Las sucesiones son secuencias ordenadas de términos que siguen una determinada regla de recurrencia o patrón. Estas pueden ser aritméticas o geométricas. Las aritméticas tienen una diferencia con el término anterior en una cantidad constante, por ejemplo, 2, 4, 6, 8,… En cambio, en las geométricas cada término (excepto el primero) es múltiplo del término anterior de la sucesión, por ejemplo, 2, 4, 8, 16, 32,… Las sucesiones se utilizan en las matemáticas, en entidades financieras, en ciencias naturales, en informática y hasta en el arte.
La espiral de Fibonacci se trata de una espiral áurea que podemos construir a partir de los números contenidos en la sucesión de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13,…
LA RECTA NUMÉRICA
La recta numérica es una representación gráfica unidimensional que nos permite ubicar los números reales (), lo cual resulta de gran utilidad para comparar valores o indicar soluciones de intervalos en las inecuaciones. Se caracteriza por poseer el cero centrado y se considera el origen de la recta; hacia la izquierda se ubican los números negativos y a la derecha los positivos. Entre dos números, será mayor el que esté más a la derecha. Existen métodos para representar con precisión algunos números radicales sobre la recta.
Las reglas graduadas son un ejemplo de rectas numéricas. En estas vemos las divisiones de las unidades enteras que equivalen a las décimas.
PLANO CARTESIANO
Es un sistema de representación bidimensional muy utilizado en matemática y otras áreas para la ubicación de puntos en el plano. Su nombre se debe al filósofo y matemático René Descartes, quien propuso su aplicación en el siglo XVII como una base del sistema de coordenadas rectangulares. Está formado por un eje horizontal denominado eje de las abscisas, que tradicionalmente denotamos con la letra x; y un eje vertical llamado eje de las ordenadas, que por lo general representamos con la letra y. Cada eje se comporta como una recta numérica que se prolonga hasta el infinito.
Por lo general, lo mapas contienen ejes de coordenadas que asemejan el plano cartesiano. Las unión de dos coordenadas dan la ubicación de un punto.
FUNCIONES
Son expresiones matemáticas que indican una relación de correspondencia entre un conjunto de partida y un conjunto de llegada. Para que una relación sea considerada función, debe cumplirse que cada elemento del dominio tenga una sola imagen en el conjunto de llegada. Las funciones pueden ser inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.
Las funciones también se pueden clasificar de acuerdo con los operadores que contienen sus términos y estas pueden ser polinómicas, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, entre otras.
FUNCIÓN LINEAL
La función lineal es un tipo de funciónpolinómica cuyo mayor grado de exponente es 1. Su representación gráfica es una línea recta que puede ser descrita a partir de la ecuación explícita: y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es su ordenada al origen. Si conocemos la función de la recta podemos graficarla por medio una tabla de valores que cumpla con las soluciones de la función.
Estas gráficas representan dos funciones lineales. Las que no pasan por el origen se llaman funciones afines. Con dos puntos como mínimo se puede construir la recta.
PROPORCIONES
Las proporciones son una medida que relaciona a dos razones mediante una constante. El cociente que resulta de dividir una razón de proporción se conoce como constante de proporcionalidad. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una cantidad, la otra también aumenta; o si al disminuir una cantidad, la otra también disminuye. En cambio, dos magnitudes son inversamente proporcionales si al incrementar el valor de una, el valor de la otra disminuye; o si al disminuir el valor de una, la otra aumenta.
La cantidad de productos que compramos son directamente proporcionales con el precio, ya que a medida que más compramos más dinero pagamos.
Las sucesiones son series de números con un orden establecido llamado patrón. Algunas tienen un patrón en el que se suman o restan cantidades constantes, mientras que en otras el patrón se forma por medio de la multiplicación o división de cantidades constantes. Hoy aprenderemos cómo se llaman estos tipos de sucesiones y cómo calcular sus términos generales.
Las sucesiones forman parte de nuestra vida cotidiana. Incluso desde muy temprana edad ya están presentes de manera implícita en actividades que van desde aprender a contar hasta el cálculo de intereses compuestos de créditos bancarios. Las sucesiones se aplican cuando aprendemos a multiplicar o en programación para el diseño de videojuegos, por ejemplo.
¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?
Una sucesión es una secuencia ordenada de números o elementos que obedecen a un patrón o regla de formación particular. Por ejemplo, veamos la siguiente sucesión:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 …
En este caso, la sucesión está formada por números ordenados que reconocemos como cifras pares. Los puntos suspensivos al final nos indican que la sucesión es infinita.
Nota que cada número es 2 unidades superior al anterior, por lo tanto, el patrón de la sucesión consta de sumar 2.
¿Sabías qué?
Los elementos de una sucesión se llaman “terminos”.
Si denominamos a1 al primer término de la sucesión, a2 al segundo término, a3 al tercer término, y así sucesivamente, podemos determinar la regla de sucesión que sigue hasta el enésimo valor que llamaremos an. Los subíndices indican el lugar que ocupa cada elemento en la sucesión.
Observa que:
a1 = 2
a2 = 4
a3 = 6
a4 = 8
an = 2n
A partir de este análisis podemos obtener el término general de la sucesión:
an = 2n
Donde n es cualquier número entero. Por ejemplo, si n = 5, el quinto término de la sucesión es:
a5 = 2 × 5 = 10
Los término a20 y a25 de esta misma sucesión son los siguientes:
a20 = 2 × 20 = 40
a25 = 2 × 25 = 50
¿Qué es el término general de la sucesión?
Es el término que ocupa el enésimo lugar en la sucesión. Se escribe con la letra que denota la sucesión y el subíndice n. Por ejemplo, an.
Leonardo Pisa dio a conocer el uso de las sucesiones de Fibonacci en la solución de problemas (aunque ya se las usaban muchos años atrás). La espiral de Fibonacci, se construye trazando arcos circulares entre dos diagonales de cuadrados adosados, cuyos lados equivalen a los términos de la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…
Existen varias maneras de clasificar las sucesiones, por ejemplo, podemos decir que las sucesiones pueden ser finitas, o infinitas. Sin embargo, también podemos clasificarlas de acuerdo a la diferencia o a la razón entre sus términos. En estos casos hablamos de sucesiones aritméticas y geométricas.
Sucesiones aritméticas
Son aquellas en las que cada término, con excepción del primero, tiene una diferencia con el término anterior en una cantidad constante. Por ejemplo:
20.000, 22.000, 24.000, 26.000, ..
Esta es una sucesión aritmética porque la diferencia entre un término y el siguiente es la misma en cada caso, es decir, la diferencia es constante.
A esta diferencia, denominada diferencia común y representada como d, la podemos obtener por medio de una resta entre cualquier término y su término anterior. Para la sucesión antes señalada la diferencia común d es:
d = 22.000 − 20.000 = 2.000
d = 24.000 − 22.000 = 2.000
d = 26.000 − 24.000 = 2.000
Observa que sin importar el término que elijas la diferencia siempre será la misma.
– Otro ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
5, 1, −3, −7, −11, −15, …
La diferencia común d = −4 porque:
d = 1 − 5 = −4
d = −3 − 1 = −4
d = −15 − (−11) = −4
¡Es tu turno!
Observa estas sucesiones aritméticas, ¿cuál es la diferencia común d?
−15, −12, −9, −6, −3, 0, 3, …
Solución
d = 3
230, 345, 460, 575, 690, 805, …
Solución
d = 115
Término enésimo de una sucesión aritmética
El término enésimo de una sucesión aritmética con un primer término a1 y una diferencia común d es el siguiente:
an = a1 + d(n − 1)
– Ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
−3, −1, 1, 3, 5, …
La diferencia común d = 2 porque:
d = −1 − (−3)
d = 2
Por lo tanto, si a1 = −3 y d = 2, el término enésimo de la sucesión es:
an = a1 + d(n −1)
an = −3 + 2(n − 1)
an = −3 + (2n − 2)
an = −3 + 2n − 2
an = 2n − 5
Entonces, si queremo determinar a10, a12 y a15 solo aplicamos:
a10 = 2n − 5 = 2 (10) − 5 = 20 − 5
a10 =15
a12 = 2n − 5 = 2 (12) − 5 = 24 − 5
a12 = 19
a15 = 2n − 5 = 2 (15) − 5 = 30 − 5
a15 = 25
Podemos considerar los ahorros como una sucesión aritmética. Por ejemplo, si tenemos $ 10 ahorrados y cada mes le sumamos $ 2, los primeros cuatro meses podríamos representarlos como: 10, 12, 14, 16, … Entonces, si a1 = 10 y la diferencia común d = 2, el término enésimo de esta sucesión sería: an = 8 + 2n. Calcula cuánto podemos ahorrar de esta manera en 6 meses.
Sucesiones geométricas
Son aquellas en las que cada término (excepto el primero) es múltiplo del término anterior de la sucesión. El cociente entre cualquier término y su precedente es constante. Por ejemplo:
20.000, 30.000, 45.000, 67.500, 101.250, …
Esta es una sucesión geométrica porque el cociente de la división entre cualquier término y su anterior es el mismo en cada caso.
Este cociente es igual al múltiplo común entre términos y se llama razón común (r). Se obtiene al dividir un término con el que le precede. Para esta sucesión la razón común se determina así:
r = 30.000 ÷ 20.000 = 1,5
r = 45.000 ÷ 30.000 = 1,5
r = 101.250 ÷ 67.500 = 1,5
Observa que sin importar el término que elijas la razón común es la misma: 1,5.
– Otro ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
3, 12, 48, 192, 768, 3.072, …
La razón común es 4 porque:
r = 12 ÷ 3 = 4
r = 48 ÷ 12 = 4
r = 768 ÷ 192 = 4
¡Es tu turno!
Observa estas sucesiones geométricas, ¿cuál es la razón común?
5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, …
Solución
r = 2
−18, 54, −162, 486, −1.458, …
Solución
r = −3
Término enésimo de una sucesión geométrica
El término enésimo de una sucesión geométrica con un primer término a1 y una razón común r es el siguiente:
an = a1(rn − 1)
– Ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
3, −6, 12, −24, 48, −96, …
La razón común r = −2 porque:
r = −6 ÷ 3 = −2
r = −24 ÷ 12 = −2
r = −96 ÷ 48 = −2
Por lo tanto, si a1 = 3 y r = −2, el término enésimo de la sucesión es:
an = a1(rn − 1)
an = 3(−2n − 1)
Entonces, si queremos determinar a8, a10 y a12 solo aplicamos:
La división celular es un ejemplo de sucesión geométrica, ya que si por ejemplo, partimos de una célula (a1 = 1), durante el proceso de meiosis esta se divide y obtenemos dos células nuevas (a2 = 2). Luego, estas dos células a su vez se dividen y se tienen 4 células más (a3 = 4). La razón de progresión r = 2 y an = 2n − 1.
Resolvamos unos problemas
1. Marcos comenzó un trabajo y su pago inicial fue de $ 15.000. Se le prometió un aumento de $ 1.500 después de cada año. ¿Cuál será su salario en el séptimo año de trabajo? ¿y en el décimo año?
Datos
Salario inicial = a1= $ 15.000
Aumento anual = d = $ 1.500
Reflexiona
Su salario después de los primeros años es: 15.000, 16.500, 18.000, 19.500 … Ya que se suma una cantidad constante, esta es una sucesión aritmética. El término general enésimo de una sucesión aritmética es an = a1 + d(n − 1). Donde a1 = 15.000. Tenemos que calcular la diferencia común, luego el término enésimo y finalmente a7 y a10.
Calcula
– Diferencia común, d
d = 16.500 − 15.000 = 1.500
– Término enésimo
an = a1 + d(n − 1)
an = 15.000 + 1.500(n − 1)
an = 15.000 + 1.500n − 1.500
an = 13.500 + 1.500n
– Términos a7 y a10
a7 = 13.500 + 1.500(7)
a7 = 13.500 + 10.500
a7 = 24.000
a10 = 13.500 + 1.500(10)
a10 = 13.500 + 15.000
a10 = 28.500
Responde
En su séptimo año Marcos tendrá un salario de $ 24.000.
En su décimo año Marcos tendrá un salario de $ 28.500.
2. Un auditorio tiene 15 asientos en la primera fila. Cada fila sucesiva tiene tres asientos más que el anterior. ¿Cuántos asientos hay en las primeras diez filas?
Datos
Asientos en la primera fila = a1 = 15
Diferencia con las demás filas = d = 3 asientos
Reflexiona
Como cada fila tiene 3 asientos más que la anterior se trata de una sucesión aritmética. Primero calculamos el término enésimo y luego determinamos los primeros diez términos.
Calcula
– Término enésimo
an = a1 + d(n − 1)
an = 15 + 3(n − 1)
an = 15 + 3n − 3
an = 12 + 3n
– Primeros diez términos
a1 = 12 + 3(1) = 12 + 3 = 15
a2 = 12 + 3(2) = 12 + 6 = 18
a3 = 12 + 3(3) = 12 + 9 = 21
a4 = 12 + 3(4) = 12 + 12 = 24
a5 = 12 + 3(5) = 12 + 15 = 27
a6 = 12 + 3(6) = 12 + 18 = 30
a7 = 12 + 3(7) = 12 + 21 = 33
a8 = 12 + 3(8) = 12 + 24 = 36
a9 = 12 + 3(9) = 12 + 27 = 39
a10 = 12 + 3(10) = 12 + 30 = 32
Responde
La cantidad de asientos en cada fila sigue este orden: 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 32.
3. José tiene una alcancía. Si el día 1 sacó $ 1, el día 2 sacó $ 2, el día 3 sacó $ 4, el día 4 sacó $ 8, y así sucesivamente, ¿cuánto dinero sacó después de 30 días?
Datos
Dinero sacado el día 1 = a1 = $ 1
Dinero sacado el día 2 = a2 = $ 2
Dinero sacado el día 3 = a3 = $ 4
Dinero sacado el día 4 = a4 = $ 8
Reflexiona
Como la cantidad de dinero sacado se multiplica cada día, se trata de una sucesión geométrica. Por lo tanto, a partir de la fórmula general del término enésimo (an = a1(rn − 1)) podremos saber el dinero sacado a los 30 días. Nota que a1 = 1 y r = 2.
Calcula
an = a1(rn − 1)
a30 = 1(230 − 1)
a30 = 1(229)
a30 = 536.870.912
Responde
José sacó $ 536.870.912.
Las sucesiones también pueden clasificarse como progresivas o ascendentes; o regresivas o descendentes. Las primeras son aquellas que van de menor a mayor, mientras que las segundas son las que van de mayor a menor. Un ejemplo de estas sucesiones podemos verlo en el orden en el que enumeran los asientos de un estadio.
¡A practicar!
Observa las siguientes sucesiones.
Indica si la sucesión es aritmética o geométrica.
Encuentra el término enésimo.
Determina a12 en cada caso.
20, 19,3, 18,6, 17,9, …
Solución
a.
Es una sucesión aritmética.
b.
Si d = −0,7 y a1 = 20 el término enésimo es:
an = a1 + d(n − 1)
an = 20 + 0,7(n − 1)
an = 20 + (0,7n − 0,7)
an = 20 − 0,7n + 0,7
an = 20,7 − 0,7n
c.
a12 = 20,7 − 0,7 (12) = 20,7 − 8,4
a12= 12,3
4, 2, 1, 0,5, 0,25, …
Solución
a.
Es una sucesión geométrica.
b.
Si a1 = 4 y r = 0,5 el término enésimo es:
an = a1(rn − 1)
an = 4(0,5n − 1)
c.
a12 = 4(0,512 − 1) = 4 (0,513)
a12 = 4,8 × 10−5
13, 23, 33, 43, 53, 63, …
Solución
a.
Es una sucesión aritmética.
b.
Si a1 = 13 y d = 10 el término enésimo es:
an = a1 + d(n − 1)
an = 13 + 10(n − 1)
an = 13 + 10n − 10
an = 3 + 10n
c.
a12 = 3 + 10(12) = 3 + 120
a12 = 123
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Sucesiones”
En el siguiente artículo encontrarás ejemplos relacionados con sucesiones aritméticas. Adicionalmente, el artículo describe algunos tipos de sucesiones.
Las fracciones, a diferencia de los números enteros, permiten expresar proporciones de algo. Son útiles en la vida cotidiana y se usan con más frecuencia de lo que piensas. Frases como “un cuarto de kilo” o “un tercio de taza” son algunos ejemplos. En matemática son tan relevantes que forman su propio conjunto de números: los racionales.
Partes de una fracción
Una fracción resulta de dividir un número entero en partes iguales. En matemática es representada por dos números enteros ,denominados términos, que están separados por una línea horizontal, denominada raya de división o raya fraccionaria.
Los números que componen a una fracción se denominan numerador y denominador. El primero está ubicado en la parte superior de la raya de división y el segundo está en la parte inferior de esta. El numerador indica el número de partes que se han tomado de un entero, mientras que el denominador representa el número de partes en que se ha dividido el entero.
Podemos expresar las fracciones con una línea divisoria horizontal o diagonal. En este sentido, a la fracción también la podríamos expresar como 1/2.
Para entender el significado de la fracción anterior imaginemos que una pizza representa el “todo”, es decir, sería el entero que queremos dividir, el denominador de una fracción representa el número de partes que se ha dividido el entero, lo que nos permite concluir que la pizza se ha dividido en dos parte. Por otro lado, el numerador representa el número de partes que se ha tomado, en este ejemplo es 1, lo que quiere decir que 1/2 de pizza sería una de las dos porciones de la pizza.
La expresión 1/2 de pizza sería lo mismo que dividir la pizza en dos partes iguales y tomar una de esas partes. En la cocina se emplean fracciones para hablar de unidades de medición como tazas de ingrediente, por ejemplo: 1/2 de taza de harina, 1/3 de taza de agua, etc. Recuerda que el denominador indica cuántas veces se ha dividido algo en partes iguales (una taza, un litro, una naranja…).
¿Sabías qué?
El denominador de una fracción nunca es igual a cero (0).
Como ya sabemos, el denominador indica en cuántas partes se dividió un número entero. Cada una de esas partes recibe un nombre, por ejemplo, si dividimos en dos son medios, si dividimos en tres son tercios, si dividimos en cuatro son cuartos y así hasta el número once, a partir de ese número añadimos el sufijo –avos al número: onceavos, doceavos, treceavos y así sucesivamente.
Esta tabla muestra el nombre de cada una de las partes en las que se puede dividir un entero hasta el cien:
Partes que se divide del entero
Nombre
2
Medios
3
Tercios
4
Cuartos
5
Quintos
6
Sextos
7
Séptimos
8
Octavos
9
Novenos
10
Décimos
11
Onceavos
12
Doceavos
13
Treceavos
14
Catorceavos
15
Quinceavos
16
Dieciseisavos
17
Diecisieteavos
18
Dieciochoavos
19
Diecinueveavos
20
Veinteavos
30
Treintavos
40
Cuarentavos
50
Cincuentavos
60
Sesentavos
70
Setentavos
80
Ochentavos
90
Noventavos
100
Centavo
Para leer una fracción primero indicamos el número del numerador y luego las partes en las que está dividido el entero de acuerdo a la tabla anterior. Por ejemplo, se lee como “un medio”. Observemos otros ejemplos:
a) se lee “dos tercios”.
b) se lee “seis octavos”.
c) se lee “quince treintavos”.
d) se lee “doce veintitresavos”.
e) se lee “treinta y dos cuarentavos”.
f) se lee “noventa y siete centavos”.
¿Sabías qué?
Los centavos también son llamados céntimos.
Origen muy antiguo
Las antiguas civilizaciones como la babilónica, la egipcia y la griega usaban las fracciones en sus cálculos. Cada una tenía una manera particular de expresarlas y no fue sino hasta el siglo XIII cuando el matemático italiano Leonardo Fibonacci difundió el uso de la línea horizontal, símbolo que se emplea en la actualidad para separar el numerador y denominador en una fracción.
Relación de las fracciones y la división
Las fracciones representan porciones de un todo, es por ello que de alguna manera están estrechamente relacionadas con la división. De hecho, toda fracción es una división sin resolver, es decir; es equivalente a . Por lo tanto, es igual a .
En algunas ocasiones podemos expresar operaciones en forma de fracción, pero también podemos hacerlo como división y resolver la misma.
¿Sabías qué?
Existen fracciones que están formadas por una parte entera y una fraccionaria, a ellas se las conoce como fracciones mixtas.
Aplicación en la vida cotidiana de las fracciones
El ser humano siempre ha tenido la necesidad de contar, medir y repartir; razón por la que inventó los números. Las fracciones no están lejos de esta realidad y son usadas para entender porciones de cosas.
Están presentes en recetas de cocinas, en mediciones de telas y de volúmenes de productos (como en las gaseosas de medio litro o 1/2 L). Hay autos donde los indicadores del nivel de gasolina son expresados en fracciones para saber si el tanque está lleno, tiene la mitad o un cuarto de su capacidada.
Incluso, están presentes en algunas monedas como el dólar, donde existe una denominación llamada “centavo de dólar”, es decir, si el valor de un dólar lo pudiéramos dividir en 100 partes iguales, una de esas partes sería el centavo.
En resumen, las fracciones permiten expresar cantidades cotidianas de manera más sencilla.
Además de sus múltiples aplicaciones en los cálculos matemáticos, las fracciones se emplean en situaciones cotidianas de la vida como lo son las mediciones. También se usan en gráficos que permiten comprender datos de manera más simple. Muchos países del mundo las emplean en sus monedas y ciertos dispositivos usan escalas expresadas en fracciones.
¡A practicar!
1. ¿Cómo se leen las siguientes fracciones?
a)
Solución
Cinco tercios.
b)
Solución
Un centavo.
c)
Solución
Veintitrés cuarentavos.
d)
Solución
Tres medios.
e)
Solución
Dos quintos.
f)
Solución
Doce onceavos.
g)
Solución
Siete décimos.
h)
Solución
Once sextos.
i)
Solución
Trece cuartos.
j)
Solución
Cincuenta y ocho séptimos.
2. ¿Cómo se escriben en número estas fracciones?
a) Nueve décimos.
Solución
b) Catorce novenos.
Solución
c) Setenta y tres centavos.
Solución
d) Ochenta y ocho novenos.
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Video “Fracciones decimales”
Este video ayuda a entender la relación entre las fracciones y los números decimales así como la manera en transformar una fracción en decimal.
En el presente tomo de la Enciclopedia Matemáticas Primaria tendrás acceso a información más detallada sobre las fracciones, así como la posibilidad de obtener diferentes recursos educativos sobre este tema.
Al contar los números naturales, ya sea de 1 en 1, 2 en 2, o de 5 en 5, se aplican secuencias de números ordenados que se rigen por ciertas reglas, de manera que cumplen con un orden establecido. Una de las más conocidas es la sucesión de Fibonacci, pero las secuencias pueden ser de varios tipos: finitas o infinas, ascendentes o descendentes.
SeCUENCIAS con figuras
Una secuencia es un conjunto de elementos que están relacionadas entre sí y que se encuentran ordenadas según un criterio.
En las secuencias ordenadas en función de un patrón de figuras, se observa que los objetos están organizados de acuerdo a uno o más atributos. Algunos ejemplos son:
Por tamaño:
Por color:
Por forma:
También pueden contener imágenes y patrones más complejos:
El orden de una secuencia numérica no siempre es el mismo, por ejemplo, los elementos pueden estar ordenados de forma ascendente, de manera alternada o de manera decreciente.
Partes de una secuencia numérica
Una de las primeras secuencias que la mayoría de las personas aprende es la secuencia de los números naturales y se expresa de la siguiente forma: = {1, 2, 3, 4 ,…} en donde cada uno de los números denominados elementos, se encuentran ordenados de 1 en 1. Los tres puntos suspensivos al final de la secuencia indican que los números continúan.
Las secuencias pueden ser infinitas, como pasa con los números naturales, que siguen la secuencia de manera ilimitada, y también pueden ser finitas como sucede con la secuencia de las vocales: {a, e, i, o, u}.
¿Sabías qué?
Las secuencias numéricas permiten desarrollar el razonamiento matemático.
Secuencias ascendentes y descendentes
– Secuencias ascendentes
Las secuencias numéricas tienen una regla que permite determinar el valor de cada término o elemento de la misma. Por ejemplo, cuando se cuentan los números de 2 en 2, en realidad se incrementan 2 números por cada elemento, es decir, la regla en este caso sería sumar 2 a cada elemento:
En la imagen se puede observar como cada elemento de la secuencia se incrementa por 2, esto significa que es una secuencia ascendente porque todos sus elementos van en aumento, por lo tanto, cada número es mayor que el anterior. Si a 2 se le suma 2, el resultado es 4 y si a este número se le suma 2 el resultado es 6, y así sucesivamente. En este caso, la secuencia numérica se representa como: {2, 4, 6, 8, …}.
– Secuencia descendente
Las secuencias descendentes, en cambio, se desarrollan en forma regresiva y cada número es menor que el anterior. En la siguiente imagen se puede observar un ejemplo de secuencia descendente:
La regla en esta secuencia descendente es restar 3 a cada número, de manera que es fácil calcular el número a continuación del 9, para ello realizamos la regla: 9 – 3 = 6, así, el número siguiente a 9 en esta secuencia es 6.
¿Sabías qué?
Hay secuencias ascendentes cuya regla consiste en multiplicar un número a cada elemento y secuencias descendentes donde se divide un número a cada elemento.
Números de Fibonacci
Son conocidos también como secuencia de Fibonacci. Su nombre proviene de quien la describió por primera vez en Europa: el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Es una secuencia en la cual el número siguiente se obtiene al sumar los dos números anteriores a este y se detalla a continuación {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ,…}. En la secuencia se puede observar que, por ejemplo, los dos números anteriores al 13 son el 5 y el 8, que al sumarlos dan como resultado al número siguiente: 5 + 8 = 13. Esto se cumple para todos los números de la secuencia.
Antes de comenzar con este tema es importante recordar que multiplicar es lo mismo que sumar muchas veces el mismo número, por ejemplo:
4 x 3 = 12 es igual a 4 + 4 + 4= 12
Esto se debe a que la multiplicación está muy relacionada con la adición. Algo similar sucede con la división, la cual guarda relación con la resta. Por ejemplo, si se tiene la división 12 ÷ 3, hay que restarle 3 a 12 tantas veces como sea posible:
Al observar la imagen se razona que 12 fue restado 4 veces por el número 3. De esta manera se tiene que 12 ÷ 3 = 4.
Pasos para dividir a través de restas sucesivas
Las divisiones pueden realizarse a través de restas sucesivas de la siguiente manera:
Resta el divisor al dividendo tantas veces como sea posible. Hazlo hasta que el resultado sea 0 o un número menor al divisor.
Se cuenta el número de veces que se restó el divisor.
El cociente de la división será igual al número de veces que se restó el divisor y el resto será igual al último número que dio como resultado la resta.
Otro ejemplo:
– Resuelve la división 30 ÷ 5
Se resuelve a través de los pasos anteriores, para simplificar se sugiere utilizar una tabla similar a esta:
El resultado es 30 ÷ 5 = 6, y se trata de una división exacta porque el resto es igual a 0.
A continuación se muestra otro ejemplo de división pero en este caso es inexacta:
En el ejercicio anterior 27 ÷ 4 = 6 pero existe un resto igual a 3, como 3 es menor que el divisor no se puede continuar las restas en este método.
Ejercicios
Completa las siguientes oraciones:
a. En las secuencias ________ todos sus elementos van en aumento.
Solución
ascendentes
b. La secuencia {25, 20, 15, 10 , …} es una secuencia ______.
Solución
descendente
c. Las divisiones pueden calcularse con el método de ______.
Solución
restas sucesivas
Completa las siguientes secuencias numéricas:
a. {50, 40, ___, 20, …}
Solución
30
b. {12, ___, 8, 6, …}
Solución
10
c) {15, 30, ___, 60, 75, …}
Solución
45
d) { ___, 5.000, 4.000, 3.000, 2.000, …}
Solución
6.000
Resuelve las siguientes divisiones a través de restas sucesivas
a. 20 ÷ 5
b. 24 ÷ 6
c. 16 ÷ 5
d. 20 ÷ 3
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Sucesiones y series”
El siguiente artículo explica la diferencia entre una serie y una sucesión:
El video muestra cómo realizar restas por descomposición que el docente puede emplear para relacionar la secuencias de sistema decimal con las secuencias numéricas estudiadas.
La regla en esta secuencia descendente es restar 3 a cada número, de manera que es fácil calcular el número a continuación del 9, para ello realizamos la regla: 9 – 3 = 6, así, el número siguiente a 9 en esta secuencia es 6.
En el ejercicio anterior 27 ÷ 4 = 6 pero existe un resto igual a 3, como 3 es menor que el divisor no se puede continuar las restas en este método.
