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CAPÍTULO 2 / TEMA 3

DIVISIÓN

La división es la operación inversa a la multiplicación. Mientras que en la multiplicación buscamos unir cantidades en grupos iguales, en la división buscamos separarlas en grupos iguales. Las divisiones pueden ser de dos tipos: exactas o inexactas. Hoy aprenderás las reglas necesarias para poder resolverlas.

la división y sus elementos

La división es una operación matemática que consiste en repartir una cantidad en partes iguales. Sus elementos son los siguientes:

  • Dividendo: es el número que se va dividir o repartir.
  • Divisor: es el número por el que se divide.
  • Cociente: es el resultado de la división.
  • Resto: es lo que sobra del dividiendo. No se puede dividir debido a que es un número más pequeño que el divisor.
Todo número tiene sus múltiplos, de la misma manera, también tiene sus divisores. Estos son números que lo dividen de forma exacta, es decir, los divisores de un número son los que dividen a este y el resultado de esa división es un número exacto. En forma general, dado un número b, si la división a/b es exacta, donde el resto c es cero, entonces se dice que b es divisor de a.

división exacta

La división exacta es aquella cuyo resto es igual a 0.

– Por ejemplo:

Carlos tiene 20 manzanas y las desea repartir entre 5 personas: Marta, Carla, Lucía, Pedro y Francisco. ¿Cuántas manzanas le corresponden a cada uno?

Como la división es la operación inversa a la multiplicación, podemos preguntarnos ¿qué número multiplicado por 5 da como producto el número 20?

5 × ? = 20

5 × 4 = 20

El factor desconocido será igual al cociente exacto de la división. En este caso es 4, porque ya sabemos que 5 × 4 = 20. Por lo tanto, toda división será exacta cuando el dividendo sea igual al producto entre el divisor y el cociente:

dividendo = divisor × cociente

Podemos comprobar esta relación  si realizamos la división:

Por lo tanto, Carlos puede repartir exactamente las 20 manzanas entre 5 personas si a cada una le da 4 manzanas.

división inexacta

La división inexacta es aquella cuyo resto es diferente de 0.

– Por ejemplo:

La maestra quiere repartir 23 lápices entre 4 niños: Lucas, Juan, Carlos y Luis. ¿Cuántos lápices le corresponden a cada uno?

A diferencia de las divisiones exactas, en las inexactas no hay números naturales que multiplicados por el divisor nos den por resultado el dividendo. Pues, 4 × 5 = 20, y su producto es menor al dividendo (23); en cambio, 4 × 6 = 24, y su producto es mayor al dividendo (23). Entonces, consideramos la opción más cercana e inferior al dividendo, es decir, 5; y lo que falte para llegar al dividendo será el resto.

dividendo = divisor × cociente + resto

Comprobamos la relación al realizar la división:

Por lo tanto, la maestra puede dar 5 lápices a cada niño y le sobrarán 3 lápices.

¿Sabías qué?
El signo de división también se puede representar con dos puntos (:). De esta forma, “36 : 9” se lee “36 entre 9”.

¿cómo resolver una división?

1. Observa las dos primeras cifras del dividendo. Si son mayores que el divisor, comienza por ellas.

2. Busca un número que multiplicado por 12 sea igual a 43 o cercano e inferior a él. En este caso: 12 × 3 = 36. Este producto lo restamos a la primeras dos cifras del dividendo: 43 − 36 = 7.

3. Baja la siguiente cifra del dividendo.

4. Repite el proceso anterior. Busca un número que multiplicado por 12 resulte 72 o se acerque a 72. En este caso: 12 × 6 = 72. Luego restamos este producto al 72 obtenido de la resta.

Esta división es exacta porque el resto es igual a cero (0) y podemos comprobarla si al multiplicar el cociente (36) por el divisor (12) el resultado es igual al dividendo (432): 12 × 36 = 432.

Entonces, 432 ÷ 12 = 36 porque 12 × 36 = 432.

 

– Otro ejemplo:

1. Observa las dos primeras cifras del dividendo, como son menores que el divisor (47 < 64), toma hasta la tercera para iniciar la división.

2. Busca un número que multiplicado por 64 sea igual o cercano a 476.

Como el resto es menor que divisor (28 < 64), queda así. Podemos comprobar esta división si multiplicamos el cociente (7) por el divisor (64) y le sumamos el resto (28). Si el resultado es igual al dividendo, la división está correcta.

64 × 7 + 28 = 476

Entonces, 476 ÷ 64 = 7 y resto = 28.

Fracciones: una división sin resolver

Las divisiones sin resolver se conocen como fracciones. Las fraccione representan una parte de un todo y se caracterizan por tener un numerador y un denominador separados por una raya fraccionaria. El denominador es un número que indica en cuantas partes se divide la unidad, y el numerador es el número que señala cuántas de esas partes se han de tomar.

división entre 10, 100 y 1.000

Las divisiones por la unidad seguida de cero son muy sencillas, solo debes desplazar una coma a la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. De faltar lugares, añadimos ceros.

– Ejemplo:

  • 1.789 ÷ 10 = 178,9 → Movemos una coma un lugar a la izquierda.
  • 1.789 ÷ 100 = 17,89 → Movemos una coma dos lugares a la izquierda.
  • 1.789 ÷ 1.000 = 1,789 → Movemos una coma tres lugares a la izquierda.

– Otros ejemplos:

275 489 70 6 1.652 3.698
÷ 10 27,5 48,9 7 0,6 165,3 369,8
÷ 100 2,75 4,89 0,7 0,06 16,52 36,98
÷ 1.000 0,275 0,489 0,07 0,006 1,652 3,698

 

Los grados centígrados que miden la temperatura son un ejemplo de división entre 10. Si tienes 1 grado y lo divides entre 10 el cálculo es 1 ÷ 10 = 0,1. Los termómetros muestran las mediciones por medio de sumas sucesivas de 0,1 grados. Por ejemplo 36,6; 36,7; 36,8; y así sucesivamente.

 

¡A practicar!

1. Resuelve la siguientes divisiones.

  • 27 ÷ 3 
    Solución
    27 ÷ 3 = 9
  • 100 ÷ 9 
    Solución
    100 ÷ 9 = 11 y resto = 1
  • 1.934 ÷ 23 
    Solución
    1.934 ÷ 23 = 84 y resto = 2
  • 2.487 ÷ 16
    Solución
    2.487 ÷16 = 155 y resto = 7
  • 3.432 ÷ 52
    Solución
    3.432 ÷ 52 = 66
  • 61.712 ÷ 76
    Solución
    61.712 ÷ 76 = 812

 

2. Resuleve la siguientes divisiones por la unidad seguida de cero.

  • 254 ÷ 10 
    Solución
    254 ÷ 10 = 25,4
  • 27 ÷ 10 
    Solución
    27 ÷ 10 = 2,7
  • 2 ÷ 10 
    Solución
    2 ÷ 10 = 0,2
  • 333 ÷ 100 
    Solución
    333 ÷ 100 = 3,33
  • 25 ÷ 1.000 
    Solución
    25 ÷ 1.000 = 0,025
  • 999 ÷ 1.000 = 
    Solución
    999 ÷ 1.000 = 0,999
  • 8.000 ÷ 1.000 = 
    Solución
    8.000 ÷ 1.000 = 8
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Propiedades de la división”

Con este artículo podrás estudiar las propiedades adicionales de la división y realizar ejercicios complementarios.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 4 (REVISIÓN)

OPERACIONES | ¿QUÉ APRENDIMOS?

Adición y sustracción

La matemática presenta cuatro operaciones básicas: adición o suma, sustracción o resta, multiplicación y división. La adición consiste en combinar dos o más números para obtener un total. Esta operación emplea el símbolo “+” y tiene dos elementos: los sumandos, que son los números que se van a sumar, y la suma, que consiste en el resultado en sí. La sustracción, por su parte, es una operación que consiste en quitar una cantidad a otra, por esto es considerada como la operación inversa a la adición, y emplea el símbolo “−”. Los elementos de una resta son: el minuendo que es el número al que se le va a quitar la cantidad, el sustraendo que es el número que resta y la diferencia que es el resultado de la operación.

El método por reagrupación permite resolver problemas de adición y sustracción en función de los valores posicionales de los números.

 

Multiplicación y división

La multiplicación y la división son otras operaciones fundamentales de la matemática. Se dice que la multiplicación es una suma abreviada porque permite sumar tantas veces un número como indique otro, a menudo se usa la equis (x) para indicar esta operación pero también se usa el punto (·). Está formada por los factores, que son los números que se multiplican y por el producto que es el resultado de dicha operación. Por otro lado, la división es la operación opuesta a la multiplicación y consiste en repartir grupos de elementos en partes iguales. Su símbolo es “÷” y sus elementos principales son: el dividendo, que es el número que se reparte; el divisor, que es el número que indica las partes en las que se va a dividir el dividendo; el cociente, que es el resultado; y el resto, que es la cantidad que no se puede dividir.

Para resolver divisiones es muy importante dominar muy bien las multiplicaciones.

 

Operaciones combinadas

Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen dos o más operaciones matemáticas. Aunque pueden incluir símbolos como los paréntesis, corchetes y llaves, cuando se aplican a números naturales estos símbolos no son necesarios. Para resolver cálculos combinados de suma y resta, se resuelven los números de izquierda a derecha en función de la operación que se indique. Cuando existan operaciones combinadas que además de suma o resta incluyan multiplicación, división o ambas, se resuelven las multiplicaciones y divisiones primero para luego sumar o restar de la manera mencionada anteriormente.

En las operaciones combinadas primero se resuelven las multiplicaciones y divisiones, después se resuelven sumas o restas.

CAPÍTULO 1 / TEMA 2

Números primos y compuestos

Los números naturales son usados comúnmente para contar y se clasifican según sus divisores. Aquellos que solo pueden dividirse de forma exacta entre ellos mismos y entre el 1, es decir, tienen solo dos divisores, se denominan números primos; mientras que los que tienen más de dos divisores se denominan números compuestos.

Divisores de un número

Antes de abordar el tema de los números primos y números compuestos, es indispensable comprender el concepto de divisor. Este es un número natural que al dividir a otro natural da como resultado una división con cociente entero y resto igual a cero.

¿Sabías qué?
El divisor de un número siempre lo divide en partes exactas, por eso el resto siempre es igual a cero.

En este sentido, si deseas saber si un número es o no divisor de otro, debes realizar una división entre el número en cuestión y el posible divisor. Si el resultado es un cociente entero (no decimal) y si el resto es igual a cero (división exacta) entonces decimos que efectivamente es divisor de dicho número.

Por ejemplo:

– Para determinar si el número 2 es divisor del número 6:

Lo primero es dividir 6 entre 2.

En este caso, el número 2 es divisor del número 6 porque el cociente de la división es un número entero (no es decimal) y la división es exacta con el resto igual a cero.

Otro ejemplo:

– Para determinar si el número 3 es divisor del número 14:

 

 

 

Aunque la división es exacta, el número 4 no es divisor del número 14, porque el cociente de la división es un número decimal, en este caso se dice que el número 14 no es divisible entre 4.

Criterios de divisibilidad

Son simples reglas que permiten determinar de manera rápida si un número es divisor o no de otro sin necesidad de realizar la división. Algunos de estos criterios son:

– Un número es divisible entre 2 si es un número par o termina en 0.
Por ejemplo: 20, 54, 12, 1.050, 76 y 80.

– Un número es divisible entre 5 si termina en 5 o en 0.
Por ejemplo: 15, 225, 3.110 y 400.

– Un número es divisible entre 10 si termina en 0.
Por ejemplo: 10, 500, 3.410 y 780.

¡A practicar!

  1. ¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 12?
    a) 5
    b) 2
    c)10
    RESPUESTAS
    2
  2. ¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 25?
    a) 3
    b) 7
    c) 5
    RESPUESTAS
    5
  3. ¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 200?
    a) 10
    b) 3
    c) 6
    RESPUESTAS
    10
  4. ¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 16?
    a) 5
    b) 4
    c) 9
    RESPUESTAS
    4

Números primos

Son números que poseen únicamente dos divisores: ellos mismos y el 1.

Por ejemplo, el número 2 es un número primo porque solamente es divisible entre 2 y entre 1.

 

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?
El número uno es divisor de todos los números enteros pero solo es divisible por sí mismo.

Números compuestos

Los números compuestos son números divisibles por ellos mismos, por el uno (1) y por otros números, es decir, tienen más de dos divisores y son más frecuentes que los números primos.

Por ejemplo, el número 24 es un número compuesto, ya que es divisible entre 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. En total tiene 8 números divisores.

Números especiales

Los números 1 y 0 son números muy particulares. En el caso del 1, su único divisor es él mismo y en el caso del número 0, aunque puede ser dividido entre infinitos números, no puede dividirse entre sí mismo porque la división entre cero no esta determinada. Por estas razones, los números 1 y 0 no se consideran números primos ni compuestos.

Tabla de los números primos y compuestos

Existe un simple procedimiento que permite determinar con facilidad los conjuntos de números primos y compuestos; se conoce como Criba de Eratóstenes y aunque su nombre parezca complicado, su procedimiento no lo es.

1. Lo primero que hay que hacer es realizar una tabla con los números del 1 al 100 y se deberán tachar los números que no son primos. El primer número que se tacha es el 1 al no ser considerado número primo.
2. Luego, el siguiente número es el 2, al ser un número primo no se tacha pero a partir de él se empieza a contar de dos en dos al mismo tiempo que se tachan los números que resulten de dicho conteo.

3. Luego del 2, el siguiente número que no se ha tachado es el 3, a partir de él se empieza a contar de 3 en 3 y se tachan los números al mismo tiempo.

4. El siguiente número sin tachar es el 5, se deja sin tachar y se empieza a contar de 5 en 5 mientras se tachan los números.

5. El siguiente número sin marcar el el 7, se mantiene en la tabla sin tachar y se empieza a contar de 7 en 7 mientras se tachan los números.

Los números que no fueron tachados corresponden a números primos, y los números tachados son los compuestos, es una manera gráfica de identificar estos tipos de números del 1 al 100.

La Criba de Eratóstenes es una herramienta muy práctica para tener una visión general de los números primos y compuestos, sin embargo; en la vida cotidiana no es necesario ni aconsejable memorizarlos para resolver los ejercicios, por el contrario; al entender los elementos de cada número se podrá determinar con mayor rapidez si es primo o no.

 

¡A practicar!

1. ¿Qué número tiene infinitos divisores?

RESPUESTAS
El número cero.

2. ¿Cómo se llaman los números que solo tienen dos divisores?

RESPUESTAS
Números primos.

3. ¿Qué números no son considerados ni primos ni compuestos?

RESPUESTAS
El cero y el uno.

4. Un número es divisible entre dos si es par o termina en __________.

RESPUESTAS
cero

5. ¿Cuáles de estos números no es primo?
a) 7
b) 19
c) 25
d) 2

RESPUESTAS
25

6. El número 32 es un número _________.

a) impar
b) primo
c) compuesto

RESPUESTAS
compuesto

7. Clasifica cada uno de los siguientes números como “primo” o “compuesto”:

a) 21
b) 59
c) 18
d) 13

RESPUESTAS
a) Compuesto.
b) Primo.
c) Compuesto.
d) Primo.
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Números primos y compuestos”

En el siguiente artículo se desarrolla el tema de números primos y compuestos. Además se explica qué son los coprimos, y se señalan algunos números especiales.

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Artículo “Criterios de divisibilidad”

Este recurso ayuda a conocer los criterios de divisibilidad, ampliados para más números de los que se mencionaron en este artículo.

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