Tag: adiciones

CAPÍTULO 2 / TEMA 4

situaciones problemáticas

MUCHAS SITUACIONES DE NUESTRO DÍA A DÍA SE RESUELVEN POR MEDIO DE CÁLCULOS MATEMÁTICOS, PERO PARA LLEGAR A SU RESPUESTA ES NECESARIO QUE REALICEMOS UNA SERIE DE PASOS: ORGANIZAR LOS DATOS, REFLEXIONAR SOBRE EL PROCESO, HACER LAS OPERACIONES Y FINALMENTE HALLAR LA RESPUESTA. MUCHAS OTRAS VECES TENEMOS QUE HACERLO MENTALMENTE. ¡APRENDE CÓMO SE HACEN! 

problemas de suma y resta

1. JUANA TIENE 12 LÁPICES DE COLORES Y CATALINA 6. ¿CUÁNTOS LÁPICES DE COLORES TIENEN ENTRE LAS DOS?

  • DATOS

LÁPICES DE JUANA: 12

LÁPICES DE CATALINA: 6

  • PREGUNTA

¿CUÁNTOS LÁPICES DE COLORES TIENEN ENTRE LAS DOS?

  • REFLEXIONA

HAY QUE SUMAR LAS DOS CANTIDADES DE LÁPICES DE COLORES PARA SABER EL TOTAL. PRIMERO SUMAS LAS UNIDADES Y LUEGO SUMA LAS DECENAS. SI UNO DE LOS SUMANDOS NO TIENE DECENAS SE CONSIDERA COMO UN CERO (0).

  • CALCULA

  • RESPUESTA

ENTRE LAS DOS TIENEN 18 LÁPICES.

2. JUAN TENÍA 54 FIGURITAS PARA JUGAR EN EL RECREO. COMPITIÓ CON CELINA Y PERDIÓ 13 FIGURITAS. ¿CUÁNTAS FIGURITAS LE QUEDAN A JUAN AHORA?

  • DATOS

FIGURITAS DE JUAN: 54

FIGURITAS QUE PERDIÓ: 13

  • PREGUNTA

¿CUÁNTAS FIGURITAS LE QUEDAN A JUAN AHORA?

  • REFLEXIONA

PARA SABER CUÁNTAS FIGURITAS LE QUEDARON A JUAN TENEMOS QUE RESTAR LA CANTIDAD QUE TENÍA AL INICIO CON LA CANTIDAD QUE PERDIÓ. PARA ESTO COLOCAMOS EL MINUENDO (54) SOBRE EL SUSTRAENDO (13). RESTAMOS PRIMERO LAS UNIDADES Y LUEGO LAS DECENAS.

  • CALCULA

  • RESPUESTA

A JUAN LE QUEDAN 41 FIGURITAS.

3. ILEANA LLEVÓ UN PAQUETE DE GALLETAS DE FRUTILLA PARA COMPARTIR. EL PAQUETE TENÍA 15 GALLETAS Y ELLA CONVIDÓ 5. ¿CUÁNTAS GALLETAS LE QUEDAN A ILEANA AHORA?

  • DATOS

GALLETAS DE ILEANA: 15

GALLETAS CONVIDADAS: 5

  • PREGUNTA

¿CUÁNTAS GALLETAS LE QUEDAN A ILEANA AHORA?

  • REFLEXIONA

ESTE PROBLEMA PODEMOS RESOLVERLO POR MEDIO DE UNA RESTA. SI LE “QUITAMOS” LA CANTIDAD DE GALLETAS CONVIDADAS A LA CANTIDAD TOTAL QUE TIENE EL PAQUETE TENDREMOS COMO RESULTADO LAS GALLETAS QUE QUEDARON.

  • CALCULA

  • RESPUESTA

A ILEANA LE QUEDAN AHORA 10 GALLETITAS.

TODO PROBLEMA MATEMÁTICO PUEDE SER RESUELTO POR MEDIO DE UNA OPERACIÓN, LAS MÁS COMUNES SON LAS DE SUMA Y RESTA. PARA RESOLVER PROBLEMAS TIENES QUE SEGUIR UNOS PASOS: ORGANIZAR LOS DATOS, OBSERVAR LA PREGUNTA, PENSAR SOBRE SU RESPUESTA PARA DAR EL RESULTADO A LA PREGUNTA. ESTOS PASOS TE AYUDARÁN A SOLUCIONAR PROBLEMAS DE MANERA RÁPIDA Y SENCILLA.

4. COMO FALTÓ LA MAESTRA DE UN PRIMER GRADO, UNIERON A TODOS LOS NIÑOS EN UN AULA. SI EN 1º A HAY 25 ALUMNOS Y EN 1º B HAY 23, ¿CUÁNTOS ALUMNOS HAY AHORA EN EL AULA?

  • DATOS

ALUMNOS DE 1º A: 25

ALUMNOS DE 1º B: 23

  • PREGUNTA

¿CUÁNTOS ALUMNOS HAY AHORA EN EL AULA?

  • REFLEXIONA

HAY QUE HACER UNA SUMA O ADICIÓN EN LAS QUE LOS SUMANDOS SON LAS CANTIDADES DE ALUMNOS EN CADA GRADO. COLOCA LOS SUMANDOS UNO SOBRE OTRO. SUMA PRIMERO LAS UNIDADES Y LUEGO LAS DECENAS.

  • CALCULA

  • RESPUESTA

AHORA EN EL AULA HAY 48 ALUMNOS.

5. EN 1º A HAY 25 ALUMNOS Y HOY FALTARON 4, ¿CUÁNTOS ALUMNOS DE 1º A ESTÁN EN LA ESCUELA?

  • DATOS

ALUMNOS TOTALES DE 1º A: 25

ALUMNOS DE 1º A QUE FALTARON: 4

  • PREGUNTA

¿CUÁNTOS ALUMNOS DE 1º A ESTÁN EN LA ESCUELA?

  • REFLEXIONA

TENEMOS QUE RESTAR LA CANTIDAD DE ALUMNOS QUE NO FUERON A LA ESCUELA A LA CANTIDAD TOTAL DE ALUMNOS DE 1º A. RECUERDA QUE EL SUSTRAENDO ES EL MENOR DE LOS NÚMEROS Y VA DEBAJO DEL MINUENDO QUE ES 25. RESTA LAS UNIDADES Y LUEGO LAS DECENAS.

  • CALCULA

  • RESPUESTA

EN LA ESCUELA ESTÁN 21 ALUMNOS DE 1º A

6. ANGÉLICA COMPRÓ UN PANTALÓN EN $ 50 Y PAGÓ CON $ 80. ¿CUÁNTO DINERO RECIBIÓ DE VUELTO?

  • DATOS

PRECIO DEL PANTALÓN: $ 50

PAGO DE ANGÉLICA: $ 80

  • PREGUNTA

¿CUÁNTO DINERO RECIBIÓ DE VUELTO?

  • REFLEXIONA

ESTE PROBLEMA LO PODEMOS RESOLVER POR MEDIO DE UNA RESTA, PUES SI SUSTRAEMOS EL PRECIO DEL PANTALÓN COMPRADO A LA CANTIDAD DE DINERO QUE SE PAGÓ, EL RESULTADO SERÁ EL DINERO QUE LE DIERON A ANGÉLICA DE VUELTO.

  • CALCULA

  • RESPUESTA

ANGÉLICA RECIBIÓ $ 30 DE VUELTO.

SI TIENES 1 PALETA Y TE REGALAN 4 PALETAS MÁS, ¿CUÁNTAS PALETAS TIENES? ESTA ES UNA OPERACIÓN QUE RESOLVEMOS CON UNA SUMA O ADICIÓN: 1 + 4 = 5. LA OPERACIÓN INVERSA DE LA SUMA ES LA RESTA, PUES MIENTRAS QUE EN LA SUMA AGRUPAMOS CANTIDADES, EN LA RESTA QUITAMOS UNA CANTIDAD A OTRA. ASÍ, QUE SI DE 4 PALETAS REGALAMOS 2, TENEMOS QUE HACER: 4 − 2 = 2. ¡QUEDAN 2 PALETAS!

LAS CALCULADORAS

LAS CALCULADORAS SON DISPOSITIVOS DISEÑADOS PARA REALIZAR CÁLCULOS MATEMÁTICOS DESDE LOS MÁS SIMPLES COMO UNA SUMA O UNA RESTA, HASTA OTROS MÁS COMPLICADOS COMO LA MULTIPLICACIÓN O LA DIVISIÓN. TAMBIÉN HACEN MUCHA OTRAS OPERACIONES. PUEDES VERLAS EN LOS COMERCIOS PORQUE AYUDAN A RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS DE FORMA EXACTA MUY RÁPIDA, COMO LA CUENTA QUE DEBEMOS PAGAR.

¿SABÍAS QUÉ?
CUANDO PRACTICAS LO SUFICIENTE PUEDES HACER ESTOS CÁLCULOS DE MANERA MENTAL.
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Situaciones problemáticas 1º grado”

Este recurso te brindará una serie de situaciones problemáticas que puedes compartir con tus alumnos.

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Artículo “Situaciones problemáticas 1º grado”

Con este recurso obtendrás las respuestas a las situaciones problemáticas del artículo anterior.

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CAPÍTULO 2 / TEMA 1

CÁLCULOS MATEMÁTICOS

DÍA A DÍA NOS ENCONTRAMOS CON SITUACIONES EN LAS QUE TENEMOS QUE HACER CÁLCULOS, POR EJEMPLO, CUANDO COMPARTIMOS NUESTROS DULCES O CUANDO AGRUPAMOS NUESTROS JUGUETES. COMO VES, SIEMPRE RESOLVEMOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS. PARA ELLO ES ÚTIL SEGUIR ALGUNOS CONSEJOS Y UTILIZAR SÍMBOLOS ESPECIALES.

¿QUÉ ES UN CÁLCULO MATEMÁTICO?

UN CÁLCULO MATEMÁTICO ES UNA OPERACIÓN QUE REALIZAMOS PARA CONOCER EL RESULTADO, VALOR O MEDIDA DE ALGO EXPRESADO EN NÚMEROS. LAS OPERACIONES QUE UTILIZAMOS CON MAYOR FRECUENCIA PARA CALCULAR SON LA SUMA Y LA RESTA.

ES POSIBLE QUE CADA DÍA SOLUCIONES PROBLEMAS MATEMÁTICOS SIN DARTE CUENTA. ESTOS CÁLCULOS SON MUY SENCILLOS CUANDO DOMINAS LOS SÍMBOLOS ADECUADOS. POR EJEMPLO, SI TIENES UNA CAJA CON DOCE ROSQUILLAS Y TE COMES DOS, PUEDES CONTAR UNA POR UNA LAS QUE QUEDARÍA O PUEDES EXPRESARLO COMO UNA CÁLCULO: 12 − 2 = 10. ¡QUEDARÍAN 10 ROSQUILLAS!

¿por qué es importante la matemática?

LA MATEMÁTICA NOS PERMITE ADQUIRIR HABILIDADES MUY ÚTILES PARA NUESTRA VIDA. NOS AYUDA A PENSAR, RAZONAR Y AGILIZAR NUESTRA MENTE. EN LA VIDA COTIDIANA ESTO TE AYUDARÁ A RESOLVER JUEGOS CON AMIGOS, ADMINISTRAR TUS AHORROS, UTILIZAR BIEN TU TIEMPO, UBICARTE EN EL ESPACIO Y NUNCA DEJAR DE APRENDER.

LA MATEMÁTICA Y LA MÚSICA

A SIMPLE VISTA LA MATEMÁTICA Y LA MÚSICA PUEDEN PARECER QUE NO TIENEN RELACIÓN. SIN EMBARGO, LOS MÚSICOS UTILIZAN CONSTANTEMENTE ELEMENTOS MATEMÁTICOS PARA CREAR Y EJECUTAR SUS PRODUCCIONES. LA UTILIZAN PARA INDICAR LA DURACIÓN DE LAS NOTAS, EL RITMO, EL VOLUMEN, LOS TONOS. ¡YA VES! LA MATEMÁTICA ESTÁ PRESENTE AÚN DONDE NO PODEMOS VERLA.

¿SABÍAS QUÉ?
EN TODOS LOS DEPORTES ES NECESARIA LA MATEMÁTICA. YA SEA PARA CONTAR LOS GOLES APUNTADOS, LA CANTIDAD DE JUGADORES O EL TAMAÑO DE LA CANCHA DE JUEGO.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

EN MATEMÁTICA LOS SÍMBOLOS SIRVEN PARA EXPRESAR OPERACIONES O RELACIONES ENTRE LOS NÚMEROS. LA SUMA Y LA RESTA SON LAS OPERACIONES QUE UTILIZAMOS CON MAYOR FRECUENCIA.

= ESTE ES EL SÍMBOLO “IGUAL”.

EL SÍMBOLO = ES USADO PARA DAR EL RESULTADO DE UN CÁLCULO COMO LA SUMA O LA RESTA.

+ ESTE ES EL SÍMBOLO “MÁS”.

EL SÍMBOLO + ES USADO PARA HACER SUMAS O ADICIONES. LA SUMA ES UN CÁLCULO EN EL QUE AGRUPAMOS CANTIDADES.

− ESTE ES EL SÍMBOLO “MENOS”.

EL SÍMBOLO − ES USADO PARA HACER RESTAS O SUSTRACCIONES. LA RESTA ES UNA CÁLCULO EN QUE QUITAMOS UNA CANTIDAD A OTRA.

– EJEMPLO:

SI MARÍA TIENE 4 LIMONES Y SU MAMÁ LE DA 3 LIMONES, ¿CUÁNTOS LIMONES TIENE AHORA?

MARÍA TIENE 7 LIMONES.

SI LUEGO LE REGALA 5 LIMONES A JOSÉ, ¿CUÁNTOS LIMONES LE QUEDAN?

LE QUEDAN 2 LIMONES.

LOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS REPRESENTAN LAS DISTINTAS OPERACIONES O RELACIONES ENTRE NÚMEROS. ALGUNOS SÍMBOLOS COMO “+” Y “−” REPRESENTAN LAS OPERACIONES DE SUMA Y RESTA, OTROS COMO “>” Y “<” REPRESENTAN RELACIONES DE “MAYOR QUE” O “MENOR QUE”. EXISTEN MUCHOS SÍMBOLOS ADEMÁS DE ESTOS. A MEDIDA QUE APRENDAS MÁS OPERACIONES APRENDERÁS MÁS SÍMBOLOS.

CONSEJOS PARA RESOLVER PROBLEMAS

  • PIENSA SI YA HAS RESUELTO UN PROBLEMA PARECIDO.
  • ANOTA LA INFORMACIÓN O LOS DATOS QUE EL PROBLEMA TE PROPORCIONA.
  • REALIZA DIBUJOS O ESQUEMAS.
  • PIENSA SI ALGUNA OPERACIÓN MATEMÁTICA TE AYUDARÍA A RESOLVERLO.
  • REALIZA LOS CÁLCULOS.
  • TOMA NOTA DE TODO LO QUE CONSIDERES NECESARIO.
  • ESCRIBE EL RESULTADO.

¡SIGUE LOS CONSEJOS!

JUAN TIENE 6 LÁPICES DE COLOR ROJO Y 3 LÁPICES DE COLOR AMARILLO. ¿CUÁNTOS LÁPICES TIENE EN TOTAL?

  • DATOS

LÁPICES DE COLOR ROJO:

LÁPICES DE COLOR AMARILLO: 3

  • DIBUJO

  • CÁLCULOS

  • RESULTADO

JUAN TIENE 9 LÁPICES EN TOTAL. 6 DE COLOR ROJO Y 3 DE COLOR AMARILLO.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Matemáticas en las vida cotidiana”

Este artículo ofrece información sobre el uso diario de la matemática, lo que te servirá para analizar con tus alumnos la importancia de la misma.

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CAPÍTULO 2 / TEMA 8 (REVISIÓN)

OPERACIONES | ¿qué aprendimos?

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

La adición consiste en combinar, agrupar o sumar números; la sustracción, en cambio, consiste en quitar o restar números a un grupo. Siempre que queramos resolver cualquiera de estas operaciones, debemos considerar el valor posicional de cada una de las cifras de los números. Por otro lado, la adición cumple con ciertas propiedades como la asociativa y la conmutativa que no se pueden aplicar a la sustracción.

Un ejemplo de la adición por reagrupación es la suma de dinero. Si tienes $ 1.324 y luego te dan $ 3.984, tienes en total  $ 1.324 + $ 3.984 = $ 5.318.

Multiplicación

La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar varias veces un mismo número. Los factores son los números que se multiplican o suman reiteradas veces y el producto es el resultado de la multiplicación. La multiplicación sin reagrupación es un método que consiste en multiplicar las unidades, las decenas y las centenas de 2 factores entre sí cuando ninguno de los productos formados supera la decena, mientras que la multiplicación con reagrupación es un procedimiento que podemos utilizar cuando algún producto entre dos cifras es igual o mayor a 10.

La multiplicación por reagrupación es útil en muchas situaciones cotidianas, como saber la cantidad de butacas que hay en el cine. Si cuentas las que hay en una fila (6) y las multiplicas por la cantidad de filas (3) tienes que 6 x 3 = 18. Así que hay 18 butacas.

División

La división es la operación opuesta a la multiplicación. Sus elementos son el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. El dividendo es la cantidad que se quiere repartir; el divisor indica entre cuántas partes se reparte; el cociente es la cantidad que le corresponde a cada parte y también es el resultado de la división; y el resto representa lo que no se puede repartir. Cuando el resto es igual a cero (0) decimos que la división es exacta.

El cociente de una división también puede ser un número decimal, por ejemplo, si deseamos repartir 3 naranjas entre 6 personas, cada una tendrá 0,5 = 1/2, es decir, cada una tendrá media naranja.

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

Para la adición y sustracción de números decimales procedemos igual que en el caso de los números naturales, pues debemos colocar cada elemento uno sobre otro según su valor posicional, al final nos aseguramos de que la coma esté en la misma columna. En el caso de las multiplicaciones, realizamos la operación tal y como si fuera una de números naturales, luego le colocamos al producto final la coma de acuerdo a los decimales de los factores.

Si sube la temperatura corporal un grado más allá de los 36,6° de la imagen, la persona tiene fiebre. ¿Cuál es la temperatura a la que puede tener fiebre? El cálculo es 36,6° + 1° = 37,6°. Este es un ejemplo de adición de decimales.

OPERACIONES COMBINADAS

Las operaciones combinadas son aquellas que agrupan diversos cálculos en una sola expresión. Cuando no hay paréntesis debemos seguir un orden de resolución: primero las multiplicaciones y divisiones, luego las sumas y restas. Si la operación combinada tiene paréntesis tenemos que realizar primero los cálculos que están dentro de ellos, es decir, estos tienen prioridad sobre otros.

Los paréntesis son de gran importancia si deseamos realizar operaciones en una calculadora, pues indican que son prioritarias sobre las demás.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) son operaciones que nos ayudan a simplificar cálculos más complejos. El mcm es el mínimo múltiplo que tienen en común dos o más números y el mcd es el divisor mayor que tienen en común dos o más números. Ambos pueden ser calculados por comparación de múltiplos y divisores o por descomposición de su números en factores primos.

La descomposición en factores primos consiste en dividir cada número entre su divisor mínimo para representar un número como producto de sus números primos. Algunos números primos están en esta imagen.

CONVERSIONES DE MEDIDAS

Algunas magnitudes que podemos medir son la longitud, la masa, el volumen y el tiempo. Cada una de ellas tiene una unidad básica de medida pero no son las únicas. Para medir longitudes podemos usar unidades como el metro, el kilómetro o el centímetro; para medir masas usamos unidades como el gramo, el kilogramo o el miligramo; para medir el volumen usamos unidades como el centímetro cúbico o el metro cúbico; y para medir el tiempo usamos unidades como los segundos, los minutos, las horas, los días o los años.

Hay mariposas que solo viven 1 día. Si convertimos esta unidad, también podemos decir que hay mariposas que viven 24 horas.

CAPÍTULO 3 / TEMA 6 (REVISIÓN)

FRACCIONES Y PORCENTAJES | REVISIÓN

LAS FRACCIONES Y SUS USOS

En toda fracción podemos distinguir dos partes principales: el numerador y el denominador, ambos se encuentran separados por una línea horizontal. El denominador indica en cuántas partes se divide la unidad y el numerador señala cuántas de esas partes se han de tomar. Las fracciones se pueden clasificar en propias, impropias y aparentes. Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador y representan un número menor a uno. Las fracciones impropias son la que tienen el numerador mayor que el denominador y representan a un número mayor a uno. Las fracciones aparentes son aquellas cuyo numerador es múltiplo de su denominador.

Además de la raya horizontal también podemos representar a las fracciones con una raya diagonal “/” o con el símbolo de las divisiones “÷”.

FRACCIONES EQUIVALENTES

Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad. Las fracciones equivalentes se pueden obtener por medio de dos métodos: amplificación y simplificación. Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero. Para obtenerlas por simplificación, debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero y que sea un divisor común entre ambos. Es importante recordar que las fracciones equivalentes se pueden utilizar para sumar y restar fracciones heterogéneas (que tienen distinto denominador).

Media sandía se puede expresar como 1/2, 2/4, 4/8, 8/16, 16/32… Todas ellas son fracciones equivalentes que indican la mitad de un entero.

OPERACIONES CON FRACCIONES

La suma y resta de fracciones depende del tipo de estas. En las fracciones homogéneas (mismo denominador) se suman o restan los numeradores y se conserva el mismo denominador. En las fracciones heterogéneas (diferente denominador) se debe multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el resultado se suma o se resta al producto del numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera, el número obtenido es el numerador de la fracción resultante; luego se multiplican ambos denominadores y el número obtenido corresponderá al denominador de la fracción resultante. Para la multiplicación se multiplican los numeradores y denominadores de forma lineal. Para la división, se debe multiplicar en forma de cruz: el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda es igual al numerador de la fracción resultante y el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera es igual al denominador de la fracción resultante.

Algunas fracciones se pueden simplificar, es decir, pueden expresarse en fracciones equivalentes más sencillas

FRACCIONES MIXTAS

Una fracción mixta o número mixto es una forma de representar a una cantidad  compuesta por una parte entera y una parte fraccionaria. Para graficarla, dividimos al entero en tantas partes como indique el denominador de la parte fraccionaria. Luego, pintamos tantos enteros (completos) como indique el número entero de la fracción mixta. Por último, dibujamos otro entero y pintamos tantas partes de este como indique el numerador de la fracción mixta. Para transformar una fracción mixta a una fracción convencional, lo que se realiza es sumar la parte entera con la parte fraccionaria. Siempre se debe obtener una fracción impropia.

En este caso la parte entera de la fracción mixta es 2, y la parte fraccionaria es 1/3. Se lee “dos enteros y un tercio”.

PORCENTAJES

Un porcentaje, al igual que una fracción, es una forma de indicar una parte de un todo. Un porcentaje siempre representa a una fracción decimal cuyo denominador es 100. El símbolo que utilizamos para indicar un porcentaje es %. Para calcular el porcentaje de una cantidad conocida se multiplican ambos valores y se divide entre 100. Para convertir cualquier fracción a porcentaje, debemos dividir el numerador con el denominador, y luego multiplicar dicho resultado por cien. Por otro lado, para convertir un porcentaje a fracción, simplemente colocamos el porcentaje en el numerador y 100 como denominador, posteriormente se realiza una simplificación.

Los porcentajes se utilizan para indicar descuentos y recargos. También se utilizan en la estadística y en la economía.

CAPÍTULO 3 / TEMA 5

Problemas con fracciones

La fracciones están presentes en la vida cotidiana. Su utilidad es inmensa y sin ellas muchos cálculos matemáticos serían más complejos. La resolución de operaciones como la suma, la resta, la división y la multiplicación se lleva a cabo de una manera particular cuando involucran fracciones.

Cálculo de fracciones equivalentes

Las fracciones equivalentes son aquellas que representan la misma cantidad pero sus numeradores y denominadores no son iguales. Se pueden calcular por amplificación o por simplificación:

Para encontrar una fracción equivalente por amplificación tenemos que multiplicar el numerador y denominador por un mismo número. En este caso, las fracciones \frac{1}{2} y \frac{2}{4} son equivalentes porque:

Por otro lado, para calcular una fracción equivalente por simplificación, debemos hacer el procedimiento contrario, es decir, dividir el numerador y denominador por un mismo número. En este caso, ambos términos de la fracción deben tener un divisor común, de lo contrario se dice que la fracción es irreducible.

Las fracciones \frac{10}{4} y \frac{5}{2} son fracciones equivalentes porque:

¿Sabías qué?
Las fracciones irreducibles son aquellas cuyo numerador y denominador no tienen un divisor común.

Adición y sustracción de fracciones homogéneas

Sumar o restar fracciones homogéneas es sencillo. Primero se suman o restan los numeradores según indique el signo y el número obtenido será el numerador de la fracción resultante, luego se coloca el mismo denominador. Por ejemplo:

Calcula: \frac{1}{3}+\frac{4}{3}

Suma los dos numeradores, que son 1 y 4, y luego coloca el mismo denominador de las fracciones. La fracción resultante es entonces \frac{5}{3}.

Calcula: \frac{7}{5}-\frac{3}{5}

Resta los numeradores, 7 y 3, y el número obtenido será el numerador de la fracción resultante cuyo denominador será el mismo de las fracciones originales. En este caso, el resultado es \frac{4}{5}.

En la práctica simplificamos fracciones hasta su mínima expresión, es decir, obtenemos fracciones equivalentes que no tengan divisores comunes entre su numerador y su denominador. Hacemos esto porque dichas fracciones simplifican la escritura y los cálculos. Por lo general, para reducir fracciones empleamos los criterios de la divisibilidad.

VER INFOGRAFÍA

Adición y sustracción de fracciones heterogéneas

Las fracciones heterogéneas son aquellas que tienen distinto denominador. Un método para resolver adiciones y sustracciones de este tipo de fracciones es el método en cruz, el cual consiste en calcular fracciones equivalentes con el mismo denominador y luego sumar o restar según indique el signo.

Pasos para resolver sumas y restas de fracciones heterogéneas

  1. Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, luego coloca el signo según indique la operación y seguido de eso multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. La suma o resta de esos dos productos será el numerador de la fracción resultante.
  2. Multiplica el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda, el resultado de esa multiplicación será el denominador de la fracción resultante.

Calcula: \frac{4}{3}+\frac{5}{2}

Se aplican los pasos anteriores, es decir: multiplicamos el numerador de la primera fracción (4) por el denominador de la segunda (2), colocamos el signo más (+) y luego multiplicamos el denominador de la primera fracción (3) por el numerador de la segunda fracción (5). Ambos productos forman parte del numerador de la fracción resultante.

Luego multiplicamos los denominadores y el producto formará parte del denominador de la fracción resultante.

Resolvemos los productos.

Finalmente, resolvemos la suma en el denominador y obtenemos el resultado:

 

Calcula: \frac{5}{2}-\frac{1}{4}

El procedimiento es el mismo que el anterior, pero al momento de realizar los productos cruzados colocamos el signo menos (−) y luego restamos. El procedimiento sería el siguiente:

Simplificación

Podemos simplificar la fracción \frac{18}{8} y llevarla a su mínima expresión, para esto solo dividimos el numerador y el denominador por dos (2). Por lo tanto:

\frac{18}{8}=\frac{9}{4}

Multiplicación de fracciones

La multiplicación de fracciones se realiza de forma lineal entre sus elementos, es decir, primero multiplicamos todos los numeradores y el producto será el numerador resultante. Luego multiplicamos todos los denominadores y el producto será el denominador de la fracción resultante.

Calcular: \frac{5}{3}\times \frac{3}{2}.

Simplificación

Podemos simplificar la fracción \frac{15}{6} y llevarla a su mínima expresión, para esto solo dividimos el numerador y el denominador por tres (3). Por lo tanto:

\frac{15}{6}=\frac{5}{2}

La inversa de una fracción es aquella en la que su numerador es igual al denominador y el denominador es igual al numerador de la primera fracción en ambos casos. La inversa de la fracción 3/2 es 2/3 y la inversa de 5/8 es 8/5. Si multiplicamos una fracción por su inversa, el resultado siempre va a ser la unidad. En este sentido 3/2 x 2/3 = 1 y 5/8 x 8/5 = 1.
¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de fracciones:

a) \frac{7}{9}+\frac{1}{9}

Solución
\frac{8}{9}

b) \frac{3}{5}-\frac{1}{2}

Solución
\frac{1}{10}

c) \frac{9}{7}+\frac{5}{7}

Solución
\frac{14}{7}

La fracción simplificada es \frac{2}{1}=2

d) \frac{13}{20}-\frac{8}{20}

Solución
\frac{5}{20}

La fracción simplificada es \frac{1}{4}. 

e) \frac{4}{5}+\frac{6}{9}

Solución
\frac{66}{45}

La fracción simplificada es \frac{22}{15}.

2. Resuelve las siguientes multiplicaciones:

a) \frac{3}{5}\times \frac{4}{9}

Solución
\frac{12}{45}

La fracción simplificada es \frac{4}{15}. 

b) \frac{5}{8}\times \frac{3}{9}

Solución
\frac{15}{72}

La fracción simplificada es \frac{5}{24}.

c) \frac{1}{8}\times \frac{7}{2}

Solución
\frac{7}{16}

d) \frac{3}{8}\times \frac{4}{7}

Solución
\frac{12}{56}

La fracción simplificada es \frac{3}{14}.

e) \frac{9}{4}\times \frac{8}{3}

Solución
\frac{72}{12}

La fracción equivalente es \frac{6}{1}=6

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Adición y sustracción de fracciones”

En este artículo destacado se exponen diferentes formas de resolver adiciones y sustracciones de fracciones con igual o diferente denominador.

VER

Artículo “Multiplicación y división de fracciones”

En este artículo se expone cómo resolver problemas de multiplicación de fracciones. También describe como realizar la simplificación de estos números y ayuda a comenzar a trabajar con problemas de división de fracciones.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 6 (REVISIÓN)

Fracciones | ¿Qué aprendimos?

¿Qué son las fracciones?

Una fracción está formada por dos términos principales: el numerador y el denominador. Estos son números enteros que están separados por una línea horizontal denominada raya divisoria o raya fraccionaria. Una fracción es la división de un entero o una unidad en partes iguales. El numerador indica las partes a considerar de esa división y el denominador indica las partes en las que se dividió el entero o unidad. Estos números son más antiguos que lo que se piensa y están relacionados con la división.

Las fracciones están presentes en la vida cotidiana, sobre todo en las mediciones usadas en la cocina, pero también están presentes en algunas monedas.

Fracciones diversas

De acuerdo a la relación que exista entre el numerador y el denominador, las fracciones pueden ser propias o impropias. Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador, contrario a las fracciones impropias, en las que el numerador es mayor que el denominador. Por otro lado, si comparamos dos o más fracciones, estas pueden ser homogéneas o heterogéneas. Las fracciones homogéneas son las que poseen el mismo denominador, las heterogéneas, en cambio, presentan diferentes denominadores.

Las fracciones pueden expresarse en forma de gráfica o viceversa. Lo emocionante de ellas es que las usamos a diario para dividir cosas o cantidades.

Gráficas de fracciones

Las fracciones suelen expresarse en gráficos para interpretar de manera más sencilla los datos. La forma para representar estos gráficos dependen del tipo de fracción. Si la fracción es propia elegimos cualquier figura, la dividimos en partes iguales según el denominador y señalamos las partes que indique el numerador. Cuando se trata de una fracción impropia dividimos una figura geométrica en las partes que señale el denominador, pero debido a que en este tipo de fracción el numerador es mayor que el denominador, serán necesarias más de una figuras.

Los números mixtos son un tipo de número fraccionario que posee una parte entera y otra fraccionaria.

Orden de fracción

Las fracciones presentan un sentido de orden, es decir, hay fracciones que son mayores o menores que otras. Una herramienta muy útil para reconocer este orden es la recta numérica. Se trata de un gráfico en forma de línea horizontal en el que los números están ordenados de menor a mayor. Para ubicar fracciones propias en la recta numérica dividimos la unidad en segmentos iguales según indique el denominador y la fracción se ubicaría en el número de segmento indicado por el numerador. Las fracciones impropias, por su parte, deben ser transformadas en números mixtos.

En la recta numérica, si se toma un número como referencia, los números de su izquierda son menores a él y los de la derecha mayores.

Problemas con fracciones

Las fracciones, además de ayudarnos a resolver problemas que impliquen proporciones, nos permiten resolver las operaciones básicas matemáticas como la adición, la sustracción, la multiplicación y al división. En el caso de la adición y la sustracción de fracciones debemos tener en cuenta su tipo: si las fracciones son homogéneas sumamos o restamos los numeradores y colocamos el denominador, si son heterogéneas usamos el método de cruz para resolverlas. Las multiplicaciones se resuelven de forma lineal, al multiplicar los numeradores y los denominadores.

La adición y sustracción de fracciones heterogéneas suele realizarse por el método en cruz que permite calcular de manera directa fracciones equivalentes.

CAPÍTULO 2 / TEMA 4 (REVISIÓN)

OPERACIONES | ¿QUÉ APRENDIMOS?

Adición y sustracción

La matemática presenta cuatro operaciones básicas: adición o suma, sustracción o resta, multiplicación y división. La adición consiste en combinar dos o más números para obtener un total. Esta operación emplea el símbolo “+” y tiene dos elementos: los sumandos, que son los números que se van a sumar, y la suma, que consiste en el resultado en sí. La sustracción, por su parte, es una operación que consiste en quitar una cantidad a otra, por esto es considerada como la operación inversa a la adición, y emplea el símbolo “−”. Los elementos de una resta son: el minuendo que es el número al que se le va a quitar la cantidad, el sustraendo que es el número que resta y la diferencia que es el resultado de la operación.

El método por reagrupación permite resolver problemas de adición y sustracción en función de los valores posicionales de los números.

 

Multiplicación y división

La multiplicación y la división son otras operaciones fundamentales de la matemática. Se dice que la multiplicación es una suma abreviada porque permite sumar tantas veces un número como indique otro, a menudo se usa la equis (x) para indicar esta operación pero también se usa el punto (·). Está formada por los factores, que son los números que se multiplican y por el producto que es el resultado de dicha operación. Por otro lado, la división es la operación opuesta a la multiplicación y consiste en repartir grupos de elementos en partes iguales. Su símbolo es “÷” y sus elementos principales son: el dividendo, que es el número que se reparte; el divisor, que es el número que indica las partes en las que se va a dividir el dividendo; el cociente, que es el resultado; y el resto, que es la cantidad que no se puede dividir.

Para resolver divisiones es muy importante dominar muy bien las multiplicaciones.

 

Operaciones combinadas

Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen dos o más operaciones matemáticas. Aunque pueden incluir símbolos como los paréntesis, corchetes y llaves, cuando se aplican a números naturales estos símbolos no son necesarios. Para resolver cálculos combinados de suma y resta, se resuelven los números de izquierda a derecha en función de la operación que se indique. Cuando existan operaciones combinadas que además de suma o resta incluyan multiplicación, división o ambas, se resuelven las multiplicaciones y divisiones primero para luego sumar o restar de la manera mencionada anteriormente.

En las operaciones combinadas primero se resuelven las multiplicaciones y divisiones, después se resuelven sumas o restas.

CAPÍTULO 2 / TEMA 3

Operaciones combinadas

Hay ocasiones en las que pueden aparecer varias operaciones matemáticas en un mismo problema: estas expresiones se conocen como operaciones combinadas. Para resolverlas, es importante que tengas buenas bases en las propiedades de la suma, la resta, la multiplicación y la división, así como también que sepas priorizar entre ellas.

¿Qué es una operación combinada?

Es una expresión que contiene dos o más operaciones matemáticas, como la suma, la resta, la división y la multiplicación. Algunas veces puede aparecer con paréntesis para separar términos dentro de la expresión.

Para estos problemas se deben tener en cuenta dos cosas:

  1. La regla de los signos.
  2. La prioridad de operaciones, lo que significa que hay operaciones que deben resolverse antes que otras.

Ley de los signos en suma y resta

Para resolver operaciones combinadas es indispensable comprender ciertos criterios que cumplen los números en relación a su signo, a estos criterios se los conoce como “ley de los signos”. A continuación, te mostramos aquellos orientados únicamente a operaciones de suma y resta.

  1. Cuando se suman números positivos, el resultado es otro número con signo positivo:
    10 + 13 = 23
  2. Cuando se suman números negativos, se mantiene el signo negativo y suman los números:
    (−3) + (−2) = −5
  3. Cuando se tienen números con diferente signo, se restan y se coloca el signo que corresponda al número mayor:
    15 − 3 = 12 → El número mayor es 15 y como no tiene signo se entiende que es positivo, ya que por convención los números que no presentan signo se asumen como números positivos, así que al resultado no se le coloca signo.

    3 − 7 = −4 → El número mayor es el 7 y, por tener el signo menos, el resultado debe ser negativo.

¿Sabías qué?
El símbolo “÷” algunas veces es reemplazado por dos puntos “:” para indicar una división.

Ejercicios combinados de sumas y restas

Las operaciones combinadas de sumas y restas con números naturales son fáciles de reconocer porque no llevan paréntesis. En los ejercicios de este tipo, la resolución se hace de izquierda a derecha en el orden en que aparecen los números.

– Por ejemplo:

458 − 352 + 157 − 235 + 784 − 568

Primero debes resolver los dos primeros términos: 458 − 352 = 106, y colocar el resultado como reemplazo de esos números. Luego escribe los números siguientes con sus signos:

106 + 157 − 235 + 784 − 568

Suma el resultado anterior con el siguiente término:

106 + 157 − 235 + 784 − 568

Como el resultado de 106 + 157 es igual a 263, sustituye esos números y anota los números siguientes:

263 − 235 + 784 − 568

Debido a que el número que le sigue a 263 está precedido por un signo menos, la operación a realizar es una resta, es decir, 263 − 235, cuyo resultado es 28. Anota este resultado y resuelve con el número siguiente:

28 + 784 − 568

De 28 + 784 resulta 812, entonces, escribe este resultado junto con el último número que queda y resuelve:

812 − 568 = 244

Con esta última operación obtendrás el resultado del ejercicio. También puedes escribir la solución de esta forma:

458 − 352 + 157 − 235 + 784 − 568 = 244

En los ejercicios combinados de sumas y restas es importante conocer el valor posicional de los números y dominar correctamente estas operaciones. Aunque no es necesario mantener estrictamente el orden de resolución de izquierda a derecha (se pueden resolver los números positivos primero y los negativos después), se sugiere hacerlo para evitar errores.

Ejercicios combinados de multiplicación y división

Los ejercicios combinados que involucran multiplicación y división sin paréntesis se resuelven en este orden:

  1. Realiza las multiplicaciones y las divisiones primero.
  2. Realiza las sumas y restas de la manera en la que fue explicado en el punto anterior.

– Por ejemplo:

112 + 3 x 15 − 85

Resuelve primero la multiplicación 3 x 15:

112 + 3 x 15 − 85

Como 3 x 15 = 45, coloca el 45 como reemplazo de la expresión y respeta el orden de los demás números:

112 + 45 − 85

Ahora tenemos una operación combinada de suma y resta que puedes solucionar de izquierda a derecha como se explicó anteriormente:

112 + 45 − 85

157 − 85 = 72

El resultado es el siguiente:

112 + 3 x 15 − 85 = 72

 

– Otro ejemplo:

21 + 25 ÷ 5 − 12 + 8 x 6

Primero debes identificar los números que multiplican y dividen:

21 + 25 ÷ 5 − 12 + 8 x 6

Resuelve las operaciones de multiplicación y división y reemplaza por sus respectivos resultados. El orden y los signos del resto de los números se mantiene. Recuerda que 25 ÷ 5 = 5 y que 8 x 6 = 48. Al sustituir estos números queda:

21 + 5 − 12 + 48

Ya puedes resolver la operación combinada de suma y resta de la manera explicada anteriormente:

21 + 5 − 12 + 48

26 − 12 + 48

14 + 48 = 62

Expresa el resultado de la siguiente manera:

21 + 25 ÷ 5 − 12 + 8 x 6 = 62

 

Al momento de resolver ejercicios combinados, se debe prestar atención a los signos. Un signo que no sea correcto se traduce, en la mayoría de los casos, en un resultado erróneo. De igual forma se debe tener presente el orden de las operaciones a resolver, es decir, primero resolver multiplicaciones y divisiones, después resolver sumas y restas.
¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes operaciones combinadas de sumas y restas sin paréntesis:

a) 115 − 94 + 525 − 32 =

Solución
514
b) 350 − 257 − 50 + 117 =
Solución
160
c) 450 − 358 + 15 + 452 − 527 + 13 =
Solución
45
d) 1.975 − 1.875 + 252 =
Solución
352
e) 759 − 651 + 875 − 532=
Solución
451

2. Resuelve las siguientes operaciones combinadas con multiplicaciones y divisiones sin paréntesis:

a) 14 − 6 x 3 − 11 =

Solución
−15
b) 28 − 12 ÷ 3 + 10 =
Solución
34
c) 42 + 5 x 5 − 48 + 42 ÷ 6 =
Solución
26
d) 272 − 105 + 6 x 6 − 15 + 2 x 2 =
Solución
192
e) 3.615 ÷ 15 + 9 − 90 + 5 x 2 =
Solución
170

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ley de los signos: suma y resta”

Este artículo explica la ley de los signos para la suma y la resta. También muestra ejemplos de ejercicios para cada caso.

VER

Artículo “Números negativos”

Este artículo ayuda a ampliar el conocimiento sobre los números negativos y algunas de sus aplicaciones. También incluye una serie de ejercicios para resolver.

VER

Artículo “Cálculos combinados”

Este artículo destacado profundiza en explicaciones sobre los cálculos combinados y su metodología para resolverlos.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 1

Adición y sustracción

En matemática existen cuatro operaciones básicas: adición, sustracción, multiplicación y división. De las dos primeras se desprenden las otras, lo que quiere decir que aprender a sumar y a restar es fundamental para resolver la mayoría de los ejercicios matemáticos y para realizar cuentas cotidianas como, por ejemplo, en compras del supermercado.

Elementos de la adición

La adición es una de las operaciones básicas de la aritmética que permite combinar dos o más números para obtener un total. Esta operación se representa con el símbolo “+” y es aplicada en los diferentes tipos de números: naturales, enteros, racionales, reales y complejos.

Una adición presenta dos partes básicas: los sumandos y la suma. Los sumandos son todos los números que se van a sumar y la suma se refiere al resultado.

La adición anterior tiene dos sumandos: 352 y 431, y el resultado o suma es 783. Es importante tener presente que en estos casos la palabra “suma” se emplea para hablar de la operación de adición y también para referirse al resultado.

¿Sabías qué?
La aritmética es una rama de la matemática que estudia los números y las operaciones elementales que se realizan con ellos.

Propiedades de la adición

La suma de números enteros cumple tres propiedades básicas:

Propiedad conmutativa

Sin importar cómo se ordenen los sumandos de una suma, el resultado siempre será el mismo. Por ejemplo:

Por lo tanto:

15 + 3 = 18

3 + 15 = 18

Propiedad asociativa

No importa como se agrupen los elementos de una suma, el resultado siempre será el mismo. Por ejemplo:

En el problema: 8 + 2 + 6, se pueden sumar primero el 8 y 2 para luego sumar el 6, o se pueden sumar el 2 y el 6 y después sumar el 8. Entonces:

8 + 2 = 10, 10 + 6 = 16

2 + 6 = 8; 8 + 8 = 16

Propiedad del elemento neutro

El cero es el único número que no altera el resultado en una suma, es decir, la suma de cualquier número con el cero es igual al mismo número:

5 + 0 = 5
45 + 0 = 45
219 + 0 = 219

Conocer las propiedades de la suma permite realizar cálculos de manera más rápida. Por ejemplo, si necesitamos sumar 6 + 85, es más fácil agregar mentalmente 6 a 85 que 85 a 6. También se usa la propiedad asociativa en la suma de números con diferentes cifras, estos se pueden ordenar de mayor a menor y luego realizar una suma por reagrupación más sencilla.

VER INFOGRAFÍA

Adición por reagrupación

Es un método en el que se agrupan las unidades, decenas, centenas, etc., de un número. Para resolver problemas de este tipo se suman primero las unidades, luego las decenas, después las centenas y así sucesivamente.

Pasos para resolver adiciones por reagrupación

  1. Colocar los sumandos uno debajo del otro de manera que los valores posicionales iguales estén ubicados en una misma columna: unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas…
  2. Sumar cada columna por separado a partir de las unidades. El resultado de la suma de cada columna se escribe en la parte inferior de esta.
  3. En caso de obtener un número de dos cifras al momento de sumar una columna, se anotará el número de la unidad de dicho número y la decena se sumará a la columna siguiente.

Con estos ejemplos podrás ver mejor cómo resolver una suma por reagrupación:

– Sumar 242 + 351

Lo primero es colocar los números uno debajo del otro según sus mismos valores posicionales.

Luego suma la columna de las unidades y anota el resultado debajo de dicha columna.

Repite el procedimiento anterior en las demás columnas de derecha a izquierda hasta completarlas todas. En este caso el resultado es: 242 + 351 = 593.

– Sumar 198 + 23

Ordena los números de la siguiente manera:

Cuando sumas la columna de las unidades tienes que 8 + 3 = 11, entonces solo debes colocar el 1 de la unidad y el 1 de la decena lo sumas en la siguiente columna. Anota el número en la parte superior de la columna para no olvidar sumarlo al final.

Suma la segunda columna. Allí tienes que 9 + 2 = 11, pero hay que sumarle 1 de la columna anterior, entonces el resultado de la segunda columna es 12. Anota el 2 de la unidad y el 1 de la decena lo sumas a la siguiente columna.

En la tercera columna solamente está el número 1, así que el 1 de la columna anterior se suma a este. Anota el resultado.

El resultado de la suma anterior es: 198 + 23 = 221. En caso de sumar la última columna y obtener un número de dos cifras, este se anotará exactamente igual en el resultado.

Elementos de la sustracción

La sustracción es otra operación básica de la aritmética que consiste en quitar una cantidad a otra, por eso se considera como la operación opuesta a la suma. Se representa con el símbolo “−”.

Este tipo de operación cuenta con un minuendo, número al cual se le quita cierta cantidad; un sustraendo, número que resta al minuendo; y la diferencia, resultado de la operación.

¿Sabías qué?
La diferencia de una resta es la cantidad que falta para que ambos números sean iguales.

Propiedades de la sustracción

La sustracción cumple con dos propiedades básicas:

Elemento neutro

El resultado de cualquier número y cero da como resultado el mismo número. Por ejemplo:

3 − 0 = 3

157 − 0 = 157

Elemento simétrico

El resultado de restar un número con su opuesto (número del mismo valor con signo opuesto) da como resultado el número cero.

5 − 5 = 0

74 − 74 = 0

¿Sabías qué?
En la sustracción no existen ni la propiedad conmutativa ni la asociativa.

Sustracción por reagrupación

Este tipo de problemas se realizan mediante la agrupación de los números uno debajo del otro de forma tal que valores posicionales entre las cifras de los números que se restan sean los mismos. Para las restas con naturales, el número mayor debe estar ubicado en la parte de arriba (minuendo) y el número menor debajo (sustraendo).

¿Sabías qué?
La resta por reagrupacion también es conocida como resta con llevada y sirve para restar una cifra mayor a una menor.
Pasos para resolver restas por reagrupación

  1. Colocar el minuendo y el sustraendo uno debajo del otro de manera que los valores posicionales iguales estén ubicados en la misma columna. El número mayor siempre debe estar ubicado en la parte de arriba.
  2. Comenzar a restar desde la columna de las unidades, de derecha a izquierda.
  3. Si en una columna se tiene que la cifra de arriba es menor que la de abajo, esta cifra toma prestado un valor posicional a la columna del minuendo de la izquierda.
  4. En caso de que la cifra del minuendo le haya “prestado” un valor posicional a la cifra de al lado, esta se reduce en una unidad y se debe considerar el nuevo valor de la cifra al momento de restar en su columna.

Con estos ejemplos podrás apreciar mejor cómo resolver una resta por reagrupación:

– Restar 425 − 263

Lo primero es colocar los números uno debajo del otro con sus valores posicionales iguales, todos ubicados en la misma columna.

Luego resta las cifras en la columna de las unidades.

Repite la resta en la columna de las decenas, pero como en este caso el 2 es menor que el 6, el 4 presta una centena al 2. De este modo, 4 centenas y 2 decenas, se convierten en 3 centenas y 12 decenas. Ahora sí es posible restar 12 menos 6 en la columna de las decenas.

 

Resta las cifras en la columna de las centenas. Como el 4 le prestó 1 al 2, entonces quedó en 3 centenas que al restarse con el 2 el resultado de la columna es 1.

Ejercicios

1. Resuelve las siguientes sumas:

a) 452 + 395 =

Solución
847
b) 256 + 122 =
Solución
378
c) 603 + 113 =
Solución
716
d) 126 + 460 =
Solución
586
e) 1.830 + 2.178 =
Solución
4.008

2. Resuelve las siguientes restas:

a) 853 − 741 =

Solución
112
b) 544 − 35 =
Solución
509
c) 1.789 − 1.354 =
Solución
435
d) 957 − 362 =
Solución
595
e) 4.780 − 3541 =
Solución
1.239
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Operaciones básicas de los números naturales y sus propiedades”

El presente artículo permite profundizar el tema de las operaciones básicas y de sus diferentes propiedades.

VER

Enciclopedia “Nana y Enriqueta en el país de las matemáticas”

Es una enciclopedia diseñada para explicar de manera didáctica los conceptos matemáticos básicos desde la realidad de los niños.

VER

Video “Suma y resta de números decimales”

En este video se muestra como realizar sumas en el conjunto de los números decimales.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 3

Un vistazo a los números decimales

Hay ocasiones en las que los números enteros no son útiles para expresar ciertas magnitudes; los números decimales, en cambio, permiten indicar una cantidad ubicada entre dos enteros y por este motivo son usados a diario en diversas situaciones, como por ejemplo en los precios de los productos y la lectura de la temperatura del cuerpo.

¿Qué son los números decimales?

Son números formados por una parte entera y otra parte menor que la unidad. Los números decimales generalmente se representan con una coma (,) para indicar la separación entre la parte entera que puede ser igual a cero y la parte menor a la unidad.

Los decimales de un número pueden ser finitos o infinitos.

Por ejemplo:

– El número 3,15 es un decimal con un número finito de decimales.

– El número pi es un número con infinitos decimales: 3,1415926535… Al observar sus decimales se puede apreciar que no son periódicos, por lo tanto no siguen un patrón de repetición, a este tipo de números se lo conoce como número irracional.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?
Los puntos suspensivos (…) son usados para indicar que los decimales de un número son infinitos.

Elementos de un decimal

Como ya sabemos, los números decimales están formados por una parte entera y otra menor a la unidad (conocida también como parte decimal), la parte entera se ubica a la izquierda y la parte decimal a la derecha de la coma.

La parte entera puede ser igual a cero, como por ejemplo 0,5, que es la mitad del número 1.

La parte decimal es conocida también como parte fraccionaria, y siempre representa cantidades menores a la unidad.

Los números decimales pueden ser finitos si su parte fraccionaria es finita; o infinitos si su parte fraccionaria es infinita. Los decimales infinitos, a su vez, se clasifican en periódicos y no periódicos. Los periódicos presentan un patrón infinito en sus decimales, como el número 1,333… y los no periódicos no siguen ningún patrón, como en el caso del número pi.

Lectura de decimales

Antes de aprender a leer números decimales es importante conocer los conceptos de décima, centésima y milésima.

  • Décima: es el resultado de dividir la unidad en diez partes iguales. En la tabla de valor posicional se muestra con la letra d minúscula.
  • Centésima: es el resultado de dividir la unidad en cien partes iguales. En la tabla de valor posicional se muestra con la letra c minúscula. La centésima es menor que la décima.
  • Milésima: es el resultado de dividir la unidad en mil partes iguales. En la tabla de valor posicional se muestra con la letra m minúscula. La milésima es menor que la centésima.

La tabla de valor posicional para un número decimal es:

Para leer un número decimal debes seguir estos pasos:

  1. Lee su parte entera de la misma forma como se hace en la lectura de números enteros en el siguiente orden: centena de mil, decena de mil, unidad de mil, centena, decena, unidad.
  2. Agrega la palabra “unidades” o “enteros”.
  3. Coloca una coma.
  4. Lee la parte decimal de la misma manera en la que se leen los enteros y al final nombra el orden decimal que ocupa la última cifra (décimas, centésimas o milésimas).

Por ejemplo, 535,42 se lee: “quinientas treinta y cinco unidades, cuarenta y dos centésimas“.

En el ejemplo anterior, el 2 corresponde a la última cifra y ocupa el orden de las centésimas por eso se agrega dicho orden al final del número.

Si el decimal tiene una parte entera igual a cero solo se nombra la parte decimal de acuerdo al orden de la última cifra. Por ejemplo, 0,579 se lee: “quinientas setenta y nueve milésimas“.

¿Sabías qué?
Cuando un número decimal termina en cero este número puede omitirse sin alterar su valor. Así, 1,50 es igual a 1,5.

Utilidad de los decimales

Gracias a que permiten expresar números menores a la unidad, uno de sus principales usos son en las mediciones, desde la lectura de la temperatura hasta la determinación del tamaño de una bacteria, por ejemplo. Por esta razón, los decimales son indispensables en los cálculos empleados en disciplinas como la arquitectura, la medicina, la ingeniería y muchas otras más.

Para comparar dos números decimales lo primero que se debe hacer es comparar sus partes enteras, la que sea mayor corresponderá al número decimal mayor, por ejemplo: 21,5 es mayor que 9,785 porque 21 es mayor a 9. Cuando dos números decimales tienen igual parte entera se comparan sus partes decimales, por ejemplo: 7,58 es mayor a 7,49 porque 58 es mayor a 49.

¿Se usa punto o coma?

La respuesta es simple: ¡cualquiera de las dos! La diferencia en usar una u otra radica en el lugar en donde te encuentres. La coma y el punto son usados como separadores de los números decimales y ambos son válidos. En gran parte de Europa y América del Sur se emplea la coma, pero algunos países como Estados Unidos, Canadá, México y Reino Unido emplean el punto.

Sumas y restas de decimales

Las sumas y restas de números decimales se hacen del mismo modo que con los números enteros. En estos casos se deben colocar los números que se vayan a sumar o restar uno debajo del otro, de manera tal que las cifras del mismo orden se encuentren en la misma columna, es decir, las centenas con las centenas, las decenas con las decenas, las unidades con las unidades, las décimas con las décimas y así sucesivamente. De igual forma, las comas deben estar ubicadas en la misma columna.

Observa la manera correcta de sumar los números 124,32 + 267,11:

Luego, la suma se realiza como una suma normal sin considerar la coma, al final, la coma en el resultado estará ubicada en la columna correspondiente.

Si las cifras que se suman no tiene la misma cantidad de decimales, se completa con cero la cifra de menor número de decimales. Por ejemplo, 74,874 +41,41 se calcula de la siguiente manera:

En el caso de una resta se cumplen los mismos pasos para restar enteros y las cifras se ubican una debajo de la otra de acuerdo a su valor posicional. Si es necesario se agregan ceros en la parte decimal de forma tal que los números tengan la misma cantidad de decimales.

Por ejemplo, al realizar la resta de 945,5 − 307,182 el procedimiento sería:

Cuando se resuelvan ejercicios con números decimales que tengan la parte entera igual a cero, la suma o resta puede realizarse sin ningún tipo de inconveniente, pero con la previsión de que todas sus cifras estén correctamente ordenadas. Un error común es ubicar las comas de los números en columnas distintas con lo cual el resultado será incorrecto.

 

¡A practicar!

  1. ¿Cómo se leen los siguientes números decimales?
    a) 457,5
    Solución
    Cuatrocientas cincuenta y siete unidades, 5 décimas.
    b) 8,742
    Solución
    Ocho unidades, setecientas cuarenta y dos milésimas.
    c) 0,92
    Solución
    Noventa y dos centésimas.
    d) 100,102
    Solución
    Cien unidades, ciento dos milésimas.
  2. Calcula el resultado de las siguientes sumas:
    a) 178,45 + 278,73
    Solución
    457,18
    b) 14,2 + 29,178
    Solución
    43,378
    c) 402,745 + 61,45
    Solución
    464,195
    d) 652,314 + 174,074
    Solución
    826,388
  3. Calcula el resultado de las siguientes restas:
    a) 279,3 − 142,1
    Solución
    137,2
    b) 542,22 − 419,1
    Solución
    123,12
    c) 547,943 − 390,451
    Solución
    157,492
    d) 482,1 − 125,748
    Solución
    356,352
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Números decimales”

El siguiente artículo profundiza la información sobre los números decimales y explica su relación con las fracciones.

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Video “Suma y resta de números decimales”

El video muestra ejemplos de sumas y restas de números decimales, así como los elementos a tener en cuenta durante la realización de este tipo de ejercicios.

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Tarjetas educativas “Operaciones matemáticas”

Las siguientes tarjetas sirven para mostrar de una manera más didácticas las operaciones matemáticas básicas.

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