LOS PICTOGRAMAS SON GRÁFICOS QUE SIRVEN PARA REPRESENTAR A TRAVÉS DE DIBUJOS O SÍMBOLOS SENTIMIENTOS, PERSONAS, ANIMALES, ACCIONES U OBJETOS. EN SITUACIONES DE NUESTRA VIDA COTIDIANA PODEMOS ENCONTRARLOS EN SEÑALES DE TRÁNSITO, CARTELES, HISTORIETAS O EN PRODUCTOS. TAMBIÉN SON ÚTILES CUANDO HACEMOS TABLAS DE DATOS.
LOS PICTOGRAMAS SON USADOS EN LAS HISTORIETAS O CÓMICS PARA EXPRESAR SENTIMIENTOS O ACCIONES DE UN PERSONAJE.
TABLAS
LAS TABLAS DE DATOS SON UN RECURSO MUY ÚTIL PARA MOSTRAR INFORMACIÓN RECOLECTADA DE FORMA RESUMIDA Y CLARA. ESTAS TABLAS SON CUADROS FORMADOS POR COLUMNAS VERTICALES Y FILAS HORIZONTALES QUE EXPRESAN LOS DATOS. ESTA DEBE SER SENCILLA PARA QUE CUALQUIER LECTOR PUEDA ENTENDERLA. LA UNIÓN DE UNA COLUMNA Y UNA FILA SE DENOMINA CELDA.
PARA LOS CIENTÍFICOS LAS TABLAS SON DE GRAN AYUDA PARA ORGANIZAR MUCHOS DATOS.
FRACCIONES Y SUS GRÁFICAS
LAS FRACCIONES SON NÚMEROS QUE REPRESENTAN UNA PARTE DE UN TODO O ENTERO. EN UN GRÁFICO EL ENTERO SE DIVIDE EN LAS PARTES QUE INDICA EL DENOMINADOR Y SE COLOREAN LAS PARTES QUE INDICA EL NUMERADOR. CUANDO PARTIMOS UN PASTEL EN 8 PARTES IGUALES Y COMEMOS UNA, CUANDO COMPRAMOS MEDIO KILOGRAMO DE PAPAS O CUANDO DECIMOS “SON LAS TRES Y MEDIA” HACEMOS USO DE LAS FRACCIONES.
SI DIVIDIMOS Y CORTAMOS UNA PIZZA EN 2 PARTES IGUALES PARA COMER UNA, LA FRACCIÓN QUE EXPRESA ESA PARTE SERÍA 1/2 Y SE LEE “UN MEDIO”.
CUANDO CONTAMOS NUESTROS JUGUETES O LÁPICES USAMOS LOS NÚMEROS NATURALES: 1, 2, 3, … PERO ¿QUÉ SUCEDE SI SOLO TENEMOS LA MITAD DE UN LÁPIZ? EN ESTOS CASOS USAMOS UN TIPO DE NÚMEROS LLAMADO FRACCIÓN. LAS FRACCIONES REPRESENTAN UNA PARTE DE UN ENTERO, ESTÁN FORMADAS POR DOS NÚMEROS NATURALES Y SON MÁS COMUNES DE LOS QUE CREES. ¡APRENDAMOS A GRAFICARLAS!
¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN?
UNA FRACCIÓN REPRESENTA LA PARTE DE UN TODO O DE UNA UNIDAD DIVIDIDA EN PARTES IGUALES.
UNA NARANJA ENTERA ES IGUAL A UNA UNIDAD O EL “TODO”. OBSERVA LA IMAGEN, ¿LA NARANJA ESTÁ ENTERA? ¡NO! ESTÁ PICADA A LA MITAD Y HAY DOS MITADES. SI COMEMOS UNA DE ESTAS PARTES, DECIMOS QUE COMIMOS “MEDIA NARANJA”. ESTO ES UN EJEMPLO DE FRACCIÓN PORQUE COMIMOS UNA PARTE DE UN TODO. PIENSA: ¿EN QUÉ OTRA OCASIÓN USAMOS FRACCIONES?
LA FRACCIÓN TIENE DOS ELEMENTOS SEPARADOS POR UNA RAYA: EL NÚMERO DE ARRIBA SE LLAMA NUMERADOR Y EL DE ABAJO SE LLAMA DENOMINADOR.
EL NUMERADOR ES IGUAL A LA CANTIDAD DE PARTES QUE SE HAN TOMADO DEL ENTERO.
EL DENOMINADOR ES IGUAL A LA CANTIDAD DE PARTES EN LAS QUE SE HA DIVIDIDO AL ENTERO.
TIPOS DE FRACCIONES
LAS FRACCIONES PUEDEN SER PROPIAS O IMPROPIAS.
LAS FRACCIONES PROPIAS TIENEN EL NUMERADOR MENOR AL DENOMINADOR.
POR EJEMPLO: , Y .
LAS FRACCIONES IMPROPIAS TIENEN EL NUMERADOR MAYOR AL DENOMINADOR.
POR EJEMPLO: , Y .
¿SABÍAS QUÉ?
LAS FRACCIONES TAMBIÉN SE PUEDEN EXPRESAR CON UNA DIAGONAL, POR EJEMPLO, ES IGUAL A 1/2.
¿CÓMO GRAFICAR FRACCIONES?
AL SER LAS PARTES DE UN TODO O UNIDAD, PODEMOS DIBUJAR FRACCIONES POR MEDIO DE GRÁFICOS CON FIGURAS GEOMÉTRICAS.
SI QUEREMOS GRAFICAR LA FRACCIÓN LOS PASOS SON LOS SIGUIENTES:
1. DIBUJAMOS CUALQUIER FIGURA GEOMÉTRICA. EN ESTE CASO DIBUJAMOS UN RECTÁNGULO.
2. VEMOS EL DENOMINADOR DE LA FRACCIÓN. EL DENOMINADOR DE LA FRACCIÓN ES 2, ASÍ QUE DIVIDIMOS EL RECTÁNGULO EN 2 PARTES IGUALES.
3. VEMOS EL NUMERADOR DE LA FRACCIÓN. EL NUMERADOR DE LA FRACCIÓN ES 1, ASÍ QUE COLOREAMOS UNA SOLA PARTE DEL RECTÁNGULO.
– OTRO EJEMPLO:
GRAFIQUEMOS LA FRACCIÓN .
PRIMERO DIBUJAMOS LA FIGURA GEOMÉTRICA QUE REPRESENTA AL “TODO”.
¿CUÁL ES EL DE DENOMINADOR? EL DENOMINADOR ES 4. ASÍ QUE DIVIDIMOS LA FIGURA EN 4 PARTES IGUALES.
¿CUÁL ES EL NUMERADOR? EL NUMERADOR ES 3. ENTONCES, COLOREAMOS 3 PARTES DE LA FIGURA.
¡ES TU TURNO!
REALIZA EL GRÁFICO DE ESTAS FRACCIONES:
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
LAS FRACCIONES SON UN TIPO ESPECIAL DE NÚMEROS Y SE LEEN DE UNA MANERA DIFERENTE A LOS DEMÁS. PRIMERO LEEMOS EL NUMERADOR COMO CUALQUIER NÚMERO NATURAL. EL DENOMINADOR CAMBIA SEGÚN EL NÚMERO, SI ES 2 SE LEE “MEDIOS”, SI ES 3 SE LEE “TERCIOS” Y SI ES 4 SE LEE “CUARTOS”. ASÍ, LA FRACCIÓN 1/2 SE LEE “UN MEDIO” Y LA FRACCIÓN 1/3 SE LEE “UN TERCIO”.
FRACCIONES EN LA VIDA COTIDIANA
LAS FRACCIONES FORMAN PARTE DE NUESTRO DÍA A DÍA. USAMOS FRACCIONES CADA VEZ QUE COMPRAMOS PAN, FRUTAS O VEGETALES, PUES PODEMOS PEDIR MEDIO KILOGRAMO DE ALGO. TAMBIÉN USAMOS FRACCIONES CUANDO DAMOS LA HORA Y DECIMOS, POR EJEMPLO, “SON LAS DOS Y CUARTO” LO QUE SIGNIFICA QUE HA PASADO 1/4 DE HORA DESPUÉS DE LAS 2.
– OTRAS SITUACIONES:
AL CORTAR UNA FRUTA EN DOS PARTES Y COMER UNA:
AL CORTAR UNA PIZZA EN 4 PARTES Y COMER 2:
AL COMPRAR PRODUCTOS: KILO DE HARINA.
AL REALIZAR UNA PARTE DE UN RECORRIDO. LAURA RECORRIÓ DE UNA CARRERA.
EN VARIAS SITUACIONES DE NUESTRA VIDA ENCONTRAMOS FRACCIONES DE FORMA GRÁFICA. UN EJEMPLO COMÚN DE FRACCIONES ES CUANDO REPARTIMOS UN PASTEL. EN LA IMAGEN VEMOS UNO CORTADO EN 8 PARTES IGUALES, ES DECIR, EL DENOMINADOR ES 8. TAMBIÉN VEMOS QUE SE TOMA 1 PARTE, ASÍ QUE EL NUMERADOR ES 1 Y LA FRACCIÓN DE ESE PEDAZO ES 1/8. LA TORTA TIENE FORMA DE CÍRCULO Y ES SIMILAR AL GRÁFICO DE LA FRACCIÓN.
¡A PRACTICAR!
ESCRIBE LA FRACCIÓN PARA CADA GRÁFICO:
SOLUCIÓN
PARTES EN LAS QUE SE DIVIDE AL ENTERO: 2
PARTES COLOREADAS: 1
FRACCIÓN:
SOLUCIÓN
PARTES EN LAS QUE SE DIVIDE AL ENTERO: 5
PARTES COLOREADAS: 1
FRACCIÓN:
SOLUCIÓN
PARTES EN LAS QUE SE DIVIDE AL ENTERO: 3
PARTES COLOREADAS: 2
FRACCIÓN:
SOLUCIÓN
PARTES EN LAS QUE SE DIVIDE AL ENTERO: 4
PARTES COLOREADAS: 3
FRACCIÓN:
SOLUCIÓN
PARTES EN LAS QUE SE DIVIDE AL ENTERO: 4
PARTES COLOREADAS: 2
FRACCIÓN:
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Fracciones”
Este recurso cuenta con ejemplos didáctico sobre los tipos de fracciones y cómo graficarlos.
Los ángulos están presentes en la mayoría de las figuras geométricas y en nuestra vida cotidiana. Se los considera indispensables para realizar cálculos trigonométricos y estudios en balística, arquitectura e ingeniería. De acuerdo a su amplitud, los ángulos se clasifican en varios tipos.
El ángulo y sus elementos principales
Un ángulo es una región del plano comprendida por dos semirrectas que tienen un origen en común. Los elementos de un ángulos son los siguientes:
Vértice: es el punto en común de las dos semirrectas.
Lados: son las dos semirrectas que conforman al ángulo.
Amplitud: es la medida de abertura de los lados de un ángulo. Esta medida usualmente se lee en grados sexagesimales.
¿Sabías qué?
Los ángulos suelen nombrarse con letras del alfabeto griego.
El sistema sexagesimal
Se usa principalmente para medir el tiempo y los ángulos. En este último caso, las unidades que emplea son grados, minutos y segundos. Al dividir un ángulo llano en 180 partes iguales, una de esas partes equivale a un grado (°). Si se divide un grado en sesenta partes iguales, una de esas partes equivale a un minuto (′). Y si el minuto se divide en 60 partes iguales, una de esas partes corresponde a un segundo (″). En resumen:
1° = 60′
1′ = 60″
Observa que este sistema emplea como base el número 60 y de ahí viene el origen de su nombre. El instrumento usado para su medición es el transportador.
Ángulo agudo: cuando es mayor que 0° pero menor que 90°.
Ángulo recto: cuando mide exactamente 90°.
Ángulo obtuso: cuando es mayor de 90° pero menor que 180°.
Ángulo llano: cuando mide exactamente 180°.
Ángulo completo: cuando mide 360°.
Ángulos complementarios
Dos ángulos son complementarios si al ser sumados el resultado es igual a 90°. Al saber el valor de uno de los ángulos puedes calcular el valor del otro al restar 90° al ángulo conocido.
– Ejemplo:
Se tienen los ángulos complementarios α y β. El valor de β es de 35°. Calcula el valor de α.
Simplemente debes resolver la resta:
Por lo tanto el valor de α es 55°.
Ángulos suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si alser sumados el resultado es igual a 180°. Al igual que en el caso anterior puedes determinar el valor de un ángulo de este tipo si conoces el valor de otro y lo restas a 180°.
– Ejemplo:
Se tienen los ángulos suplementarios θ y δ. El valor de θ es de 160°. Calcular el valor de δ.
Resuelve la resta:
El valor de δ es 20°.
Medida de un ángulo
La medición de los ángulos se realiza a menudo a través de un transportador, el cual puede ser de dos tipos: circular o semicircular. El circular mide los 360° de la circunferencia y el semicircular mide los 180°. Ambos transportadores cuentan con una marca en el centro que se debe colocar en el vértice del ángulo a medir. El 0° de la escala debe coincidir con uno de los lados del ángulo y la lectura del ángulo sería la que indica el otro lado en la escala.
Los transportadores suelen presentar dos numeraciones que van en diferentes sentidos según se lea el ángulo: en sentido horario (en el sentido de las manecillas del reloj) o en sentido antihorario.
Existe el convencionalismo de que los ángulos que se miden en sentido horario se consideran positivos mientras que los que se leen en sentido antihorario se consideran negativos. En el ámbito matemático, el enfoque se orienta más a la abertura de los ángulos. Otro dato importante es que aunque los transportadores son útiles, existen otros instrumentos más precisos como el goniómetro.
Los ángulos en las figuras planas
Las figuras planas poseen ángulos interiores y ángulos exteriores. Los ángulos interiores, como su nombre lo indica, se ubican en el interior de la figura, mientras que los exteriores se ubican entre un lado de la figura y el otro lado siguiente. Por ejemplo:
Cálculo de ángulos internos en triángulos
Los ángulos interiores de los triángulos siempre suman 180°. De manera que si conoces la medida de dos de sus ángulos internos puedes calcular la medida del tercero. Lo único que debes hacer es restar los valores de los ángulos conocidos a 180°. Por ejemplo:
– Calcula el valor del ángulo θ.
Como ya sabes, la sumas de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°, entonces, si restas los valores de los ángulos conocidos a 180° obtendrás el valor de Θ:
El valor del ángulo θ es 48°.
¿Sabías qué?
La suma de los ángulos externos de un triángulo es igual a 360°.
Cálculo de ángulos internos en cuadriláteros
En el caso de los cuadriláteros se cumple que la suma de sus cuatro ángulos internos siempre es igual a 360°. De acuerdo al tipo de cuadrilátero el valor del ángulo puede variar. Por ejemplo, en el caso del cuadrado y del rectángulo sus cuatro ángulos internos son iguales y miden 90°. En el caso del rombo y del romboide sus ángulos opuestos son iguales. Si el trapecio es rectángulo posee dos ángulos consecutivos que miden 90°. Si es isósceles tiene los ángulos adyacentes a la base mayor con la misma medida y si el trapecio es escaleno ninguno de sus ángulos mide lo mismo.
Los trapezoides son otro tipo de cuadrilátero con el valor de cada uno de sus ángulos internos diferentes. En resumen:
Figuras
Características
El cuadrado y el rectángulo tienen ángulos internos iguales y miden 90°.
El rombo tiene todos sus ángulos iguales (pero son agudos, es decir, menores a 90°).
El romboide presenta cada par de ángulos opuestos con la misma medida.
El trapecio rectángulo tiene dos ángulos rectos (miden 90° cada uno).
El trapecio isósceles presenta los ángulos adyacentes a la base mayor con la misma medida.
El trapecio escaleno presenta todos sus ángulos con diferente medida.
El trapezoide no posee ningún ángulo con la misma medida.
Para calcular ángulos en un cuadrilátero simplemente tenemos que restar los ángulos conocidos a 360°.
– Ejemplo:
Calcula el valor del ángulo ε de la siguiente figura.
El valor del ángulo ε es 115°.
En los polígonos regulares los ángulos internos miden igual. Para calcular su valor se emplea la ecuación (n − 2) × 180°/n donde n es el número de lados que presenta el polígono. Por ejemplo, para un pentágono se sustituye la n por el número 5 que corresponde al número de sus lados y se obtiene que (5 − 2) × 180°/5 = 108°, lo que quiere decir que cada uno de los ángulos internos de un pentágono mide 108°.
¡A practicar!
1. ¿Qué tipo de ángulo observas?
a)
Solución
Ángulo obtuso.
b)
Solución
Ángulo llano.
c)
Solución
Ángulo recto.
d)
Solución
Ángulo agudo.
2. Calcula el valor del ángulo γ.
Solución
γ = 55°
3. Calcula el valor del ángulo θ.
Solución
θ = 70°
4. Calcula el valor del ángulo φ.
Solución
φ = 58°
5. Calcula el valor del ángulo β.
Solución
β = 105°
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Ángulos en triángulos. Resolución mediante ecuaciones”
El artículo explica los diferentes tipos de ángulos y cómo determinarlos a través de ecuaciones. También muestra una serie de ejemplos y ejercicios relacionados al tema.
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Su cálculo consiste en hallar un número que multiplicado por sí mismo cierta cantidad de veces resulte en otro número determinado. Para poder emplear de manera correcta esta operación es necesario saber sus elementos y propiedades.
Todos los cálculos matemáticos tienen una operación inversa. La suma es la operación inversa de la resta, la división lo es de la multiplicación y la radicación lo es de la potenciación. Posiblemente creas que la radicación es la operación más compleja, pero no es así. Si conoces sus elementos y propiedades podrás resolver cualquier raíz de un número.
¿qué es una raíz?
Es una operación matemática en la que se obtiene un número que se ha multiplicado por sí mismo n veces bajo el operador radical. Esta se encuentra formada por los siguientes elementos:
Donde:
Radical : representa el símbolo de la operación de radicación.
Índice de la raíz : indica el grado de una raíz, lo que se traduce en cuántas veces se multiplicó por sí mismo el resultado de la radicación. El índice de una raíz debe ser diferente de cero.
Radicando : es el producto de la multiplicación de la raíz según lo indique el índice. El radicando pertenece al conjunto de los números reales.
Raíz : es el resultado de la radicación.
Condiciones a cumplir
Si es par, debe ser , para que el resultado sea un número real .
¿Cómo se relacionan la potencia y la raíz de un número?
La relación de las operaciones matemáticas potenciación y radicación se refleja así:
La base de la potenciación es el resultado o raíz de la radicación.
La potencia de la potenciación es el radicando de la radicación.
El exponente de la potenciación coincide con el índice de la radicación.
Por lo tanto, podemos expresar a una raíz como un exponente fraccionario, en el cual el denominador de la fracción corresponde al índice de la raíz y el numerador al exponente del radicando.
– Ejemplo:
Origen del término
Antiguos papiros egipcios demuestran que en esta cultura se calculaban raíces. Muchos especialistas asocian el origen del símbolo de la raíz con la letra r de la palabra latina radix, que significa “raíz”. No obstante, este término fue introducido en siglo XVI por Christoph Rudolff, quien lo usó en su libro Coss.
propiedades de las raíces
Raíz de cero
La raíz con radicando 0 es igual a 0, siempre que su índice sea diferente de dicho número.
– Ejemplo:
Raíz de la unidad
La raíz de 1 siempre será igual a 1.
– Ejemplo:
Raíz de un producto
La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.
– Ejemplo:
Raíz de un cociente
La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces del dividendo y del divisor.
– Ejemplo
Raíz de una raíz
La raíz de una raíz es igual a una nueva raíz con el mismo radicando e índices multiplicados.
– Ejemplo:
Potencia de una raíz
La potencia de una raíz es igual a la misma raíz con el radicando elevado a dicha potencia.
– Ejemplo:
Los problemas con radicales pueden tener una, dos o ninguna solución, y esto depende principalmente del radicando y del índice de la raíz. Sin embargo, para poder resolverlos de manera correcta se requiere tener conocimiento tanto de sus propiedades como también de la regla de los signos.
Suma y resta de radicales
Los radicales pueden sumarse o restarse siempre y cuando sean semejantes, es decir, que tengan el mismo índice y radicando. En este caso, sumamos o restamos los coeficientes (los números que están fuera de la raíz) y dejamos el mismo índice y radicando.
– Ejemplo:
cálculo de raíces
En la actualidad existen herramientas que te ayudan a realizar las operaciones matemáticas de manera fácil y rápida, como por ejemplo la calculadora. Con una calculadora, podemos determinar la raíz de un número sin problemas, pero, ¿qué hacer si no tenemos una calculadora? Para ello, es bueno saber los pasos para calcular la raíz cuadrada de cualquier número.
Para calcular la raíz cuadrada de un número como 682.273 seguimos estos pasos:
1. Agrupamos el número en cifras de dos en dos desde la derecha a la izquierda.
2. Buscamos un número que elevado al cuadrado se aproxime a las dos primeras cifras de la izquierda. De este modo, colocamos el 8, pues 82 = 8 × 8 = 64 que se aproxima a 68.
3. Realizamos la resta entre las dos primeras cifras y el resultado de 82 = 64. Luego bajamos las dos cifras siguientes (22).
4. Tomamos el primer resultado de la raíz que es 8 y lo multiplicamos por 2: 8 × 2 = 16. Lo colocamos debajo.
5. El número multiplicado por dos lo usamos para dividir a los dos primeros números del resto anterior (422). Como 42/16 = 2,625, colocamos el número entero (2) después de 16 para formar una nueva cifra: 162. Ahora multiplicamos este nuevo resultado por 2: 162× 2.
6. Utilizamos el resultado de la multiplicación para restarlo a 422. Añadimos el 2 a la raíz.
7. Repetimos el procedimiento. Bajamos las dos cifras siguientes (76) junto al último resto (98) para formar 9.876. Multiplicamos por 2 la raíz hasta ahora obtenida (82 × 2) y la colocamos como nuevo cociente (164).
8. Del mismo modo, el número multiplicado por dos lo utilizamos para dividir a los tres primeros números del resto anterior (9.876), lo que nos da 987/164 = 6,018. De esta división, solo tomamos el número entero (6), que usaremos para colocarlo detrás del (164) para formar una nueva cifra (1.646) y, al mismo tiempo, para multiplicar esta nueva cifra (1646 × 6).
9. El resultado de la multiplicación se utiliza para restarlo al resto anterior (9.876) y el número entero utilizado para hacer esta multiplicación se coloca en la raíz (82) y queda así:
Entonces,
¡A practicar!
1. Aplica las propiedades de las raíces para resolver los siguientes ejercicios:
Solución
Solución
Solución
Solución
2. Resuelve las siguientes raíces sin utilizar la calculadora:
Solución
Solución
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “La radicación”
Con este artículo, podrá ampliar los conocimiento respecto a la radicación y sus propiedades.
Seguramente ya conoces qué es la potenciación, pero ¿sabías que hay otro tipo de operación muy relacionada con ella? Esta es la radicación y consiste en encontrar un número que al multiplicarse por sí mismo tenga como producto otro número determinado. La radicación es la operación inversa a la potenciación. Hoy aprenderás qué es y cómo calcularla.
¿Qué es la radicación?
Es una operación en la que hallamos raíces de orden n de un determinado número. La raíz n-ésima de un número a es igual a un número b que elevado a la n resulta en a.
Ejemplo:
Como ves, la radicación y la potenciación tienen mucho en común, incluso en sus elementos. De modo que también podemos expresar a un radical como una potencia de exponente fraccionario.
Ejemplo:
Relación entre potenciación y radicación
Existe una gran relación complementaria entre la potenciación y la radicación, y la podemos observar con la semejanza que existe entre los elementos que la componen.
Al exponente de la potencia se lo llama índice de radical.
Al resultado denominado potencia se lo llama raíz.
A la base de la potencia se la llama radicando.
Elementos de los radicales
Al igual que en la potenciación, aquí existen 3 elementos a definir que son los que componen la radicación:
Índice (n): orden de la raíz que se aplica al radicando. Indica cuántas veces multiplicamos un número por sí mismo para obtener el radicando.
Radicando (a): número sometido a la raíz del orden determinado por el índice.
Raíz (b): resultado de la radicación, el cual elevado al orden de la raíz da como resultado el radicando.
¿Sabías qué?
Si el radicando es un número negativo, y el índice es par, no podrá aplicarse la operación de radicación porque el resultado no pertenecerá a los reales.
Raíces cuadradas y cúbicas
De la misma manera que en la potenciación, cuando el índice de la raíz es n = 2 y n = 3 merece una distinción. Por lo tanto, a estos los vamos a denominar como raíz cuadrada y cúbica, respectivamente.
La raíz cuadrada es aquella cuyo índice es 2. No es necesario escribir el índice de la raíces cuadradas. Por ejemplo:
Se lee “raíz cuadrada de nueve”.
La raíz cúbica es aquella cuyo índice es 3. Por ejemplo:
Se lee “raíz cúbica de 8”.
Para encontrar la solución de un radical se debe pensar: ¿qué número habrá que elevar al índice n para que el resultado sea el valor del radicando? Ese número será el resultado denominado como raíz. Por ejemplo, para resolver √9 se debe pensar: ¿qué número debo elevar al cuadrado (n = 2) para que el resultado sea 9?. La respuesta es 3.
Solución de raíces
La solución de una raíz depende principalmente del radicando y del índice de la raíz. En algunas ocasiones puede tener una o dos soluciones y, en otros casos, puede que no tenga solución.
Radicando mayor que cero con n par.
Hay dos soluciones: una positiva y una negativa.
Radicando mayor que cero con n impar.
Hay una solución positiva.
Radicando menor que cero con n par.
No tiene solución dentro de los números reales.
Radicando menor que cero con n impar.
Hay una sola negativa.
[/su_note]
– Ejemplos de raíces:
¿Sabías qué?
Cuando el índice de potencia es una fracción se puede expresar como un radical. Por ejemplo: 91/3 = 3√9
¡A practicar!
¿Cuál es el resultado de los siguientes ejercicios?
Solución
Solución
Solución
La radicación es la operación opuesta a la potenciación y consiste en hallar raíces de orden n de un determinado número. Consta de tres elementos llamados índice, radicando y raíz. El símbolo usado para mostrar esta operación se lo conoce como raíz o radical y el primero en utilizarlo fue el matemático Christoph Rudolff en 1525.
Raíces exactas e inexactas
La raíz cuadrada exacta es aquella que tiene como radicando un cuadrado perfecto, mientras que la raíz cuadrada inexacta es la que no tiene como radicando un cuadrado perfecto.
Cuadrados perfectos
Un cuadrado perfecto resulta de multiplicar un número por sí mismo dos veces. Estos números los podemos ordenar en un cuadrado, por ejemplo, 9 es un cuadrado perfecto porque lo podemos escribir como 3 x 3 y lo ordenamos como:
En esta tabla verás la relación de los diez primeros cuadrados perfectos con sus raíces:
Cuadrado perfecto
Raíz cuadrada exacta
Pero no todos los números tienen raíces cuadradas exactas. En esos casos, calculamos la raíz cuadrada entera y luego contamos el resto. Por ejemplo, 55 no tiene raíz cuadrada exacta porque 72 = 49 y 82 = 64.
Por aproximación o tanteo, decimos que la raíz cuadrada entera de 55 es 7 y el resto lo obtenemos por la resta 55 − 49 = 6.
Entonces, .
¡A practicar!
1. ¿Qué tipo de raíz dará como resultado cada uno de los siguientes ejercicios?
Solución
Raíz exacta.
Solución
Raíz inexacta.
Solución
Raíz inexacta.
Solución
Raíz inexacta
2. Completa.
Solución
Solución
Solución
Solución
3. Resuelve las siguientes raíces cuadradas.
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “La radicación”
En es artículo encontrará los aspectos inherentes a la radicación y encontrará una introducción a las propiedades de radicación y potenciación.
En diversas situaciones cotidianas usamos números naturales para expresar la hora, nuestra edad o un número de teléfono. Sin embargo, si queremos indicar las partes de algo debemos recurrir a los números racionales, también conocidos como fracciones. Usamos estos números frecuentemente: por ejemplo, cuando hacemos una receta o al comprar una bebida.
¿Qué es una fracción?
Una fracción es una parte de un número entero y se representa como una división o un cociente. Está formada por un numerador y un denominador, ambos separados por una raya fraccionaria.
El denominador nos indica en cuántas partes hemos dividido el entero, mientras que el numerador nos muestra cuántas de esas partes hemos tomado.
– Ejemplo:
Compramos una barra de chocolate muy grande, entonces decidimos dividirla en tres partes iguales y comernos solo dos de esas porciones, ¿cómo representamos esa cantidad?
Primero consideramos la barra como un todo.
Luego, dividimos el todo en tres partes. Esto significa que el denominador es igual a 3.
Sombreamos o pintamos las dos partes que no comimos. Esto significa que el numerador es 2.
Este último gráfico representa a la fracción 2/3. Es decir, nos comimos 2/3 de chocolate.
¿Sabías qué?
Además de la raya fraccionaria, podemos representar números fraccionarios con diagonales o como divisiones. Por ejemplo:
Imagina que estás con tres amigos y debes repartir una pizza para todos, ¿cómo harías el reparto? ¡Muy sencillo! Solo debes cortarla en cuatro partes iguales y cada uno podrá comer una rebanada, es decir, cada quien tomará 1/4 de la pizza. Observa que el pedazo que comes es igual al numerador y la cantidad total de pedazos es igual al denominador.
¿Cómo se leen las fracciones?
Cada vez que dividimos un entero, este recibe un nombre diferente. Observa esta tabla:
Partes en la que dividimos al entero
¿Cómo se lee?
2
Medios
3
Tercios
4
Cuartos
5
Quintos
6
Sextos
7
Séptimos
8
Octavos
9
Novenos
10
Décimos
11
Onceavos
12
Doceavos
13
Treceavos
14
Catorceavos
15
Quinceavos
16
Dieciseisavos
17
Diecisieteavos
18
Dieciochoavos
19
Diecinueveavos
20
Veinteavos
30
Treintavos
40
Cuarentavos
50
Cincuentavos
60
Sesentavos
70
Setentavos
80
Ochentavos
90
Noventavos
100
Centavo
Así que para la lectura de fracciones seguimos estos pasos:
Lee el número del numerador.
Lee el número del denominador, es decir, las partes en las que se dividió el entero según la tabla.
– Ejemplos:
se lee “dos octavos”.
se lee “un medio”.
se lee “trece cuarentavos”.
se lee “un décimo”.
se lee “siete quinceavos”.
se lee “veinticinco centavos”.
Observa que cuando el numerador es 1, decimos “un” en lugar de “uno”.
Una fracción es una parte del número entero y se representa como una división o un cociente. Es un tipo de número muy usado en la cocina. Por ejemplo, cuando desayunamos podemos agregar a nuestro cereal 1/2 taza de leche o yogurt, también podemos añadir 1/4 de taza de frutas.
¿Sabías qué?
Una fracción con denominador 1 es igual a un número entero, por eso es común no escribir el denominador en estos casos. Por ejemplo, 8/1 = 8.
Tipos de Fracciones
Las fracciones pueden ser propias, impropias o aparentes.
Fracciones propias
Son aquellas fracciones en las que el numerador es menor que el denominador. Estas fracciones siempre son menores que 1. Por ejemplo:
, y
Fracciones impropias
Son aquellas fracciones en las que el numerador es mayor que el numerador. Estas fracciones siempre son mayores que 1. Por ejemplo:
, y
Fracciones aparentes
Son aquellas fracciones cuyo numerador es múltiplo del denominador. Por ejemplo:
¿Qué tipo de fracción es?
Clasifica las siguientes fracciones en propias, impropias o aparentes:
Solución
Fracción aparente.
Solución
Fracción propia.
Solución
Fracción impropia.
Gráfico de Fracciones
De acuerdo al tipo de fracción, podemos graficar un entero o más de uno. Si es una fracción propia, usaremos un entero; sin embargo, si se trata de una fracción impropia, utilizaremos más de un entero.
Gráfico de fracciones propias
Este tipo de fracciones tiene el numerador menor que el denominador y siempre son menores que 1. Para graficarlas solo dibujamos cualquier figura (será el entero) y la dividimos en tantas partes como indique el denominador. Luego, pintamos las partes que señale el numerador.
– Ejemplo:
Realiza el gráfico de la fracción
1. Dibujamos una figura, esta será el entero o “el todo”. En este caso es un rectángulo.
2. Dividimos el entero en 8 partes iguales porque el denominador de la fracción es 8.
3. Pintamos 5 partes del entero porque el numerador de la fracción es 5. Este será el gráfico de la fracción.
Gráfico de fracciones impropias
Estas fracciones tienen el numerador mayor al denominador y siempre son mayores que 1. Para realizar sus gráficos debemos dibujar una figura (será el entero) y dividirla en tantas partes como señale el denominador. Como el numerador es mayor, repetimos la figura la cantidad de veces necesaria para poder pintar la partes que exprese el numerador.
– Ejemplo:
Realiza el gráfico de la fracción
1. Dibujamos una figura que represente al entero, por ejemplo, un cuadrado.
2. Dividimos el entero en 4 partes iguales porque el denominador de la fracción es 4.
3. Pintamos 9 partes del entero, pero como el entero solo tiene 4, repetimos la misma figura hasta que podamos tener las nueve partes para pintar. Este será el gráfico de la fracción.
Gráfico de una fracción aparente
En las fracciones aparentes el numerador es múltiplo del denominador. Para graficar estas fracciones podemos seguir los pasos anteriores. Como resultado, los gráficos tendrán siempre todas sus partes pintadas.
– Ejemplo:
Realiza el gráfico de la fracción
Observa que, si bien el numerador es mayor que el denominador, 6 es múltiplo de 3, por lo tanto, 6 ÷ 3 = 2.
Si tomamos un rectángulo como entero, lo dividimos en 3 partes iguales (por el denominador) y repetimos la figura para poder pintar 6 partes (por el numerador); observaremos que el gráfico es igual a dos enteros completos.
Usos de Fracciones
Sin darnos cuenta, hacemos uso de las fracciones a diario. Por ejemplo, en las instrucciones para una receta que necesite 1/4 de taza de azúcar; en el supermercado cuando pedimos 1/2 kilogramo de fresas; cuando hablamos de distancias y decimos que nuestras casa está a 1/2 cuadra del kiosco; o al medir el tiempo y decir que en 1/2 hora empieza una serie de televisión. Cada vez que dividamos un valor entero en partes iguales empleamos fracciones.
Toda fracción indica que un todo se ha dividido en partes iguales. Cada vez que repartimos alimentos tratamos de hacerlo de esta forma. Por ejemplo, podemos comernos “medio trozo de pan” cuya fracción es 1/2, lo que quiere decir que dividimos la unidad (el pan) en dos partes iguales (el denominador) y tomamos una (el numerador).
Equivalencias de interés
Este cuadro muestra las fracciones que están contenidas en una unidad.
De otro modo:
¡A practicar!
1. En la panadería venden el pan rallado en bolsitas de 1 kg, 1/2 kg y 1/4 kg. Si José quiere comprar 2 kg de pan rallado…
a) ¿Cuántas bolsitas de 1/4 de kilo necesita?
Solución
8 bolsitas de 1/4 de kg.
b) ¿Cuántas bolsitas de 1/2 kilo necesita?
Solución
4 bolsitas de 1/2 kg.
c) Si quiere llevar llevar 5 bolsitas para completar los 2 kg, ¿cuáles puede tomar?
Solución
1 bolsita de 1 kg y 4 bolsas de 1/4 de kg.
d) Si quiere llevar 3 bolsitas, ¿cuáles puede tomar?
Solución
1 bolsita de 1 kg y 2 bolsitas de 1/2 kg.
e) ¿Cuál es la menor cantidad de bolsitas que puede tomar? ¿y la mayor cantidad?
Solución
Puede tomar la menor cantidad de bolsitas si escoge las de mayor peso, es decir, las de 1 kg. Entonces, solo tomaría 2 bolsitas de 1 kg.
Para tomar la mayor cantidad de bolsita, debe escoger las de menor peso, que serían las de 1/4 de kg. En ese caso, llevaría 8 bolsitas de 1/4 de kg.
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2. ¿Qué fracción representa cada gráfico?
Solución
Partes en las que dividimos el entero: 16
Partes sombreada: 10
Solución
Partes en las que dividimos el entero: 4
Partes sombreada: 4
Solución
Partes en las que dividimos el entero: 10
Partes sombreada: 6
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Fracciones”
Este artículo te permitirá acceder a más ejemplos sobre las fracciones y sus tipos.
El perímetro es el contorno de una figura geométrica. En el caso de los polígonos regulares, el perímetro lo calculamos al multiplicar la cantidad de sus lados por la longitud de uno de estos. Otra forma de calcular el perímetro es a través de la suma de cada uno de los lados de una figura. En cambio, el perímetro del círculo es igual a la multiplicación del número pi por el diámetro de la circunferencia. Existen también figuras compuestas que están formadas por dos o más figuras geométricas, para calcular su perímetro basta con sumar cada uno de los lados.
El perímetro tiene múltiples aplicaciones en disciplinas como la arquitectura y también se usa en el ámbito militar.
Ángulos
Uno de los elementos fundamentales para la geometría es el ángulo, el cual está formado por un par de semirrectas denominadas lados que tienen un origen común o vértice. Uno de los sistemas más usados para medir ángulos es el sistema sexagesimal, en el que medimos los ángulos en grados, minutos y segundos. De acuerdo a su tamaño, los ángulos pueden clasificarse en agudos, rectos, obtusos y llanos. Los agudos son mayores a 0° pero menores a 90°, los rectos miden 90°, los obtusos son mayores a 90° pero menores de 180° y los llanos miden siempre 180°.
El transportador es uno de los instrumentos más usados para medir ángulos.
Área
Para calcular superficies usamos el área, que es la extensión comprendida por una figura. Para cada figura plana existe una fórmula que permite determinar su área. En el Sistema Internacional de Unidades se emplea el metro cuadrado (m2) como unidad de medida de área, pero también podemos usar otras unidades derivadas, como el centímetro cuadrado (cm2) o el milímetro cuadrado (mm2). Podemos obtener el área de las figuras compuestas al descomponerlas en figuras geométricas más simples, para luego sumar las áreas de cada una.
El conocimiento del área puede ser aplicado para calcular cuántas baldosas son necesarias para cubrir una superficie.
Sistemas de referencia
Uno de los sistemas de referencias más usados es el sistema cartesiano, el cual está formado por dos ejes en el plano: uno horizontal denominado eje X o de las abscisas y otro vertical denominado eje Y o de las ordenadas. Para representar un punto en el plano cartesiano necesitamos sus coordenadas en el eje X y en el eje Y: la intersección de ambas coordenadas constituye su ubicación. Por otro lado, las figuras pueden experimentar transformaciones isométricas, es decir, cambios de posición y orientación que no afectan su forma. Estas transformaciones son: traslación, rotación y simetría.
Los sistemas de referencia son usados por el ser humano para medir las posiciones y las magnitudes de las cosas.
Cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados, y aunque se pueden clasificar en varios grupos, comparten elementos en común: tienen cuatro ángulos, la suma de estos es siempre igual 360° y tienen dos diagonales que dividen al cuadrado en triángulos. De manera general, los cuadriláteros son clasificados como paralelogramos, trapecios y trapezoides. Los paralelogramos tienen sus lados opuestos paralelos y pueden ser cuadrados, rombos y rectángulos. Los trapecios tienen dos de sus lados paralelos y los trapezoides no tienen ningún lado paralelo.
El campo de fútbol tiene forma de rectángulo que es un tipo de cuadrilátero.
Capacidad y volumen
El volumen es el espacio que ocupa un objeto mientras que la capacidad indica la cantidad que un objeto puede contener dentro de él. Todos los objetos tienen volumen pero no todos tienen capacidad. En el caso de los sólidos y los líquidos mientras mayor sea su volumen, mayor espacio van a ocupar. No es lo mismo el volumen de un grano de arroz que el de un edificio. Algunas unidades de volumen son el metro cúbico (m3), el centímetro cúbico (cm3) y milímetro cúbico (mm3), entre otras. El litro es una medida de capacidad que equivale a 1.000 cm3.
A pesar de estar muy relacionadas, no se deben confundir las medidas de volumen con las de capacidad.
La circunferencia
La circunferencia es una curva plana con todos sus puntos ubicados a la misma distancia del origen o centro. No debe ser confundida con el círculo que corresponde al área contenida dentro de ella, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo. Presenta ciertos elementos como el radio, el diámetro, la tangente, la cuerda, el arco y la semicircunferencia. Uno de los instrumentos usados para su trazado es el compás.
Los antiguos griegos empleaban la recta y la circunferencia como figuras básicas en sus cálculos.
Una de las curvas más estudiadas en la geometría es, sin duda, la circunferencia. Tiene características únicas y ha sido pieza fundamental en invenciones humanas como la rueda. Para trazar esta figura usamos el compás, y su longitud está determinada por un número muy particular: el número pi.
¿Qué es una circunferencia?
Es la curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan del centro; es decir, están a la misma distancia del centro de la circunferencia.
Los griegos y la circunferencia
Sin lugar a duda, los antiguos griegos tuvieron una gran influencia en el perfeccionamiento de la geometría. Para ellos, la línea recta y la circunferencia eran muy importantes en sus construcciones matemáticas, lo que permitió que realizaran increíbles descubrimientos para su época. Por ejemplo, Eratóstene de Cirene, que vivió entre 276 y 194 a. C., fue la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra.
Elementos de la circunferencia
En la circunferencia se pueden observar los siguientes elementos:
Centro: es el punto en torno al cual equidistan todos los puntos de la curva.
Radio: es un segmento de recta que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.
Diámetro: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro de la misma. Su longitud es igual al doble del radio.
Cuerda: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.
Arco: es una porción de la circunferencia que se encuentra limitada por una cuerda.
Semicircunferencia: es la porción de circunferencia limitada por el diámetro. Equivale a la mitad de la circunferencia.
Posiciones de una recta en relación a la circunferencia
Recta tangente: es la recta que comparte un mismo y único punto con la circunferencia.
Recta secante: es la recta que comparte dos puntos con la circunferencia.
Recta exterior: es la recta que no comparte ningún punto con la circunferencia.
¿Sabías qué?
La circunferencia de la tierra mide cerca de 40.000 km de longitud.
Diferencia entre círculo y circunferencia
Es posible que confundamos los conceptos de círculo y circunferencia porque están muy relacionados entre sí, pero se trata de dos términos diferentes. El círculo es una figura plana que corresponde al área contenida dentro de una circunferencia. La circunferencia, por su parte, representa el perímetro del círculo, es decir, es la línea que forma el contorno de la figura.
El círculo es una figura que presenta diferentes elementos, como el semicírculo, los sectores circulares y los segmentos circulares. El primero es el área comprendida entre el diámetro y una semicircunferencia; el segundo consiste en las regiones comprendidas entre dos radios y el arco que estos forman; y el tercero se trata de los segmentos que se forman entre una cuerda y su arco.
Trazado de circunferencias
El compás es el instrumento por excelencia para trazar circunferencias y su origen es muy antiguo. Un compás consta de los siguientes elementos principales:
Un mango.
Una punta metálica.
Una punta trazadora.
Dos brazos regulables.
El uso de esta herramienta es relativamente sencillo. Para trazar una circunferencia con un compás lo primero que debemos hacer es conocer el radio de la circunferencia y trazarlo con la ayuda de una regla. Luego posicionamos la punta metálica en uno de los extremos del segmento y luego abrimos los brazos hasta que la punta trazadora esté ubicada en el otro extremo del segmento. Finalmente, con ayuda del mango, trazamos la circunferencia.
Circunferencias a nuestro alrededor
Un anillo o un aro son ejemplos de circunferencias, pero hay muchos más. Al ser una circunferencia el contorno de un círculo, la observamos en los bordes de las ruedas de los autos, en un molde para hacer una torta o un pastel y hasta incluso en juguetes como los platos voladores.
Las circunferencias han sido elementos fundamentales en el desarrollo de la geometría y con ello también han permitido a los seres humanos realizar grandes invenciones como la rueda.
La circunferencia es el contorno de una de las figuras más comunes: el círculo. Es frecuente observarlas en platos, ruedas, pasteles, diseños y pinturas. Han permitido realizar cálculos y aproximaciones, como el descubrimiento del número pi que relaciona la longitud de la circunferencia con su radio y que ha tenido numerosas aplicaciones prácticas.
¡A practicar!
Además del centro, ¿qué elementos de la circunferencia observas?
a)
Solución
Diámetro.
b)
Solución
Arco.
c)
Solución
Cuerda.
d)
Solución
Radio.
2. ¿Cuál de las siguientes rectas es una tangente?
a)
b)
c)
d)
Solución
c) Es tangente porque solo comparte un punto en común con la circunferencia.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Circunferencia”
El siguiente artículo explica de forma resumida qué es una circunferencia y los diferentes elementos que la integran como el radio, la cuerda, el diámetro, etc.
SI TIENES UN ALFAJOR Y DESEAS COMPARTIRLO CON UN AMIGO ¿CÓMO LO REPARTES? LO PARTES A LA MITAD ¿CIERTO? ES NORMAL QUE DIVIDAMOS ALIMENTOS PARA COMPARTIR Y PARA ESTOS CASOS USAMOS UN TIPO ESPECIAL DE NÚMEROS: LAS FRACCIONES. SON MÁS COMUNES DE LO QUE PIENSAS Y HOY APRENDERÁS A REPRESENTARLAS.
¿EN CUÁNTOS PEDAZOS ESTÁ CORTADO ESTE PASTEL? PARA RESPONDER ESTA PREGUNTA SOLO TENEMOS QUE CONTAR DE 1 EN 1: 1, 2, 3, …¡ESTÁ CORTADA EN 10 PEDAZOS! ESOS SON NÚMEROS NATURALES. PERO SI COMEMOS UNA DE ESAS PARTES ¿CÓMO REPRESENTARÍAS ESA CANTIDAD? EN ESTE CASO TENEMOS QUE USAR FRACCIONES: NÚMEROS QUE NOS AYUDAN A EXPRESAR PARTES DE UN TODO.
LA FRACCIÓN Y SUS ELEMENTOS
UNA FRACCIÓN ES UN NÚMERO QUE REPRESENTA LA PARTE O LAS PARTES QUE SE HAN TOMADO DE UN TODO CUANDO EL TODO ESTÁ DIVIDIDO EN PARTES IGUALES.
– EJEMPLO 1:
¿EN CUÁNTAS PARTES ESTÁ DIVIDIDA ESTA FIGURA?, ¿CUÁNTAS PARTES ESTÁN PINTADAS?
ESTE CUADRADO ESTÁ DIVIDIDO EN 4 PARTES IGUALES. UNA SOLA PARTE ESTÁ PINTADA.
¿QUÉ NÚMERO USARÍAS PARA REPRESENTAR QUE UNA PARTE SE HA TOMADO DE 4 PARTES IGUALES? PARA ESO ESTÁN LAS FRACCIONES, LAS CUALES SIEMPRE TIENEN DOS ELEMENTOS: UN NUMERADOR Y UN DENOMINADOR.
EL NUMERADOR ES IGUAL A LA CANTIDAD DE PARTES QUE SE TOMARON DEL TODO.
EL DENOMINADOR ES IGUAL A LA CANTIDAD DE PARTES EN LAS QUE SE HA DIVIDO EL ENTERO.
AMBOS ELEMENTOS SE COLOCAN UNO SOBRE OTRO CON UNA RAYA EN EL MEDIO, OBSERVA:
EN ESTE EJEMPLO, EL 1 ES EL NUMERADOR PORQUE REPRESENTA LA CANTIDAD DE PARTES QUE SE TOMARON DEL TODO Y EL 4 ES EL DENOMINADOR PORQUE REPRESENTA LA CANTIDAD DE PARTES EN LA QUE SE DIVIDIÓ AL TODO.
– EJEMPLO 2:
¿EN CUÁNTAS PARTES SE DIVIDIÓ EL CÍRCULO?
EN 5 PARTES. EL DENOMINADOR ES 5.
¿CUÁNTAS PARTES ESTÁN PINTADAS?
2 PARTES ESTÁN PINTADAS. EL NUMERADOR ES 2.
¿QUÉ FRACCIÓN REPRESENTA ESTE GRÁFICO?
– EJEMPLO 3:
¿EN CUÁNTAS PARTES SE DIVIDIÓ EL RECTÁNGULO?
EN 8 PARTES. EL DENOMINADOR ES 8.
¿CUÁNTAS PARTES ESTÁN PINTADAS?
3 PARTES ESTÁN PINTADAS. EL NUMERADOR ES 3.
¿QUÉ FRACCIÓN REPRESENTA ESTE GRÁFICO?
LAS FRACCIONES SON MUY UTILIZADAS EN LA VIDA COTIDIANA. EXISTEN SITUACIONES COMUNES DONDE PODEMOS ENCONTRARLAS, POR EJEMPLO, CUANDO PEDIMOS MEDIO KILOGRAMO DE PAN O CUANDO COMEMOS PIZZA. IMAGINA QUE LA PIZZA ES EL TODO Y ESTÁ PICADA EN 4 PARTES IGUALES; SI NOS COMEMOS UN TROZO ES IGUAL A DECIR QUE NOS COMIMOS 1/4 DE PIZZA.
¿SABÍAS QUÉ?
LAS FRACCIONES TAMBIÉN SE PUEDEN REPRESENTAR CON UNA DIAGONAL, ES DECIR, ES IGUAL A 1/4.
¿CÓMO GRAFICAR FRACCIONES?
SI QUEREMOS GRAFICAR UNA FRACCIÓN COMO DEBEMOS SEGUIR ESTOS PASOS:
1. DIBUJAMOS UNA FIGURA GEOMÉTRICA. POR EJEMPLO, UN RECTÁNGULO.
2. DIVIDIMOS EL RECTÁNGULO EN TANTAS PARTES COMO INDIQUE EL DENOMINADOR. EN ESTE CASO EL DENOMINADOR ES 6, ASÍ QUE LO DIVIDIMOS EN 6 PARTES IGUALES.
3. PINTAMOS LA CANTIDAD DE PARTES QUE INDIQUE EL NUMERADOR. AQUÍ PINTAMOS 5 PARTES. ¡ESE SERÁ EL GRÁFICO DE LA FRACCIÓN!
¡ES TU TURNO!
GRAFICA ESTAS FRACCIONES. DIBUJA UN CÍRCULO COMO EL TODO.
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
FRACCIONES IGUALES A LA UNIDAD
TODA FRACCIÓN QUE TENGA EL NUMERADOR IGUAL A SU DENOMINADOR SERÁ IGUAL A 1. EJEMPLO:
ESTE GRÁFICO REPRESENTA A LA FRACCIÓN QUE ES IGUAL A 1.
ESTE GRÁFICO REPRESENTA A LA FRACCIÓN QUE ES IGUAL A 1.
¿CÓMO LEER FRACCIONES?
LAS FRACCIONES SE LEEN DIFERENTES A LOS NÚMEROS NATURALES. ES IMPORTANTE QUE SIGAMOS ESTOS PASOS:
LEEMOS EL NUMERADOR COMO CUALQUIER NÚMERO NATURAL.
LEEMOS EL DENOMINADOR DE ACUERDO A LA SIGUIENTE TABLA:
DENOMINADOR
SE LEE
2
MEDIOS
3
TERCIOS
4
CUARTOS
5
QUINTOS
6
SEXTOS
7
SÉPTIMOS
8
OCTAVOS
9
NOVENOS
10
DÉCIMOS
– EJEMPLOS:
SE LEE “DOS CUARTOS”.
SE LEE “CUATRO DÉCIMOS”.
SE LEE “CINCO SÉPTIMOS”.
SE LEE “UN OCTAVO”.
LAS PARTES DE UN TODO
CADA PARTE DE UN TODO SE PUEDE REPRESENTAR POR MEDIO DE UNA FRACCIÓN. SEGÚN EL DENOMINADOR CADA PORCIÓN TENDRÁ UN NOMBRE DISTINTO. OBSERVA ESTA IMAGEN CON UN TODO DIVIDIDO DE 1 A 10 PARTES IGUALES.
¡A PRACTICAR!
1. ¿QUÉ FRACCIÓN REPRESENTAN ESTOS GRÁFICOS?
A.
SOLUCIÓN
B.
SOLUCIÓN
C.
SOLUCIÓN
D.
SOLUCIÓN
2. ¿CÓMO SE LEEN LAS SIGUIENTES FRACCIONES:
SOLUCIÓN
DOS DÉCIMOS.
SOLUCIÓN
UN DÉCIMO.
SOLUCIÓN
UN CUARTO.
SOLUCIÓN
CUATRO QUINTOS.
SOLUCIÓN
TRES SEXTOS.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Fracciones”
En el siguiente artículo podrás encontrar un abordaje de las fracciones con diferentes estrategias didácticas.
Las fracciones, a diferencia de los números enteros, permiten expresar proporciones de algo. Son útiles en la vida cotidiana y se usan con más frecuencia de lo que piensas. Frases como “un cuarto de kilo” o “un tercio de taza” son algunos ejemplos. En matemática son tan relevantes que forman su propio conjunto de números: los racionales.
Partes de una fracción
Una fracción resulta de dividir un número entero en partes iguales. En matemática es representada por dos números enteros ,denominados términos, que están separados por una línea horizontal, denominada raya de división o raya fraccionaria.
Los números que componen a una fracción se denominan numerador y denominador. El primero está ubicado en la parte superior de la raya de división y el segundo está en la parte inferior de esta. El numerador indica el número de partes que se han tomado de un entero, mientras que el denominador representa el número de partes en que se ha dividido el entero.
Podemos expresar las fracciones con una línea divisoria horizontal o diagonal. En este sentido, a la fracción también la podríamos expresar como 1/2.
Para entender el significado de la fracción anterior imaginemos que una pizza representa el “todo”, es decir, sería el entero que queremos dividir, el denominador de una fracción representa el número de partes que se ha dividido el entero, lo que nos permite concluir que la pizza se ha dividido en dos parte. Por otro lado, el numerador representa el número de partes que se ha tomado, en este ejemplo es 1, lo que quiere decir que 1/2 de pizza sería una de las dos porciones de la pizza.
La expresión 1/2 de pizza sería lo mismo que dividir la pizza en dos partes iguales y tomar una de esas partes. En la cocina se emplean fracciones para hablar de unidades de medición como tazas de ingrediente, por ejemplo: 1/2 de taza de harina, 1/3 de taza de agua, etc. Recuerda que el denominador indica cuántas veces se ha dividido algo en partes iguales (una taza, un litro, una naranja…).
¿Sabías qué?
El denominador de una fracción nunca es igual a cero (0).
Como ya sabemos, el denominador indica en cuántas partes se dividió un número entero. Cada una de esas partes recibe un nombre, por ejemplo, si dividimos en dos son medios, si dividimos en tres son tercios, si dividimos en cuatro son cuartos y así hasta el número once, a partir de ese número añadimos el sufijo –avos al número: onceavos, doceavos, treceavos y así sucesivamente.
Esta tabla muestra el nombre de cada una de las partes en las que se puede dividir un entero hasta el cien:
Partes que se divide del entero
Nombre
2
Medios
3
Tercios
4
Cuartos
5
Quintos
6
Sextos
7
Séptimos
8
Octavos
9
Novenos
10
Décimos
11
Onceavos
12
Doceavos
13
Treceavos
14
Catorceavos
15
Quinceavos
16
Dieciseisavos
17
Diecisieteavos
18
Dieciochoavos
19
Diecinueveavos
20
Veinteavos
30
Treintavos
40
Cuarentavos
50
Cincuentavos
60
Sesentavos
70
Setentavos
80
Ochentavos
90
Noventavos
100
Centavo
Para leer una fracción primero indicamos el número del numerador y luego las partes en las que está dividido el entero de acuerdo a la tabla anterior. Por ejemplo, se lee como “un medio”. Observemos otros ejemplos:
a) se lee “dos tercios”.
b) se lee “seis octavos”.
c) se lee “quince treintavos”.
d) se lee “doce veintitresavos”.
e) se lee “treinta y dos cuarentavos”.
f) se lee “noventa y siete centavos”.
¿Sabías qué?
Los centavos también son llamados céntimos.
Origen muy antiguo
Las antiguas civilizaciones como la babilónica, la egipcia y la griega usaban las fracciones en sus cálculos. Cada una tenía una manera particular de expresarlas y no fue sino hasta el siglo XIII cuando el matemático italiano Leonardo Fibonacci difundió el uso de la línea horizontal, símbolo que se emplea en la actualidad para separar el numerador y denominador en una fracción.
Relación de las fracciones y la división
Las fracciones representan porciones de un todo, es por ello que de alguna manera están estrechamente relacionadas con la división. De hecho, toda fracción es una división sin resolver, es decir; es equivalente a . Por lo tanto, es igual a .
En algunas ocasiones podemos expresar operaciones en forma de fracción, pero también podemos hacerlo como división y resolver la misma.
¿Sabías qué?
Existen fracciones que están formadas por una parte entera y una fraccionaria, a ellas se las conoce como fracciones mixtas.
Aplicación en la vida cotidiana de las fracciones
El ser humano siempre ha tenido la necesidad de contar, medir y repartir; razón por la que inventó los números. Las fracciones no están lejos de esta realidad y son usadas para entender porciones de cosas.
Están presentes en recetas de cocinas, en mediciones de telas y de volúmenes de productos (como en las gaseosas de medio litro o 1/2 L). Hay autos donde los indicadores del nivel de gasolina son expresados en fracciones para saber si el tanque está lleno, tiene la mitad o un cuarto de su capacidada.
Incluso, están presentes en algunas monedas como el dólar, donde existe una denominación llamada “centavo de dólar”, es decir, si el valor de un dólar lo pudiéramos dividir en 100 partes iguales, una de esas partes sería el centavo.
En resumen, las fracciones permiten expresar cantidades cotidianas de manera más sencilla.
Además de sus múltiples aplicaciones en los cálculos matemáticos, las fracciones se emplean en situaciones cotidianas de la vida como lo son las mediciones. También se usan en gráficos que permiten comprender datos de manera más simple. Muchos países del mundo las emplean en sus monedas y ciertos dispositivos usan escalas expresadas en fracciones.
¡A practicar!
1. ¿Cómo se leen las siguientes fracciones?
a)
Solución
Cinco tercios.
b)
Solución
Un centavo.
c)
Solución
Veintitrés cuarentavos.
d)
Solución
Tres medios.
e)
Solución
Dos quintos.
f)
Solución
Doce onceavos.
g)
Solución
Siete décimos.
h)
Solución
Once sextos.
i)
Solución
Trece cuartos.
j)
Solución
Cincuenta y ocho séptimos.
2. ¿Cómo se escriben en número estas fracciones?
a) Nueve décimos.
Solución
b) Catorce novenos.
Solución
c) Setenta y tres centavos.
Solución
d) Ochenta y ocho novenos.
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Video “Fracciones decimales”
Este video ayuda a entender la relación entre las fracciones y los números decimales así como la manera en transformar una fracción en decimal.
En el presente tomo de la Enciclopedia Matemáticas Primaria tendrás acceso a información más detallada sobre las fracciones, así como la posibilidad de obtener diferentes recursos educativos sobre este tema.
ESTE GRÁFICO REPRESENTA A LA FRACCIÓN 
ESTE GRÁFICO REPRESENTA A LA FRACCIÓN 
