Las sucesiones son secuencias ordenadas de términos que siguen una determinada regla de recurrencia o patrón. Estas pueden ser aritméticas o geométricas. Las aritméticas tienen una diferencia con el término anterior en una cantidad constante, por ejemplo, 2, 4, 6, 8,… En cambio, en las geométricas cada término (excepto el primero) es múltiplo del término anterior de la sucesión, por ejemplo, 2, 4, 8, 16, 32,… Las sucesiones se utilizan en las matemáticas, en entidades financieras, en ciencias naturales, en informática y hasta en el arte.
La espiral de Fibonacci se trata de una espiral áurea que podemos construir a partir de los números contenidos en la sucesión de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13,…
LA RECTA NUMÉRICA
La recta numérica es una representación gráfica unidimensional que nos permite ubicar los números reales (), lo cual resulta de gran utilidad para comparar valores o indicar soluciones de intervalos en las inecuaciones. Se caracteriza por poseer el cero centrado y se considera el origen de la recta; hacia la izquierda se ubican los números negativos y a la derecha los positivos. Entre dos números, será mayor el que esté más a la derecha. Existen métodos para representar con precisión algunos números radicales sobre la recta.
Las reglas graduadas son un ejemplo de rectas numéricas. En estas vemos las divisiones de las unidades enteras que equivalen a las décimas.
PLANO CARTESIANO
Es un sistema de representación bidimensional muy utilizado en matemática y otras áreas para la ubicación de puntos en el plano. Su nombre se debe al filósofo y matemático René Descartes, quien propuso su aplicación en el siglo XVII como una base del sistema de coordenadas rectangulares. Está formado por un eje horizontal denominado eje de las abscisas, que tradicionalmente denotamos con la letra x; y un eje vertical llamado eje de las ordenadas, que por lo general representamos con la letra y. Cada eje se comporta como una recta numérica que se prolonga hasta el infinito.
Por lo general, lo mapas contienen ejes de coordenadas que asemejan el plano cartesiano. Las unión de dos coordenadas dan la ubicación de un punto.
FUNCIONES
Son expresiones matemáticas que indican una relación de correspondencia entre un conjunto de partida y un conjunto de llegada. Para que una relación sea considerada función, debe cumplirse que cada elemento del dominio tenga una sola imagen en el conjunto de llegada. Las funciones pueden ser inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.
Las funciones también se pueden clasificar de acuerdo con los operadores que contienen sus términos y estas pueden ser polinómicas, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, entre otras.
FUNCIÓN LINEAL
La función lineal es un tipo de funciónpolinómica cuyo mayor grado de exponente es 1. Su representación gráfica es una línea recta que puede ser descrita a partir de la ecuación explícita: y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es su ordenada al origen. Si conocemos la función de la recta podemos graficarla por medio una tabla de valores que cumpla con las soluciones de la función.
Estas gráficas representan dos funciones lineales. Las que no pasan por el origen se llaman funciones afines. Con dos puntos como mínimo se puede construir la recta.
PROPORCIONES
Las proporciones son una medida que relaciona a dos razones mediante una constante. El cociente que resulta de dividir una razón de proporción se conoce como constante de proporcionalidad. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una cantidad, la otra también aumenta; o si al disminuir una cantidad, la otra también disminuye. En cambio, dos magnitudes son inversamente proporcionales si al incrementar el valor de una, el valor de la otra disminuye; o si al disminuir el valor de una, la otra aumenta.
La cantidad de productos que compramos son directamente proporcionales con el precio, ya que a medida que más compramos más dinero pagamos.
Las sucesiones son series de números con un orden establecido llamado patrón. Algunas tienen un patrón en el que se suman o restan cantidades constantes, mientras que en otras el patrón se forma por medio de la multiplicación o división de cantidades constantes. Hoy aprenderemos cómo se llaman estos tipos de sucesiones y cómo calcular sus términos generales.
Las sucesiones forman parte de nuestra vida cotidiana. Incluso desde muy temprana edad ya están presentes de manera implícita en actividades que van desde aprender a contar hasta el cálculo de intereses compuestos de créditos bancarios. Las sucesiones se aplican cuando aprendemos a multiplicar o en programación para el diseño de videojuegos, por ejemplo.
¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?
Una sucesión es una secuencia ordenada de números o elementos que obedecen a un patrón o regla de formación particular. Por ejemplo, veamos la siguiente sucesión:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 …
En este caso, la sucesión está formada por números ordenados que reconocemos como cifras pares. Los puntos suspensivos al final nos indican que la sucesión es infinita.
Nota que cada número es 2 unidades superior al anterior, por lo tanto, el patrón de la sucesión consta de sumar 2.
¿Sabías qué?
Los elementos de una sucesión se llaman “terminos”.
Si denominamos a1 al primer término de la sucesión, a2 al segundo término, a3 al tercer término, y así sucesivamente, podemos determinar la regla de sucesión que sigue hasta el enésimo valor que llamaremos an. Los subíndices indican el lugar que ocupa cada elemento en la sucesión.
Observa que:
a1 = 2
a2 = 4
a3 = 6
a4 = 8
an = 2n
A partir de este análisis podemos obtener el término general de la sucesión:
an = 2n
Donde n es cualquier número entero. Por ejemplo, si n = 5, el quinto término de la sucesión es:
a5 = 2 × 5 = 10
Los término a20 y a25 de esta misma sucesión son los siguientes:
a20 = 2 × 20 = 40
a25 = 2 × 25 = 50
¿Qué es el término general de la sucesión?
Es el término que ocupa el enésimo lugar en la sucesión. Se escribe con la letra que denota la sucesión y el subíndice n. Por ejemplo, an.
Leonardo Pisa dio a conocer el uso de las sucesiones de Fibonacci en la solución de problemas (aunque ya se las usaban muchos años atrás). La espiral de Fibonacci, se construye trazando arcos circulares entre dos diagonales de cuadrados adosados, cuyos lados equivalen a los términos de la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…
Existen varias maneras de clasificar las sucesiones, por ejemplo, podemos decir que las sucesiones pueden ser finitas, o infinitas. Sin embargo, también podemos clasificarlas de acuerdo a la diferencia o a la razón entre sus términos. En estos casos hablamos de sucesiones aritméticas y geométricas.
Sucesiones aritméticas
Son aquellas en las que cada término, con excepción del primero, tiene una diferencia con el término anterior en una cantidad constante. Por ejemplo:
20.000, 22.000, 24.000, 26.000, ..
Esta es una sucesión aritmética porque la diferencia entre un término y el siguiente es la misma en cada caso, es decir, la diferencia es constante.
A esta diferencia, denominada diferencia común y representada como d, la podemos obtener por medio de una resta entre cualquier término y su término anterior. Para la sucesión antes señalada la diferencia común d es:
d = 22.000 − 20.000 = 2.000
d = 24.000 − 22.000 = 2.000
d = 26.000 − 24.000 = 2.000
Observa que sin importar el término que elijas la diferencia siempre será la misma.
– Otro ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
5, 1, −3, −7, −11, −15, …
La diferencia común d = −4 porque:
d = 1 − 5 = −4
d = −3 − 1 = −4
d = −15 − (−11) = −4
¡Es tu turno!
Observa estas sucesiones aritméticas, ¿cuál es la diferencia común d?
−15, −12, −9, −6, −3, 0, 3, …
Solución
d = 3
230, 345, 460, 575, 690, 805, …
Solución
d = 115
Término enésimo de una sucesión aritmética
El término enésimo de una sucesión aritmética con un primer término a1 y una diferencia común d es el siguiente:
an = a1 + d(n − 1)
– Ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
−3, −1, 1, 3, 5, …
La diferencia común d = 2 porque:
d = −1 − (−3)
d = 2
Por lo tanto, si a1 = −3 y d = 2, el término enésimo de la sucesión es:
an = a1 + d(n −1)
an = −3 + 2(n − 1)
an = −3 + (2n − 2)
an = −3 + 2n − 2
an = 2n − 5
Entonces, si queremo determinar a10, a12 y a15 solo aplicamos:
a10 = 2n − 5 = 2 (10) − 5 = 20 − 5
a10 =15
a12 = 2n − 5 = 2 (12) − 5 = 24 − 5
a12 = 19
a15 = 2n − 5 = 2 (15) − 5 = 30 − 5
a15 = 25
Podemos considerar los ahorros como una sucesión aritmética. Por ejemplo, si tenemos $ 10 ahorrados y cada mes le sumamos $ 2, los primeros cuatro meses podríamos representarlos como: 10, 12, 14, 16, … Entonces, si a1 = 10 y la diferencia común d = 2, el término enésimo de esta sucesión sería: an = 8 + 2n. Calcula cuánto podemos ahorrar de esta manera en 6 meses.
Sucesiones geométricas
Son aquellas en las que cada término (excepto el primero) es múltiplo del término anterior de la sucesión. El cociente entre cualquier término y su precedente es constante. Por ejemplo:
20.000, 30.000, 45.000, 67.500, 101.250, …
Esta es una sucesión geométrica porque el cociente de la división entre cualquier término y su anterior es el mismo en cada caso.
Este cociente es igual al múltiplo común entre términos y se llama razón común (r). Se obtiene al dividir un término con el que le precede. Para esta sucesión la razón común se determina así:
r = 30.000 ÷ 20.000 = 1,5
r = 45.000 ÷ 30.000 = 1,5
r = 101.250 ÷ 67.500 = 1,5
Observa que sin importar el término que elijas la razón común es la misma: 1,5.
– Otro ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
3, 12, 48, 192, 768, 3.072, …
La razón común es 4 porque:
r = 12 ÷ 3 = 4
r = 48 ÷ 12 = 4
r = 768 ÷ 192 = 4
¡Es tu turno!
Observa estas sucesiones geométricas, ¿cuál es la razón común?
5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, …
Solución
r = 2
−18, 54, −162, 486, −1.458, …
Solución
r = −3
Término enésimo de una sucesión geométrica
El término enésimo de una sucesión geométrica con un primer término a1 y una razón común r es el siguiente:
an = a1(rn − 1)
– Ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
3, −6, 12, −24, 48, −96, …
La razón común r = −2 porque:
r = −6 ÷ 3 = −2
r = −24 ÷ 12 = −2
r = −96 ÷ 48 = −2
Por lo tanto, si a1 = 3 y r = −2, el término enésimo de la sucesión es:
an = a1(rn − 1)
an = 3(−2n − 1)
Entonces, si queremos determinar a8, a10 y a12 solo aplicamos:
La división celular es un ejemplo de sucesión geométrica, ya que si por ejemplo, partimos de una célula (a1 = 1), durante el proceso de meiosis esta se divide y obtenemos dos células nuevas (a2 = 2). Luego, estas dos células a su vez se dividen y se tienen 4 células más (a3 = 4). La razón de progresión r = 2 y an = 2n − 1.
Resolvamos unos problemas
1. Marcos comenzó un trabajo y su pago inicial fue de $ 15.000. Se le prometió un aumento de $ 1.500 después de cada año. ¿Cuál será su salario en el séptimo año de trabajo? ¿y en el décimo año?
Datos
Salario inicial = a1= $ 15.000
Aumento anual = d = $ 1.500
Reflexiona
Su salario después de los primeros años es: 15.000, 16.500, 18.000, 19.500 … Ya que se suma una cantidad constante, esta es una sucesión aritmética. El término general enésimo de una sucesión aritmética es an = a1 + d(n − 1). Donde a1 = 15.000. Tenemos que calcular la diferencia común, luego el término enésimo y finalmente a7 y a10.
Calcula
– Diferencia común, d
d = 16.500 − 15.000 = 1.500
– Término enésimo
an = a1 + d(n − 1)
an = 15.000 + 1.500(n − 1)
an = 15.000 + 1.500n − 1.500
an = 13.500 + 1.500n
– Términos a7 y a10
a7 = 13.500 + 1.500(7)
a7 = 13.500 + 10.500
a7 = 24.000
a10 = 13.500 + 1.500(10)
a10 = 13.500 + 15.000
a10 = 28.500
Responde
En su séptimo año Marcos tendrá un salario de $ 24.000.
En su décimo año Marcos tendrá un salario de $ 28.500.
2. Un auditorio tiene 15 asientos en la primera fila. Cada fila sucesiva tiene tres asientos más que el anterior. ¿Cuántos asientos hay en las primeras diez filas?
Datos
Asientos en la primera fila = a1 = 15
Diferencia con las demás filas = d = 3 asientos
Reflexiona
Como cada fila tiene 3 asientos más que la anterior se trata de una sucesión aritmética. Primero calculamos el término enésimo y luego determinamos los primeros diez términos.
Calcula
– Término enésimo
an = a1 + d(n − 1)
an = 15 + 3(n − 1)
an = 15 + 3n − 3
an = 12 + 3n
– Primeros diez términos
a1 = 12 + 3(1) = 12 + 3 = 15
a2 = 12 + 3(2) = 12 + 6 = 18
a3 = 12 + 3(3) = 12 + 9 = 21
a4 = 12 + 3(4) = 12 + 12 = 24
a5 = 12 + 3(5) = 12 + 15 = 27
a6 = 12 + 3(6) = 12 + 18 = 30
a7 = 12 + 3(7) = 12 + 21 = 33
a8 = 12 + 3(8) = 12 + 24 = 36
a9 = 12 + 3(9) = 12 + 27 = 39
a10 = 12 + 3(10) = 12 + 30 = 32
Responde
La cantidad de asientos en cada fila sigue este orden: 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 32.
3. José tiene una alcancía. Si el día 1 sacó $ 1, el día 2 sacó $ 2, el día 3 sacó $ 4, el día 4 sacó $ 8, y así sucesivamente, ¿cuánto dinero sacó después de 30 días?
Datos
Dinero sacado el día 1 = a1 = $ 1
Dinero sacado el día 2 = a2 = $ 2
Dinero sacado el día 3 = a3 = $ 4
Dinero sacado el día 4 = a4 = $ 8
Reflexiona
Como la cantidad de dinero sacado se multiplica cada día, se trata de una sucesión geométrica. Por lo tanto, a partir de la fórmula general del término enésimo (an = a1(rn − 1)) podremos saber el dinero sacado a los 30 días. Nota que a1 = 1 y r = 2.
Calcula
an = a1(rn − 1)
a30 = 1(230 − 1)
a30 = 1(229)
a30 = 536.870.912
Responde
José sacó $ 536.870.912.
Las sucesiones también pueden clasificarse como progresivas o ascendentes; o regresivas o descendentes. Las primeras son aquellas que van de menor a mayor, mientras que las segundas son las que van de mayor a menor. Un ejemplo de estas sucesiones podemos verlo en el orden en el que enumeran los asientos de un estadio.
¡A practicar!
Observa las siguientes sucesiones.
Indica si la sucesión es aritmética o geométrica.
Encuentra el término enésimo.
Determina a12 en cada caso.
20, 19,3, 18,6, 17,9, …
Solución
a.
Es una sucesión aritmética.
b.
Si d = −0,7 y a1 = 20 el término enésimo es:
an = a1 + d(n − 1)
an = 20 + 0,7(n − 1)
an = 20 + (0,7n − 0,7)
an = 20 − 0,7n + 0,7
an = 20,7 − 0,7n
c.
a12 = 20,7 − 0,7 (12) = 20,7 − 8,4
a12= 12,3
4, 2, 1, 0,5, 0,25, …
Solución
a.
Es una sucesión geométrica.
b.
Si a1 = 4 y r = 0,5 el término enésimo es:
an = a1(rn − 1)
an = 4(0,5n − 1)
c.
a12 = 4(0,512 − 1) = 4 (0,513)
a12 = 4,8 × 10−5
13, 23, 33, 43, 53, 63, …
Solución
a.
Es una sucesión aritmética.
b.
Si a1 = 13 y d = 10 el término enésimo es:
an = a1 + d(n − 1)
an = 13 + 10(n − 1)
an = 13 + 10n − 10
an = 3 + 10n
c.
a12 = 3 + 10(12) = 3 + 120
a12 = 123
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Sucesiones”
En el siguiente artículo encontrarás ejemplos relacionados con sucesiones aritméticas. Adicionalmente, el artículo describe algunos tipos de sucesiones.
La adición es una de las cuatro operaciones básicas que utilizamos de forma habitual y se caracteriza porque nos permite añadir una cantidad a otra. Los términos de la adición son los sumandos y la suma. Para resolver adiciones usamos el algoritmo de la suma que consiste ordenar los sumando de manera que las unidades de mil, las centenas, las decenas y las unidades se encuentren en una misma columna. Si la suma de una columna es un número de dos cifras (mayor a 9), se coloca el valor de la segunda cifra y el valor de la primera se suma al resultado de la siguiente columna a la izquierda. Esta operación cumple varias propiedades como la conmutativa, la asociativa y la del elemento neutro.
La propiedad conmutativa explica que no importa cómo ordenemos los sumandos, el resultado es siempre el mismo.
SUSTRACCIÓN
La sustracción es una operación matemática que consiste en quitar o restar una cantidad a otra para determinar la diferencia. Esta operación es inversa a la suma y está formada por el minuendo, elsustraendo y la diferencia. El minuendo es la cantidad a la que se le va a restar, el sustraendo es la cantidad que se resta y la diferencia es el resultado de la sustracción. En la sustracciones los números se agrupan en columnas al igual que en la adición. Si el minuendo es mayor al sustraendo restamos de forma convencional. En caso contrario, debemos desagrupar la cifra de la columna siguiente y canjear un valor posicional.
Una forma de comprobar una sustracción es sumar el sustraendo y la diferencia, el resultado debe ser igual al minuendo.
OPERACIONES COMBINADAS
Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen varias cálculos aritméticos. Para este tipo de problemas resolvemos primero las operaciones que están entre paréntesis y luego resolvemos las operaciones en el orden que aparecen de izquierda a derecha. En caso de que la operación combinada no tenga paréntesis resolvemos de acuerdo al orden que aparecen los términos de izquierda a derecha.
Los cálculos mentales permiten resolver operaciones sin usar herramientas como un lápiz, una hoja o una calculadora.
multiplicación
La multiplicación es sumar un mismo números tantas veces como indique otro. Por esta razón, esta operación se encuentra estrechamente relacionada con la adición. De hecho, toda adición iterada (adición que posee todos sus sumandos iguales) puede ser representada a través de la multiplicación. Su elementos principales son los factores y el producto. Los primeros son los números que se multiplican y el segundo corresponde al resultado. Para multiplicaciones de una cifra se ordenan los factores de forma vertical, se multiplica la unidad del segundo factor por la unidad del primero y luego se anota el resultado en la parte inferior, después se multiplica la unidad del segundo factor por la decena del primero y se anota el resultado.
Al multiplicar un número por la unidad seguida de cero se añade a la derecha de este la misma cantidad de ceros que acompañen a la unidad.
división
La división es una operación matemática que consiste en realizar reparticiones equitativas o formar grupos con la misma cantidad de elementos. Es una operación inversa a la multiplicación y puede considerarse una sustracción sucesiva. Los elementos de la división son el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo o resto. El dividendo es la cantidad que se va a repartir, el divisor es la cantidad en la que se va a dividir, el cociente es el resultado y el residuo o resto es la parte que no se puede dividir. Para resolver divisiones buscamos un número que al ser multiplicado por el divisor sea igual o cercano al valor del dividendo.
Cada vez que compartimos alimentos hacemos una división, por ejemplo, esta pizza se dividió en 6 porciones, lo que es igual a 1 ÷ 6.
Existen diversas formas de representar los datos con la finalidad de que su análisis y comprensión sea más fácil. Los gráficos y tablas son usados en diversas áreas y como recurso visual son de gran importancia. Los pictogramas permiten una comprensión más rápida de los datos porque emplean imágenes y símbolos. Las tablas son otro recurso que agrupa y ordena los datos en filas y columnas, y generalmente los ordena en función de los datos cualitativos y cuantitativos que se estudien. Finalmente, los gráficos de barra asocian el valor de los datos a columnas que se encuentran, a su vez, relacionadas a una escala.
Los gráficos como recurso visual permiten interpretar de forma rápida un conjunto de datos.
Interpretación de datos
Los datos por sí solos no tienen ningún valor si no se interpretan, pero antes de hacerlo hay que recopilarlos. La encuesta es una manera de obtener datos a través de un cuestionario prediseñado que es aplicado a un grupo de personas. El promedio aritmético o media aritmética corresponde al valor promedio de un conjunto de datos, y se obtiene al dividir la suma de todos los datos entre el número de datos. La moda, por su parte, es el dato que más se repite. Las tablas de doble entrada son una herramienta útil para entender las combinaciones posibles de un problema.
Los datos obtenidos en una encuesta se suelen representar en gráficos y tablas para su análisis.
Probabilidad
A los eventos que se pueden predecir y cuyo resultado se conoce con anterioridad se los conoce como sucesos deterministas o seguros. También hay eventos en los que el resultado no se conoce con certeza porque ocurre al azar. Es en este tipo de experimentos aleatorios donde más se concentra la probabilidad, la cual estudia la posibilidad de que un evento ocurra o no. Estos eventos pueden ser de varios tipos: mutuamente excluyentes cuando es imposible que ocurran de manera simultánea con otros; independientes cuando no se ven influenciados por la ocurrencia de otros eventos; y dependientes si se ven afectados por la ocurrencia de otros.
Los eventos aleatorios se caracterizan porque su resultado no se puede predecir.
La recopilación e interpretación de datos son aspectos claves de toda investigación. La estadística es la ciencia encargada de este proceso: reúne información concerniente a individuos o grupos, organiza dichos datos y los analiza e interpreta. Este análisis permite tomar decisiones y realizar predicciones útiles.
La encuesta
Una encuesta es una técnica que consiste en recopilar datos por medio de un cuestionario, el cual tiene preguntas prediseñadas. La encuesta se emplea al momento de estudiar un fenómeno, pues los datos obtenidos se suelen representar en gráficos o tablas para su interpretación.
Por lo general, la encuesta se aplica a una muestra de la población. Por ejemplo, imagina que quieres realizar una encuesta sobre el programa de televisión más visto en un país. Lo ideal sería que la encuesta fuera respondida por todas las personas de ese país, pero eso resulta casi imposible. Por esta razón, se toma una muestra de esa población que consiste en una porción más pequeña de personas para aplicar la encuesta. Así los datos obtenidos son una aproximación muy cercana a toda la población y su recopilación es mucho más fácil.
– Ejemplo:
La maestra preguntó a sus estudiante si preferían viajar a la playa o a la montaña y estos fueron los resultados que obtuvo:
Nombre
Lugar preferido
María
Playa
Mónica
Playa
Samuel
Montaña
Alfredo
Playa
Ricardo
Montaña
Melina
Montaña
Pablo
Playa
Rubén
Playa
Araceli
Playa
Sergio
Montaña
De la tabla se observa que 6 estudiantes prefieren ir a la playa y 4 prefieren ir a la montaña. De manera que hay más estudiantes que prefieren la playa.
Importancia de las encuestas
Las encuestas son más usadas de lo que se piensas y las áreas que las aplican no se limitan a la estadística. La medicina, la sociología y la psicología son algunos de los campos en donde se hace uso de encuestas para recopilar información.
Promedio aritmético
Se denomina así porque corresponde al valor promedio de los datos. Es el resultado de sumar todos los datos que tenemos y luego dividirlos entre el número de datos.
– Ejemplo:
La maestra le preguntó a los niños cuántas mascotas tenían en sus casas y obtuvo los siguientes resultados:
Nombre
Número de mascotas
María
2
Mónica
2
Samuel
3
Alfredo
1
Ricardo
1
Melina
2
Pablo
1
Rubén
2
Araceli
2
Sergio
4
Para calcular el promedio de mascotas que tienen los estudiantes se cumple la siguiente fórmula:
En este caso, si sumamos todos los datos obtenemos lo siguiente:
El número de datos es igual a 10 (es el número de estudiantes en este caso).
Al sustituir en la fórmula se obtiene:
De esta manera, el promedio aritmético es 2, lo que nos indica que la mayoría de los estudiantes tienen como mínimo 2 mascotas.
¿Sabías qué?
En la estadística es más común hablar de media aritmética y no de promedio aritmético.
Uno de los cálculos usados a menudo en las empresas es el promedio. Aunque no siempre indica el valor real, permite por ejemplo, realizar estimaciones de las producciones por día, estimaciones de costos y proyecciones a futuro. Es importante tener presente que existen varios tipos de promedio además del aritmético y se emplean en otras situaciones.
Moda
Corresponde al valor del dato que más se repite. En el caso del ejemplo anterior la moda es 2 porque se repite más veces (5 veces):
Nombre
Número de mascotas
María
2
Mónica
2
Samuel
3
Alfredo
1
Ricardo
1
Melina
2
Pablo
1
Rubén
2
Araceli
2
Sergio
4
¿Sabías qué?
La media, la moda y la mediana son denominadas medidas de tendencia central.
Combinaciones
Para realizar combinaciones de datos se suelen emplear tablas de doble entrada, conocidas también como cuadros de doble entrada, que permiten de forma gráfica registrar la información y sacar conclusiones.
Por ejemplo, un equipo de voleibol quiere saber cuál color usar en su logo, uniforme y balón oficial. Para ello la mayoría decidió que los colores deberían ser rojo, naranja o amarillo. Al completar la tabla de doble entrada obtuvieron los siguientes resultados:
El equipo tiene en total 9 posibilidades para elegir porque en la tabla son 3 colores y 3 objetos:
Si analizamos la tabla verticalmente observamos que por cada columna está el mismo objeto pero de diferente color. Si analizamos la tabla horizontalmente observamos diferentes objetos pero con el mismo color.
Los datos en una investigación
Antes de lanzar al mercado un nuevo producto o de aprobar una vacuna es necesario obtener datos que permitan interpretar si, por ejemplo, ese producto será comprado en las cantidades deseadas o si esa vacuna será segura para la salud. Por tal motivo, los datos que se recopilan juegan un papel fundamental en toda investigación, sin ellos no sería posible llegar a conclusiones o resultados. Su análisis es crucial en todas las áreas de la ciencia.
¡A practicar!
1. Se hizo una encuesta a unos músicos para saber cuántos instrumentos sabían tocar. Observa la siguiente tabla de resultado y responde las preguntas.
Nombre
Número de instrumentos que sabe tocar
Carolina
3
Ezequiel
3
Francisco
5
Sofía
3
Victoria
4
Verónica
6
Diego
7
Luis
3
Tania
2
Andrés
4
a) ¿Cuál es el promedio aritmético?
Solución
4
b) ¿Cuál es la moda?
Solución
3
c) ¿Quién sabe tocar más instrumentos?
Solución
Diego
d) ¿Quién sabe tocar menos instrumentos?
Solución
Tania
2. Observa la siguiente tabla de doble entrada. ¿Cuántas combinaciones posibles observas?
Solución
4
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Instrumentos de medición”
Este artículo explica los principales instrumentos de medición usados en la estadística para recopilar datos como la encuesta y la entrevista.
Este artículo explica las medidas de tendencia central como la moda, media aritmética y la mediana, que permiten analizar un conjunto de datos y conocer la manera en la que se encuentra distribuidos.
