CAPÍTULO 2 / TEMA 5

OPERACIONES COMBINADAS

Las operaciones combinadas son expresiones formadas por números que se agrupan de diferentes formas, con cálculos diversos. Estas operaciones pueden emplear símbolos como los paréntesis, que se encargan de unir un grupos de operaciones para ser resueltas primero. Los pasos son muy sencillos, ¡aprende hoy cómo resolver operaciones combinadas!

Recomendaciones para resolver problemas combinados

Para resolver las operaciones combinadas debemos tener en cuenta que:

Para sumar o restar dos números, ambos deben estar “sueltos”, es decir, no se pueden sumar o restar dos números si uno de ellos está unido a otra expresión mediante un símbolo u otro signo como el de la multiplicación.
Los signos de multiplicar generan una unión más fuerte que los de sumar y restar. Cuando dos o más números están unidos por un signo de multiplicación generan una unión inseparable, mientras que los que están unidos por signos de suma y resta se encuentran más “sueltos” en la operación.
Las operaciones combinadas deben resolverse paso a paso. Todo lo que se resuelve en un paso debe copiarse, sin realizar cambios al inicio del siguiente paso.
Antes de comenzar a resolver las operaciones combinadas se deben conocer las propiedades de dichas operaciones para así plantear una estrategia a seguir sin cometer errores.
Siempre se resuelve primero lo que está en el interior del paréntesis, para seguir luego con las multiplicaciones y finalmente con las sumas y restas.

¿Qué más debes saber?

Para ser un experto en resolución de cálculos combinados debes:

Ser prolijo.
Identificar los distintos términos de un ejercicio y el orden de resolución.
Revisar todos los pasos una vez terminado el ejercicio.
Practicar, practicar y practicar.

operaciones combinadas sin PARÉNTESIS

En una operación combinada sin paréntesis tenemos que respetar la jerarquía de los cálculos: primero resolvemos las multiplicaciones y divisiones, luego resolvemos las sumas y restas.

– Ejemplo:

9 − 2 × 4 + 12

Primero resolvemos la multiplicación: 2 × 4 = 8.

9 − 8 + 12

Luego resolvemos las sumas y restas:

9 − 8 + 12 = 13

Finalmente escribimos el resultado:

9 − 2 × 4 + 12 = 13

– Otro ejemplo:

81 ÷ 9 + 7 × 8 − 13 × 5

Realizamos las divisiones y multiplicaciones:

9 + 56 − 65

Resolvemos las sumas y restas:

9 + 56 − 65 = 0

Escribimos la respuestas:

81 ÷ 9 + 7 × 8 − 13 × 5 = 0

¡Es tu turno!

15 + 8 − 2 − 6

Solución

15 + 8 − 2 − 6 = 15

144 ÷ 12 − 4 × 3 − 24 ÷ 8

Solución

144 ÷ 12 − 4 × 3 − 24 ÷ 8 = −3

Podemos ver paréntesis en cualquier tipo de operación, esto nos indica que debemos realizar primero los cálculos que están dentro de ellos. Pero los paréntesis no son las únicas formas de expresar jerarquías, también están los corchetes [] y las llaves {} que simbolizan prioridad de resolución: primero se resuelven los corchetes y luego las llaves.

operaciones combinadas con paréntesis

Los paréntesis indican prioridad al momento de resolver los problemas. Esto significa que primero debemos realizar el cálculo dentro del paréntesis y luego resolver el resto de la cuenta.

– Ejemplo:

(8 − 3) × 2 + 4

Primero resolvemos la resta dentro de los paréntesis: 8 − 3 = 5.

5 × 2 + 4

Luego resolvemos la multiplicación: 5 × 2 = 10.

10 + 4

Finalmente resolvemos la suma y escribimos el resultado:

10 + 4 = 14

Por lo tanto,

(8 − 3) × 2 + 4 = 14

– Otro ejemplo:

28 − (7 + 9) + 3

Resolvemos la operación dentro de los paréntesis: 7 + 9 = 16

28 − 16 + 3

Resolvemos las sumas y restas:

28 − 16 + 3 = 15

Luego escribimos el resultado:

28 − (7 + 9) + 3 = 15

¡Es tu turno!

25 − (3 × 3 + 11) − (2 + 3)

Solución

25 − (3 × 3 +11) − (2 + 3) = 0

36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5

Solución

36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5 = 29

¿Sabías qué?

Si se suman dos números con diferente signo, la operación a realizar es una resta y se mantiene el signo del número mayor, por ejemplo, −15 + 8 = −7.

Problemas con ejercicios combinados

1. Marta fue a la tienda y compró un par de zapatos por $ 125, 2 pantalones a $ 40 cada uno y 4 camisetas a $ 25 cada una. ¿Cuánto gastó Marta?

Datos

Zapatos comprados: un par a $ 125

Pantalones comprados: 2 a $ 40 cada uno

Camisetas compradas: 4 a $ 25 cada una

Pregunta

¿Cuánto gastó Marta?

Analiza

Si multiplicamos la cantidad de prendas por el costo de cada una y luego sumamos cada resultado tendremos el total de dinero gastado.

Calcula

(1 × 125) + (2 × 40) + (4 × 25) = 125 + 80 + 100 = 305

Respuesta

Marta gastó $ 305 en su compra.

2. José ha comprado 18 litros de jugo de naranja. Cada litro cuesta $ 5. Si después de pagar le devuelven $ 10, ¿cuánto dinero entregó al pagar?

Datos

Jugo comprado: 18 litros

Precio del litro de jugo: $ 5

Dinero devuelto: $ 10

Pregunta

¿Cuánto dinero entregó al pagar?

Analiza

El producto de la cantidad de jugo comprado y el precio de cada litro de jugo será igual a la cantidad de dinero que debía pagar. Si a eso le sumamos el dinero devuelto sabremos cuánto pagó.

Calcula

(18 × 5) + 10 = 90 + 10 = 100

Respuesta

José pagó $ 100. Gastó $ 90 en jugo de naranja y le devolvieron $ 10.

3. Pedro compró un lote de 180 donas que debe colocar en cajas de 12 donas. Si venderá cada caja a $ 3, ¿cuánto dinero obtendrá al vender todas las cajas?

Datos

Cantidad de donas: 180

Cantidad de donas por caja: 12

Precio de la caja: $ 3

Pregunta

¿Cuánto dinero obtendrá al vender todas las cajas?

Analiza

Para saber la cantidad de donas que irán en cada caja debemos dividir las 180 donas entre las 12 unidades por caja. Luego multiplicamos esa cantidad por los $ 3 que vale cada una.

Calcula

(180 ÷ 12) × 3 = 15 × 3 = 45

Respuesta

Obtendrá $ 45 al vender todas las cajas.

Es posible que te encuentres con operaciones combinadas que además de tener sumas, restas multiplicaciones y divisiones, también tengas raíces y potencias. En este caso, debemos resolver primero las raíces y potencias y luego proceder con el orden que ya conoces: primero las multiplicaciones y divisiones, después las sumas y restas.

¡A practicar!

Resuelve las siguientes operaciones combinadas:

6 × 8 − 8 + 12 − 3

Solución

6 × 8 − 8 + 12 − 3 = 49

24 × 4 + 18 ÷ 9 − 26

Solución

24 × 4 + 18 ÷ 9 − 26 = 72

32 − 20 ÷ 5 + 16 × 2

Solución

32 − 20 ÷ 5 + 16 × 2 = 60

85 − 49 + 17 × 3 − 54 ÷ 3

Solución

85 − 49 + 17 × 3 − 54 ÷ 3 = 69

25 + (13 − 8 × 6 + 12) − 16

Solución

25 + (13 − 8 × 6 + 12) − 16 = −14

73 + (48 − 7 × 6) − 21 ÷ 3

Solución

73 + (48 − 7 × 6) − 21 ÷ 3 = 72

3 − 4 × 5 + (35 ÷ 7 + 8)

Solución

3 − 4 × 5 + (35 ÷ 7 + 8) = −4

36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5

Solución

36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5 = 29

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Cálculos combinados”

Con este recurso podrás reforzar el contenido relacionado a las jerarquías en operaciones combinadas.

VER

Artículo “Resolución de cálculos combinados con paréntesis,corchetes y llaves”

Este artículo explica paso a paso cómo resolver problemas combinados que contengan paréntesis, corchetes y llaves.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 8 (REVISIÓN)

OPERACIONES | ¿qué aprendimos?

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

La adición consiste en combinar, agrupar o sumar números; la sustracción, en cambio, consiste en quitar o restar números a un grupo. Siempre que queramos resolver cualquiera de estas operaciones, debemos considerar el valor posicional de cada una de las cifras de los números. Por otro lado, la adición cumple con ciertas propiedades como la asociativa y la conmutativa que no se pueden aplicar a la sustracción.

Un ejemplo de la adición por reagrupación es la suma de dinero. Si tienes $ 1.324 y luego te dan $ 3.984, tienes en total $ 1.324 + $ 3.984 = $ 5.318.

Multiplicación

La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar varias veces un mismo número. Los factores son los números que se multiplican o suman reiteradas veces y el producto es el resultado de la multiplicación. La multiplicación sin reagrupación es un método que consiste en multiplicar las unidades, las decenas y las centenas de 2 factores entre sí cuando ninguno de los productos formados supera la decena, mientras que la multiplicación con reagrupación es un procedimiento que podemos utilizar cuando algún producto entre dos cifras es igual o mayor a 10.

División

La división es la operación opuesta a la multiplicación. Sus elementos son el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. El dividendo es la cantidad que se quiere repartir; el divisor indica entre cuántas partes se reparte; el cociente es la cantidad que le corresponde a cada parte y también es el resultado de la división; y el resto representa lo que no se puede repartir. Cuando el resto es igual a cero (0) decimos que la división es exacta.

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

Para la adición y sustracción de números decimales procedemos igual que en el caso de los números naturales, pues debemos colocar cada elemento uno sobre otro según su valor posicional, al final nos aseguramos de que la coma esté en la misma columna. En el caso de las multiplicaciones, realizamos la operación tal y como si fuera una de números naturales, luego le colocamos al producto final la coma de acuerdo a los decimales de los factores.

Si sube la temperatura corporal un grado más allá de los 36,6° de la imagen, la persona tiene fiebre. ¿Cuál es la temperatura a la que puede tener fiebre? El cálculo es 36,6° + 1° = 37,6°. Este es un ejemplo de adición de decimales.

OPERACIONES COMBINADAS

Las operaciones combinadas son aquellas que agrupan diversos cálculos en una sola expresión. Cuando no hay paréntesis debemos seguir un orden de resolución: primero las multiplicaciones y divisiones, luego las sumas y restas. Si la operación combinada tiene paréntesis tenemos que realizar primero los cálculos que están dentro de ellos, es decir, estos tienen prioridad sobre otros.

Los paréntesis son de gran importancia si deseamos realizar operaciones en una calculadora, pues indican que son prioritarias sobre las demás.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) son operaciones que nos ayudan a simplificar cálculos más complejos. El mcm es el mínimo múltiplo que tienen en común dos o más números y el mcd es el divisor mayor que tienen en común dos o más números. Ambos pueden ser calculados por comparación de múltiplos y divisores o por descomposición de su números en factores primos.

La descomposición en factores primos consiste en dividir cada número entre su divisor mínimo para representar un número como producto de sus números primos. Algunos números primos están en esta imagen.

CONVERSIONES DE MEDIDAS

Algunas magnitudes que podemos medir son la longitud, la masa, el volumen y el tiempo. Cada una de ellas tiene una unidad básica de medida pero no son las únicas. Para medir longitudes podemos usar unidades como el metro, el kilómetro o el centímetro; para medir masas usamos unidades como el gramo, el kilogramo o el miligramo; para medir el volumen usamos unidades como el centímetro cúbico o el metro cúbico; y para medir el tiempo usamos unidades como los segundos, los minutos, las horas, los días o los años.

Hay mariposas que solo viven 1 día. Si convertimos esta unidad, también podemos decir que hay mariposas que viven 24 horas.

CAPÍTULO 2 / TEMA 4 (REVISIÓN)

OPERACIONES | ¿QUÉ APRENDIMOS?

Adición y sustracción

La matemática presenta cuatro operaciones básicas: adición o suma, sustracción o resta, multiplicación y división. La adición consiste en combinar dos o más números para obtener un total. Esta operación emplea el símbolo “+” y tiene dos elementos: los sumandos, que son los números que se van a sumar, y la suma, que consiste en el resultado en sí. La sustracción, por su parte, es una operación que consiste en quitar una cantidad a otra, por esto es considerada como la operación inversa a la adición, y emplea el símbolo “−”. Los elementos de una resta son: el minuendo que es el número al que se le va a quitar la cantidad, el sustraendo que es el número que resta y la diferencia que es el resultado de la operación.

Multiplicación y división

La multiplicación y la división son otras operaciones fundamentales de la matemática. Se dice que la multiplicación es una suma abreviada porque permite sumar tantas veces un número como indique otro, a menudo se usa la equis (x) para indicar esta operación pero también se usa el punto (·). Está formada por los factores, que son los números que se multiplican y por el producto que es el resultado de dicha operación. Por otro lado, la división es la operación opuesta a la multiplicación y consiste en repartir grupos de elementos en partes iguales. Su símbolo es “÷” y sus elementos principales son: el dividendo, que es el número que se reparte; el divisor, que es el número que indica las partes en las que se va a dividir el dividendo; el cociente, que es el resultado; y el resto, que es la cantidad que no se puede dividir.

Para resolver divisiones es muy importante dominar muy bien las multiplicaciones.

Operaciones combinadas

Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen dos o más operaciones matemáticas. Aunque pueden incluir símbolos como los paréntesis, corchetes y llaves, cuando se aplican a números naturales estos símbolos no son necesarios. Para resolver cálculos combinados de suma y resta, se resuelven los números de izquierda a derecha en función de la operación que se indique. Cuando existan operaciones combinadas que además de suma o resta incluyan multiplicación, división o ambas, se resuelven las multiplicaciones y divisiones primero para luego sumar o restar de la manera mencionada anteriormente.

CAPÍTULO 2 / TEMA 3

Operaciones combinadas

Hay ocasiones en las que pueden aparecer varias operaciones matemáticas en un mismo problema: estas expresiones se conocen como operaciones combinadas. Para resolverlas, es importante que tengas buenas bases en las propiedades de la suma, la resta, la multiplicación y la división, así como también que sepas priorizar entre ellas.

¿Qué es una operación combinada?

Es una expresión que contiene dos o más operaciones matemáticas, como la suma, la resta, la división y la multiplicación. Algunas veces puede aparecer con paréntesis para separar términos dentro de la expresión.

Para estos problemas se deben tener en cuenta dos cosas:

La regla de los signos.
La prioridad de operaciones, lo que significa que hay operaciones que deben resolverse antes que otras.

Ley de los signos en suma y resta

Para resolver operaciones combinadas es indispensable comprender ciertos criterios que cumplen los números en relación a su signo, a estos criterios se los conoce como “ley de los signos”. A continuación, te mostramos aquellos orientados únicamente a operaciones de suma y resta.

Cuando se suman números positivos, el resultado es otro número con signo positivo:
10 + 13 = 23
Cuando se suman números negativos, se mantiene el signo negativo y suman los números:
(−3) + (−2) = −5
Cuando se tienen números con diferente signo, se restan y se coloca el signo que corresponda al número mayor:
15 − 3 = 12 → El número mayor es 15 y como no tiene signo se entiende que es positivo, ya que por convención los números que no presentan signo se asumen como números positivos, así que al resultado no se le coloca signo.

3 − 7 = −4 → El número mayor es el 7 y, por tener el signo menos, el resultado debe ser negativo.

¿Sabías qué?

El símbolo “÷” algunas veces es reemplazado por dos puntos “:” para indicar una división.

Ejercicios combinados de sumas y restas

Las operaciones combinadas de sumas y restas con números naturales son fáciles de reconocer porque no llevan paréntesis. En los ejercicios de este tipo, la resolución se hace de izquierda a derecha en el orden en que aparecen los números.

– Por ejemplo:

458 − 352 + 157 − 235 + 784 − 568

Primero debes resolver los dos primeros términos: 458 − 352 = 106, y colocar el resultado como reemplazo de esos números. Luego escribe los números siguientes con sus signos:

106 + 157 − 235 + 784 − 568

Suma el resultado anterior con el siguiente término:

106 + 157 − 235 + 784 − 568

Como el resultado de 106 + 157 es igual a 263, sustituye esos números y anota los números siguientes:

263 − 235 + 784 − 568

Debido a que el número que le sigue a 263 está precedido por un signo menos, la operación a realizar es una resta, es decir, 263 − 235, cuyo resultado es 28. Anota este resultado y resuelve con el número siguiente:

28 + 784 − 568

De 28 + 784 resulta 812, entonces, escribe este resultado junto con el último número que queda y resuelve:

812 − 568 = 244

Con esta última operación obtendrás el resultado del ejercicio. También puedes escribir la solución de esta forma:

458 − 352 + 157 − 235 + 784 − 568 = 244

En los ejercicios combinados de sumas y restas es importante conocer el valor posicional de los números y dominar correctamente estas operaciones. Aunque no es necesario mantener estrictamente el orden de resolución de izquierda a derecha (se pueden resolver los números positivos primero y los negativos después), se sugiere hacerlo para evitar errores.

Ejercicios combinados de multiplicación y división

Los ejercicios combinados que involucran multiplicación y división sin paréntesis se resuelven en este orden:

Realiza las multiplicaciones y las divisiones primero.
Realiza las sumas y restas de la manera en la que fue explicado en el punto anterior.

– Por ejemplo:

112 + 3 x 15 − 85

Resuelve primero la multiplicación 3 x 15:

112 + 3 x 15 − 85

Como 3 x 15 = 45, coloca el 45 como reemplazo de la expresión y respeta el orden de los demás números:

112 + 45 − 85

Ahora tenemos una operación combinada de suma y resta que puedes solucionar de izquierda a derecha como se explicó anteriormente:

112 + 45 − 85

157 − 85 = 72

El resultado es el siguiente:

112 + 3 x 15 − 85 = 72

– Otro ejemplo:

21 + 25 ÷ 5 − 12 + 8 x 6

Primero debes identificar los números que multiplican y dividen:

21 + 25 ÷ 5 − 12 + 8 x 6

Resuelve las operaciones de multiplicación y división y reemplaza por sus respectivos resultados. El orden y los signos del resto de los números se mantiene. Recuerda que 25 ÷ 5 = 5 y que 8 x 6 = 48. Al sustituir estos números queda:

21 + 5 − 12 + 48

Ya puedes resolver la operación combinada de suma y resta de la manera explicada anteriormente:

21 + 5 − 12 + 48

26 − 12 + 48

14 + 48 = 62

Expresa el resultado de la siguiente manera:

21 + 25 ÷ 5 − 12 + 8 x 6 = 62

Al momento de resolver ejercicios combinados, se debe prestar atención a los signos. Un signo que no sea correcto se traduce, en la mayoría de los casos, en un resultado erróneo. De igual forma se debe tener presente el orden de las operaciones a resolver, es decir, primero resolver multiplicaciones y divisiones, después resolver sumas y restas.

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes operaciones combinadas de sumas y restas sin paréntesis:

a) 115 − 94 + 525 − 32 =

Solución

514

b) 350 − 257 − 50 + 117 =

Solución

160

c) 450 − 358 + 15 + 452 − 527 + 13 =

Solución

d) 1.975 − 1.875 + 252 =

Solución

352

e) 759 − 651 + 875 − 532=

Solución

451

2. Resuelve las siguientes operaciones combinadas con multiplicaciones y divisiones sin paréntesis:

a) 14 − 6 x 3 − 11 =

Solución

−15

b) 28 − 12 ÷ 3 + 10 =

Solución

c) 42 + 5 x 5 − 48 + 42 ÷ 6 =

Solución

d) 272 − 105 + 6 x 6 − 15 + 2 x 2 =

Solución

192

e) 3.615 ÷ 15 + 9 − 90 + 5 x 2 =

Solución

170

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ley de los signos: suma y resta”

Este artículo explica la ley de los signos para la suma y la resta. También muestra ejemplos de ejercicios para cada caso.

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Artículo “Números negativos”

Este artículo ayuda a ampliar el conocimiento sobre los números negativos y algunas de sus aplicaciones. También incluye una serie de ejercicios para resolver.

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Artículo “Cálculos combinados”

Este artículo destacado profundiza en explicaciones sobre los cálculos combinados y su metodología para resolverlos.

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