésima (3,14) al momento de representar su valor en la recta numérica.

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Adición y sustracción con la recta numérica

Podemos utilizar la longitud de segmentos de línea a escala sobre la recta numérica para efectuar operaciones de suma y resta. Por ejemplo:

Si queremos sumar 3 + 5, a partir del 0 representamos de izquierda a derecha un segmento de recta de longitud igual a 3 unidades y seguidamente dibujamos de izquierda a derecha otro segmento de longitud igual a 5 unidades. El resultado, será el valor indicado desde cero hasta donde llegue el último segmento trazado:

Ahora bien, si queremos restar 6 − 4, a partir de 0 debemos dibujar de izquierda a derecha una recta de longitud 6 unidades y luego, donde termina dicha recta, trazamos ahora de derecha a izquierda otra recta de longitud 4 unidades (quedará sobre el primer segmento dibujado). El resultado, será el valor indicado desde cero hasta el punto donde coinciden los dos segmentos de recta:

¿CÓMO UBICAR UN RADICAL EN LA RECTA NUMÉRICA?

Algunos números, en especial los radicales, resultan complicados de ubicar con precisión en la recta real, sin embargo, en algunos casos podemos hacer uso del teorema de Pitágoras y un compás, para determinar la ubicación precisa de estos valores.

Cabe destacar que este método es útil cuando podemos expresar el radical como la suma de dos términos que tienen raíces exactas, digamos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49… entre otros.

Uno de los legados más conocidos del filósofo griego Pitágoras fue el teorema que lleva su nombre, el cual establece que en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos. Hasta la fecha, este se considera uno de los teoremas más utilizados en la matemática y la física clásica.

Por ejemplo, si deseamos ubicar $\sqrt{13}$ en la recta numérica el procedimiento es el siguiente:

Descomponemos el número dentro del radical como la suma de dos términos con raíces enteras:

$\sqrt{13}=\sqrt{9+4}$

Expresamos cada término como la suma de dos cuadrados, es decir, cada término será la raíz de ese valor elevado al cuadrado:

$\sqrt{9+4}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}$

Si hacemos la analogía con el teorema de Pitágoras:

La base de cada cateto a y b son los valores de los términos que están elevados al cuadrado dentro de la raíz, es decir, 3 y 2.
Para representar el radical en la recta numérica, a partir del cero (0) se construye un rectángulo de base a y altura b (o viceversa); y la diagonal que parte de cero a la otra esquina será la hipotenusa del triángulo rectángulo que quedará con la medida del radical que deseas ubicar.
Con un compás, hacemos centro en el origen 0 y con abertura equivalente a la diagonal (hipotenusa), trazamos un arco de circunferencia hasta que corte la recta numérica y ese será el valor del radical que deseamos ubicar: $\sqrt{13}$ .

VER INFOGRAFÍA

¡A practicar!

Ubica los siguientes valores en la recta numérica:

a) $\frac{3}{4}$

Solución

b) $\frac{1}{3}$

Solución

c) −0,5

Solución

d) Ubica en la recta numérica el valor de $\sqrt{20}$

Solución

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “La recta numérica”

En este artículo encontrarás contenido relacionado con la ubicación de los diferentes conjuntos de números en la recta real, y en particular, la explicación de cómo ubicar un número irracional en dicha recta.

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Artículo “Recta numérica”

En este artículo se describen los pasos para ubicar un número entero, fracciones o decimales en la recta numérica.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 7

RAÍZ DE UN NÚMERO

La radicación es la operación inversa de la potenciación. Su cálculo consiste en hallar un número que multiplicado por sí mismo cierta cantidad de veces resulte en otro número determinado. Para poder emplear de manera correcta esta operación es necesario saber sus elementos y propiedades.

Todos los cálculos matemáticos tienen una operación inversa. La suma es la operación inversa de la resta, la división lo es de la multiplicación y la radicación lo es de la potenciación. Posiblemente creas que la radicación es la operación más compleja, pero no es así. Si conoces sus elementos y propiedades podrás resolver cualquier raíz de un número.

¿qué es una raíz?

Es una operación matemática en la que se obtiene un número que se ha multiplicado por sí mismo n veces bajo el operador radical. Esta se encuentra formada por los siguientes elementos:

Donde:

Radical $(\sqrt{\: \: })$ : representa el símbolo de la operación de radicación.
Índice de la raíz $\left ( n \right )$ : indica el grado de una raíz, lo que se traduce en cuántas veces se multiplicó por sí mismo el resultado de la radicación. El índice de una raíz debe ser diferente de cero.
Radicando $\left ( a \right )$ : es el producto de la multiplicación de la raíz según lo indique el índice. El radicando pertenece al conjunto de los números reales.
Raíz $\left ( b \right )$ : es el resultado de la radicación.

Condiciones a cumplir

$n \in \mathbb{N}\:\: ,\, n \geq 2$
$a \in \mathbb{R}$
Si $n$ es par, $a$ debe ser $\geq 0$ , para que el resultado sea un número real $\left ( \mathbb{R} \right )$ .

¿Cómo se relacionan la potencia y la raíz de un número?

La relación de las operaciones matemáticas potenciación y radicación se refleja así:

La base de la potenciación es el resultado o raíz de la radicación.
La potencia de la potenciación es el radicando de la radicación.
El exponente de la potenciación coincide con el índice de la radicación.

Por lo tanto, podemos expresar a una raíz como un exponente fraccionario, en el cual el denominador de la fracción corresponde al índice de la raíz y el numerador al exponente del radicando.

$\boldsymbol{\left ( \sqrt[n]{a}\right )^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}={a^{\frac{m}{n}}}}$

– Ejemplo:

$\sqrt[3]{5^{2}}=5^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[3]{6}={6^{\frac{1}{3}}}$

Origen del término

Antiguos papiros egipcios demuestran que en esta cultura se calculaban raíces. Muchos especialistas asocian el origen del símbolo de la raíz con la letra r de la palabra latina radix, que significa “raíz”. No obstante, este término fue introducido en siglo XVI por Christoph Rudolff, quien lo usó en su libro Coss.

propiedades de las raíces

Raíz de cero

La raíz con radicando 0 es igual a 0, siempre que su índice sea diferente de dicho número.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{0}=0\: ; n\neq 0}$

– Ejemplo:

$\sqrt[3]{0}=0$

$\sqrt[5]{0}=0$

Raíz de la unidad

La raíz de 1 siempre será igual a 1.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{1}=1\: ; n\neq 0}$

– Ejemplo:

$\sqrt[4]{1}=1$

$\sqrt[7]{1}=1$

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}}$

– Ejemplo:

$\sqrt[3]{27\cdot 125}=\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{125}=3\cdot 5=15$

Raíz de un cociente

La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces del dividendo y del divisor.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$

– Ejemplo

$\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}=\frac{3}{2}$

Raíz de una raíz

La raíz de una raíz es igual a una nueva raíz con el mismo radicando e índices multiplicados.

$\boldsymbol{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}}$

– Ejemplo:

$\sqrt[3]{\sqrt[5]{32.768}}=\sqrt[3\cdot 5]{32.768}=\sqrt[15]{32.768}=2$

Potencia de una raíz

La potencia de una raíz es igual a la misma raíz con el radicando elevado a dicha potencia.

$\boldsymbol{\left ( \sqrt[n]{a}\right )^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}}$

– Ejemplo:

$\left ( \sqrt[]{5}\right )^{4}=\sqrt[]{5^{4}}=\sqrt[]{625}=25$

Los problemas con radicales pueden tener una, dos o ninguna solución, y esto depende principalmente del radicando y del índice de la raíz. Sin embargo, para poder resolverlos de manera correcta se requiere tener conocimiento tanto de sus propiedades como también de la regla de los signos.

Suma y resta de radicales

Los radicales pueden sumarse o restarse siempre y cuando sean semejantes, es decir, que tengan el mismo índice y radicando. En este caso, sumamos o restamos los coeficientes (los números que están fuera de la raíz) y dejamos el mismo índice y radicando.

$\boldsymbol{x\sqrt[n]{a}+y\sqrt[n]{a}=(x+y)\sqrt[n]{a}}$

$\boldsymbol{x\sqrt[n]{a}-y\sqrt[n]{a}=(x-y)\sqrt[n]{a}}$

– Ejemplo:

$8\sqrt[3]{5}+7\sqrt[3]{5}=15\sqrt[3]{5}$

$3\sqrt{6}-2\sqrt{6} = (3-2)\sqrt{6}=\sqrt{6}$

cálculo de raíces

En la actualidad existen herramientas que te ayudan a realizar las operaciones matemáticas de manera fácil y rápida, como por ejemplo la calculadora. Con una calculadora, podemos determinar la raíz de un número sin problemas, pero, ¿qué hacer si no tenemos una calculadora? Para ello, es bueno saber los pasos para calcular la raíz cuadrada de cualquier número.

Para calcular la raíz cuadrada de un número como 682.273 seguimos estos pasos:

1. Agrupamos el número en cifras de dos en dos desde la derecha a la izquierda.

2. Buscamos un número que elevado al cuadrado se aproxime a las dos primeras cifras de la izquierda. De este modo, colocamos el 8, pues 8² = 8 × 8 = 64 que se aproxima a 68.

3. Realizamos la resta entre las dos primeras cifras y el resultado de 8² = 64. Luego bajamos las dos cifras siguientes (22).

4. Tomamos el primer resultado de la raíz que es 8 y lo multiplicamos por 2: 8 × 2 = 16. Lo colocamos debajo.

5. El número multiplicado por dos lo usamos para dividir a los dos primeros números del resto anterior (422). Como 42/16 = 2,625, colocamos el número entero (2) después de 16 para formar una nueva cifra: 162. Ahora multiplicamos este nuevo resultado por 2: 162× 2.

6. Utilizamos el resultado de la multiplicación para restarlo a 422. Añadimos el 2 a la raíz.

7. Repetimos el procedimiento. Bajamos las dos cifras siguientes (76) junto al último resto (98) para formar 9.876. Multiplicamos por 2 la raíz hasta ahora obtenida (82 × 2) y la colocamos como nuevo cociente (164).

8. Del mismo modo, el número multiplicado por dos lo utilizamos para dividir a los tres primeros números del resto anterior (9.876), lo que nos da 987/164 = 6,018. De esta división, solo tomamos el número entero (6), que usaremos para colocarlo detrás del (164) para formar una nueva cifra (1.646) y, al mismo tiempo, para multiplicar esta nueva cifra (1646 × 6).

9. El resultado de la multiplicación se utiliza para restarlo al resto anterior (9.876) y el número entero utilizado para hacer esta multiplicación se coloca en la raíz (82) y queda así:

Entonces, $\sqrt{682.276}=\boldsymbol{826}$

¡A practicar!

1. Aplica las propiedades de las raíces para resolver los siguientes ejercicios:

$\sqrt[3]{\frac{216}{27}}=$

Solución

$\sqrt[3]{\frac{216}{27}}=\frac{\sqrt[3]{216}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{6}{3}=2$

$\sqrt[3]{\sqrt[2]{4^{6}\times 3^{12}}}=$

Solución

$\sqrt[3]{\sqrt[2]{4^{6}\times 3^{12}}}=\sqrt[6]{4^{6}\times 3^{12}}=4^{\frac{6}{6}}\times 3^{\frac{12}{6}}=4^{1}\times 3^{2}=4\times3 \times3= 36$

$\frac{\sqrt[3]{27\cdot 125}}{\sqrt[4]{625\cdot 6561}}=$

Solución

$\frac{\sqrt[3]{27\times 125}}{\sqrt[4]{625\times 6561}}=\frac{\sqrt[3]{27}\times \sqrt[3]{125}}{\sqrt[4]{625}\times \sqrt[4]{6561}}=\frac{3\times 5}{5\times 9}=\frac{1}{3}$

$\frac{9\sqrt[3]{27}+18\sqrt[3]{27}}{2\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{27}}=$

Solución

$\frac{9\sqrt[3]{27}+18\sqrt[3]{27}}{2\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{27}}= \frac{(9+18)\sqrt[3]{27}}{(2+1)\sqrt[3]{27}}= \frac{(27)\sqrt[3]{27}}{(3)\sqrt[3]{27}}= 9$

2. Resuelve las siguientes raíces sin utilizar la calculadora:

$\sqrt[]{262.144}=$

Solución

$\sqrt[]{262.144}=512$

$\sqrt[]{527.076}=$

Solución

$\sqrt[]{527.076}= 726$

$\sqrt[]{2.334.784}=$

Solución

$\sqrt[]{2.334.784}=1.528$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “La radicación”

Con este artículo, podrá ampliar los conocimiento respecto a la radicación y sus propiedades.

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Artículo “Cálculo de una raíz cuadrada”

Este recurso le permitirá tener mayor información sobre cómo realizar el cálculo de una raíz cuadrada.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 2

rADICALES

Seguramente ya conoces qué es la potenciación, pero ¿sabías que hay otro tipo de operación muy relacionada con ella? Esta es la radicación y consiste en encontrar un número que al multiplicarse por sí mismo tenga como producto otro número determinado. La radicación es la operación inversa a la potenciación. Hoy aprenderás qué es y cómo calcularla.

¿Qué es la radicación?

Es una operación en la que hallamos raíces de orden n de un determinado número. La raíz n-ésima de un número a es igual a un número b que elevado a la n resulta en a.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{a} = b\; \; \Leftrightarrow \; \; b^{n}=a}$

Ejemplo:

$\boldsymbol{\sqrt[3]{8} = 2}\; \; porque\; \; \boldsymbol{ 2^{3}= 2\times 2\times 2 = 8}$

$\boldsymbol{\sqrt[3]{27} = 3}\; \; porque\; \; \boldsymbol{ 3^{3} = 3\times 3\times 3 =27}$

Como ves, la radicación y la potenciación tienen mucho en común, incluso en sus elementos. De modo que también podemos expresar a un radical como una potencia de exponente fraccionario.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}}$

Ejemplo:

$\boldsymbol{\sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}}}$

$\boldsymbol{\sqrt[3]{27} = 27^{\frac{1}{3}}}$

Relación entre potenciación y radicación

Existe una gran relación complementaria entre la potenciación y la radicación, y la podemos observar con la semejanza que existe entre los elementos que la componen.

Al exponente de la potencia se lo llama índice de radical.
Al resultado denominado potencia se lo llama raíz.
A la base de la potencia se la llama radicando.

Elementos de los radicales

Al igual que en la potenciación, aquí existen 3 elementos a definir que son los que componen la radicación:

Índice (n): orden de la raíz que se aplica al radicando. Indica cuántas veces multiplicamos un número por sí mismo para obtener el radicando.
Radicando (a): número sometido a la raíz del orden determinado por el índice.
Raíz (b): resultado de la radicación, el cual elevado al orden de la raíz da como resultado el radicando.

¿Sabías qué?

Si el radicando es un número negativo, y el índice es par, no podrá aplicarse la operación de radicación porque el resultado no pertenecerá a los reales.

Raíces cuadradas y cúbicas

De la misma manera que en la potenciación, cuando el índice de la raíz es n = 2 y n = 3 merece una distinción. Por lo tanto, a estos los vamos a denominar como raíz cuadrada y cúbica, respectivamente.

La raíz cuadrada es aquella cuyo índice es 2. No es necesario escribir el índice de la raíces cuadradas. Por ejemplo:

$\boldsymbol{\sqrt[2]{9}=\sqrt{9}}$ Se lee “raíz cuadrada de nueve”.

La raíz cúbica es aquella cuyo índice es 3. Por ejemplo:

$\boldsymbol{\sqrt[3]{8}}$ Se lee “raíz cúbica de 8”.

Para encontrar la solución de un radical se debe pensar: ¿qué número habrá que elevar al índice n para que el resultado sea el valor del radicando? Ese número será el resultado denominado como raíz. Por ejemplo, para resolver √9 se debe pensar: ¿qué número debo elevar al cuadrado (n = 2) para que el resultado sea 9?. La respuesta es 3.

Solución de raíces

La solución de una raíz depende principalmente del radicando y del índice de la raíz. En algunas ocasiones puede tener una o dos soluciones y, en otros casos, puede que no tenga solución.

Radicando mayor que cero con n par.

Hay dos soluciones: una positiva y una negativa.

$\boldsymbol{\sqrt{4}=\pm 2}\; \; porque \; \; \boldsymbol{(-2)^{2}=4\; \; y\; \; 2^{2}=4}$

Radicando mayor que cero con n impar.

Hay una solución positiva.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{125}=5}\; \; porque \; \; \boldsymbol{5^{3}=5\times 5\times 5=125}$

Radicando menor que cero con n par.

No tiene solución dentro de los números reales.

$\boldsymbol{\sqrt{-9}=}no \; existe \; en\; \mathbb{R}$

Radicando menor que cero con n impar.

Hay una sola negativa.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{-64} = -4} \; \; porque\; \; \boldsymbol{(-4)^{3}= -4\times -4\times -4 = -64}$

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– Ejemplos de raíces:

$\boldsymbol{\sqrt{4} = 2}$

$\boldsymbol{\sqrt{9} = 3}$

$\boldsymbol{\sqrt[3]{1}=1}$

$\boldsymbol{\sqrt[3]{27}=3}$

$\boldsymbol{\sqrt[4]{16}=2}$

¿Sabías qué?

Cuando el índice de potencia es una fracción se puede expresar como un radical. Por ejemplo: 9^1/3= ³√9

¡A practicar!

¿Cuál es el resultado de los siguientes ejercicios?

$\boldsymbol{\sqrt{25}}$

Solución

$\boldsymbol{\sqrt{25}=5}\; \; porque \; \; \boldsymbol{5^{2}= 5\times 5 = 25}$

$\boldsymbol{\sqrt[3]{64}}$

Solución

$\boldsymbol{\sqrt[3]{64}= 4}\; \; porque \; \; \boldsymbol{4^{3}=4\times 4\times 4=64}$

$\boldsymbol{\sqrt[5]{-32}}$

Solución

$\boldsymbol{\sqrt[5]{-32}=-2} \; \; porque\; \; \boldsymbol{(-2)^{5}=-2\times -2\times -2\times -2\times -2=-32}$

La radicación es la operación opuesta a la potenciación y consiste en hallar raíces de orden n de un determinado número. Consta de tres elementos llamados índice, radicando y raíz. El símbolo usado para mostrar esta operación se lo conoce como raíz o radical y el primero en utilizarlo fue el matemático Christoph Rudolff en 1525.

Raíces exactas e inexactas

La raíz cuadrada exacta es aquella que tiene como radicando un cuadrado perfecto, mientras que la raíz cuadrada inexacta es la que no tiene como radicando un cuadrado perfecto.

Cuadrados perfectos

Un cuadrado perfecto resulta de multiplicar un número por sí mismo dos veces. Estos números los podemos ordenar en un cuadrado, por ejemplo, 9 es un cuadrado perfecto porque lo podemos escribir como 3 x 3 y lo ordenamos como:

En esta tabla verás la relación de los diez primeros cuadrados perfectos con sus raíces:

Cuadrado perfecto	Raíz cuadrada exacta
$1^{2}=1$	$\sqrt{1}=1$
$2^{2}=4$	$\sqrt{4}=2$
$3^{2}=9$	$\sqrt{9}=3$
$4^{2}=16$	$\sqrt{16}=4$
$5^{2}=25$	$\sqrt{25}=5$
$6^{2}=36$	$\sqrt{36}=6$
$7^{2}=49$	$\sqrt{49}=7$
$8^{2}=64$	$\sqrt{64}=8$
$9^{2}=81$	$\sqrt{81}=9$
$10^{2}=100$	$\sqrt{100}=10$

Pero no todos los números tienen raíces cuadradas exactas. En esos casos, calculamos la raíz cuadrada entera y luego contamos el resto. Por ejemplo, 55 no tiene raíz cuadrada exacta porque 7² = 49 y 8² = 64.

Por aproximación o tanteo, decimos que la raíz cuadrada entera de 55 es 7 y el resto lo obtenemos por la resta 55 − 49 = 6.

Entonces, $\sqrt{55} = 5\; \; y\; resto \; 6$ .