Las sucesiones son secuencias ordenadas de términos que siguen una determinada regla de recurrencia o patrón. Estas pueden ser aritméticas o geométricas. Las aritméticas tienen una diferencia con el término anterior en una cantidad constante, por ejemplo, 2, 4, 6, 8,… En cambio, en las geométricas cada término (excepto el primero) es múltiplo del término anterior de la sucesión, por ejemplo, 2, 4, 8, 16, 32,… Las sucesiones se utilizan en las matemáticas, en entidades financieras, en ciencias naturales, en informática y hasta en el arte.
La espiral de Fibonacci se trata de una espiral áurea que podemos construir a partir de los números contenidos en la sucesión de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13,…
LA RECTA NUMÉRICA
La recta numérica es una representación gráfica unidimensional que nos permite ubicar los números reales (), lo cual resulta de gran utilidad para comparar valores o indicar soluciones de intervalos en las inecuaciones. Se caracteriza por poseer el cero centrado y se considera el origen de la recta; hacia la izquierda se ubican los números negativos y a la derecha los positivos. Entre dos números, será mayor el que esté más a la derecha. Existen métodos para representar con precisión algunos números radicales sobre la recta.
Las reglas graduadas son un ejemplo de rectas numéricas. En estas vemos las divisiones de las unidades enteras que equivalen a las décimas.
PLANO CARTESIANO
Es un sistema de representación bidimensional muy utilizado en matemática y otras áreas para la ubicación de puntos en el plano. Su nombre se debe al filósofo y matemático René Descartes, quien propuso su aplicación en el siglo XVII como una base del sistema de coordenadas rectangulares. Está formado por un eje horizontal denominado eje de las abscisas, que tradicionalmente denotamos con la letra x; y un eje vertical llamado eje de las ordenadas, que por lo general representamos con la letra y. Cada eje se comporta como una recta numérica que se prolonga hasta el infinito.
Por lo general, lo mapas contienen ejes de coordenadas que asemejan el plano cartesiano. Las unión de dos coordenadas dan la ubicación de un punto.
FUNCIONES
Son expresiones matemáticas que indican una relación de correspondencia entre un conjunto de partida y un conjunto de llegada. Para que una relación sea considerada función, debe cumplirse que cada elemento del dominio tenga una sola imagen en el conjunto de llegada. Las funciones pueden ser inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.
Las funciones también se pueden clasificar de acuerdo con los operadores que contienen sus términos y estas pueden ser polinómicas, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, entre otras.
FUNCIÓN LINEAL
La función lineal es un tipo de funciónpolinómica cuyo mayor grado de exponente es 1. Su representación gráfica es una línea recta que puede ser descrita a partir de la ecuación explícita: y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es su ordenada al origen. Si conocemos la función de la recta podemos graficarla por medio una tabla de valores que cumpla con las soluciones de la función.
Estas gráficas representan dos funciones lineales. Las que no pasan por el origen se llaman funciones afines. Con dos puntos como mínimo se puede construir la recta.
PROPORCIONES
Las proporciones son una medida que relaciona a dos razones mediante una constante. El cociente que resulta de dividir una razón de proporción se conoce como constante de proporcionalidad. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una cantidad, la otra también aumenta; o si al disminuir una cantidad, la otra también disminuye. En cambio, dos magnitudes son inversamente proporcionales si al incrementar el valor de una, el valor de la otra disminuye; o si al disminuir el valor de una, la otra aumenta.
La cantidad de productos que compramos son directamente proporcionales con el precio, ya que a medida que más compramos más dinero pagamos.
Las sucesiones son series de números con un orden establecido llamado patrón. Algunas tienen un patrón en el que se suman o restan cantidades constantes, mientras que en otras el patrón se forma por medio de la multiplicación o división de cantidades constantes. Hoy aprenderemos cómo se llaman estos tipos de sucesiones y cómo calcular sus términos generales.
Las sucesiones forman parte de nuestra vida cotidiana. Incluso desde muy temprana edad ya están presentes de manera implícita en actividades que van desde aprender a contar hasta el cálculo de intereses compuestos de créditos bancarios. Las sucesiones se aplican cuando aprendemos a multiplicar o en programación para el diseño de videojuegos, por ejemplo.
¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?
Una sucesión es una secuencia ordenada de números o elementos que obedecen a un patrón o regla de formación particular. Por ejemplo, veamos la siguiente sucesión:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 …
En este caso, la sucesión está formada por números ordenados que reconocemos como cifras pares. Los puntos suspensivos al final nos indican que la sucesión es infinita.
Nota que cada número es 2 unidades superior al anterior, por lo tanto, el patrón de la sucesión consta de sumar 2.
¿Sabías qué?
Los elementos de una sucesión se llaman “terminos”.
Si denominamos a1 al primer término de la sucesión, a2 al segundo término, a3 al tercer término, y así sucesivamente, podemos determinar la regla de sucesión que sigue hasta el enésimo valor que llamaremos an. Los subíndices indican el lugar que ocupa cada elemento en la sucesión.
Observa que:
a1 = 2
a2 = 4
a3 = 6
a4 = 8
an = 2n
A partir de este análisis podemos obtener el término general de la sucesión:
an = 2n
Donde n es cualquier número entero. Por ejemplo, si n = 5, el quinto término de la sucesión es:
a5 = 2 × 5 = 10
Los término a20 y a25 de esta misma sucesión son los siguientes:
a20 = 2 × 20 = 40
a25 = 2 × 25 = 50
¿Qué es el término general de la sucesión?
Es el término que ocupa el enésimo lugar en la sucesión. Se escribe con la letra que denota la sucesión y el subíndice n. Por ejemplo, an.
Leonardo Pisa dio a conocer el uso de las sucesiones de Fibonacci en la solución de problemas (aunque ya se las usaban muchos años atrás). La espiral de Fibonacci, se construye trazando arcos circulares entre dos diagonales de cuadrados adosados, cuyos lados equivalen a los términos de la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…
Existen varias maneras de clasificar las sucesiones, por ejemplo, podemos decir que las sucesiones pueden ser finitas, o infinitas. Sin embargo, también podemos clasificarlas de acuerdo a la diferencia o a la razón entre sus términos. En estos casos hablamos de sucesiones aritméticas y geométricas.
Sucesiones aritméticas
Son aquellas en las que cada término, con excepción del primero, tiene una diferencia con el término anterior en una cantidad constante. Por ejemplo:
20.000, 22.000, 24.000, 26.000, ..
Esta es una sucesión aritmética porque la diferencia entre un término y el siguiente es la misma en cada caso, es decir, la diferencia es constante.
A esta diferencia, denominada diferencia común y representada como d, la podemos obtener por medio de una resta entre cualquier término y su término anterior. Para la sucesión antes señalada la diferencia común d es:
d = 22.000 − 20.000 = 2.000
d = 24.000 − 22.000 = 2.000
d = 26.000 − 24.000 = 2.000
Observa que sin importar el término que elijas la diferencia siempre será la misma.
– Otro ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
5, 1, −3, −7, −11, −15, …
La diferencia común d = −4 porque:
d = 1 − 5 = −4
d = −3 − 1 = −4
d = −15 − (−11) = −4
¡Es tu turno!
Observa estas sucesiones aritméticas, ¿cuál es la diferencia común d?
−15, −12, −9, −6, −3, 0, 3, …
Solución
d = 3
230, 345, 460, 575, 690, 805, …
Solución
d = 115
Término enésimo de una sucesión aritmética
El término enésimo de una sucesión aritmética con un primer término a1 y una diferencia común d es el siguiente:
an = a1 + d(n − 1)
– Ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
−3, −1, 1, 3, 5, …
La diferencia común d = 2 porque:
d = −1 − (−3)
d = 2
Por lo tanto, si a1 = −3 y d = 2, el término enésimo de la sucesión es:
an = a1 + d(n −1)
an = −3 + 2(n − 1)
an = −3 + (2n − 2)
an = −3 + 2n − 2
an = 2n − 5
Entonces, si queremo determinar a10, a12 y a15 solo aplicamos:
a10 = 2n − 5 = 2 (10) − 5 = 20 − 5
a10 =15
a12 = 2n − 5 = 2 (12) − 5 = 24 − 5
a12 = 19
a15 = 2n − 5 = 2 (15) − 5 = 30 − 5
a15 = 25
Podemos considerar los ahorros como una sucesión aritmética. Por ejemplo, si tenemos $ 10 ahorrados y cada mes le sumamos $ 2, los primeros cuatro meses podríamos representarlos como: 10, 12, 14, 16, … Entonces, si a1 = 10 y la diferencia común d = 2, el término enésimo de esta sucesión sería: an = 8 + 2n. Calcula cuánto podemos ahorrar de esta manera en 6 meses.
Sucesiones geométricas
Son aquellas en las que cada término (excepto el primero) es múltiplo del término anterior de la sucesión. El cociente entre cualquier término y su precedente es constante. Por ejemplo:
20.000, 30.000, 45.000, 67.500, 101.250, …
Esta es una sucesión geométrica porque el cociente de la división entre cualquier término y su anterior es el mismo en cada caso.
Este cociente es igual al múltiplo común entre términos y se llama razón común (r). Se obtiene al dividir un término con el que le precede. Para esta sucesión la razón común se determina así:
r = 30.000 ÷ 20.000 = 1,5
r = 45.000 ÷ 30.000 = 1,5
r = 101.250 ÷ 67.500 = 1,5
Observa que sin importar el término que elijas la razón común es la misma: 1,5.
– Otro ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
3, 12, 48, 192, 768, 3.072, …
La razón común es 4 porque:
r = 12 ÷ 3 = 4
r = 48 ÷ 12 = 4
r = 768 ÷ 192 = 4
¡Es tu turno!
Observa estas sucesiones geométricas, ¿cuál es la razón común?
5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, …
Solución
r = 2
−18, 54, −162, 486, −1.458, …
Solución
r = −3
Término enésimo de una sucesión geométrica
El término enésimo de una sucesión geométrica con un primer término a1 y una razón común r es el siguiente:
an = a1(rn − 1)
– Ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
3, −6, 12, −24, 48, −96, …
La razón común r = −2 porque:
r = −6 ÷ 3 = −2
r = −24 ÷ 12 = −2
r = −96 ÷ 48 = −2
Por lo tanto, si a1 = 3 y r = −2, el término enésimo de la sucesión es:
an = a1(rn − 1)
an = 3(−2n − 1)
Entonces, si queremos determinar a8, a10 y a12 solo aplicamos:
La división celular es un ejemplo de sucesión geométrica, ya que si por ejemplo, partimos de una célula (a1 = 1), durante el proceso de meiosis esta se divide y obtenemos dos células nuevas (a2 = 2). Luego, estas dos células a su vez se dividen y se tienen 4 células más (a3 = 4). La razón de progresión r = 2 y an = 2n − 1.
Resolvamos unos problemas
1. Marcos comenzó un trabajo y su pago inicial fue de $ 15.000. Se le prometió un aumento de $ 1.500 después de cada año. ¿Cuál será su salario en el séptimo año de trabajo? ¿y en el décimo año?
Datos
Salario inicial = a1= $ 15.000
Aumento anual = d = $ 1.500
Reflexiona
Su salario después de los primeros años es: 15.000, 16.500, 18.000, 19.500 … Ya que se suma una cantidad constante, esta es una sucesión aritmética. El término general enésimo de una sucesión aritmética es an = a1 + d(n − 1). Donde a1 = 15.000. Tenemos que calcular la diferencia común, luego el término enésimo y finalmente a7 y a10.
Calcula
– Diferencia común, d
d = 16.500 − 15.000 = 1.500
– Término enésimo
an = a1 + d(n − 1)
an = 15.000 + 1.500(n − 1)
an = 15.000 + 1.500n − 1.500
an = 13.500 + 1.500n
– Términos a7 y a10
a7 = 13.500 + 1.500(7)
a7 = 13.500 + 10.500
a7 = 24.000
a10 = 13.500 + 1.500(10)
a10 = 13.500 + 15.000
a10 = 28.500
Responde
En su séptimo año Marcos tendrá un salario de $ 24.000.
En su décimo año Marcos tendrá un salario de $ 28.500.
2. Un auditorio tiene 15 asientos en la primera fila. Cada fila sucesiva tiene tres asientos más que el anterior. ¿Cuántos asientos hay en las primeras diez filas?
Datos
Asientos en la primera fila = a1 = 15
Diferencia con las demás filas = d = 3 asientos
Reflexiona
Como cada fila tiene 3 asientos más que la anterior se trata de una sucesión aritmética. Primero calculamos el término enésimo y luego determinamos los primeros diez términos.
Calcula
– Término enésimo
an = a1 + d(n − 1)
an = 15 + 3(n − 1)
an = 15 + 3n − 3
an = 12 + 3n
– Primeros diez términos
a1 = 12 + 3(1) = 12 + 3 = 15
a2 = 12 + 3(2) = 12 + 6 = 18
a3 = 12 + 3(3) = 12 + 9 = 21
a4 = 12 + 3(4) = 12 + 12 = 24
a5 = 12 + 3(5) = 12 + 15 = 27
a6 = 12 + 3(6) = 12 + 18 = 30
a7 = 12 + 3(7) = 12 + 21 = 33
a8 = 12 + 3(8) = 12 + 24 = 36
a9 = 12 + 3(9) = 12 + 27 = 39
a10 = 12 + 3(10) = 12 + 30 = 32
Responde
La cantidad de asientos en cada fila sigue este orden: 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 32.
3. José tiene una alcancía. Si el día 1 sacó $ 1, el día 2 sacó $ 2, el día 3 sacó $ 4, el día 4 sacó $ 8, y así sucesivamente, ¿cuánto dinero sacó después de 30 días?
Datos
Dinero sacado el día 1 = a1 = $ 1
Dinero sacado el día 2 = a2 = $ 2
Dinero sacado el día 3 = a3 = $ 4
Dinero sacado el día 4 = a4 = $ 8
Reflexiona
Como la cantidad de dinero sacado se multiplica cada día, se trata de una sucesión geométrica. Por lo tanto, a partir de la fórmula general del término enésimo (an = a1(rn − 1)) podremos saber el dinero sacado a los 30 días. Nota que a1 = 1 y r = 2.
Calcula
an = a1(rn − 1)
a30 = 1(230 − 1)
a30 = 1(229)
a30 = 536.870.912
Responde
José sacó $ 536.870.912.
Las sucesiones también pueden clasificarse como progresivas o ascendentes; o regresivas o descendentes. Las primeras son aquellas que van de menor a mayor, mientras que las segundas son las que van de mayor a menor. Un ejemplo de estas sucesiones podemos verlo en el orden en el que enumeran los asientos de un estadio.
¡A practicar!
Observa las siguientes sucesiones.
Indica si la sucesión es aritmética o geométrica.
Encuentra el término enésimo.
Determina a12 en cada caso.
20, 19,3, 18,6, 17,9, …
Solución
a.
Es una sucesión aritmética.
b.
Si d = −0,7 y a1 = 20 el término enésimo es:
an = a1 + d(n − 1)
an = 20 + 0,7(n − 1)
an = 20 + (0,7n − 0,7)
an = 20 − 0,7n + 0,7
an = 20,7 − 0,7n
c.
a12 = 20,7 − 0,7 (12) = 20,7 − 8,4
a12= 12,3
4, 2, 1, 0,5, 0,25, …
Solución
a.
Es una sucesión geométrica.
b.
Si a1 = 4 y r = 0,5 el término enésimo es:
an = a1(rn − 1)
an = 4(0,5n − 1)
c.
a12 = 4(0,512 − 1) = 4 (0,513)
a12 = 4,8 × 10−5
13, 23, 33, 43, 53, 63, …
Solución
a.
Es una sucesión aritmética.
b.
Si a1 = 13 y d = 10 el término enésimo es:
an = a1 + d(n − 1)
an = 13 + 10(n − 1)
an = 13 + 10n − 10
an = 3 + 10n
c.
a12 = 3 + 10(12) = 3 + 120
a12 = 123
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Sucesiones”
En el siguiente artículo encontrarás ejemplos relacionados con sucesiones aritméticas. Adicionalmente, el artículo describe algunos tipos de sucesiones.
CUANDO CONTAMOS NUESTROS JUGUETES O LÁPICES USAMOS LOS NÚMEROS NATURALES: 1, 2, 3, … PERO ¿QUÉ SUCEDE SI SOLO TENEMOS LA MITAD DE UN LÁPIZ? EN ESTOS CASOS USAMOS UN TIPO DE NÚMEROS LLAMADO FRACCIÓN. LAS FRACCIONES REPRESENTAN UNA PARTE DE UN ENTERO, ESTÁN FORMADAS POR DOS NÚMEROS NATURALES Y SON MÁS COMUNES DE LOS QUE CREES. ¡APRENDAMOS A GRAFICARLAS!
¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN?
UNA FRACCIÓN REPRESENTA LA PARTE DE UN TODO O DE UNA UNIDAD DIVIDIDA EN PARTES IGUALES.
UNA NARANJA ENTERA ES IGUAL A UNA UNIDAD O EL “TODO”. OBSERVA LA IMAGEN, ¿LA NARANJA ESTÁ ENTERA? ¡NO! ESTÁ PICADA A LA MITAD Y HAY DOS MITADES. SI COMEMOS UNA DE ESTAS PARTES, DECIMOS QUE COMIMOS “MEDIA NARANJA”. ESTO ES UN EJEMPLO DE FRACCIÓN PORQUE COMIMOS UNA PARTE DE UN TODO. PIENSA: ¿EN QUÉ OTRA OCASIÓN USAMOS FRACCIONES?
LA FRACCIÓN TIENE DOS ELEMENTOS SEPARADOS POR UNA RAYA: EL NÚMERO DE ARRIBA SE LLAMA NUMERADOR Y EL DE ABAJO SE LLAMA DENOMINADOR.
EL NUMERADOR ES IGUAL A LA CANTIDAD DE PARTES QUE SE HAN TOMADO DEL ENTERO.
EL DENOMINADOR ES IGUAL A LA CANTIDAD DE PARTES EN LAS QUE SE HA DIVIDIDO AL ENTERO.
TIPOS DE FRACCIONES
LAS FRACCIONES PUEDEN SER PROPIAS O IMPROPIAS.
LAS FRACCIONES PROPIAS TIENEN EL NUMERADOR MENOR AL DENOMINADOR.
POR EJEMPLO: , Y .
LAS FRACCIONES IMPROPIAS TIENEN EL NUMERADOR MAYOR AL DENOMINADOR.
POR EJEMPLO: , Y .
¿SABÍAS QUÉ?
LAS FRACCIONES TAMBIÉN SE PUEDEN EXPRESAR CON UNA DIAGONAL, POR EJEMPLO, ES IGUAL A 1/2.
¿CÓMO GRAFICAR FRACCIONES?
AL SER LAS PARTES DE UN TODO O UNIDAD, PODEMOS DIBUJAR FRACCIONES POR MEDIO DE GRÁFICOS CON FIGURAS GEOMÉTRICAS.
SI QUEREMOS GRAFICAR LA FRACCIÓN LOS PASOS SON LOS SIGUIENTES:
1. DIBUJAMOS CUALQUIER FIGURA GEOMÉTRICA. EN ESTE CASO DIBUJAMOS UN RECTÁNGULO.
2. VEMOS EL DENOMINADOR DE LA FRACCIÓN. EL DENOMINADOR DE LA FRACCIÓN ES 2, ASÍ QUE DIVIDIMOS EL RECTÁNGULO EN 2 PARTES IGUALES.
3. VEMOS EL NUMERADOR DE LA FRACCIÓN. EL NUMERADOR DE LA FRACCIÓN ES 1, ASÍ QUE COLOREAMOS UNA SOLA PARTE DEL RECTÁNGULO.
– OTRO EJEMPLO:
GRAFIQUEMOS LA FRACCIÓN .
PRIMERO DIBUJAMOS LA FIGURA GEOMÉTRICA QUE REPRESENTA AL “TODO”.
¿CUÁL ES EL DE DENOMINADOR? EL DENOMINADOR ES 4. ASÍ QUE DIVIDIMOS LA FIGURA EN 4 PARTES IGUALES.
¿CUÁL ES EL NUMERADOR? EL NUMERADOR ES 3. ENTONCES, COLOREAMOS 3 PARTES DE LA FIGURA.
¡ES TU TURNO!
REALIZA EL GRÁFICO DE ESTAS FRACCIONES:
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
LAS FRACCIONES SON UN TIPO ESPECIAL DE NÚMEROS Y SE LEEN DE UNA MANERA DIFERENTE A LOS DEMÁS. PRIMERO LEEMOS EL NUMERADOR COMO CUALQUIER NÚMERO NATURAL. EL DENOMINADOR CAMBIA SEGÚN EL NÚMERO, SI ES 2 SE LEE “MEDIOS”, SI ES 3 SE LEE “TERCIOS” Y SI ES 4 SE LEE “CUARTOS”. ASÍ, LA FRACCIÓN 1/2 SE LEE “UN MEDIO” Y LA FRACCIÓN 1/3 SE LEE “UN TERCIO”.
FRACCIONES EN LA VIDA COTIDIANA
LAS FRACCIONES FORMAN PARTE DE NUESTRO DÍA A DÍA. USAMOS FRACCIONES CADA VEZ QUE COMPRAMOS PAN, FRUTAS O VEGETALES, PUES PODEMOS PEDIR MEDIO KILOGRAMO DE ALGO. TAMBIÉN USAMOS FRACCIONES CUANDO DAMOS LA HORA Y DECIMOS, POR EJEMPLO, “SON LAS DOS Y CUARTO” LO QUE SIGNIFICA QUE HA PASADO 1/4 DE HORA DESPUÉS DE LAS 2.
– OTRAS SITUACIONES:
AL CORTAR UNA FRUTA EN DOS PARTES Y COMER UNA:
AL CORTAR UNA PIZZA EN 4 PARTES Y COMER 2:
AL COMPRAR PRODUCTOS: KILO DE HARINA.
AL REALIZAR UNA PARTE DE UN RECORRIDO. LAURA RECORRIÓ DE UNA CARRERA.
EN VARIAS SITUACIONES DE NUESTRA VIDA ENCONTRAMOS FRACCIONES DE FORMA GRÁFICA. UN EJEMPLO COMÚN DE FRACCIONES ES CUANDO REPARTIMOS UN PASTEL. EN LA IMAGEN VEMOS UNO CORTADO EN 8 PARTES IGUALES, ES DECIR, EL DENOMINADOR ES 8. TAMBIÉN VEMOS QUE SE TOMA 1 PARTE, ASÍ QUE EL NUMERADOR ES 1 Y LA FRACCIÓN DE ESE PEDAZO ES 1/8. LA TORTA TIENE FORMA DE CÍRCULO Y ES SIMILAR AL GRÁFICO DE LA FRACCIÓN.
¡A PRACTICAR!
ESCRIBE LA FRACCIÓN PARA CADA GRÁFICO:
SOLUCIÓN
PARTES EN LAS QUE SE DIVIDE AL ENTERO: 2
PARTES COLOREADAS: 1
FRACCIÓN:
SOLUCIÓN
PARTES EN LAS QUE SE DIVIDE AL ENTERO: 5
PARTES COLOREADAS: 1
FRACCIÓN:
SOLUCIÓN
PARTES EN LAS QUE SE DIVIDE AL ENTERO: 3
PARTES COLOREADAS: 2
FRACCIÓN:
SOLUCIÓN
PARTES EN LAS QUE SE DIVIDE AL ENTERO: 4
PARTES COLOREADAS: 3
FRACCIÓN:
SOLUCIÓN
PARTES EN LAS QUE SE DIVIDE AL ENTERO: 4
PARTES COLOREADAS: 2
FRACCIÓN:
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Fracciones”
Este recurso cuenta con ejemplos didáctico sobre los tipos de fracciones y cómo graficarlos.
El punto, la recta y el plano se denominan entes fundamentales de la geometría porque no tienen definición y su comprensión depende de comparaciones con elementos similares. El punto es adimensional y se nombra con letras mayúsculas del alfabeto. La recta está formada por infinitos puntos que se extienden en una misma dirección. Las rectas pueden ser paralelas, secantes o perpendiculares. El plano es un ente bidimensional, es decir, posee dos dimensiones y se suele nombrar con letras del alfabeto griego.
Un segmento es una parte de la recta que se encuentra ubicada entre dos puntos.
Ángulos
La región del plano comprendida entre dos semirrectas se denomina ángulo. De acuerdo a su medida pueden ser nulos (cuando miden 0°), agudos (cuando no son nulos y miden menos de 90°), rectos (cuando miden 90°), obtusos (cuando son menores a 180° y mayores a 90°) y llanos (cuando miden 180°). Se habla de dos ángulos complementarios cuando la suma de estos es igual a 90°, por otra parte, dos ángulos son suplementarios si la suma de ambos es igual a 180°. La sumatoria de los ángulos internos de un triángulo da 180°, mientras que en un cuadrilátero da 360°.
El transportador es uno de los instrumentos más usados en la lectura y construcción de ángulos.
Polígonos
Los polígonos son figuras caracterizadas por estar delimitadas por segmentos finitos rectos denominados lados. Si todos sus lados tienen la misma longitud se denominan polígonos regulares, de lo contrario, se denominan polígonos irregulares. En el caso de los polígonos regulares se cumple que sus ángulos internos son iguales, lo mismo sucede con sus ángulos externos. Los polígonos regulares también se caracterizan por tener igual cantidad de ejes de simetrías que de lados y sus diagonales son todas internas y de la misma longitud.
El rectángulo y el rombo son algunos ejemplos de polígonos irregulares.
Cuerpos geométricos
Los cuerpos geométricos pueden clasificarse en poliedros cuando todas sus caras son iguales y planas, y en cuerpos redondos cuando poseen al menos una cara curva. Sus elementos principales son las caras, las aristas y los vértices. Cada uno de los cuerpos geométricos posee su fórmula para determinar su volumen. De igual forma, cada uno de los cuerpos geométricos pueden representarse en construcciones de tres dimensiones.
La esfera es un cuerpo geométrico que no posee caras, aristas ni vértices.
Circunferencia y círculo
La circunferencia es una línea cerrada que sobresale por ser el perímetro del círculo. Por otra parte, el círculo es una figura geométrica que se encuentra delimitada por una circunferencia. Los elementos principales de una circunferencia son: centro, radio, cuerda, diámetro, semicircunferencia y arco. Entre una circunferencia y una recta pueden darse tres tipos diferentes de relación: recta exterior (cuando no toca ningún punto de la circunferencia), recta tangente (cuando toca un solo punto de la circunferencia) y recta secante (cuando atraviesa la circunferencia en dos puntos). El área de un círculo es igual al producto de el número pi por el radio de la circunferencia al cuadrado.
El matemático griego Eratóstenes fue la primera persona en calcular el diámetro de la Tierra en el 230 a. C.
Aplicación de la geometría
Incontables son las disciplinas y las situaciones en las que se emplea la geometría. Desde que apareció esta rama de la matemática ha permitido resolver infinidad de problemas. El cálculo de áreas de superficies planas puede extenderse a situaciones cotidianas como el cálculo de la extensión de un terreno, esto se debe a que cada figura posee su fórmula particular. Lo mismo sucede con el cálculo de volumen y los cuerpos geométricos.
La geometría ha permitido a la arquitectura realizar obras de singular belleza.
¿QUÉ FORMA TIENE UNA HOJA DE TU CUADERNO? ¿Y UNA LATA DE GASEOSA? LA PRIMERA ES UN RECTÁNGULO Y LA SEGUNDA ES UN CILINDRO. AMBAS SON FIGURAS GEOMÉTRICAS Y PUEDES DIBUJARLAS O CONSTRUIRLAS SI UTILIZAS LOS INSTRUMENTOS ADECUADOS. ES MUY SENCILLO, LEE ESTE ARTÍCULO Y APRENDERÁS CÓMO HACERLO.
¿QUÉ SON LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS?
LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS SON TODAS AQUELLAS QUE ESTÁN DEFINIDAS POR LÍNEAS RECTAS O CURVAS. PUEDEN TENER DOS O TRES DIMENSIONES Y ADEMÁS CONFORMAN LA SUPERFICIE DE LA MAYORÍA DE LOS OBJETOS QUE NOS RODEAN, POR EJEMPLO, LA PANTALLA DE UN TELÉFONO TIENE FORMA DE RECTÁNGULO Y UNA PELOTA TIENE FORMA DE ESFERA.
LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS O CON DOS DIMENSIONES SON:
CUADRADO
TRIÁNGULO
CÍRCULO
RECTÁNGULO
LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS TRIDIMENSIONALES O CON TRES DIMENSIONES SON:
CUBO
PRISMA RECTANGULAR
PIRÁMIDE
CONO
CILINDRO
ESFERA
¿QUÉ ES UNA LÍNEA?
UNA LÍNEA ES LA UNIÓN DE MUCHOS PUNTOS CONTINUOS EN EL PLANO. PUEDEN SER ABIERTAS, CERRADAS, RECTAS O CURVAS.
LA LÍNEA DE COLOR AZUL ES RECTA Y ABIERTA.
LA LÍNEA DE COLOR AMARILLO ES CURVA Y ABIERTA.
LA LÍNEA DE COLOR VERDE ES RECTA Y CERRADA.
LA LÍNEA DE COLOR ROJO ES CURVA Y CERRADA.
¿SABÍAS QUÉ?
A LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES TAMBIÉN SE LAS CONOCE COMO SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.
INSTRUMENTOS PARA CONSTRUIR FIGURAS GEOMÉTRICAS
REGLA
ES UN INSTRUMENTO PLANO Y LARGO QUE SIRVE PARA TRAZAR LÍNEAS RECTAS Y PARA MEDIR LONGITUDES. POR LO GENERAL VIENE CON MARCAS QUE REPRESENTAN LOS CENTÍMETROS. CON UNA REGLA PUEDES TRAZAR LAS RECTAS DE UN CUADRADO O UN RECTÁNGULO.
ESCUADRA Y CARTABÓN
LA ESCUADRA ES UNA PLANTILLA CON FORMA DE TRIÁNGULO RECTÁNGULO ISÓSCELES. SE USA PARA TRAZAR LÍNEAS PARALELAS O PERPENDICULARES JUNTO CON EL CARTABÓN O LA REGLA GRADUADA. EN LA IMAGEN, LA ESCUADRA ES LA DE COLOR ROJO Y EL CARTABÓN ES EL DE COLOR AZUL.
TRANSPORTADOR
ES UN INSTRUMENTO CIRCULAR O SEMICIRCULAR QUE SIRVE PARA MEDIR ÁNGULOS. ES DE MUCHA AYUDA CUANDO DIBUJAMOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS.
COMPÁS
ES UN INSTRUMENTO DE GRAN UTILIDAD PARA DIBUJAR CIRCUNFERENCIAS. TIENE DOS PARTES QUE SE UNEN POR UNA BISAGRA AJUSTABLE. UNA PUNTA TIENE UN EXTREMO DE METAL Y LA OTRA TIENE UN LÁPIZ CON EL CUAL SE HACE EL DIBUJO.
CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS EN LO COTIDIANO
LA CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS ES FUNDAMENTAL PARA LOS ARQUITECTOS E INGENIEROS, QUIENES ELABORAN PLANOS QUE MUESTRAN LOS DETALLES DE UNA OBRA EN UN PAPEL. ASIMISMO, GRANDES ARTISTAS DE LA HISTORIA HAN PRODUCIDO INCREÍBLES CREACIONES EN LAS QUE TOMAN LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS COMO BASE.
KANDINSKI FUE UN PINTOR RUSO DESTACADO EN EL ARTE ABSTRACTO. EN SU TRABAJO RESALTAN LOS COLORES VIVOS Y LA ABUNDANCIA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS COMO LOS TRIÁNGULOS, CUADRADOS Y CÍRCULOS. EN 1913 CREÓ ESTA OBRA LLAMADA ESTUDIO DE COLOR CON CUADROS EN LA QUE PUEDES VER CÍRCULOS UNO DENTRO DE OTRO, CADA UNO DE UN COLOR DIFERENTE.
¡CONSTRUYE TUS PROPIAS FIGURAS!
CON ESTAS PLANTILLAS PUEDES CREAR FIGURAS TRIDIMENSIONALES. SOLO TIENES QUE COPIAR LA PLANTILLA, CORTAR Y PEGAR SUS LADOS. ¡INTÉNTALO!
CILINDRO
CONO
CUBO
PIRÁMIDE
PRISMA RECTANGULAR
¡A PRACTICAR!
1. ¿CÓMO SE LLAMAN ESTOS INSTRUMENTOS?
SOLUCIÓN
TRANSPORTADOR.
SOLUCIÓN
REGLA.
SOLUCIÓN
ESCUADRA.
SOLUCIÓN
COMPÁS.
SOLUCIÓN
CARTABÓN.
2. UNE LOS PUNTOS DEL MISMO COLOR EN ESTA CUADRÍCULA. UTILIZA TU REGLA O COMPÁS PARA CREAR LAS FIGURAS.
La geometría se encuentra inmersa dentro de diferentes ciencias y situaciones de la vida. Muchos desarrollos de la actualidad no se habrían logrado sin los aportes de la geometría. La astronomía, la computación y la cartografía son algunos de los muchos campos donde la geometría es empleada.
Cálculo de área de una superficie
Para el cálculo de superficies usamos las fórmulas de área de las principales figuras geométricas. Las principales fórmulas son las siguientes:
Nombre
Figura
Área
Cuadrado
Donde:
A = área
l = lado
Rectángulo
Donde:
A = área
a = altura
b = base
Triángulo
Donde:
A = área
b = base
h = altura
Rombo
Donde:
A = área
D = diagonal mayor
d = diagonal menor
Paralelogramo
Donde:
A = área
b = base
h = altura
Trapecio
Donde:
a = base menor
b = base mayor
h = altura
Círculo
Donde:
A = área
π = número pi
r = radio
Polígono regular
Donde:
A = área
n = número de lados regulares
b = longitud de un lado
Ap = apotema
Las figuras compuestas
Una figura compuesta es aquella que está formada por dos o más figuras geométricas más simples. Para calcular el área de estas figuras se suelen calcular las áreas de las figuras más simples por separado y la sumatoria de estas será el área total de la figura. Por otra parte, para el cálculo de perímetro suelen usarse ecuaciones trigonométricas, y teoremas como el de Pitágoras para calcular las longitudes de los lados de la figura.
Ejercicios
– Una cancha de fútbol mide 105 metros de largo y 68 metros de ancho. ¿Cuántos metros cuadrados de césped artificial se necesitarían para cubrir toda la cancha?
Es un problema de área porque al calcular los metros cuadrados de césped artificial que se necesitan, se calcula la superficie. Como todos sabemos, una cancha de fútbol tiene una forma rectangular, por lo tanto se debe aplicar la fórmula del rectángulo:
Por lo tanto, para cubrir toda la cancha se necesitarían 7.140 m2 de césped artificial.
– La siguiente figura muestra el plano de una casa. ¿Cuántos metros cuadrados de cerámica se necesitan para cubrir el piso?
El piso de la casa forma una figura compuesta. Por lo tanto, antes de resolver el problema debemos separarlo en formas geométricas más simples:
La figura 1 corresponde a un rectángulo y la figura 2 a un cuadrado (ya que sus cuatro lados miden lo mismo). El área total del piso será igual a:
Donde:
At = área total del piso
A1 = área de la figura 1
A2 = área de la figura 2
Por lo tanto, para calcular el problema tenemos que resolver las áreas por separado:
En la figura 1 se cumple que:
En la figura 2 se cumple que:
Al reemplazar los valores de A1 y A2 se tiene que:
Por lo tanto, el piso de la casa necesita 165 m2 de cerámica para cubrirlo.
¿Sabías qué?
La hectárea (ha) es una medida de área que equivale a 10.000 m2.
Cálculo de volumen de un cuerpo
Todo cuerpo ocupa un lugar en el espacio. Se denomina volumen. Como ya sabemos, los principales cuerpos geométricos se calculan a través de fórmulas:
Nombre
Figura
Fórmula de volumen
Cubo
Donde:
V = volumen
l = lado
Prisma
Donde:
V = volumen
Ab = área basal
h = altura
Pirámide
Donde:
V = volumen
Ab = área basal
h = altura
Cilindro
Donde:
V = volumen
π = número pi (3,14…)
r = radio
h = altura
Cono
Donde:
V = volumen
π = número pi (3,14…)
r = radio
h = altura
Esfera
Donde:
V = volumen
π = número pi (3,14…)
r = radio
En el caso de las pirámides y los primas, las formas de sus bases pueden ser diferentes.
Estas ecuaciones pueden aplicarse a figuras similares para resolver diferentes problemas.
Ejercicios
– Calcula el volumen de la Gran Pirámide de Guiza, cuya base es un cuadrado de aproximadamente 230 m cada lado y de altura mide aproximadamente 186 m.
La fórmula para calcular el volumen de una pirámide es la siguiente:
Lo primero es calcular el valor de Ab que es el área de la base. En este caso, su base es un cuadrado de 230 metros de cada lado. Por lo tanto:
Reemplazamos el valor del área de la base y el de la altura (que es 186 m) en la fórmula:
El volumen aproximado de la pirámide de Guiza es de 3.279.800 m3 (si se considera la pirámide como un cuerpo rígido sin cámaras interiores).
– Calcula el volumen de una canica de 2 centímetros de diámetro.
La forma de una canica es igual a la de una esfera por lo tanto se utiliza la siguiente ecuación:
El problema nos dice que el diámetro de la canica es de 2 cm, pero la fórmula está expresada en función del radio. Como ya sabemos, el radio es la mitad del diámetro, por lo tanto, el radio de la canica es de 1 cm.
La leyenda de la corona
Hay una leyenda popular que cuenta cómo el rey Hieron II de Siracusa le encomendó al reconocido matemático griego Arquímedes que comprobara si la corona que había mandado a hacer era de oro puro o no. Arquímedes pasó mucho tiempo sin resolver el misterio y estaba frustrado hasta que un día, al meterse a la bañera, se percató que el agua que se desplazaba tenía el mismo volumen de su cuerpo. Enseguida dio un salto al tiempo que decía la frase “¡Eureka!”.
Posteriormente le demostró al rey que el volumen desplazado por la corona debía ser el mismo que el desplazado por un lingote de oro puro de la misma masa. Cuando realizó el experimento, la cantidad de agua desplazada no fue la misma y concluyó que la corona no era de oro puro.
Otros usos
Desde su aparición, la geometría ha permitido al ser humano destacarse en varios campos como la arquitectura, la escultura, la pintura y, por su puesto, en las ciencias aplicadas como la física o la química. Disciplinas como la ingeniería aplican la geometría para el cálculo de ángulo y otras medidas. La química emplea la geometría para entender las estructuras moleculares, la agrupación de los átomos y la forma de los cristales de algunos compuestos, entre otros usos.
En el ámbito de la cartografía y la agronomía, se aplica la geometría para determinar áreas, calcular perímetros y planos de terrenos. La astronomía y la computación son otras áreas que emplean conocimientos geométricos.
La geometría y la arquitectura
La arquitectura clásica no habría podido lograr obras de singular belleza o armonía sin hacer uso de conocimientos geométricos. En la actualidad, los arquitectos emplean la geometría para lograr estructuras que se vean bien estéticamente, que permitan un ahorro de materiales y un mejor aprovechamiento de los espacios.
¡A practicar!
1. Una fábrica de quesos compró una granja de 14.300 m2. ¿Cuáles son las medidas de la granja?
a) 150 m × 100 m
b) 130 m × 110 m
c) 40 m × 10 m
d) 280 m × 100 m
Solución
b) 130 m × 110 m
2. Un tablero de ajedrez mide 44 cm de alto y 44 cm de ancho, ¿cuál es el área del tablero?
a) 88 cm2
b) 1.936 cm2
c) 4.404 cm2
d) 3.854 cm2
Solución
b) 1.936 cm2
3. Una empresa inmobiliaria trabaja con propiedades que no superan los 20.000 m2. ¿Cuál de las siguientes propiedades no cumple con este requisito de la empresa inmobiliaria?
a) Casa de playa de 155 m de ancho por 84 m de alto.
b) Departamento en la ciudad de 18 m de ancho por 14 m de alto.
c) Cabaña en la montaña de 320 m de ancho por 124 m de alto.
d) Chalet de 24 m de ancho por 20 m de alto.
Solución
c) Cabaña en la montaña de 320 m de ancho por 124 m de alto. El área de esta propiedad es de 39.680 m2, por lo tanto, supera los 20.000 m2 aceptados por la inmobiliaria.
4. Una pelota de fútbol tiene 22 cm de diámetro, ¿cuál es su volumen?
a) 2026,34 cm3
b) 44 cm3
c) 220 cm3
d) 5.572,45 cm3
Solución
d) 5.572,45 cm3
5. Una lata de tomates es cilíndrica y tiene una altura de 9 cm y un radio de 3 cm, ¿cuál es su volumen?
a) 384,35 cm3
b) 127,17 cm3
c) 954.44 cm3
d) 506,58 cm3
Solución
c) 254.34 cm3
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Los números ocultos en el universo”
El artículo trata de mostrar cómo la mayoría de los fenómenos del universo pueden explicarse a través de los números. También explica algunas formas geométricas que podemos encontrar en nuestro planeta.
Enciclopedia “Nana y Enriqueta en el país de las matemáticas”
En este tomo, se platean los principales elementos de la geometría de una manera didáctica y sencilla. También se dan ejemplos y aplicaciones de la geometría.
El artículo plantea el cálculo de superficie de las principales figuras geométricas. También resuelve una serie de ejercicios y muestra al final algunos problemas propuestos.
Uno de los objetos de estudio de la geometría son los cuerpos geométricos. Una pelota de fútbol, un cono de helado o un dado son algunos objetos cotidianos que podemos asociar con estos cuerpos, los cuales se caracterizan por ocupar volumen en el espacio y estar formados con figuras geométricas.
Principales cuerpos geométricos
Los cuerpos geométricos son infinitos y cada uno posee características propias. Los más comunes son el cubo, el prisma, la pirámide, el cilindro, el cono y la esfera. Ellos se clasifican en poliedros y cuerpos redondos.
Los poliedros son cuerpos geométricos. Todas sus caras son planas. Estos, a su vez, pueden ser regulares si sus caras son todas iguales o irregulares cuando son diferentes. Un ejemplo de poliedro es el cubo.
Los cuerpos redondos son cuerpos geométricos con al menos una cara curva, como sucede con el cilindro.
En la mayoría de los cuerpos geométricos se pueden identificar los siguientes elementos.
Cara: corresponde a cada una de las superficies planas que delimitan al cuerpo geométrico. Pueden ser caras basales, las que sirven de apoyo (base) al cuerpo en el plano, o caras laterales, que corresponden a las de los costados.
Vértice: es el punto en el que se juntan tres o más caras.
Arista: es el segmento de línea que se forma cuando dos caras se juntan.
La esfera y sus curiosidades
La esfera es un cuerpo geométrico que no posee ni caras, ni aristas ni vértice. Y se caracteriza porque todos los puntos de su superficie están a la misma distancia del centro.
Volumen de cuerpos geométricos
De acuerdo a su tipo, cada cuerpo geométrico tiene características propias que permiten calcular su volumen a través de fórmulas.
Un cubo se caracteriza porque todos sus lados miden lo mismo, de manera que al conocer solo la medida de un lado se puede aplicar la fórmula:
– Calcula el volumen del siguiente cilindro.
Según la fórmula, los únicos datos que se necesitan son el radio del cilindro y su altura. De la imagen se obtienen los datos:
En este caso observa que el radio está elevado al cuadrado, por lo tanto, al resolver esa potencia las unidades también se verán afectadas, por lo que quedarán centímetros cuadrados:
El número pi (π) es un número irracional, por lo cual es infinito. Para efectos de estos cálculos, usaremos solamente 2 de sus decimales, es decir, lo aproximamos a 3,14.
Al resolver este producto se obtiene el volumen del cilindro.
¿Sabías qué?
Cuando se usan múltiplos o submúltiplos del metro, el volumen siempre se expresa en unidades cúbicas: m3, cm3, mm3, km3, etc.
Los prismas son poliedros cuyos lados laterales son paralelogramos y con dos caras paralelas e iguales denominadas bases. Reciben su nombre de acuerdo a la forma de su base, por ejemplo, si su base es un triángulo, se denomina prisma triangular, si es un pentágono se denomina prisma pentagonal y así sucesivamente. Un paralelepípedo es un prisma cuya base es un paralelogramo.
Construcción de cuerpos geométricos
Los cuerpos geométricos tienen volumen y, por lo tanto, se pueden representar en tres dimensiones: largo, alto y ancho. Las imágenes a continuación son patrones que puedes usar para construir los cuerpos geométricos más comunes:
Cubo Prisma rectangular Pirámide Cilindro Cono
La construcción de cuerpos geométricos, además de su gran utilidad al momento de representar a estas figuras, permite trasladar estos conocimientos a otras áreas como la arquitectura y la ingeniería, en las cuales se realizan diseños a escalas. Conocer las diferentes fórmulas de cálculo y volumen de las figuras es fundamental para realizar operaciones más avanzadas.
¡A practicar!
1. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.
a)
*La base es un rectángulo.
Solución
V = 133,33 cm3
b)
Solución
V = 64 cm3
c)
Solución
V = 904,32 cm3
d)
Solución
V = 33,49 cm3
e)
Solución
V = 96 cm3
f)
Solución
V = 62,8 cm3
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Poliedros irregulares”
El artículo explica qué es un poliedro y qué caracteriza a los irregulares. También hace una breve explicación de los sólidos platónicos y muestra algunos ejemplos.
En este artículo destacado se explica qué es el volumen y cómo calcularlo en los diferentes cuerpos geométricos. También se plantean una serie de problemas resueltos y de ejercicios planteados.
La palabra “poliedro” proviene del griego y significa “que tiene muchas caras o planos”. Con este nombre se designa a aquellos cuerpos geométricos que están formados por polígonos y encierran un volumen. Cada una de las caras de un poliedro es un polígono (un triángulo, un cuadrado, un rombo, etc.) y se caracterizan por tener un mínimo de cuatro caras.
Solemos pensar que un balón de fútbol es una esfera, sin embargo, esto no es así. Un balón de fútbol es un poliedro que al ser hinchado con aire adopta una forma cercana a la esfera. A este tipo de poliedro se lo conoce como icosaedro truncado y combina 20 hexágonos regulares y 12 pentágonos regulares. Tiene 32 caras, 90 aristas y 60 vértices.
ELEMENTOS DE LOS POLIEDROS
Los poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales con caras planas y que encierran un volumen. Es decir que un poliedro es una porción acotada de espacio limitada por distintos polígonos, a diferencia de los polígonos, que son porciones del plano limitadas por segmentos.
Los poliedros están constituidos por los siguientes elementos:
Bases
Caras
Aristas
Vértices
Son las caras sobre las cuales se apoya el poliedro.
Son las superficies planas que delimitan el espacio interno del poliedro.
Son las líneas que componen el cuerpo de un poliedro.
Son los puntos de encuentro entre tres o más aristas del poliedro.
TIPOS DE POLIEDROS
Poliedros regulares
Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras están compuestas por el mismo polígono regular. Estos son conocidos también como sólidos platónicos.
Nombre del poliedro
Forma del poliedro
Número de caras
Polígonos que forman sus caras
Tetraedro
4
Triángulos equiláteros
Cubo
6
Cuadrados
Octaedro
8
Triángulos equiláteros
Dodecaedro
12
Pentágonos regulares
Icosaedro
20
Triángulos equiláteros
¿Sabías qué?
Se les llama sólidos platónicos porque Platón, filósofo griego del siglo IV a. C., en su diálogo el Timeo explicó la construcción del universo por asociación de cada uno de los poliedros regulares con los elementos fundamentales: agua, aire, tierra y fuego.
El nombre que recibe cada poliedro depende del número de caras que presente. Se utilizan para ello prefijos numerales de origen griego y la terminación –aedro (que significa “plano o cara”). Por ejemplo, el cubo también se llama hexaedro porque tiene 6 caras. No obstante, muchos poliedros tienen sus nombres propios, como el prisma o la pirámide.
Poliedros irregulares
Los poliedros irregulares pueden presentar diferentes formas. En estos poliedros, el número de caras no presenta límites como ocurre con los poliedros regulares. Los poliedros irregulares más comunes son los prismas, las pirámides y todas sus variedades
Prismas: son poliedros limitados por dos bases que son polígonos iguales y por caras laterales que son paralelogramos. Ellos se nombran de acuerdo al polígono de la base. Así puedes encontrar:
Pirámides: son poliedros que tienen una sola base conformada por un polígono y por caras laterales de triángulos con un vértice común. Al igual que los prismas, se nombran por el polígono de la base.
Pirámide triangular
Pirámide cuadrangular
Pirámide pentagonal
Pirámide hexagonal
Triángulo como base.
Cuadrado como base.
Pentágono como base.
Hexágono como base.
¡Construyamos poliedros!
Los poliedros son cuerpos geométricos, esto quiere decir que son tridimensionales y puedes construirlos fácilmente con pocos materiales.
Para construir un cubo necesitarás:
Tijeras.
Regla.
Cartón o un papel duro.
Pegamento.
Copia esta plantilla en el papel. Luego recortalo y realizar pliegues en las líneas. Los cuadrados quedarán como caras del poliedro y las pequeñas solapas servirán para unir la figura. En esas solapas debes colocar pegamento, para unirlas con las caras correspondientes. Quedará formado un cubo, similar al de la imagen. Será útil, por ejemplo, para hacer tus propios dados.
Para construir un tetraedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:
Para construir un octaedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:
Para construir un dodecaedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:
Para construir un icosaedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:
Poliedros en la vida cotidiana
En la vida cotidiana puedes encontrar continuamente poliedros. A lo largo de la historia, dos ejemplos de ellos se han vuelto mundialmente reconocidos: el cubo de Rubik y las pirámides de Egipto. Estas últimas son poliedros piramidales triangulares, cuya base es un polígono cualquiera y sus caras son triángulos con un vértice común.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Poliedro irregulares”
En este artículo encontrarás el desarrollo teórico para ahondar en las características propias de los poliedros irregulares.
UNA HOJA DE PAPEL O UNA REGLA GRADUADA SON OBJETOS PLANOS QUE SOLO TIENEN DOS DIMENSIONES: ALTO Y ANCHO. PERO TAMBIÉN HAY OBJETOS QUE TIENEN PROFUNDIDAD, COMO UNA CAJA DE ZAPATOS O UN VASO. ESTOS OBJETOS TIENEN UNA FORMA TRIDIMENSIONAL, ES DECIR, TIENEN TRES DIMENSIONES. SON MÁS COMUNES DE LOS QUE CREES Y PUEDES VERLOS EN MUCHOS OBJETOS.
¿QUÉ ES UNA FIGURA TRIDIMENSIONAL?
ES UNA FIGURA QUE TIENE TRES DIMENSIONES: ALTO, ANCHO Y LARGO.
¿SABÍAS QUÉ?
LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES TAMBIÉN SON CONOCIDAS COMO CUERPOS GEOMÉTRICOS.
HAY MUCHAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES, LAS MÁS COMUNES SON:
ELEMENTOS DE LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES
LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES TIENEN CARAS, ARISTAS Y VÉRTICES.
CARAS: SON LOS LADOS PLANOS O CURVOS.
ARISTAS: SON LAS LÍNEAS RECTAS QUE UNEN LAS CARAS.
VÉRTICES: SON LOS PUNTOS QUE UNEN DOS O MÁS CARAS.
POR EJEMPLO, ESTE CUBO TIENE 6 CARAS, 12 ARISTAS Y 8 VÉRTICES.
MUCHOS DE NUESTROS JUGUETES TIENEN FORMAS TRIDIMENSIONALES. OBSERVA ESTA IMAGEN. ¿PUEDES IDENTIFICAR ALGUNA DE ESAS FORMAS? ¡CLARO! LOS OBJETOS DE COLOR ROJOS SON CILINDROS, LOS OBJETOS DE COLOR AMARILLOS SON CUBOS Y PRISMAS RECTANGULARES; Y EL OBJETO AZUL UBICADO EN LA PARTE DE ARRIBA ES UNA PIRÁMIDE. TODOS SON CUERPOS GEOMÉTRICOS.
EN ESTA TABLA MUESTRA LOS ELEMENTOS DE CADA FIGURA:
FIGURAS TRIDIMENSIONAL
ELEMENTOS
CUBO
6 CARAS
8 VÉRTICES
12 ARISTAS
ESFERA
1 CARA
CILINDRO
3 CARAS
2 ARISTAS
CONO
2 CARAS
1 ARISTAS
PRISMA RECTANGULAR
6 CARAS
8 VÉRTICES
12 ARISTAS
PIRÁMIDE
5 CARAS
5 VÉRTICES
8 ARISTAS
¿CÓMO CONSTRUIR UN PRISMA RECTANGULAR?
CON ESTA PLANTILLA PODRÁS CONSTRUIR UN PRISMA RECTANGULAR. COMO VES, LA FIGURA ESTÁ FORMADA POR 6 CARAS: 4 CARAS CON FORMA DE RECTÁNGULO Y 2 CARAS CON FORMA DE CUADRADO. CON AYUDA DE UN ADULTO, COPIA ESTE PLANTILLA EN UNA CARTULINA, RECÓRTALA, DOBLA LAS LÍNEAS Y LUEGO PÉGALAS. CON ESTOS PASOS TENDRÁS LA FIGURA TRIDIMENSIONAL EN TUS MANOS.
TIPOS DE FIGURAS TRIDIMENSIONALES
LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES PUEDEN SER DE DOS TIPOS: POLIEDROS O CUERPOS REDONDOS.
POLIEDROS
CUERPOS REDONDOS
SOLO TIENEN SUPERFICIES PLANAS Y NO PUEDEN RODAR.
TIENEN AL MENOS UN SUPERFICIE CURVA Y SÍ PUEDEN RODAR.
LA MAYORÍA DE LOS OBJETOS QUE NOS RODEAN TIENE TRES DIMENSIONES. ESTOS SON ALGUNOS EJEMPLOS:
¿QUÉ FORMA TIENEN?
OBSERVA LA IMAGEN ANTERIOR Y RESPONDE LAS PREGUNTAS:
¿CUÁLES OBJETOS TIENEN FORMA DE CUBO?
SOLUCIÓN
¿CUÁLES OBJETOS TIENEN FORMA DE ESFERA?
SOLUCIÓN
¿CUÁLES OBJETOS TIENEN FORMA DE PRISMA RECTANGULAR?
SOLUCIÓN
¿CUÁLES OBJETOS TIENEN FORMA DE CILINDRO?
SOLUCIÓN
¿CUÁLES OBJETOS TIENEN FORMA DE CONO?
SOLUCIÓN
¿CUÁLES OBJETOS TIENEN FORMA DE PIRÁMIDE?
SOLUCIÓN
EL CUBO DE RUBIK ES UNA ESPECIE DE ROMPECABEZAS MECÁNICO. CADA CARA DEL CUBO TIENE UN COLOR DIFERENTE: ROJO, AZUL, AMARILLO, VERDE, NARANJA Y BLANCO. EL JUGADOR TRATA DE MEZCLAR TODOS LOS COLORES Y LUEGO HACER QUE CADA CARA VUELVA A TENER TODAS SUS PARTES DEL COLOR ORIGINAL. ¿TÚ TIENES UNO? ¡INTENTA JUGAR!
Es posible que identifiques diversas figuras geométricas al observar el mundo que te rodea y los objetos presentes en él. La mayoría de estas figuras están compuestas por semirrectas unidas por un punto en común, es decir, un vértice. Esa porción del plano delimitada por dos semirrectas que nacen de un mismo punto se conoce como ángulo y según su medida puede ser de distintos tipos.
¿qué es un ángulo?
Es una porción del plano delimitada por dos semirrectas, las cuales también son llamadas lados. Ambos lados coinciden en un punto de origen o vértice. La abertura de un lado con respecto al otro es la que denominamos ángulo.
Con una letra griega, por ejemplo α y se lee “ángulo alpha”. En esta imagen vemos un ángulo α = 52,13°.
Con los puntos correspondientes a las semirrectas que lo constituyen y al vértice. Estos puntos se nombran mediante letras, por ejemplo, en la imagen vemos el ángulo AOB.
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
Los ángulos se clasificar según tres criterios diferentes: su medida, su posición y la suma de sus medidas con otros ángulos.
¿Sabías qué?
Los ángulos se miden en grados (°).
Ángulos según su medida
Ángulo completo: tiene una amplitud de 360°, significa que es un giro completo.
Ángulo nulo: tiene una amplitud de 0°.
Ángulo llano: tiene una amplitud de 180°, podrás verlo representado como una línea recta.
Ángulo cóncavo: tiene una amplitud mayor que 180° pero menor que 360°.
Ángulo convexo: tiene una amplitud menor que 180°.
Dentro de los ángulos convexos encontramos otras clasificaciones:
Ángulos rectos: miden 90°.
Ángulos obtusos: miden más de 90°.
Ángulos agudos: miden menos de 90°.
Ángulos según su posición
Según su posición los ángulos pueden ser:
Adyacentes: son aquellos que tienen el vértice y un lado en común. Al sumar las amplitudes de cada uno de ellos el resultado será 180°.
Consecutivos: son aquellos que comparten tanto el vértice como uno de sus lados.
Opuestos por el vértice: son aquellos que solo tienen el vértice en común.
Ángulos según la suma de su medida con otros ángulos
Los ángulos también pueden clasificarse según el resultado obtenido al sumar la medida de la amplitud de un ángulo con la de otro ángulo, así sabrás que:
Un ángulo es suplementario con otro si la suma de sus amplitudes da como resultado un ángulo de 180°.
Un ángulo es complementario con otro si la suma de sus amplitudes da como resultado un ángulo de 90°.
MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Por lo general, la medición de los ángulos se realiza por medio de un transportador.
¿Qué es un transportador?
Es un instrumento geométrico que puede tener una forma circular o semicircular y se utiliza para medir gráficamente un ángulo así como para construirlo. Cuenta con graduaciones o marcas iguales que sirven de escala para identificar la medida del ángulo. Los transportadores circulares están divididos en 360 partes iguales, mientras que los semicirculares están divididos en 180 partes iguales. Cada una de estas partes representa un grado (1°) .
Para medir un ángulo con transportador seguimos estos pasos:
1. Identificamos el vértice, es decir, el punto del que nacen las semirrectas y hacemos que coincida con el centro del transportador.
2. Verificamos que el cero (0) en el transportador esté justo sobre uno de los lados del ángulo.
3. Observamos el valor que marca el otro lado que pasa por la escala graduada. En este caso, la medida del ángulo â = 165°.
¿Sabías qué?
Los transportadores tienen escalas graduadas dobles: una va en sentido de las manecillas del reloj y las otra en sentido contrario. Siempre debes recordar comenzar a medir a partir del cero.
LOS ÁNGULOS EN LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS
Las figuras geométricas planas poseen ángulos interiores, ubicados dentro de la figuras; y ángulos exteriores, ubicados entre un lado de la figura y el otro lado siguiente.
Los ángulos interiores de los triángulos siempre suman 180°. Según sus ángulos los triángulos pueden ser:
Nombre
Figura
Características
Triángulo rectángulo
Tiene un ángulo recto (90°).
Triángulo acutángulo
Tiene todos sus ángulos agudos (menores a 90°).
Triángulo obtusángulo
Tiene un ángulo obtuso (mayores a 90° pero menores a 180°).
Ángulos interiores de los cuadriláteros
En el caso de los cuadriláteros, la suma de sus cuatro ángulos internos siempre es igual a 360°. De acuerdo al tipo de cuadrilátero el valor del ángulo puede variar. Su clasificación es la siguiente:
Nombre
Figura
Característica
Cuadrado
Tiene cuatro ángulos rectos (90°).
Rectángulo
Tiene cuatro ángulos rectos (90°).
Rombo
Tiene ángulos opuestos iguales.
Romboide
Tiene ángulos opuestos iguales.
Trapecio rectángulo
Tiene dos ángulos rectos (90°).
Trapecio isósceles
Los dos ángulos de la base menor son iguales. Los dos ángulos de la base mayor son iguales.
Trapecio escaleno
Todos sus ángulos son diferentes.
¿Sabías qué?
La palabra “geometría” viene de geo que significa “Tierra”, y de metría que significa “medir”.
Ángulos internos de polígonos regulares
Los polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus ángulos internos iguales. Para calcular su valor se emplea la ecuación (n − 2) × 180°/n donde n es el número de lados que tiene el polígono. Por ejemplo, para un hexágono se sustituye la n por el número 6 que corresponde al número de sus lados y obtenemos que (6 − 2) × 180°/6 = 120°, lo que quiere decir que cada uno de los ángulos internos de un hexágono mide 120°.
¡A practicar!
1. Observa los ángulos entre estas rectas. Completa la tabla con los ángulos solicitados.
Tipo de ángulo
Nombre del ángulo
Recto
Ángulo α
Agudo
Obtuso
Complementario
Suplementario
Adyacente
Solución
Tipo de ángulo
Nombre del ángulo
Recto
Ángulo α
Agudo
Ángulo β
Obtuso
Ángulo GOC
Complementario
Ángulos BOE y EOC
Suplementario
Ángulos EOG y GOF
Adyacente
Ángulos AOC y COB
2. Calcula los ángulos complementarios y suplementarios para los siguientes ángulos:
β = 50°
Solución
Ángulo complementario = 40° porque 50° + 40° = 90°.
Ángulo suplementario = 130° porque 50° + 130° = 180°.
γ = 15°
Solución
Ángulo complementario = 75° porque 15° + 75° = 90°.
Ángulo suplementario = 165° porque 15° + 165° = 180°.
δ = 75°
Solución
Ángulo complementario = 15° porque 75° + 15 = 90°.
Ángulo suplementario = 105° porque 75° + 105° = 180°.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Ángulos”
En el siguiente artículo encontrarás información sistematizada sobre las diferentes clasificaciones de los ángulos.
