Las sucesiones son secuencias ordenadas de términos que siguen una determinada regla de recurrencia o patrón. Estas pueden ser aritméticas o geométricas. Las aritméticas tienen una diferencia con el término anterior en una cantidad constante, por ejemplo, 2, 4, 6, 8,… En cambio, en las geométricas cada término (excepto el primero) es múltiplo del término anterior de la sucesión, por ejemplo, 2, 4, 8, 16, 32,… Las sucesiones se utilizan en las matemáticas, en entidades financieras, en ciencias naturales, en informática y hasta en el arte.
La espiral de Fibonacci se trata de una espiral áurea que podemos construir a partir de los números contenidos en la sucesión de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13,…
LA RECTA NUMÉRICA
La recta numérica es una representación gráfica unidimensional que nos permite ubicar los números reales (), lo cual resulta de gran utilidad para comparar valores o indicar soluciones de intervalos en las inecuaciones. Se caracteriza por poseer el cero centrado y se considera el origen de la recta; hacia la izquierda se ubican los números negativos y a la derecha los positivos. Entre dos números, será mayor el que esté más a la derecha. Existen métodos para representar con precisión algunos números radicales sobre la recta.
Las reglas graduadas son un ejemplo de rectas numéricas. En estas vemos las divisiones de las unidades enteras que equivalen a las décimas.
PLANO CARTESIANO
Es un sistema de representación bidimensional muy utilizado en matemática y otras áreas para la ubicación de puntos en el plano. Su nombre se debe al filósofo y matemático René Descartes, quien propuso su aplicación en el siglo XVII como una base del sistema de coordenadas rectangulares. Está formado por un eje horizontal denominado eje de las abscisas, que tradicionalmente denotamos con la letra x; y un eje vertical llamado eje de las ordenadas, que por lo general representamos con la letra y. Cada eje se comporta como una recta numérica que se prolonga hasta el infinito.
Por lo general, lo mapas contienen ejes de coordenadas que asemejan el plano cartesiano. Las unión de dos coordenadas dan la ubicación de un punto.
FUNCIONES
Son expresiones matemáticas que indican una relación de correspondencia entre un conjunto de partida y un conjunto de llegada. Para que una relación sea considerada función, debe cumplirse que cada elemento del dominio tenga una sola imagen en el conjunto de llegada. Las funciones pueden ser inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.
Las funciones también se pueden clasificar de acuerdo con los operadores que contienen sus términos y estas pueden ser polinómicas, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, entre otras.
FUNCIÓN LINEAL
La función lineal es un tipo de funciónpolinómica cuyo mayor grado de exponente es 1. Su representación gráfica es una línea recta que puede ser descrita a partir de la ecuación explícita: y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es su ordenada al origen. Si conocemos la función de la recta podemos graficarla por medio una tabla de valores que cumpla con las soluciones de la función.
Estas gráficas representan dos funciones lineales. Las que no pasan por el origen se llaman funciones afines. Con dos puntos como mínimo se puede construir la recta.
PROPORCIONES
Las proporciones son una medida que relaciona a dos razones mediante una constante. El cociente que resulta de dividir una razón de proporción se conoce como constante de proporcionalidad. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una cantidad, la otra también aumenta; o si al disminuir una cantidad, la otra también disminuye. En cambio, dos magnitudes son inversamente proporcionales si al incrementar el valor de una, el valor de la otra disminuye; o si al disminuir el valor de una, la otra aumenta.
La cantidad de productos que compramos son directamente proporcionales con el precio, ya que a medida que más compramos más dinero pagamos.
Representamos datos en tablas y gráficos para interpretar la información de manera clara, precisa y ordenada. Esta tarea nos permite comparar y relacionar cantidades entre sí. Existe una variedad de gráficos: lineales, de barras, circulares o pictogramas. Todos tienen características particulares que los diferencian entre sí.
Los gráficos estadísticos son un conjunto de herramientas visuales que nos permiten organizar y presentar de manera más clara y atractiva datos que han sido tomados previamente. Su campo de aplicación no se limita solo al numérico, de hecho, se puede utilizar en casi cualquier estudio de investigación.
¿qué son los Gráficos?
Los gráficos son representaciones que nos permiten comprender distintas situaciones de la realidad. En matemática, particularmente en la estadística, brindan información a simple vista de los datos recopilados.
Los gráficos permiten el análisis de datos obtenidos y los presenta en forma tal que permita comparar, predecir y comprender las características del objeto de estudio.
Existen distintos tipos de gráficos, y la elección de uno en particular depende de la naturaleza de los datos y de lo que se quiera analizar. No obstante, los objetivos generales en todos ellos son los mismos:
Registrar datos de manera clara y concreta.
Comunicar la información en forma sencilla.
Comprender la estructura del conjunto de datos.
¿Sabías qué?
Los gráficos pueden funcionar como complementos explicativos de un texto para facilitar la transmisión de ideas.
gráfico de barras
En este tipo de gráficos, como su nombre lo indica, se emplean barras que pueden tener sus bases en el eje y o en el eje x. Las categorías se ubican en el eje horizontal y los datos numéricos en el eje vertical. La altura de cada barra muestra la cantidad de veces que se eligió una categoría. Para hacer el diagrama, generalmente la información se obtiene de una tabla de frecuencias en la que fueron volcados los datos recopilados.
– Ejemplo:
En una escuela iniciaron las inscripciones para los juegos olímpicos intercolegiales. La siguiente tabla muestra el deporte que eligió cada alumno:
Deporte
Alumnos inscritos
Atletismo
20
Fútbol
30
Baloncesto
16
Béisbol
24
Voleibol
10
Con los datos que aporta la tabla se representa el gráfico de barras. Las categorías son los deportes y se grafican en el eje horizontal, y los alumnos inscritos van en el eje vertical.
Por medio del gráfico de barras podemos ver rápidamente que el deporte más elegido por los estudiantes fue el fútbol, seguido del béisbol y del atletismo. Por otro lado, el deporte menos elegido fue el voleibol.
gráficos lineales
Los gráficos lineales se representan en un plano (dos dimensiones) mediante el uso de un sistema de coordenadas. Se grafica sobre un plano cartesiano donde dos variables son relacionadas y los puntos son unidos por una línea continua e irregular.
Estos gráficos se utilizan para mostrar la evolución o los cambios que le ocurren a un fenómeno durante algún período de tiempo, como por ejemplo la estatura de un niño, la variación del precio de un producto y otros fenómenos.
– Ejemplo:
Se registró el clima de la ciudad de Buenos Aires durante una semana y las temperaturas promedio del día fueron las siguientes:
Día
Temperatura (°C)
Lunes
17
Martes
19
Miércoles
12
Jueves
10
Viernes
14
Sábado
16
Domingo
16
A partir de estos datos podemos representar un gráfico lineal. Los días van en el eje horizontal y las temperaturas en el eje vertical.
Este tipo de gráfico permite distinguir de manera clara el desarrollo de la temperatura con el paso de los días. Notamos que el día con mayor temperatura fue el martes y el día con menor temperatura fue el jueves.
La estadística en otras ciencias
No solo en las matemáticas se utilizan gráficos estadísticos, sino también las ciencias sociales. La demografía y la sociología usan estas herramientas para comprender múltiples y diferentes fenómenos, como el crecimiento de la población mundial y la influencia de los los avances en ciencia, higiene y medicina en el proceso.
gráficos circulares
Los gráficos circulares muestran porciones y porcentajes. También son conocidos como gráficos de torta o pastel y se usan para comparar porcentajes con respecto a un total de datos. Para hallar los porcentajes parciales, se dividen los 360° del círculo de acuerdo a los valores dados.
– Ejemplo:
En un zoológico contaron la cantidad de animales que tienen por grupos de especie. Los datos fueron los siguientes:
Especie
Cantidad de animales
Porcentaje
Mamíferos
250
25 %
Reptiles
200
20 %
Anfibios
150
15 %
Aves
400
40 %
Como se puede observar, cada porción representa a una especie y el porcentaje que hay de ella en el zoológico con respecto al total.
¿Cómo obtener el porcentaje?
Una manera de hacerlo es por medio de una regla de tres. Para el ejemplo anterior seguimos los siguientes pasos:
1. Calculamos la cantidad total de animales por medio de una suma de cada grupo de especie.
Especie
Cantidad de animales
Mamíferos
250
Reptiles
200
Anfibios
150
Aves
400
1.000
2. Empleamos una regla de tres simple en la que el total de animales es igual al 100 %. Luego hacemos el cálculo con cada grupo, por ejemplo, con los mamíferos sería así:
1.000 → 100 %
250 → x
x = (250 × 100 %) : 1.000 = 25 %
Y con las aves sería así:
1.000 → 100 %
400 → x
x = (400 × 100 %) : 1.000 = 40 %
pictogramas
Un pictograma es un tipo de gráfico que incluye figuras o dibujos relacionados con los datos que se van a analizar. El pictograma se elabora del mismo modo que el gráfico de barras pero se sustituyen los rectángulos por dibujos.
– Ejemplo:
Sofía registró todas las llamadas que hizo durante la semana.
Día
Cantidad de llamadas
Lunes
3
Martes
2
Miércoles
1
Jueves
3
Viernes
4
Sábado
7
Domingo
2
Cada dibujo representa una llamada, es decir que el día que más llamadas hizo fue el sábado y el día que hizo menos llamadas fue el miércoles.
Existen muchos más gráficos, como los de dispersión, de burbujas, radiales o mapas estadísticos, también conocidos como cartograma. Los cartogramas presentan datos por regiones o zonas. Al igual que en un mapa topográfico, los colores y las tramas indican áreas que están en el mismo rango de valores.
¡A practicar!
1. Observa el gráfico de barras y responde:
En un curso se ha decidido recolectar botellas de plástico para reciclar. El gráfico muestra la cantidad de botellas recolectadas en una semana.
a) ¿Cuántos botellas se recolectaron esa semana?
Solución
1.150
b) ¿Cuál día se recolectó mayor cantidad de botellas plásticas?
Solución
El día martes.
c) ¿El día jueves se recolectaron 250 botellas plásticas?
Solución
No. El jueves se recolectaron 150 botellas plásticas.
d) ¿Cuál día recolectaron menos cantidad de botellas?
Solución
El día miércoles.
2. Este gráfico lineal representa la asistencia de los estudiantes al taller de carpintería. Responde las preguntas.
a) ¿Cuántos estudiantes asistieron al taller de carpintería la semana 4?
Solución
5 estudiantes.
b) ¿En cuál semana asistieron más estudiantes al taller de carpintería?
Solución
En la semana 1.
c) ¿En cuál semana asistieron menos estudiantes al taller de carpintería?
Solución
En la semana 4.
3. El siguiente gráfico muestra la cantidad de población mundial por continente para 2006. Responde las preguntas.
a) ¿Cuál continente tiene más población? ¿Y qué porcentaje representa?
Solución
Asia tiene más población y representa el 60 %.
b) ¿Cuál continente tiene menos población?
Solución
Oceanía.
c) ¿Qué lugar, ordenado de mayor a menor, ocupa la población de Europa?
Solución
Europa ocupa el cuarto lugar.
d) ¿Qué continente tiene mayor población después de Asia?
Solución
América y África.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Gráficos estadísticos”
El siguiente recurso te permitirá complementar la información sobre los diferentes tipos de gráficos estadísticos.
Cuando vemos operaciones matemáticas con valores desconocidos es muy probable que estemos frente a ecuaciones. Estas son relaciones equivalentes con dos miembros separados por un símbolo de igualdad. Para saber cuánto valen estos términos desconocidos debemos despejar, es decir, dejar “sola” a la incógnita, lo que se hace por medio de diversos pasos mostrados a continuación.
La ecuación y sus elementos
Una ecuación es una igualdad que posee uno o más términos desconocidos llamados incógnitas. El valor numérico de dichas incógnitas es el único que cumple la igualdad.
Los elementos de toda ecuación son los siguientes:
Primer miembro: es el conjunto de términos que se encuentra del lado izquierdo de la igualdad.
Segundo miembro: es el conjunto de términos que se encuentra del lado derecho de la igualdad.
Términos: son todos los números y letras que conforman la ecuación.
Incógnita: es el valor desconocido en la igualdad. En una ecuación puede haber más de una incógnita.
¿Sabías qué?
Si una incógnita aparece sola se sobreentiende que el coeficiente es 1, es decir, que está multiplicada por 1.
Una ecuación es una igualdad establecida que permite determinar alguno de sus elementos respecto a los valores de los demás. Pueden ser literales o numéricas. Son literales cuando por lo menos un elemento conocido está representado por una letra; y son numéricas cuando sus elementos conocidos son números.
Ecuaciones según el grado
El grado de una ecuación es la mayor potencia a la que está elevada la incógnita. Según el grado las ecuaciones pueden ser:
Ecuaciones de primer grado
Son aquellas ecuaciones donde la incógnita está elevada a la primera potencia. También se las conoce como ecuaciones lineales. Por ejemplo:
Ecuaciones de segundo grado
Son las igualdades cuya incógnita está elevada a la segunda potencia, es decir, al cuadrado. Por ejemplo:
Ecuaciones de tercer grado
Son aquellas que contienen la incógnita elevada al cubo en al menos uno de sus términos. Por ejemplo:
¡Es tu turno!
Observa esta ecuación y responde:
¿Cuántos términos tiene en el primer miembro?
Solución
Tiene 4 términos.
¿De qué grado es la ecuación?
Solución
La ecuación es de tercer grado.
¿Cuántas incógnitas tiene?
Solución
Tiene una sola incógnita: x.
¿Sabías qué?
Las incógnitas aparecen en las ecuaciones con una letra, generalmente es la x, pero puede ser cualquiera.
Las ecuaciones pueden estar conformadas por una o más incógnitas y su solución no siempre es un número. De hecho, hay ecuaciones que tienen varias soluciones o incluso, hay otras que no tienen solución. En todos los casos, es imprescindible dominar los procedimientos de despejes para poder analizarlas.
REGLAS DE DESPEJE DE ECUACIONES
Para hallar la solución de una ecuación de primer grado debemos despejar la incógnita, esto significa que es necesario dejar a la incógnita “sola” en un miembro de la igualdad. Para esto seguimos las siguientes reglas:
Regla de la suma
Consiste en sumar la misma expresión algebraica en ambos lados de la igualdad, de este modo obtenemos una ecuación equivalente y por ende el mismo resultado. Por ejemplo:
Si sumamos 8 en ambos miembros de la ecuación tenemos:
Al resolverlo:
A partir de ese principio, la regla de la suma también se denomina regla de transposición de términos debido a que, para cambiar un término a otro miembro, se tiene que cambiar su signo. Por lo tanto, todo número que se encuentre en forma de suma en un miembro de la igualdad pasa al otro miembro en forma de resta y viceversa.
Entonces, para despejar la incógnita lo único que debemos hacer es pasar el −8 como +8 al segundo miembro de la ecuación.
Regla del producto
Establece que al multiplicar o dividir por un mismo número en ambos miembros de la ecuación el resultado es una ecuación equivalente de la primera. Por ejemplo:
Si dividimos entre 5 ambos miembros de la ecuación tenemos:
Al resolverlo:
Por medio de esta regla se deduce que los elementos que multiplican pasan al otro lado a dividir y los elementos que dividen pasan al otro lado a multiplicar. En el ejemplo anterior basta con pasar el 5 que multiplica a la incógnita a dividir el segundo miembro de la ecuación.
¿cómo solucionar una ecuación de primer grado?
Las ecuaciones de primer grado o lineales se caracterizan por tener su incógnita elevada a la primera potencia. Los pasos para solucionar este tipo de ecuación son:
Quita los paréntesis en caso de que existieran (a través de la propiedad distributiva u otras operaciones).
Quita los denominadores en caso de que existieran.
Ubica los términos que tienen incógnitas en un miembro y los que no tienen incógnita en otro.
Suma los términos semejantes.
Despeja la incógnita a través de la regla del producto.
Simplifica el resultado obtenido en caso de que sea una fracción.
El valor o los valores de la incógnita de una ecuación que hacen que la igualdad de la misma sea cierta, se denominan solución de la ecuación o raíces de la ecuación. Cuando una ecuación tiene solución, se denomina compatible, en caso contrario, se denomina incompatible. Las ecuaciones que presentan la misma solución son llamadas ecuaciones equivalentes.
– Ejemplo:
Primero eliminamos los paréntesis. Para eso, aplicamos la propiedad distributiva. En el primer caso, multiplicamos 5 por cada término dentro de los paréntesis (2x + 3), en el segundo caso, multiplicamos 3 por cada término dentro de los paréntesis (x − 4).
Después ubicamos los términos que tienen incógnitas en un mismo miembro y los que no tienen incógnitas en otro. Para lograrlo aplicamos la regla de la suma o de transposición.
Luego sumamos o restamos los términos semejantes.
Despejamos la incógnita. Para lograrlo, aplicamos la regla del producto por medio de la cual el 3 que multiplica pasa a dividir al otro miembro de la ecuación.
Observa que simplificamos el resultado al resolver la fracción.
– Otro ejemplo:
Eliminamos los paréntesis por medio de la propiedad distributiva.
Quitamos el denominador al multiplicar todos los términos de la ecuación por ese denominador, en este caso es 2.
Luego efectuamos las divisiones correspondientes.
Ubicamos los términos que tienen incógnitas en un mismo miembro y los que no tienen incógnitas en otro. Para lograrlo, aplicamos la regla de la suma o de transposición.
Sumamos o restamos los términos semejantes.
Despejamos la incógnita. Para lograrlo, aplicamos la regla del producto por medio de la cual el 9 que multiplica pasa a dividir al otro miembro de la ecuación.
¿Cómo comprobar una ecuación?
¡Muy sencillo! Solo tienes que sustituir en la ecuación el valor de la incógnita y resolver. Si la igualdad se cumple, el ejercicio está resuelto correctamente. En caso contrario, debes revisar dónde estuvo el error.
Despejemos esta ecuación:
Como x = 2, sustituimos y comprobamos.
Por lo tanto, como las igualdades se cumplen, la ecuación está despejada correctamente.
APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES
Las ecuaciones son aplicables en mucho ámbitos de la vida, por ejemplo, para planificar nuestro dinero o para determinar cantidades por medio de igualdades. En otras áreas del saber, como la física, la química o la economía, las ecuaciones son de gran utilidad, pues sirven para expresar fórmulas y leyes que describen muchos fenómenos.
En general, algunas aplicaciones de las ecuaciones pueden ser:
Calcular longitudes, áreas, volúmenes y otras dimensiones de objetos.
Expresar cantidades físicas como densidad, peso específico o concentraciones de sustancias.
Formular algebraicamente un planteamiento teórico
Expresar leyes como la ley de gravitación universal en física o la ley para gases ideales en química.
Calcular ganancias y utilidades en el área de finanzas, entre otras aplicaciones.
¡A practicar!
Despeja la incógnita.
Solución
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RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Ecuaciones y despejes”
Este artículo contiene información complementaria referente al manejo de las ecuaciones y los despejes. También presenta una serie de ejercicios resueltos y propuestos de ecuaciones lineales.
La multiplicación y la división son operaciones básicas de la matemática. La primera consiste básicamente en sumar varias veces un mismo número y la segunda, en cambio, consiste en repartir cantidades. Ambas están muy relacionadas entre sí y su manejo es necesario para resolver otros tipos de problemas.
Elementos de la multiplicación
La multiplicación es una operación en la que se suma tantas veces un número como indica otro número, por ejemplo, 3 x 4 = 12 se puede representar como 3 + 3 + 3 + 3 = 12. El signo usado en la multiplicación es “x” y se lee “por”. Los elementos principales de una multiplicación son:
Factores o coeficientes: son los números que se multiplican, estos son multiplicando y multiplicador. El multiplicando es el número a sumar y el multiplicador es el número de veces que se suma al multiplicando. En la multiplicación 3 x 4 = 12, el número 3 es el multiplicando y el 4 corresponde al multiplicador.
Producto: es el resultado de la multiplicación de dos o más factores. Hay ocasiones en las que las multiplicaciones son largas y deben realizarse por medio de la suma de productos parciales.
¿Sabías qué?
En la multiplicación además de la equis también suele usarse el punto “·” como símbolo.
La multiplicación tiene la finalidad de calcular el producto o resultado que se obtiene de sumar el multiplicando tantas veces por sí mismo como indique el multiplicador. En estas operaciones, cuando el multiplicador es mayor a una cifra se requieren de productos parciales que se sumarán para obtener el resultado final de la multiplicación.
Propiedades de la multiplicación
Son cuatro propiedades: la conmutativa, la asociativa, la distributiva y la del elemento neutro.
Propiedad conmutativa
Esta propiedad permite que al multiplicar dos números el resultado sea el mismo sin importar el orden de los factores. Por ejemplo:
3 x 10 = 30
10 x 3 = 30
Por lo tanto, 3 x 10 = 10 x 3. Observa:
Propiedad asociativa
Esta propiedad permite que al multiplicar tres o más factores el producto siempre sea el mismo, sin importar como se agrupen estos. Por ejemplo, 2 x 4 x 6 se puede agrupar de estas formas:
(2 x 4) x 6 = 8 x 6 = 48
2 x (4 x 6) = 2 x 24 = 48
Por lo tanto, (2 x 4) x 6 = 2 x (4 x 6). Observa:
Propiedad distributiva
Esta propiedad permite que la suma de dos o más números multiplicada por otro número sea igual a la multiplicación de ese número por cada elemento de la suma. Por ejemplo:
Elemento neutro
El uno es el elemento neutro de la multiplicación, cualquier número multiplicado por él será igual a sí mismo. Por ejemplo:
0 x 1 = 0
3 x 1= 3
10 x 1 =10
113 x 1 = 113
¿Sabías qué?
La propiedad distributiva también puede aplicarse a números que se restan.
Modelos de multiplicación
Una multiplicación es una suma abreviada y puede ser representada a través del modelo grupal, modelo lineal y modelo geométrico. Estas son diferentes formas de dar sentido a las multiplicaciones y se pueden aplicar en situaciones simples de la vida.
Modelo grupal
En este modelo se construyen secuencias con la misma cantidad de elementos, estos grupos de elementos representan la multiplicación.
Observa la representación del modelo en los siguientes ejemplos:
4 pelotas de tenis = 4
1 vez 4 = 4 1 x 4 = 4
4 + 4 = 8 raquetas de tenis
2 veces 4 = 8 2 x 4 = 8
4 + 4 + 4 = 12 pelotas de baloncesto
3 veces 4 = 12 3 x 4 = 12
¿Sabías qué?
En el modelo grupal, 3 x 4 se lee como “tres veces cuatro”.
Modelo lineal
En este modelo se emplea la semirrecta numérica para representar las multiplicaciones. Se comienza desde cero y se cuenta de acuerdo al número de elementos que tenga el conjunto a estudiar y al número de conjuntos. Por ejemplo:
Un árbol crece 2 metros cada año. ¿Cuántos metros crecerá en 4 años?
Planteado el sistema en la gráfica sería:
4 veces 2 = 8 metros 4 x 2 = 8
Modelo geométrico
En este método se comparan las cuadrículas en columnas y filas para representar una multiplicación. Se colocan tantas filas como indique el primer factor y el número de columnas será igual al segundo factor. Por ejemplo:
La multiplicación 3 x 4 = 12 se representa geométricamente de la siguiente manera:
Si se cuentan cada una de las cuadrículas se obtiene el resultado: 3 x 4 = 12
Pasos para resolver ejercicios con el algoritmo de la multiplicación
Multiplica las unidades del multiplicador por cada una de las cifras del multiplicando y coloca el resultado en la fila de abajo. Será el primer producto parcial.
Multiplica las decenas del multiplicador por cada una de las cifras del multiplicando y coloca el resultado en la fila de abajo pero con la diferencia que se debe desplazar una posición hacia la izquierda. Este será el segundo producto parcial.
Suma los dos productos parciales. El número que obtengas será el total de la multiplicación.
– Resuelve la multiplicación 453 x 24
Por tratarse de una multiplicación con números grandes no sería tan fácil de resolver a través de los modelos grupal, lineal y geométrico. En estos casos debes emplear el algoritmo de la multiplicación y seguir los pasos mencionados anteriormente.
Para iniciar, el multiplicando y el multiplicador tienen que estar uno debajo del otro:
Luego multiplica las unidades del multiplicador por el multiplicando, es decir, multiplica 4 por 453:
Después multiplica las decenas del multiplicador por el multiplicando, es decir, 2 por 453:
Por último, suma los dos productos parciales que se calcularon para obtener el resultado de la multiplicación:
Elementos de la división
La división consiste en repartir grupos de elementos en partes iguales. Sus elementos principales son:
Dividendo: es el número que se va a dividir, es decir, la cantidad que se quiere repartir.
Divisor: es el número que divide, este indica cuántas veces se va a repartir el dividendo.
Cociente: es el resultado de la división.
Resto: es la cantidad que sobra de la división o la que no se puede repartir por ser menor que el divisor.
La división también se expresa con el símbolo “÷“, por ejemplo:
Método para comprobar una división
En una división se cumple la relación:
Dividendo = (cociente x divisor) + resto
De esta manera es muy fácil comprobar que una división esté correcta, solo se debe multiplicar el cociente que se obtuvo por el divisor y luego sumarle el resto. Si el resultado que se obtiene es igual al número del dividendo, entonces la división es correcta.
¿Sabías qué?
Cuando el resto de una división es igual a cero la división es exacta y cuando no lo es se denomina división inexacta.
Algoritmo de división
Los pasos para resolver una división son los siguientes:
– Resuelve la división 3.654 ÷ 25
Lo primero que hay que hacer es tomar las dos primeras cifras del dividendo, si estas dos cifras forman un número menor que el divisor entonces se toman tres cifras del dividendo. En este caso, las dos primeras cifras son 36 y como es mayor que 25 se puede continuar.
Divide el primer número del dividendo (si tomaste tres cifras, entonces divide los dos primero) entre el primer número del divisor. Coloca el número resultado en el cociente. Como el primer número del dividendo es 3 y el primer número del divisor es 2, el resultado de dividirlo es 1.
Multiplica el número del cociente por el divisor y coloca el resultado debajo de los dos números seleccionados al principio del dividendo. Luego haz la resta y anota el resultado:
Baja la cifra siguiente del dividendo. 5. Si divides 11 entre 2, el resultado es 5; y cuando multiplicas 5 por 25 se obtiene 125 que no puede restarse con 115. Por esta razón, coloca 4 en el cociente y continúa con los pasos anteriores.
Baja la cifra siguiente del dividendo.
Si divides 15 entre 2, obtienes 6. Colócalo en el cociente y repite los pasos anteriores. Como no existen más cifras del dividendo para bajar y el número que se obtuvo de la resta es menor que el divisor, entonces se culmina el ejercicios: 3.654 ÷ 25 = 146 y sobraron 4 unidades sin repartir (resto).
¡A practicar!
1. Resuelve las siguientes multiplicaciones:
a) 296 x 18
Solución
5.328
b) 593 x 29
Solución
17.197
c) 332 x 74
Solución
24.568
d) 375 x 16
Solución
6.000
e) 613 x 59
Solución
36.167
2. Resuelve las siguientes divisiones:
a) 4.739 ÷ 88
Solución
Cociente = 53; Resto = 75
b) 7.049 ÷ 41
Solución
Cociente = 171; Resto = 38
c) 9.370 ÷ 58
Solución
Cociente = 161; Resto = 32
d) 3.830 ÷ 40
Solución
Cociente = 95; Resto = 30
e) 5.378 ÷ 65
Solución
Cociente = 82; Resto = 48
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Trucos para aprender las tablas de multiplicar”
El siguiente artículo muestra algunas sugerencias para que el aprendizaje de las tablas de multiplicar sea más sencillo y significativo.
5. Si divides 11 entre 2, el resultado es 5; y cuando multiplicas 5 por 25 se obtiene 125 que no puede restarse con 115. Por esta razón, coloca 4 en el cociente y continúa con los pasos anteriores.
Como no existen más cifras del dividendo para bajar y el número que se obtuvo de la resta es menor que el divisor, entonces se culmina el ejercicios: 3.654 ÷ 25 = 146 y sobraron 4 unidades sin repartir (resto).