La matemática presenta cuatro operaciones básicas: adición o suma, sustracción o resta, multiplicación y división. La adición consiste en combinar dos o más números para obtener un total. Esta operación emplea el símbolo “+” y tiene dos elementos: los sumandos, que son los números que se van a sumar, y la suma, que consiste en el resultado en sí. La sustracción, por su parte, es una operación que consiste en quitar una cantidad a otra, por esto es considerada como la operación inversa a la adición, y emplea el símbolo “−”. Los elementos de una resta son: el minuendo que es el número al que se le va a quitar la cantidad, el sustraendo que es el número que resta y la diferencia que es el resultado de la operación.
El método por reagrupación permite resolver problemas de adición y sustracción en función de los valores posicionales de los números.
Multiplicación y división
La multiplicación y la división son otras operaciones fundamentales de la matemática. Se dice que la multiplicación es una suma abreviada porque permite sumar tantas veces un número como indique otro, a menudo se usa la equis (x) para indicar esta operación pero también se usa el punto (·). Está formada por los factores, que son los números que se multiplican y por el producto que es el resultado de dicha operación. Por otro lado, la división es la operación opuesta a la multiplicación y consiste en repartir grupos de elementos en partes iguales. Su símbolo es “÷” y sus elementos principales son: el dividendo, que es el número que se reparte; el divisor, que es el número que indica las partes en las que se va a dividir el dividendo; el cociente, que es el resultado; y el resto, que es la cantidad que no se puede dividir.
Para resolver divisiones es muy importante dominar muy bien las multiplicaciones.
Operaciones combinadas
Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen dos o más operaciones matemáticas. Aunque pueden incluir símbolos como los paréntesis, corchetes y llaves, cuando se aplican a números naturales estos símbolos no son necesarios. Para resolver cálculos combinados de suma y resta, se resuelven los números de izquierda a derecha en función de la operación que se indique. Cuando existan operaciones combinadas que además de suma o resta incluyan multiplicación, división o ambas, se resuelven las multiplicaciones y divisiones primero para luego sumar o restar de la manera mencionada anteriormente.
En las operaciones combinadas primero se resuelven las multiplicaciones y divisiones, después se resuelven sumas o restas.
En matemática existen cuatro operaciones básicas: adición, sustracción, multiplicación y división. De las dos primeras se desprenden las otras, lo que quiere decir que aprender a sumar y a restar es fundamental para resolver la mayoría de los ejercicios matemáticos y para realizar cuentas cotidianas como, por ejemplo, en compras del supermercado.
Elementos de la adición
La adición es una de las operaciones básicas de la aritmética que permite combinar dos o más números para obtener un total. Esta operación se representa con el símbolo “+” y es aplicada en los diferentes tipos de números: naturales, enteros, racionales, reales y complejos.
Una adición presenta dos partes básicas: los sumandos y la suma. Los sumandos son todos los números que se van a sumar y la suma se refiere al resultado.
La adición anterior tiene dos sumandos: 352 y 431, y el resultado o suma es 783. Es importante tener presente que en estos casos la palabra “suma” se emplea para hablar de la operación de adición y también para referirse al resultado.
¿Sabías qué?
La aritmética es una rama de la matemática que estudia los números y las operaciones elementales que se realizan con ellos.
Propiedades de la adición
La suma de números enteros cumple tres propiedades básicas:
Propiedad conmutativa
Sin importar cómo se ordenen los sumandos de una suma, el resultado siempre será el mismo. Por ejemplo:
Por lo tanto:
15 + 3 = 18
3 + 15 = 18
Propiedad asociativa
No importa como se agrupen los elementos de una suma, el resultado siempre será el mismo. Por ejemplo:
En el problema: 8 + 2 + 6, se pueden sumar primero el 8 y 2 para luego sumar el 6, o se pueden sumar el 2 y el 6 y después sumar el 8. Entonces:
8 + 2 = 10, 10 + 6 = 16
2 + 6 = 8; 8 + 8 = 16
Propiedad del elemento neutro
El cero es el único número que no altera el resultado en una suma, es decir, la suma de cualquier número con el cero es igual al mismo número:
5 + 0 = 5
45 + 0 = 45
219 + 0 = 219
Conocer las propiedades de la suma permite realizar cálculos de manera más rápida. Por ejemplo, si necesitamos sumar 6 + 85, es más fácil agregar mentalmente 6 a 85 que 85 a 6. También se usa la propiedad asociativa en la suma de números con diferentes cifras, estos se pueden ordenar de mayor a menor y luego realizar una suma por reagrupación más sencilla.
Es un método en el que se agrupan las unidades, decenas, centenas, etc., de un número. Para resolver problemas de este tipo se suman primero las unidades, luego las decenas, después las centenas y así sucesivamente.
Pasos para resolver adiciones por reagrupación
Colocar los sumandos uno debajo del otro de manera que los valores posicionales iguales estén ubicados en una misma columna: unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas…
Sumar cada columna por separado a partir de las unidades. El resultado de la suma de cada columna se escribe en la parte inferior de esta.
En caso de obtener un número de dos cifras al momento de sumar una columna, se anotará el número de la unidad de dicho número y la decena se sumará a la columna siguiente.
Con estos ejemplos podrás ver mejor cómo resolver una suma por reagrupación:
– Sumar 242 + 351
Lo primero es colocar los números uno debajo del otro según sus mismos valores posicionales.
Luego suma la columna de las unidades y anota el resultado debajo de dicha columna.
Repite el procedimiento anterior en las demás columnas de derecha a izquierda hasta completarlas todas. En este caso el resultado es: 242 + 351 = 593.
– Sumar 198 + 23
Ordena los números de la siguiente manera:
Cuando sumas la columna de las unidades tienes que 8 + 3 = 11, entonces solo debes colocar el 1 de la unidad y el 1 de la decena lo sumas en la siguiente columna. Anota el número en la parte superior de la columna para no olvidar sumarlo al final.
Suma la segunda columna. Allí tienes que 9 + 2 = 11, pero hay que sumarle 1 de la columna anterior, entonces el resultado de la segunda columna es 12. Anota el 2 de la unidad y el 1 de la decena lo sumas a la siguiente columna.
En la tercera columna solamente está el número 1, así que el 1 de la columna anterior se suma a este. Anota el resultado.
El resultado de la suma anterior es: 198 + 23 = 221. En caso de sumar la última columna y obtener un número de dos cifras, este se anotará exactamente igual en el resultado.
Elementos de la sustracción
La sustracción es otra operación básica de la aritmética que consiste en quitar una cantidad a otra, por eso se considera como la operación opuesta a la suma. Se representa con el símbolo “−”.
Este tipo de operación cuenta con un minuendo, número al cual se le quita cierta cantidad; un sustraendo, número que resta al minuendo; y la diferencia, resultado de la operación.
¿Sabías qué?
La diferencia de una resta es la cantidad que falta para que ambos números sean iguales.
Propiedades de la sustracción
La sustracción cumple con dos propiedades básicas:
Elemento neutro
El resultado de cualquier número y cero da como resultado el mismo número. Por ejemplo:
3 − 0 = 3
157 − 0 = 157
Elemento simétrico
El resultado de restar un número con su opuesto (número del mismo valor con signo opuesto) da como resultado el número cero.
5 − 5 = 0
74 − 74 = 0
¿Sabías qué?
En la sustracción no existen ni la propiedad conmutativa ni la asociativa.
Sustracción por reagrupación
Este tipo de problemas se realizan mediante la agrupación de los números uno debajo del otro de forma tal que valores posicionales entre las cifras de los números que se restan sean los mismos. Para las restas con naturales, el número mayor debe estar ubicado en la parte de arriba (minuendo) y el número menor debajo (sustraendo).
¿Sabías qué?
La resta por reagrupacion también es conocida como resta con llevada y sirve para restar una cifra mayor a una menor.
Pasos para resolver restas por reagrupación
Colocar el minuendo y el sustraendo uno debajo del otro de manera que los valores posicionales iguales estén ubicados en la misma columna. El número mayor siempre debe estar ubicado en la parte de arriba.
Comenzar a restar desde la columna de las unidades, de derecha a izquierda.
Si en una columna se tiene que la cifra de arriba es menor que la de abajo, esta cifra toma prestado un valor posicional a la columna del minuendo de la izquierda.
En caso de que la cifra del minuendo le haya “prestado” un valor posicional a la cifra de al lado, esta se reduce en una unidad y se debe considerar el nuevo valor de la cifra al momento de restar en su columna.
Con estos ejemplos podrás apreciar mejor cómo resolver una resta por reagrupación:
– Restar 425 − 263
Lo primero es colocar los números uno debajo del otro con sus valores posicionales iguales, todos ubicados en la misma columna.
Luego resta las cifras en la columna de las unidades.
Repite la resta en la columna de las decenas, pero como en este caso el 2 es menor que el 6, el 4 presta una centena al 2. De este modo, 4 centenas y 2 decenas, se convierten en 3 centenas y 12 decenas. Ahora sí es posible restar 12 menos 6 en la columna de las decenas.
Resta las cifras en la columna de las centenas. Como el 4 le prestó 1 al 2, entonces quedó en 3 centenas que al restarse con el 2 el resultado de la columna es 1.
Ejercicios
1. Resuelve las siguientes sumas:
a) 452 + 395 =
Solución
847
b) 256 + 122 =
Solución
378
c) 603 + 113 =
Solución
716
d) 126 + 460 =
Solución
586
e) 1.830 + 2.178 =
Solución
4.008
2. Resuelve las siguientes restas:
a) 853 − 741 =
Solución
112
b) 544 − 35 =
Solución
509
c) 1.789 − 1.354 =
Solución
435
d) 957 − 362 =
Solución
595
e) 4.780 − 3541 =
Solución
1.239
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Operaciones básicas de los números naturales y sus propiedades”
El presente artículo permite profundizar el tema de las operaciones básicas y de sus diferentes propiedades.
Repite el procedimiento anterior en las demás columnas de derecha a izquierda hasta completarlas todas. En este caso el resultado es: 242 + 351 = 593.
– Sumar 198 + 23
En la tercera columna solamente está el número 1, así que el 1 de la columna anterior se suma a este. Anota el resultado.
El resultado de la suma anterior es: 198 + 23 = 221. En caso de sumar la última columna y obtener un número de dos cifras, este se anotará exactamente igual en el resultado.
