CAPÍTULO 5 / TEMA 7 (REVISIÓN)

GEOMETRÍA | ¿QUÉ APRENDIMOS?

CUADRÍCULA

Desde la elaboración de planos y dibujos a escalas en hojas cuadriculadas, hasta la localización de estrellas en la galaxia, la unión de rectas perpendiculares nos ayuda a distinguir la posición de cualquier objeto. Una cuadrícula es un sistema de coordenadas compuesto por líneas perpendiculares verticales y horizontales, que funciona como sistema de referencias y permite ubicar elementos en un espacio definido. El conjunto de líneas horizontales y verticales, también llamadas ejes, suelen nombrarse con números y letras.

TIPOS DE LÍNEAS

Las líneas son un conjunto de puntos ubicados uno junto al otro que generan un trazo continuo. Si los puntos están orientados en una misma dirección, entonces, forman una línea recta. Las líneas rectas son continuas e infinitas, no tienen ni principio ni final y se pueden clasificar según la forma en que interaccionan entre ellas en rectas paralelas (aquellas que nunca se cortan), rectas secantes perpendiculares (aquellas que se cortan formando ángulos rectos) y rectas secantes oblicuas (aquellas que se cortan sin formar ángulos rectos).

Un ejemplo de líneas rectas paralelas son las vías de un ferrocarril. Cuando se cortan con otras forman líneas secantes.

LOS ÁNGULOS Y SUS TIPOS

Un ángulo es una porción del plano delimitado por dos semirrectas. Cada semirrecta es uno de los lados del ángulo y coinciden en un punto de origen al que se denomina vértice. A la distancia entre lado y lado del ángulo se la denomina amplitud, y esta se mide en grados (°). Si queremos medir o trazar un ángulo es indispensable el uso del transportador. Según su amplitud, un ángulo puede ser convexo, cóncavo, nulo, completo, llano, agudo, recto u obtuso.

Las escuadras nos permiten estimar ángulos, pues tienen un ángulo de 90° y dos ángulos de 45°.

LOS TRIÁNGULOS

Los triángulos son polígonos regulares cerrados de tres lados, tres ángulos y tres vértices. Los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180° y los ángulos exteriores suman 360°. Son varios los criterios de clasificación que permiten agrupar a los triángulos de acuerdo a ciertas particularidades, los más utilizados son: la medida de sus lados y la medida de sus ángulos. Según la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos; mientras que, según la medida de sus ángulos se clasifican en acutángulo, obtusángulo y rectángulo.

CUADRILÁTEROS

Los cuadriláteros tienen cuatro lados, cuatro ángulos internos, cuatro ángulos externos, cuatro vértices y dos diagonales. Estos se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides. Los paralelogramos son aquellos cuadriláteros que poseen dos pares de lados opuestos paralelos y que comparten algunas propiedades específicas; los trapecios, por su parte, son figuras que presentan un par de lados opuestos paralelos a los que se suele denominar base; y los trapezoides son aquellos cuyos lados no son paralelos.

POLIEDROS

Los poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales con caras planas formados por polígonos. Cada una de las caras de un poliedro es un polígono (triángulo, cuadrado, rombo, etc.). Los poliedros pueden ser regulares cuando sus caras están compuestas por el mismo polígono regular; o irregulares si sus caras presentan diferentes formas. En estos poliedros el número de caras no presenta límites como ocurre con los poliedros regulares y se dividen en prismas (tienen dos bases) y pirámides (tienen una sola base).

CAPÍTULO 5 / TEMA 4

LOS TRIÁNGULOS

En la vida cotidiana es común observar triángulos. Los vemos en las porciones de pizza, en las señales de tránsito, en la vela de un velero, en las pirámides e incluso cuando estudiamos matemáticas. Los triángulos son figuras geométricas de tres lados y, aunque son los polígonos más simples, presentan ciertas particulares que los diferencian del resto.

El triángulo y sus ELEMENTOS

Los triángulos son figuras geométricas que cuentan con tres lados, tres ángulos y tres vértices.

Vértice: es el punto de unión de dos lados de un polígono o un ángulo.
Lado: es cada uno de los segmentos que une un vértice con el siguiente.
Ángulo: es el formado por la unión de dos rectas con un vértice en común. Pueden ser interno o externos.
- La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
- Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, por lo tanto, suman 180°.

Ángulos

Todos los triángulos tienen tres ángulos, estos pueden ser:

Agudos, cuando son menores a 90°.
Rectos, cuando son iguales a iguales a 90°.
Obtusos, cuando son mayores a 90°.

¿Cómo nombrar un triángulo?

Los vértices de los triángulos se designan con letras mayúsculas, mientras que los lados se denominan por la misma letra que el vértice opuesto, pero en minúscula. Por ejemplo:

El lado a es el segmento que une los vértices B y C.
El lado b es el segmento que une los vértices A y C.
El lado c es el segmento que une los vértices A y B.

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CLASIFICACIÓN de los triángulos

Son varios los criterios de clasificación que permiten agrupar a los triángulos de acuerdo a ciertas particularidades, los más utilizados son la medida de sus lados y la medida de sus ángulos.

Triángulos según sus lados

Triángulo equilátero: tiene 3 lados con la misma longitud.
Triángulo isósceles: tiene 2 lados con la misma longitud.
Triángulo escaleno: tiene todos sus lados desiguales.

Triángulos según sus ángulos

Triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto, es decir, que mide 90°.
Triángulo acutángulo: tiene todos sus ángulos agudos, es decir, ángulos menores que 90°.
Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso, es decir, un ángulo mayor a 90°.

Los triángulos pueden cumplir con ambos criterios de clasificación. Así, un triángulo isósceles también puede ser un triángulo rectángulo.

¡A practicar!

Observa los siguientes triángulos y clasifícalos según sus lados:

Solución

A) Escaleno

B) Equilátero

C) Isósceles

Observa los siguientes triángulos y clasifícalos según sus ángulos:

Solución

A) Rectángulo

B) Obtusángulo

C) Rectángulo

El Triángulo de las Bermudas es un área ubicada en el océano Atlántico, se forma al trazar una línea imaginaría entre el estado de la Florida (EE. UU.), la isla de Puerto Rico y las Bermudas. Es conocido como un triángulo equilátero, ya que, las distancias geográficas entre cada uno de los puntos que lo conforman son iguales.

Perímetro de un triángulo

El perímetro es la medida del contorno de una figura. Lo calculamos al sumar la longitud de todos sus lados.

$P = l_{1}+l_{2}+l_{3}$

Donde:

P = perímetro

l = lados

– Ejemplo:

El perímetro de este triángulo isósceles es igual a la suma de la longitud de sus lados.

$P=3\: cm+3\: cm+5\: cm$

$P=\boldsymbol{11\: cm}$

Este triángulo tiene un perímetro de 11 cm.

¿Sabías qué?

Para calcular el perímetro de un triángulo equilátero solo se debe multiplicar la longitud de un lado por 3. Esto se debe a que los tres lados miden lo mismo. Entonces, puedes utilizar la fórmula: P = 3 × l

área de un triángulo

El área es la medida de la superficie de la figura. La calculamos por medio de una expresión matemática que considera la longitud de la base y su altura:

$A=\frac{b\cdot h}{2}$

Donde:

A = área

b = base

h = altura

– Ejemplo:

La base de este triángulo mide 6 cm y la altura 4 cm, así que solo sustituimos los valores en la fórmula y resolvemos:

$A = \frac{6\: cm\cdot 4\: cm}{2}$

$A=\frac{24\: cm^{2}}{2}$

$A=\boldsymbol{12\: cm^{2}}$

Este triángulo tiene un área de 12 cm².

Teorema de Pitágoras y el triángulo rectángulo

Pitágoras de Samos, un matemático griego del siglo VI a. C. descubrió que los triángulos rectángulos guardaban una relación respecto a sus lados. Él llegó a la conclusión de que el cuadrado del lado mayor de un triángulo rectángulo, es decir, la hipotenusa, siempre era igual a la suma del cuadrado de sus otros dos lados o catetos. A esta relación se la conoce como teorema de Pitágoras.

VER INFOGRAFÍA

¡A practicar!

Calcula el área y el perímetro del siguiente triángulo:

Solución

$A=\frac{10\: cm\cdot 5\: cm}{2}=\frac{50\: cm^{2}}{2}=\boldsymbol{25\: cm^{2}}$

$P=10\: cm+12\: cm+\: 12\: cm=\boldsymbol{34\: cm}$

TRAZADO DE un triángulo dado dos lados y una ángulo

Si queremos dibujar una triángulo que tiene un ángulo de 40° y lado de 12 cm y otro de 8 cm seguimos estos pasos:

1. Dibujamos el ángulo de 40° y al vértice lo llamamos A.

2. Con la ayuda de una regla graduada marcamos el segmento AB de 12 cm.

3. Luego marcamos el segmento AC de 8 cm.

4. Unimos los puntos B y C. Después coloreamos el triángulo.

Rectas notables de un triángulo

La altura es una recta perpendicular en cualquiera de los lados del triángulo que pasa por el vértice opuesto.
La mediana es aquella recta que une el vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto.
La mediatriz es la perpendicular que pasa por el punto medio de un lado del triángulo.
Una bisectriz es una recta que pasa por el vértice de un triángulo y divide a su ángulo en dos partes iguales.

¡A practicar!

1. Traza los siguientes triángulos:

Triángulo con un ángulo de 90°, un lado de 4 cm y otro lado de 2 cm.

Solución

Triángulo con un ángulo de 80°, un lado de 4,5 cm y otro lado de 4 cm.

Solución

Triángulo con un ángulo de 110°, un lado de 4 cm y otro lado de 3 cm.

Solución

2. Clasifica cada triángulo según sus ángulos y lados:

Solución

A) Isósceles y rectángulo.

B) Isósceles y obtusángulo.

C) Escaleno y acutángulo.

D) Isósceles y acutángulo.

E) Equilátero y acutángulo.

F) Escaleno y obtusángulo.

G) Escaleno y rectángulo.

3. Calcula el área y el perímetro de estos triángulos:

Solución

$A=\frac{9\: cm\cdot 5\: cm}{2}=\frac{45\: cm^{2}}{2}=\boldsymbol{22,5\: cm^{2}}$

$P= 4\: cm+8\: cm+9\: cm=\boldsymbol{21\: cm}$

Solución

$A=\frac{4\: cm\cdot 4\: cm}{2}=\frac{16\: cm^{2}}{2}=\boldsymbol{8\: cm^{2}}$

$P=4\: cm+4\: cm+6\: cm=\boldsymbol{14\: cm}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Triángulos”

En este artículo encontrarás una síntesis de las características y clasificaciones de los triángulos.

VER

Artículo “Perímetro de triángulos y cuadriláteros”

En este recurso encontrarás información detallada sobre el perímetro de figuras geométricas, como triángulos y cuadriláteros.

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Video “Tipos de triángulos según sus ángulos”

Este material audiovisual te ayudará a acompañar y complementar sus clases de manera ilustrativa.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 1

Perímetro

El contorno de una figura geométrica se denomina perímetro. De acuerdo al tipo de figura, el contorno puede ser calculado por medio de la suma de sus lados o a través de diferentes fórmulas. Estas operaciones tienen muchas aplicaciones en la vida cotidiana: por ejemplo, sirven para determinar la longitud de la cerca de una casa.

Cálculo de perímetro en figuras planas

El perímetro es la longitud del contorno de una figura. Para calcular el perímetro de una figura, simplemente tenemos que sumar cada uno de sus lados.

Es importante tener presente que existen figuras con lados regulares como el cuadrado, y figuras con lados irregulares como en el caso de un rectángulo. Las figuras regulares son conocidas como polígonos regulares y los más comunes son:

POLÍGONO	NÚMERO DE LADOS
Triángulo equilátero	3
Cuadrado	4
Pentágono	5
Hexágono	6
Heptágono	7
Octágono	8
Eneágono	9
Decágono	10

¿Sabías qué?

De acuerdo a sus lados, los triángulos son clasificados en: equiláteros (tres lados iguales), isósceles (dos lados iguales) y escalenos (ningún lado igual).

VER INFOGRAFÍA

La ventaja de los polígonos regulares es que al tener todos sus lados iguales su perímetro es igual a la longitud de uno de sus lados multiplicada por la cantidad de lados que este tiene. La fórmula sería:

$P=n\times L$

Donde:
P = perímetro.
n = número de lados de la figura.
L = longitud de un lado de la figura.

Un ejemplo de cálculo de perímetro

– Calcula el perímetro de un cuadrado cuyos lados miden 5 cm:

El cuadrado es un polígono regular de cuatro lados iguales, por lo tanto, calculamos su perímetro de la siguiente forma:

P = 4 × 5 cm

Resolvemos la multiplicación y el resultado obtenido es:

P = 20 cm

Observa que al final añadimos la unidad de longitud inicial, que son centímetros (cm), pero puede ser cualquier otra unidad de medida, los pasos en estos casos siempre son los mismos.

Otro camino

Aunque las fórmulas permiten realizar cálculos más sencillos, el perímetro también puede determinarse a través de la suma de cada uno de los lados. En el caso del ejemplo anterior sabemos que cada lado mide 5 cm, de manera que tenemos que sumar los cuatro lados para obtener el perímetro:

P = 5 cm + 5 cm + 5 cm + 5 cm = 20 cm

Esta forma de calcular el perímetro suele aplicarse a figuras que tienen al menos un lado diferente, pues al no tener sus lados iguales, no es posible aplicar la fórmula de polígonos regulares. Un ejemplo sería:

– Calcula el perímetro del siguiente triángulo:

Al sumar cada uno de sus lados obtenemos que:

P = 6 cm + 7 cm + 5 cm = 18 cm

Este triángulo escaleno tiene un perímetro de 18 cm.

El perímetro de un círculo

El perímetro de un círculo se denomina circunferencia, y para calcularlo empleamos un número matemático muy particular: el número pi, llamado así porque se escribe con la letra π del alfabeto griego, que lleva ese mismo nombre. Este número es irracional, por lo tanto es infinito. Se obtiene al dividir la longitud de la circunferencia entre su diámetro. Los primeros 10 números decimales del número pi son 3,1415926535…

La fórmula para determinar el perímetro de un círculo es:

P = π × d

Donde:

π = número pi (en los cálculos generalmente se redondea hasta los dos decimales).

d = la longitud del diámetro de la circunferencia.

Perímetro de figuras compuestas

Primero que todo, es importante saber que una figura compuesta está formada por dos o más figuras geométricas, por lo que tienen un arreglo irregular de lados y ángulos. En el caso de estas figuras, realizamos el cálculo del perímetro de la misma forma que en el ejemplo anterior del triángulo.

Observemos esta figura:

Es una figura compuesta porque está formada por un cuadrado y un triángulo:

Determinamos el perímetro de esta figura al sumar solo los lados exteriores de la figura:

P = 5 cm + 5 cm + 1 cm + 7 cm + 9 cm = 27 cm

El perímetro de la figura es 27 cm.

Las figuras compuestas pueden estar formadas por triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios, círculos, etc. Conocer sus diferentes elementos es importante al momento de resolver problemas de perímetros y de áreas, ya que no se puede aplicar una fórmula en común: es necesario identificar las figuras geométricas que integran la figura compuesta.

Aplicaciones del perímetro

Debido a que el perímetro y el área representan las magnitudes fundamentales al momento de trabajar con figuras geométricas y polígonos, sus usos en la vida cotidiana son frecuentes.

En el caso del perímetro, disciplinas como la arquitectura lo emplean para determinar la frontera de un objeto como en el caso de la cerca de una edificación o la valla de un campo. Sus usos también se extiende al ámbito militar, donde permite delimitar las áreas de interés ofensivo o de defensa.

La geometría

Es una rama de la matemática encargada del estudio de las figuras, sus propiedades y medidas en el plano y en el espacio. Su origen no es reciente, de hecho, antiguas civilizaciones como las del Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia ya la empleaban en mediciones de terrenos y en la construcción de edificaciones. Mucho tiempo después, los antiguos griegos la empezaron a perfeccionar y hoy en día es una disciplina fundamental.

¡A practicar!

1. Calcular el perímetro de las siguientes figuras:

Solución

P = 15 cm

Solución

P = 12 cm

Solución

P = 48 cm

Solución

P = 18 cm

Solución

P = 34 cm

2. ¿Cuál de las siguientes figuras es un polígono regular?

Solución

Es un polígono regular porque tiene 6 lados iguales y se denomina hexágono.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Áreas y perímetro”

En este cuadro comparativo se muestra una tabla con las fórmulas de área y perímetro para las principales figuras geométricas.

VER

Artículo “Perímetro de polígonos”

En este artículo se explica cómo realizar el cálculo de perímetro en el caso específico de los diferentes tipos de polígonos.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 3

FIGURAS PLANAS

TODOS LOS OBJETOS QUE NOS RODEAN TIENEN UNA FORMA Y MUCHOS DE ELLOS SON PLANOS, ES DECIR, SOLO TIENEN DOS DIMENSIONES Y NO TIENEN RELIEVE. LAS FIGURAS PLANAS MÁS COMUNES SON EL CÍRCULO, EL TRIÁNGULO EL CUADRADO Y EL RECTÁNGULO. CON ESTE ARTÍCULO APRENDERÁS A DIFERENCIAR ESTAS FIGURAS.

¿QUÉ ES UNA FIGURA PLANA?

UNA FIGURA PLANA ES AQUELLA QUE ESTÁ DEFINIDA POR LÍNEAS RECTAS O CURVAS. ADEMÁS, SOLO TIENE DOS DIMENSIONES: ALTO Y ANCHO.

¿VES ALGUNA FIGURA?

ESTE DIBUJO ESTÁ ELABORADO SOLO CON FIGURAS PLANAS, ¿PUEDES RECONOCER ALGUNAS?

¿CUÁLES SON LAS FIGURAS PLANAS?

HAY MUCHOS TIPOS DE FIGURAS PLANAS, LAS MÁS COMUNES SON EL CÍRCULO, EL TRIÁNGULO, EL CUADRADO Y EL RECTÁNGULO.

OBSERVA ESTOS GRUPOS DE FIGURAS, ¿EN QUÉ SE PARECEN?

LAS FIGURAS DE COLOR ROJO SON CUADRADOS.
LAS FIGURAS DE COLOR AZUL SON CÍRCULOS.
LAS FIGURAS DE COLOR AMARILLO SON TRIÁNGULOS.
LAS FIGURAS DE COLOR VERDE SON RECTÁNGULOS.

¿CUÁLES SON LOS ELEMENTOS DE LAS FIGURAS?

CÍRCULO

UN CÍRCULO ES UNA FIGURA PLANA FORMADA POR UNA CURVA CERRADA Y REDONDA QUE SIEMPRE TIENE LA MISMA DISTANCIA DEL CENTRO.

¿CUÁLES SON SUS ELEMENTOS?

EL CENTRO, LA CIRCUNFERENCIA, EL DIÁMETRO Y EL RADIO.

¿SABÍAS QUÉ?

LA LÍNEA QUE BORDEA AL CÍRCULO SE LLAMA CIRCUNFERENCIA.

TRIÁNGULO

UN TRIÁNGULO ES UNA FIGURA PLANA FORMADA POR TRES LADOS.

¿CUÁLES SON SUS ELEMENTOS?

LOS LADOS Y LOS VÉRTICES.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

SEGÚN SUS LADOS LOS TRIÁNGULOS PUEDEN SER EQUILÁTEROS, ISÓSCELES O ESCALENOS.

CUADRADO

UN CUADRADO ES UNA FIGURA PLANA CON CUATRO LADOS IGUALES.

¿CUÁLES SON SUS ELEMENTOS?

LOS LADOS Y LOS VÉRTICES.

RECTÁNGULO

UN RECTÁNGULO ES UNA FIGURA PLANA CON CUATRO RECTAS Y CON LADOS OPUESTOS PARALELOS.

¿CUÁLES SON SUS ELEMENTOS?

EL LARGO, EL ANCHO Y LOS VÉRTICES.

¿QUÉ ES EL TANGRAM?

ES UN JUEGO DE ORIGEN CHINO EN EL QUE PODEMOS FORMAR DIVERSAS FIGURAS CON SIETE PIEZAS BÁSICAS LLAMADAS “TANS”:

CINCO (5) TRIÁNGULOS.
UN (1) CUADRADO.
UN (1) PARALELOGRAMO.

ESTAS PIEZAS O “TANS” SE GUARDAN DE TAL MANERA QUE FORMAN UN CUADRADO.

FIGURAS PLANAS EN LOS OBJETOS

OBSERVA ESTOS OBJETOS, ¿A CUÁL FIGURA PLANA SE PARECEN?

RESPONDE:

¿CUÁLES OBJETOS SE PARECEN A UN CÍRCULO?

SOLUCIÓN

¿CUÁLES OBJETOS SE PARECEN A UN RECTÁNGULO?

SOLUCIÓN

¿CUÁLES OBJETOS SE PARECEN A UN CUADRADO?

SOLUCIÓN

¿CUÁLES OBJETOS SE PARECEN A UN TRIÁNGULO?

SOLUCIÓN

¡A PRACTICAR!

1. COLOREA LAS FIGURAS DE LA SIGUIENTE MANERA:

CÍRCULOS DE COLOR AZUL.
TRIÁNGULOS DE COLOR AMARILLO.
RECTÁNGULOS DE COLOR VERDE.
CUADRADO DE COLOR ROJO.

SOLUCIÓN

2. COLOREA DE ROJO LAS FIGURAS PLANAS FORMADAS POR TRES LADOS Y TRES VÉRTICES.

SOLUCIÓN

3. RESPONDE LAS PREGUNTAS.

¿CUÁNTOS LADOS TIENE EL CUADRADO?

SOLUCIÓN

EL CUADRADO TIENE CUATRO (4) LADOS IGUALES.

¿CUÁNTOS LADOS TIENE UN TRIÁNGULO?

SOLUCIÓN

EL TRIÁNGULO TIENE TRES LADOS.

¿QUÉ ES UNA CIRCUNFERENCIA?

SOLUCIÓN

ES LA LÍNEA QUE BORDEA AL CÍRCULO.

¿QUÉ ES UN TRIÁNGULO ISÓSCELES?

SOLUCIÓN

ES UNA TRIÁNGULO CON DOS LADOS IGUALES.

¿LOS RECTÁNGULOS TIENEN CUATRO LADOS IGUALES?

SOLUCIÓN

NO. LOS RECTÁNGULOS TIENEN DOS LADOS MÁS LARGOS QUE LOS OTROS DOS.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Clasificación de los triángulos”

Con este recurso podrá profundizar sobre los diversos tipos de triángulos, figura básica de la geometría plana.

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Artículo “Círculo”

Un círculo es una región plana encerrada por una circunferencia. Todos sus elementos podrá verlos en este artículo.

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