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CAPÍTULO 5 / TEMA 3

Área

El área mide la extensión de una superficie, por eso permite saber información importante de las cosas, como el tamaño de un país o la cantidad de baldosas que se necesitan en el piso de una casa. De acuerdo al tipo de figura, el área puede calcularse a través de fórmulas o mediante la descomposición de las figuras en otras más sencillas.

Cálculo de áreas en figuras planas

El área es la superficie o extensión comprendida en una figura. En el caso de las figuras planas, para calcular su área es necesario reconocer cada figura, porque su cálculo es diferente en cada caso.

Triángulos

En los triángulos se cumple que su área es igual a la base por la altura y el resultado se divide entre dos:

A=\frac{b\times h}{2}

– Calcula el área del siguiente triángulo:

A=\frac{3 \, cm \times 4\, cm}{2} = \frac{12 \, cm^{2}}{2}=\mathbf{6\, cm^{2}}

Es importante tener en cuenta que al multiplicar dos unidades de longitud (en este caso centímetros) escribimos el producto al cuadrado; es decir, colocamos el exponente “2” arriba de la unidad de medida, por eso se escribe cm2, y se lee “centímetros cuadrados”.

El área y las unidades al cuadrado

En el Sistema Internacional de Unidades el área siempre se expresa en unidades de longitud elevadas al cuadrado, esto se debe a que el área es la medida de una superficie. Un área de 15 cm2 quiere decir que esa superficie está cubierta por 15 cuadrados que miden 1 cm en cada uno de sus lados. Otras unidades de área comunes son: mm2 (milímetros cuadrados), m2 (metro cuadrado) y km2 (kilómetro cuadrado).

VER INFOGRAFÍA

Cuadrados

El área de un cuadrado es igual a la multiplicación de dos de sus lados. Como los lados de un cuadrado son todos iguales, la fórmula también se puede expresar como la medida de un lado al cuadrado.

A = l\times l =l^{2}

– Calcula el área del siguiente cuadrado

A= 3\, m\times 3\,m = \mathbf{9\, m^{2}}

Es un cuadrado de nueve metros cuadrados de área.

Rectángulos y romboides

El área de los rectángulos y romboides es igual al producto de su base por su altura.

A=b\times h

 

 

– Calcula el área del siguiente rectángulo:

A=10\, mm\times 5\, mm =\mathbf{50\, mm^{2}}

Rombos

El área de un rombo es igual al producto de su diagonal mayor (D) y su diagonal menor (d) dividido entre 2.

A=\frac{D\times d}{2}

– Calcula el área del siguiente rombo:

A = \frac{9\, cm\times 5\, cm}{2}=\frac{45\, cm^{2}}{2}=\mathbf{22,5\, cm^{2}}

El área del rombo es de 22,5 centímetros cuadrados.

Trapecios

En el caso de los trapecios el área es igual a la suma de su base mayor y su base menor, el resultado se divide entre 2 y luego se multiplica por la altura.

A = \frac{B+ b}{2}\times h

– Calcula el área del siguiente trapecio:

\small A= \frac{9\, mm+ 15\, mm}{2}\times 4\, mm=\frac{24\, mm}{2}\times 4\, mm=12\, mm\times 4\, mm = \mathbf{48\, mm^{2}}

El trapecio tiene un área de 48 milímetros cuadrados.

Polígonos regulares

Los polígonos regulares son figuras geométricas donde todos sus lados miden lo mismo. En todos los polígonos regulares se cumple que:

A= \frac{N\times L\times ap}{2}

Donde:

N = número de lados del polígono regular.

L = longitud de uno de los lados.

ap = longitud de la apotema.

¿Sabías qué?
La apotema es la menor distancia que existe entre el centro de un polígono y cualquiera de sus lados.

– Calcula el área del siguiente polígono regular:

A=\frac{6\times 4\, cm\times 3,4\, cm}{2}=\frac{24\, cm\times 3,4\, cm}{2}= \frac{81,6\, cm^{2}}{2}=\mathbf{40,8\, \mathbf{cm^{2}}}

Observa que en este caso como el polígono regular tiene seis lados (hexágono) se coloca el número 6. El área de este hexágono es de 40,8 centímetros cuadrados.

¿Cómo calcular el área de un círculo?

Para determinar el área de un círculo se debe multiplicar el número pi (que aunque es un número infinito se redondea a 3,14) por el radio de la circunferencia elevado al cuadrado, es decir;  \bg_white A = \pi \times r^{2}. El área para un círculo con un radio igual a 2 cm, por ejemplo; se calcularía como A = 3,14\times (2\, cm)^{2}=3,14\times4\, cm^{2} =\mathbf{12,56\, cm^{2}}.

 

Cálculo de áreas en figuras compuestas

Las figuras compuestas se llaman así porque están formadas por dos o más figuras geométricas. Para calcular el área en estas figuras debemos “separar” las figuras geométricas presentes y calcular por separado el área de cada una. El área total de la figura compuesta será igual a la sumatoria de las áreas de las figuras geométricas que la conformen.

– Calcula el área de la siguiente figura compuesta:

Lo primero para resolver es identificar las figuras geométricas presentes, en este caso es un triángulo (figura 1) y un rectángulo (figura 2).

Calculamos las áreas de las figuras por separado.

– Área del triángulo:

La altura es un dato del problema y es 2 cm, la base del triángulo tiene la misma longitud que la base mayor del rectángulo, por lo tanto tiene el mismo valor que es 5 cm. Calculamos el área según la fórmula de área para el triángulo:

A_{1} = \frac{b\times h}{2}=\frac{5\, cm\times 2\, cm}{2}=\frac{10\, cm^{2}}{2} = \mathbf{5\, cm^{2}}

– Área del rectángulo:

Calculamos con la fórmula de área para rectángulos.

A_{2} = b\times h=5\, cm\times 4\, cm = \mathbf{20\, }\mathbf{cm^{2}}

 

El área total es igual a la sumatoria de las áreas de las figuras geométricas calculadas:

A = A_{1}+A_{2}= 5\, cm^{2}+20\, cm^{2} =\mathbf{25\, cm^{2}}

Quiere decir que el área de la figura compuesta es de 25 centímetros cuadrados.

¿Por qué es útil conocer el área?

Conocer la superficie del área tiene múltiples usos desde los cotidianos hasta lo científico. Por ejemplo, gracias al área podemos saber cuánta tela necesita un vestido, o cuántas baldosas son necesarias en la construcción de un piso. También se usa para realizar comparaciones, por ejemplo, con el área podemos comparar países de acuerdo a su tamaño. O, también, podemos estimar la superficie de un planeta de acuerdo a su forma.

Además, el área es un parámetro usado en otras fórmulas más avanzadas como los cálculos de presiones. Por otra parte, las diferentes medidas permiten cuantificar desde áreas de tamaños microscópicos hasta áreas del tamaño de una estrella.

Aunque el Sistema Internacional de Unidades es el más extendido en el mundo, no todos los países emplean el metro cuadrado y sus múltiplos o submúltiplos para hablar de área. Hay países, como Estados Unidos, que emplea la yarda cuadrada (equivalente a 0,863 metros cuadrados), otras unidades usadas son la pulgada cuadrada, el pie cuadrado, la hectárea y el acre.
¡A practicar!

1. Calcular el área de las siguientes figuras:

a)

Solución
A = 6 cm2
b) 
Solución
A = 20 m2
c) 
Solución
A = 18 cm2
d) 
Solución
A = 61,5 mm2
e) 
Solución
A = 79 cm2

2. ¿A cuál de estas figuras corresponde la fórmula de área A = b\times h?

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

Solución
d) Es un romboide.

RECURSOS PARA DOCENTES

Video “Resolución del área”

En este video se explica cómo resolver cálculos de áreas en figuras compuestas y se muestran dos de las fórmulas de área más usadas.

VER

Artículo “Perímetro y área”

Este artículo explica ejercicios de perímetro y áreas. Toma como referencia diferentes unidades de medida y conversiones.

VER

Artículo “Cuerpos redondos. Áreas y volúmenes”

En el presente artículo se explica como realizar cálculos de área en cuerpos redondos, sí como las características de este tipo de figuras.

VER

 

CAPÍTULO 4 / TEMA 2

Formas

SI OBSERVAMOS A NUESTRO ALREDEDOR, ENCONTRAREMOS DIFERENTES TIPOS DE OBJETOS. TODOS LOS OBJETOS TIENEN UNA FORMA, ES DECIR, UNA APARIENCIA EXTERNA ESPECÍFICA. GRACIAS A ESTO PODEMOS DECIR QUE ALGO ES REDONDO, CUADRADO, PLANO O CURVO.

formas de los objetos

OBSERVA ESTA ESCUELA, ¿RECONOCES ALGUNA FORMA?

  • LA VENTANA ES CUADRADA PORQUE SE PARECE A UN CUADRADO.

LA FIGURA DE COLOR VERDE ES UN CUADRADO.

  • EL RELOJ ES CIRCULAR PORQUE SE PARECE A UN CÍRCULO.

LA FIGURA DE COLOR AZUL ES UN CÍRCULO.

  • EL TECHO ES TRIANGULAR PORQUE SE PARECE A UN TRIÁNGULO.

 

LA FIGURA DE COLOR AMARILLO ES UN TRIÁNGULO.

  • LA PUERTA ES RECTANGULAR PORQUE SE PARECE A UN RECTÁNGULO.

LA FIGURA DE COLOR MORADO ES UN RECTÁNGULO.

NO TODOS LOS OBJETOS SON PLANOS Y SE PUEDEN CLASIFICAR COMO CUADRADOS, CIRCULARES, TRIANGULARES O RECTANGULARES. MUCHAS DE LAS COSAS QUE TENEMOS EN NUESTRA CASA SON SÓLIDOS GEOMÉTRICOS, ES DECIR, FIGURAS CON TRES DIMENSIONES: ALTO, ANCHO Y PROFUNDIDAD. PARA DESCRIBIRLAS NECESITAMOS CONOCER FORMAS NUEVAS.

¿QUÉ FORMA TIENEN LOS OBJETOS?

ES POSIBLE QUE TENGAS TODOS ESTOS OBJETOS EN TU CASA, ¿QUÉ FORMA TIENEN?

  • ESTOS OBJETOS TIENE FORMA DE CILINDRO.

  • ESTOS OBJETOS TIENEN FORMA DE ESFERA.

  • ESTOS OBJETOS TIENEN FORMA DE CUBO.

sUPERFICIE

AL TOCAR UNA COSA, TOCAS SU SUPERFICIE. LA SUPERFICIE ES LA PARTE EXTERIOR DE LOS OBJETOS.

CUANDO TOCAS UNA MESA, TOCAS UNA SUPERFICIE PLANA. LAS SUPERFICIES PLANAS PUEDEN TENER LÍNEAS RECTAS EN CUALQUIER POSICIÓN.

CUANDO TOCAS UN GLOBO, TOCAS UNA SUPERFICIE CURVA. LAS SUPERFICIES CURVAS PUEDEN TENER LÍNEAS CURVAS EN CUALQUIER POSICIÓN.

tIPOS DE SUPERFICIE

LAS SUPERFICIES DE LOS OBJETOS PUEDEN SER PLANAS, CURVAS O MIXTAS.

  • LOS OBJETOS CON SUPERFICIE PLANA NO RUEDAN Y PUEDES COLOCAR COSAS SOBRE ELLOS.

EL CUBO TIENE SUPERFICIE PLANA.

  • LOS OBJETOS CON SUPERFICIE CURVA RUEDAN Y NO PUEDES COLOCAR COSAS SOBRE ELLOS.

LA ESFERA TIENE SUPERFICIE CURVA.

  • LOS OBJETOS CON SUPERFICIE MIXTA TIENEN UNA COMBINACIÓN DE SUPERFICIES PLANAS Y CURVAS. ESTOS OBJETOS PUEDEN RODAR Y SOBRE ELLOS PUEDES COLOCAR COSAS.

EL CILINDRO TIENE SUPERFICIE MIXTA.

¡DESCUBRE LA SUPERFICIE!

MIRA DE NUEVO LOS OBJETOS DE ARRIBA, ¿CÓMO ES SU SUPERFICIE?

SOLUCIÓN

UNA NUEVA FORMA POR CONOCER

LAS PIRÁMIDES DE EGIPTO SON ENORMES MONUMENTOS QUE SERVÍAN COMO TUMBAS A LOS FARAONES HACE MILES DE AÑOS. ESTAS MAGNÍFICAS ESTRUCTURAS TIENEN EL MISMO NOMBRE DE UN CUERPO GEOMÉTRICO: PIRÁMIDE. LAS PIRÁMIDES SOLO TIENEN SUPERFICIES PLANAS, ES DECIR, SON FORMAS QUE NO PUEDEN RODAR Y QUE PUEDEN TENER LÍNEAS RECTAS EN CUALQUIER POSICIÓN.

 

¿Sabías qué?

EL CÍRCULO ES UNA FIGURA PLANA Y LA ESFERA ES UNA FIGURA SÓLIDA. SI DIBUJAS UN CÍRCULO EN EL PAPEL Y LO RECORTAS OBTENDRÁS UNA FIGURA PLANA, PERO SI HACES UNA PELOTA CON PLASTILINA OBTENDRÁS UN CUERPO SÓLIDO.

¡COMPAREMOS FORMAS!

OBSERVA ESTAS IMÁGENES.

  • ¿CUÁLES OBJETOS TIENEN FORMA DE ESFERA Y SUPERFICIE CURVA?
SOLUCIÓN

  • ¿CUÁLES OBJETOS TIENEN FORMA DE CUBO Y SUPERFICIE PLANA?
SOLUCIÓN

  • ¿CUÁLES OBJETOS TIENEN FORMA DE CILINDRO Y SUPERFICIE MIXTA?
SOLUCIÓN

 ¡A PRACTICAR!

COLOREA LAS FIGURAS QUE TIENEN SUPERFICIE CURVA Y MIXTA. SON AQUELLAS QUE PUEDEN RODAR.

SOLUCIÓN

 

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Aprendiendo las formas”

Este recurso le permitirá describir de forma didáctica una variedad de figuras geométricas planas.

VER