Categoría: Matemática

Estadística: tabla de valores

La estadística se encarga de interpretar los datos obtenidos de la observación de un fenómeno. Esta ciencia reúne información concerniente a individuos, grupos, etc., organiza dichos datos y los analiza e interpreta. Su fin es la toma de decisiones en base a las predicciones que pueden realizarse.

Los datos estadísticos se pueden representar mediante gráficos variados, como puede ser el gráfico de sectores circulares.

Para poder realizar tablas de valores con datos recopilados es importante conocer algunos conceptos básicos de estadística:

POBLACIÓN O UNIVERSO

El objetivo principal de la estadística es el estudio de las observaciones de los fenómenos que se refieren a un conjunto, ya sea de individuos, de objetos, de medidas o de sucesos. A cada uno de los conjuntos de las observaciones de esos sucesos se le da el nombre de población.

PRIMERAS ESTADÍSTICAS

En la Antigüedad se utilizó la estadística en forma rudimentaria, su fin era recopilar datos, hacer inventarios, realizar censos poblacionales, llevar un registro de nacimientos y defunciones, etc.

VARIABLE

Variable cuantitativa: es el conjunto de todos los valores que puede tomar el fenómeno observado en los casos de atributos cuantitativos, es decir, atributos medibles.

Variable cualitativa: es aquella que se refieren a las características o cualidades, por ejemplo: estado civil, nacionalidad, etc. Pueden ser dicotómicas si las posibilidades son dos o politómicas si pueden tomar más de dos valores.

TABLA DE VALORES

Para presentar los datos recopilados se utilizan tablas que permiten apreciar en forma organizada los valores obtenidos. Estas tablas cuentan con algunos elementos:

Frecuencia: es el número de veces que se repite cada fenómeno o suceso.

Amplitud de la variable: es la diferencia entre el valor mayor de la variable y el valor menor.

Frecuencia de un intervalo de clase: es el número de veces que la variable toma valores comprendidos en un determinado intervalo de clase.

Frecuencia relativa: es el cociente entre la frecuencia de un intervalo y el número total de observaciones.

Una vez confeccionada una tabla de valores estadísticos se puede realizar un gráfico para visualizar con mayor facilidad los resultados.

Cuando las observaciones se encuentran agrupadas en intervalos de clase, las gráficas apropiadas para representarlas son los histogramas y los polígonos de frecuencia.

 

EJEMPLO

En el 5°A de una escuela hay un total de 30 alumnos. Los datos recopilados son las alturas de todos los alumnos. En este caso, la población es el conjunto de estaturas de los alumnos de 5°A.

Alturas en metros:

1,62-1,62-1,64-1,66-1,74-1,77-1,64-1,64-1,66-1,66-1,66-1,66-1,66-1,67-1,71-1,67-1,67-1,67-1,67-1,67-1,74-1,69-1,69-1,71-1,69-1,71-1,69-1,72-1,69-1,66

Los datos obtenidos deben agruparse:

2 alumnos de 1,62 m
3 alumnos de 1,64 m
7 alumnos de 1,66 m
6 alumnos de 1,67 m
5 alumnos de 1,69 m
3 alumnos de 1,71 m
1 alumno de 1,72 m
2 alumnos de 1,74 m
1 alumno de 1,77 m

Una vez organizada la información se pude realizar una tabla en la cual se ordenen las estaturas de menor a mayor y se agrupe por alumnos con la misma estatura.

ESTATURA EN METROS (m) FRECUENCIA
1,62 2
1,64 3
1,66 7
1,67 6
1,69 5
1,71 3
1,72 1
1,74 2
1,77 1

Frecuencia

En la columna derecha de la tabla se puede observar la frecuencia con la que se repite cada variable, por ejemplo: el valor de estatura 1,62 m tiene una frecuencia de 2.

Amplitud de la variable

La menor altura es 1,62 m y la mayor 1,77 m, por lo tanto la amplitud de la variable es:

1,77m-1,62m = 15 cm

TABLAS CON INTERVALOS DE CLASE

En ocasiones es útil agrupar los datos en intervalos de clase, por ejemplo cuando la amplitud de la variable es un número grande.

EJEMPLO

Un profesor universitario tiene 91 alumnos en su clase de Álgebra I. Para organizar los resultados del primer examen de sus alumnos realizó una tabla dados con los valores de las calificaciones de sus alumnos.

0-4-10-15-19-20-22-26-27-27-30-39-39-39-39-37-40-40-40-40-40-45-45-47-47-51-52-52-54-55-56-58-58-59-59-59-60-60-60-60-60-60-60-60-60-60-60-66-68-68-69-70-70-70-70-70-70-71-71-72-74-75-78-78-78-78-79-79-79-80-80-80-80-81-82-82-83-84-85-86-87-88-89-90-90-90-95-95-98-98-100

CALIFICACIÓN  FRECUENCIA
[0-10) 2
[10-20) 3
[20-30) 5
[30-40) 6
[40-50) 9
[50-60) 11
[60-70) 15
[70-80) 18
[80-90) 14
[90-100] 8

Los intervalos también pueden notarse sin los corchetes y paréntesis, por ejemplo: 20-30 en vez de [20-30).

El corchete significa que el número está incluido en el intervalo, por ejemplo en el intervalo [20-30) se cuentan las siguiente calificaciones: 20-22-26-27-27. Por este motivo, la frecuencia es 5.

Puedes ampliar el contenido ingresando a la Enciclopedia de Matemática, en el tomo de Probabilidad y Estadística.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

Confeccionar una tabla de valores en la cual se incorpore la variable y la frecuencia para los casos:

  1. Se realiza una encuesta en un barrio de la ciudad para conocer el número de hijos menores de edad por familia. Los resultados son los siguientes:
    Número de hijos por familia: 0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,6
    Confeccionar una tabla de valores (sin intervalos de clase).
  2. Un parasitólogo mide 18 anélidos y obtiene los siguientes valores: 2,7 – 2,7 – 2,1 – 2,6 – 3,2 – 3,2 – 1,8 – 1,1 – 1,8 – 1,9 – 2,7 – 3,1 – 2,3 – 3,4 – 3,4 – 2,9 – 3,1 – 3,0
    Realizar una tabla de valores con intervalos de clase.

RESPUESTAS

  1. NÚMERO DE HIJOS FRECUENCIA
    0 6
    1 12
    2 9
    3 7
    4 7
    5 2
    6 1
  2. LONGITUD (cm) CANTIDAD DE ANÉLIDOS
    [1 – 1,5) 1
    [1,5 – 2) 3
    [2 – 2,5) 2
    [2,5 – 3) 5
    [3 – 3,5) 7
¿Sabías qué...?
El primer censo moderno lo realizó el Conde de Aranda en 1768, bajo el reinado de Carlos III, los fines eran fiscales y militares.

Álgebra

El álgebra es una rama de la Matemática que estudia a las operaciones matemáticas en un sentido general, abstracto y genérico. Se divide en varias clases: lineal, vectorial, tensorial, conmutativa, diferencial, booleana y elemental, entre otras. La que se suele aprender en la escuela es la elemental, el resto es parte de los contenidos de educación superior.

Estatua del matemático Al-Khwarizmi frente a Itchan Kala en la ciudad de Jiva, Uzbekistán.

Al-Kwaritzmi es un erudito persa que se destacó en varias áreas: astronomía, geografía, filosofía, astrología y matemáticas, entre otras. Se lo considera el padre del álgebra, dado que en su obra principal desarrolló contenidos de este tema, aplicándolos a la vida cotidiana de aquel entonces. En su obra, Hisāb al-ŷabr wa’l muqābala, realizó explicaciones sumamente didácticas e incorporó el sistema de numeración que actualmente se utiliza: el sistema arábigo.

Gracias a este extraordinario matemático actualmente se utilizan los términos guarismo, algoritmo y álgebra.

El tradado matemático de Al-Khwaritzmi se tradujo al latín y se utilizó en universidades europeas durante siglos.

ÁLGEBRA ELEMENTAL

El álgebra elemental incluye gran cantidad de temas que se abarcan durante varias etapas de la escolaridad. Si se estudian ecuaciones, se está aprendiendo álgebra, del mismo modo con los polinomios, los radicales, las funciones, etc. Gran parte de lo que se aprende en la escuela corresponde a esta rama de la Matemática.

introducción al álgebra: CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Notación algebraica

La notación es un sistema de signos que se utilizan para representar conceptos, éstos dependen principalmente de la disciplina a la cual correspondan. En el caso del álgebra, estos signos convencionales son: números y letras.

Números: corresponden a cantidades determinadas y conocidas.

Letras: pueden representar cantidades desconocidas o conocidas. Por lo general se suelen utilizar las últimas letras del alfabeto para las cantidades desconocidas: x, y, z.

Signos

Se dividen en tres tipos:

  • Signos de operación: el álgebra comparte con la aritmética los signos de operación +, -, ÷, ⋅, √ y n (potencia).
  • Signos de agrupación: estos signos determinan la jerarquía de operaciones, es decir cuál de ellas debe realizarse primero. Son los paréntesis, los corchetes y las llaves.
  • Signos de relación: sirven para comparar dos cantidades. Éstos son: >, <, ≤, ≥, =.

Fórmulas

Las fórmulas algebraicas permiten establecer generalizaciones. Por ejemplo, en geometría la longitud de una circunferencia puede resolverse mediante la fórmula L = 2πr.

Expresión algebraica

Cualquier expresión con números y letras es una expresión algebraica, puede ser que esté compuesta por varias operaciones o por un solo símbolo.

Expresión algebraica compuesta por un solo símbolo: x

Expresión algebraica compuesta por varias operaciones: 2ab+5c-ab2

En esta última, los signos + y – separan a la expresión algebraica en términos, en el ejemplo que precede se observan tres términos: 2ab, 5c y ab2.

Tipos de términos

Los términos en una expresión algebraica pueden ser:

  • Enteros: aquellos que no tienen denominador literal. Por ejemplo: 3x.
  • Fraccionarios: son los que tienen al menos una letra en el denominador. Por ejemplo: \frac{2}{b}.
  • Racionales: incluyen a los enteros y fraccionarios.
  • Irracionales: cuentan con un radical, ya sea en numerador o en denominador: \frac{\sqrt{b}}{3}.
  • Homogéneos: son los que poseen un mismo grado absoluto. Por ejemplo: a2b4 y a3b3.
  • Heterogéneos: su grado absoluto es distinto. Por ejemplo: ab3 y a4b2
GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO

Es la suma de los exponentes de sus factores literales o de su factor literal. Ejemplos: a2b4 es un término de grado 6, a4 es un término de grado 4 y xy2z2 es un término de grado 5.

TÉRMINOS SEMEJANTES

Dos términos son semejantes cuando su parte literal y el exponente de ésta son iguales. Por ejemplo:

2a y 3a son semejantes.
3ab y 7ab son semejantes.
x2 y 4x2 son semejantes.

2a y 2b no son semejantes.
2ab y 3ab2 no son semejantes.
ab2 y a2bc no son semejantes.

Cuando se tienen varios términos semejantes se puede realizar la operación de reducción de términos. Ésta consiste en convertir en un solo término dos o más términos semejantes.

Pueden ocurrir tres situaciones:

  1. Si todos los términos semejantes tienen el mismo signo: se suma la parte numérica, se escribe la parte literal y el término resultante tendrá el mismo signo que tienen todos. Por ejemplo:
    2ab +3ab +7ab = 12ab
    -5y -2y = -7y
  2. Si dos términos semejantes tienen distinto signo: se restan los coeficientes y se coloca en el resultado el signo del que mayor valor absoluto. Por ejemplo:
    4x2y – 6x2y = -2x2y
    En este ejemplo se restaron los coeficientes 4 y 6 y se colocó el signo de -6.-9a+5a= -4a
  3. Si varios términos semejantes tienen distinto signo: se procede a agrupar todos los términos con el mismo signo y al reducir a dos términos se realiza el procedimiento anteriormente citado. Por ejemplo:
    4x+6x-7x+3x-8x=

    POSITIVOS NEGATIVOS
    4x
    6x
    3x    		 7x
    8x
    13x 15x

    No es indispensable en la resolución realizar la tabla precedente, la misma se ha confeccionado para la mejor visualización del procedimiento.
    4x+6x+3x-7x-8x= 13x-15x = -2x

Ábaco, instrumento que sirve para realizar manualmente operaciones sencillas. Es el más antiguo instrumento de cálculo.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

Reducir los siguientes términos semejantes:

  1. 3ab + 5ab =
  2. -8xy2 -7xy2=
  3. 19xyz -7xyz=
  4. -26a +12a=
  5. 4ab2+7ab2-18ab2+14ab2-12ab2=
  6. 10x-7x-15x+24x+8x=

RESPUESTAS

  1. 8ab
  2. -15xy2
  3. 12xyz
  4. -14a
  5. -5ab2
  6. 20x
¿Sabías qué...?
La palabra álgebra tiene origen en la palabra árabe al-jabru, ésta significa “reducción”.
                    

 

 

 

Suma algebraica

En Aritmética la suma o adición significa aumento, pero en Álgebra la suma algebraica es un concepto más general y puede ser una combinación de sumas y restas. Es importante tener esto en cuenta ya que puede prestar a confusión. Existen reglas para resolver los tres casos de suma algebraica con números enteros, conocer estas reglas facilita la resolución de ejercicios y problemas.

Los ábacos no sirven únicamente para sumar y restar, con ellos también se puede multiplicar, dividir y hasta resolver raíces.

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

Caso 1

Los números pueden ser todos positivos o todos negativos. Pero en ambos casos, la suma de varios números enteros de igual signo da como resultado otro número entero del mismo signo, cuyo valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.

Expresado en símbolos:

EJEMPLO 1: un panadero ganó $ 2.000 el lunes, $ 5.000 el martes y $ 4.000 el miércoles, ¿cuánto obtuvo de ganancia los primeros tres días de la semana?

(+2.000) + (+5.000) + (+4.000) = +11.000

El resultado es positivo, por lo tanto, el panadero obtuvo una ganancia de 11.000.

EJEMPLO 2: una persona gasta en un día $ 600 y al siguiente gasta $ 400, ¿cuánto gastó en esos dos días?

(−600) + (−400) =−600 −400= −1.000

La persona gastó 1.000 pesos.

Caso 2

Cuando los dos números a sumar son enteros y de distinto signo, el resultado es un número entero cuyo valor absoluto es la diferencia entre sus valores absolutos. El signo resultante es el del número de mayor valor absoluto.

Expresado en símbolos:

EJEMPLO 1: un comerciante realizó un negocio en el cual ganó $ 10.000, a la semana siguiente realizó otro negocio en el cual perdió 2.000. ¿Cuál fue el resultado al finalizar ambos negocios?

(+10.000) + (−2.000) = +8.000

El comerciante ganó 8.000 pesos.

EJEMPLO 2: un agricultor perdió $ 300.000 debido a la sequía, al año siguiente ganó $ 70.000. ¿Cuál fue el saldo luego de esos dos años?

(−300.000) + (+70.000) = −230.000

El agricultor perdió $ 230.000.

Caso 3

Cuando se suman varios números enteros de distintos signos el resultado es otro número entero, éste es la suma de los números positivos más la suma de los números negativos.

EJEMPLO: Ramiro salió de su casa por la mañana con $ 90, en el camino a la escuela compró unas galletas que costaron $40. Al llegar a clases un amigo le devolvió $ 220 que él le había prestado, en el recreo compró un bolígrafo por $ 12 y una goma de borrar por $ 4. ¿Cuánto dinero le quedó al volver a su casa?

 

Al regresar a su casa Ramino tenía $ 254.

ELEMENTO NEUTRO Y ELEMENTO OPUESTO

El elemento neutro en las sumas algebraicas es el cero, esto significa que al sumar o restar cualquier numero entero a este número su resultado no cambia.

El elemento opuesto de un número entero “a” es el número “−a”. Al sumar ambos el resultado es 0.

Notación de la suma de números enteros

Una manera de facilitar la resolución de sumas algebraicas es no incluir los paréntesis y los signos de la operación de sumar. Observar el siguiente ejemplo en donde todos los términos son positivos.

Nótese que los sumandos se escriben uno a continuación del otro, con su correspondiente signo. Se debe tener en cuenta que cuando el primer sumando es positivo, se elimina el signo.

Cuando los términos son negativos se expresa de la siguiente manera:

A continuación, tres ejemplos en donde los términos tienen distinto signo:

Con más de dos términos de distintos signos, el procedimiento es el mismo que cuando intervienen sólo dos, como ocurre en el siguiente ejemplo:

RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Dados dos números enteros a y b, siendo a el minuendo y b el sustraendo, la diferencia es un número que sumado al sustraendo da como resultado el minuendo.

a–b    si   c+b=a

Ejemplo:

(+9)–(+3) =+6     porque   (+6)+(+3)=+9

Además de la suma algebraica existen dos operaciones primordiales que se deben conocer, la multiplicación de números enteros y la división.

Multiplicación de números enteros

La multiplicación de dos números enteros es el número entero cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los números dados. Su signo es positivo o negativo, dependiendo de los números que intervengan en la operación.

      

El producto de dos números de igual signo es positivo, siendo negativo el producto de dos números de distinto signo, dicha concepto se conoce como la regla de los signos.

Se puede omitir el símbolo de multiplicación, aquí se lo ha colocado para mayor claridad en la explicación.

Multiplicación o producto de varios números enteros

El producto de varios factores se puede efectuar de dos maneras distintas, por ejemplo si se tiene:

(−6) · (+4) · (−1) · (+2) · (−5)

PRIMER MÉTODO

Se multiplican los dos primeros factores, el resultado  a su vez por el tercer factor, el nuevo resultado por el cuarto y de ese modo hasta llegar al último.

SEGUNDO MÉTODO

Dado que el producto de dos números negativos es positivo, agrupando de dos en dos los negativos se obtendrían resultados parciales con signos positivos; por lo tanto:

  • Si el número de factores negativos es par, todos los resultados serán positivos y por lo tanto el producto será positivo. Ejemplo:

(–6)·(+5)·(–7)·(+9)=(–6)·(–7)·(+5)·(+9)=(+42)·(+5)·(+9)=(+210)·(+9)=+1.890

  • Si el número de factores negativos es impar, al asociar los factores negativos por pares siempre quedará uno solo, esto generará que hará que todo el producto sea negativo.
    (–1)·(+6)·(–5)·(–2)·(+8)=(–1)·(–5)·(–2)·(+6)·(+8)=(+5)·(–2)·(+6)·(+8)=(–10)·(+6)·(+8)=(–60)·(+8)=–480

División exacta de números enteros

El cociente exacto de un número entero D (dividendo) por otro d (divisor), es otro número entero  c (cociente) que multiplicado por el segundo da como resultado el primero.

dividendo: divisor = cociente          si        cociente ⋅divisor = dividendo

D ÷ d = c               si             c · d = D

En el caso de ser una división exacta, el cociente entre dos números enteros es otro número entero cuyo signo está dado por la regla de los signos y cuyo valor absoluto es el cociente exacto de los valores absolutos de los números dados.

EJEMPLOS:

(+8)÷(+4)=+2(–9)÷(+3) =–3

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

Para todos los casos, división exacta(resto 0) o aquella con resto distinto de cero, el algoritmo de la división es el siguiente:

D=d·c +r

TÉRMINOS CON PARTE NUMÉRICA Y PARTE LITERAL

Estos conceptos también se aplican cuando los términos incluyen parte literal, por ejemplo:

(+9a) + (−2a) + (+3a) = 10a

(−10b) · (−7b) = −3b

En caso de la multiplicación y división, se tiene que tener en cuenta que:

  • Cuando se multiplican dos términos con parte literal, el resultado es la parte literal elevada a la suma de las potencias de ambas. El coeficiente numérico corresponde al producto de los números que intervienen. Si hay dos letras o más, se realiza el mismo procedimiento para cada una de ellas. Ejemplos:

3a7 · 3a5 = (3 · 3)a7+5 = 9a12

2x4y2 · 3xy6 = (2 · 3)(x4+1) (y2+6) = 6x5y8

  • Cuando se dividen dos términos con parte literal, el resultado es la parte literal elevada a la resta de las potencias de ambas y el coeficiente numérico se obtiene dividiendo los números que intervengan. En caso de haber más de una letra, se realiza el procedimiento de las potencias por cada una de las letras. Ejemplos:

4b6 ÷ 2b3 = (4 ÷ 2) (b6−3) = 2b3

12x4y8 ÷ 3xy6 = (12 ÷ 3) (x4−1) (y8+6) = 4x3y2

A PRACTICAR LO APRENDIDO

PROBLEMAS

  1. Martina tenía ahorrados $ 650, su abuela le obsequió $ 200. De todo el dinero que tenía usó $ 320 para comprarse unos cuadernos. ¿Cuánto dinero le queda?
  2. Lucas ha trabajado durante tres semanas para comprarse una bicicleta. La primera semana ganó $ 5.000, la segunda semana cobró $ 3.500 y la última semana $ 5.300. Si la bicicleta cuesta $ 7.200. ¿Le sobra o le falta dinero? ¿Cuánto?

OPERACIONES

  1. Efectuar las siguientes sumas:
    a) +(−8b) + (−7b) =
    b) (−4a) + (−8a) + (−7a) + (−6a) + (+9a) =
    c) (+15xy) + (−12xy)=
  2. Efectuar las siguientes restas:
    a)(−4a) − (+6a) =
    b)(−3b) − (−7b) =
    c)(−a) − (−a) =
  3. Hallar los productos (multiplicación):
    a) (−1) · (−3) · (−5) · (+10) =
    b) (+4) · (−1) · (+5) · (+6) =
    c) (−3) · (+4) · (−3) =
  4. Hallar el resultado de las siguientes multiplicaciones:
    a) 3a · 4a =
    b) 10b5 · 5b9 =
    c) 6x · 3x3 =
  5. Efectuar las siguientes divisiones:
    a) (−30a5) ÷ (+5a) =
    b) (+96b2) ÷ (−2b) =
    c) (+40xy2) ÷ (−20y) =

RESPUESTAS

PROBLEMAS

1.
a) Le quedan $ 530.
b) Le sobran $ 6.600.

OPERACIONES

1.
a) −15b
b) −16a
c) +3xy (al ser número positivo puede omitirse el signo +3 = 3)

2.
a) −10a
b) +4b
c) 0

3.
a) −150
b) −120
c) +36

4.
a) 12a2
b) 50b14
c) 18x4

5.
a) −6a4
b) −48b
c) −2xy

¿Sabías qué...?
Los números que se utilizan en forma cotidiana, los arábigos, proceden de la India ya que allí fueron inventados. Sin embargo, los comerciantes árabes los divulgaron en Europa durante la Edad Media.

Ángulos en triángulos. Resolución mediante ecuaciones.

Las ecuaciones tienen gran cantidad de aplicaciones, una de ellas es en la resolución de problemas geométricos. Cuando en dichas situaciones problemáticas los datos están expresados mediante incógnitas, se deben utilizar no sólo ecuaciones, sino también el conocimiento de las propiedades de las figuras dadas, las relaciones entre los ángulos, etc. Los ángulos en triángulos es uno de los primeros temas a abordar.

Antes de empezar con la resolución de problemas se hará un breve repaso de la clasificación de triángulos, ya que es el conocimiento básico que hay que tener para poder abordar el tema. Luego se desarrollarán las estrategias para resolverlos.

Los triángulos pueden clasificarse según sus ángulos y según sus lados, ésta última clasificación es la que debe saberse muy bien para poder resolver los problemas de este tipo.

clasificación de triángulos según sus lados

  • Equiláteros: tienen sus tres lados iguales.
  • Isósceles: poseen dos lados iguales y un lado desigual.
  • Escalenos: cuentan con los tres lados desiguales.

Observar la siguiente figura, en donde se indican los lados iguales y desiguales de tres triángulos, siendo el caso (a)  un equilátero, el (b) un isósceles y el (c) un escaleno.

En forma complementaria a lo antedicho, existen ciertas reglas que relacionan ángulos interiores y exteriores. Éstas sirven para poder hallar las respuestas en algunos problemas de resolución de triángulos.

ángulos interiores y exteriores de un triángulo

En el siguiente triángulo abc se pueden apreciar todos sus ángulos:

reglas para la resolución de triángulos

Regla 1: La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°.
Regla 2: La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo es igual a 360°.

Regla 3: Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a dicho ángulo.

Regla 4: La suma entre un ángulo interior y el exterior contiguo a él es 180°, dado que dicho ángulo es adyacente. Es decir, suplementario y consecutivo.

ejERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIO 1: 

En el triángulo abc de la figura se conocen los siguientes datos:    . Hallar los ángulos interiores α,β, ε y sus tres ángulos exteriores μ, δ,  λ.

Como se tienen los datos de los tres ángulos interiores, se puede aplicar la regla 1, entonces:

Una vez hallado el valor de “x” se tiene que reemplazar en las ecuaciones de α y β para hallar las amplitudes de dichos ángulos:

Se puede verificar si se desea, para corroborar que se han realizado bien todos los pasos y cálculos anteriores:

94° + 56° + 30° = 150° + 30° = 180°

Aún quedan por calcular los ángulos exteriores. Se lo hará mediante la regla 4:

Análogamente como se hizo con los ángulos interiores, se puede verificar:

86° + 124° +150° = 210° + 150° = 360°

EJERCICIO 2: 

En el siguiente triángulo isósceles se sabe que  . Hallar los ángulos internos α, ε y β.

Al ser un triángulo isósceles tiene la propiedad de que “los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales”. El ángulo α es opuesto al lado ac y el ángulo ε es opuesto al lado ab. Como ac=ab, entonces α=ε.

α=ε

Luego se deben calcular los valores de los tres ángulos interiores, reemplazando la incógnita por el valor de x obtenido.

Para hallar β se utilizará la regla 1, queda:

Las aplicaciones de los ángulos son muy variadas, en el área de arquitectura se trabaja frecuentemente con ellos.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

  1. En el siguiente triángulo escaleno abc hallar el valor de los ángulos interiores siendo  .

2. En el siguiente triangulo isósceles abc hallar los ángulos exteriores, siendo .

3. Hallar los ángulos interiores del triángulo escaleno abc, siendo .

RESPUESTAS

¿Sabías qué...?
Al triángulo que tiene lados de 3, 4 y 5 unidades se lo conoce como triángulo perfecto y fue utilizado por los egipcios para trazar ángulos rectos, ya que es un triángulo rectángulo.

 

Ángulos entre paralelas. Resolución mediante ecuaciones

En geometría, al cortar dos rectas paralelas con una recta secante quedan determinados varios ángulos. Éstos se ajustan a algunas propiedades que permiten realizar tanto cálculos numéricos entre ellos como cálculos algebraicos. 

RECTA

Propiedades de la recta

  • La recta es la menor distancia entre dos puntos.
  • La recta es infinita en longitud.
  • Dos puntos determinan una recta.
  • Por un punto pueden pasar infinitas rectas.

Tipos de rectas

Cuando las rectas se encuentran en un mismo plano se denominan coplanares. Éstas pueden ser:

Secantes: se cortan en un punto, es decir, entre ellas existe un punto de intersección.

Paralelas: no poseen punto de intersección entre ellas. En otras palabras, la intersección entre ellas es el conjunto vacío.

Perpendiculares: se intersecan en un punto y dicha intersección determina cuatro ángulos rectos (90°).

ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS

Cuando dos rectas se intersecan se determinan cuatro ángulos, al compararlos de a pares pueden ser:

  • Adyacentes (suman 180°). Son los pares: α,β; γ,δ.
  • Opuestos por el vértice (tienen la misma amplitud). Son los pares α,δ; β,γ.
ÁNGULOS ADYACENTES

Estos ángulos son consecutivos y suplementarios. Son consecutivos porque son contiguos: comparten un mismo vértice y un lado en común. Son suplementarios porque entre ambos forman un ángulo llano, es decir un ángulo de 180°.

 

ángulos entre DOS paralelas Y UNA SECANTE

De la figura anterior se observa que:

  • Las rectas a y b son paralelas.
  • c es secante a la recta a.
  • c es secante a la recta b.

Los ángulos se representarán con números para mejor comprensión, pero en la sección de ejercicios se utilizarán las letras griegas α, β, γ, etc.

Ángulos internos:

Son aquellos comprendidos entre las rectas a y b: \hat{3}, \hat{4},\hat{5},\hat{6}.

Ángulos externos:

Son aquellos que se observan en la región externa a las rectas a y b:  \hat{1}, \hat{2}, \hat{7}, \hat{8}.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

ALTERNOS

Son pares de ángulos que se ubican en semiplanos distintos con respecto a la transversal (secante). Éstos:

  • Son congruentes, es decir, tienen la misma amplitud.
  • No son adyacentes.

Alternos internos 

Alternos externos 

CONJUGADOS

Están ubicados en el mismo semiplano respecto de la transversal. Éstos:

  • Suman 180° (son suplementarios).
  • No son adyacentes.

Conjugados internos

Conjugados externos 

 

Correspondientes 

Son pares de ángulos que se encuentran ubicados en el mismo semiplano con respecto a la transversal. Éstos:

  • Tienen la misma amplitud. Es decir, son congruentes.
  • No son adyacentes.

EJEMPLOS

EJEMPLO 1

Dadas a//b (a paralela a b). Hallar los ángulos α,β y γ:

Se comienza en orden alfabético (alfabeto griego) para una resolución más organizada:

\hat{\alpha } y 50° son adyacentes, es decir, entre ambos suman 180°. Entonces:

\hat{\alpha } + 50°= 180°
\hat{\alpha } = 180°- 50°
\hat{\alpha } = 130°

Se puede ir escribiendo en el gráfico los valores a medida que se van obteniendo para visualizar mejor la ubicación de los nuevos datos y si éstos son coherentes o no. Por ejemplo, \hat{\alpha } es un ángulo obtuso, por lo tanto sus valores deben ser mayores que 90° y menores que 180°. 130° cumple con esta condición.

Para hallar \hat{\beta } se puede realizar el siguiente análisis previo:

  • \hat{\beta } y \hat{\alpha } son adyacentes.
  • 50° y \hat{\beta } son opuestos por el vértice

Se realizará el procedimiento para ambos casos, aunque con una de las dos opciones es suficiente para hallar la respuesta.

Como \hat{\beta } y \hat{\alpha } son adyacentes:

β^+α^=180°β^ +130° =180°β^=180°–130°β^=50°

Los ángulos 50° y \hat{\beta } son opuestos por el vértice, por lo tanto son iguales, eso significa que:

β⏞=50°

La última incógnita a hallar es el valor de \hat{\gamma }:

\hat{\beta } y \hat{\gamma }  suman 180° por ser conjugados externos.

Como ya se tiene el valor de \hat{\beta } = 50°, se reemplaza en la igualdad:

β^+γ^=180°50° + γ^ = 180°γ^ = 180° – 50°γ^ = 130°

Respuestas:

α^=130°β^= 50°γ^ =130°

 

EJEMPLO 2

Hallar el valor de los ángulos \hat{\alpha } y \hat{\beta }.

a//b

Cuando los ejercicios incluyen ecuaciones, primero se debe hallar el valor de x y luego obtener las amplitudes de cada uno de los ángulos solicitados.

\hat{\alpha } y \hat{\beta } son ángulos correspondientes, por lo tanto sus amplitudes son iguales. El procedimiento para resolver este ejercicio es el siguiente:

α^ = β^5x–4°=4x+6°5x–4x=6°+4°x=10°

Se reemplaza el valor de x en cada ecuación:

α^=50° α^=50° –4°α^=46° β^=4·10°+6°β^=40°+6°β^=46°

El resultado es lógico, dado que al ser correspondiente ambos ángulos deben ser iguales.

EJEMPLO 3:

Hallar el valor de los ángulos \hat{\alpha } y \hat{\beta }.

a//b

Los ángulos dados son conjugados externos, por lo tanto suman 180°.

a practicar lo aprendido

  1. Hallar los ángulos \hat{\beta } y \hat{\gamma }.
    a)Dado \hat{\alpha } = 140°.

    a//b

    b) Dado \hat{\alpha } = 135°.

  2. a//b
  3.  Hallar las amplitudes de los ángulos dados.
    a)

    a//b

    b)

    a//b

 

RESPUESTAS

1.
a)

β^=40°γ^= 140°

b)

β^=45°γ^ =45°

2.
a)

α^ =β^ =60°

b)

α^=β^ =120°

¿Sabías qué...?
El símbolo = fue inventado por Robert Recorde en 1557. Utilizó esa representación porque le parecía que “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”.

 

Función lineal. Ejercicios y problemas

Cuando se tienen dos puntos distintos, por ellos pasa una recta, la misma está comprendida por un número infinito de puntos colineales y tiene una dirección determinada. Se suele trabajar sobre el plano cartesiano x,y para realizar las representaciones de las funciones lineales. 

 

función lineal

La fórmula de una función lineal es:

f(x)=mx+b

m y b son números reales, “x” es la variable independiente e “y” la variable dependiente.

m: Es la pendiente de la recta, la misma indica su inclinación. La pendiente da información sobre si la función es creciente o decreciente, en el primer caso m es positiva, en el segundo m es negativa.

b: es la ordenada al origen. Esto quiere decir que b representa el punto de corte en el eje y.

Ordenada al origen

Para hallar la ordenada al origen se reemplaza a la x por 0 y se obtiene:
f(0)=m.0 +b
f(0)=b

Raíz

La raíz de una función lineal se calcula igualando a 0 y despejando x:

mx+b=0

x=-b/m

Ejemplo:

Dada la función f(x)=(1/2)x+3 hallar su ordenada al origen y su raíz. Indicar el valor de la pendiente.

Se tiene que la pendiente es ½ y la ordenada al origen es 3.

m=1/2
b=3

Para calcular la raíz se iguala la función a cero:

0=(1/2)x+3
-3=(1/2)x
x=-6

Con estos dos datos se puede graficar la función lineal:

Obsérvese que los punto de corte son:

  • El valor 3 en el eje y, dato que corresponde a la ordenada al origen.
  • El valor -6 en el eje x, que corresponde a la raíz de la función.

A partir de esos dos puntos se puede trazar la recta.

La pendiente se puede expresar como:

m=Δy/Δx

Gráficamente esto significa lo siguiente:

m=Δy/Δx=3/-6

La recta se encuentra a tres unidades desde el origen, por lo tanto Δy=3.

Δx= -6 porque esa es la posición de la recta sobre el eje x.

Simplificando se obtiene:

m=-1/2

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

La tarifa de un taxi es de $33,50 por bajada de bandera y $1,80 por cada cuadra recorrida.

a) Hallar la función lineal que representa la situación.
b) ¿Cuánto se debe pagar si se han recorrido 200 cuadras?
c) Si la tarifa final es $5.433,50 ¿Cuántos kilómetros se recorrieron?

Resolución

a) Para hallar la función lineal que se ajusta a esta situación se debe establacer cuáles son las variables.

x : cantidad de cuadras recorridas (variable independiente)
y : tarifa a pagar (variable dependiente)

El valor fijo es “b”, en este caso corresponde a la bajada de bandera:

b = 33,50

Con ésta información se puede escribir la fórmula:

f(x)=1,80x+33,50

b) Se sustituye en la fórmula anteriormente hallada, el dato dado:
f(200)=1,80⋅200+33,50
f(200)=393,50

Respuesta: el valor a pagar por 200 cuadras es $393,50.

c) La tarifa final está representada por la variable “y”, al reemplazar queda:

5.433,50 = 1,80x +33,50

Luego se despeja x:

5.433,50-33,50 = 1,80x
5.400 = 1,80x
5.400:1,80=x
x=3.000

Se han recorrido 3.000 cuadras. Para obtener la equivalencia entre cuadras y kilómetros se realizan algunas operaciones matemáticas.

Si se considera que la medida de una cuadra es de 100 metros, entonces:

3.000 cuadras ⋅ 100 metros /cuadra =30.0000 metros
Dado que cada 1.000 m se tiene 1 km, la respuesta en kilómetros sería:

1000 m ———1 km
30.0000 m ——300 km

Respuesta: se recorrieron 300 km.

A PRACTICAR lO APRENDIDO

  1. Hallar analíticamente la ordenada al origen y la raíz de las siguientes funciones:
    a) f(x) =-2x+5
    b) f(x) = (3/4)x -1
  2. Graficar las funciones del ejercicio anterior.

Resolver las siguientes situaciones problemáticas:

3. Un técnico de reparaciones de electrodomésticos cobra $250 por la visita, más $500 por cada hora de trabajo.
a) Escribir la ecuación de la recta que permite calcular el valor total a pagar en función del tiempo trabajado.
b) ¿Cuánto se debería pagar si el técnico trabaja tres horas?

4. Un taller de sillas tiene un alquiler de $5.000 mensuales (costo fijo). Sabiendo que el costo por fabricar cada silla    es de $100, determinar:
a) El costo mensual cuando se fabrican x sillas.
b) El costo de 200 sillas.

RESPUESTAS

1.
a) ordenada al origen = 5, raíz=5/2 ó 2,5
b) ordenada al origen = -1, raíz= 4/3

2.
a) 

b) 

3.
a) f(x) = 500x+250
b) $1750

4.
a) f(x)=100x+5.000
b) $ 25.000

¿Sabías qué...?
Las medidas de serpientes hembras de la especie lampropeltis polizona se pueden calcular mediante una función lineal: longitud total = 7,4 . longitud de la cola + 11. 

TEMAS RELACIONADOS

Si deseas seguir estudiando este tema puedes ingresar a ver los siguientes contenidos:

 

 

Sistemas de ecuaciones lineales: aplicación

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es aquel cuyas soluciones, si las tiene, satisfacen al mismo tiempo a las dos ecuaciones que conforman dicho sistema. Para resolver este tipo de ejercicios se utilizan varios métodos: el de reducción, el de sustitución, el gráfico y el de determinantes. A continuación se desarrollarán las aplicaciones de este tema a situaciones problemáticas de la vida cotidiana.

Una ecuación lineal con dos incógnitas se resuelve mediante infinitas soluciones, por ejemplo:

y=3x+1

Para x=0, y=1; x=1, y=4; x=-1, y = -2

Para cualquier valor por el que se reemplace a x se obtendrá un valor asociado de y. De allí se desprende que:

  • x es la variable dependiente.
  • y es la variable independiente.

SISTEMAS DE ECUACIONES

Cuando se tienen dos ecuaciones de primer grado y dos incógnitas se presenta un sistema de ecuaciones. Por ejemplo:

3x–y=4x+2y=–2

Este tipo de sistemas de ecuaciones requiere que las incógnitas de una ecuación sean las mismas que de la otra. Es decir:

4a+5b=1a+2b=0

 Es un sistema de ecuaciones.

2x+3y=104a–b=9

No es un sistema de ecuaciones.

TIPOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser:

  • Compatible determinado (tiene una única solución).
  • Compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).
  • Incompatible (no tiene solución).

Representaciones gráficas

En el sistema compatible determinado la solución es el punto de intersección de las dos rectas.

En el sistema compatible indeterminado existen infinitas soluciones porque ambas rectas son semejantes. Al graficarlas quedan ubicadas una sobre la otra.

En el sistema incompatible las dos rectas son paralelas, por ello nunca tendrán punto de contacto, es decir, no tendrán solución.

DIFERENCIA ENTRE FUNCIÓN LINEAL Y ECUACIÓN LINEAL

Función lineal: es una función polinómica de primer grado y se escribe con la notación f(x)=mx+b
Ecuación lineal: es una igualdad, también denominada ecuación de primer grado, que puede contener una o más variables elevadas a la primera potencia. Ejemplos:

3x+5 = 0   (ecuación lineal con una incógnita)

3x+2y = 4  (ecuación lineal con dos incógnitas)

Se desarrollará a continuación un ejemplo de resolución de sistema de ecuaciones por el método de igualación. Si deseas repasar los métodos de reducción y sustitución puedes ingresar al artículo Sistemas de ecuaciones. Si te interesa conocer el método de determinantes puedes revisar el contenido de Regla de Cramer, método ideado por el matemático Gabriel Cramer.

No obstante, cualquiera de los métodos es válido para la resolución de problemas y ejercicios.

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Dado el siguiente sistema de ecuaciones, hallar los valores de x e y.

2x+y = 43x+y = 5

Para resolver este sistema por igualación, primero se despeja una de las incógnitas, en este caso es más sencillo despejar la y:

y=4-2x

y=5-3x

Recordar que si un término se encuentra en un miembro de la igualdad con signo positivo, pasa al otro lado con signo negativo y viceversa.

Una vez que ambas ecuaciones están despejadas se igualan los miembros de la derecha de ambas.

4-2x =5-3x

Luego se agrupan los términos con incógnita del lado izquierdo de la igualdad y aquellos que únicamente son números del lado derecho.

-2x+3x =5-4
x=1

Luego de haber obtenido el valor de una de las variables, se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones iniciales y se obtiene el valor de y.

y=4-2⋅1
y=4-2 = 2

Se puede probar en la otra ecuación:

y=5-3⋅1
y =5-3 = 2

Por lo tanto este sistema tiene solución x=1 e y=2, es compatible determinado y su gráfica es la siguiente:

(1,2) es el punto que se determina por el valor 1 de “x” y el valor 2 de “y”.

SITUACIONES PROBLEMÁTICAS

En algunas oportunidades los ejercicios son presentados de la forma que antecede, en otras se debe extraer la información de enunciados. Por ejemplo:

En una verdulería hay dos ofertas:

  • 2 kg. de tomates y 5 kg de papas por 150 pesos.
  • 4 kg de tomates y 2 kg de papas por 140 pesos.

¿Cuál es el precio del kilo de tomates y cuál del kilo de papas?

Para resolver este problema, primero se procede a escribir en lenguaje simbólico lo expresado en lenguaje coloquial. Se identificará cada variable con una letra, en este caso utilizaremos la “x” para los tomates y la “y” para las papas.

2x+5y=150
4x+2y=140

De este modo ya se ha conformado el sistema de ecuaciones. Luego se resuelve por cualquier método para resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Igualación

Se despeja la misma incógnita en cada ecuación:

2x+5y=150
5y=150-2x
y = 150:5 -2x :5
y = 30 -(2/5)x

4x+2y = 140
2y = 140 – 4x
y = 140:2 – 4x:2
y = 70- 2x

Se realiza la igualación:

30 -(2/5)x = 70- 2x

Se despeja x:

-(2/5)x+2x = 70 – 30
(8/5)x=40
x = 40 : 8/5
x = 25

Se reemplaza x en una de las ecuaciones iniciales:

y = 70- 2x

y = 70 -2⋅25 = 70 -50 = 20

Los valores obtenidos son:

x=25 e y =20

Rta.: El kilo de tomates cuesta 25 pesos y el kilo de papas 20 pesos.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)

x+y=30x–y=8

b)

x+4y=14x–3y=–7

c)

3x–2y=75x+3y=37

 

2. Resolver:
a) Tres veces la edad de Emilia menos cuatro veces la edad de María da como resultado tres años. Si hace cuatro años el duplo de la edad de María excedía en 1 año a la edad de Emilia. ¿Qué edad tienen actualmente cada una?

b) El duplo del dinero que tiene Joaquín más el triple de lo que tiene Lautaro suma 60 pesos. Si el cuádruplo de lo que tiene Joaquín menos el quíntuplo de lo que tiene Lautaro es igual a 10 pesos. ¿Cuánto dinero tiene cada uno.

c) La tercera parte de un número más la mitad de otro es igual a 13. Si se divide el primero entre el segundo, el cociente es 2 y el resto es 4. Hallar los números.

RESPUESTAS

1.
a) x=19; y=11
b) x=2; y=3
c) x=5; y=4

2.
a) María tiene 9 años y Emilia tiene 13 años.
b) Joaquín tiene 15 pesos y Lautaro 10.
c) Los números son 40 y 12.

¿Sabías qué...?
Los babilonios sabían resolver sistemas de ecuaciones lineales, sus incógnitas eran la longitud, el área, el volumen, etc. No utilizaban la simbología actual.

Método de Ruffini

El matemático Paolo Ruffini ideó un método para dividir polinomios denominado regla de Ruffini en su honor. Con ella se pueden calcular los coeficientes de la división de un polinomio por un binomio x-a. Es una forma que simplifica y facilita este tipo de operaciones matemáticas.

 

Antes de aplicar la regla de Ruffini se deben revisar los conceptos de teorema del resto y teorema de Gauss.

TEOREMA DEL RESTO

Dado un polinomio P(x) y otro Q(x)= x-a, el resto de dividir a P(x) entre Q(x) es P(a).

P(a) es R, el resto de dicha división.

En otras palabras, el resto de un polinomio P(x) se puede calcular realizando la especialización del mismo. Es decir, reemplazando el valor numérico para x=a. Ejemplo:

Calcular el resto de la división entre P(x) y Q(x).

P(x)=2x3-2x2+2x-8
Q(x)= x-1

Especializando en x=1 se obtiene:

P(1)=2·(1)3-2·(1)2+2·(1)-8
P(1)=2·1-2·1+2-8
P(1)=2-2+2-8=-6

El resto de la división entre P(x) y Q(x) es -6.

Consecuencias del teorema del resto

Un polinomio es divisible por (x-a), sí y sólo sí P(a) =0, sí y sólo sí “a” es raíz de P(x).
En el ejemplo anterior P(x) no es divisible por Q(x), ya que el resto es distinto de cero.[/su_note]

método de gauss

Con el teorema de Gauss se pueden hallar las posibles raíces de un polinomio. Éstas se obtienen realizando el cociente entre los divisores del término independiente de un polinomio y los divisores del coeficiente principal. Este método es útil para polinomios de grado tres o superiores, dado que en caso de tener un polinomio de grado dos hay otras formas más sencillas de resolución.

EJEMPLO

Según el método de Gauss hallar las posibles raíces del polinomio: P(x)=2x3+x2+5x-8.

Los coeficientes de un polinomio corresponden a la parte numérica del polinomio.

Cuando la x no tiene escrito un coeficiente a la izquierda, significa que éste es 1.

El término cúbico es el que tiene a la variable x elevada al cubo y el término independiente es aquel que no tiene parte literal. Para realizar el método de Gauss debe identificarse el término cuyo grado sea mayor (de allí se obtiene el coeficiente principal) y el término independiente.

En este ejemplo, el coeficiente del término cúbico es el principal, por lo tanto:

coeficiente principal: 2

término independiente: -8

COEFICIENTE PRINCIPAL DIVISORES  TÉRMINO INDEPENDIENTE  DIVISORES
2 -1,-2,1,2 -8 -8,-4,-2,-1,1,2,4,8

Se efectúan todos los posibles cocientes:

Se toma el primer divisor del término independiente y se lo divide por todos los divisores del coeficiente principal:

De aquí se obtienen cuatro posibles raíces: 4, 8, -8 y -4.

Se debe hacer el mismo procedimiento con cada uno de los divisores del término independiente. Otro ejemplo:

Se puede observar que algunos resultados se repiten, por lo tanto hasta el momento las posibles raíces son:

4, 8, -8, -4, 2, -2

Se continúa con el cálculo de las raíces probables (si deseas puedes hacerlo). Una vez calculadas todas ellas se obtienen las siguientes posibilidades:

-1/2, 1/2, -1, 1, -2, 2, -4, 4, -8, 8

Para saber si son o no raíces se puede aplicar el teorema del resto.

En el polinomio estudiado anteriormente se tiene que una de las raíces posibles es 1, se especializa entonces en a=1.

P(x)=2x3+x2+5x-8

P(1)=2·(1)3+(1)2+5(1)-8 = 2+1+5-8 =0

Y como P(1)=0, entonces 1 es raíz del polinomio P(x)=2x3+x2+5x-8.

Esto significa que P(x)=2x3+x2+5x-8 es divisible por x-1.

Del mismo modo se realiza con las otras posibles raíces para hallar que otro u otros valores verifican que P(x)=0.

“Un polinomio puede tener tantas raíces como su grado. Es decir, un polinomio de grado 3 puede tener hasta 3 raíces. Aunque no siempre todas las raíces obtenidas pertenecen al conjunto de los números reales.”

REGLA DE RUFFINI

Paolo Ruffini, matemático, médico y filósofo italiano.

La regla de Ruffini es de gran utilidad para la factorización de polinomios. Se la considera una división simplificada para los casos en que el divisor es un polinomio de grado 1 y mónico, es decir con coeficiente 1.

Polinomios que se pueden dividir con el método Ruffini:

P(x)=2x3+4x2+5x-6 y Q(x)= x-1

P(x)=x4-x3-3x2+x-8 y Q(x)= x+5

Polinomios que NO se pueden dividir con la regla de Ruffini:

P(x)=2x4+x3+x2+5x-8 y Q(x)=3x-1 no es posible ya que el divisor Q(x) no es mónico, no tiene coeficiente 1, sino 3.

P(x)=2x3+x2+5x-8   y Q(x) = x2-1 no es posible porque Q(x) no es un polinomio de grado uno.

EJEMPLO 1:

Realizar la división entre P(x)=3x3-5x2-16x+12 y Q(x)=(x+2)

Se trazan dos líneas de la siguiente forma:

Luego se colocan los coeficientes de P(x):

La raíz se ubica en la siguiente posición:

Recordar que Q(x) = x+2, entonces la raíz es -2 porque Q(-2) =-2+2=0

Se coloca el primer coeficiente debajo de la línea horizontal:

Luego se procede a multiplicar la raíz por ese primer coeficiente:

A continuación se realiza la suma algebraica en la fila conformada por el segundo coeficiente y el resultado de la multiplicación antedicha:

Siguiendo el mismo procedimiento se continúa resolviendo:

Cuando se llega a la última fila, el resultado es el resto de la división, en este caso es 0.

Los coeficientes que se obtuvieron como resultado pertenecen a un polinomio de un grado menor al dividendo. Observar que inicialmente el polinomio era de grado 3, ahora queda expresado en dos factores, un polinomio de grado dos y (x+2).

P(x)=(3x2 -11x+6)(x+2)

3x2 -11x+6 es el cociente de la división entre P(x) y Q(x).

Se puede seguir factorizando, para ello se puede utilizar nuevamente Ruffini o directamente aplicar la fórmula de Bhaskara.

En esta oportunidad se realizará nuevamente la regla de Ruffini para (3x2 -11x+6). Se pueden calcular las posibles raíces con el teorema de Gauss para ir probando cuál de ellas genera un resto cero. En este caso se continuará con el método de Ruffini, utilizaremos el valor 3 como raíz.

Una vez obtenido resto cero, se reescribe el polinomio P(x):

P(x)=(3x2 -11x+6)(x+2)

P(x)=(3x-2)(x-3)(x+2)

Como la factorización implica que dentro de los paréntesis los polinomios sean mónicos, se debe extraer el 3 que se encuentra junto a la x de la siguiente forma:

(3x-2) = 3(x-2/3) se realizó factor común 3.

Los pasos que se han ido realizando en la factorización son:

P(x)=3x3-5x2-16x+12
P(x)=(3x2 -11x+6)(x+2)
P(x)=(3x-2)(x-3)(x+2)
P(x)=3(x-2/3)(x-3)(x+2) Polinomio factorizado.

EJEMPLO 2:

Hallar el resto de dividir P(x) entre Q(x):

P(x)=2x3-2x2+2x-8
Q(x)= x-1

El resto R es igual a -6.
Los polinomios que intervienen son los mismos que los utilizados en el ejemplo del teorema del resto. Ambos métodos sirven para hallar el resto. Pero si se desea factorizar, la opción a utilizar es la regla de Ruffini.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

1. Hallar el resto al dividir P(x) entre Q(x) en los siguientes casos:
a) P(x)=x3-7x2+14x-21 y Q(x)= x-2
b) P(x)=x3-x+2 y Q(x)= x+5
c) P(x)=x3-6x2+5x+11 y Q(x)= x-2

2. Dividir P(x) entre Q(x) utilizando el método de Ruffini e indicar su cociente y resto.
a) P(x)=2x3+4x2-5x-3 y Q(x)= x-2
b)P(x)=4x3-8x2-9x+7 y Q(x)= x-3
c) P(x)=2x3+5x2-4x+2 y Q(x)= x+3

respuestas

1.
a) R=-13
b) R= -118
c) R= 5

2.
a) Cociente: 2x2+8x+11, Resto: 19
b) Cociente: 4x2+4x+3, Resto: 16
c) Cociente: 2x2-x-1, Resto: 5

¿Sabías qué...?
Una de las aplicaciones de los polinomios de Zernike (establecidos por el físico Fritz Zernike) es en el campo de la medicina. Intervienen en los cálculos para la corrección de defectos visuales como miopía y astigmatismo.

 

Factorización

La factorización o descomposición en factores es un recurso que se utiliza regularmente en álgebra. La descomposición en factores (algebraicos) es un procedimiento matemático que se puede hallar por inspección en algunos casos, pero para la mayoría de ellos se requiere conocer propiedades específicas.

 

Las expresiones algebraicas se pueden factorizar, los polinomios son un tipo de éstas, por lo tanto también tienen la posibilidad de ser factorizados.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS
2x + 3y(y-1) – 8y2 A(x)=x4+3x3-5x+8
3x4 + 9 B(x)=3x4 + 9
a + 5a -a2 C(x)=2x

 

Existen polinomios de más de una variable, pero no se trabajará con ellos en esta instancia.

Existen casos de factoreo que permiten descomponer expresiones algebraicas de acuerdo a sus características particulares.

factor común

El factor común es uno de los casos más utilizados, dado que es el primero que suele aprenderse y se aplica en numerosa cantidad de situaciones.

EJEMPLO 1:

Hallar el factor común de las siguiente expresión algebraica: a2+a

Los signos positivos y negativos permiten identificar los términos de una expresión:

a2+a Por lo tanto, en este caso se observan dos términos.

En ambos términos se visualiza la letra a, en consecuencia, ella es el factor común.

Resolución

Sabiendo que a es el factor común se multiplica a toda la expresión por \fn_cm \small \frac{a}{a} que es lo mismo que multiplicar por 1, no la modifica.

El divisor a que está fuera del paréntesis puede escribirse dentro de él:

Ahora se puede dividir cada fracción y queda:

Otra forma de resolver

Se realiza el pensamiento inverso la división. Al saber que a es factor común porque se encuentra en ambos miembros de a2+a, se escribe:

Y luego se colocan dentro del paréntesis los valores que al multiplicar por a dan como resultado a2+a.

a·a=a2

a·1=a

Entonces se obtiene el resultado final:

EJEMPLO 2:

Hallar el factor común de la siguiente expresión algebraica: 6x +3

En este ejercicio, el factor común es 3, dado que el número tres divide exactamente tanto al 6 como al 3. Entonces:

Extracción del factor común 3:

3(      )

Para calcular qué información debe colocarse dentro del paréntesis se realiza la división de la expresión algebraica por 3:

6x:3 +3:3= 2x+1

Escritura dentro del paréntesis de la expresión obtenida al realizar la división:

3(2x+1)

FACTOR COMÚN EN POLINOMIOS

Del mismo modo que con los ejemplos anteriores, se pueden factorizar polinomios, en dicho caso se intenta reducirlos para aplicar fórmulas o métodos específicos para ellos.

EJEMPLO 3

Factorizar el polinomio P(x)=x3+2x2+x

Se observa que en todos los términos se encuentra la letra x, por lo tanto se extraerá factor común x:

P(x)=x(x2+2x+1)

Se debe seguir factorizando hasta que ya no sea posible, por lo tanto, falta realizar la factorización de x2+2x+1.

x2+2x+1 es un trinomio y existen varios caminos para factorizarlo:

  • Hallar sus raíces con la fórmula de Bhaskara y con ellas escribirlo mediante la expresión a(x-x1)(x-x2), donde a es el coeficiente principal; x1, x2 son las dos raíces.
  • Resolverlo mediante el procedimiento para trinomios de la forma x2+bx+c.
  • Identificar si es un trinomio cuadrado perfecto completo o incompleto, en dicho caso proceder a aplicar el procedimiento adecuado.

x2+2x+1 es un trinomio cuadrado perfecto dado que es el resultado de un cuadrado de binomio.

CUADRADO DE BINOMIO: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Es decir:

a2 + 2ab + b2 =(a + b)2

Como a=x y b=1:

x2+2x+1 = (x+1)2

Para finalizar se escribe la factorización completa de P(x):

P(x)=x(x2+2x+1)
P(x)=x(x+1)2
P(x)=x(x+1)(x+1)

Por lo tanto:

P(x)=x3+2x2+x = x(x+1)(x+1)

El método de Ruffini también permite factorizar polinomios. Puedes revisar ese contenido y repasar conceptos relacionados en Artículos destacados.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

  1. Hallar el factor común de las siguientes expresiones algebraicas:
    a) 6x2-3x
    b) ay – by
    c) x2y2-xy3
  2. Factorizar los siguientes polinomios:
    a) P(x)= x2+7x+12
    b) P(x)= x3+9x2+20x
    c) P(x) = x3+8x2+15x

RESPUESTAS

1.
a) 3(2x2-1)
b) y (a – b)
c) xy2(x – y)

2.
a) P(x)= (x+3)(x+4)
b) P(x)= x(x+4)(x+5)
c) P(x)= x(x+3)(x+5)

¿Sabías qué...?
El teorema del binomio adjudicado a Isaac Newton, del cual se deriva la fórmula del cuadrado de un binomio, fue descubierto por primera vez por el matemático persa Al-Karaŷí alrededor del año 1000.

Operaciones con polinomios

Los polinomios se utilizan en diversos campos de las matemáticas, como el análisis matemático y el cálculo. Sin embargo tienen aplicaciones variadas: en física, en química, en informática, en economía, en medicina, etc. Para operar con polinomios se requiere conocer las propiedades de la potenciación y los conceptos fundamentales de expresiones algebraicas.

Para aprender a trabajar con polinomios es necesario conocer antes los siguientes contenidos:

  1. Expresiones algebraicas.
  2. Monomios, binomios, trinomios y polinomios.
  3. Adición y sustracción de polinomios.
  4. Producto y división de polinomios.

EJERCICIOS CON OPERACIONES COMBINADAS ENTRE POLINOMIOS

Una vez que se han trabajado y practicado los temas anteriores, es posible avanzar en la resolución de ejercicios con operaciones combinadas, por ejemplo:

EJERICICIO 1

Dados los polinomios:

A(x) = x3 + 2x − 1
B(x) = 3x2 − 7
C(x) = x − 1

Hallar:

a) A(x) + B(x) · C(x) =
b) [C(x)]2 − B(x) =
c) 3A(x) − B(x) =

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1. a)

A(x) + B(x) · C(x) =

Se reemplaza cada polinomio es su ubicación correspondiente:

A(x) + B(x) · C(x) = (x3 + 2x − 1) + (3x2 − 7) · ( x − 1)

Se realizan las operaciones según la jerarquía correspondiente, en este caso primero hay que realizar la multiplicación entre  B(x) y C(x).

A(x) + B(x) · C(x) = (x3 + 2x − 1) + (3x3 − 3x2 − 7x + 7)

Al ser una suma, se pueden quitar los paréntesis:

A(x) + B(x) · C(x) = x3 + 2x − 1 + 3x3 − 3x2 − 7x + 7

Se agrupan términos con parte literal semejante:

A(x) + B(x) · C(x) = x3 + 3x3 − 3x2 + 2x − 7x + 7 − 1

Se realiza la suma algebraica de los términos con igual parte literal y se escribe el polinomio resultante ordenado en forma decreciente de potencias de x:

A(x) + B(x) · C(x) = 4x3 − 3x2 − 5x + 6

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1. b)

[C(x)]2 − B(x) =

Cuando un polinomio está elevado al cuadrado hay que observar primero a qué tipo de polinomio pertenece.

CUADRADO DE UN POLINOMIO

Cuando un polinomio está elevado a la potencia 2, se debe analizar primero qué tipo de polinomio es y en base a ello operar.

  • Si es un monomio, se eleva al cuadrado tanto su parte numérica como su parte literal.

Ej: P(x) = 2x
[P(x)]2 = (2x)2 = 22x2 = 4x2

Ej: Q(x) = x + 1
[Q(x)]2 = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

  • Si es un trinomio o un polinomio de grado superior a tres se puede multiplicar el polinomio por sí mismo.

Ej: D(x) = x3 + 2x + 1
[D(x)]2 = (x3 + 2x + 1) (x3 + 2x + 1) = x6 + 4x4 + 2x3 + 4x2 + 4x + 1

En el ejercicio 1. b) intervienen C(x) = x − 1 y B(x) = 3x2 − 7, ambos son binomios (tienen dos términos). Por lo tanto para resolver [C(x)]2 se aplica el cuadrado de un binomio.

[C(x)]2 = (x − 1)2 = x2 − 2x + 1

Luego se debe restar o sustraer B(x). Como hay un símbolo menos (−) a la izquierda del paréntesis del polinomio B(x), los signos de éste serán los contrarios al aplicar la regla de los signos.

[C(x)]2 − B(x) = (x−1)2 − (3x2 − 7) = x2 − 2x + 1 − 3x2 + 7

Finalmente se agrupan los términos cuyas partes literales son semejantes:

[C(x)]2 − B(x) =  x2 − 3x2 − 2x + 1 + 7

Se realizan las sumas algebraicas correspondientes y se obtiene el resultado:

[C(x)]2 − B(x) = −2x2 − 2x + 8

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1.c)

3A(x) − B(x) =

Cuando un polinomio está multiplicado por un número o por un monomio, se procede a realizar la propiedad distributiva para resolver esta operación en primer lugar.

3A(x) = 3(x3 + 2x − 1) = 3x3 + 6x − 3

Luego se continúa resolviendo:

3A(x) − B(x) = 3x3 + 6x − 3 − (3x2 − 7) = 3x3 + 6x − 3 − 3x2 + 7 

Finalmente se resuelven las sumas algebraicas correspondientes y se ordena el polinomio resultante:

3A(x) − B(x) = 3x3 − 3x2 + 6x + 7 − 3

3A(x) − B(x) = 3x3 − 3x2 + 6x + 4

Papiro de Rhind, realizado por el escriba Ahmes en el año 1650 a. C. Contiene información matemática aplicable a agricultura, astronomía, construcción, etc.

A continuación puedes practicar tanto algunas operaciones básicas entre polinomios, como las que son combinadas.

A PRACTICAR

Dados los polinomios:

A(x) = −2x4 + 3x3 + 7x2 − 5
B(x) = 3x + 1
C(x) = 2x5 + 3x3

  1. Realizar las siguiente sumas:
    a) A(x) + B(x) =
    b) A(x) + C(x) =
  2. Hallar el resultado de la resta:
    a) A(x) − B(x) =
    b) A(x) − C(x) =
  3. Hallar:
    a) B(x) · C(x) =
    b) A(x) · B(x) =
  4. Obtener el resultado de las siguientes operaciones con polinomios:
    a) 3A(x) + 2x3 · B(x) =
    b) A(x) · [B(x) + C(x)] =

RESPUESTAS

Se designará al polinomio resultado como P(x).

  1. a) P(x) = −2x4 + 3x3 + 7x2 + 3x − 4
    b) P(x) = 2x5 − 2x4 + 6x3 + 7x2 − 5
  2. a) P(x) = −2x4 + 3x3 + 7x2 − 3x − 6
    b) P(x) = −2x5 − 2x4 + 7x2 − 5
  3. a) P(x) = 6x6 + 2x5 + 9x4 + 3x3
    b) P(x) = −6x5 + 7x4 + 24x3 + 7x2 − 15x − 5
  4. a) P(x) = 11x3 + 21x2 − 15
    b) P(x) = −4x9 + 6x8 + 8x7 + 9x6 + 5x5 + 7x4 + 9x3 + 7x2 − 15x − 5
¿Sabías qué...?
Tanto la historia del álgebra como de las matemáticas comenzaron en el antiguo Egipto y Babilonia. Una muestra de ello es el papiro de Rhind que contiene problemas matemáticos escritos en un documento de 6 metros de longitud y 33 cm de ancho.